数学-二次函数知识点总结

二次函数知识点

一、常用二次函数

1.()2

y a x h k =-+2.2y ax bx c =++1）画图注意事项

开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.注：a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．

b 决定了抛物线对称轴的位置．

c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

2）函数性质a 的符号

开口方向顶点坐标对称轴性质

a >向上

()

h k ，X=h

x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y

随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．

0a <向下

()

h k ，X=h

x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y

随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．

a 的

符号

开口方向

顶点坐标对称轴

性质

a >向上

2424b ac b a

a ⎛⎫-- ⎪

⎝⎭，2b

x a

=-

当2b

x a

<-

时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

>-

时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2

44ac b a

-．

a <向下

2424b ac b a

a ⎛⎫

-- ⎪

⎝⎭，2b

x a

=-

当2b

x a

<-

时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

>-

时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

二、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=

，．三、二次函数的平移规律图示

“左加右减，上加下减”

四、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2.关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3.关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-；

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-；()2

y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5.关于点()m n ，

对称()2

y a x h k =-+关于点()m n ，

对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适

的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

五、二次函数与一元二次方程

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.2.图象与x 轴的交点个数：

①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是

一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.

其中：当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；

当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

3.抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)

c