九年级竞赛讲义 第八讲 直线与圆
初三九年级数学 直线与圆的位置关系(新) ppt课件
.B2
.B1 .B
是是非非
4、若C为⊙O内一点，则过点C的
直线与⊙O相交。（ √ ）
C .
O .
小问题：
能否根据基本概念来判断直线与圆 的位置关系？
直线与圆的公共点的个数
新的问题：
是否还有其它的方法来判断直线与 圆的位置关系？
.O
d
.O
d
r
r .D
l
.B
.A
l
. C
相切
.E
d
.Or
.N .F
l
A N
2.5cm
解：过点M作MN⊥OA于点N ∵在Rt△OMN中，∠AOB=30°,OM=5cm. ∴MN=2.5CM 即圆心M到直线OA的距离d=2.5cm （1）当r=2cm时， ∵d> r， ∴⊙M与直线OA相离。 O （2）当r=4cm时， ∵d< r， ∴⊙M与直线OA相交。 （3）当r=2.5cm时， ∵d = r， ∴⊙M与直线OA相切。
没有
d>r
练习（二）：
1、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d， 若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为…（ C ） A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4
2、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的 距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系 是……………………………………………（ D） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
P 4cm l A
P 4cm A l
例1、在Rt ABC中，∠ C=90°，AC=3cm, BC= 4cm, 则以C为 圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？ (1）r =2cm, (2) r =2.4cm (3) r =3cm
九年级数学直线和圆知识精讲
九年级数学直线和圆【本讲主要内容】直线和圆圆的切线定义，圆的切线的判定与性质。
切线长性质，三角形的内切圆。
【知识掌握】【知识点精析】1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。
这条直线叫圆的切线。
2. 圆的切线的判定与性质：（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
如图所示：OA是⊙O半径，直线BC经过点A且垂直于OA，则直线BC与⊙O相切，A为切点。
B A C判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径两个条件缺一不可（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径如图：若直线AB切⊙O于A，则AB⊥OA于A。
A B注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。
例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。
求证：⊙O与PB也相切。
PB分析：这题既反映了圆的切线的性质，又应用了圆的切线的判定，是理解定理的典型题目，要加强理解，进行练后反思，对以后证题能给以启发。
解：连结OC ，过O 点作OD ⊥PB 于DPB∵直线PA 切⊙O 于C ∴PA ⊥OC 于C∵PB ⊥OD 于D ，PO 是∠APB 的平分线 ∴OC=OD∴OD 为⊙O 半径 ∴⊙O 与PB 相切 3. 切线长定理：（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。
圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。
（2）切线长性质从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。
如图：直线PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，则PA=PB ，PO 平分∠APB 。
P例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12，求圆半径。
P分析：由题目条件，联想切线长性质可知△ABP 为等边△，∴PA=AB=12，由切线的性质：连结AO 、PO 得到Rt △AOP ，并且∠APO=30°，解Rt △AOP 得出圆的半径OA 长。
直线与圆-讲义(教师版)
直线与圆学习目标（１）直线与方程①理解直线的倾斜角和斜率的概念并掌握过两点的直线斜率的计算公式．②掌握直线的五种形式并能够判断两直线的位置关系．③掌握平面内两点间的距离公式、点到线的距离公式和两条平行线间的距离公式．（２）圆与方程①掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置 关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．考试数据注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质试卷．知识模块考点新高考卷模考频次（频率）直线与圆直线与方程山东&海南2020-9,1522(62.9%)圆与方程16(45.7%)一、直线与方程1. 直线的倾斜角与斜率（一）直线的倾斜角定义：轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．倾斜角的取值范围是．（二）直线的斜率斜率的绝对值越大，反映直线相对于轴越陡；反之，越小，反映直线相对于轴越缓．除去垂直于轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由就可以算出这条直线的斜率．特别的，方程的图象是通过点且斜率为的直线．（三）斜率与倾斜角的关系：，．①当时，直线平行于轴或与轴重合．②当时，直线的倾斜角为锐角；值越大，直线的倾斜角也随着增大．③当时，直线的倾斜角为钝角；值越大，直线的倾斜角也随着增大． 特别的：垂直于轴的直线的倾斜角等于，此时直线斜率不存在．经典例题A. B.C. D.1.如图所示，直线的斜率分别为，则（）．【答案】D【解析】首先有，其次，，∴有．【标注】【知识点】斜率计算【备注】直线相对于轴越陡，斜率的绝对值越大．A.B.C.D.2.直线的倾斜角的取值范围是（）．【备注】1.学生容易混淆直线方程当中的参数和直线的倾斜角．【答案】D【解析】直线的斜率，∵，∴．当时，倾斜角的取值范围是，当时，倾斜角的取值范围是，综上，倾斜角的取值范围是．故选．【标注】【知识点】直线的一般式方程；斜率随倾斜角的变化规律2.引导学生按照①确定的范围②做出正切函数的图象③有进而确定倾斜角的范围这三步进行答题．3.另外，的图象和特殊角三角函数值学生容易遗忘，需要强调．A.B.C.D.3.已知，，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（）．【答案】D【解析】将点，代入直线的方程，可知点，均不在直线上，设，则，又，且，所以点的轨迹为线段，【备注】关注到，因此题意等价于直线和线段有交点．已知点，直线．直线与线段有交点时有，直线与线段无交点时有．因为线段的方程为，即，，联立方程组 ，解得，直线的斜率为，设的倾斜角为，则，因为，所以，即，，解得．故选．【标注】【知识点】斜率随倾斜角的变化规律；斜率计算；直线的一般式方程巩固练习A.B.C.D.4.已知直线经过点和，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）．【答案】B 【解析】因为直线的斜率是，所以直线的倾斜角的取值范围是或．故选．【标注】【知识点】倾斜角计算【素养】数学运算5.直线，的倾斜角的取值范围是 ．【答案】【解析】∵直线的斜率，，∴，∴倾斜角．【标注】【知识点】倾斜角计算A.B.C.D.6.若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是( )【答案】D【解析】解：在平面直角坐标系中画出点，，，过点，作直线，过点，作直线，如图所示，则直线在轴上的截距为，直线在轴上的截距为．因为，，所以直线的斜率的取值范围为．故选：D ．【标注】【知识点】斜率计算2. 直线的方程名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，是斜率不垂直于轴斜截式是斜率，是直线在轴上的截距不垂直于轴两点式是直线上两定点不垂直于轴和轴截距式是直线在轴上的非零截距，是直线在轴上的非零截距不垂直于轴和轴，且不过原点一般式（）任意位置的直线经典例题A. B.C. D.7.已知，，则过的中点且倾斜角为的直线方程是（）．【答案】C【解析】设中点，∴，，倾斜角为，∴，∴方程为，故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】求直线的方程【备注】，（为倾斜角），特殊角的三角函数值可以带着学生复习一遍．A.B.C.D.8.经过两点、的直线在轴上的截距为（ ）．【答案】A 【解析】，，时，．故选．【标注】【知识点】直线的两点式方程【备注】向学生强调直线当中的截距可正可负可为零．得到直线方程后，令即可得到直线在轴上的截距，令即可得到直线在轴上的截距.巩固练习A.B.C.D.9.斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为（ ）．【答案】B【解析】由题意，直线方程为，整理即为．【标注】【知识点】直线的点斜式方程3. 两条直线的位置关系直线方程；；重合平行相交垂直与平行的直线与垂直的直线经典例题10.已知直线：，：，若与平行，求．【答案】．【解析】∵，∴且，∴或且且，∴当时，．【标注】【知识点】判定两条直线的位置关系；直线的平行【备注】若两直线；平行，则．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.设，则“”是“直线与直线垂直”的（）．【答案】A【备注】若两直线；垂直，则.【解析】∵，∴，，∴，∴，，当时，，当时，，∴，∴“”是“直线直线”的充分不必要条件．【标注】【知识点】充要条件与解析几何结合巩固练习A. B.或C.或D.12.已知直线，若，则的值是（）．【答案】C【解析】由题意有，解得或，经检验，均符合题意．故选．【标注】【知识点】直线的平行13.直线经过与的交点，且与垂直，则直线的方程为．【答案】【解析】联解，得，所以直线和交于点，∵直线经过点，且与垂直，∴直线的斜率为，得的方程为，化简整理，得，故答案为：．【标注】【知识点】直线的点斜式方程4. 距离公式（一）两点之间的距离公式已知，，则．（二）点到直线的距离公式点到直线：的距离（三）平行线之间的距离公式：，：之间的距离为，则．（或者转化为直线上一点到另一直线的距离）经典例题A. B. C. D.14.点到直线的距离为（）．【答案】A【解析】由点到直线的距离公式可得：．【标注】【知识点】点到直线的距离公式【备注】已知点和直线，则点到直线的距离：.A. B.C. D.15.两直线与平行，则它们之间的距离为（）．【答案】D【解析】∵直线与平行，∴，解得．因此，两条直线分别为与即与．∴两条直线之间的距离为【备注】求两平行线的距离间的距离时，一定要保证两条直线的系数一样，然后再代入公式，这是学生的易错点．．【标注】【知识点】直线的平行；两平行直线之间的距离A. B. C. D.16.设直线：与直线：的交点为，则到直线：的距离最大值为( )【答案】A【解析】解：联立，解得，故，直线的方程可整理为，故直线过定点，因为到直线的距离，当且仅当直线时等号成立，故，故选．【标注】【知识点】利用距离的几何意义求最值【备注】关注到直线恒过定点．点到过定点的直线的距离的最大值为，此时．17.是分别经过两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是．【答案】【解析】当两条平行直线与两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．因为，所以，所以两平行线的斜率为，所以直线的方程是，即．故答案为．【备注】时，之间的距离最大，显然最大距离为.【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程巩固练习A. B.C.D.18.若直线与平行，则与间的距离为（ ）．【答案】B 【解析】，（舍），．故选．【标注】【知识点】两平行直线之间的距离【思想】方程思想【素养】数学运算A.B. C. D.19.若三条直线，，相交于同一点，则点（，）到原点的距离的最小值为（ ）．【答案】A 【解析】联立，解得，．把（，）代入可得：．∴．∴点（，）到原点的距离，当，时，取等号．∴点（，）到原点的距离的最小值为．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】两直线交点坐标；点到直线的距离公式A.B.C.D.20.若，分别为直线与上任意一点，则的最小值为（ ）．【答案】C 【解析】因为，所以两直线平行，将直线化为，由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以的最小值为．故选．【标注】【知识点】两平行直线之间的距离5. 对称问题（一）中点坐标问题已知，，则中点坐标为：，．（二）求点关于直线的对称点设，，设关于的对称点的坐标，则是的垂直平分线，即且的中点在上，解方程组可得点坐标．（三）直线关于点的对称直线方法一：求一条直线关于点的对称直线方程时可在该直线上取某个两个特殊点，再求它们关于点的对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程；方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为，再求它关于的对称点坐标，而它的对称点在已知直线上，将其代入已知直线方程，便可得到关于的方程，即为所求的直线方程．（四）直线关于直线的对称直线此类问题一般转化为关于直线的对称问题来解决，若已知直线与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后在求出上任一个已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是；若已知直线与对称轴平行，则与对称的直线和到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出的对称直线．经典例题A.， B.，C.，D.，21.若点和点关于直线对称，则（ ）．【答案】D【备注】若点关于直线 的对称点，则根据，且线段的中点在直线上，即可列出两个方程求出点坐标．【解析】由，解得．故选．【标注】【素养】逻辑推理；数学运算【知识点】点关于直线的对称点A. B.C.D.22.已知点，，在轴上找一点，使得最大，则点坐标为（ ）．【答案】D【解析】作点关于轴的对称点，连接并延长与轴的交点即为所求．直线的斜率为，直线的方程为．当时，，所以点．【标注】【知识点】利用距离的几何意义求最值【备注】点是定点，点在直线运动，当在直线两侧时，有最小值，此时点为线段与的交点；当在直线同侧时，有最大值，此时点为延长线与的交点．此题中要求差最大，因此要通过对称，把定点转换到定直线的同侧．23.的顶点坐标分别为，，，则角的平分线所在的直线方程为 ．【答案】【解析】设的平分线与交于点，则，【备注】本题事实上就是求的对称直线，还可以按照如下方法求解：相交于点，则求解的对称直线时，可先根据夹角公式：求出直线的斜率，再根据直线经过点，即可求出直线的方程．此题注意舍去一个解．所以，，所以，所求直线方程为，即．【标注】【知识点】直线的点斜式方程A.B. C. D.24.设入射线光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（）．【答案】A【解析】联立，得．故交点为．设反射直线斜率为，则有，得．故反射直线为，即．故选．【标注】【素养】数学运算；数学抽象【知识点】反射问题【备注】直线关于的对称直线为.巩固练习25.如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，直线的方程为，点关于直线的对称点为，关于的对称点为，则光线所经过的路程为．故选．【标注】【知识点】点或直线的对称问题；直线的垂直；两点间距离公式26.已知点，点，点是直线上动点，当的值最小时，点的坐标是．【答案】【解析】连结与直线交于点，则当点移动到点位置时，的值最小．直线的方程为，即．解方程组，得．于是当的值最小时，点的坐标为．【标注】【知识点】直线的两点式方程；直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；两直线交点坐标27.已知直线，直线．若直线关于直线的对称直线为，则直线的方程是．【答案】【解析】由题意知，直线和平行，可知直线的斜率为．分别在直线和上任取一点和，则点关于点对称的点在直线上，故直线的方程为．【标注】【知识点】直线关于直线的对称直线28.直线关于点对称的直线方程为．【答案】【解析】设直线与直线，关于点对称，∴，∴方程可设为，，则有点到和距离相等，即，解得或（舍去），∴方程为．【标注】【知识点】直线关于点的对称直线6. 直线系定义：具有某一个共同性质的直线称为直线系，它的方程称为直线系方程．（一）平行直线系①斜率为（常数）：（为参数）②平行于已知直线（是不全为零的常数）的直线系：（）（二）垂直直线系①与斜率（）的直线垂直的直线系：（为参数）②垂直于已知直线（是不全为零的常数）的直线系：（为参数）（三）过定点的直线系①以斜率作为参数的直线系：，直线过定点；，直线过定点，其中过定点且与轴重合的直线不在直线系内．②过两条直线：，：的交点的直线系：（为参数），其中直线不在直线系内．经典例题A.B.C.D.29.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）．【答案】A【解析】根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点，由点斜式得所求直线方程为．【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程【备注】与直线垂直的直线可直接设为.30.若直线经过点且与直线平行，则直线的方程为 ．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线的斜率为，因为与直线平行，所以．又经过点，所以所求直线的方程为，即．与直线平行的直线方程可设为（），因为点在这条直线上，所以，即．故所求直线的方程为．【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程；直线的平行【素养】逻辑推理；数学运算【备注】与直线平行的直线可直接设为．A. B.C. D.无法确定31.对于任意实数直线必经过的定点坐标是（ ）．【答案】A【解析】解：直线化为：令，解得，．直线恒过定点．故选：．【标注】【知识点】直线的一般式方程；直线过定点问题，【备注】求含参直线方程的恒过点坐标时有两种方法：一是重新整理原式，合并含参项并让参数系数为即可求出恒过定点坐标．二是对参数赋两个不同的值进而得到两条不同的直线，两条直线的交点即为所求恒过点坐标.，巩固练习32.已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于．【答案】【解析】方法一：直线，变形为，斜率为，∵，，直线，变形为，由直线与直线垂直，则，即，由基本不等式得，则（当且仅当，时等号成立），方法二：∴的最大值为．法向量之积为，即，∴，即（当且仅当，时等号成立），∴的最大值为．【标注】【知识点】直线的垂直；判定两条直线的位置关系；利用基本不等式求最值；基本不等式的概念33.已知直线，，若，则直线恒过定点 ；若，则实数．【答案】 ; 或【解析】当时，，即直线恒过定点，当时，两直线方程分别为，和，则两直线不平行，不满足条件，当时，若，则等价为，由得，得或，故答案为：；或．【标注】【知识点】直线的平行二、圆与方程1. 圆与方程（一）圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的方程：， 圆心在原点的圆的标准方程：．（二） 圆的一般方程：，（），此时，圆心为，半径为．对于圆的一般方程，我们需要注意：（1）和项的系数相等且都不为零；（2）没有这样的二次项；（3）表示以为圆心，为半径的圆；（4）当时，方程①只有实根，，方程①表示一个点；（5）当时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形．（三）圆的直径式：以为直径的圆的方程为 ，其中圆心为 ，半径 .（四）圆的参数方程圆心为 ，半径为 .转化为标准方程为．经典例题34.已知圆经过点，，且圆心坐标为，则圆的标准方程为．【答案】【解析】圆心到两个点的距离相等且等于半径，即，解得，即圆心为，半径为，所以圆的方程为：．【标注】【知识点】圆的标准方程问题【备注】根据圆心到两个点的距离相等且等于半径即可求解．A.B.C.D.35.已知点,，则以为直径的圆的方程是（）.【答案】C【解析】易知圆的圆心为线段的中点，【备注】可根据圆方程的直径式进行求解，然后再整理为标准式即可．半径,∴圆的方程为．【标注】【知识点】圆的标准方程问题巩固练习A. B.C. D.36.已知两点，，以线段为直径的圆的方程是（）．【答案】D【解析】由题可知，圆心为线段的中点，半径为，所以圆的方程为．故选D．【标注】【知识点】圆的标准方程问题【素养】数学运算A.B.C.D.37.方程表示的曲线是圆，则的取值范围是（）．【答案】D【解析】若方程表示的曲线是圆，则，化简得，解得，故选．【标注】【知识点】圆的方程的判定三、点、线、圆与圆位置关系1. 判断点与圆的位置关系的方法 （一）圆的标准方程，圆心，半径①若点在圆上，则；②若点在圆外，则；③若点在圆内，则．反之，也成立． （二）圆的一般方程为，①若点在圆上，则；②若点在圆外，则；③若点在圆内，则．反之，也成立．事实上，将圆的方程为关于的二元二次方程且最高次项系数为正，，点在圆外（点在圆上和点在圆内）．＝＞＜（三）点与圆的位置关系应用之最值：已知点，是圆：上一个动点，设．若，则点在圆内，此时的最大值为，最小值为；若，则点在圆上，此时的最大值为，最小值为；若，则点在圆外，此时的最大值为，最小值为．经典例题A. B. C. D.38.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为( )【答案】A【解析】解：由半径为的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图所示．由，得，即圆心到原点的距离的最小值是，故选：A．【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题A. B.C.D.39.已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）．【答案】D 【解析】将点的坐标代入圆方程左边，有，∴，∴或．故选D ．【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题巩固练习A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.无法判断40.已知圆以点为圆心，半径等于，则点与圆的位置关系是（ ）．【答案】B【解析】由题意可知，圆，∴把点代入圆，则，故点在圆上．故选．【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题41.已知点，，，若点在以为直径的圆外，则的取值范围是 ．【答案】或【解析】∵为直线，∴，∴半径为，中点，∵在以为直径的圆外，∴，∴，∴，∴，∴或，∴或．故答案为：或．【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题2. 直线与圆的位置关系（一）直线与圆的三种位置关系位置关系几何方法圆心到直线的距离为，圆的半径为.代数方法将直线方程代入圆方程得到相离相切相交（二）直线和圆相交的弦长问题（1）几何法（垂径定理）：结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．（2）代数法（弦长公式）：结合韦达定理利用弦长公式．特别注意：①计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．②弦长的最值问题：过圆内一定点的弦长最大值为直径，最短弦为垂直于过该点的直径的线段.③设直线时注意直线斜率不存在情况！（三）圆的切线问题（1） 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．切线的几何性质为：圆心与切线的连线垂直于切线．（2）过圆上一点的切线方程为：.（备注：或者利用圆心和切点的连线垂直于切线从而求解切线斜率）（3） 过圆外一点可作两条切线：设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径求解，但一定要注意斜率不存在的情况．无论使用哪种方法，结果一定是两条直线．（4） 切线长：在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长．切线最小问题：当直线与圆相离时，过直线上的动点向圆作切线，求切线长的最小值可利用直线与圆相切构成的直角三角形，将切线长最小问题转化为圆心到直线上的点距离最小问题，结合图形可知圆心到直线上的点距离最小值为圆心到直线的距离．经典例题A.相离B.相切C.相交D.不确定42.若圆心在的圆与轴相切，则该圆与直线3的位置关系是（）．【答案】B【备注】根据圆心到直线的距离与半径的关系进行求解．【解析】该圆为，圆心到直线的距离，故相切．故选．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题A. B.C. D.43.已知圆截直线所得弦的长度小于，则实数的取值范围为（）．【答案】D【解析】由圆，得，圆心为，半径为，则，即，圆心到直线的距离为，∵弦的长度小于，∴，解得，∴，故选．【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题【备注】直线与圆相交时，等式非常重要．本题根据题目要求将等式转化为不等式即可求解．学生的一个易错点是忽略圆方程成立得到的的范围．44.已知点为直线上一点，且位于第一象限，点，以为直径的圆与交于点（异于），若，则点的横坐标的取值范围为．【备注】由直径所对圆周角为，可得，进而可求，又 即可求解．【答案】【解析】设点的坐标为，，则，如图所示，过点作轴，由面积相等可得：，即，所以，所以在直角三角形中，，因为，所以，即化简可得，即，所以或（舍去），所以实数的取值范围为，故答案为：．【标注】【知识点】设点法解决直线与圆的相关问题45.过点与圆所引的切线方程为．【备注】先判断点与圆的位置关系可得到点在圆外．过圆外一点做圆的切线，可以做两条．一般求法（一般不用代数法）：设切线方程为根据求解，注意：此时如果有两个解，那么这两个解即为所求切线方程斜率；此时如果只有一个解，则【答案】，【解析】点在圆外，当切线的斜率不存在时，易知切线的方程为，符合题意；当切线的斜率存在时，可设过点的切线方程为，圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，从而切线为．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；直线的点斜式方程；斜率计算必为另外一个切线．A. B.C. D.46.过抛物线上一点作圆的切线，切点为，，则当四边形的面积最小时，点的坐标是（）．【答案】C【解析】设点，，令，，则当时，，所以，此时点坐标为．故选．【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；抛物线与圆结合；面积问题；直接求函数的最值（不含参）【备注】此题本质是求切线长最小，又，故最小时，切线长最小.巩固练习A.与相交B.与相切C.与相离D.与的位置关系不确定47.已知直线过点，圆：，则( )【解析】解：圆：即，圆心与点的距离，小于半径，故点在圆的内部，故与的位置关系是相交，故选：A．【标注】【知识点】直线与圆的位置判断A.B.C.D.48.若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（）．【答案】B【解析】圆整理为，∴圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，又直线的斜率为，∴，直线的倾斜角的取值范围是，故选．【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题【素养】数学运算49.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则．【解析】解：由题意知，，圆心到直线的距离，，，直线的倾斜角为．过，分别作的垂线与轴交于，两点，．故答案为：．【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题A.B.C.D.50.已知圆，从点观察点，要使视线不被圆挡住，则的取值范围是( )【答案】D【解析】解：设过点与圆相切的直线为，则，解得，切线方程为，如图，由点向圆引条切线，只要点在切线之外，那么就不会被遮挡，在直线上，在中，取，得，从点观察点，要使视线不被圆挡住，需，或．的取值范围是．故选：D．。
第八讲 7.3直线和圆、圆和圆的位置关系
例2、 ⊙O的直径AB=4，∠ABC=30º， 的直径AB=4， ABC=30º， AB=4 线段BC BC与 交于点D BC= 4 3 ，线段BC与⊙O交于点D。 证明： BC的中点 的中点； （1）证明：点D是BC的中点； 过点D DE⊥AC于点 于点E （2）过点D作DE⊥AC于点E， C 求证：直线DE DE是 的切线。 求证：直线DE是⊙O的切线。 D E A B
O
注：一、知道“交点”，连“半径”、证“垂直 知道“交点” 半径” 未知“交点” 垂直” 二、未知“交点”，作“垂直”、证“半径
例4、如图，⊙P经过坐标原点O且与两坐标 如图， 经过坐标原点O 轴的正半轴交于A 两点， 轴的正半轴交于A、B两点，点A的坐标为 ）。C 上一点， （1，0）。C为⊙P上一点，且在第二象 限内，AC交 轴于点D BC=CO=OA， 限内，AC交y轴于点D。若BC=CO=OA， （3）求以点D为顶点， 求以点D为顶点， 求点B y 以直线AB 的坐标； AB为对称轴 （ ）以直线AB为对称轴 （21）求点B、D的坐标； 且经过点E 且经过点E的抛物线 ABC作轴对称变换 作轴对称变换， 对△ABC作轴对称变换， E B 的解析式； 的解析式； 的对应点为E 点C的对应点为E，判断 求出点C的坐标， （4）求出点C的坐标，判 四边形AOBE AOBE是哪种特殊 四边形AOBE是哪种特殊 C D .P 断点C是否落在（ 断点C是否落在（3） 四边形？并求出点E的坐标。 四边形？并求出点E的坐标。 中的抛物线上。 中的抛物线上。 O A 注（1）、（2）正确解决是关键。 ）、（2 正确解决是关键。
如图， ABC中 ACB=90° 例4 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是它的内切圆，点D是切点，延长BO交AC于 是它的内切圆， 是切点，延长BO交AC于 BO E,求证 求证： 点E,求证：BD.BE=OB.等圆⊙O1与⊙O2相交于 如图，两半径为r的等圆⊙ M,N两点 两点， 点作直线AB AB垂 M,N两点，且⊙O2过O1。过M点作直线AB垂 直于MN 分别交⊙ MN， 于点A,B, A,B,连接 直于MN，分别交⊙O1与⊙O2于点A,B,连接 NA， NA，NB. (1)猜想点O (1)猜想点O2与⊙O1有 猜想点 什么位置关系， 什么位置关系，并给出 证明； 证明； 猜想△NAB的形 （2）猜想△NAB的形 状，并给出证明。 并给出证明。
九年级奥数：直线与圆
九年级奥数：直线与圆阅读课标圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交的三种位置关系． 直线与圆相切是直线与圆位置关系讨论的重点．与切线相关的知识包括切线的性质和判定、切线长定理等．证明一直线是圆的切线是一种常见问题，证明的基本方法有：（1） 利用定义，证明直线与圆只有一个交点；（2） 当所证直线与圆有一个公共点时，连结圆心和这个公共点，证明这条半径与所证直线垂直；（3） 当所证直线与圆没有确定的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．熟悉一下基本图、基本结论：问题解决例1 如图，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ．根据以上条件写出三个正确结论（除AB =AC 、AO =BO 、∠ABC =∠ACB 外）是：例2 如图，直线P A 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 分别为切点，∠APB =120°，OP =10cm ，则弦AB 的长为（ ）．A ．B ．C ．D ．例3 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以AC 为直径作⊙O ，交AB 于D ，过点O 作OE ∥AB ，交BC 于E ．（1）求证：ED 为⊙O 的切线； ．（2）如果⊙O 的半径为，ED =2， AB 的长； （3）在（2）的条件下，延长EO 交⊙O 于F ，连接DF ，AF ，求△ADF 的面积．cm 35cm 310cm 5cm 23532例4 如图，直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，已知点C （0，-1）、D （0，k ），且0<k <3，以点D 为圆心、CD 为半径作⊙D ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）当k 为何值时，⊙D 与直线AB 相切?（3）当k 为何值时，⊙D 与直线AB 相离?例5 如图，形如量角器的半圆O 的直径DE =12cm ，形如三角板的△ABC 中，∠ACB =90°， ∠ABC =30°，BC =12cm ．半圆O 以2cm ／s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上．设运动时间为t （s ），当t =0（s ）时，半圆O 在△ABC 的左侧，OC =8cm ．问：当t 为何值时，△ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切？数学冲浪知识技能广场1．如图，已知直线CD ．与⊙O 相切于点C ，AB 为直径，若∠BCD =40°，则∠ABC 的度数是___________．2．如图，OM 与x 轴相交于点A （2，0），B （8，0），与y 轴相切于点C ，则圆心M 的坐标是___________．3．如图，在同心圆．中，大圆的弦AB 与小圆相切，若大圆的半径是13cm ，弦AB 的长是24cm ，则小圆的半径是___________．343+=xy4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于（ ）．A ．15°B ．20°，C ．25°D ．30°5．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠P =50°，那么∠ACB 等于（ ）．A ．40°B ．50°C ．65°D ．130°6．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =a ，以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，与AB 分别相交于点G 、H ，且EH 的延长线与CB 的延长线交于点D ，则CD 的长为（ ）．A ．B ． C． D ． 7．如图，⊙O 的直径AB =4，∠ABC =30°，BC =，D 是线段BC 的中点．（1）试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DE ⊥AC 于E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．8．如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，OP 的半径为3，设点P 的坐标为（x ，y ）（1）求⊙P 与直线x =2相切时点P 的坐标．（2）请直接写出⊙P 与直线x =2相交、相离时x 的取值范围．9．（1）如图1，OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交OC 于点E ．求证：CD =CE（2）若将图2中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ，交⊙O 于B ′，其他条件不变（如图2），那么上述结论CD =CE 还成立吗？为什么？a 2122-a 212+a 2a )412(-32y x =（3）若将图3中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变（如图3），那么上述结论CD =CE 还成立吗？为什么？思想方法新天地10．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若AB =3，ED =2，则BC 长为___________．11．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB =16，CD =10，则四边形的周长是___________．12．如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、F 、E ，若AF 、BE 的长度是方程 x 2-13 x +30=0的两个根，则△ABC 的面积是___________．13．如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线，分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，AC 、BD 相交于N 点，连结ON ，NP ，下列结论：①四边形ANPD 是梯形；②ON =NP ；③DP ·PC 为定值；④P A 平分∠NPD ．其中一定成立的是（ ）．A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④14．如图，在等腰△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB 、AC 于M ，N ，那么的值等于（ ）．A ．B ．C ．D ．115．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD +BC <DC ，若腰DC 上有一点P ，使AP ⊥BP ，则这样的P 点（ ）．2BN CN BC ⋅814121A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个16．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，其中⊙O 1，⊙O 2，⋅⋅⋅，⊙O n 为n 个（n ≥2）相等的圆，⊙O 1与⊙O 2相外切，⊙O 2与⊙O 3相外切，⋅⋅⋅，⊙O n -1与⊙O n 相外切，⊙O 1，⊙O 2，⋅⋅⋅，⊙O n 都与AB 相切，且⊙O 1与AC 相切，⊙O n 与BC 相切．求这些等圆的半径r （用n 表示）．17．如图，P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，过点A 作PB 的平行线交⊙O 于点C ，联结PC 交⊙O 于点E ，联结AE ，并延长AE 交PB 于K ．求证：PE ⋅AC =CE ⋅KB ．18．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AD 、BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ．求证：BF =FC ．应用探究乐园19．已知⊙O 的半径为1，以 O 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD ，顶点B 的坐标为（，0），顶点A 在x 轴上方，顶点D 在⊙O 上运动．（1）当点D 运动到与点A ，O 在一条直线上时，CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．。
九年级数学直线和圆的位置关系
高档题型解析及思路拓展
例题3
解析
思路拓展
已知直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，直线$l_{2}$过点$P$且与圆 $O_{1}$相交于另一点$Q$，求直线 $l_{2}$的方程。
由于直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，因此点$P$是切点，且直线 $l_{1}$在点$P$处的切线斜率与直线 $l_{2}$的斜率相等。我们可以通过求 出点$P$的坐标和切线斜率，再利用点 斜式求出直线$l_{2}$的方程。
若直线与圆相切，则直线到圆心的距 离等于半径，由此可求出切线方程。
直线与圆的交点坐标
联立直线方程和圆方程求解，可得交 点坐标。若有两个交点，则它们关于 圆心对称。
02
直线与圆的位置关系分类
相离关系
定义
直线与圆没有公共点，称为相离。
判定方法
通过比较圆心到直线的距离与圆的 半径大小来判断。若圆心到直线的 距离大于圆的半径，则直线与圆相 离。
直线与圆的交点个数
通过观察图形或计算，确定直线与圆的交点个数。若有两个交点，则直线与圆 相交；若有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离。
综合应用举例
解法一
联立直线l和圆C的方程，消去一 个未知数得到一个一元二次方程 。根据判别式的值判断位置关系 。
解法二
计算圆心(a,b)到直线l的距离d，根 据d与半径r的大小关系判断位置关 系。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距 离等于半径；圆的任意弦 所对的圆周角等于弦所对 圆心角的一半。
圆的切线
与圆有且仅有一个交点的 直线称为圆的切线，切线 与半径垂直。
直线与圆的交点问题
直线与圆的位置关系
直线与圆的切线问题
九年级下册数学讲义8直线与圆、圆与圆的位置关系(提高)
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）教学内容【知识梳理1】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切 d=r 1+r 2两圆相交 r 1-r 2＜d ＜r 1+r 2 (r 1≥r 2) 两圆内切 d=r 1-r 2 (r 1＞r 2) 两圆内含 d ＜r 1-r 2 (r 1＞r 2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 【例题精讲】例1.已知⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离d ＝OD ＝3cm ，在直线上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点与⊙O 位置关系各是怎样的?【思路点拨】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P 、Q 、R 三点到圆心的距离与圆的半径比较大小． 连接PO ，QO ，RO ．∵ PD ＝4cm ，OD ＝3cm ，∴ PO ＝． ∴ 点P 在⊙O 上．，∴ 点Q 在⊙O 外．，∴ 点R 在⊙O 内．【总结升华】本题也可以先计算出直线上的点恰好在圆上时，改点与垂足点D 之间的距离，然后再比较得出结论.例2.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 为AB 延长线上一点，且∠DCB=∠A ， 求证：CD 是⊙O 的切线。
【九年级】九年级数学竞赛直线与圆专题辅导讲座
【九年级】九年级数学竞赛直线与圆专题辅导讲座m注：点与圆的位置关系和线与圆的位置关系的确定有一种常用的精确判断方法，即定量方法（距离与半径的比较）。
我们称之为“按数成形”，毕达哥拉斯定理的逆定理也有这个特点【例题求解】【例1】如图所示，AB是半圆o的直径，CB切出⊙ o在B中，CD切割⊙ D中的o和E中交叉点BA的延长线。
如果EA=1，ED=2，则BC的长度为思路点拨从c点看，可用切线长定理，从e点看，可用切割线定理，而连od，则od⊥ec，又有相似三角形，先求出⊙o的半径．注：圆心与切点的连接是常用的辅助线。
利用切线的性质可以构造直角三角形，这在圆的证明和计算中被广泛使用【例2】如图，ab、ac与⊙o相切于b、c，∠a=50°，点p是圆上异于b、c的一个动点，则∠bpc的度数是()a、65°b.115°c.60°和115°d.130°和50°(山西省中考题)想法和建议【例3】如图，以等腰△a bc的一腰ab为直径的⊙o交bc于d，过d作de⊥ac于e，可得结论：de是⊙o的切线．Q：（1）如果点O移动到AB上的点B，则以O为中心，ob为半径的圆在D和de处的交点BC的条件⊥ AC保持不变，上述结论是否仍然有效？请解释原因；(2)如果ab=ac=5cm，sina=，那么圆心o在ab的什么位置时，⊙o与ac相切?(2001年黑龙江省中考题)[例4]如图所示，在RT中△ ABC，AC=5，BC=12，∠ ACB=90°，P是AB侧的移动点（与点a和b不重合），Q是BC侧的移动点（与点b和C不重合）(1)当pq∥ac，且q为bc的中点时，求线段pc的长；（2）当PQ与AC不平行时，can△ CPQ是直角三角形吗？如果可能，计算线段CQ长度的值范围；如果不可能，请解释原因思路点拨对于(2)，易发现只有点p能作为直角顶点，建立一个研究的模型――以cq为直径的圆与线段ab的交点就是符合要求的点p，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定cq的取值范围．注：判断直线的切线为圆是平面几何中的常见问题。
第八讲 直线与圆的位置关系
第八讲 直线与圆的位置关系一、选择题1. 如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是 ( ) A ．AD=BD B ．∠ACB=∠AOE C ．»»AE BE = D ．OD=DE2.如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD =，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm3．如图，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．24．如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图3，AB O 是⊙的直径，弦303cm CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙的半径为，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cmC ．3cmD ．9cm6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°7.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（A ）30° （B ）60°（C ）30°或150° （D ）60°或120°8.如图，ABC △内接于O ⊙，若28OAB ∠=°，则C ∠的大小为（ ）A ． 28°B ．56°C ．60°D ．62°9.(2009年肇庆市)如图 4，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于（ ）A ． 30° B． 45° C． 55° D． 60°10．(2009年宁德市)如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB 的长为（ ）A ．43B ．4C ．23D ．2图3 CA B OE DCAB O11.如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，A 为切点，连结BC 交圆O 于点D ，连结AD ，若45ABC ∠=°，则下列结论正确的是（ ）A ．12AD BC =B ．12AD AC = C ．AC AB > D ．AD DC >12.如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于E,连接AD,则下列结论正确的个数是( ）①AD ⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA=12AC ④DE 是⊙O 的切线 A ．1 个 B ．2个C ．3 个D ．4个二、填空题1.（2009年中山）已知O ⊙的直径8cm AB C =，为O ⊙上的一点，30BAC ∠=°，则BC = _ cm ．2.(2009年肇庆市)75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 ．三、解答题1. （2009年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32，（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长2．（2009年中山）（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13． （2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．3.（2009年茂名市）已知：如图，直径为OA 的M ⊙与x 轴交于点O A 、，点B C 、把»OA 分为三等份，连接MC 并延长交y 轴于点(03)D ，．（1）求证：OMD BAO △≌△；（2）若直线l ：y kx b =+把M ⊙的面积分为二等份，求证：30k b +=．。
直线和圆课件
圆的参数方程通常表示为 (x, y) = (a, b) + r(cosθ, sinθ)，其中 (a, b) 是圆心， r 是半径，θ 是参数。
参数方程的应用实例
物理学中的应用
在物理学中，许多物理量都是通 过参数方程来描述的，例如简谐 振动的振动曲线、电磁波的传播
等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程被广泛 应用于各种曲线和曲面的描述， 例如机械零件的轮廓曲线、建筑
通过圆的半径和直径，可以计算出圆 的弧长和圆周长。
通过比较两个圆的半圆心角和扇形面积
通过圆心角和半径，可以计算出扇形 的面积。
直线和圆在实际生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直线和圆是非常 重要的元素，它们可以用来确定 建筑物的平面布局、窗户和门的
物的三维模型等。
数学教育中的应用
在数学教育中，参数方程是描述 复杂函数和曲线的重要工具，有 助于学生更好地理解函数的性质
和曲线的几何意义。
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直线和圆 PPT 课件
• 直线和圆的基本概念 • 直线和圆的交点 • 直线和圆的几何应用 • 直线和圆的解析方法 • 直线和圆的参数方程
目录
Part
01
直线和圆的基本概念
直线的定义和性质
直线的定义
直线是无限长的，且在平面内， 可以由两点确定一条直线。
直线的性质
直线具有方向性，可以由斜率表 示；直线是连续的，没有中断； 直线可以无限延伸。
圆的定义和性质
圆的定义
圆是一个平面图形，由一个点（圆心 ）和一段固定长度（半径）决定，所 有点都与圆心保持相同距离。
圆的基本性质
圆是中心对称图形，有固定的周长和 面积；圆内的任意一点到圆心的距离 等于半径。
九年级数学直线与圆
目 录
• 直线的基本性质 • 圆的性质与方程 • 直线与圆的交点 • 直线与圆的综合问题
01 直线的基本性质
直线的定义与表示
定义
直线是无限长的，没有端点，可以向两个方向无限延伸。在平面直角坐标系中，直线可以用方程来表 示。
表示方法
直线的表示方法有两种，一种是点斜式，一种是两点式。点斜式方程为 $y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为直线上的一点，$m$ 为直线的斜率。两点式方程为 $frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x x_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 为直线上的两点。
1 2
直线与圆相切的条件
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。 此时，圆心到直线的距离等于圆的半径。
直线与圆相交的条件
当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交。 此时，圆心到直线的距离小于圆的半径。
3
直线与圆相离的条件
当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。此 时，圆心到直线的距离大于圆的半径。
04
圆具有对称性，即关于 任意一条直线对称的两 条线段都是等长的。
03 直线与圆的交点
直线与圆的位置关系
相交
01
直线与圆有两个交点
相切
02
直线与圆有一个交点
相离
03
直线与圆没有交点
直线与圆的交点求解
代数法
通过解方程组求得交点坐标
几何法
通过观察直线和圆的相对位置，利用几何性质求得交点
直线与圆的实际应用
02 圆的性质）的 距离等于给定长度（半径）的点的集 合。
精品九年级数学下册专题课堂八直线和圆的位置关系课件新版北师大版精品ppt课件
解：(1)连接 OE.∵CE 切⊙O 于点 E，∴OE⊥EC.∵OB＝BC，OB＝OE，∴ 在 Rt△OEC 中，OC＝2OE，∴∠C＝30° (2)△DEF 为等边三角形．证明如下： ∵∠C＝30°，∴∠COE＝60°.∴∠A＝12∠COE＝12×60°＝30°.∵BD 切⊙O 于点 B，∴AB⊥BD.在 Rt△ABD 中，∠D＝90°－∠A＝60°.在 Rt△FBC 中， ∠BFC＝90°－∠C＝60°，∴∠D＝∠DFE＝60°，∴△DEF 为等边三角形
5．(2015·鄂州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC
的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经
过点M，交BC于点G，交AB于点F.
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)当BC＝8，AC＝12时，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，求线段BG的长．
是矩形，∴HE＝OM＝3.∴BH＝1，∴BG＝2BH＝2
二、切线的性质 1．切线的性质 (1)圆的切线与圆只有一个交点； (2)切线与圆心的距离等于半径； (3)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； (4)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心． 2．方法指导 已知圆的切线时，连接圆心和切点得切线垂直于半径，这 是圆中作辅助线的常用方法．
【例1】如图所示，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB， 点C在⊙O上，∠CAB＝30°.求证：DC是⊙O的切线．
分析：要证明 DC 是⊙O 的切线，我们只需要连接 OC，证明∠OCD＝ 90°即可．
解：连接 OC，BC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝ 30°，∴BC＝12AB＝OB.∵BD＝OB，∴BC＝12OD，∴∠OCD＝90°，∴ DC 是⊙O 的切线
人教版初中九年级数学课精品PPT教学课件-直线和圆的位置关系
知识要点
三角形的内切圆：与
A
三角形各边都相切的圆．
三角形的内心：三角
形内切圆的圆心．（即三
O
B
角形三条角平分线的交点）
C
求证：三角形三条角平分线的交点是内切圆的圆心．
证明： ∵O在∠B的角平分线上， ∴OD=OE， （角平分线的性质定理） B 又∵O在∠C的平分线上， ∴OD=OF， ∴OD=OE=OF． ∴D、E、F在同一个圆上 O即为内切圆的圆心.
A
D
F
O
E
C
定理证明
归纳
三角形的内切圆可以作出一个，因为三角形三 个内角的平分线交于一点，这点即为圆心，这点到 三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和 半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这 个圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle）．
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做三角形的内心（incenter）．
线叫切线，
l
唯一的公共点叫切点．直
线和圆没有公共点，叫做直线
和圆相离．
l
．O 割线 ．． AB
．O 切点 A
切线
．O
抢答 快速判断下列各图中直线与圆的位置关系．
．O1
．O2
．O l
．O
l
l
．O
l
除了用公共点的个数来区分直线与圆 的位置关系外，能否像点和圆的位置关系 一样用数量关系的方法来判断直线和圆的 位置关系？
3．已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距 离为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是相__离__；直线 a与⊙O的公共点个数是_零___．
．O
d
r
切点
直线和圆课件
一般式方程表示法
圆可以使用一般式方程来表示， 例如x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。
直线和圆的交点
1 直线和圆的交点数量
2 直线和圆的交点位置
直线和圆可以有0、1或2个交点，具体取决于 直线与圆的相对可能在圆上、圆内或圆外。
例题解析
直线和圆的例题解析
通过解析一些实际问题的例题，帮助你更好地理解直线和圆的相关概念和性质。
直线和圆ppt课件
一份精美的ppt课件，旨在帮助你了解直线和圆的基本概念和性质，以及它们 在平面直角坐标系中的表示方法和交点等重要知识。
什么是直线？
1 直线的定义
直线是由无限多个点组成的，它有相同的方向和长度。
2 直线的符号
用一条横线和两个箭头表示直线，例如AB。
3 直线的性质
直线上的任意两点可以直接相连，直线没有弯曲或拐角。
直线的表示方法
平面直角坐标系中的 表示方法
直线可以使用斜率和截距的形 式来表示，例如y = mx + b。
参数方程式表示法
直线可以使用参数方程来表示， 例如x = a + t, y = b + mt。
一般式方程表示法
直线可以使用一般式方程来表 示，例如Ax + By + C = 0。
什么是圆？
1 圆的定义
圆是由一条曲线组成的，它的每个点到圆心的距离相等。
2 圆的性质
圆上的任意两点与圆心的距离相等，圆没有角度和边界。
圆的表示方法
平面直角坐标系中的 表示方法
圆可以使用圆心和半径的形式 来表示，例如(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
九年级数学直线与圆的位置关系PPT课件
-2
例题5
如图：在射线OB上取一点M，OM=10cm，以 M为圆心作一直径为10cm的⊙M，试问：过O的射线 OA与OB所夹的锐角β取什么值时射线OA与⊙M : （1）相交， （2）相切 （3）相离
分析：这道题是上面题目的逆反应用，⊙M为一定圆，射线 OA为一动线，我们可以从特殊到一般，看当β为多少时 ⊙M与OA相切，即点M到OA的距离MN=5=r时，OM=10， 则β为30°. A 解（1）当β<30°时，⊙M与OA相交 （2）当β=30°时，MN=d=r=5cm, N ⊙M与OA相切 （3）当β>30°时，⊙M与OA相离
活动一、复习提问：
1、点与圆有几种位置关系？
C.
.B
.A
2、怎样判定点和圆的位置关系？
大于半径时，点在圆外。 （1）点到圆心的距离____ （2）点到圆心的距离等于 ____半径时，点在圆上。 （3）点到圆心的距离小于 ____半径时，点在圆内。
3.直线与圆的位置关系
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l ．ｏ d r ┐ l .
C
3
A
（2）当r=2.4cm时，∵d=r， ∴⊙C与AB相切。 （3）当r=3cm时， ∵d＜r， ∴⊙C与AB相交。
例题4．若⊙O与直线m的距离为d，⊙O 的半径为r，若d，
r是方程 (a 1) x 2 ax 1 0 的两个根， 且直线m与⊙O相切， 求a 的值。
分析：直线m与⊙O相切，则d=r,即方程有两相等的 实数根即∆=0 解：据题意可得：方程中的∆=0 即 a 2 4a 4 0 解得a =
O
10
M
B
动动脑筋
活动三：大家动手,做一做
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图（1）l
O
A
图（2）l
O
A
第七讲 直线与圆
一、
直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交。
d r l B
A
O
图3
d=r
l A O
l
r d
A B
O
C
练习：
1、已知圆的直径为13㎝，如果直线和圆心的距离为4.5㎝，那么直线和圆有 个公共点。
2、Rt △ABC 的斜边AB ＝4，直角边AC ＝2，若AB 与⊙C 相切，则⊙C 的半径是 ；
3、⊙O 的半径为6㎝，弦AB 的长为36㎝，以O 为圆心，3㎝长为半径作圆，与弦AB 有 个
公共点。
二、
切线的性质及判定
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
如图：如果直线l 是⊙O 的切线，点A 为切点，那么半径OA 与l 垂直吗？ 反证法：设OA 不垂直于l ，那么过点O 可作O M l ⊥，垂足为M ，根据“垂线段最短”的性质，可得O A O M >。
这就是说圆心到直线l 的距离小于圆的半径（即：d r <）于是l 就应与⊙O 相交，这与l 是⊙O 的切线相矛盾。
因此，l 与OA 一定垂直。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线除定理外共有两种判定方法：
1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
备注：证明一条直线是切线的方法：（如图（1）（2））
①连接OA （A 为圆上一点），且证明：OA l ⊥ ②作OA l ⊥交l 于点A ，且证明：OA r =
总结为口诀：已知切点，连半径、证垂直； 未知切点，作垂直、证半径
l
O
A
P
M
例1、已知：AD 是∠BAC 的平分线，BDC 是切线，求证：EF ∥BC
B
例2、AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB,点C 在圆上，∠CAB=30º,
求证：DC 是⊙O 的切线
.
D
例3、已知：△ABC 是等腰三角形，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切
例4、已知：如图，在△ABC 中，BC =AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ．
⑴求证：点D 是AB 的中点；
⑵判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； ⑶若⊙O 的直径为18，cosB =31
，求DE 的长．
1、如图（1），AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB
＝12㎝，∠B＝300，则∠ECB＝，CD＝。
2、下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直与圆的半径的直线是切线；③与圆心的距离等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于此直线的是切线。
其中正确命题有（）A．①② B．②③ C．③④D．①④
3、如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线。
4、如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，
过C作C D P A
，垂足为D.
(1) 求证：CD为⊙O的切线；
(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.
三、切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
思考：作图题：过圆外一点P，求作⊙O的切线。
例5、如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，∠C＝900，若∠BOC＝1050，AB＝4㎝，求∠OBC的度数和BC的长。
练习：
1、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为。
2、如图，AB、AC与⊙O相切与B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是。
3、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，⊙O的半径为3，∠APB＝600，求PO、PA、PB的长。