二次函数知识点梳理
二次函数知识点梳理
二次函数得基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念:1.二次函数得概念:一般地,形如（就是常数,)得函数,叫做二次函数。
这里需要强调：与一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数得定义域就是全体实数.２、二次函数得结构特征:⑴等号左边就是函数,右边就是关于自变量得二次式,得最高次数就是２.⑵就是常数,就是二次项系数,就是一次项系数,就是常数项．二、二次函数得基本形式１、二次函数基本形式:得性质:a 得绝对值越大,抛物线得开口越小。
2、得性质:上加下减。
３、得性质：左加右减。
４、得性质:三、二次函数图象得平移在原有函数得基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:⑴沿轴平移:向上(下）平移个单位,变成(或）⑵沿轴平移:向左(右）平移个单位,变成（或)四、二次函数与得比较从解析式上瞧,与就是两种不同得表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中．五、二次函数图象得画法五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图、一般我们选取得五点为：顶点、与轴得交点、以及关于对称轴对称得点、与轴得交点，（若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称得点)、画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴得交点,与轴得交点、六、二次函数得性质1、当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为．当时,随得增大而减小；当时,随得增大而增大；当时,有最小值．2、当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随得增大而增大;当时,随得增大而减小;当时,有最大值.七、二次函数解析式得表示方法1、一般式:(,,为常数,)；2、顶点式:(,,为常数,);3、两根式：(，,就是抛物线与轴两交点得横坐标）、注意:任何二次函数得解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有得二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线得解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式得这三种形式可以互化、八、二次函数得图象与各项系数之间得关系1、二次项系数二次函数中，作为二次项系数,显然．⑴当时,抛物线开口向上，得值越大,开口越小,反之得值越小,开口越大;⑵当时,抛物线开口向下,得值越小,开口越小,反之得值越大,开口越大.总结起来,决定了抛物线开口得大小与方向,得正负决定开口方向,得大小决定开口得大小．2、一次项系数在二次项系数确定得前提下,决定了抛物线得对称轴.⑴在得前提下,当时,，即抛物线得对称轴在轴左侧;当时,,即抛物线得对称轴就就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴得右侧.⑵在得前提下，结论刚好与上述相反，即当时，,即抛物线得对称轴在轴右侧;当时,，即抛物线得对称轴就就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴得左侧.总结起来,在确定得前提下,决定了抛物线对称轴得位置.得符号得判定：对称轴在轴左边则,在轴得右侧则,概括得说就就是“左同右异”总结:3、常数项⑴当时,抛物线与轴得交点在轴上方,即抛物线与轴交点得纵坐标为正;⑵当时，抛物线与轴得交点为坐标原点，即抛物线与轴交点得纵坐标为；⑶当时,抛物线与轴得交点在轴下方,即抛物线与轴交点得纵坐标为负.总结起来,决定了抛物线与轴交点得位置．总之,只要都确定,那么这条抛物线就就是唯一确定得．二次函数解析式得确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数得解析式必须根据题目得特点,选择适当得形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1、已知抛物线上三点得坐标,一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式；３、已知抛物线与轴得两个交点得横坐标,一般选用两根式;4、已知抛物线上纵坐标相同得两点，常选用顶点式.九、二次函数图象得对称二次函数图象得对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达１、关于轴对称关于轴对称后,得到得解析式就是;关于轴对称后,得到得解析式就是;2、关于轴对称关于轴对称后,得到得解析式就是;关于轴对称后,得到得解析式就是;３、关于原点对称关于原点对称后，得到得解析式就是；关于原点对称后,得到得解析式就是;４、关于顶点对称（即:抛物线绕顶点旋转1８0°)关于顶点对称后,得到得解析式就是;关于顶点对称后,得到得解析式就是.5、关于点对称关于点对称后,得到得解析式就是根据对称得性质,显然无论作何种对称变换，抛物线得形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线得对称抛物线得表达式时,可以依据题意或方便运算得原则,选择合适得形式,习惯上就是先确定原抛物线(或表达式已知得抛物线)得顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线得顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线得表达式．十、二次函数与一元二次方程:1、二次函数与一元二次方程得关系（二次函数与轴交点情况）:一元二次方程就是二次函数当函数值时得特殊情况、图象与轴得交点个数：①当时,图象与轴交于两点,其中得就是一元二次方程得两根.这两点间得距离、②当时，图象与轴只有一个交点;③当时,图象与轴没有交点、当时,图象落在轴得上方,无论为任何实数,都有;当时,图象落在轴得下方,无论为任何实数,都有.２、抛物线得图象与轴一定相交,交点坐标为,；3、二次函数常用解题方法总结:⑴求二次函数得图象与轴得交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵求二次函数得最大(小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶根据图象得位置判断二次函数中,，得符号,或由二次函数中,,得符号判断图象得位置，要数形结合;⑷二次函数得图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称得点坐标，或已知与轴得一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、⑸与二次函数有关得还有二次三项式,二次三项式本身就就是所含字母得二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间得内在联系:十一、函数得应用二次函数应用。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、函数定义与表达式1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。
二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。
二、函数图像的性质——抛物线1）开口方向——二次项系数a二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。
顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。
y = 2x^2y = x^2y = (1/2)x^2y = -(1/2)x^2y = -x^2y = -2x^22）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴顶点式：x = h两根式：x = x1、x = x23）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当x。
-b/2a时），y随着x的增大而增大；当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。
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二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
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二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点梳理
二次函数知识点梳理一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。
根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。
a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。
三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴对称。
五、判别式二次函数的判别式是 b^2 - 4ac。
根据判别式的值，可以判断二次函数与 x 轴的交点情况：- 如果判别式 > 0，则有两个实数根。
- 如果判别式 = 0，则有一个实数根（重根）。
- 如果判别式 < 0，则没有实数根。
六、根的性质1. 根的和：如果α 和β 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根，则α + β = -b/a。
2. 根的积：如果α 和β 是二次方程的两个根，则αβ = c/a。
七、因式分解某些二次函数可以因式分解为 (x - α)(x - β) = 0 的形式，其中α 和β 是函数的根。
八、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次函数转化为完全平方的形式，从而更容易找到方程的解。
九、二次函数的应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域，如描述物体的抛体运动、优化生产成本等。
十、二次不等式二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式。
解这类不等式通常需要考虑二次函数的图像和判别式。
十一、复合二次函数复合二次函数是指外层函数是二次函数，内层函数可以是任何实值函数的情况。
这类函数的性质更为复杂，需要结合内外层函数的特点进行分析。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。
4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。
零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。
通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。
2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。
4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。
三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。
《二次函数》知识点梳理与总结
《二次函数》知识点梳理与总结
一、定义
二次函数是一类二元多项式函数，其一般形式如下：
f(x)=ax2+bx+c
其中a≠0，且a，b，c为常数。
它是一阶导数连续可微的函数。
二、性质
1．二次函数的图象是一个双曲线，其有两条对称轴，分别为y轴和其他对称轴，其上还有一个坐标原点称为顶点。
2．关于y轴的对称性:f(-x)=f(x)
3．关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)
4．关于顶点：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))
5．当a>0时，双曲线凹，即顶点在第四象限。
6．当a<0时，双曲线凸，即顶点在第一象限。
7．函数的单调性：除两端点外，双曲线上任一点，函数值都在顶点极值线的两侧。
8．二次函数的极值：极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a) 9．函数的凹凸：当a>0时，双曲线是凹函数；当a<0时，双曲线是凸函数。
三、解法
1．利用顶点标准格式求二次函数的顶点：
顶点坐标：(-b/2a，f(-b/2a))
2．利用极值定理求二次函数的极值：
极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a)
3．利用对称性求双曲线的轴的对称性：
1）关于y轴的对称性：f(-x)=f(x)
2）关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)。
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
2.二次函数的系数a与开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3. 二次函数的零点：二次函数的零点即函数的解，即满足方程y=ax²+bx+c=0的x的值。
4.二次函数的顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点（a>0，开口向上）或最高点（a<0，开口向下）。
二、图像与性质1. 平移变换：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将函数向左平移h个单位，记作y=a(x-h)²+bx+c；向上平移k个单位，记作y=a(x-h)²+bx+(c+k)。
2. 对称轴：对于二次函数y=a(x-h)²+bx+c，其对称轴为x=h。
3.最值：当二次函数开口向上时，最小值等于顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，最大值等于顶点的纵坐标。
4.单调性：若a>0，则二次函数是单调递增的；若a<0，则二次函数是单调递减的。
1. 因式分解：二次函数可以通过因式分解的方法求解，对于形如y=x²+bx+c的二次函数，可以通过找到满足(x+p)(x+q)=0的p和q来求解。
2. 二次方程的解与二次函数的零点：对于二次函数y=ax²+bx+c，当y=0时，可以得到ax²+bx+c=0，即二次方程。
所以二次函数的零点就是二次方程的根。
3.二次函数与坐标变换：二次函数可以通过坐标变换的方法进行图像的绘制与分析。
根据函数中的系数和平移变化，我们可以找到相关的坐标点，进而绘制出图像。
四、易错点1.没有注意二次函数系数与开口方向之间的关系，导致图像的绘制错误。
2.对于二次函数的平移变换不够熟练，不能正确确定平移的方向和单位。
3.没有理解二次函数的最值和单调性，导致在题目中的应用出现错误。
二次函数知识点梳理
二次函数知识点梳理二次函数是数学中的一种重要函数，其具有许多特殊性质和应用。
下面将对二次函数的知识点进行梳理，包括定义、性质、图像、最值、根、变换和应用等方面。
1. 定义：二次函数是一个一元二次方程所确定的函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
2.基本性质：(1)对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
(2)开口方向：二次函数的开口方向由系数a的正负确定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
(3)零点：二次函数的零点即为方程f(x)=0的解，也就是抛物线与x 轴的交点。
(4)极值：当二次函数的系数a大于0时，该函数有一个最小值；当系数a小于0时，函数有一个最大值。
3.图像：(1)抛物线的顶点：二次函数的顶点即为抛物线的最高或最低点，其x坐标为-b/(2a)，y坐标为f(-b/(2a))。
(2)开口：抛物线的开口程度由系数a的绝对值大小决定。
绝对值较大时，开口较窄，反之开口较宽。
(3)过原点：当且仅当c=0时，二次函数通过原点。
4.最值：(1)最值的存在性：二次函数的最值存在性由系数a的正负决定。
当a大于0时，函数有最小值；当a小于0时，函数有最大值。
(2)最值的求解：对于凸（a>0）的二次函数，最小值为抛物线的顶点；对于凹（a<0）的二次函数，最大值为抛物线的顶点。
5.零点：(1)方程f(x)=0的解：二次函数的零点即为方程f(x)=0的解，可以通过求解一元二次方程来得到。
一元二次方程的求解可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法。
(2) 零点的个数与判别式：一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac反映了方程解的情况。
当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数解；当Δ小于0时，方程无实数解。
6.变换：二次函数可以通过平移、伸缩、翻转等线性变换得到新的函数，以下是二次函数的基本变换形式：(1)左右平移：f(x-h)表示将函数向右平移h个单位；f(x+h)表示将函数向左平移h个单位。
二次函数知识点梳理
初三年级数学一二次函数的基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念：21. 二次函数的概念：一般地，形如y = ax bx c（a , b, C是常数，a =O）的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a =0 ,而b, C可以为零•二次函数的定义域是全体实数.22. 二次函数y =ax亠bx亠C的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2 .⑵a, b , C是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项.二、二次函数的基本形式21. 二次函数基本形式：y =ax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y =ax亠C的性质：上加下减3. y =a（x —h 2的性质：左加右减4. y =a x -h 的性质:在原有函数的基础上 ’h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减" 方法二：2 2⑴y = ax bx C 沿y 轴平移：向上（下）平移m 个单位，y = ax bx C 变成y = ax 2 bx c m （或 y = ax 2 bx c - m ）⑵y = ax 2 ■ bx ■ C 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位，y = ax 2 ■ bx ■ C 变成O Oy = a(x m) b(x m) c (或 y = a(x _ m) b(x _ m) c )2 Q四、二次函数y = a X -h ] ^k 与y = ax bx C 的比较2五、二次函数y = ax bx c 图象的画法2 2五点绘图法：利用配方法将二次函数 y =ax bx C 化为顶点式y =a （x -h ） ■ k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点（O , c 卜以及（0, c ）关于对称轴对称的点（2h ，C ）、与X 轴的交点（χ1 ,0），（x 2 ,0 ）（若与X 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数y =ax 2 ∙ bx ∙ C 的性质1. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为b「丄i b 4ac -b 2X =一— 顶点坐标为,2a I 2a4a J当X —时，y 随X 的增大而减小；当 — —时，y 随X 的增大而增大；当 X —时，y2a 2a 2a有最小值应一1^ .4a2Q从解析式上看，y =a X -h k 与y =aχ2 ∙ bx ∙ c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即y^ax -2b a4aV 2 ,其中h£4ac -b 24a2.当a ：：：0时，抛物线开口向下，对称轴为X —,顶点坐标为2a y 随X 的增大而增大；当X —时， 2a 七、二次函数解析式的表示方法2 y =ax bX C ( a , 2 y =a(x -h) k ( a , 1. 一般式:y 随X 的增大而减小；当 b , C 为常数，a =0)； " 2、b 4ac_b — ------ ?2a 4a .当 XW 时,y有最大值4⅞E2. 顶点式：3. 两根式： 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与X 轴有交点，即b 2 -4ac_0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析 式的这三种形式可以互化. h , k 为常数，a = 0 )； y =a(x-x 1)(x-x 2) ( a 严0 , X 1 , X 2是抛物线与X 轴两交点的横坐标)八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y =a χ2 Fx C 中，a 作为二次项系数，显然 a 』0 . ⑴当a .0时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; ⑵ 当a ：：：0时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大. 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向, a 的大小决定开口的大小. 2.一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在a .0的前提下， 当b 0时, —：：：0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a当b =O 时, 2a=0,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当b ：：:0时, -—0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.2a⑵在a ：：:0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时,b2a • 0,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; 当b =0时, b 2a=0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴;—2a 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.b 」cX 在y 轴左边则ab 0 , 2a当b ：：:0时, ：：：0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧.ab 的符号的判定：对称轴在y 轴的右侧则ab ：：： 0 ,概括的说就是 总结: “左同右异” 3.常数项C ⑴当C 0时, ⑵当c =0时,(3)当 抛物线与 抛物线与 抛物线与y 轴的交点在X 轴上方，即抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在X 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； y 轴交点的纵坐标为0; y 轴交点的纵坐标为负.总结起来，C 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.总之，只要a, b , C 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便•一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与X 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于X 轴对称2y =ax bx c 关于X 轴对称后，得到的解析式是2y =a X - h L ：；-k 关于X 轴对称后，得到的解析式是2y =ax bx c 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y =a X —h ] ^k 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y =ax bx c 关于原点对称后，得到的解析式是2y =a X —h [ ^k 关于原点对称后，得到的解析式是2y =ax bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y =a X -h j ^k 关于点 m ，n 对称后，得到的解析式是 y = -a x ■ h —2m j 亠2n —k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变•求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写岀其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X 轴交点情况）：2 2一元二次方程ax ∙ bx ∙ c =O 是二次函数y =ax bx C 当函数值y = 0时的特殊情况. 图象与X 轴的交点个数:3. 关于原点对称5. 关于点 m,n 对称2y = -ax 一 bx - c ；2y_-ax_h - k ;2. 关于y 轴对称2y = ax bx C ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）2y = -ax bx -c ；2y = -a X 亠 h ：2b 2y = —ax —bx 亠 c —2a2y = -a X - h I 亠 k •① 当厶=b? —4ac . 0时，图象与X轴交于两点A X , 0 , B x2, O (XHX2),其中的x , X2是一2 yf b 4 ac元二次方程ax bX c =O ^-0的两根•这两点间的距离AB = x? -X i .I a l②当=0时，图象与X轴只有一个交点；③当二.；：0时，图象与X轴没有交点.1'当a . 0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y .0 ;2'当a ：：：0时，图象落在X轴的下方，无论X为任何实数，都有y ：：：0 •22. 抛物线y =ax bX C的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，C)；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y = aχ2bx c中a，b，C的符号，或由二次函数中a，b，C的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与X轴的一个交点坐标，可由对称性求岀另一个交点坐标2⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax bx c(a=0)本身就是所含字母X的二次函刹车距离二次函数应用』何时获得最大利润最大面积是多少2y =a X-M 亠k关于顶点对称后，得到的解析式是。
二次函数全章主要知识点梳理
二次函数全章主要知识点梳理一、二次函数的图象和性质（1）二次函数2ax y =的图象和性质a 对函数2ax y =图象的影响a 的符号决定函数2ax y =图象的开口方向,a 的大小决定图象的开口大小:a 的值越大,抛物线开口越小;a 的值越小,抛物线开口越大.（2）二次函数k ax y +=2的图象和性质（3）二次函数()2h x a y -=的图象及性质（4）二次函数()k h x a y +-=2的图象及性质（5）二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二、二次函数的图象的平移及解析式的变化规律二次函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的规律.（1）二次函数的图象左右平移时,自变量加上（左移）或减去（右移）平移的单位,注意要加小括号;（2）二次函数的图象上下平移时,解析式的后面加上（上移）或减去（下移）平移的单位.例1. 将抛物线2x y =向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得新抛物线对应的函数表达式为【 】（A ）()122++=x y （B ）()122-+=x y（C ）()122+-=x y （D ）()122--=x y例2. 将抛物线2x y =向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为________________. 三、二次函数的图象和性质的应用往往考查的是二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值以及增减性.考查最多的形式是顶点式()k h x a y +-=2.（1）抛物线()k h x a y +-=2的顶点坐标是()k h ,.（2）抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线h x =.（3）以对称轴直线h x =为分界线,抛物线一侧上升,一侧下降:上升的一侧表示y 随x 的增大而增大;下降的一侧表示y 随x 的增大而减小.函数图象的升降性反应了y 随x 的变化趋势,即增减性.利用函数的增减性可以比较函数值的大小. 例3. 对于抛物线()31212++-=x y ,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线1=x ;③顶点坐标为()3,1-;④当1>x 时,y 随x 的增大而减小;⑤函数的最大值为3.其中正确结论的个数为【 】（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5例4. 关于二次函数()352+--=x y 的图象与性质,下列结论错误的是【 】（A ）抛物线开口方向向下 （B ）当5=x 时,函数有最大值（C ）抛物线可由函数2x y =的图象经过平移得到 （D ）当5>x 时,y 随x 的增大而减小二次函数c bx ax y ++=2,化为顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,故其顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22,对称轴为直线a bx 2-=. 同学们要特别记住一般式的对称轴公式.例5. 已知二次函数()112+-+=x m x y ,当1>x 时,y 随x 的增大而增大,则m 的取值范围是__________.提示 二次函数的增减性与其图象的开口方向和对称轴有关.在根据函数的增减性确定参数的取值范围时,要先确定函数图象的开口方向和对称轴的位置,必要时可画出函数图象的简图. 四、求二次函数的解析式常考查顶点式、交点式和一般式.在求函数解析式时,如果题目给出了抛物线的解析式（系数待定）,我们直接把点的坐标代入解析式求解即可;如果题目没有给出函数解析式,我们就要先根据题目条件的特点先设出合适的函数解析式,再把点的坐标代入.（1）如果已知抛物线的顶点坐标和另一个点的坐标,我们把函数解析式设为顶点式,即设二次函数的解析式为()k h x a y +-=2.（2）如果已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和第三个点的坐标,我们把函数解析式设为交点式,即设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=.有下面的结论:如果抛物线与x 轴的两个交点分别为()()0,,0,21x x ,那么函数解析式为:()()21x x x x a y --=.（3）如果已知抛物线上三个点的坐标,那么我们把函数解析式设为一般式,即设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2.例6. 已知二次函数的图象以()4,1-A 为顶点,且过点()5,2-B ,求该二次函数的解析式.变式. 已知二次函数的图象如图所示,求该二次函数的解析式.例7. 已知二次函数的图象经过()()0,1,0,3--和()3,0-三点,求该二次函数的解析式.变式. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,求该二次函数的解析式.例8. 已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为()0,3-,与y 轴交于点C ,点()3,2--D ,求该抛物线的解析式.五、二次函数的图象与c b a ,,的关系 与二次项系数a 的关系（1）当0>a 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,a 的值越小,开口越大; （2）当0<a 时,抛物线开口向下,a 的值越大,开口越大,a 的值越小,开口越小.总之,a 的值越大,抛物线的开口越小. 与一次项系数b 的关系二次项系数a 和一次项系数b 共同决定了抛物线的对称轴. 若抛物线的对称轴在y 轴的右侧,即02>-=abx ,则b a ,异号;若抛物线的对称轴在y 轴的左侧,即02<-=abx ,则b a ,同号. 总之,b a ,的符号遵循“左同右异”的规律. 特别地,当对称轴是y 轴时,02=-=abx ,此时0=b . 与常数项c 的关系对于二次函数c bx ax y ++=2,当0=x 时,c y =,函数图象与y 轴的交点为()c ,0:（1）当0>c 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即交于y 轴的正半轴; （2）当0=c 时,抛物线经过坐标原点;（3）当0<c 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即交于y 轴的负半轴.上述结论反之亦成立.例9. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则【 】yxO（A ）0,0,0<<<c b a （B ）0,0,0><<c b a （C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0><>c b a 例10. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论: ①0<abc ; ②02=+b a ; ③042>-ac b ;④方程02=++c bx ax 的两个实数根 分别为3,121=-=x x ; ⑤024>++c b a .例11. 已知函数21x y =与函数3212+-=x y 的图象如图所示.若21y y >,则自变量x 的取值范围是____________.yxO二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax对于二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）,如果其图象与x 轴有交点,那么交点的纵坐标等于零,于是交点的横坐标就是对应的一元二次方程02=++c bx ax 的实数根.因此,二次函数的图象与x 轴的相交情况,可以转化为二次方程实数根的情况.而一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式,故我们可以用根的判别式来判断二次函数的图象与x 轴的相交情况,具体如下:（1）当042>-=∆ac b 时,抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴有两个交点,反过来亦成立,此时一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个不相等的实数根;（2）当042=-=∆ac b 时,抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）,反过来亦成立,此时一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个相等的实数根;（3）当042<-=∆ac b 时,抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴没有交点,反过来亦成立,此时一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）没有实数根.因此,二次函数02=++=bx ax y 与x 轴有交点的条件是△≥0.例12. 若抛物线42-+-=mx x y 与x 轴的交点只有一个,则m 的值是_______.x100100mO例13. 抛物线442-+-=x x y 与坐标轴的交点个数为【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3例14. 二次函数m x x y -+=2的部分图象如图,则一元二次方02=-+m x x 的解为___________.六、二次函数的最值我们已经知道,把二次函数化为顶点式后,可以很快确定函数的最值以及取得最值的条件:顶点坐标为()k h ,,最值为k ,取得最值的条件为h x =.我们还知道,对于二次函数,当自变量的取值范围为全体实数时,函数的最值在顶点处取得.如果自变量是指定的取值范围,则函数的最值不一定在顶点处取得:当顶点的横坐标在自变量的取值范围之内时,函数的最值在顶点处取得;当顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时,函数的最值并不在顶点处取得,此时,我们应画出自变量取值范围之内的函数图象,结合函数的图象确定其最值以及取得最值的条件.例15. 某商场以50元的价格购进一种商品, 销售中发现这种商品每天的销售量m （件） 与每件的销售价格x （元）满足一次函数关 系,其图象如图所示,则该商场每天销售这种商 品的利润y （元）与每件的销售价格x （元） 之间的函数关系式为___________________.变式1 当=x _________时,该商场每天销售这种商品的利润y （元）最大. 变式2 若规定这种商品的销售价格x （元）不低于80元,且不高于95元,则当=x _________时,该商场每天销售这种商品的利润y （元）最大. 七、二次函数与几何图形的面积例16. 如图所示,已知直线AB 经过x 轴上的点A （2 , 0）,且与抛物线2ax y =相交于B 、C 两点,已知B 点的坐标为（1 , 1）. （1）求直线和抛物线的表达式;（2）如果D 为抛物线上的一点,使得△AOD 与△OBC 的面积相等,求D 点的坐标.yxABCO解:（1）把B （1 , 1）代入2ax y =得:112=⨯a 解之得:1=a ∴2x y =设直线AB 的解析式为b kx y +=把A （2 , 0）、B （1 , 1）分别代入b kx y +=得:⎩⎨⎧=+=+102b k b k 解之得:⎩⎨⎧=-=21b k∴2+-=x y ;（2）解方程组⎩⎨⎧+-==22x y x y 得:⎩⎨⎧=-=4211y x ,⎩⎨⎧==1122y x ∴()4,2-C ∵A （2 , 0） ∴2=OA∴AOB AOC OBC S S S ∆∆∆-=312214221=⨯⨯-⨯⨯=设点D 的纵坐标为m ,则有3221=⨯⨯=∆m S AOD ,3=m 令32==x m ,则3±=x ∴点D 的坐标为()3,3或()3,3-.八、二次函数与一元二次方程之间的关系在本章的学习中,有两种数学思想贯穿始终:数形结合思想以及函数与方程思想.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,令0=y ,则得到与其对应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,研究二次函数的图象与x 轴的相交情况可以转化为研究方程实数解的情况:（1）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,那么一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数解,且交点的横坐标就是方程的实数解.①若二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点,则一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,此时042>-=∆ac b ;如图1、图2所示,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点,那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根,这两个实数根等于A 、B 两点的横坐标,即B A x x x x ==21,,此时042>-=∆ac b .②若二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点,则一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,此时042=-=∆ac b .抛物线与x 轴只有一个交点时,该交点就是抛物线的顶点.图 3如图3、图4所示,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点A ,点A 是抛物线的顶点,那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,这两个相等的实数根等于点A 的横坐标,即A x x x ==21,此时042=-=∆ac b .（2）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点,那么一元二次方程()002≠=++a c bx ax 没有实数根,此时042<-=∆ac b .yx图 5O yx图 6O如图5、图6所示,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点,那么一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,此时042<-=∆ac b .反过来,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的实数解的情况也说明了二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的相交情况.根据ac b 42-=∆的值的符号,在不画图的情况下,可以确定抛物线与x 轴的交点个数.抛物线的对称轴的确定对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,其图象的对称轴公式为直线ab x 2-=. 根据上面的对称轴公式,给出二次函数的一般式,我们可以确定其图象的对称轴.除此之外,还有下面的结论:如果抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点,那么抛物线的对称轴为直线2BA x x x +=.yx图 3O九、二次函数与一元二次不等式之间的关系一元二次不等式()002≠>++a c bx ax 的解集,从“形”的角度看,就是二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围:（1）当04,02>-=∆>ac b a 时,如图1所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两个不同的交点A ,B ,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为A x x <或B x x >.图 2（2）当04,02=-=∆>ac b a 时,如图2所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,抛物线与x 轴只有一个交点（抛物线的顶点在x 轴上）,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为A x x ≠. （3）当04,02<-=∆>ac b a 时,如图3 所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,抛物线与x 轴没有交点,那么 一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为全体实数.一元二次不等式()002≠<++a c bx ax 的解集,从“形”的角度看,就是二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范围:（1）当04,02>-=∆>ac b a 时,如图4所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两个不同的交点A ,B ,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为B A x x x <<.图 5（2）当04,02=-=∆>ac b a 时,如图5所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,抛物线与x 轴只有一个交点（抛物线的顶点在x 轴上）,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为无解（也叫空集）.（3）当04,02<-=∆>ac b a 时,如图6所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,抛物线与x 轴没有交点,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集 为无解（也叫空集）.yx图 6O在上面我们分别讨论了当0>a 时,一元二次不等式()002≠>++a c bx ax 和()002≠<++a c bx ax 在不同情形下的解集的情况.下面,我们继续讨论当0<a 时,一元二次不等式()002≠>++a c bx ax 和()002≠<++a c bx ax 在不同情形下的解集的情况,讨论的结果由同学们完成.（1）当04,02>-=∆<ac b a 时,如图7所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两个不同的交点A ,B ,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为____________.图 7（2）04,02=-=∆<ac b a 时,如图8所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,抛物线与x 轴只有一个交点（抛物线的顶点在x 轴上）,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为____________.（3）当04,02<-=∆<ac b a 时,如图9所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,抛物线与x 轴没有交点,那么一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为____________.yx图 9O（4）当04,02>-=∆<ac b a 时,如图10所示,此时一元二次方程02=++c bx ax有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两个不同的交点A ,B ,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为____________.图 10（5）04,02=-=∆<ac b a 时,如图11所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,抛物线与x 轴只有一个交点（抛物线的顶点在x 轴上）,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为____________.（6）当04,02<-=∆<ac b a 时,如图12所示,此时一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,抛物线与x 轴没有交点,那么一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为____________.yx图 12O可见,在借助于二次函数的图象求解一元二次不等式时,同学们应该学会看图,切不可去死记硬背上面的讨论结果. 作业题1. 已知二次函数的图象如图13所示,则:（1）这个二次函数的表达式是_______________; （2）当=x ________时,3=y ;（3）当x 的取值范围是____________时,0>y .图 13yx图 1431O2. 二次函数322--=x x y 的图象如图14所示,则当函数值0<y 时,x 的取值范围是【 】（A ）1-<x （B ）3>x （C ）31<<-x （D ）1-<x 或3>x3. 在平面直角坐标系中,二次函数x x y 421+-=和一次函数x y 22=的图象如图15所示,那么不等式x x x 242>+-的解集是【 】 （A ）0<x （B ）40<<x （C ）20<<x （D ）42<<x4. 如图16所示,抛物线c ax y +=2与直线n mx y +=交于()()q B p A ,3,,1-两点,则第21页 关于x 的不等式n c mx ax <+-2的解集为【 】（A ）1->x （B ）3<x（C ）31<<-x （D ）3-<x 或1>x yx图 16A BO5. 已知二次函数c bx x y ++-=2与一次函数n mx y +=的图象交于点()4,2-A , ()2,6-B ,则关于x 的方程n mx c bx x +=++-2的解是_________.6. 已知抛物线2x y =与直线32+-=x y 如图所示.（1）求交点A 、B 的坐标;（2）求△AOB 的面积;（3）直接写出不等式322+-<x x 的解集. yxBAO。
《二次函数》知识点梳理
《二次函数》知识点梳理一、二次函数的定义、图像和性质1. 定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0），那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.2. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：【典型例题】当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值.解析：先求出当k分别取-1，1，2时对应的函数，再根据函数的性质讨论最大值.（1）当k=1时，函数y=-4x+4为一次函数，无最值.（2）当k=2时，函数y=x2-4x+3为二次函数且图象开口向上，无最大值.（3）当k=-1时，函数y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8为二次函数且图象开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，8），所以当x=-1时，y最大值=8.点评：本题考查一次函数和二次函数的基本性质，熟知函数的性质是求最值的关键.二、二次函数与一元二次方程的关系函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：注意点：二次函数图象与x轴的交点的个数由△=b2-4ac 的值来确定.（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时△=b2-4ac>0（a≠0），则方程有两个不相等实根x1，2=■.（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时△=b2-4ac=0，则方程有两个相等实根x1=x2=-■（3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时△=b2-4ac<0，则方程没有实根.【典型例题】已知：二次函数y=（2m-1）x2-（5m+3）x+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，二次函数有最大值-■.解析：（1）∵△=[-（5m+3）]2-4（2m-1）（3m+5）=m2+2m+29>0，∴当m≠■时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）据题意，得■<0，则-■<m<■；（3）据题意，得-（5m+3）=0；则m=-■；（4）据题意，得■=-■，化简，得m2-8m+34=0，此方程无实数根，则不存在.三、二次函数解析式的求法与一次函数和反比例函数类似，我们也是用待定系数法来求二次函数的关系式，不过我们要注意根据已知条件选择合适的关系式的设法，可分三种情况：（1）设一般式y=ax2+bx+c（a≠0）：如果已知抛物线上三点的坐标或三组x，y的对应值，可设所求二次函数为y=ax2+bx+c（a≠0），将已知条件带入关系式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组的值，求出a，b，c的值，关系式便可得出.（2）设顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）：如果已知对称轴和最大值（或最小值）或顶点坐标，可设所求二次函数y=a （x-h）2+k（a≠0），将已知条件代入，求出待定系数a，从而求得函数关系式，最后要注意，把关系式化成一般形式.（3）设交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）：如果已知或较容易求得抛物线与x轴的交点坐标（x1，0）和（x2，0）及另一点的坐标或一组x，y的对应值，可设所求函数为y=a （x-x1）（x-x2），将另一点的坐标或一组的x，y对应值代入，求出待定系数a，进而得到函数关系式，最后也要注意将其化为一般形式.【典型例题】已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+■在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值.解析：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x=1，则-■=1，∴t=-■.∴y=-■x2+x+■.（2）∵二次函数图象必经过A点，∴m=-■×（-3）2+（-3）+■=-6.又∵一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴-3k+6=-6，∴k=4.四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：第一步，设自变量；第二步，建立函数解析式；第三步，确定自变量取值范围；第四步，根据顶点坐标公式或配方法求出最值（在自变量的取值范围内）.【典型例题】铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90.（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式.（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？解析：（1）y=w?x=（10x+90）x=10x2+90x（x为正整数）（2）设前x个月的利润和等于1620万元，10x2+90x=1620即：x2+9x-162=0得x=■x1=9，x2=-18（舍去），所以前9个月的利润和等于1620万元.。
二次函数知识点梳理
二次函数的基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律概括成八个字“左加右减，上加下减。
”“左右变化是一个人，上下变化是一家人。
” 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点梳理
初三年级数学—二次函数的基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少。
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二次函数de 基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数de 概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）de 函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数de 定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++de 结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x de 二次式，x de 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数de 基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =de 性质： a de 绝对值越大，抛物线de 开口越小。
2. 2y ax c =+de 性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-de 性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+de 性质：三、二次函数图象de 平移在原有函数de 基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++de 比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同de 表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象de 画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取de 五点为：顶点、与y 轴de 交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称de 点()2h c ，、与x 轴de 交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称de 点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴de 交点，与y 轴de 交点.六、二次函数2y ax bx c =++de 性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x de 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x de 增大而增大；当2bx a=-时，y有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x de 增大而增大；当2b x a >-时，y 随x de 增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式de 表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点de 横坐标）.注意：任何二次函数de 解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有de 二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线de 解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式de 这三种形式可以互化.八、二次函数de 图象与各项系数之间de 关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a de 值越大，开口越小，反之a de 值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a de 值越小，开口越小，反之a de 值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口de 大小和方向，a de 正负决定开口方向，a de 大小决定开口de 大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定de 前提下，b 决定了抛物线de 对称轴． ⑴ 在0a >de 前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线de 对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线de 对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴de 右侧． ⑵ 在0a <de 前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线de 对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线de 对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴de 左侧． 总结起来，在a 确定de 前提下，b 决定了抛物线对称轴de 位置．ab de 符号de 判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴de 右侧则0<ab ，概括de 说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴de 交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点de 纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴de 交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点de 纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴de 交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点de 纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点de 位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定de ． 二次函数解析式de 确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数de 解析式必须根据题目de 特点，选择适当de 形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点de 坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴de 两个交点de 横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同de 两点，常选用顶点式．九、二次函数图象de 对称二次函数图象de 对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到de 解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到de 解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到de 解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到de 解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到de 解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到de 解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到de 解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到de 解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到de 解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称de 性质，显然无论作何种对称变换，抛物线de 形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线de 对称抛物线de 表达式时，可以依据题意或方便运算de 原则，选择合适de 形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知de 抛物线）de 顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线de 顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线de 表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程de 关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时de 特殊情况. 图象与x 轴de 交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中de 12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠de 两根．这两点间de距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴de 上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴de 下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++de 图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数de 图象与x 轴de 交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数de 最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象de 位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c de 符号，或由二次函数中a ，b ，c de 符号判断图象de 位置，要数形结合；⑷ 二次函数de 图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称de 点坐标，或已知与x 轴de 一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关de 还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x de 二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间de 内在联系：十一、函数de 应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少。