河北正定中学2017届高三数学上学期第三次月考(期中)试题理(扫描版)

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【数学】河北省石家庄市2017届高三上学期第三次阶段测试数学理试题Word版含答案

【关键字】数学数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（）A．B．C．D．2.若，则是（）A．2 B．C．D．13.设等比数列中，每项均是正数，且，则（）A．20 B．-20 C．-4 D．-54.若向量满足，，，则与的夹角为（）A．B． C. D．5.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C. 充要条件D．既不充分也不必要条件6.若程序框图如图示，则该程序运行后输出的值为（）A．5 B．6 C.7 D．87.已知直线平分圆，若均为正数，则的最小值是（）A．25 B．12 C. D．98.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个的单位长度C.向右平移个的单位长度D．向左平移个单位长度9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B． C. D．10.已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点，作圆的两条切线且切点分别为，当最大时，的值为（）A．2 B． C. D．311.如图，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C. D．12.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A．B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若的常数项是15，则展开式中的系数为．14.某宾馆安排五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则不同的安排方法有．15.已知边长为的菱形中，，沿对角边折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为．16.已知数列满足，，，则使该数列的前项和不小于2016的最小自然数等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在中，角的对边分别为，.（1）求的大小；（2）若，求的面积的最大值.18. （本小题满分12分）设数列，，，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列数列满足，求数列的前项和.19. （本小题满分12分）如图，梯形，，过点作，，垂足分别为，且.现将沿，沿翻折，使得点重合，记为，且点在面的射影在线段上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设，是否存在，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，直线l 与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,F H ，O 是坐标原点，且3445OF OH ≤≤时，求k 的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知()()()11xF x eax a x =---，a R ∈.（Ⅰ）讨论()()()1f x F x a x =+-的单调性；（Ⅱ）若有多于两个整数()1,2,3,,3i x i n n =≥…，使得()0i F x <成立，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()2,1，求PA PB -的值.试卷答案一、选择题1-5:DCBCB 6-10:ACCBB 11、12：DB二、填空题13.-20 14.114 15.28π 16.7三、解答题17.（1）因为cos cos cos sin sin sin C A BC A B+=+ 所以cos sin cos sin sin cos sin cos C A C B C A C B +=+ 即cos sin sin cos sin cos cos sin C A C A C B C B -=- 得()()sin sin A C C B -=-224a b ab +-=.24ab ab -≤，4ab ≤∴（当且仅当2a b ==取等号）11sin 422ABC S ab C ∆=≤⨯=18.解析：（1）由132n n a a +=-，2n ≥可得()1131n n a a +-=-，2n ≥，{}1n a -是首项为2，3q =的等比数列，2231n n a -=⨯+，2n ≥，则23,1,231, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯+≥⎩（2）由13b =，2132n n n a b --==，2n ≥及1,1,2, 2.n n c n n =⎧=⎨-≥⎩，可得()23,123,2n n n n c b n n -=⎧=⎨-⨯≥⎩. ()()01232303132333+23n n n T n n --=+⨯+⨯+⨯++--….① ()()2123213303132333+23n n n T n n --=+⨯+⨯+⨯++--….②①-②：()122126033323n n n T n ---=-+⨯+++--…12515344n n n T --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.19.（Ⅰ）证明：由已知，四边形ABCD 是边长为2的正方形，因为DA AF ⊥，DA AE ⊥，AEAF A =，DA ⊥面ABE ，所以平面ABCD ⊥平面ABE ，又CB AB ⊥，所以CB AE ⊥.又点B 在面AEC 的射影在线段EC 上，设为H ，则AE BH ⊥，所以AE ⊥面BCE ，又BE ⊂面BCE ，所以AE EB ⊥.（Ⅱ）以A 为原点，垂直于平面ABCD 的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AD 为z 轴，如图所示建立空间直角坐标系A xyz -，由已知AF AEBG BEλ==，假设存在λ，使二面角B AC E --设(),,0E a b ，则(),,0AE a b =，()0,2,2AC =. 法一：设平面AEC 的一个法向量(),,n x y z =，则00AE n AC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0220ax by y z +=⎧⎨+=⎩，解得,.b x y a z y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩令y a =，得(),,n b a a =--是平面EAC 的一个法向量. 又平面BAC 的一个法向量为()1,0,0m =，由2cos ,2b m n m n m na <>===，化简得22a b =①，又因为AE ⊥平面BCE ，所以AE BE ⊥，所以0AE BE =，即()220a b b+-=②，联立①②，解得0b =（舍），1b =. 由AE =BE =AE BE =.所以当1λ=时，二面角B AC E --的余弦值为3. 法二：如图，作EM AB ⊥于M ，ENAC ⊥于N ，连接MN ，则MNE ∠为二面角B ACE --的平面角，由AF AEBG BE λ==，可得AE =，BE =，于是得到2221AM MN λλ=⇒=+，221ME λλ=+，所以tan 1ME MNE MN λλ∠====. 20.试题解析：（1）由题可知：MQ 中线段AP 的垂直平分线，所以2CP QC QP QC QA CA =+=+=>=，所以点Q 的轨迹是以点,C A 为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，故点Q 的轨迹方程是2212x y +=. （2）设直线:l y kx b =+，()11,F x y ，()22,H x y ，直线l 与圆221x y +=相切2211b k =⇒=+联立()2222211242202x y k x kbx b y kx b ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩122412kbx x k +=-+，21222212b x x k -=+，所以22231411412532k k k +≤≤⇔≤≤+k k ⇒≤≤⇒≤≤k ≤≤为所求. 21.解析：（Ⅰ）因()()()()11xf x F x a x eax =+-=-，()()1x f x e ax a =+-′.所以，当0a =时，()0f x <′在R 上恒成立，即()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a >时，()0f x >′的解为1|1x x a ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，即()f x 在11,a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()0f x >′的解为1|1x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭，即()f x 在1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）方法一：若有多于两个整数()1,2i x i =，使得()()i i f x g x <成立，则()1x x a xe x e -+<有两个以上整数解.因为()11x y x e =-+，当0x >时，10x e ->，()110x x e -+>；当0x <时，10x e -<，()110x x e -+>，所以，1xx e a xe x <-+有两个以上整数解.设()1xx e g x xe x =-+，则()()()221x x x e x e g x xe x --=-+′，令()2xh x x e =--，则()10xh x e =--<′，又()010h =>，()110h e =-<，所以()00,1x ∃∈，使得()00h x =，()g x ∴在()0,x -∞为增函数，在()0,x +∞上为减函数，1x x e a xe x <-+∴有两个以上整数解的充要条件是()1121a g e <-=-，或()22221e a g e <=-，解得2221e a e <-.方法二：()()()()()11011xx F x eax a x e ax a x =---<⇔-<-设()()1g x a x =-，问题转化为()()i i f x g x <，有三个或三个以上整数i x 的解()1,2,3,,3i n n =≥…，当0a =时，()xf x e =-，()0g x =，此时()()f x g x <的解集为R ，此情况成立；当0a <时，()()010f g a =-<=-，()()()1110f e a g =-<=，()()()22212f e a g a =-<=.可见()()f x g x <的解集不仅仅两个整数解，此情况成立；当0a >时，由（Ⅰ）可知()f x 的极值点为11a-，又()01f =-，()10g =，()111a af ea a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而且，()f x 仅有一个零点1a.若101a<≤，即1a ≥，由（Ⅰ）知()f x 的单调性，以及()1110a af e a a -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭.有()f x 与()g x 的草图如下：因1110a-<-<，所以在(],1-∞-上()f x 单调递减，()g x 单调递增，所以()()min 11a f x f e+=-=-. ()()min 12g x g a =-=-，所以在(],1-∞-上()()f x g x >恒成立.又()()010f g a =->=-，在[)1,x ∈+∞上，又1a ≥，所以1x e >，10ax -≥，所以()()()()()11111xf x eax ax a x a a x g x =->-=-+-≥-=所以在1a ≥时，在R 上没有使得()()f x g x <的整数解存在；若11a>，即01a <<时，()f x 与()g x 的草图如下：因为()()010f a g =-<-=，()()()1101f e a g =-<=，()()11f g -<-或()()22f g <成立即可，解得22021e a e <<-.综上所述：2221e a e <-.22.（1）直线l 的普通方程为：1y x =-，4sin 4cos 4πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以24sin 4cos ρρθρθ=+. 所以曲线C 的直角坐标方程为22440x y x y +--=（或写成()()22228x y -+-=）.（2）点()2,1P 在直线l 上，且在圆C内，把2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22440x y x y +--=，得27t -0=，设两个实根为12,t t，则12t t +1270t t =-<，即12,t t 异号.所以1212PA PB t t t t -=-=+=此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

河北省正定中学高三数学上学期第三次月考(期中)试题理(扫描版)

高三质检三数学（理科）试题参考答案一、选择题答案二、填空题答案：13.25-14. [)∞+-，115.3203410x y x y --=-+=或 16.三、解答题答案17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换，意在考查学生的基本的运算能力、综合分析问题解决问题的能力以及转化与化归的数学思想．17.【解析】（1）C A B C A sin sin sin sin sin 222-=+,ac b c a -=+∴222 ……………………2分2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴==-=- ………………………………………………………………4分(0,)B π∈,23B π∴= ………………………………………………………………………………5分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD=∠1sin 1sin 4BD B BAD AD ∴∠== …………………………………………………………………7分217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅= …………………………………………9分22715sin 1cos 1()88BAC BAC ∴∠=-∠=-= (10)分18.【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，意在考查学生的审题能力以及数据处理能力. 18．【解析】（1）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .………………………………………6分（2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. ………………………………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ；81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P . …………………………………………10分（每答对两个，加1分）∴X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 6P4141 81 245 121 241 241于是，2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. …………………………12分………………………………………………………………………………………………………11分19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法，意在考查数形结合思想，空间想象能力，以及运算求解能力.19.【解析】(1)由已知得BD AC ⊥，CD AD =,又由CF AE =得CDCFAD AE =，故AC ∥EF ，因此HD EF ⊥，从而EF ⊥H D '.由65==AC AB ，得==BO DO 422=-AO AB .…………2分由AC ∥EF 得41==AD AE DO OH .所以1=OH ,3'==DH H D .…………………………………3分于是2'2222'1013O D OH H D ==+=+,故OH H D ⊥'.又EF H D ⊥',而H EF OH = , 所以D H '⊥平面ABCD . ……………………………………………………………………………4分(2)如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则By()0,0,0H ，()0,1,3--A ，()0,6,0-B ，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.………………………………………………………………………………………6分设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，可取()4,3,5m =- (8)分设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，可取()0,3,1n =-………………………………………10分于是2557105014cos -=⨯-=⋅>=<n m n m n m,， (11)分设二面角的大小为θ，sin θ=.因此二面角B D A C '--.……………12分20.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和，，以及数列单调性的判定等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．20.【解析】（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得1a t =．……………………………………………1分当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，①∴11(1)n n t S ta t ---=-+，②①-②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，数列{}n a 的各项均不为零∴1nn a t a -=（2n ≥）， ∴{}n a 是等比数列，且公比是t ，∴n n a t =． ………………………………………………3分0t ≠，1t ≠∴2(1)()1n n n n t t b t t t -=+⋅-，即212121n n n n t t t b t +++-=-，……………………………4分若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++，故23242(21)(2)(21)t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =， (5)分再将12t =代入n b ，得1()2n b =，由112n n b b +=，知{}n b 为等比数列，∴12t =．……………………6分（2）由12t =，知1()2n n a =，∴14()12n n c =+，……………………………………………………7分∴11(1)224112n n T -=⨯-442n n n +=+-，………………………………………………………………9分由不等式12274nkn n T ≥-+-恒成立，得2732nn k -≥恒成立，设272n n n d -=，由1n nd d +-11252729222n n n n n n ++---+=-=，………………………………………10分∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，而4116d =，5332d =，∴45d d <， ∴3332k ≥，∴132k ≥．………………………………………………………………………………12分21.【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力.21.【解析】（1）：设(,0)F c ，由FAeOA OF 311=+，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又 2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………4分(2)设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，………………………………………………………………………6分由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B .由（1）知)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k k k k BF .……………………………………………………8分由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以-034123449222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=.……………9分因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .……………………………………10分在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .……………………………………………………11分所以直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ .…………………………………………12分22.【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式、不等式恒成立等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．22.【解析】（1）证明：2()cos 12x f x x =+-)0(≥x ，则x x x f sin )('-=，……………………1分设()sin x x x ϕ=-，则'()1cos x x ϕ=-， ………………………………………………………2分当0≥x 时，'()1cos 0x x ϕ=-≥，即x x x f sin )('-=为增函数，所以0)0(')('=≥f x f ，∴)(x f 在()+∞,0时为增函数，所以0)0()(=≥f x f ．…………………………………………4分（2）解法一：由（1）知0≥x 时，x x ≤sin ，12cos 2+-≥x x ，所以2cos sin 122+-≥++x x x x ，设2()12xx G x e x =---，则'()1x G x e x =--， (5)分设()1x g x e x =--，则'()1x g x e =-，……………………………………………………………6分当0≥x 时'()10xg x e =-≥，所以()1xg x e x =--为增函数，所以()(0)0g x g ≥=，所以()G x 为增函数，所以()(0)0G x G ≥=，…………………………7分所以2cos sin +-≥x x e x 对任意的0≥x 恒成立.…………………………………………………8分又0≥x ，1≥a 时，x ax e e ≥，所以1≥a 时2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立.……10分当1<a 时，设2cos sin )(-+-=x x e x h ax ，则x x ae x h ax sin cos )('--=，…………………11分01)0('<-=a h ，所以存在实数00>x ，使得任意),0(0x x ∈，均有0)('<x h ，所以)(x h 在),0(0x为减函数，所以在),0(0x x ∈时0)0()(=<h x h ，所以1<a 时不符合题意.综上，实数a 的取值范围为),1[+∞.……………………………………………………………………12分（2）解法二：因为sin cos axe x x ≥-+2等价于ln(sin cos )ax x x ≥-+2 (6)分设()ln(sin cos )g x ax x x =--+2，则sin cos ()sin cos x xg x a x x +'=--+2 (7)分可求sin cos [,]sin cos x xx x +∈--+112， ………………………………………………………………9分所以当a ≥1时，()g x '≥0恒成立，()g x 在[,)+∞0是增函数，所以()()g x g ≥=00，即ln(sin cos )ax x x ≥-+2，即sin cos ax e x x ≥-+2所以a ≥1时，sin cos ax e x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立．………………………………………10分当a <1时，一定存在x >00，满足在(,)x 00时，()g x '<0，所以()g x 在(,)x 00是减函数，此时一定有()()g x g <=00，即ln(sin cos )ax x x <-+2，即sin cos axe x x <-+2，不符合题意，故a <1不能满足题意，综上所述，a ≥1时，sin cos axe x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立． (12)分选择题解析： 1.【解析】i iiz 2113+=-+=，i z 21-=∴.z 在复平面内的对应点位于第四象限.故选D. 2.【解析】2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或，若P Q R =，(2,3]P Q =，由P Q R =，(2,3]P Q =，所以13{|}Q x x =-≤≤，∴13-，是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得1335a b a b -=-+=-∴+=-，．3.【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“*n N ∀∈，x R ∃∈，使得2n x <”的否定是“*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥”．故选C ． 4.【解析】由已知可得2206=+a a ，又{}n a 是等差数列，所以206251a a a a +=+，∴数列的前25项和25225)(25125=⨯+=a a S ，所以数列的前25项和为25.故选C.5.【解析】(,)4P t π在sin(2)3y x π=-图象上，21342sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∴ππt ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4πP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴21,4's P π，又'P 位于函数sin 2y x =的图象上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-∴s 42sin π212cos 22sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=s s π，322ππ+=∴k s 或32ππ-k ()Z k ∈，0>s ，6min π=∴s .故选A.6.【解析】()()221221sin 3sin 2121x x xf x x x +-=++=-+++，()()2223sin 3sin 2112xx xf x x x --=-+-=--++，且()()4f x f x +-=，所以()f x 是以点()0,2为对称中心，所以其最大值与最小值的和4m n +=.故选D.7.【解析】由()(2)f x f x =-知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，则'()0f x >，所以在1x <时，()f x 递增，(3)(23)(1)f f f =-=-，又11012-<<<，所以 1(1)(0)()2f f f -<<，即c a b <<．故选B ．8.【解析】以C 为坐标原点，CA 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()0,1A ，()10，B ，设()y x P ,，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0100y x y x 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,1AN ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,21y x MP ,4121++-=⋅y x MP AN ，令4121++-=y x t ，结合线性规划知识，则2122-+=t x y ，当直线4121++-=y x t 经过点()0,1A 时，MP AN ⋅有最小值，将()0,1A 代入得43-=t ，当直线4121++-=y x t 经过点()10，B 时，MP AN ⋅有最大值，将()10，B 代入得43=t ，故答案为A ． 9.【解析】由已知得211cos 21()cos 2log 222x f x x x +=+--2cos2log x x =-，令()0f x =，即2cos2log x x =，在同一坐标系中画出函数cos 2y x =和2log y x =的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数()f x 的零点个数为2，故选B ．x–1–2–3–41234–1–2–3–41234OO ABS'CO 1（第10题图）10.【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥ABCD S -，设x BO =1，则()2212x x =+-，解得45=x ，∴该多面体的外接球半径=+==2121B O OO OB R 164116251=+，所以其表面积为44142ππ==R S ，故选C. 11.【解析】因为3BD DC =BD BC 34=⇒，所以E E E n n n 34+=+=E E n n 3431+-=，设n n mE C E A =，E m E m E n n n 3431+-=∴，又因为11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+， ()⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+--=∴+ma m a n n 342331411231+=+n n a a ， ∴以113(1)n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +表示首项为2，公比为3的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，∴1615=a ,故选D ．12.【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其“伴随点”为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的“伴随点”为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为2222(,)0y xf x y x y -=++与2222(,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y xf x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其“伴随点”为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线b kx y +=上任一点),(y x P 的“伴随点”为'2222(,)y x P x y x y-++，∴'P 的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选B. 填空题解析：13.【解析】5191()(),()()2222f f f f -=-=，∴59()()22f f -=111123()()222255f f a a ⇒-=⇒-+=-⇒=∴32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=- 14.【解析】设阴影部分的面积为S ,则dx x x S )(012-=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3233132x x 313132|10=-=，又正方形面积为1，31=∴a ，∴()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)31(31()31(log 3x x x x f x ）)(x f ∴的值域为[)∞+-，115.【解析】 x x x f 2cos 22sin 23)(+-=',123)4(=-='πf ,则1=a ，点P 的坐标为)1,1(，若P 为切点，23x y ='，曲线3y x =在点P 处切线的斜率为3，切线方程为)1(31-=-x y ，即023=--y x ；若P 不为切点，曲线3y x =的切线的切点为),(n m ，曲线3y x =的切线的斜率 23m k =，则2311m m n =--，又3m n =，则21-=m ，81-=n ，得出切线方程)21(4381+=+x y ，即0143=+-y x .∴过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为3203410x y x y --=-+=或.16.【解析】设()()()1111,,,,,y C x y A x y B x --，显然12,x x x x ≠≠．∵点,A C 在双曲线上，∴221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22212221y y b x x a -=-， ∴22211212BC 222111=AC y y y y y y b k k k k x x x x x x a -+-===-+- . 由()1212121222ln ln ln y k k k k k k k k =++=+，设12t k k =，则2ln y t t =+，∴求导得221y t t '=-+，由220t y t-'==得2t =． ∴2ln y t t =+在()2,0单调递减，在()+∞,2单调递增，∴2t =时即122k k =时2ln y t t=+取最小值，∴222b a =，∴e ==。

河北省石家庄市正定中学2017届高三上学期期中数学试卷

2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}，Q={x|x2+ax+b≤0}，若P∪Q=R，则P∩Q=（2，3]，则a+b=（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．13．命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x4．已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{a n}的前25项之和为（）A．0 B．C．25 D．505．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为6．若函数f（x）=1++sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．1 C．2 D．47．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，]9．函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．π C．π D．12π11．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，为边AC上的一列点，满足，其中实数列{a n}中，a n＞0，a1=1，则a5=（）A．46 B．30 C．242 D．16112．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；③单位圆的“伴随曲线”是它自身；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．14．如图，在正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y=，y=x2（0≤x≤1）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f（x）=的值域为．15．已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为．16．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin∠BAC的值．18．某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．21．设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．22．设f（x）=cosx+﹣1．（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数除法法则，算出z=的值，结合共轭复数的定义找到的值，再根据复数的几何意义，不难找到在复平面内的对应点所在的象限．【解答】解：∵z1=3+i，z2=1﹣i∴复数z===（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=1﹣2i，对应复平面内的点P（1，﹣2），为第四象限内的点故选D2．已知集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}，Q={x|x2+ax+b≤0}，若P∪Q=R，则P∩Q=（2，3]，则a+b=（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P={y|y＜﹣1或y＞2}，Q={x|﹣1≤x≤3}，从而得到﹣1，3是方程x2+ax+b=0的两根，由此能求出a+b的值．【解答】解：集合P={y|y2﹣y﹣2＞0}={y|y＜﹣1或y＞2}，Q={x|x2+ax+b≤0}，P∪Q=R，P∩Q=（2，3]，∴Q={x|﹣1≤x≤3}，∴﹣1，3是方程x2+ax+b=0的两根，由根与系数关系得﹣a=﹣1+3，b=﹣3，解得a+b=﹣5．故选：A．3．命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x【考点】命题的否定．【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可【解答】解：“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是：∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x，故选：D．4．已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{a n}的前25项之和为（）A．0 B．C．25 D．50【考点】数列与函数的综合．【分析】由函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，平移可得y=f（x）的图象关于x=1对称，由题意可得a6+a20=2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+∞）上单调，可得y=f（x）的图象关于x=1对称，由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），可得a6+a20=2，又{a n}是等差数列，所以a1+a25=a6+a20=2，可得数列的前25项和，所以数列的前25项和为25．故选：C．5．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．6．若函数f（x）=1++sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】证明f（x）+f（﹣x）=4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，即可求出其最大值与最小值的和．【解答】解：f（x）=1++sinx=3﹣+sinx，f（﹣x）=3﹣+sin（﹣x）=3﹣﹣sinx∴f（x）+f（﹣x）=4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，所以其最大值与最小值的和m+n=4．故选D．7．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．8．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[，]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．【解答】解：以C为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则且=（﹣1，），=（x﹣，y﹣），则•=﹣x+y+，令t=﹣x+y+，结合线性规划知识，则y=2x+2t﹣当直线t=﹣x+y+经过点A（1，0）时，•有最小值，将（1，0）代入得t=﹣，当直线t=﹣x+y+经过点B时，•有最大值，将（0，1）代入得t=，则•的取值范围是[﹣，]，故选：A9．函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题．【解答】解由已知得=cos2x﹣log2|x|，令f（x）=0，即cos2x=log2|x|，在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数f（x）的零点个数为2，故选B．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．π C．π D．12π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选：C．11．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，为边AC上的一列点，满足，其中实数列{a n}中，a n＞0，a1=1，则a5=（）A．46 B．30 C．242 D．161【考点】数列递推式．=3a n+2，说明数列{a n+1}表示首项为2，公比为3【分析】利用向量关系推出a n+1的等比数列，求出通项公式，即可得到结果．【解答】解：因为，所以=，设m=，∴，又因为，∴a n+1=3a n+2，∴a n+1+!=3（a n+1），又a1+1=2，所以数列{a n+1}表示首项为2，公比为3的等比数列，所以a n+1=2•3n﹣1，∴a5=161，故选：D．12．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；③单位圆的“伴随曲线”是它自身；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用新定义，转化求解判断4个命题，是否满足新定义，推出结果即可．【解答】解：对于①，若令P（1，1），则其“伴随点”为，而的“伴随点”为（﹣1，﹣1），而不是P，故①错误；对于②，设曲线f（x，y）=0关于x轴对称，则f（x，﹣y）=0与方程f（x，y）=0表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于y轴对称，所以②正确；对于③，设单位圆上任一点的坐标为P（cosx，sinx），其“伴随点”为P'（sinx，﹣cosx）仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线y=kx+b上任一点P（x，y）的“伴随点”为，∴P′的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是﹣．【考点】分段函数的应用；周期函数．【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案为：﹣14．如图，在正方形OABC内，阴影部分是由两曲线y=，y=x2（0≤x≤1）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数f（x）=的值域为[﹣1，+∞）．【考点】几何概型．【分析】由定积分求阴影面积，由几何概型可得a，即可求出概率．【解答】解：由题意和定积分可得阴影部分面积：S=（﹣x2）dx=（﹣x3）=，∴由几何概型可得此点取自阴影部分的概率P=，即a=．x≥，log3x≥﹣1，x＜，，∴函数f（x）=的值域为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．15．已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把x=代入导函数即可求出a的值，然后由曲线的方程求出曲线的导函数，把x=1代入导函数即可求出切线的斜率，把x=1代入曲线方程中即可求出切点的纵坐标，进而得到切点的坐标，根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可．【解答】解：由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3﹣2sin2x+2cos2x，且由y=x3，得到y′=3x2，则a==3﹣2sin+2cos=1，把x=1代入y′=3x2中，解得切线斜率k=3，且把x=1代入y=x3中，解得y=1，所以点P的坐标为（1，1），若P为切点则由点斜式得，曲线上过P的切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y ﹣2=0．若P不为切点，则设切点为（m，n），切线斜率为3m2，则3m2=，n=m3，解得m=﹣，则切线方程为：3x﹣4y+1=0．故答案为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．16．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，设直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则当最小时，双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设C（x，y），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），显然x≠x1，x≠x2．利用平方差法推出斜率乘积，通过函数的导数求出函数的最小值，然后求解即可．【解答】解：设C（x，y），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），显然x≠x1，x≠x2．∵点A，C在双曲线上，∴，两式相减得，∴．由，设t=k1k2，则，∴求导得，由得t=2．∴在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴t=2时即k1k2=2时取最小值，∴，∴．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin∠BAC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简得到一个等式，再利用余弦定理求出cosB 的值，即可求出B的度数；（2）利用正弦定理可求sin∠BAD的值，利用倍角公式可求cos∠BAC，进而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BAC的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）在△ABC中，∵sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC，∴a2+c2=b2﹣ac，…∴cosB==﹣=﹣，…∵B∈（0，π），…∴B=．…（2）在△ABD中，由正弦定理：，∴sin∠BAD===，…∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣2×=，…∴sin∠BAC===．…18．某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n，建立方程组，即可求m与n的值；（2）确定学分X的可能取值，求出相应的概率，可得X的分布列与数学期望【解答】解：（1）由题意，，m＞n∴m=，n=；（2）学分X的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，则P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=+×=，P（X=4）=×=，P（X=5）==，P（X=6）=．X的分布列期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=．19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B﹣D′A ﹣C的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）证明：{a n}成等比数列；（2）设，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由S n=t（S n﹣a n+1）求出数列首项，且得到n≥2时，S n=t（S n﹣a n+1），与原递推式联立可得{a n}成等比数列；（2）由（1）求出{a n}的通项和前n项和S n，代入，由数列{b n}为等比数列，得，即可求得t值；（3）由（2）中的t值，可得数列{c n}的前n项和为T n，代入≥2n﹣7，分离参数k，在由数列的单调性求得最值得答案．【解答】（1）证明：由S n=t（S n﹣a n+1），当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1），得a1=t，当n≥2时，S n=t（S n﹣a n+1），即（1﹣t）S n=﹣ta n+t，（1﹣t）S n﹣1=﹣ta n﹣1+t，∴a n=ta n﹣1，故{a n}成等比数列；（2）由（1）知{a n}成等比数列且公比是t，∴，故，即，若数列{b n}是等比数列，则有，而故[t 3（2t +1）]2=（2t 2）•t 4（2t 2+t +1），解得，再将代入b n 得：．由知{b n }为等比数列，∴；（3）由，知，，∴，由不等式≥2n ﹣7对任意的n ∈N *恒成立，得，令，由，当n ≤4时，d n +1＞d n ，当n ≥4时，d n +1＜d n ，而，∴d 4＜d 5，则，得．21．设椭圆+=1（a ＞）的右焦点为F ，右顶点为A ．已知+=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意画出图形，把|OF |、|OA |、|FA |代入+=，转化为关于a 的方程，解方程求得a 值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l 的方程为y=k （x ﹣2），（k ≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B 的坐标，再写出MH 所在直线方程，求出H 的坐标，由BF ⊥HF ，得，整理得到M 的坐标与k 的关系，由∠MOA ≤∠MAO ，得到x 0≥1，转化为关于k 的不等式求得k 的范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a [a 2﹣（a 2﹣3）]=3a （a 2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l 的方程为y=k （x ﹣2），（k ≠0），设B （x 1，y 1），M （x 0，k （x 0﹣2））， ∵∠MOA ≤∠MAO ， ∴x 0≥1，再设H （0，y H ），联立，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12=0．△=（﹣16k 2）2﹣4（3+4k 2）（16k 2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH 所在直线方程为，令x=0，得，∵BF ⊥HF ，∴，即1﹣x1+y1y H=，整理得：，即8k2≥3．≤∴或．22．设f（x）=cosx+﹣1．（Ⅰ）求证：当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求导数，证明f'（x）=x﹣sinx为增函数，从而可得f（x）在x≥0时为增函数，即可证明当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）解法一：证明以，设，证明G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e x≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，再分类讨论，利用不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，即可求实数a 的取值范围；解法二：因为e ax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2），设g（x）=ax﹣ln （sinx﹣cosx+2），分类讨论，即可求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：（x≥0），则f'（x）=x﹣sinx，设φ（x）=x﹣sinx，则φ'（x）=1﹣cosx，…当x≥0时，φ'（x）=1﹣cosx≥0，即f'（x）=x﹣sinx为增函数，所以f'（x）≥f'（0）=0，即f（x）在x≥0时为增函数，所以f（x）≥f（0）=0．…（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，，所以，…设，则G'（x）=e x﹣x﹣1，设g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，当x≥0时g'（x）=e x﹣1≥0，所以g（x）=e x﹣x﹣1为增函数，所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e x≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．…又x≥0，a≥1时，e ax≥e x，所以a≥1时e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．…当a＜1时，设h（x）=e ax﹣sinx+cosx﹣2，则h'（x）=ae ax﹣cosx﹣sinx，h'（0）=a ﹣1＜0，所以存在实数x0＞0，使得任意x∈（0，x0），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x0）为减函数，所以在x∈（0，x0）时h（x）＜h（0）=0，所以a＜1时不符合题意．综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．…（Ⅱ）解法二：因为e ax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2）…设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），则可求，…所以当a≥1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函数，所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即e ax≥sinx﹣cosx+2所以a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．…当a＜1时，一定存在x0＞0，满足在（0，x0）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）是减函数，此时一定有g（x）＜g（0）=0，即ax＜ln（sinx﹣cosx+2），即e ax＜sinx﹣cosx+2，不符合题意，故a＜1不能满足题意，综上所述，a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．…2017年4月4日。

河北省正定中学高三数学上学期第三次月考(期中)试题理(扫描版)

高三质检三数学（理科）试题参考答案一、选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DACCADBABCDB二、填空题答案：13.25-14. [)∞+-，115.3203410x y x y --=-+=或 16.3 三、解答题答案17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换，意在考查学生的基本的运算能力、综合分析问题解决问题的能力以及转化与化归的数学思想．17.【解析】（1）C A B C A sin sin sin sin sin 222-=+,ac b c a -=+∴222 ……………………2分2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴==-=- ………………………………………………………………4分(0,)B π∈,23B π∴= ………………………………………………………………………………5分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD=∠31sin 12sin 423BD B BAD AD ⋅∴∠=== …………………………………………………………………7分217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅= …………………………………………9分22715sin 1cos 1()88BAC BAC ∴∠=-∠=-= (10)分18.【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，意在考查学生的审题能力以及数据处理能力. 18．【解析】（1）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .………………………………………6分（2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. ………………………………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ；81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P . …………………………………………10分（每答对两个，加1分）∴X 的分布列为：X0 1 2 3 4 5 6P4141 81 245 121 241 241于是，2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. …………………………12分19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法，意在考查数形结合思想，空间想象能力，以及运算求解能力.………………………………………………………………………………………………………11分19.【解析】(1)由已知得BD AC ⊥，CD AD =,又由CF AE =得CDCFAD AE =，故AC ∥EF ，因此HD EF ⊥，从而EF ⊥H D '.由65==AC AB ，得==BO DO 422=-AO AB .…………2分由AC ∥EF 得41==AD AE DO OH .所以1=OH ,3'==DH H D .…………………………………3分于是2'2222'1013O D OH H D ==+=+,故OH H D ⊥'.又EF H D ⊥',而H EF OH = , 所以D H '⊥平面ABCD . ……………………………………………………………………………4分(2)如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则ABC DD'E H Oz xyF()0,0,0H ，()0,1,3--A ，()0,6,0-B ，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.………………………………………………………………………………………6分设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，可取()4,3,5m =- (8)分设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，可取()0,3,1n =-………………………………………10分于是2557105014cos -=⨯-=⋅>=<n m n m n m,， (11)分设二面角的大小为θ，295sin 25θ=.因此二面角B D A C '--的正弦值是29525.……………12分20.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和，，以及数列单调性的判定等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．20.【解析】（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得1a t =．……………………………………………1分当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，①∴11(1)n n t S ta t ---=-+，②①-②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，数列{}n a 的各项均不为零∴1nn a t a -=（2n ≥）， ∴{}n a 是等比数列，且公比是t ，∴n n a t =． ………………………………………………3分0t ≠，1t ≠∴2(1)()1n n n n t t b t t t -=+⋅-，即212121n n n n t t t b t +++-=-，……………………………4分若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++，故23242(21)(2)(21)t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =， ………………………………………………5分再将12t =代入n b ，得1()2n b =，由112n n b b +=，知{}n b 为等比数列，∴12t =．……………………6分（2）由12t =，知1()2n n a =，∴14()12n n c =+，……………………………………………………7分∴11(1)224112n n T -=⨯-442n n n +=+-，………………………………………………………………9分由不等式12274nkn n T ≥-+-恒成立，得2732nn k -≥恒成立，设272n n n d -=，由1n nd d +-11252729222n n n n n n ++---+=-=，………………………………………10分∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，而4116d =，5332d =，∴45d d <， ∴3332k ≥，∴132k ≥．………………………………………………………………………………12分21.【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力.21.【解析】（1）：设(,0)F c ，由FAeOA OF 311=+，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又 2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………4分(2)设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，………………………………………………………………………6分由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B .由（1）知)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF (8)分由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以-034123449222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=.……………9分因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .……………………………………10分在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .……………………………………………………11分所以直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ .…………………………………………12分22.【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式、不等式恒成立等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．22.【解析】（1）证明：2()cos 12x f x x =+-)0(≥x ，则x x x f sin )('-=，……………………1分设()sin x x x ϕ=-，则'()1cos x x ϕ=-， ………………………………………………………2分当0≥x 时，'()1cos 0x x ϕ=-≥，即x x x f sin )('-=为增函数，所以0)0(')('=≥f x f ， ∴)(x f 在()+∞,0时为增函数，所以0)0()(=≥f x f ．…………………………………………4分（2）解法一：由（1）知0≥x 时，x x ≤sin ，12cos 2+-≥x x ，所以2cos sin 122+-≥++x x x x ，设2()12xx G x e x =---，则'()1x G x e x =--， (5)分设()1x g x e x =--，则'()1x g x e =-，……………………………………………………………6分当0≥x 时'()10xg x e =-≥，所以()1xg x e x =--为增函数，所以()(0)0g x g ≥=，所以()G x 为增函数，所以()(0)0G x G ≥=，…………………………7分所以2cos sin +-≥x x e x 对任意的0≥x 恒成立.…………………………………………………8分又0≥x ，1≥a 时，x ax e e ≥，所以1≥a 时2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立.……10分当1<a 时，设2cos sin )(-+-=x x e x h ax，则x x ae x h ax sin cos )('--=，…………………11分01)0('<-=a h ，所以存在实数00>x ，使得任意),0(0x x ∈，均有0)('<x h ，所以)(x h 在),0(0x为减函数，所以在),0(0x x ∈时0)0()(=<h x h ，所以1<a 时不符合题意.综上，实数a 的取值范围为),1[+∞.……………………………………………………………………12分（2）解法二：因为sin cos ax e x x ≥-+2等价于ln(sin cos )ax x x ≥-+2 ………………………6分设()ln(sin cos )g x ax x x =--+2，则sin cos ()sin cos x xg x a x x +'=--+2 (7)分可求sin cos [,]sin cos x xx x +∈--+112， ………………………………………………………………9分所以当a ≥1时，()g x '≥0恒成立，()g x 在[,)+∞0是增函数，所以()()g x g ≥=00，即ln(sin cos )ax x x ≥-+2，即sin cos ax e x x ≥-+2所以a ≥1时，sin cos ax e x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立．………………………………………10分当a <1时，一定存在x >00，满足在(,)x 00时，()g x '<0，所以()g x 在(,)x 00是减函数，此时一定有()()g x g <=00，即ln(sin cos )ax x x <-+2，即sin cos axe x x <-+2，不符合题意，故a <1不能满足题意，综上所述，a ≥1时，sin cos axe x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立． (12)分选择题解析： 1.【解析】i iiz 2113+=-+=，i z 21-=∴.z 在复平面内的对应点位于第四象限.故选D. 2.【解析】2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或，若P Q R =，(2,3]P Q =，由P Q R =，(2,3]P Q =，所以13{|}Q x x =-≤≤，∴13-，是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得1335a b a b -=-+=-∴+=-，．3.【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“*n N ∀∈， x R ∃∈，使得2n x <”的否定是“*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥”．故选C ． 4.【解析】由已知可得2206=+a a ，又{}n a 是等差数列，所以206251a a a a +=+，∴数列的前25项和25225)(25125=⨯+=a a S ，所以数列的前25项和为25.故选C.5.【解析】(,)4P t π在sin(2)3y x π=-图象上，21342sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∴ππt ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4πP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴21,4's P π，又'P 位于函数sin 2y x =的图象上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-∴s 42sin π212cos 22sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=s s π，322ππ+=∴k s 或32ππ-k ()Z k ∈，0>s ，6min π=∴s .故选A.6.【解析】()()221221sin 3sin 2121x x xf x x x +-=++=-+++，()()2223sin 3sin 2112xx xf x x x --=-+-=--++，且()()4f x f x +-=，所以()f x 是以点()0,2为对称中心，所以其最大值与最小值的和4m n +=.故选D.7.【解析】由()(2)f x f x =-知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，则'()0f x >，所以在1x <时，()f x 递增，(3)(23)(1)f f f =-=-，又11012-<<<，所以 1(1)(0)()2f f f -<<，即c a b <<．故选B ．8.【解析】以C 为坐标原点，CA 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()0,1A ，()10，B ，设()y x P ,，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0100y x y x 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,1AN ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,21y x MP ,4121++-=⋅y x MP AN ，令4121++-=y x t ，结合线性规划知识，则2122-+=t x y ，当直线4121++-=y x t 经过点()0,1A 时，MP AN ⋅有最小值，将()0,1A 代入得43-=t ，当直线4121++-=y x t 经过点()10，B 时，MP AN ⋅有最大值，将()10，B 代入得43=t ，故答案为A ． 9.【解析】由已知得211cos 21()cos 2log 222x f x x x +=+--2cos2log x x =-，令()0f x =，即2cos2log x x =，在同一坐标系中画出函数cos 2y x =和2log y x =的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数()f x 的零点个数为2，故选B ．x–1–2–3–41234–1–2–3–41234OO ABSS'DCO 1（第9题图）（第10题图）10.【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥ABCD S -，设x BO =1，则()2212x x =+-，解得45=x ，∴该多面体的外接球半径=+==2121B O OO OB R 164116251=+，所以其表面积为44142ππ==R S ，故选C. 11.【解析】因为3BD DC =BD BC 34=⇒，所以BD B E BC B E C E n n n 34+=+=D E B E n n 3431+-=，设n n mE C E A =，D E m B E m A E n n n 3431+-=∴，又因为11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+， ()⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+--=∴+ma m a n n 342331411231+=+n n a a ， ∴以113(1)n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +表示首项为2，公比为3的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，∴1615=a ,故选D ．12.【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其“伴随点”为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的“伴随点”为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为2222(,)0y xf x y x y-=++与2222(,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y xf x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其“伴随点”为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线b kx y +=上任一点),(y x P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y-++，∴'P 的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选B. 填空题解析：13.【解析】5191()(),()()2222f f f f -=-=，∴59()()22f f -=111123()()222255f f a a ⇒-=⇒-+=-⇒=∴32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-14.【解析】设阴影部分的面积为S ,则dx x x S )(012-=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3233132x x 313132|10=-=，又正方形面积为1，31=∴a ，∴()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)31(31()31(log 3x x x x f x ）)(x f ∴的值域为[)∞+-，115.【解析】 x x x f 2cos 22sin 23)(+-=',123)4(=-='πf ,则1=a ，点P 的坐标为)1,1(，若P 为切点，23x y ='，曲线3y x =在点P 处切线的斜率为3，切线方程为)1(31-=-x y ，即023=--y x ；若P 不为切点，曲线3y x =的切线的切点为),(n m ，曲线3y x =的切线的斜率 23m k =，则2311m m n =--，又3m n =，则21-=m ，81-=n ，得出切线方程)21(4381+=+x y ，即0143=+-y x .∴过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为3203410x y x y --=-+=或.16.【解析】设()()()1111,,,,,y C x y A x y B x --，显然12,x x x x ≠≠．∵点,A C 在双曲线上，∴221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22212221y y b x x a -=-， ∴22211212BC 222111=AC y y y y y y b k k k k x x x x x x a -+-===-+- . 由()1212121222ln ln ln y k k k k k k k k =++=+，设12t k k =，则2ln y t t =+，∴求导得221y t t '=-+，由220t y t-'==得2t =． ∴2ln y t t =+在()2,0单调递减，在()+∞,2单调递增，∴2t =时即122k k =时2ln y t t=+取最小值，∴222b a =，∴2213b e a=+=．。

【河北省石家庄市正定中学】2017届高三上学期期中(理科)数学试卷-答案

河北省石家庄市正定中学2017届高三上学期期中（理科）数学试卷答案1~5．DACCA 6~10．DBABC 11~12．DB 13．25-14．[)1-+∞，15．3203410x y x y --=-+=或 1617．（1）222sin sin sin sin sin A C B A C +=-,222a c b ac ∴+=-……………………2分2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=-………………………………………………………………4分(0,)B π∈Q ,23B π∴=………………………………………………………………………………5分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD =∠1sin 1sin 4BD B BAD AD ∴∠===…………………………………………………………………7分 217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅=…………………………………………9分sin BAC ∴∠==10分 18．（1）依题，11324131(1)(1)(1)34mn m n ⎧=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，解得1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．………………………………………6分（2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6．………………………………………………………………7分而1231(0)2344P X ==⨯⨯=；1231(1)2344P X ==⨯⨯=； 1131(2)2348P X ==⨯⨯=；1211135(3)23423424P X ==⨯⨯+⨯⨯=；1211(4)23412P X ==⨯⨯=；1111(5)23424P X ==⨯⨯=；1111(6)23424P X ==⨯⨯=．…………………………………………10分（每答对两个，加1分）∴X 的分布列为：于是，1115111()012345644824122424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2312=．…………………………12分 19．（1）由已知得AC BD ⊥，AD CD =,又由AE CF =得AE CFAD CD=，故AC ∥EF ，因此EF HD ⊥，从而EF ⊥'D H ．由56AB AC ==，得DO BO ==4．…………2分由AC ∥EF 得14OH AE DO AD ==．所以1OH =,'3D H DH ==．…………………………………3分于是'2222'23110D H OH DO +=+==,故'D H OH ⊥．又'D H EF ⊥,而OH EF H =I ,所以D H '⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………4分如图，以H 为坐标原点，HF u u u r的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,1,0A --，()0,6,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-u u u r，()6,0,0AC =u u u r ， ()3,1,3AD '=u u u u r．………………………………………………………………………………………6分设()111,,m x y z =u r是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r ，即()0,'()0,()f x ag x g x +>>，可取()4,3,5m =-u r ．…………………………………8分设()222,,n x y z =r是平面'ACD的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u uu r r u u u ur ，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，可取()0,3,1n =-r ………………………………………10分于是cos m n m,n m n ⋅<>===，………………………………………………11分设二面角的大小为θ，sin θ=B D AC '--．……………12分20．（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得1a t =．……………………………………………1分当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，① ∴11(1)n n t S ta t ---=-+，②①-②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，Q 数列{}n a 的各项均不为零∴1nn a t a -=（2n ≥）， ∴{}n a 是等比数列，且公比是t ，∴nn a t =．………………………………………………3分Q 0t ≠，1t ≠∴2(1)()1n n n n t t b t t t -=+⋅-，即212121n n n n t t t b t+++-=-，……………………………4分若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++，故23242(21)(2)(21)t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =，………………………………………………5分再将12t =代入n b ，得1()2n b =，由112n n b b +=，知{}n b 为等比数列，∴12t =．……………………6分（2）由12t =，知1()2n n a =，∴14()12n n c =+，……………………………………………………7分∴11(1)224112n n T -=⨯-442n n n +=+-，………………………………………………………………9分由不等式12274n k n n T ≥-+-恒成立，得2732nn k -≥恒成立，设272n n n d -=，由1n n d d +-11252729222n n n n n n ++---+=-=，………………………………………10分 ∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，而4116d =，5332d =，∴45d d <，∴3332k ≥，∴132k ≥．………………………………………………………………………………12分21．（1）：设(,0)F c ，由113e OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又 2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．………………4分（2）设直线l 的斜率为k （0k ≠），则直线l 的方程为(2)y k x =-．设(,)B B B x y ，由方程组22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，整理得2222(43)1616120k x k x k +-+-=．解得2x =，或228643k x k -=+，………………………………………………………………………6分由题意得228643B k x k -=+，从而21243B k y k -=+．由（1）知(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-u u u r ，2229412(,)4343k k BF k k -=++u u u r ．……………………………………………………8分由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=u u u r u u u r ，所以-222129404343H ky k k k -+=++，解得29412H k y k-=．……………9分因此直线MH 的方程为219412k y x k k -=-+．设(,)M M M x y ，由方程组219412(2)k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩消去y ，解得2220912(1)M k x k +=+．……………………………………10分在MAO ∆中，||||MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤，即2222(2)M M M M x y x y -+≤+，化简得1M x ≥，即22209112(1)k k +≥+，解得k ≤k ≥．……………………………………………………11分所以直线的斜率的取值范围为(,)-∞+∞U ．…………………………………………12分河北省石家庄市正定中学2017届高三上学期期中（理科）数学试卷解析1．【解析】3121iz i i+==+-，12z i ∴=-．z 在复平面内的对应点位于第四象限．故选D ． 2．【解析】，若，，由，，所以，∴是方程的两根，由根与系数关系得．3．【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“*n N ∀∈，x R ∃∈，使得2n x <”的否定是“*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥”．故选C ．4．【解析】由已知可得6202a a +=，又{}n a 是等差数列，所以125620a a a a +=+，∴数列的前25项和12525()25252a a S +⨯==，所以数列的前25项和为25．故选C ．5．【解析】(,)4P t π在sin(2)3y x π=-图象上，1sin 2432t ππ⎛⎫∴=⋅-= ⎪⎝⎭，∴1,42P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，'1,42P s π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又'P 位于函数sin 2y x =的图象上，sin 24s π⎡⎤⎛⎫∴- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1sin 2cos 222s s π⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，223s k ππ∴=+或23k ππ-()k Z ∈，0s >Q ，min 6s π∴=．故选A ．【解析】，，且，所以是以点为对称中心，所以其最大值与最小值的和．故选D ．7．【解析】由()(2)f x f x =-知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当AB 时，2'(1)1,210, 1.f a a a ∴=--+==即，则'()0f x >，所以在1x <时，()f x 递增，(3)(23)(1)f f f =-=-，又11012-<<<，所以 1(1)(0)()2f f f -<<，即c a b <<．故选B ．8．【解析】以C 为坐标原点，CA 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()1,0A ，()01B ，，设(),P x y ，则0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩且11,2AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，11,22MP x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ,1124AN MP x y ⋅=-++u u u r u u u r ，令1124t x y =-++，结合线性规划知识，则1222y x t =+-，当直线1124t x y =-++经过点()1,0A 时， AN MP ⋅u u u r u u u r 有最小值，将()1,0A 代入得34t =-，当直线1124t x y =-++经过点()01B ，时，AN MP ⋅u u u r u u u r 有最大值，将()01B ，代入得34t =，故答案为A ． 9．【解析】由已知得211cos21()cos2log 222x f x x x +=+--2cos 2log x x =-，令()0f x =，即2cos 2log x x =，在同一坐标系中画出函数cos2y x =和2log y x =的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数()f x 的零点个数为2，故选B ．10．【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥S ABCD -，设1BO x =，则()2221x x -+=，解得54x =，∴该多面体的外接球半径R OB == 24144S R ππ==，故选C ．【解析】因为43BC BD ⇒=u u u r u u u r ，所以43n n n E C E B BC E B BD =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 1433n n E B E D =-+u u u ur u u u u r ，设，1433n n nE A mE B mE D ∴=-+u u u u r u u u ur u u u u r ，又因为，()111434323n na m a m+⎧=-⎪⎪∴⇒⎨⎪-+=⎪⎩132n n a a +=+，∴以，又，所以数列表示首项为2，公比为3的等比数列，所以，∴5161a =,故选D ．12．【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其“伴随点”为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的“伴随点”为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y--=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y x f x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其“伴随点”为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线y kx b =+上任一点(,)P x y 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++，∴'P 的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选B ．填空题解析：13．【解析】5191()(),()()2222f f f f -=-=，∴59()()22f f -=111123()()222255f f a a ⇒-=⇒-+=-⇒= ∴32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=- 【解析】设阴影部分的面积为S ,则21)0S x dx =⎰3322133x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10211|333=-=，又正方形面积为1，13a ∴=，∴()31log ()311(()33x x x f x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩）()f x ∴的值域为[)1-+∞，【解析】()32sin 22cos2f x x x '=-+,()3214f π'=-=,则1a =，点P 的坐标为(1,1)，若P 为切点，23y x '=，曲线3y x =在点P 处切线的斜率为3，切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=；若P 不为切点，曲线3y x =的切线的切点为(,)m n ，曲线3y x =的切线的斜率 23k m =，则2131n m m -=-，又3n m =，则12m =-，18n =-，得出切线方程131()842y x +=+，即3410x y -+=．∴过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为3203410x y x y --=-+=或． 16．【解析】设1111(,),(,),(,y )C x y A x y B x --，显然12,x x x x ≠≠．∵点,A C 在双曲线上，∴221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22212221y y b x x a -=-， ∴22211212BC 222111=AC y y y y y y b k k k k x x x x x x a-+-===-+-g ．由()1212121222ln ln ln y k k k k k k k k =++=+，设12t k k =，则2ln y t t =+，∴求导得221y t t '=-+，由220t y t-'==得2t =． ∴2ln y t t =+在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，∴2t =时即122k k =时2ln y t t=+取最小值， ∴222b a =，∴e ==。

【河北省正定中学年】2017届高三上学年期第三次月考期中(文)数学年试题

河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考期中（文）数学试卷答案1~5．DABCA 6~10．DBCAC11~12．AC13．3 14．1315．25- 16．117．解：()1设数列{}n b 的公差为d ，3322222731833.6a S q d q S q d d q a +=⎧⎧+==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==+=⎪⎩⎪⎩⎩13n n a -∴=，3n b n =，()2由题意得：()332n n n S +=，()9921113()22311n n c S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭ 1111133[(1)()()]22311n nT n n n =-+-++-=++ 18．解：（1）由题意可得：ππ())cos()2sin()66f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+-=+-,因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，=2ω，因为函数为奇函数，所以πππ,=π+66k k ϕϕ-=，因为0<<πϕ，所以π=6ϕ，函数为()2sin2f x x =．要使ππ[,]24x ∈-时()f x 单调递减，需满足ππππ2,224x x -≤≤--≤≤-，所以函数的减区间为ππ[,]24x ∈--．（2）由题意可得：π()2sin(4)3g x x =-，∵ππ[,]126x ∈-，∴2πππ4333x -≤-≤， ∴π1sin(4)()[3x g x -≤-∈-，即函数()g x 的值域为[-．19．解：（1）方法一：如图，取BC 的中点N ，连接MN 、EN ．在ABC ∆中，M 为AB 的中点，N 为BC 的中点， ∴//MN AC ，又因为//DE BC ，且12DE BC CN ==， ∴四边形CDEN 为平行四边形， ∴//EN DC ，又∵MNEN N =，ACCD C =．∴平面//EMN 平面ACDF ，又∵EM ⊂面EMN ， ∴//EM 面ACDF ．方法二：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PD ．在ABC ∆中，P 为AC 的中点，M 为AB 的中点，∴//PM BC ，且12PM BC =，又∵//DE BC ，12DE BC =,∴//PM DE ，故四边形DEMP 为平行四边形， ∴//ME DP ，又∵DP ⊂平面ACDF ，EM ⊄平面ACDF ， ∴//EM 面ACDF ．（2）∵平面ACDF ⊥平面BCDE ，平面ACDF 平面BCDE DC =，又AC DC ⊥， ∴AC ⊥平面BCDE ，∴AC BD ⊥，又BD AD ⊥，BDAD A =，∴BD ⊥平面ACDF ．20．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >． ∵39S =，∴123239a a a a ++==，即23a =，又12a ，31a -，41a +成等比数列，∴2(2)2(3)(42)d d d +=-+，解得2d =，11a =， ∴12(1)21n a n n =+-=-. （2）由12n n n a b -=，得11211(21)()22n n n n b n ---==-⋅，则0111111()3()(21)()222n n T n -=⋅+⋅++-⋅所以121111111()3()(23)()(21)()22222n nn T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅两式相减得：1211111112()2()2()(21)()22222n n n T n -=+⋅+⋅++⋅--⋅1211()21121213122212n n n n n n -----=+-=---，故12362n n n T -+=-，因为*N n ∈，所以123662n n n T -+=-<． 21．解：（1）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AE BB ⊥，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE BC ⊥，因此AE ⊥平面11B BCC ，而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面11B BCC ．（2）设AB 的中点为D ，连接1,A D CD ，因为△ABC 是正三角形，所以CD AB ⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，因此CD ⊥平面11A ABB ，于是1CA D ∠是直线1A C 与平面11A ABB 所成的角，由题设知145CA D ∠=，所以1A D CD AB ===在1△Rt AA D 中，1AA =所以1122FC AA ==，故三棱锥F AEC -的体积1133AEC V S FC =⨯==△． 22．解：（1）因为()()1e xaf x x x'=+-，0x >，依题意得(1)0f '=，即2e 0a -=，解得2e a =．所以()2e()1e xf x x x'=+-，显然()f x '在()0，+∞单调递增且(1)0f '=，故当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 的递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞．（2）①当0≤b 时，由（1）知，当1x =时，()f x 取得最小值e ．又()222b x x -+的最大值为b ，故()()222f x b x x ≥-+．②当0e b <≤时，设()2()e 2eln 22x g x x x b x x =---+，所以()()2e()1e 21xg x x b x x'=+---，令()()2e ()1e 21xh x x b x x =+---，0x >，则()22e()2e 2x h x x b x'=++-，当(]0,1x ∈时，22e20b x-≥,()2e 0x x +>，所以()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()2e 20xx b +->，22e 0x>，所以()0h x '>，所以当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，()g x 取得最小值(1)e 0g b =-≥，所以()0g x ≥，即()()222f x b x x ≥-+．综上，当e b ≤时，()()222f x b x x ≥-+．河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考期中（文）数学试卷解析1．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案。

河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考(期中)物理试题Word版含答案

系，两个点电荷所带电荷量分别为 q1 和 q2， a、 p 间距离大于 p、 b 间距离．从图中可以判
断以下说法正确的是（
）
A．两点电荷均为负电荷，且 q1 一定大于 q2
B．电势最低的 p 点的电场强度不一定为零
C．将一负的检验电荷从 b 处左侧附近移到 p 处，检验电荷的电势能增加
D． a、p 间的电场方向都指向 a 点
D． F3＞ F1＞ F2
3、图甲中的直线为一静电场中哦电场线（方向未标出），现一不计重力的带负电粒子从电场线上的 M 点沿电场线运动至 N 点，假设粒子仅受电场力作用，图乙描述了该粒子速度的平
方随其位移的变化规律．则（
）
A．粒子在 M 点所受的电场力小于在 N 点所受的电场力 B．该电场线上的电场方向由 N 点指向 M 点 C．粒子由 M 点向 N 点运动的过程中，电场力做负功 D．粒子在 N 点的电势能大于在 M 点的电势能
6、如图所示，两个 3/4 圆弧轨道固定在水平地面上，半径 R 相同， A 轨道由金属凹槽制成，
B 轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球
由静止释放，小球距离地面的高度分别用
hA 和 hB 表示，则下列说法正确的是（
A和B ）
A．若 hA=hB=2R，则两小球都能沿轨道运动到最高点
C．牛顿认为开普勒第三定律是正确的，并修正了其决定因素，即
a3 T2 是由太阳的质量和万
有引力常量决定
D．库伦提出库仑定律，并最早用实验测得元电荷
e 的数值
2、一个质点在三个共点力 F1F2F3 的作用下处于平衡状态，如图所示，则三个力的大小关系
是：
A． F1＞ F2＞ F3

2017届河北省正定中学高三上学期第三次月考(期中)地理试题(图片版)汇编

2016-2017学年高三质量检测第三次考试地理参考答案及评分标准一、选择题：本大题共44小题，每小题1分，共44分。

二、非选择题：本大题共3小题，其中45题15分，46题20分，47题21分，共56分。

45.【答案】（1）地壳挤压抬升（隆起）使甘泉岛周围海水较浅，珊瑚虫遗体在周围的浅海堆积成环形浅滩；（3分）海浪从深海区携带泥沙，在浅水滩上减速沉积。

（3分）（2）形成晚，因蒸发积累的盐分少；（3分）地势较高，且四周沙堤围绕，地下水受海水影响较小；（3分）中间低地接纳雨水（淡水）后下渗，成为井水主要的补给来源，井水含盐量小。

（3分）46.【答案】（1）河谷呈半封闭状（西侧开口，北南山脉在东侧汇聚或呈喇叭口状向西敞开），利于西风进入，在东侧迎风坡形成地形雨；该河谷内降水充足，植被生长茂盛（覆盖率高）；河流水量丰富，落差大，水流急；北部高大山脉可阻挡来自西伯利亚的寒冷气流，冬季气温较温和；南部高大山脉可阻挡来自塔里木盆地的风沙入侵和夏季热浪侵袭。

（每点2分，共10分）（2）北坡（或阴坡）：为迎风坡，多地形雨；温度低，蒸发弱，水分充足，适合生长林木。

（3分）南坡（或阳坡）：为背风坡，降水少；温度高，蒸发强，水分少，适合草类生长。

（3分）（3）4月气温回升伊犁河流域冬季积雪大量融化，形成春汛；（2分）7、8月一年中气温最高，伊犁河流域高山冰川融化及大气降水，使伊犁河河水暴涨形成夏汛。

（2分）47.【答案】（1）西部以平原、丘陵为主，东部以山地为主；（3分）地势东高西低；（3分）海岸线曲折。

（3分）（2）时间分布：夏季降水少，冬季降水多；（2分）空间分布：东北（或东）部降水少，西南（或西）部降水多。

（2分）形成原因：该岛屿地处地中海气候区。

夏季受副热带高压控制，以下沉气流为主，气候炎热干燥；岛屿东、西两侧降水都比较少。

冬季受西风带影响，气候温和多雨。

岛屿东部位于盛行西风背风坡降水少；岛屿西部位于盛行西风迎风坡降水多。

【河北省正定中学】2017届高三上学期第三次月考期中(文)数学试卷-答案

河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考期中（文）数学试卷答案1~5．DABCA 6~10．DBCAC11~12．AC13．3 14．1315．25- 16．117．解：()1设数列{}n b 的公差为d ，Q 3322222731833.6a S q d q S q d d q a +=⎧⎧+==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==+=⎪⎩⎪⎩⎩13n n a -∴=，3n b n =，()2由题意得：()332n n n S +=，()9921113()22311n n c S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭ 1111133[(1)()()]22311n nT n n n =-+-++-=++L18．解：（1）由题意可得：ππ())cos()2sin()66f x x x x ωϕωϕωϕ=+-+-=+-,因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，=2ω，因为函数为奇函数，所以πππ,=π+66k k ϕϕ-=，因为0<<πϕ，所以π=6ϕ，函数为()2sin2f x x =．要使ππ[,]24x ∈-时()f x 单调递减，需满足ππππ2,224x x -≤≤--≤≤-，所以函数的减区间为ππ[,]24x ∈--．（2）由题意可得：π()2sin(4)3g x x =-，∵ππ[,]126x ∈-，∴2πππ4333x -≤-≤，∴π1sin(4)()[3x g x -≤-≤∈-，即函数()g x 的值域为[-．19．解：（1）方法一：如图，取BC 的中点N ，连接MN 、EN ．在ABC ∆中，M 为AB 的中点，N 为BC 的中点， ∴//MN AC ，又因为//DE BC ，且12DE BC CN ==， ∴四边形CDEN 为平行四边形，∴//EN DC ，又∵MN EN N =I ，AC CD C =I ． ∴平面//EMN 平面ACDF ，又∵EM ⊂面EMN ， ∴//EM 面ACDF ．方法二：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PD ．在ABC ∆中，P 为AC 的中点，M 为AB 的中点，∴//PM BC ，且12PM BC =，又∵//DE BC ，12DE BC =,∴//PM DE ，故四边形DEM P 为平行四边形， ∴//ME DP ，又∵DP ⊂平面ACDF ，EM ⊄平面ACDF ， ∴//EM 面ACDF ．（2）∵平面ACDF ⊥平面BCDE ，平面ACDF I 平面BCDE DC =，又AC DC ⊥， ∴AC ⊥平面BCDE ，∴AC BD ⊥，又BD AD ⊥，BD AD A =I ， ∴BD ⊥平面ACDF ．20．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >． ∵39S =，∴123239a a a a ++==，即23a =，又12a ，31a -，41a +成等比数列，∴2(2)2(3)(42)d d d +=-+，解得2d =，11a =，∴12(1)21n a n n =+-=-.（2）由12n n n a b -=，得11211(21)()22n n n n b n ---==-⋅，则0111111()3()(21)()222n n T n -=⋅+⋅++-⋅L 所以121111111()3()(23)()(21)()22222n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅L两式相减得：1211111112()2()2()(21)()22222n n n T n -=+⋅+⋅++⋅--⋅L 1211()21121213122212n n n n n n -----=+-=---，故12362n n n T -+=-，因为*N n ∈，所以123662n n n T -+=-<． 21．解：（1）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AE BB ⊥，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE BC ⊥，因此AE ⊥平面11B BCC ，而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面11B BCC ．（2）设AB 的中点为D ，连接1,A D CD ，因为△ABC 是正三角形，所以CD AB ⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，因此CD ⊥平面11A ABB ，于是1CA D ∠是直线1A C 与平面11A ABB 所成的角，由题设知145CA D ∠=o，所以1A D CD AB ==在1△Rt AA D 中，1AA =所以1122FC AA ==，故三棱锥F AEC -的体积1133AEC V S FC =⨯==△． 22．解：（1）因为()()1e x af x x x'=+-，0x >，依题意得(1)0f '=，即2e 0a -=，解得2e a =．所以()2e()1e x f x x x'=+-，显然()f x '在()0，+∞单调递增且(1)0f '=，故当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 的递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞．（2）①当0≤b 时，由（1）知，当1x =时，()f x 取得最小值e ．又()222b x x -+的最大值为b ，故()()222f x b x x ≥-+．②当0e b <≤时，设()2()e 2eln 22x g x x x b x x =---+，所以()()2e()1e 21x g x x b x x'=+---，令()()2e ()1e 21x h x x b x x =+---，0x >，则()22e()2e 2x h x x b x'=++-，当(]0,1x ∈时，22e 20b x-≥,()2e 0xx +>，所以()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()2e 20xx b +->，22e 0x>，所以()0h x '>，所以当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，()g x 取得最小值(1)e 0g b =-≥，所以()0g x ≥，即()()222f x b x x ≥-+．综上，当e b ≤时，()()222f x b x x ≥-+．河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考期中（文）数学试卷解析1．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由=2﹣i，得，∴z的模为1．2．【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），然后利用集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁R B={x|x≥1}．由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），∴A∩（∁R B）={x|1≤x＜2}，3．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x＞0，x2+x＞O“的否定是：∃x＞0，x2+x≤0.4．【分析】根据题意，由向量、的坐标可得的坐标，进而由向量模的计算公式可得1+（1﹣λ）2=5，解得λ的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（0，﹣1），=（1，1），则=（1，1﹣λ），又由|λ+|=，即，有1+（1﹣λ）2=5，解得λ=3或﹣1，5．【分析】由题意可知A中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，即可得出结论．【解答】解：由题意可知A中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，6．【分析】化简函数，利用函数的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，可得结论．【解答】解：因为，函数的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴，7．【分析】利用对数函数的性质即可求解．【解答】解：由log a b＞1⇒log a b﹣1＞0即：log a b﹣log a a＞0∴log a＞log a1当a＞1时，函数是增函数．则有：，即b＞a＞1．当1＞a＞0时，函数是减函数．则有：，即1＞a＞b＞0.考查各项答案，B正确，8．【分析】由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，由此能求出该零件的体积．【解答】解：由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为：（cm3）．故选：C．9．【分析】由题意可得，函数是定义域内的减函数，故有，由此解得a的范围．【解答】解：∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，10．【分析】根据条件可得到a+2b+3c=（a+c）+2（b+c），而a+c＞0，b+c＞0，并且（a+c）（b+c）=2，这样根据基本不等式便可求出a+2b+3c的最小值．【解答】解：∵a，b，c＞0，（a+c）（b+c）=2；∴=，当且仅当a+c=2（b+c）时取“=”；∴a+2b+3c的最小值为4．11．【分析】求出n=1时数列{a n}的首项，再由当n≥2时，T n﹣T n﹣1，求得数列{a n}的通项公式，再判断单调性，运用分子常数化或作差法，即可得到单调性．【解答】解：当n=1时，，解得a1=2．当n≥2时，，所以，综上有，所以a1＞a2＞a3＞…，即数列{a n}是单调递减的．（或用）．12．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞A．13．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可．【解答】解：作出可行域，如图△ABC内部（含边界），作出直线l：3x﹣4y=0，平移直线l，当它过点C（1，0）时，z=3x﹣4y取得最大值3．14．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．15．【分析】求出函数的周期，利用等式关系求出m，然后求解函数值．【解答】解：因为f（x+2）=f（x）⇒T=2．所以，f（5m）=f（﹣3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣．16．【分析】利用二倍角公式化简求出cosA=﹣，由余弦定理得a2=b2+c2+bc，将sin（B﹣C）=4cosBsinC展开得sinBcosC=5cosBsinC，利用正余弦定理将角化边，即可得出关于的一元二次方程，解出即可．【解答】解：在△ABC中，∵2cos2=sinA，∴1+cosA=sinA，∴1+2cosA+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cosA+=0，解得cosA=﹣或cosA=﹣1（舍）．∴=﹣，∴a2=b2+c2+b C．∵sin（B﹣C）=4cosBsinC，∴sinBcosC=5cosBsin C．即bcosC=5ccos B．∴b×=5c×，即2a2+3c2﹣3b2=0.把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2﹣3b2=0，即5c2﹣b2+2bc=0.∴﹣（）2+2+5=0，解得=1+或=1﹣（舍）．故答案为：1+．17．【分析】（Ⅰ）根据题意，设出等差数列{b n}的公差d，列出方程组求出公差与公比，即可写出{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）由题意得出数列{c n}的通项公式，用裂项法即可求出{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{b n}的公差为d，∵，∴，解得；…∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣1，{b n}的通项公式为b n=3n…（Ⅱ）由题意得：S n=，…∴数列{c n}的通项公式为c n==••=3（﹣），…∴{c n}的前n项和为T n=3[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=…18．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，求得f（x）的单调递减区间．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）的值域．【解答】解：（1）由题意可得：函数f（x）=f（x）=sin（ωx+φ）+2sin2（）﹣1=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，∴φ﹣=kπ，k∈Z，∴φ=．∵相邻两对称轴间的距离为==，∴ω=2，f（x）=2sin2x．令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．结合，可得f（x）的单调递减区间为[﹣，]．（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=2sin（2x﹣）的图象；再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（4x﹣）的图象，当时，4x﹣∈[﹣]，此时，sin（4x﹣）∈[﹣1，]，求函数g（x）∈[﹣2，]．19．【分析】（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，推导出平面EMN∥平面ACDF，由此能证明EM∥平面ACDF．（2）由已知AC⊥平面BCDE，从而AC⊥BD，再由BD⊥AD，AC∩AD=A，能证明BD⊥平面ACDF．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，∵长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点，∴EN∥CD，MN∥AC，∵EN∩MN=N，CD∩AC=C，EN，MN⊂平面EMN，CD，AC⊂平面ACDF，∴平面EMN∥平面ACDF，∵EM⊂平面EMN，∴EM∥平面ACDF．（2）∵长方形ACDF中，AC⊥CD，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，∴AC⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴AC⊥BD，∵BD⊥AD，AC∩AD=A，∴BD⊥平面ACDF．20.【分析】（1）利用等差数列前n项和、通项公式和等比数列，列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）推导出b n=（2n﹣1）•21﹣n=（4n﹣2）•利用错位相减法求出数列{b n}的前n项和，由此能证明T n＜6．【解答】解：（1）∵公差不为零的等差数列{a n}的前3项和S3=9，得到a2=3，且2a1，a3﹣1，a4+1构成等比数列，∴得到未知数a2与d的方程组：，由d≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1．证明：（2）∵数列{b n}满足=2n﹣1（n∈N*），∴，∴b n=（2n﹣1）•21﹣n=（4n﹣2）•设T n是数列{b n}的前n项和，则T n=2•+6+10•+14•+…+（4n﹣2）•，①=2+6…+（4n﹣2），②①﹣②，得：T n=1+1+﹣=1+﹣（4n﹣2）•=3﹣，∴T n=6﹣＜6．∴T n＜6．21．【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．三棱锥F﹣AEC的体积：×==．22．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a，由导数的单调性，结合f′（1）=0，可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论①当b≤0时，求得f（x）的最小值，可得结论成立；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），求出导数，构造函数h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，求得导数，判断单调性，可得g（x）最小值，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xe x﹣alnx的导数为f′（x）=（x+1）e x﹣，x＞0，依题意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）e x﹣，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0.所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．又b（x2﹣2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②当0＜b≤e时，设g（x）=xe x﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）e x﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，则h′（x）=（x+2）e x+﹣2b，当x∈（0，1）时，﹣2b≥0，（x+2）e x＞0，所以h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，（x+2）e x﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0.所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0.，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0.所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．综上，当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．。

【河北省正定中学】2017届高三上学期第三次月考期中(文)数学试卷

河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考期中（文）数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，若12i2i z+=-，则z 的模为（）AB ．2C ．iD ．12．设全集U R =，{|(2)0}A x x x =-<，{|ln(1)}B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{|12}x x ≤<B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≥3．命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是（） A ．20,0x x x ∃<+≤ B ．20,0x x x ∃>+≤ C ．20,0x x x ∀>+≤D ．20,0x x x ∀≤+>4．已知平面向量(0,1)a =-r ，(1,1)b =r ，||a b λ+=r rλ的值为（）A ．3B ．2C ．3或1-D ．2或1-5．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需要按墙上的空调造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空间，则该几何体为（）6．已知()sin 22()f x x x x R =∈，函数()y f x ϕ=+的图像关于直线0x =对称，则ϕ的值可以是（） A ．π6B ．π3C ．π4D ．π127．已知,0a b >，且1,1a b ≠≠，若log 1a b >，则（） A ．(1)(1)0a b --< B ．(1)()0a b a --> C ．(1)()0b b a --<D ．(1)()0a a b -->8．某零件的正视图与侧视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是底边上高为1cm 的等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是（）A ．34π3cmB ．38π3cmC ．34πcmD ．320π3cm 9．已知函数(12),1()1log ,13x aa x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当12x x ≠时，1212()()0f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1(0,]3 B ．11[,]32 C ．1(0,]2D ．11[,]4310．已知,,a b c 均为正数，且()()2a c b c ++=，则23a b c ++的最小值为（）AB．C ．4D ．811．定义数列{}n a 的“项的倒数的n 倍和数”为1212()n n nT n a a a *=+++∈N L ，已知22n n T =()n *∈N ，则数列{}n a 是（） A ．单调递减的B ．单调递增的C ．先增后减的D ．先减后增的12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若11()22a f =，2(2)b f =--，11(ln )(ln )22c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设实数,x y 满足0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则34z x y =-的最大值为_______．14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比为_______．15．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在区间[1,1)-上，,10()2||,015x m x f x x x --≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，其中m ∈R ，若59()()22f f -=，则(5)f m =_______．16．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22cos 2A A =，sin()4cos sin B C B C -=，则bc=_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中，33b =，且{}n b 的前n 项和为n S ，3327a S +=，22S q a =．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足92n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T ． 18．已知函数2())2sin (1)2x f x x ωϕωϕ+++-(0,0π)ωϕ><<为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2．（1）当ππ[,]24x ∈-时，求()f x 的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，当ππ[,]126x ∈-时，求函数()g x 的值域． 19．如图几何体中，矩形ACDF 所在平面与梯形BCDE 所在平面垂直，且2BC DE =，//DE BC ，BD AD ⊥，M 为AB 的中点．（1）证明：//EM 平面ACDF ；（2）证明：BD ⊥平面ACDF ．20．设数列{}n a 是公差大于0的等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知39S =，且1342,1,1a a a -+构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12()n nna nb -*=∈N ，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：6n T <． 21．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点．（1）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45o ，求三棱锥F AEC -的体积． 22．已知函数()ln x f x xe a x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴．（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当b e ≤时，2()(22)f x b x x ≥-+．。

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高三质检三数学（理科）试题参考答案一、选择题答案二、填空题答案：13.25-14. [)∞+-，1 15.3203410x y x y --=-+=或 16.三、解答题答案17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换，意在考查学生的基本的运算能力、综合分析问题解决问题的能力以及转化与化归的数学思想．17.【解析】（1）C A B C A sin sin sin sin sin 222-=+,ac b c a -=+∴222 ……………………2分2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴==-=-………………………………………………………………4分(0,)B π∈ ,23B π∴= ………………………………………………………………………………5分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD=∠1sin 1sin 4BD B BAD AD ∴∠=== …………………………………………………………………7分217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅= …………………………………………9分sin BAC ∴∠= (10)分18.【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，意在考查学生的审题能力以及数据处理能力. 18．【解析】（1）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .………………………………………6分（2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. ………………………………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ； 81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ； 241413121)6(=⨯⨯==X P . …………………………………………10分（每答对两个，加1分）∴X 的分布列为：1241于是，2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. …………………………12分19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法，意在考查数形结合思想，空间想象能力，以及运算求解能力.………………………………………………………………………………………………………11分19.【解析】(1)由已知得BD AC ⊥，CD AD =,又由CF AE =得CDCFAD AE =，故AC ∥EF ，因此HD EF ⊥，从而EF ⊥H D '.由65==AC AB ，得==BO DO 422=-AO AB .…………2分由AC ∥EF 得41==AD AE DO OH .所以1=OH ,3'==DH H D .…………………………………3分于是2'2222'1013O D OH H D ==+=+,故OH H D ⊥'.又EF H D ⊥',而H EF OH = ,所以D H '⊥平面ABCD . ……………………………………………………………………………4分(2)如图，以H 为坐标原点，HF的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()0,1,3--A ，()0,6,0-B ，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '= (6)分设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，可取()4,3,5m =- .…………………………………8分设()222,,n x y z = 是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，可取()0,3,1n =- ………………………………………10分于是2557105014cos -=⨯-=⋅>=<n m n m n m,，………………………………………………11分设二面角的大小为θ，sin θ=.因此二面角B D A C '--.……………12分20.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和，，以及数列单调性的判定等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．20.【解析】（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得1a t =．……………………………………………1分当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，①∴11(1)n n t S ta t ---=-+，②①-②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，数列{}n a 的各项均不为零∴1nn a t a -=（2n ≥）， ∴{}n a 是等比数列，且公比是t ，∴n n a t =． ………………………………………………3分0t ≠，1t ≠∴2(1)()1n n n n t t b t t t -=+⋅-，即212121n n n n t t t b t +++-=-，……………………………4分若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++，故23242(21)(2)(21)t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =， (5)分再将12t =代入n b ，得1()2n b =，由112n n b b +=，知{}n b 为等比数列，∴12t =．……………………6分（2）由12t =，知1()2n n a =，∴14()12n n c =+，……………………………………………………7分∴11(1)224112n n T -=⨯-442n n n +=+-，………………………………………………………………9分由不等式12274nkn n T ≥-+-恒成立，得2732nn k -≥恒成立，设272n n n d -=，由1n nd d +-11252729222n n n n n n ++---+=-=，………………………………………10分∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，而4116d =，5332d =，∴45d d <， ∴3332k ≥，∴132k ≥．………………………………………………………………………………12分21.【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力.21.【解析】（1）：设(,0)F c ，由FA e OA OF 311=+，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………4分(2)设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ， (6)分由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B.由（1）知)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF (8)分由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以-034123449222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=.……………9分因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .……………………………………10分在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k (11)分所以直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ .…………………………………………12分22.【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式、不等式恒成立等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．22.【解析】（1）证明：)0(≥x ，则x x x f sin )('-=， (1)分设，则， ………………………………………………………2分当0≥x 时，，即x x x f sin )('-=为增函数，所以0)0(')('=≥f x f ， ∴)(x f 在()+∞,0时为增函数，所以．…………………………………………4分（2）解法一：由（1）知时，，，所以，设，则， (5)分设，则，……………………………………………………………6分当时，所以为增函数，所以，所以为增函数，所以，…………………………7分所以2cos sin +-≥x x e x对任意的0≥x 恒成立.…………………………………………………8分又0≥x ，1≥a 时，x ax e e ≥，所以1≥a 时2cos sin +-≥x x e ax对任意的0≥x 恒成立.……10分当1<a 时，设2cos sin )(-+-=x x e x h ax ，则x x ae x h axsin cos )('--=，…………………11分2()cos 12x f x x =+-()sin x x x ϕ=-'()1cos x x ϕ=-'()1cos 0x x ϕ=-≥0)0()(=≥f x f 0≥x x x ≤sin 12cos 2+-≥x x 2cos sin 122+-≥++x x x x 2()12xx G x e x =---'()1x G x e x =--()1x g x e x =--'()1x g x e =-0≥x '()10x g x e =-≥()1x g x e x =--()(0)0g x g ≥=()G x ()(0)0G x G ≥=01)0('<-=a h ，所以存在实数00>x ，使得任意),0(0x x ∈，均有0)('<x h ，所以)(x h 在),0(0x为减函数，所以在),0(0x x ∈时0)0()(=<h x h ，所以1<a 时不符合题意.综上，实数a 的取值范围为),1[+∞.……………………………………………………………………12分（2）解法二：因为等价于 ………………………6分设，则 (7)分可求， ………………………………………………………………9分所以当时，恒成立，在是增函数，所以，即，即所以时，对任意恒成立． (10)分当时，一定存在，满足在时，，所以在是减函数，此时一定有，即，即，不符合题意，故不能满足题意，综上所述，时，对任意恒成立． (12)分选择题解析： 1.【解析】i iiz 2113+=-+=，i z 21-=∴.z 在复平面内的对应点位于第四象限.故选D. sin cos axe x x ≥-+2ln(sin cos )ax x x ≥-+2()ln(sin cos )g x ax x x =--+2sin cos ()sin cos x xg x a x x +'=--+2sin cos [,]sin cos x xx x +∈--+112a ≥1()g x '≥0()g x [,)+∞0()()g x g ≥=00ln(sin cos )ax x x ≥-+2sin cos axe x x ≥-+2a ≥1sin cos axe x x ≥-+2x ≥0a <1x >00(,)x 00()g x '<0()g x (,)x 00()()g x g <=00ln(sin cos )ax x x <-+2sin cos ax e x x <-+2a <1a ≥1sin cos axe x x ≥-+2x ≥02.【解析】，若，，由，，所以，∴是方程的两根，由根与系数关系得．3.【解析】命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“*n N ∀∈，x R ∃∈，使得2n x <”的否定是“*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥”．故选C ． 4.【解析】由已知可得2206=+a a ，又{}n a 是等差数列，所以206251a a a a +=+，∴数列的前25项和25225)(25125=⨯+=a a S ，所以数列的前25项和为25.故选C.5.【解析】(,)4P t π在sin(2)3y x π=-图象上，21342sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∴ππt ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4πP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴21,4's P π，又'P 位于函数sin 2y x =的图象上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-∴s 42sin π212cos 22sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=s s π，322ππ+=∴k s 或32ππ-k ()Z k ∈，0>s ，6min π=∴s .故选A.6.【解析】，，且，所以是以点为对称中心，所以其最大值与最小值的和.故选D.7.【解析】由()(2)f x f x =-知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当)1,(-∞∈x 时，2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或P Q R = (2,3]P Q = P Q R = (2,3]P Q = 13{|}Q x x =-≤≤13-，20x ax b ++=1335a b a b -=-+=-∴+=-，()()221221sin 3sin 2121x x x f x x x +-=++=-+++()()2223sin 3sin 2112xx xf x x x --=-+-=--++ ()()4f x f x +-=()f x ()0,24m n +=0)()1(<'-x f x ，则'()0f x >，所以在1x <时，()f x 递增，(3)(23)(1)f f f =-=-，又11012-<<<，所以 1(1)(0)()2f f f -<<，即c a b <<．故选B ．8.【解析】以C 为坐标原点，CA 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()0,1A ，()10，B ，设()y x P ,，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0100y x y x 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,1，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,21y x ,4121++-=⋅y x ，令4121++-=y x t ，结合线性规划知识，则2122-+=t x y ，当直线4121++-=y x t 经过点()0,1A 时，MP AN ⋅有最小值，将()0,1A 代入得43-=t ，当直线4121++-=y x t 经过点()10，B 时，MPAN ⋅有最大值，将()10，B 代入得43=t ，故答案为A ． 9.【解析】由已知得211cos 21()cos 2log 222x f x x x +=+--2cos2log x x =-，令()0f x =，即2cos2logx x =，在同一坐标系中画出函数cos 2y x =和2log y x =的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数()f x 的零点个数为2，故选B ．（第10题图）x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O10.【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥ABCD S -，设x BO =1，则()2212x x =+-，解得45=x ，∴该多面体的外接球半径=+==2121B O OO OB R 164116251=+，所以其表面积为44142ππ==R S ，故选C. 11.【解析】因为34=⇒，所以E E E n n n 34+=+=E E n n 3431+-=，设，D E m B E m A E n n n 3431+-=∴，又因为，()⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+--=∴+ma m a n n 342331411231+=+n n a a ， ∴以，又，所以数列表示首项为2，公比为3的等比数列，所以，∴1615=a ,故选D ．12.【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其“伴随点”为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的“伴随点”为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为2222(,)0y xf x y x y-=++与2222(,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y xf x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y--=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其“伴随点”为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线b kx y +=上任一点),(y x P 的“伴随点”为'2222(,)y x P x y x y-++，∴'P 的轨迹是圆，故④错3BD DC = n n mE C E A = 11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+ 113(1)n n a a ++=+112a +={}1n a +1123n n a -+=⋅误，所以正确的为序号为②③．故选B. 填空题解析：13.【解析】5191()(),()()2222f f f f -=-=，∴59()()22f f -=111123()()222255f f a a ⇒-=⇒-+=-⇒=∴32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=- 14.【解析】设阴影部分的面积为S ,则dx x x S )(012-=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3233132x x 313132|10=-=，又正方形面积为1，31=∴a ，∴()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)31(31()31(log 3x x x x f x ）)(x f ∴的值域为[)∞+-，115.【解析】 x x x f 2cos 22sin 23)(+-=',123)4(=-='πf ,则1=a ，点P 的坐标为)1,1(，若P 为切点，23x y ='，曲线3y x =在点P 处切线的斜率为3，切线方程为)1(31-=-x y ，即023=--y x ；若P 不为切点，曲线3y x =的切线的切点为),(n m ，曲线3y x =的切线的斜率 23m k =，则2311m m n =--，又3m n =，则21-=m ，81-=n ，得出切线方程)21(4381+=+x y ，即0143=+-y x .∴过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为3203410x y x y --=-+=或.16.【解析】设()()()1111,,,,,y C x y A x y B x --，显然12,x x x x ≠≠．∵点,A C 在双曲线上，∴221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22212221y y b x x a -=-， ∴22211212BC 222111=AC y y y y y y b k k k k x x x x x x a-+-===-+- . 由()1212121222ln ln ln y k k k k k k k k =++=+，设12t k k =，则2ln y t t =+，∴求导得221y t t '=-+，由220t y t-'==得2t =． ∴2ln y t t =+在()2,0单调递减，在()+∞,2单调递增，∴2t =时即122k k =时2ln y t t=+取最小值，∴222b a =，∴e ==。

河北省正定中学高三数学上学期第三次月考(期中)试题

河北正定中学高三年级第三次月考数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数iz -=12，则复数z 的模是 A.1 B.2 C.3 D.22 2. 等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4aA.8B.8-C.8或8-D.16 3. 若命题:01xp x <-,命题2:2q x x <,则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知向量(1,2)a =，⊥，则b 可以为A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)- 5. 命题“存在,0R x ∈使得020≤x ”的否定是A.不存在,0R x ∈使得02>x B. 存在,0R x ∈使得020>x C.对任意02,>∈x R x D. 对任意02,≤∈x R x6. 已知sin()sin 3παα++=7sin()6πα+的值是A.45 D.45-7. 设,x y 均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为A.4B.8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足①对任意的x 都有(4)()f x f x +=成立；②当[0,2]x ∈时，()22|1|f x x =--，则1()||f x x =在[4,4]-上根的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 9. 函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象A.向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度10. 已知数列{}n a满足110,1n n a a a +==+，则13a =A.143B.156C.168D.19511. 已知O 为ABC ∆的外心，2AB =,4AC =，若y x +=，且 42x y +==A ．1B ．2 CD ．412. 已知函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为 A.15 B.25 C.12D.1 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__________．14. 若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．15. 由直线20x y +-=，曲线3y x =以及x 轴围成的图形的面积为__________．16. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21x x f x -=+，且22014(2)sin 3f a π-=，20142015(2)cos6f a π-=，则2015S =__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-，且12,cos 4a C ==，求b 及ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，*n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X 的分布列及平均值.19.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10,1n a a >=，且221,2,n n n a S a +成等比数列，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb a =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证2n T <.20. (本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．（1）证明：DF AE ⊥；（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．21. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(,)22A -，点12,F F 分别为其左右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥,求四边形PMQN 面积的最小值．22. (本小题满分12分)已知函数2()ln x f x x=.(1)求函数()f x 在区间14[,]e e 上的最值；(2)若244()()ln m mxg x f x x-=+（其中m 为常数），当102m <<时，设函数()g x 的3个极值点为,,a b c ，且a b c <<，证明：021a b c <<<<.高三期中考试数学试题参考答案一、选择题： 1-5 BCADC 6-10 DDBAC 11-12 BA 二、填空题：13. 2 14. 32 15. 3416.4030 17 解：2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-2cos sin 2sin sin cos cos sin B A A A B A B ∴-=-即sin cos cos sin 2sin A B A B A +=sin()sin 2sin A B C A ∴+==………………………4分2c a ∴= 4c =………………………5分又2222cos c a b ab C =+-即21164-224b b =+⋅⋅2120b b ∴--= 解得3()4b b =-=舍去或………………………8分122ABC S ∆∴=⋅=10分18．解：（1）当110n ≤≤时，50(10)(10)60100y n n n =+-⨯-=-，………2分当10n >时，5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+，………4分所以函数解析式**60100,110,30200,10,n n n N y n n n N⎧-≤≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩； …………6分（2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560. 其概率分别为911311,,,,505010510，…………8分 ∴利润X 的分布列为：………10分利润X 的平均值为：91131123863804405005305605050105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）………12分19.解：（1）由已知得：22214n n n S a a +=⋅，又0n a >，12n n n S a a +∴=⋅，11222,2a a a a ∴=⋅∴=………2分当2n ≥时，112n n n S a a --=⋅112()n n n n a a a a +-∴=-，112n n a a +-∴-=………4分 121,2a a ==，1,3521,,,n a a a a -∴是首项为1，公差为2的等差数列；2,462,,,n a a a a ∴是首项为2，公差为2的等差数列；…………6分{}n a ∴是首项为1，公差为1的等差数列， n a n ∴=.…………7分（2）21n b n =222111111111223(1)23n T n nn=++++<++++⨯⨯-⨯………10分1111111(1)222231n n n=+-+-++-=-<-.………12分 20.解: （1）证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥ 又∵11,AA AB AA AE A ⊥=∴AB ⊥面11A ACC .又∵AC ⊂面11A ACC ，∴AB AC ⊥，………………………………………2分以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………………4分设()111,,,D x y z A D A B λ=且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y z λ-=,则11(,0,1),,,122D DF λλ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，∵1110,1,,0222AE DF AE ⎛⎫=∴⋅=-=⎪⎝⎭，所以DF AE ⊥；…6分（2）结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14.........................7分理由如下：由题可知面ABC 的法向量()0,0,1n =…………………………………………8分设面DEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵11111,,,,,122222FE DF λ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩，令()21z λ=-，则()()3,12,21n λλ=+-．………………………………………10分∵平面DEF 与平面ABC∴14cos ,14m nm n m n ⋅==14=，解得12λ=或74λ=（舍），所以当D 为11A B 中点时满足要求．………………………12分 21.解：（1）由题意得：2222c e a b c a ==-=，得,b c a ==，因为椭圆过点2A ⎛-⎝⎭，则22111,2c c +=解得1,c =所以a = 所以椭圆C 方程为:2212x y +=． (4)分（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得4,MN PQ S ===5分当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠与24y x =联立得()2222240k x k x k -++=，令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1x xx x k+=+⋅=， 244MN k ==+，…………………………………………7分 ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--，将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令3344(,),(,)P x y Q x y ，2341222422,22k x x x x k k-+=⋅=++，由弦长公式PQ ==9分∴四边形PMQN的面积()22221)22k S MN PQ k k +==+,………………………10分令21(1)t k t =+>，上式21)1S t ===+>-所以S ≥12分 22.解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞()()22ln 1ln x x f x x -'=，令()0f x '=可得14,x e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当14e x <<()0f x '<，函数()f x 单调递减；x e <时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. ……………………………2分()min 2f x fe ∴==，又()124,f e f e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭且2e >所以函数()f x 的最小值为2e ，最大值为2e ……………………………………………4分（2）由题意得()222244()ln ln x m x m mx g x x x-+-==()()2222ln 1ln m x m x x g x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=………………………………………………………6分令()22ln 1m h x x x =+-，有()222x m h x x-'= 所以函数()h x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增…………………………8分因为函数()g x 有三个极值点,,a b c从而min ()()2ln 10,h x h m m m ==+<∴< 当102m <<时，(2)2ln 0,(1)210h m m h m =<=-< 从而3个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1. 又a b c <<，0,2,1a m b m c ∴<<=>即0,212ba b m c <<=<<，故021a b c <<<<…………………………………………………12分。

河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考(期中)理数试题 Word版含答案

河北省正定中学2016-2017学年高三质量检测第三次考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数13z i =+，21z i =-，则12z z z =的共轭复数在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.已知集合2{20}P y y y =-->，2{0}Q x x ax b =++≤，若P Q R = ，则(2,3]P Q = ，则a b +=（）A ．-5B ．5C ．-1D ．13.命题“*x N ∀∈，x R ∃∈，使得2n x <”的否定是（）A ．*n N ∀∈, x R ∃∈，使得2n x ≥B ．*n N ∀∈，x R ∀∈，使得2n x ≥C ．*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥D ．*n N ∃∈，x R ∃∈，使得2n x ≥4.已知函数(1)y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在(1,)+∞上单调，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且620()()f a f a =，则{}n a 的前25项之和为（） A ．0 B ．252C ．25D ．50 5.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移(0)s s >个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A ．12t =，s 的最小值为6π B．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D．t =，s 的最小值为3π6.若函数12()1sin 21x xf x x +=+++在区间[,]k k -（0k >）上的值域为[,]m n ，则[,]m n 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．47.函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，1()2b f =，(3)c f =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<8.等腰直角三角形ABC 中，090C ∠=，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC ∆（含边界）内任意一点，则AN MP ∙的取值范围是（）A ．33[,]44-B ．13[,]44-C ．31[,]44-D ．13[,]449.函数221()sin()cos()cos log 442f x x x x x ππ=+++--的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．410.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A ．8πB ．252π C ．414π D ．12π 11.如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BC DC =，*()n E n N ∈为边AC 上的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+∙，其中实数列{}n a 中，0n a >，11a =，则a ξ=（）A ．46B ．30C ．242D ．16112.在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ； ②若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线” 'C 关于y 轴对称； ③单位圆的“伴随曲线”是它自身； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中真命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10()2,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，其中a R ∈，若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是________. 14.如图，在边长为1的正方形OABC 内，阴影部分是由两曲线y =，2y x =（01x ≤≤）围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a ，则函数3log ()()1()()3xx x a f x x a ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩的值域为________.15.已知函数()3cos 2sin 2f x x x x =++，'()4a f π=，'()f x 是()f x 的导函数，则过曲线3y x =上一点(,)P a b 的切线方程为________.16.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于,A B两点，设直线,AC BC 的斜率分别为12,k k ，则当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线的离心率为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-. （1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D，AD =1BD =，求sin BAC ∠的值. 18.（本小题满分12分）某学校根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔能否成功进入这三个社团是相互独立的，2016年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社会的概率依次为m 、13、n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >. （1）求m 与n 的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分，求该新生在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置，'OD =（1）证明：'D H ⊥平面ABCD ；（2）求二面角'B D A C --的正弦值． 20.（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：(1)n n n S t S a =-+（t 为常数，且0t ≠，1t ≠）．（1）设2n n n n b a S a =+∙，若数列{}n b 为等比数列，求t 的值；（2）在满足（1）的情形下，设41n n c a =+，数列{}n c 的前n 项和n T ，若不等式12274nkn n T ≥-+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数k 的取值范围．21.（本小题满分12分）设椭圆2221(3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为坐标原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围． 22.（本小题满分12分）设2()cos 12x f x x =+-．（1）求证：当0x ≥时，()0f x ≥；（2）若不等式sin cos 2ax e x x ≥-+对任意的0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．高三质检三数学（理科）试题参考答案一、选择题答案二、填空题答案：13.25-14. [)∞+-，1 15.3203410x y x y --=-+=或16. 三、解答题答案17.【命题意图】本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换，意在考查学生的基本的运算能力、综合分析问题解决问题的能力以及转化与化归的数学思想．17.（1）C A B C A sin sin sin sin sin 222-=+,ac b c a -=+∴222 ……………………2分2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=- ………………………………………………………………4分(0,)B π∈ ,23B π∴= ………………………………………………………………………………5分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD=∠sin 1sin 4BD B BAD AD ∴∠=== …………………………………………………………………7分217cos cos 212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅= …………………………………………9分sin BAC ∴∠===……………………………………………10分18.【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，意在考查学生的审题能力以及数据处理能力. 18．（1）依题，⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(311)(1(124131n m mn ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4121n m .………………………………………6分（2）设该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数为随机变量X ，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6. ………………………………………………………………7分而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)1(=⨯⨯==X P ； 81433121)2(=⨯⨯==X P ； 245433121413221)3(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)4(=⨯⨯==X P ； 241413121)5(=⨯⨯==X P ；241413121)6(=⨯⨯==X P . …………………………………………10分（每答对两个，加1分）∴X 的分布列为：241 于是，2416241512142453812411410)(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 1223=. …………………………12分19.【命题意图】本题考查立体几何中的向量方法，意在考查数形结合思想，空间想象能力，以及运算求解能力.19.(1)由已知得BD AC ⊥，CD AD =,又由CF AE =得CDCFAD AE =，故AC ∥EF ，因此HD EF ⊥，从而EF ⊥H D '.由65==AC AB ，得==BO DO 422=-AO AB .…………2分由AC ∥EF 得41==AD AE DO OH .所以1=OH ,3'==DH H D .…………………………………3分于是2'2222'1013O D OH H D ==+=+,故OH H D ⊥'.又EF H D ⊥',而H EF OH = ,所以D H '⊥平面ABCD . ……………………………………………………………………………4分(2)如图，以H 为坐标原点，HF的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则………………………………………………………………………………………………………11分By()0,0,0H ，()0,1,3--A ，()0,6,0-B ，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.………………………………………………………………………………………6分设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ ，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，可取()4,3,5m =-.…………………………………8分设()222,,n x y z = 是平面'ACD 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ ，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，可取()0,3,1n =-………………………………………10分于是2557105014cos -=⨯-=⋅>=<n m n m n m,，………………………………………………11分设二面角的大小为θ，sin θ=因此二面角B D A C '--的正弦值是……………12分20.【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和，，以及数列单调性的判定等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力．20.（1）当1n =时，111(1)S t S a =-+，得1a t =．……………………………………………1分当2n ≥时，由(1)n n n S t S a =-+，即(1)n n t S ta t -=-+，①∴11(1)n n t S ta t ---=-+，②①-②，得1(1)n n n t a ta ta --=-+，即1n n a ta -=，数列{}n a 的各项均不为零∴1nn a t a -=（2n ≥），∴{}n a 是等比数列，且公比是t ，∴n n a t =． ………………………………………………3分0t ≠，1t ≠∴2(1)()1n n nn t t b t t t -=+⋅-，即212121n n n n t t t b t+++-=-，……………………………4分若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而212b t =，32(21)b t t =+，423(21)b t t t =++，故23242(21)(2)(21)t t t t t t ⎡⎤+=⋅++⎣⎦，解得12t =， ………………………………………………5分再将12t =代入n b ，得1()2n b =，由112n n b b +=，知{}n b 为等比数列，∴12t =．……………………6分（2）由12t =，知1()2n n a =，∴14()12n n c =+，……………………………………………………7分∴11(1)224112n n T -=⨯-442n n n +=+-，………………………………………………………………9分由不等式12274nkn n T ≥-+-恒成立，得2732nn k -≥恒成立，设272n nn d -=，由1n n d d +-11252729222n n n n n n ++---+=-=，………………………………………10分 ∴当4n ≤时，1n n d d +>，当4n ≥时，1n n d d +<，而4116d =，5332d =，∴45d d <，∴3332k ≥，∴132k ≥．………………………………………………………………………………12分 21.【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力.21.（1）：设(,0)F c ，由FA e OA OF 311=+，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.………………4分 (2)设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，………………………………………………………………………6分由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B .由（1）知)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .……………………………………………………8分由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以-034123449222=+++-k ky k k H，解得kk y H 12492-=.……………9分因此直线MH 的方程为k k x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .……………………………………10分在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .……………………………………………………11分所以直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ .…………………………………………12分22.【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式、不等式恒成立等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．22.（1）证明：2()cos 12x f x x =+-)0(≥x ，则x x x f sin )('-=， (1)分设()sin x x x ϕ=-，则'()1cos x x ϕ=-， ………………………………………………………2分当0≥x 时，'()1cos 0x x ϕ=-≥，即x x x f sin )('-=为增函数，所以0)0(')('=≥f x f ，∴)(x f 在()+∞,0时为增函数，所以0)0()(=≥f x f ．…………………………………………4分（2）解法一：由（1）知0≥x 时，x x ≤sin ，12cos 2+-≥x x ，所以2cos sin 122+-≥++x x x x ，设2()12xx G x e x =---，则'()1x G x e x =--， ………………………………………………5分设()1x g x e x =--，则'()1x g x e =-，……………………………………………………………6分当0≥x 时'()10xg x e =-≥，所以()1xg x e x =--为增函数，所以()(0)0g x g ≥=，所以()G x 为增函数，所以()(0)0G x G ≥=，…………………………7分所以2cos sin +-≥x x e x 对任意的0≥x 恒成立.…………………………………………………8分又0≥x ，1≥a 时，x ax e e ≥，所以1≥a 时2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立.……10分当1<a 时，设2cos sin )(-+-=x x ex h ax，则x x ae x h ax sin cos )('--=，…………………11分01)0('<-=a h ，所以存在实数00>x ，使得任意),0(0x x ∈，均有0)('<x h ，所以)(x h 在),0(0x为减函数，所以在),0(0x x ∈时0)0()(=<h x h ，所以1<a 时不符合题意. 综上，实数a 的取值范围为),1[+∞.……………………………………………………………………12分（2）解法二：因为sin cos ax e x x ≥-+2等价于ln(sin cos )ax x x ≥-+2 ………………………6分设()ln(sin cos )g x ax x x =--+2，则sin cos ()sin cos x xg x a x x +'=--+2………………………………7分可求sin cos [,]sin cos x xx x +∈--+112，………………………………………………………………9分所以当a ≥1时，()g x '≥0恒成立，()g x 在[,)+∞0是增函数，所以()()g x g ≥=00，即ln(sin cos )ax x x ≥-+2，即sin cos ax e x x ≥-+2 所以a ≥1时，sin cos ax e x x ≥-+2对任意x ≥0恒成立．………………………………………10分当a <1时，一定存在x >00，满足在(,)x 00时，()g x '<0，所以()g x 在(,)x 00是减函数，此时一定有()()g x g <=00，即ln(sin cos )ax x x <-+2，即sin cos axe x x <-+2，不符合题意，故a <1不能满足题意，综上所述，a ≥1时，sin cos axex x ≥-+2对任意x ≥0恒成立．……………………………12分选择题详细分析： 1.i iiz 2113+=-+=，i z 21-=∴.z 在复平面内的对应点位于第四象限.故选D. 2.2{|20}{|21}P y y y y y y =-->=><-或，若P Q R = ，(2,3]P Q = ，由P Q R = ，(2,3]P Q = ，所以13{|}Q x x =-≤≤，∴13-，是方程20x ax b ++=的两根，由根与系数关系得1335a b a b -=-+=-∴+=-，．3.命题的否定，是条件不变，结论否定，同时存量词与全称量词要互换，因此命题“*n N ∀∈， x R ∃∈，使得2n x <”的否定是“*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥”．故选C ． 4.由已知可得2206=+a a ，又{}n a 是等差数列，所以206251a a a a +=+，∴数列的前25项和25225)(25125=⨯+=a a S ，所以数列的前25项和为25.故选C.5.(,)4P t π在sin(2)3y x π=-图象上，21342sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∴ππt ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛21,4πP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴21,4's P π，又'P 位于函数sin 2y x =的图象上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-∴s 42sin π212cos 22sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=s s π，322ππ+=∴k s 或32ππ-k ()Z k ∈，0>s ，6min π=∴s .故选A.6.()()221221sin 3sin 2121x x x f x x x +-=++=-+++，()()2223sin 3sin 2112xx xf x x x --=-+-=--++ ，且()()4f x f x +-=，所以()f x 是以点()0,2为对称中心，所以其最大值与最小值的和4m n +=.故选D.7.由()(2)f x f x =-知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，则'()0f x >，所以在1x <时，()f x 递增，(3)(23)(1)f f f =-=-，又11012-<<<，所以1(1)(0)()2f f f -<<，即c a b <<．故选B ．8.以C 为坐标原点，CA 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则()0,1A ，()10，B ，设()y x P ,，则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0100y x y x 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,1，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,21y x ,4121++-=⋅y x ，令 4121++-=y x t ，结合线性规划知识，则2122-+=t x y ，当直线4121++-=y x t 经过点()0,1A 时，MP AN ⋅有最小值，将()0,1A 代入得43-=t ，当直线4121++-=y x t 经过点()10，B 时，MP AN ⋅有最大值，将()10，B 代入得43=t ，故答案为A ． 9.由已知得211cos 21()cos 2log 222x f x x x +=+--2cos 2log x x =-，令()0f x =，即2cos 2log x x =，在同一坐标系中画出函数cos 2y x =和2log y x =的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数()f x 的零点个数为2，故选B ．x–1–2–3–41234–1–2–3–41234OBD（第9题图）（第10题图）10.由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥ABCD S -，设x BO =1，则()2212x x =+-，解得45=x ，∴该多面体的外接球半径=+==2121B O OO OB R 164116251=+，所以其表面积为44142ππ==R S ，故选C. 11.因为3BD DC ==⇒，所以B E BC B E C E n n n +=+==，设n n mE C E A = ，E m E m E n n n 3431+-=∴，又因为11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+ ，()⎪⎩⎪⎨⎧⇒=+--=∴+ma m a n n 342331411231+=+n n a a ， ∴以113(1)n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +表示首项为2，公比为3的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，∴1615=a ,故选D ．12.对于①，若令(1,1)P ，则其“伴随点”为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的“伴随点”为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为2222(,)0y xf x y x y -=++与2222(,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y xf x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其“伴随点”为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④,直线b kx y +=上任一点),(y x P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y-++，∴'P 的轨迹是圆，故④错误，所以正确的为序号为②③．故选B. 填空题详细分析：13.5191()(),()()2222f f f f -=-=，∴59()()22f f -=111123()()222255f f a a ⇒-=⇒-+=-⇒=∴32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=- 14.设阴影部分的面积为S ,则dx x x S )(012-=⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3233132x x 313132|10=-=，又正方形面积为1，31=∴a ，∴()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)31(31()31(log 3x x x x f x ）)(x f ∴的值域为[)∞+-，1 15. x x x f 2cos 22sin 23)(+-=',123)4(=-='πf ,则1=a ，点P 的坐标为)1,1(，若P 为切点，23x y ='，曲线3y x =在点P 处切线的斜率为3，切线方程为)1(31-=-x y ，即023=--y x ；若P 不为切点，曲线3y x =的切线的切点为),(n m ，曲线3y x =的切线的斜率 23m k =，则2311m m n =--，又3m n =，则21-=m ，81-=n ，得出切线方程)21(4381+=+x y ，即0143=+-y x .∴过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为3203410x y x y --=-+=或.16.设()()()1111,,,,,y C x y A x y B x --，显然12,x x x x ≠≠．∵点,A C 在双曲线上，∴221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22212221y y b x x a -=-， ∴22211212BC 222111=AC y y y y y y b k k k k x x x x x x a-+-===-+- . 由()1212121222ln ln ln y k k k k k k k k =++=+，设12t k k =，则2ln y t t =+，∴求导得221y t t '=-+，由220t y t-'==得2t =． ∴2ln y t t=+在()2,0单调递减，在()+∞,2单调递增，∴2t =时即122k k =时2ln y t t=+取最小值， ∴222b a=，∴e ==。

河北省正定中学高三数学上学期第三次月考(期中)试题文

高三质检三文科数学参考答案及评分标准二、填空题13．3 14．13 15． 25-16．1三、解答题17．解：()1设数列{}n b 的公差为d ，Q 3322222731833.6a S q d q S q d d q a +=⎧⎧+==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==+=⎪⎩⎩⎪⎩ ⋅L L L L L 3分13n n a -∴=，3n b n = ， ⋅L L L L L 5分()2由题意得：()332n n n S += ， ⋅L L L L L 6分 ()9921113()22311n n c S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭ ⋅L L L L L 8分1111133[(1)()()]22311n n T n n n =-+-++-=++L ⋅L L L L L 10分 18．解：（1）由题意可得：)6sin(2)cos()sin(3)(πϕωϕωϕω-+=+-+=x x x x f ,…………2分因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以π=T ，2=ω，因为函数为奇函数，所以6,6ππϕππϕ+==-k k ，因为πϕ<<0，所以6πϕ=，函数为x x f 2sin 2)(=．………4分要使[,]24x ππ∈-时)(x f 单调递减，需满足42,22ππππ-≤≤--≤≤-x x ，所以函数的减区间为[,]24x ππ∈--．…………6分（2）由题意可得：)34sin(2)(π-=x x g ，…………8分 ∵]6,12[ππ-∈x ，∴33432πππ≤-≤-x ，∴]3,2[)(,23)34sin(1-∈≤-≤-x g x π，即函数)(x g 的值域为]3,2[-．⋅L L L L L 12分19．解：（1）方法一：如图，取BC 的中点N ，连接MN 、EN ．在ABC ∆中，M 为AB 的中点，N 为BC 的中点，∴//MN AC ，又因为//DE BC ，且12DE BC CN ==，∴四边形CDEN 为平行四边形，………… 2分 ∴//EN DC ，又∵MN EN N =I ，AC CD C =I ．∴平面//EMN 平面ACDF ，…………4分又∵EM ⊂面EMN ，∴//EM 面ACDF ．…………6分方法二：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PD ．在ABC ∆中，P 为AC 的中点，M 为AB 的中点，∴//PM BC ，且12PM BC =，又∵//DE BC ，12DE BC =,∴//PM DE ，故四边形DEMP 为平行四边形，∴//ME DP ，…………4分又∵DP ⊂平面ACDF ，EM ⊄平面ACDF ，∴//EM 面ACDF ．…………6分（2）∵平面ACDF ⊥平面BCDE ，平面ACDF I 平面BCDE DC =，又AC DC ⊥，∴AC ⊥平面BCDE ，…………9分∴AC BD ⊥， …………10分又BD AD ⊥，BD AD A =I ，∴BD ⊥平面ACDF ．…………12分20．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >．∵39S =，∴123239a a a a ++==，即23a = ，……2分又12a ，31a -，41a +成等比数列，∴2(2)2(3)(42)d d d +=-+，解得2d =，11a =，∴12(1)21n a n n =+-=-. …………5分（2）由12n nn a b -=，得11211(21)()22n n n n b n ---==-⋅，…………6分则0111111()3()(21)()222n n T n -=⋅+⋅++-⋅L 所以121111111()3()(23)()(21)()22222n nn T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅L…………8分两式相减得：1211111112()2()2()(21)()22222n nn T n -=+⋅+⋅++⋅--⋅L1211()21121213122212n n n nn n -----=+-=--- ，故12362n n n T -+=-，因为*n N ∈，所以123662n n n T -+=-<． …………12分21．解：（1）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AE BB ⊥，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE BC ⊥，因此AE ⊥平面11B BCC ，……3分而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面11B BCC ．…………5分（2）设AB 的中点为D ，连接1,A D CD ，因为ABC ∆是正三角形，所以CD AB ⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CD AA ⊥，因此CD ⊥平面11A AB B ，于是1CA D ∠是直线1A C 与平面11A ABB 所成的角，由题设知145CA D ∠=o，……7分所以1A D CD =33AB ==在1Rt AA D ∆中，2211312AA A D AD =-=-=11222FC AA ==，故三棱锥F AEC -的体积11326332212AEC V S FC =⨯=⨯=．…………12分 22．解：（1）因为()()1e x a f x x x '=+-，0x >， ··············· 2分依题意得(1)0f '=，即2e 0a -=，解得2e a =． ············ 3分所以()2e ()1e x f x x x '=+-，显然()f x '在()0+∞，单调递增且(1)0f '=，故当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 的递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞． ·········· 5分（2）①当0b ≤时，由（1）知，当1x =时，()f x 取得最小值e ．又()222b x x -+的最大值为b ，故()()222f x b x x -+≥． ········ 6分 ②当0e b <≤时，设()2()e 2eln 22x g x x x b x x =---+，所以()()2e ()1e 21x g x x b x x '=+---， ················· 7分令()()2e ()1e 21x h x x b x x =+---，0x >，则()22e ()2e 2x h x x b x '=++-，当(]0,1x ∈时，22e 20b x -≥,()2e 0x x +>，所以()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()2e 20x x b +->，22e 0x >，所以()0h x '>，所以当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增，………………．9分又()10h = ，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，()g x 取得最小值(1)e 0g b =-≥，所以()0g x ≥，即()()222f x b x x -+≥．综上，当e b ≤时，()()222f x b x x -+≥． ·············· 12分选择题解析： 1．D 【解析】复数12(12)(2)52(2)(2)5i i i i z i i i i +++====--+，所以z 的模为1．故选D ．2． A 【解析】由(2)0x x -<，得02x <<，即{|02}A x x =<<，{|10}{|1}B x x x x =->=<，{|1}R C B x x =≥，所以(){|12}R A C B x x =≤<I ．故选A ．3．B 【解析】命题“0x ∀>，20x x +>”的否定是“20,0x x x ∃>+≤”，故选B ．4． C 【解析】=+b a ρρλ），（λ-11，5|-11|=），（λ，解得λ=3或-1，故选C ．5． A 【解析】由题意可知A 中几何体具备题设要求：三视图分别为正方形，三角形，圆，故选A ．6．D 【解析】因为()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,函数()2sin 223y f x x πϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭的图象关于直线0x =对称,函数为偶函数,12πϕ∴=, 故选D ．7．B 【解析】由题意得，因为log 1a b >，则1b a >>或01b a <<<，当1b a >>时，10,0a b a ->->，所以(1)()0a b a -->；当01b a <<<时，10,0a b a -<-<，所以(1)()0a b a -->，故选B ．8．C 【解析】由三视图可知该零件为半球挖去一个同底的圆锥，所以该零件的体积为32141=2-21=4233V πππ⨯⨯⨯⨯．故选C.9．A 【解析】因为当12x x ≠时,()()()12120,f x f x f x x x -<∴-是R 上的单调减函数，0121101,031123a a a a ⎧⎪<-<⎪∴<<∴<≤⎨⎪⎪-≥⎩，故选A ．10．C 【解析】()2324a b c a c b c ++=+++≥=．故选C ．11．A 【解析】当1n =时，1112a =，1 2.a ∴=当2n ≥时，()221121222n n n n n n n T T a ----==-=，所以()2221n n a n n =≥-,综上有()2112121n n a n N n n +==+∈--，所以123a a a >>>L ,即数列{}n a 是单调递减的．(或用()()1202121n n a a n n +--=<+-)．故选A ．12．C 【解析】构造函数()()h x xf x =，∴()()()h x f x x f x ''=+⋅，∵()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，∴()h x 是定义在实数集R 上的偶函数，当x＞0时，()()()0h x f x x f x''=+⋅>，∴此时函数()h x单调递增．∵111()()222a f h==，2(2)2(2)(2)b f f h=--==，111(ln)(ln)(ln)(ln2)(ln2)222c f h h h===-=，又1ln222<<，.a c b∴<<故选C．填空题解析：13．3【解析】作出可行域，如图ABC∆内部（含边界），作出直线:340l x y-=，平移直线l，当它过点(1,0)C时，34z x y=-取得最大值3．14．13【解析】由题意21343S S S=+，即21111114()3()a a q a a a q a q+=+++，∵10,0a q≠≠，∴13q=．15．25-【解析】因为()()2 2.f x f x T+=⇒=所以5911()()2222f f f f⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213||2525m m⇒-=--⇒=-，因此()325(3)(1)1.55f m f f=-=-=-+=-16．16+【解析】因为232cos sin23AA=，所以31cos3A A+=，化简得3sin()32Aπ-=．所以23Aπ=．又因为sin()4cos sinB C B C-=，所以sin cos cos sin6cos sinB C B C B C+=，所以sin 6cos sin A B C =，即22262c a b a c ca +-=⨯，整理得2222330a c b +-=．又2222212()2a b c bc b c bc =+-⋅-=++，所以22250b bc c --=，两边除以2c 得22()50b b c c --=，解得1b c =+．。

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