1、随机事件

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概率论与数理统计第一章1.1随机事件

事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一个事件，它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知，初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重其每种可能的结果出现的频率具有复出现时，
稳定性，从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象

概率论与数理统计第1章随机事件及其概率

骰子朝上的点数为 i ,第二颗骰子朝上的点数为 j . (3) (i) S1 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 ),( 次品,正品 )} ;
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1 ”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1,0),(1,1),(0,1)} ；(ii) S2 {(1,0),(1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1 ”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1,0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
字母 E T A O I N S R H
使用频率 0.126 8 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4 0.059 4 0.057 3
字母 L D U C F M W Y G
使用频率 0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4 0.020 2 0.018 7
第1章随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象我们称之为偶然性现象或随机现象.
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种规律,称为随机现象的统计规律性.

1随机事件

“落在海洋里”可能性更大
说说你的疑问！
1、好成绩靠的是持之以恒，好前程来源于永不懈怠。 2、学习靠自觉，进步靠努力。每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多！
同学们都听说过“天有不测风云”这句话把！它的原意是指刮风、下雨、晴天这些天气状况很难事先准确预料；后来它被引申为：世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判定这些事情是否会发生. 人们果真对这类偶然性事件完全无法把握，束手无策吗？不是！随着对事件发生的可能性的深入研究，人们发现许多偶然性事件的发生也是有规律可循的.概率这个重要的数学概念,正是在研究这类规律中产生的,人们用它描述事件发生的可能性大小.例如，天气预报说明天的降水率为90％，就意味着明天有很大可能小雨. 现在概率的应用日益广泛.从今天开始,我们将学习第25章概率初步，通过本章的学习，提高自己对偶然性事件发生规律的认识。
必然会发生
必然不会发生
可能发生, 也可能不发生
小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰
子向上的一面：
(1)可能出现哪些点数？ 1、2、3、4、5、6 (2)出现的点数会是7吗？不会 (3)出现的点数大于0吗？
一定大于0 (4)出现的点数会是4吗？
1、理解必然事件、随机事件、不可能事件的概念. 2、对随机事件发生的可能性有定性的认识，知道事件发生的可能性是有大小的. 3、体验有些事件的发生是不确定的.
小明从盒中任意摸出一球，一定能摸到红球吗？小明不一定能摸到红球
小麦能摸到红球吗？小麦不可能摸到红球
小米呢? 小米一定可以摸到红球
请分析:“从已知的一堆牌中任意抽一张，抽到红牌”这一事件的发生情况?

概率论第一章

例如：在检查某些圆柱形产品时，例如：在检查某些圆柱形产品时，如果规定只有它的长度及直径都合格时才算产品合格，那么“产品合格” 直径合格” 都合格时才算产品合格，那么“产品合格”与“直径合格”、长度合格”等事件有着密切联系。 “长度合格”等事件有着密切联系。
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个，如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验例如, 寿命试验测试在同一工艺条件下生产掷骰子试验掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命掷一颗骰子，掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章随机事件及其概率
随机事件及样本空间频率与概率条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的，因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个比另一个更容易取得。也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10 1/10。均为1/10。

概率第一章

第1章随机事件1．1 随机事件1.1.1 随机现象与随机试验概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学分科．什么是随机现象呢？下面让我们先做两个简单的试验：试验一：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球；试验二：一个盒子中有10个相同的球，其中5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取一球．分析上述两个试验结果给出下述两个基本概念：确定性现象：在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象．试验一所代表的类型即是确定性现象．试验二所代表的类型，有多于一种可能的试验结果，而且在一次试验之前不能确定会出现哪一个结果，这一类试验称为随机试验．在客观世界中随机现象也是极为普遍的，例如：某地区的年降雨量；检查流水生产线上的一件产品，是合格品还是不合格；打靶射击时，弹着点离靶心的距离，等等．在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象．在相同条件下多次重复某一试验或观察时，虽然结果具有不确定性，但会表现出一定的规律性，这种规律性称之为统计规律性．那么如何来研究随机现象的统计规律呢?对随机现象进行的实验与观察统称为试验．具有下列特征的试验称为随机试验：1．可在相同的条件下重复进行；2．试验结果不止一个，但在试验之前能明确试验所有可能的结果；3．试验前不能确定到底会出现哪一个结果．随机试验一般用大写英文字母E 表示．如：1E ：抛一枚硬币，观察出现正面还是反面（分别用“H ” 和“T ” 表示出现正面和反面）；2E ：抛两枚硬币，观察出现的结果；3E ：掷一颗骰子，观察出现的点数；4E ：记录某网站一分钟内被点击的次数；5E ：对一目标进行射击，直到命中为止，观察其结果；6E ：在一批灯泡中任取一只，测其寿命．1.1.2 样本空间与随机事件对于随机试验，虽然在我们试验之前不能预知试验的结果，但可以确定试验的所有可能的结果．定义1.1.1 样本空间：随机试验所有可能的结果组成的集合称为样本空间，通常用字母Ω表示．定义1.1.2 样本点：随机试验每一个可能的结果称为样本点，通常用字母ω表示样本点，即为Ω中的元素．例1.1.1 一盒子中有黑球、白球，从中任取一球，观察其颜色，记1ω={取得白球}，2ω={取得黑球}，则12{,}ωωΩ=．例 1.1.2 一个盒子中有十个完全相同球，分别标以号码1210，，，，从中任取一球，令 i ={取得球的号码为i }，则{1,210}Ω=．例1.1.3 写出16~E E 的样本空间．解 16~E E 的样本空间分别为：(1) 1{,}H T Ω=；(2) 2{,,,}HH HT TH TT Ω=；(3) 3{1,2,3,4,5,6}Ω=；(4) 4{0,1,2}Ω=；(5) 5{(,)|0,0}x y x y Ω=>>；(6) 6{|0}t t Ω=≥．在实际中，我们通常并不关心所有的样本点，而是只关注一些满足一定条件的样本点，如在随机试验6E 中，若规定这种灯泡的寿命超过1000小时为一级品，那么我们只关心{|1000}t t >中的样本点，所以我们有如下定义：定义1.1.3 随机事件：样本空间Ω的子集，称为随机事件，用大写字母,,,,A B C D 表示，即随机事件为满足一定条件的样本点组成的集合．特别的，仅由一个样本点的事件称为基本事件，它是随机试验的直接结果，每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件；全体样本点组成的事件称为必然事件，记为Ω，每次试验必然事件必定发生；不包含任何样本点的事件称为不可能事件，记为∅，每次试验不可能事件必定不发生．在每次试验中，当且仅当事件A 中的一个样本点出现时，称事件A 发生．例如在3E 中，如果用A 表示事件“掷出奇点数”，那么A 是一个随机事件．由于在一次投掷中，当且仅当掷出的点数是1,3,5中的任何一个时才称事件A 发生了，所以我们把事件A 表示为{}1,3,5A =；“掷出的点数不超过6”就是必然事件，用集合表示这一事件就是3E 的样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=．而事件“掷出的点数大于6”是不可能事件，这个事件不包括3E 的任何一个可能结果，所以用空集∅表示．一个样本空间Ω中，可以有很多的随机事件．概率论的任务之一，是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律．下面我们来介绍事件之间的关系和事件之间的运算规律．1.1.3 事件的关系及运算因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的．下面给出这些关系和运算在概率中的提法，并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率中的含义．设随机试验E 的样本空间为Ω，,,(1,2,)k A B A k =是Ω的子集．1．事件的关系(1) 事件的包含与相等：若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于事件 B ，记为A B ⊃或者B A ⊂．:{}A B A,B ⊂∈∈ωω则．见文氏（Venn ）图1．1．若B A ⊂且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等．(2) 事件的和：事件A 与事件B 至少有一个发生的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为A B ．事件A B 发生意味着：或事件A 发生，或事件B 发生，或事件A 与事件B 都发生．{}A B A,B =∈∈ωω或．见文氏（Venn ）图1．1．推广121ni n i A A A A ==，表示12,,,n A A A 至少有一个发生， 121i i A A A ∞==，表示12,,A A 至少有一个发生．(3) 事件的积：事件A 与事件B 都发生的事件称为事件A 与事件B 的积事件，记为A B ，也简记为AB ．事件A B （或AB ）发生意味着事件A 发生且事件B 也发生，即A 与B 都发生．{}A B A,B =∈∈ωω且．见文氏图1．1．推广121ni n i A A A A ==，表示12,,,n A A A 同时发生， 121i i A A A ∞==，表示12,,A A 同时发生．(4) 事件的差：事件A 发生而事件B 不发生的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -，}A B {A,B -=ω∈ω∉且．见文氏图1．1．注：A B A AB -=-．(5) 互不相容事件(互斥)：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB =∅，则称事件A 与事件B 是互斥的，或称它们是互不相容的．见文氏图1．1．若事件12,,,n A A A 中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的． (6) 对立事件：“A 不发生”的事件称为事件A 的对立事件，记为A ．A 和A 满足：A A =Ω，AA =∅．见文氏图1．1：注：① __A A =Ω-；②在一次随机试验中A 和A 有一个发生而且只有一个发生．图1．1事件的关系图由上述可见概率论中事件间的关系与集合论中集合之间的关系是一致的，于是事件之间的运算规律与集合之间的运算规律也是一致的．２．事件的运算规律设C B A ,,为事件，则事件之间的运算满足：(1) 交换律：A B B A =，BA AB =．(2) 结合律：()()A B C A B C =，)()(BC A C AB =．(3) 分配律：()()()A B C AC BC =，()()()AB C A C B C =． (4) 对偶律：A B AB =；___AB A B =．例1.1.4 甲，乙，丙三人各射一次靶，记事件A ＝｛甲中靶｝，事件B ＝｛乙中靶｝，事件C ＝｛丙中靶｝，用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1)“甲未中靶”；(2)“甲中靶而乙未中靶”；(3)“三人中只有丙未中靶”；(4)“三人中恰好有一人中靶”；(5)“ 三人中至少有一人中靶”；(6)“三人中至少有一人未中靶”；(7)“三人中恰有两人中靶”；(8)“三人中至少两人中靶”；(9)“三人均未中靶”；(10)“三人中至多一人中靶”；(11)“三人中至多两人中靶”．解（1）“甲未中靶”=A；=；(2)“甲中靶而乙未中靶”AB=；(3)“三人中只有丙未中靶”ABC=；(4)“三人中恰好有一人中靶”ABC ABC ABC=；(5)“三人中至少有一人中靶”A B C==ABC；(6)“三人中至少有一人未中靶”A B C=；(7)“三人中恰有两人中靶”ABC ABC ABC=；(8)“三人中至少两人中靶”AB AC BC=；(9)“三人均未中靶”ABC=；(10)“三人中至多一人中靶”ABC ABC ABC ABC==A B C．(11)“三人中至多两人中靶”ABC注：用其它事件的运算来表示一个事件，方法往往不唯一，如上例1.1.4中的(6)和(11)所表示的事件实际上是同一事件．1．2 随机事件的概率在一次随机试验中，除必然事件一定发生，不可能事件不发生外，一般的随机事件可能发生，也可能不发生，于是需要知道它发生的可能性到底有多大．概率是用来描述随机事件发生的可能性的大小的一种数量指标，它是逐步形成和完善起来的．下面我们就先引入频率的概念，然后研究频率的性质，进而引出概率的定义．1.2.1事件的频率定义 1.2.1 对于一个随机事件A 来说，在n 次重复试验中，记A n 为随机事件A 出现的次数，又A n 称为事件A 的频数，称()n f A = A n n为事件的频率．由上述定义，对于事件的频率，我们很容易得到如下性质：（1）0()1n f A ≤≤；（2）()1n f Ω=；（3）对于k 个两两互斥的事件12,,,k A A A ，有11()k kn i n i i i f A f A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑．根据上述定义可知频率反应了一个随机事件发生的频繁程度，人们经过长期的实践发现，虽然个别随机事件在某次试验或观察中可能出现也可能不出现，但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性．在掷一枚均匀的硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，在大量试验中出现正面和反面的频率，都应接近于50％，为了验证这点，历史上曾有不少数学家做过这个试验，其结果如下：又如，在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母．而且各个字母被使用的频率相当稳定．例如，下面就是英文字母使用频率的一份统计表．对一随机事件来说，如果它发生的频率越大，自然这个事件在一次试验中发生的可能性就越大，所以频率在一定程度上反映了事件发生可能性的大小．如上述两个试验，尽管每做n 次试验，所得到的频率()n f A 各不相同，但随着试验次数n 的增加，事件A 的频率()n f A 与会逐渐稳定在一个常数附近，而实际上这一常数即为事件A 的概率．下面给出概率的一个严密的定义．20世纪30年代中期，柯尔莫哥洛夫给出了概率的严密的公理化定义．定义1.2.2 设Ω是随机试验E 的样本空间，对于E 的每一个随机事件A ，定义一个实数()P A 与之对应．若实值集合函数()P ⋅满足下列条件：（1）非负性：对于每个随机事件A ，都有()0;P A ≥（2）规范性：()1P Ω=；（3）可列可加性：若事件12,,,A A 两两互斥，则有 11()i i i i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑， (1.2.1)则称()P ⋅为概率，()P A 为事件A 的概率．由概率的定义，可得到概率的以下性质：性质1 ()0P ∅=．性质2 (有限可加性) 设12,,,n A A A 是两两互斥的事件，则 121()()nn k k P A A A P A ==∑ (1.2.2)性质3 对任意事件A ，有()1()P A P A =-．性质4 对任意事件,A B ，若,A B ⊂则()()()P B A P B P A -=-． (1.2.3)性质5 若,B A ⊂则有()()P B P A ≥．性质6 对于任一事件A ，有0()1P A ≤≤．性质7(减法公式) 对任意事件,A B ，有()()()P B A P B P AB -=-． (1.2.4) 证因为B A B AB -=-，且AB B ⊂，由(1．2．3)，()()()()P B A P B AB P B P AB -=-=-．性质8 (加法公式) 对任意事件,A B ，有()()()() P P AB A P B P AB =+-．(1．2．5) 证由于 ()A B A B AB =-，且(),A B AB -=∅于是有()()()()()()P A B P A P B AB P A P B P AB =+-=+-．推广 ,,A B C 是任意三个事件，则有()()()()()()()().P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+一般，对于任意n 个事件12,,,n A A A 有1121111()()()()...(1)()n n n i i i j i j k n i i j n i j k n i P A P A P A A P A A A P A A A -=≤<≤≤<<≤==-+++-∑∑∑．1．3 古典概率模型古典概型是人们最初讨论的一种随机试验，本节即要讨论古典概型中随机事件的概率．下面先看第１节的三个例子：1E ：抛一枚硬币，观察出现正面还是反面．（分别用“H ” 和“T ” 表示出正面和反面）； 2E ：抛两枚硬币，观察出现的结果；3E ：掷一颗骰子，观察出现的点数．上述三个例子即为古典概型随机试验，它们有共同的特点：(1)样本空间只包含有限个样本点；(2)每个样本点在每次随机试验中等可能出现．凡是具有上述两个特点的随机试验就称为是古典概型，那么在古典概型中随机事件的概率应该如何计算？定义1.3.1 随机试验E 是古典概型，样本空间Ω共含有n 个样本点，随机事件A 含有r 个样本点，则定义事件A 的概率为： () A r P A n==Ω中本中本样点个数样点个数． (1.3.1) 古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧，按照上述概率的计算公式，计算的要点是给定样本点，并计算它的总数，而后再计算所求事件中含的样本点的数目．下面我们看一些典型的古典概率计算的例子．例1.3.1 将一枚硬币抛掷两次，设事件1A ={恰有一次出现正面}；事件2A ={至少有一次出现正面}，求1()P A 和2()P A ．解正面记为“H ”，反面记为“T ”，则随机试验的样本空间为{,,,}HH HT TH TT Ω=，而 {}1,A HT TH =，{},,2A HH HT TH =，于是121()42P A ==，23()4P A =．例1.3.2 有10个电阻，其电阻值分别为1210ΩΩ⋯Ω，，，，从中取出三个，求取出的三个电阻，一个小于5Ω，一个等于5Ω，另一个大于5Ω的概率．解把从10个电阻中取出3个的各种可能取法作为样本点全体，这是古典概型，样本空间的样本点数为103⎛⎫ ⎪⎝⎭，所求事件含样本点数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛151114．故所求概率为 41511111063P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭．例1.3.3 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率．解设事件A={每组有一名运动员}，B={3名运动员集中在一组}，30名学生平均分成3组共有30201030!10101010!10!10!⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭种分法．（1）保证每组有一名运动员则有27!3!9!9!9!分法，所以50()30!20310!10!10!P A =27!3!9!9!9!=；（2）让3名运动员集中在一个组，则有272010371010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分法，所以27201037101018()30!20310!10!10!P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==．例1.3.4（摸球模型）(1) （无放回地摸球）设袋中有M 个白球和N 个黑球，现从袋中无放回地依次摸出m n +个球，求所取球恰好含m 个白球，n 个黑球的概率．解样本空间所含样本点总数为,M N m n +⎛⎫⎪+⎝⎭所求事件含的样本点数为,M N m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以所求概率为 M N m n P M N m n ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫ ⎪+⎝⎭． (2) 有放回地摸球设袋中有4只红球和6只黑球，现从袋中有放回地摸球3次，求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率．解样本空间点总数为310101010⨯⨯=，所求事件所含样本点数为664⨯⨯，故 366410P ⨯⨯= 0.144=．例1.3.5（盒子模型）设有n 个球，每个都能以相同的概率被放到N 个盒子()N n ≥的每一个盒子中，试求：(1)某指定的n 个盒子中各有一个球的概率；(2)恰好有n 个盒子中各有一个球的概率．解设事件A={某指定的n 个盒子中各有一个球}，B={任意n 个盒子中各有一个球}．由于每个球可落入N 个盒子中的任一个，所以n 个球在N 个盒子中的分布相当于从N 个元素中选取n 个进行有重复的排列，故共有nN 种可能分布．对于事件A ，相当于n 个球在那指定的n 个盒子中全排列，总数为!n ，所以 !()n n P A N=．对于事件B ，n 个盒子可以任意，即可以从N 个盒子中任意选出n 个来，这种选法共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N 种，对于每种选定的n 个盒子，再全排列，所以事件B 放法共有!N n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭种，所以!()n N n n P B N⎛⎫ ⎪⎝⎭=．上述例子是古典概型中一个比较典型的问题，不少问题都可以归结为它．例如概率论历史上有一个颇为有名的问题：要求参加某次集会的n 个人中没有两个人生日相同的概率．若把n个人看作上面问题中的n 个球，而把一年的365天作为盒子，则365N =，这时按照上述事件B 概率的求法就给出所求的概率．例如当40n =时，0109P =．，即40人中至少有两个人生日相同的概率为0891．，这个概率已经相当大了．例1.3.6 袋中有a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别，把球均匀混合，然后随机取出来，一次取一个，求第k 次取出的球是黑球的概率()1k a b ≤≤+．解设事件A ={第k 次取出的球是黑球}．法1 把a 只黑球及b 只白球都看作是不同的(例如设想把它们进行编号)，若把取出的球依次放在排列成一行的a b +个位置上，则可能的排列法相当于把a b +个元素进行全排列，总数为()!a b +，把它们作为样本点全体．A 事件所含样本点数为(1)!a a b ⨯+-，这是因为第k 次取得黑球有a 种取法，而另外1a b +-次取球相当于1a b +-只球进行全排列，有(1)!a b +-种取法，故所求概率为(1)!()()!a a b a P A a b a b⨯+-==++，结果与k 无关．实际上本例就是一抽签模型，例如在体育比赛中进行抽签，对各队机会均等，与抽签的先后次序无关．法2 把a 只黑球看作是没有区别的，把b 只白球也看作是没有区别的．仍把取出的球依次放在排列成一行的a b +位置上，因若把a 只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球，而黑球的位置可以有⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b b a 种放法，以这种放法作为样本点．对于事件A ，由于第k 次取得黑球，这个位置必须放黑球，剩下的黑球可以在1a b +-个位置上任取1a -个位置，因此共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11a b a 种放法．所以所求概率为b a a a b a a b a P k +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=11．两种不同的解法答案相同，两种解法的区别在于，选取的样本空间不同．在[法一]中把球看作是“有区别的”，而在[法二]中则对同色球不加区别，因此在第一种解法中要顾及各黑球及各白球间的顺序而用排列，第二种解法则不注意顺序而用组合，但最后还是得出了相同的答案．由本例，我们必须注意，在计算样本点总数及所求事件含的样本点数时，必须对同一个确定的样本空间考虑，因此其中一个考虑顺序，另一个也必须考虑顺序，否则结果一定不正确．1．4 条件概率在许多实际问题中，除了考虑()P B 外，有时还需要考虑在一定条件下事件B 发生的概率，比如，已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，我们称这种概率为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率，记为(|)P B A ．1.4.1 条件概率的定义引例盒中有4个外形相同的球，分别标有1,2,3,4，现在从盒中有放回的取两次球，每次取一球．则该试验的所有可能的结果为(1，1) (1，2) (1，3) (1，4)(2，1) (2，2) (2，3) (2，4)(3，1) (3，2) (3，3) (3，4)(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)其中(,)i j 表示第一次取i 号球，第二次取j 号球，设A ={ 第一次取出球的标号为2}，B ={ 取出的两球标号之和为4}，则事件{(13),(2,2),(3,1)}B =，，因此事件B 的概率为 ()316P B =．下面我们考虑在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率(|)P B A ．由于已知事件A 已经发生，{(21),(2,2),(2,3),(2,4)}A =，，这时，事件B 在事件A 已经发生的条件下发生，那么只可能出现样本点(2,2)，因此A 发生的条件下B 发生的概率为14，即 1(|)4P B A =．由引例可以看出，事件B 在“条件A 已发生”这附加条件下的概率与不附加这个条件的概率是不同的．那么如何计算条件概率(|)P B A 呢？定义1.4.1 设A 、B 是两个随机事件，()0P A >，称()(|)()P AB P B A P A = (1.4.1) 为在事件A 已发生的条件下事件B 发生的条件概率．在上述引例中，41(),()1616P A P AB ==，显然有()(|)()P AB P B A P A ==14．例1.4.1 10个产品中有7个正品，3个次品，按照不放回抽样，每次一个，抽取两次，求(1) 两次都抽到次品的概率；(2 ) 第二次才取到次品的概率；(3）已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率．解设A ，B 分别表示第一次和第二次抽到的是次品．(1) ()P AB ＝32110915⨯⨯＝； (2) 737()10930P AB ⨯==⨯；(3) 12()215(|)39()1510P AB P B A P A ====．例 1.4.２某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少?解设事件A ={能活20岁以上}，事件B ={能活25岁以上}，即要求条件概率P(B A)，由题()0.8P A =，()0.4P B =，()()P AB P B =，于是()(|)()P AB P B A P A =0.410.82==． 1.4.2 条件概率)|(A P ⋅的性质容易验证条件概率|P A ⋅（）也有非负性、规范性和可列可加性三条性质： (1) 非负性：对任意的B ，(|)P B A ≥0； (2) 规范性： (|)1P A Ω=；(3) 可列可加性：对任意的一列两两互斥的事件,(1,2,)i B i ⋯＝，有 11(|)(|)i i i i P B A P B A ∞∞===∑．因此，条件概率仍然是概率，所以条件概率也具有有限可加性、减法公式、加法公式等无条件概率所具有的一些性质．如对任意的12,B B ，有：(1) 121212(|)(|)(|)(|)P B B A P B A P B A P B B A =+-；（2）12112(|)(|)(|)P B B A P B A P B B A -=-；（3）若()(|)1()P B A B P B A P A ⊂==，则．例1.4.３一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解设事件A ={任意按最后一位数字，不超过2次就按对}，事件i A ={第i 次按对密码}(1,2i =)，则__112()A A A A =，(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得__1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯；(2）事件B =｛最后一位按偶数｝，则____112112(|)(()|)(|)(|)P A B P A A A B P A B P A A B ==+14125545⨯=+=⨯． 1.4.3 乘法公式由条件概率定义的（1.4.1）可得，当()0P A >时，有()(|)P AB P A P B A =（），（1.4.2）及()0P B >时，()(|)P AB P B P A B =（）．（1.4.3）推广 12,,,n A A A 为n 个事件，且12n-1()0P A A A >，则有 12n 121321n 121()()(|)(|)(|)n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=．（1.4.4）特别的，当3n ＝时，有()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB =（）．乘法公式一般用于计算多个事件同时发生的概率．例1.4.4设袋中装有r 只红球，t 只白球．每次取一只观察其颜色并放回，并同时再放入a 只同色球，连续取四次，试求第一次、第二次取到红球且第三、四次取到白球的概率．解以i A 表示事件“第i 次取到红球”1,2,3,4i =，则43,A A 分别表示第三次、第四次取到白球，即要求事件1234A A A A 的概率，由乘法公式(1.4.4)得12341213124123()()(|)(|)(|)P A A A A P A P A A P A A A P A A A A =r r a t t ar t r t a r t a a r t a a a ++=⋅⋅⋅++++++++++ ()()()()(2)(3)rt r a t a r t r t a r t a r t a ++=+++++++．1.4.4全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个比较重要的公式，它们将一个比较复杂事件的概率转化为不同条件下发生的比较简单的条件概率来计算．下面首先介绍一下样本空间划分的概念．定义 1.4.2 设Ω是随机试验E 的样本空间，12,,,n B B B 是E 的一列随机事件，若 (1),,,1,2,,i j B B i j i j n =∅≠=；(2)12n B B B =Ω，则称12,,,n B B B 为样本空间Ω的一个有限划分．定理 1.4.1 （全概率公式）设12,,,n B B B 是样本空间Ω的一个有限划分，且()0,1,2,i P B i n >=，则对任一事件A ，有()1()(|)iii P A P B P A B ∞==∑．（1.4.5）证1()()[()]ni i P A P A P A B ==Ω=1(())ni i P AB ==，对任意i j i j,B B ≠=∅，得()i AB ()()=Φi j AB AB ，由概率的有限可加性得11(())()nn i i i i P AB P AB ===∑=1()(|)ni i i P B P A B =∑．例1.4.5 有一批同一型号的产品，其中由甲厂生产的占30%，乙厂生产的占50%，丙厂生产的占20%，又知这甲、乙、丙三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件，取到次品的概率是多少?解设事件A 为“任取一件为次品”，事件123,,B B B 分别为产品由甲、乙、丙厂生产，显然123,B B B =Ω且,,1,2,3i j B B i j =∅=，即123B ,B ,B 构成样本空间的划分．所以由（1.4.5）112233()()()()()()()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++，123()0.02()0.01()0.01P A B P A B P A B ===，，，故112233()()()()()()()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0020300105001020013.......=⨯+⨯+⨯=．定理 1.4.2 （贝叶斯公式）设12,,,n B B B 是样本空间Ω的一个划分，()i P B 0>，1,2,3,,i n =，对任意事件A ，有1()(|)(|),1,2,...()(|)i i i njjj P B P A B P B A i n P B P A B ===∑． (1.4.6)证 i i P(B A )P(B A )P(A )=1i i njj j P(A B )P(B ),P(A B)P(B )==∑ 1,2,,i n =．例1.4.6 （续例1．4．5）有一批同一型号的产品，其中由甲厂生产的占30%，乙厂生产的占50%，丙厂生产的占20%，又知这甲、乙、丙三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件，发现是次品，那么它分别由甲、乙、丙厂生产的概率是多少?解 123(),(),()P B A P B A P B A 即为所要求的条件概率，由贝叶斯公式(1.4.6)，11131()(|)0.020.3(|)0.460.020.30.010.50.010.2()(|)jjj P B P A B P B A P B P A B =⨯===⨯+⨯+⨯∑；22231()(|)0.010.5(|)0.380.020.30.010.50.010.2()(|)jjj P B P A B P B A P B P A B =⨯===⨯+⨯+⨯∑；33331()(|)0.010.2(|)0.150.020.30.010.50.010.2()(|)jjj P B P A B P B A P B P A B =⨯===⨯+⨯+⨯∑．例1.4.7袋中有4个红球，6个白球，作不放回的摸球两次，求（1）第二次摸到红球的概率；（2）已知第二次摸到红球，求第一次摸到的也是红球的概率．解设A ={第一次摸到红球}，A ={第一次摸到白球}，B ={第二次摸到红球}．显然11114634(),(),(|),(|)101099P A P A P B A P B A ====；（1）由全概率公式(1．4．５)111143642()()(|)()(|)1091095P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=；（2）由贝叶斯公式(1.4.5)1111111()(|)1(|)()(|)()(|)3P A P B A P A B P A P B A P A P B A ==+．例1．4．8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?解设A ={抽查的人患有癌症}，B ={试验结果是阳性}，则__A ={抽查的人没有患癌症}．()0.005, ()0.995 ,(|)0.95, (|)0.04P A P A P B A P B A ====．由贝叶斯公式(1．4．5)，得()(|)(|)0.1066 ()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ==+．这表明某人的试验结果为阳性，但此人确患癌症的概率却非常小，只有0.1066，即平均来说，1000个检查结果呈阳性的人中大约只有107人确患癌症．那是否说明该试验对于诊断一个人是否患有癌症没有意义？我们来分析一下．如果不做试验，随机抽取一人，那么他是癌症患者的概率为()0.005P A =，若进行试验，试验后呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率为P (|)0.1066A B =．概率从0.005增加到0.1066，约增加了21倍，说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义．至于试验结果呈阳性患癌症的概率还如此低，是由癌症的患病率非常低0.005导致的．1．5 事件的独立性条件概率(|)P B A 通常来说与()P B 不相等，这反映了事件A 的发生与否对事件B 有影响；若(|)P B A 与()P B 相等，则反映了事件A 的发生与否对事件B 无影响．如：抛硬币两次，事件A ＝{第一次正面向上}，B ＝{第二次正面向上}．1()(|)2P B P B A ==．所以两个事件A 、B 其中一个发生与否，不影响另一件事件发生的可能性大小，此时 (|)()P B A P B =，即：()(|)()()P AB P B A P B P A ==，于是得到()()()P AB P A P B =，我们称A 与B 相互独立．定义 1.5.1 对事件A 和B ，如果()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．定理1．5．1 设A ，B 是两个事件，且0)(>A P ，若A ，B 相互独立，则)()|(A P B A P =．定理1.5.2 设事件A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 各对事件也相互独立．证因为____()A A A BB ABA B =Ω==，显然__,AB A B 互斥，故______()()()()()()()P A P ABAB P AB P AB P A P B P AB ==+=+，于是____()()()()()(1())()()P A B P A P A P B P A P B P A P B =-=-=，所以A 与B 相互独立．由A ，B 相互独立可以推出A 与B 相互独立，于是，A 与B 相互独立可推出A 与B 相互独立，再由B =B ，又可推出A 与B 相互独立．定理1.5.3 若事件A ，B 相互独立，且0()1P A <<，则__(|)(|)()P B A P B A P B ==．证()()()(|)()()()P AB P A P B P B A P B P A P A ===，__________()()()(|)()()()P A B P A P B P B A P B P A P A ===．定义1.5.2 （三个事件相互独立）设C B A ,,为三个事件，若等式),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ====同时满足，则称事件C B A ,,相互独立．类似的可以定义n 个事件相互独立．定义1.5.3 设12,,,n A A A 是n 个事件，若对其中任意k 个事件12,,,k i i i A A A(2)k n ≤≤有1212()()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =，则称这n 个事件是相互独立的．定义 1.5.4 设有n 个事件12,,,n A A A （3≥n ），若对其中任意两个事件i A 与)1(n j i A j ≤<≤有)()()(j i j i A P A P A A P =则称这n 个事件是两两相互独立的．显然，若n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则n 个事件一定是两两相互独立，但反之不一定成立．在实际应用中，独立性的判断一般不会采用定义判断，而是根据问题的实际意义去判断，如抛硬币两次，事件A ＝{第一次正面向上}，B ＝{第二次正面向上}，第一次出现哪一面并不影响第二次出现正面的概率，所以事件,A B 相互独立．例1.5.1甲、乙两射手独立地向同一目标射击一次，其中命中率分别为0.9和0.8， (1) 求目标被击中的概率；(2) 现已知目标被击中，求它是由甲击中的概率．解设A ={甲命中}，B ＝{乙命中}，C ={目标被击中}，(1) () () ()()()()0.90.80.90.80.98P C P A B P A P B P A P B ==+-=+-⨯=； (2) ()()(|)()[()()()()]P AC P A P A C P C P A P B P A P B ==+-0.90.920.98==．例1.5.２设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上？解设需要n 门高射炮，A ＝｛飞机被击中｝，A i ＝｛第i 门高射炮击中飞机｝，12)i n =⋯（，，，，则12()()n P A P A A A =⋯=_____________________121()n P A A A -______121()n P A A A =-，由相互独立的性质____________1212()()()()n n P A A A P A P A P A =，于是______12()1()()()1(10.2)n n P A P A P A P A =-=--，令1(10.2)0.95n--≥，得08005n≤．．，即得14n ≥．即至少需要14门高射炮才能有95%以上的把握击中飞机．例 1.5.３一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性，一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠性．设一个系统由四个元件按图示方式（图１．２）组成，各个元件相互独立，且每个元件的可靠性都等于)10(<<p p ，求这个系统的可靠性．。

1-1随机事件的概念

注 1° 试验不同，样本空间不同。
2° 同一试验 , 若试验目的不同, 则对应的样本空间也不同.
如：对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
{ HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0, 1,
2,
3}.
3°一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题。
如：只包含两个样本点的样本空间,
{H , T }
0 1模型
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模
型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的
但能事先明确试验的所有可能结果。
实例 “抛掷一枚硬币，观察正面、反面
出现的情况”。
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面，反面;
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现，故为随机试验。
同理可知下列试验都为随机试验 1.“从一批产品中，依次任选三件，记录
帕斯卡、费马、惠更斯
他们三人提出的解法中,都首先涉及了数学期望
这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象, 随机现象。
1.确定性现象在一定条件下可以准确预言结果的现象称为确定性现象.又称必然现象。实例 “在一个标准大气压下100度的水必定沸腾 ”; “没有外力作用下，向上抛一颗石子必然下落 ”; “函数在间断点不存在导数”;
出现正品与次品的情况”.
2. 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等

1随机事件和概率

解：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品}, 需求P(B│A).
(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品, 剩下的产品共19件其中3件次品,从而
P(B│A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于
二、乘法公式
设P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A│B) 同样,当P(A)>0时,有： P(AB)=P(A)P(B│A) 上述乘法公式可推广至任意有限个事件的情形:
三、样本空间
试验E的所有基本结果构成的集合称为样本空间，记为S。 S中的元素即E的每个基本结果称为样本点，记为 ω，即S={ω}。基本事件是样本空间的单点集。复合事件是由多个样本点组成的集合。必然事件包含一切样本点，它就是样本空间S。不可能事件不含任何样本点，它就是空集φ。
四、事件间的关系及其运算例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：
可列个事件A1 , A2 , … , An的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An
或A1A2 … An ，也可简记为在可列无穷的场合，用件同时发生。” 。表示事件“A1、A2 …诸事
4.互不相容事件
事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A 和B是互不相容的或互斥的。基本事件是两两互不相容的。 5.对立事件若A，B互不相容，且它们的和事件为必然事件，即
例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表
示下列事件：（1）A发生且B与C至少有一个发生；（2）A与B都发生而C不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；
（6）A，B，C中至少有两个发生。
1.2 事件的概率

1随机事件与事件间的关系与运算介绍

1随机事件与事件间的关系与运算介绍事件是指在一个试验或观察中，可能发生的一系列结果的集合。

随机事件是指在试验过程中，其结果是由一定的概率决定的事件。

事件间的关系与运算是指通过不同的操作来描述和处理事件之间的关系。

事件间的关系包括并、交、差、互斥、包含和互余等。

1.并：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∪B表示。

A∪B 的结果是包含了A和B两个事件的所有可能结果。

比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∪B表示硬币正面朝上或者骰子掷出的结果是偶数。

2.交：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∩B表示。

A∩B 的结果是A和B共同的可能结果。

比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∩B表示硬币正面朝上并且骰子掷出的结果是偶数。

3.差：指事件A发生而事件B不发生的情况，用符号A-B表示。

A-B 的结果是事件A中除了事件B包含的结果之外剩余的可能结果。

比如，A 表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A-B表示硬币正面朝上但骰子掷出的结果不是偶数。

4.互斥：指两个事件A和B不可能同时发生的情况，用符号A∩B=∅表示。

如果A和B互斥，则它们的交集为空集。

比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一枚硬币反面朝上，两个事件是互斥的，即硬币不可能同时正面和反面朝上。

事件间的运算包括概率加法和概率乘法。

1.概率加法：对于两个互斥事件A和B，其并的概率等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。

这个运算用于计算两个互斥事件中至少发生一个的概率。

2.概率乘法：对于两个独立事件A和B，其交的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。

这个运算用于计算两个独立事件同时发生的概率。

需要注意的是，概率加法和概率乘法只适用于互斥事件和独立事件。

此外，事件间的包含和互余关系也常用于描述事件的关系。

1.包含：若事件A包含事件B，表示事件B发生必然导致事件A发生，用符号A包含B表示。

1.随机事件

• 在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件； • 在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件； • 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件；
•必然事件和不可能事件也叫做确定事件
如图：现有五张扑克牌,从中任意抽出一张,请问（1）“抽出的是 3.“抽出的牌点黑桃A”是什么事不少于10”呢？件？ 2. “抽出的
常言到：“三个臭皮匠赛过诸葛亮” VS ，诸葛亮臭皮匠联队这句话有道理吗？假如臭皮匠老三解出的把握只有各位选手独立解题，不得商量
出的把握有80%
凭我的智慧，我解有奖解题擂台大赛
别急，常言到：三个பைடு நூலகம்臭皮匠臭死诸葛亮，咱去把老三叫来，我就不信合咱三人之力，赢不了诸葛亮！
老大，你的把握有50% ，我只有45%，看来这大奖与咱是无缘啦！
(08聊城市）下列事件： ①在干燥的环境中,种子发芽 ②在足球赛中，弱队战胜强队 ③抛掷10枚硬币,5枚正面朝上 ④彩票的中奖概率是5%，买 100张有5张会中奖．其中随机事件有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(08西宁市) 九年级某班班主任老师为将要毕业的学生小丽、小华和小红三个照相，她们三人随意排成一排进行拍照，小红恰好排在中间的概率是 __________
08甘肃省白银市）如图，小红和小丽在操场上做游戏，她们先在地上画出一个圈，然后蒙上眼在一定距离外向圆圈内投小石子，则投一次就正好投到圆圈内是（） A.必然事件 C.确定事件 B.不可能事件 D.随机事件
（08广州市）下列说法正确的是（） A “明天降雨的概率是80%”表示明天有 80%的时间降雨 B “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5” 表示每抛硬币2次就有1次正面朝上 C “彩票中奖的概率是1%”表示买100 张彩票一定会中奖 D “抛一枚正方体骰子朝正面的数为奇数的概率是0.5“表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝正面的数为奇数

考点1,随机事件

第十一章概率与统计考点一随机事件及其概率考点要揽◆了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别。

◆了解两个互斥事件的概率加法公式。

命题趋向◆选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现；多以选择题、填空题的形式出现，解答题则会与概率分布列结合在一起考查。

◆互斥事件与对立事件是考查的重点。

备考策略◆系统掌握有关概念，熟记公式◆理解对立事件的概率，会用间接法求事件的概率一、随机事件、随机事件的频率和概率(一)必然事件:我们把在条件S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S 的必然事件,简称必然事件.(二)不可能事件:我们把在条件S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S 的不可能事件,简称不可能事件.（三）随机事件:我们把在条件S 下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S 的随机事件,简称随机事件.注:必然事件与不可能事件统统称为相对于条件的确定事件,（四）频率:在相同的条件下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例()nn A f A n =为事件A 出现的频率; （五）概率:对于给定的随机事件A ,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率()A f n 稳定在某个常数上,把这个常数记作()A P ,称为事件A 的概率,简称为A 的概率.理解总结（一）要辩证地看待“在某条件S 下”.对随机事件概念的理解应包含以下三方面:①随机事件是指在一定条件下所出现的某种结果,随着条件的改变,结果也会不同;②随机事件可以重复地进行大量的试验,每次试验的结果不一定相同,且无法预测下一次结果,但随着试验的重复进行,结果呈现规律性;③必然事件和不可能事件是随机事件的两种特例.随机事件的发生有其随意性,它在一次试验中发生与否是随机的,但随机中又含有规律性,这种规律便是概率的体现.（二）概率的几个基本性质：1.概率的取值范围：()10≤≤A P ；2.必然事件的概率为1；3.不可能事件的概率为0.高考导航例1 有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用()y x ,表示结果,其中x 表示第1个正四面体玩具出现的点数, y 表示第2个正四面体玩具出现的点数.试写出:(1)试验的基本事件;(2)事件“出现点数之和大于3”;(3)事件“出现点数相等”.解题思路这三个问题均可采用列举法求解.解析: (1)这个试验的基本事件为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).例2 盒中有3只灯泡,其中2只是正品,1只是次品.(1)从中取出1只,然后放回,再取1只,求连续2次取出的都是正品的概率;(2)从中一次任取出2只,求2只都是正品的概率.解题思路这两个问题均可采用树状图求解. 解析: (1)将灯泡中2只正品记为21,a a ,1只次品记为1b ,则第一次取1只,第二次取1只,基本事件总数为9个,连续2次取正品的基本事件数是4个,所以其概率是94=P . (2)“从中一次任取2只”得出的基本事件总数是3,即21a a ，11b a ，12b a ,“2只都是正品”的基本事件数是1,所以其概率为31=P .二、互斥事件、对立事件的概率（一）互斥事件(两个事件)：不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件.（二）彼此互斥事件：如果事件1A ,2A ,…, n A 中任何两个都是互斥事件,那么就说事件1A ,2A ,…, n A 是彼此互斥事件.（三）对立事件：必有一个发生的互斥事件叫做对立事件.事件A 的对立事件通常记作A .（四）相互独立事件：设A ，B 是两个事件,若())()(B P A P AB P =,则称事件A 与事件B 相互独立.理解总结(一)互斥事件可以称为不相容事件,彼此互斥可以称为互不相容;(二)事件A 与事件B 互斥的条件就是它们不可能同时发生,需要注意的是互斥事件不可能同时发生,但可以同时不发生,也可以一个发生一个不发生;(三)若事件1A ,2A ,…, n A 彼此互斥,则在这些事件中,至多有一个发生,即可以有一个发生,而其他的均不发生,也可以是均不发生;(四)从集合的角度看, n 个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果(即基本事件)组成的集合彼此互不相交.(五)对立事件一定是互斥事件,而互斥事件却不一定是对立事件,只有当两个互斥事件中必有一个发生时,它才能成为对立事件;(六)从集合的角度来看,若将总体看成全集U ,将事件A 看成由A 所含的结果组成的集合,则A 是U 的子集,这时A 的对立事件可看成是A 的补集;(七)判断两个事件是否为对立事件,首先要判断它们是否互斥;其次要确定它们中必定要有一个发生.高考导航例1(1)小华在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）(A)至多有一次中靶. (B)只有一次中靶.(C)两次都不中靶. (D)两次都中靶.(2)下列说法正确的是 ( )(A)事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 恰有一个发生的概率大.(B)只有当事件A 、B 为对立事件时, A 、B 中至少有一个发生的概率才等于事件A 发生的概率加上B 事件发生的概率.(C)互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件.(D)互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件.解题思路(1)可以从对立事件的定义入手,也可以从集合的角度入手.(2)根据事件所具备的性质判断.解析:(1)“至少有一次中靶”包括两种情形:①有一次中靶;②有两次中靶.故对立事件为“两次都不中靶”.故选C.(2)当A 、B 为对立事件时,A 错;B 与对立事件不同时发生矛盾;互斥事件不一定是对立事件C 错.故选D.例2.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于 ,那么男女生相差几名?解题思路设选得2名委员都是男性的事件为A ,选得2名委员都是女性的事件为B ,则选得同性委员的事件为B A +,A 与B 是互斥的,利用公式())()(B P A P B A P +=+求解.解析：设选得2名委员都是男性的事件为A ,选得2名委员都是女性的事件为B ,且设男生有x 名,则女生有x -36名.选得2名委员都是男性的概率为()()353612362⨯-==x x C C A P x ；选得2名委员都是女性的概率为()()()35363536236236⨯--==-x x C C B P x . 以上两种选法是互斥的,由选得同性委员的概率等于21,得 ()()()()213536353635361)()(=⨯--+⨯-=+=+x x x x B P A P B A P ,解得15=x 或21=x . 即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名. 答:男女生相差6名.例3 某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票6张,排球票4张;第二小组有足球票4张,排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张,乙从第二小组的10张票中任抽1张.(1)两人都抽到足球票的概率是多少?(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?解题思路两人都抽到足球票的事件是独立的,两人都没抽到足球票的事件也为独立的,利用独立事件概率公式求解.解析:记“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件B ,则“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张, 抽到排球票”为事件B ,于是()53106==A P ,()52=A P ,()52104==B P ,()53=B P .由于甲(或乙)是否抽到足球票,对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响,因此A 与B 是相互独立事件.(1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件B A ∙发生,根据相互独立事件的概率乘法公式,得到()2565253)()(=⨯=∙=B P A P AB P .两人都抽到足球票的概率是256. (2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件B A ∙发生)的概率为()2565352)()(=⨯=∙=∙B P A P B A P . 所以()251925611=-=∙-B A P .两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519.三、条件概率对于两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率,称为事件A 发生的条件下事件B 的条件概率,记为()A B P ,且())()(A P AB P A B P =. 理解总结(一)在条件概率的定义中,事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率是不同的.应该说,每一个随机试验都是在一定的条件下发生的.这里所说的条件概率,则是当试验结果的一部分信息已知,求另一事件在此条件下发生的概率.(二)定义中,注意()0>A P 这一条件.当()0=A P 时,不能用现成的方法定义事件A 发生的条件下事件B 发生的概率.对于()0=A P 的情形,可以从其他角度来定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.高考导航例1 甲乙两人各有四张卡片,甲的卡片分别标有数字1、2、3、4,乙的卡片分别标有数字0、1、3、5.两人各自随机抽出一张,甲抽出卡片的数字记为a ,乙抽出卡片的数字记为b ,游戏规则是:若a 和b 的积为奇数,则甲赢,否则乙赢.(1)请你运用概率计算说明这个游戏是否公平?(2)若已知甲抽出的数字是奇数,求甲赢的概率.解题思路 ()A B P 是在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率. ()AB P 是事件A 和B 同时发生的概率,无附加条件. ()A P 是事件A 发生的概率.在理清三者关系的前提下,求出各个概率,利用公式())()(A P AB P A B P =求解. 解析: (1)将甲乙所得ab 的所有可能结果列表如下:A )的结果有6种,“ab 为偶数”(记为事件B )的结果有10种, 由此可得甲赢的概率为:()83166==A P ,乙赢的概率为: ()851610==B P ,∵()()B P A P <,∴该游戏不公平. (2)设“甲抽出的数字是奇数”为事件C ,则C 发生的概率为()2142==C P . 又由(1)知,甲抽出的数字是奇数且甲赢的概率即事件A 发生的概率,∴()83=CA P . 故由条件概率得此时甲赢的概率为()432183)()(===C P CA P C A P . 例2 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问:(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少?(2)从2号箱取出红球的概率是多少?解题思路 ()A B P 是在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率. ()AB P 是事件A 和B 同时发生的概率,无附加条件. ()A P 是事件A 发生的概率.在理清三者关系的前提下,求出各个概率,利用公式())()(A P AB P A B P =求解. 解析:记事件A :最后从2号箱中取出的是红球;事件B :从1号箱中取出的是红球.()32424=+=B P ,()31321)(1=-=-=B P B P ，（1）()941813=++=B A P . （2）()3193183==+=B A P ， ()271131313294)()()()()()(=⨯+⨯=+=+=∴B P B A P B P B A P B A P AB P A P 迁移应用1、（2011·辽宁卷理科）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件=A “取到的2个数之和为偶数”，事件=B “取到的2个数均为偶数”，则()=A B P （） (A) 81 (B) 41 (C) 52 (D) 21 2、（2012·浙江卷文科）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为22的概率是___________. 3、（2013·上海卷理科）盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)4、（2013·新课标全国Ⅱ卷理科）从n 个正整数n ,,2,1 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为141,则=n ________. 5、（2013·江苏卷）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.6、（2012·山东卷文科）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.7、（2011·湖南卷文科）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关.据统计，当70=X 时，460=Y ；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.（Ⅰ）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表（II ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率.8、（2012·天津卷文科）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.（I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，（1）列出所有可能的抽取结果；（2）求抽取的2所学校均为小学的概率.。

第一章事件与概率

1
古典概型的定义
定义
称满足以下两个特点的随机现象的数学模型为古典概型，如果 (1) 有限性：试验的样本空间只有有限个样本点; (2) 等可能性：每个样本点作为基本事件出现的可能性相同.
利用排列、组合知识来求概率的模型通常都属于古典概型. 那么, 古典概型为什么要通过数数来求概率呢？
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内容提要
1 2 3 4
随机事件的定义事件之间的关系事件的运算律例题
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3
事件的运算律
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中的随机事件. 交换律： AB=BA，A B=B A. 结合律： ABC=A(BC)，A B C=A (B C).
2
事件之间的关系
以下设A,B,C…等都是同一随机试验中的随机事件. 包含（于）：若A发生，则B一定发生，则称A包含于B,记为A B. 相等：若A与B相互包含，则称A与B相等，记为A=B.
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事件的交（积）：若事件C发生，当且仅当A与B同时发生，则称C为A与B的交 (积)事件，记为C=A B,或简记为C=AB.
注：符号“ ”等同于“至少”.
事件的逆(对立)：由样本空间中所有不属于A的样本点构成的集合表示的事件称为A的逆(对立)事件，记为 A . 注：若A与B对立，则A与B互不相容，反之不然.即A、B对立，则AB= , 且A B= .
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1.随机事件的概率

第一节随机事件的概率一.基本知识概要：1.随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，其概率10≤≤P2.如果是必然要发生的事件，则叫必然事件，其概率P=1；3.如果是不可能发生的事件，则叫不可能事件，其概率P=0。

4.事件的概率：在进行n 次重复同一试验中事件A 发生了m 次，随着试验次数的增大，事件A 发生的频率m/n 总是接近于某一常数P ，则P 就叫事件A 发生的概率。

5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

6.等可能事件：在一次实验中，所有可能的结果有n 个，则叫事件A 包含有n 个基本事件，如果每个基本事件发生的概率都是等可能的，则叫等可能事件，所以每个基本事件发生的概率是n1。

如果事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率P （A ）=nm 。

7.概率的计算：事件A 发生的概率P （A ）=种数所有事件发生的可能总发生的可能种数事件A =)()(I card A card （其中I为所有基本事件的集合，A 为事件A 所含基本事件的集合）。

二、例题：例1、（1）给出下列四个命题：①“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是必然事件；②“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是不可能事件；③“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是随机事件；④“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是必然事件；其中正确的命题个数是：A ． 0；B 1；C 2；D 3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。

”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。

” （4解：（1）B ；（2）否；（3）是；（4）0.8.[思维点拔]：正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．例2、用数字1，2，3，4，5组成五位数，求其中恰有4个相同数字的概率。

1-1 随机事件

推广：
Ak A1 A2 An
k 1
n
A AB
B
A
k 1

S
k
A1 A2 An
1.1 随机事件
例在直角坐标系圆心在原点的单位圆内任取一点，记录
其坐标，令
1 An ( x , y ) | x 2 y 2 2 ,B表示取到(0,0)点，则 n
发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
第一章随机事件与概率
实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取
其结果可能为:
正品、次品.
一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
D= A1 A2 A3
推广：有限个事件的和
可列个事件的和
A A A A
k 1 2 k 1
n
n
A
k 1

k
A1 A2 An
第一章随机事件与概率
3. 积 (或交）事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为：A∩B或AB，用集合表示为：AB={e|e∈A且e∈B}。
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则 A 的对立事件为（） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系 ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} ③ A ={x＞22}， B ={x＜19}

概率论第一章随机事件与概率

第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。

这类现象称为确定性现象。

另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。

这类现象称为随机现象。

随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。

随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

§1 随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E 表示。

举例如下：E 1：抛一枚硬币，观察正面H 、反面T 出现的情况；E 2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 、反面T 出现的情况； E 3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 出现的次数； E 4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数； E 5：记录某超市一天内进入的顾客人数；E 6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。

随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；（3）试验可以在相同的条件下重复进行。

随机试验E 的所有可能结果的集合称为E 的样本空间，记作Ω。

样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点，一般用ω表示，可记{}ω=Ω。

上面试验对应的样本空间：{}T H ,1=Ω；{}TT TH HT HH ,,,2=Ω； {}2,1,03=Ω；{}6,5,4,3,2,14=Ω； {} ,4,3,2,1,05=Ω；{}06≥=Ωt t 。

注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。

二、随机事件试验E 样本空间Ω的子集称为E 的随机事件，简称事件，通常用大写字母A ，B ，C ,…表示。

第1章随机事件与概率

2. 基本事件 —— Ω的单点集.
3. 必然事件 (Ω)
4. 不可能事件 ( ) —— 空集. 5. 随机变量表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
12 March 2020
第一章随机事件与概率
第6页
1.1.4 随机变量
表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
第一章随机事件与概率
第30页
几何概型的例子
例1.2.3 蒲丰投针问题平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率.
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第一章随机事件与概率
蒲丰投针问题(续1)
第31页
解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，
又以表示针与此直线间的交角.

Pnr r!
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第一章随机事件与概率
注意
第24页
求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.
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第一章随机事件与概率
第25页
1.2.3 确定概率的频率方法
➢ 随机试验可大量重复进行.
➢ 进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， n( A)
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
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第一章随机事件与概率
第3页
1.1.1 随机现象
随机现象：在一定的条件下，并不总出现相同结果的现象称为随机现象.

1、随机事件1

12345678…
签桶中有5根形状、大小相同的竹签，上面分别有序号1、2、3、4、5。在看不到竹签上的数字的情况下从签桶中随机（任意）地取一根竹签。判断以下是什么事件？
（1）抽到的序号会是0。（2）抽到的序号会是1。（3）抽到的序号小于6。
活动（四）小伟掷一个质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，请考虑以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上， (1)可能出现哪些点数？ (2)出现的点数大于0吗？ (3)出现的点数会是7吗？ (4)出现的点数会是4吗？
答:（1）每次抽签的结果不一定相同，序号1、2、3、4、5都有可能抽到，共有5种可能的结果，但是事先不能预料一次抽签会出现哪一种结果；（2）抽到的序号一定小于6；（3）抽到的序号不会是0；（4）抽到序号可能是1，也可能不是1，事先无法确定。
(注意,每一次都是模拟小军首先抽签)
抽签次序抽到序号
（1）若 a、b、c 都是实数，则 abc abc ；（2）没有空气，动物也能生存下去；（3）在标准大气压下，水在温度 90c 时沸腾；（4）直线 y k x 1过定点 1,0 ；（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球．
二、填空: (1)-a是负数。属于事件。 (2) ，-a是负数。属于必然事件。 (3)________, -a是负数。属于不可能事件。
实践探索
现有背面相同的两张牌(红牌和黑牌),下列事件属于哪类事件?
1.洗匀后任意抽一张,抽到红牌或黑牌;
必然事件
2.洗匀后任意抽一张,抽到黑牌;
不确定事件
3.洗匀后任意抽一张,抽到红牌; 4.抽一张牌 ,放回,洗匀后再抽一张牌.这样先后抽得的两张牌是:红牌,红牌

1[1].1 随机事件

课堂练习
写出下列各个试验的样本空间: 写出下列各个试验的样本空间: 掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况； (H)反面(T)出现的情况 1 掷一枚均匀硬币，观察正面(H)反面(T)出现的情况； {正面反面正面,反面正面反面} 2.将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况；将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的情况；将一枚硬币连抛三次
观察取出的两个球的号码，（２）观察取出的两个球的号码，则样本空间为： ={ω12, ω13, ω14, ω15, ω23, ω24,ω25, ω34, ω35, ω45 } ωij 表示“取出第号与第号球”．表示“取出第i号与第号球” 号与第j号球
注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！定的！
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
实例4 实例
“从一批含有正品从一批含有正品
其结果可能为: 其结果可能为次品. 正品、次品
和次品的产品中任意抽取一个产品” 一个产品”. 实例5 实例 “过马路交叉口时过马路交叉口时, 过马路交叉口时
可能遇上各种颜色的交通指挥灯” 指挥灯”. 实例6 一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可短. 实例 “一只灯泡的寿命” 可长可短随机现象的特征: 随机现象的特征条件不能完全决定结果
{红,黄} {A,B,C,D,F}
4.袋中有编号为袋中有编号为1,2,3,…,n的球从中任取一个观察球的号码；的球,从中任取一个观察球的号码；袋中有编号为的球从中任取一个,观察球的号码 {1,2,3,…,n} 5.从自然数 1,2,3,…,N(N≥ 3)中接连随意取三个每取一个从自然数中接连随意取三个,每取一个中接连随意取三个还原后再取下一个.若是不还原呢若是一次就取三个呢？若是不还原呢？还原后再取下一个若是不还原呢？若是一次就取三个呢？试写出样本空间的样本点总数. 试写出样本空间的样本点总数 3 3 不还原: N (N − 1)(N − 2) 一次取三个: C N 还原: N 6.接连进行次射击记录命中次数若是记录次射击中命接连进行n次射击记录命中次数.若是记录接连进行次射击,记录命中次数若是记录n次射击中命中的总环数呢？中的总环数呢？ {0,1,2,…10n} {0,1,2,….n} 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。 7.观察某条交通干线中某天交通事故的次数。观察某条交通干线中某天交通事故的次数 {0,1,2,…N}

《概率论与数理统计》第一章知识点

第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。

2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。

二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。

（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。

2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。

1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。

2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。

一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。

3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。

用Ω表示。

样本空间是必然事件。

4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。

1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。

2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。

3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或。

4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。

5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。

概率论与数理统计第一章——随机事件及概率

P65 = 6 5 4 3 2 = 720 (个)
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生（随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测验其使用寿命（按小时计）。

1_1随机事件

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2.和事件事件A与B至少有一个发生，记作A∪B
2’ n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
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i 1
Ai
n
3.积事件 : A与B同时发生，记作 A∩B＝AB
3’ n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
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4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生
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有关赌博的最早一个数学问题出现在1494年意大利修士、数学家巴乔罗(Luca Pacciolo)的著作《算术,几何,比例和比值要义》中.
应该按赌博中止时甲乙已赢的局数分配赌本 .比如: s 3, a 2, b 1 就按2:1分配. 热衷于占星术和掷骰子的代数学家卡丹 (J.Cardan) 和塔塔利亚(N.Tartanlia)指出巴乔罗的分法是错误的,认为巴的分法没有考虑甲乙双方取得最终胜利还需要赢的局数 . 但是他们两人也没有给出正确的解法.
任课教师：
部门：信息学院数学系办公室：北校区文理大楼718室 E-mail：计
超纲内容（不讲）
研究和揭示随机现象的统计规律性的数学学科在一定条件下必然发生的现象向空中抛一物体必然落向地面；水加热到100℃必然沸腾；异性电荷相吸引； y f ( x) 放射性元素发生蜕变； ……… 随机现象在试验或观察前无法预知出现什么结果抛一枚硬币,结果可能正面(或反面)朝上；向同一目标射击,各次弹着点都不相同；某地区的日平均气温；掷一颗骰子，可能出现的点数； ………
米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限 , 而作为公理就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通常称为客观概率.
目前,绝大多数教科书都是采用柯尔莫哥洛夫的概率公理化体系.