二次函数知识点梳理

二次函数de 基础

一、考点、热点回顾

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1．二次函数de 概念：一般地，形如2

y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）de 函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数de 定义域是全体实数．

2. 二次函数2

y ax bx c =++de 结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x de 二次式，x de 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数de 基本形式

1. 二次函数基本形式：2

y ax =de 性质： a de 绝对值越大，抛物线de 开口越小。

2. 2

y ax c =+de 性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-de 性质：左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+de 性质：

三、二次函数图象de 平移

在原有函数de 基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴

c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵

c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()2

y a x h k =-+与2

y ax bx c =++de 比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2

y ax bx c =++是两种不同de 表达形式，后者通过配方可以

得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -⎛⎫=++

⎪⎝

⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2

y ax bx c =++图象de 画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2

y ax bx c =++化为顶点式2

()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取de 五点为：顶点、

与y 轴de 交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称de 点()2h c ，、与x 轴de 交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称de 点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴de 交点，与y 轴de 交点.

六、二次函数2

y ax bx c =++de 性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，． 当2b x a <-

时，y 随x de 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x de 增大而增大；当2b

x a

=-时，y

有最小值2

44ac b a

-．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．当2b

x a <-时，y 随x de 增大而增大；当2b x a >-时，y 随x de 增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值

244ac b a -． 七、二次函数解析式de 表示方法

1. 一般式：2

y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2

()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点de 横坐标）.

注意：任何二次函数de 解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有de 二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与x 轴有交点，即2

40b ac -≥时，抛物线de 解析式才可以用交点式表示．二次函数解

析式de 这三种形式可以互化.

八、二次函数de 图象与各项系数之间de 关系 1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a de 值越大，开口越小，反之a de 值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a de 值越小，开口越小，反之a de 值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口de 大小和方向，a de 正负决定开口方向，a de 大小决定开口de 大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定de 前提下，b 决定了抛物线de 对称轴． ⑴ 在0a >de 前提下，

当0b >时，02b

a

-<，即抛物线de 对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线de 对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

>，即抛物线对称轴在y 轴de 右侧． ⑵ 在0a 时，02b

a

->，即抛物线de 对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线de 对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

<，即抛物线对称轴在y 轴de 左侧． 总结起来，在a 确定de 前提下，b 决定了抛物线对称轴de 位置．

ab de 符号de 判定：对称轴a

b

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴de 右侧则0