概率论与数理统计-1随机事件及其概率

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例 2.1 设 A , B 为两个随机事件，已知
P(A) 0.5, P(B) 0.4, P(A UB) 0.6 ，
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试分别计算 P( AB), P(AB), P(A U B), P(A U B) ．
解 由于 P(A B) P(A) P(B) P(AB) ，所以 0.6 0.5 0.4 P(AB) ，解得 P(AB) 0.3 ． P( AB) P( A B) P( A) P( AB) 0.2 ． P( A U B) P( AB) 1 P( AB) 0.7 ． P( A U B) P( A) P(B) P( AB) P( A) [1 P(B)] P( AB) 0.9 ．
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注意：
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(1)事件 B A=“ B 发生，且 A 不发生”，因此 AB B A；
(2)可以证明，对任意的事件 A 和 B ，恒有 A B AB A AB 。
(3) A U B AB 表示事件 A 和 B 都不发生； AB A U B 表示事件 A 和 B 中至少有一个不发生．
在 E4 中，样本点为正实数，样本空间为 4 (0, ) ．
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定义 1.3 称样本点的集合为随机事件，简称为事件，记
为 A, B,C 等．由一个样本点构成的单点集称为基本事件．
例：在 E1 中， A1 {1}；
在 E2 中． B1 {(6, 6)}, B2 {(1,1), (1, 2), (2,1)}； 在 E4 中， C1 (10, 20) 均为随机事件， 其中 E1 中的 A1 和 E2 中的 B1 为基本事件．
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A B
AB
(a)
A B
A
B
AUB
AB
AB
AB
(b )
AB
AB
(c )
A
A
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(d )
(e)
(f )
图 1.1 事件的关系及运算示意图
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例 1.1 掷一枚骰子，设事件 A {1,3,5}, B {1, 2}， 求 A U B，AB, A B, B A, A ．
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性质 2.5（对立事件概率计算公式）设 A 为任一随机事件，则 P( A) 1 P( A) ．
性质 2.6 （并事件概率计算公式）设 A, B 为任意两个随机事件，
则
P(A B) P(A) P(B) P(AB) ．
推论 2.2 设 A, B, C 为任意三个随机事件，则 P(AU B UC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) ．
5. 差事件
事件“ A 发生，且 B 不发生”称为事件 A 与事件 B 的差事件，
记为 A B ．
从集合角度来讲， A B { A, B} ．
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6．互不相容事件（互斥事件）
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如果事件 A 与 B 不可能都发生，即 AB ，就称事件 A 和 事件 B 互不相容或互斥．
P( A1 U A2 UL U An ) P( A1) P( A2 ) L P( An ) ． 性质 2.4（差事件概率计算公式）设 A, B 为任意两个随机事件，
则 P(A B) P(A) P(AB) ．
推论 2.1 当 B A时，有
P(A B) P(A) P(B) ，且 P(B) P(A) ．
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例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
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一、随机试验
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定义 1.1 如果某试验满足以下三个特点 （1）重复性：在相同条件下，试验可重复进行； （2）明确性：试验的所有可能结果事先均已知； （3）随机性：每次试验的具体结果，在试验前无法预知，
频率 k n
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
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定义 2.2（概率的公理化定义）设随机试验 E 的样本空间为 ，
对于每个事件 A ，赋予事件 A 一个实数 P( A) ，如果 P( )
满足下列三个条件
⑴非负性： P( A) 0 ； ⑵规范性： P() 1； ⑶可列可加性：设事件 A1, A2 ,L , An ,L 两两互不相容，即 对任意的 i, j 1, 2,L ，当 i j 时，均满足 Ai Aj ，有 P( A1 U A2 UL U An UL ) P( A1) P(A2 ) L P(An ) L 就称 P( A) 为事件 A 的概率．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义 1.2 随机试验 E 的每一个可能出现的结果称为随机
试验 E 的样本点，记为 ．
随机试验 E 的所有样本点的全体称为随机试验 E 的
样本空间，记为 ． 随机试验 E 的样本空间 即为随机试验 E 的所有可
能出现的结果（样本点）组成的集合．
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在 E1 中，样本点为1 “出现正面”和 2 “202出0/3/现14 反面”，样本空间为 1 {1,2}．
不可能事件为空集 ．
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例：在 E2 中．事件 B2 {(1,1), (1, 2), (2,1)} 即指事
件“两枚骰子点数之和小于 4 ”，而“两枚骰子点数之和 大于1”即为必然事件 ，“两枚骰子点数中最大点数为 8 ”为不可能事件 ．
在 E3 中，事件“电话的呼唤次数为奇数”为事件
从集合角度来讲，A 和 B 互不相容指 A 与 B 没有共同的元素．
7．对立事件
如果事件 A 与 B 满足 A U B ，且 AB ，就称事件 A 和 事件 B 互为对立事件，或称事件 B 为事件 A 的对立事件，记为 B A．
从集合角度来讲， A 为 A 的余集，即 A A ．
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事件的运算律
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(1)交换律 AUB B U A ， AB BA．
(2)结合律 (AU B) UC A U(B UC) ，
(AB)C A(BC) ．
(3)分配律 (A U B)C (AC) U(BC) ， (AB) UC (AUC)(B UC) ．
(4)摩根律 A U B A B ， AB A U B ．
在 E2 中，用 i 表示第一枚骰子出现的点数， j 表示第
二枚骰子出现的点数，则每个样本点可用二维有序数组
(i, j) 表示，其中1 i 6,1 j 6 ，因此样本空间为
2 {(i, j) i 1, 2,3, 4,5,6, j 1, 2,3, 4,5,6} ．
在 E3 中，样本点为非负整数，样本空间为 3 {0,1, 2,L } ．
就称此试验为随机试验，记为 E ．
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例：下列试验均为随机试验：
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E1 ：抛一枚硬币，观察其出现正面和反面的情况； E2 ：同时掷两枚骰子，观察其出现的点数； E3 ：考查在一定时间段内某电话的呼唤次数；
E4 ：考查某机械部件的抗压强度．
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二、样本点、样本空间与随机事件
=“ A1, A2 ,L , An 中至少有一个不发生”．
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例 1.3 试用随机事件 A, B, C 表示下列事件
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（1）“ A, B, C 中至少发生一个”； AU B UC ；
（2）“ A, B, C 都发生”； ABC
（3）“ A, B, C 中恰好发生一个”； AB C U ABC U A BC
（4）“ A, B, C 中至少发生两个”；
ABC U ABC U ABC U ABC
（5）“ A 发生，且 B, C 至少有一个不发生”．
A(B UC) ABC A BC
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总结：
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“至少”：用“ U ”
“都”或者“同时”：用“ I ”
“恰好”：则每个事件要一一列举出来。
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由定义 1.3 知随机事件是样本空间 的子集．
当随机试验 E 中所出现的样本点属于集合 A 时，就称
随机事件 A发生，否则就称随机事件 A 不发生．
在每次试验中， 必然发生的事件称为必然事件，从集合角度看，必
然事件为全集，即样本空间 。
不可能发生的事件称为不可能事件，从集合角度看，
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二、概率的性质
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性质 2.1 （非负性）设 A 为任一随机事件，则 0 P( A) 1． 性质 2.2 （规范性） P() 1， P() 0 ．
性质 2.3 （有限可加性）如果事件 A1,A2,L , An 两两互不相容， 即对任意的 i, j 1, 2,L ，当 i j 时，均满足 Ai Aj ，则
于 p ，就称 p 为事件 A 的概率，记为 P( A) ，即 P(A) p ．
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表 1.1 抛硬币实验
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实验者
实验数 n
德 摩根
蒲丰
K 皮尔逊 K 皮尔逊
2048 4040 12000 24000
正面向上
频数 k
1061 2048 6019 12012
正面向上
A．
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2.事件的相等
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如果事件 A 和事件 B 相互包含，即 A B ，且 B A ，