二次根式讲义
初三数学上册二次根式讲义
二次根式讲义知识点一：二次根式的概念和性质1定义：形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，把握的重点：（1）二次根式是形式上定义的，必须含有二次根号。
（2）被开方数a必须是非负数，即a≧0（3）的根指数是2，一般省略根指数2，写作，这一点一定要切实注意，不可误认为根指数为“1”，“0”。
2.性质1、两个非负性：（1）根号下的a必须是非负数，表示为a≥0；（2）a（a≥0≥02、a（a≥0）的平方根是±a，a（a≥0）的算术平方根是a3a│=要特别注意：不能直接将根号、平方一起去掉，应该有绝对值号，然后再计算绝对值。
计算绝对值的时候，要注意绝对值内代数式的正负性，绝对值内是一个整体4、2＝a（a≥0）注意：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而a(a≥0)-a(a＜0)2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点二：二次根式的乘除运算1乘法公式1a≥0，b≥0）即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
注意（1）在进行二次根式乘法运算中，一定不要忽略被开方数a，b均为非负数。
（2）此法则可以推广到多个二次根式相乘的运算。
（3）若含有系数的二次根式相乘，可类比单项式的乘法法则，将它分为系数和根式两部分的运算，然后相乘。
公式2（a≥0，b≥0）要注意式子成立的条件限制。
2除法公式1=（a≥0，b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
注意（1）除法运算的结果也要进行化简(2)在运算过程中要注意条件（a≥0，b>0）（3）若含有系数的二次根式相除，可类比单项式的除法法则，将它分为系数和根式两部分分别运算，然后想乘。
公式2=（a≥0，b>0）3最简二次根式（1）应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式最简二次根式定义中第（1）条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。
《二次根式》 讲义
《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中，＼（＼sqrt{｝＼）称为二次根号，＼（a\）叫做被开方数。
需要特别注意的是，二次根式有两个非常重要的限制条件：一是根指数为 2；二是被开方数必须是非负数。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）等都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a ＼geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。
2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））例如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。
3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4\times 3} ＝＼sqrt{4} ＼cdot ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）。
4、＼（＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼dfrac{3\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 3\）。
三、二次根式的化简化简二次根式是二次根式运算中的重要环节，其目的是将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足以下两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
二次根式辅导讲义
二次根式一、知识梳理1、二次根式的概念和性质二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a ≥；（2）2()(0)a a a =≥；（3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，22()a a =.2、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式．合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b+与a b-互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．4、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．6、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,a b a b a ba b>>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩2．作商法：比较a、b的大小，当0,0a b>>时，可以采用作商法，1,1,1,a b aa b ba b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b a b>>⇔>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：a b ab⋅=（0a≥，0b≥）．二次根式的除法法则：a abb=（0a≥，0b>）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b=⋅，a、b都非负，否则不成立．二、典型例题题型一、二次根式的概念和性质例1： 函数1x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x <且0x ≠C ．1x >D ．1x ≥且0x ≠【答案】C【解析】该题考查的是函数的定义域．根式下的式子在非负条件下有意义，分数在分母不为0的条件下有意义，综上所述，10x -≥，且10x -≠，∴1x >，故本题答案为C ．例2： 若320-+-=x y ，则xy 的值为____.A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【解析】该题考查的是的非负性．根据题意得：3020x y -=⎧⎨-=⎩解得：32x y =⎧⎨=⎩∴32x y =，故选A ．变式： 已知：()322512012x x y x -+-=+--，求x y 的值. 【答案】25【解析】该题考查的是二次根式的性质．∵()322512012x xy x -+-=+--有意义∴()32020120120x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪--≠⎪⎩所以2x =，055y =+=∴2525x y ==题型二、最简二次根式例1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．22xB ．0.5C ．22x y +D ．1x 【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A 、x x 222=被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B 、120.522==，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误； C 、22x y +满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D 、1x x x=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C ．例2、若最简二次根式2342a +与22613a -是同类二次根式，则a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=-解得：1a =±变式、若2，m ，4为三角形三边，化简：()()2226m m -+-＝____________．【答案】4【解析】该题考查的是根式的化简求值．∵2，m ，4为三角形三边，可知包括如下关系：①24m +>，即6m <②24m +>，即2m >∴原式264m m =-+-=题型三、二次根式的加减例1、计算124183-⨯=__________．【答案】6【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式346923=⨯-⨯⨯326323=-⨯ 2666=-=例2、111115533131317+++=++++____.【答案】1714-【解析】该题考查根式的分母有理化．11115135133171317144444155********-----+++=+++=++++ 故答案为1714-． 变式、已知32x =+，32y =-，则33_________x y xy +=.【答案】10【解析】因为32x =+，32y =-，所以()()32321xy =+-=，()()323223x y +=++-=，所以()()()22332221232110x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦⎣⎦题型四、二次根式综合运算例1、化简：2244112a a a a -+--+（112a ≤≤）【答案】32a -【解析】()()222244112211211a a a a a a a a -+--+---=---，因为112a ≤≤，所以原式21121132a a a a a =---=-+-=-例2、若352x y +=-，325x y -=-，求xy ．【答案】52-【解析】2()352x y +=-；2()325x y -=-∴22()()352(325)5244x y x y xy +-----===-变式、化简22691025a a a a +++-+【答案】当3a <-时，原式=22a -+；当35a -≤<时，原式=8；当5a ≥时，原式=22a -；【解析】()()22226910253535a a a a a a a a +++-+=++-=++-，当3a <-时，原式353522a a a a a =++-=---+=-+；当35a -≤<时，原式35358a a a a =++-=+-+=；当5a ≥时，原式353522a a a a a =++-=++-=-题型五、二次根式化简求值例1、化简：()221269x x x -+-+=____【答案】43x -【解析】该题考查根式的化简．()()2221269123x x x x x -+-+=-+-∵由题得120x -≥，12x ≤∴()2333x x x -=-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．例2、化简：108322++．【答案】42+【解析】22108322108(12)108(12)1882(42)42++=++=++=+=+=+变式、化简：（1）412-（2）415+【答案】（1）31-（2）1062+【解析】（1）()24124233131-=-=-=- （2）221064158215(53)222++=+=+=题型六、根式的大小比较例1、比较大小：512-_______12．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．5115115254022222------===>，即511022-->， 即51122->． 例2、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A ____B ．【答案】A B >【解析】222008200620082006A ==+-，22220072007B ==；2008200622007+< ∴22A B< ∴A B >变式、已知21a =-，226b =-，62c =-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c b a <<【答案】B【解析】()()221,223,2322a b c ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2222(231)2(13)(2223)0222b a -=--+=-+=+->，b a > 2222(132)2(13)(2223)0222a c -=--+=-+=+->,a c >b ac >>题型七、二次根式的乘除例1、下列计算正确的是（ ）A ．235⋅=B ．236⋅=C ．84=D ．2(3)3-=-【答案】B【解析】根据二次根式的乘法运算法则，可得236⋅=，故答案为B 选项．例2、下列计算结果正确的是（ ）A ．257+=B ．2510⨯=C ．3223-=D ．25105=【答案】B【解析】该题考查的是二次根式计算．A 选项2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 选项252510⨯=⨯=，故本选项正确；C 选项32222-=，故本选项错误；D 选项21055=，故本选项错误． 故答案是B ．变式、已知：4322232b a a =-+-+，求11a b +的平方根．【答案】2±【解析】该题考查的是二次根式．4322232b a a =-+-+，根据被开方数的非负性我们知道320230a a -≥⎧⎨-≥⎩，所以23a =， 代入得43222322b a a =-+-+=，所以1131222a b +=+=，平方根为2±三、课堂巩固1、函数11y x =-中自变量的取值范围是（ B ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ C ）A ．()2a b a b +=+B ．22a b a b +=+C ．()22222a b a b +=+ D ．()2a b a b +=+ 3、函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是2->x 4、实数P 在数轴上的位置如图所示，化简()()2223p p -+-=15、计算：=⨯121726，=--)84)(213(24， =⨯-03.027.02-0.18，=÷-327348-5.6、化简：()221269x x x -+-+=x 34-.7、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A >B ． 8、已知: 21x =-，求223x x +-的值．()()()()2222231322-=-+=+-=-+x x x x 9、已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 1=x 3<y 原式=()1-4343=---=---y y y y1 2 3 4 p课后作业1、函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．2x ≤且0x ≠B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠2、若()424A a =+，则A =（ A ） A ．24a +B ．22a +C ．()222a + D ．()224a + 3、若2(2)10m n ++-= 则m n -= -3 ．4、在下列二次根式22211025312232322a a a a b m x a b x a b +-++，，，，，，，，，，中，最简二次根式有6个．5、若最简二次根式35a -与3a +是同类二次根式，则a =___4___.6、若231604b a a +-+=-，则3223a b a b +=-___-18___.7、比较大小：512-___>___12．（填“>”、“<”或“=”）． 8、计算：01186(121)221+---- 原式=01232212=--++9、化简：（1）412-原式=()13132-=- （2）415+221064158215(53)222++=+=+=。
二次根式讲义(初次、基础版)
二次根式【知识要点】 必杀技：要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数．1． 二次根式的主要性质： ①⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a ； ②()a a =2(),0≥a ； ③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab ba b a ； ⑤()()b a b a b a b a ba b a --=-+-=+1； ⑥b a b a ba -+=-1． A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式②根号内不含有分母③分母不含有根号B 、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式C 、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a abD 、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m【典型例题】例1．x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1+x ； （2）23-x ； （3）123+x ； （4）x231-． 例2．若a a ---33有意义，则a 的值为______________．例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是________________．例4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ． 例5.数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++．例1、乘法运算（1）)169()25(-⨯- （2）1527⨯ （3）228n m （4）a a 122532⋅- 例2：除法运算（1）354- （2）531513÷ （3）921.15004.0⨯⨯ （4）2294a b 例3：加减混合运算二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，一般步骤为： 化简→分类→合并例1、计算：（1）ab ab ab b a ÷+-)3(33，其中0,0>>b a（4）20)21()23(3632918-+-++-- 【变式练习】 计算：6、27348612421-+-； (2))312218(21812-+-- (3)a ab a b ab a 4322763232+-，其中0>ab (4)33)2321418(÷--- 【课堂练习】 1．如果03332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++y x ，那么()=2005xy ．2．已知y x ,的实数，214422-+-+-=x x x y ，则y x 43+的值为 ． 3．化简下列各式：（1）()()()44322>---a a a （2）()()233522-+---4．已知23-=a ，求121232---++a aa a a 的值． 【贴近中考】1. (2011江苏省南京市)计算)(12=___________． 2. (2011江苏省扬州市)=_______________．3. (2011内蒙古包头市)_________ 4. (2011青海省)___________．5. (2011 山东省菏泽市) 实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）A. 7B. -7C. 2a -15D. 无法确定 6. (2011 山东省济宁市) 下列各式计算正确的是（ ）A=Ｂ．2=Ｃ．=Ｄ．2=7. (2011山东省聊城市)=_____________.8. (2011 山东省临沂市)计算的结果是（ ）A．Ｂ．5C ．5D ．0 5 a 10。
二次根式讲义
二次根式辅导讲义同步知识梳理一:二次根式得概念二次根式得定义形如得式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当就是一个非负数时,才有意义.二:二次根式得性质1、非负性:a a()≥0就是一个非负数.注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.2、()() a aa20=≥.注意:此性质既可正用,也可反用,反用得意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方得形式:a a a=≥()()203、a aa aa a20 ==≥-<⎧⎨⎩||()()注意:(1)字母不一定就是正数.(2)能开得尽方得因式移到根号外时,必须用它得算术平方根代替.(3)可移到根号内得因式,必须就是非负因式,如果因式得值就是负得,应把负号留在根号外.4、公式a aa aa a2==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa20=≥得区别与联系(1)a2表示求一个数得平方得算术根,a得范围就是一切实数.(2)()a2表示一个数得算术平方根得平方,a得范围就是非负数.(3)a2与()a 2得运算结果都就是非负得.三:最简二次根式与同类二次根式2a B、1-－3＜0,则化简(1)148 (2)4337- (3)11212 (4)13550-【例14】把下列各式分母有理化(1)328x x y(2)38xx【例15】把下列各式分母有理化:（1）221- (2)5353+- (3)333223- 举一反三:1、已知2323x -=+,2323y +=-,求下列各式得值:(1)x y x y +-(2)223x xy y -+专题五:二次根式计算——二次根式得乘除【例16】化简(1)916⨯ (2)1525⋅ (3)229x y (0,0≥≥y x ) (4)12×632⨯ 【例17】计算(1)(2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)【例18】化简:(1)364 (2)22649b a )0,0(≥>b a (2)2964xy )0,0(>≥y x (4)25169x y )0,0(>≥y x【例19】计算:(1)123 (2)3128÷ (3)11416÷(4)648【例20】能使等式22xxx x =--成立得得x 得取值范围就是( )A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解专题六:二次根式计算——二次根式得加减【例20】计算(1)11327520.53227--+-; (2)12543102024553457⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 【例21】(1)224344x y x y x y x y --+--+ (2)a b a ba b a b--+-+ 专题七:二次根式计算——二次根式得混合计算与求值1、ab b a ab b 3)23(235÷-⋅ 2、 22 (212 +418－348 ) 3、132x y ·(-42y x)÷162x y 4、673)32272(-⋅++5、62332)(62332(+--+)6、1110)562()562(+-【例21】 1.已知:,求得值.2．已知,求得值。
第二十一章二次根式 辅导讲义
求：（1） ；（2） ；（3）你会算 吗？
6．当x= 时，求 + 的值．（结果用最简二次根式表示）
教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差○没做作业
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：
家长签字：___________
4．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ ）2，5=（ ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
（ -1）2=（ ）2-2·1· +12=2-2 +1=3-2
反之，3-2 =2-2 +1=（ -1）2
例2．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2） × =4× × =4 × =4 =8
例3．已知 ，且x为偶数，求（1+x） 的值．
例4．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
= = -1，
= = - ，
同理可得： = - ，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
A．13 B． C．10 D．5
4．（ -3 +2 ）× 的值是（）．
A． -3 B．3 - C．2 - D． -
5．计算（ + ）（ - ）的值是（）．
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
1．在 、 、 、 、 、3 、-2 中，与 是同类二次根式的有________．
2．计算二次根式5 -3 -7 +9 的最后结果是________．
二次根式讲义
二次根式讲义 一、知识点梳理 1.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2.定义重点①式子有意义：)0(≥a a 中必须，否则，式子没有意义②隐含条件：)0(≥a a ，则，即也为非负数4. 二次根式的乘除运算b a ab ⋅=（00≥≥b a ，）)0,0(≥≥=b a b ab a根式中分母不能含有根号，且要变为最简。
6.最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
三、典型例题讲解 例11、用代数式表示：（1）面积为S 的正方形的边长为______．(2）•面积为10•的直角三角形的两直角边的比为1：•2，•则这两条直角边分别为______．2、在二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（ ）A ．1<aB ．1≤aC ．1≥aD ．1>a 3、下列式子中，是二次根式的有（ ）①22x +，②3x ，③32，④2()x -A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、（1）若0≥a ，则a _____0．（2）若021=++-x y ，则=x _____，=y ______． 5、求使式子有意义的实数x 的取值范围．（1）2x - （2）11x - 例21、计算：（1）=2)3(______；（2）=-2)52(_____． 2、下列式子正确的个数是（ ）①2)4(4±=；②3)3(2-=--；③1)2()3(22=-；④2)7(7=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在实数范围内分解因式792-a ．解：=-=-222)7()3(79a a （ ）·（ ）4、计算：（1）22＝______．（2）2(5)-＝_____； （3）2211010-=＝______．5、计算： （1）2(2)x -（2≤x ） （2）2(32)- （3）－2(3.14)π-例31、计算：（1）2×7＝______．（2）12×8＝______； （3）0.1×100＝_______．2、下列运算不正确的是（ ）A ．0.40.6⨯＝0.2×0.6＝1.2B ．4×36＝2×6＝12C ．0.4 3.60.4 3.6 1.44⨯=⨯=＝＝1.2D ．a ·3＝3a （0≥a ） 3、计算：（1）3×（－212） （2）2×6×13（3）2ab ·1b （4）－12xy ·（－4y ）4、计算：（1）812＝______；（2）126＝_____．5、计算：（1）318÷2＝_____；（2）293x y xy ÷＝______． 例41、化简：（1）8＝______；（2）1327＝____．2、化简：（1）3a ＝_____；（2）2316x y ＝_____．3、化简：（1）56＝______； （2）－125015⨯＝______； （3）2332ab c＝______；4、下列计算正确的是（ ）A ．－1210×2＝－1220B ．y x xy x xy x 31313313=⋅=⋅C ．112882887272⨯=⨯＝4＝2 D ．534＝5435、把38化为最简二次根式为_______．6、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．aB ．31C ．1x D ．21a +四、举一反三 1．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间2．（2012杭州）已知)212()33(-⨯-=m ，则有（ ）A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－5 3.（2012泰安）下列运算正确的是（ ）A ．2(5)5-=- B ．21()164--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =4．（2012德阳）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ）A ． 0≥xB ．21≠x C ．0≥x 且21≠x D ．一切实数5.（2011山东菏泽）实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+- 化简后为（ ）A ． 7B ． －7C ．152-aD ． 无法确定6.（2011山东济宁）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．7D ．－77．（2011山东烟台）如果aa 21)12(2-=-，则（ ）A ．21<a B. 21≤a C. 21>a D. 21≥a8．（2011山东日照）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(＝0，那么20112011y x -＝ ．9. （2011山东枣庄）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a※b ＝b a b a -+，如3※2＝32532+=-．那么8※12＝ ．10.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简22()()a b c b a c +-+--－a b c --．a 105第2题图第4题图 五、过关测试二次根式的定义 1、二次根式11x --有意义，则实数x 的取值范围为_____． 2、矩形面积为12cm 2，矩形的长与宽之比为3：2，则矩形长为_____cm ，宽为____cm ． 3、无论实数x 取何值下列式子总有意义为（ ）A ．2(1)x -- B ．21x -+ C ．21x + D ．1x -4、如图所示，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．65、如图所示，在平面直角坐标系中，A （－2，3），B （－4，0），C （－2，0）是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．6、已知1433b a --与114+-b a 互为相反数，试求a ，b 的值．7、已知x ，y 为实数，且y ＝1122x x -+-＋12，求x ，y 的值．二次根式的性质1、计算：（1）=2)75(____________； （2）=-2)2(x ______．2、（1）当0≥x 时，=-2x ______________；（2）当0≤x 时，2x ＝______． 3、下列式子计算不正确的是（ ）A ．3)3(2=B ．a a =-2)(（0≥a ）C ．2(32)-＝3－2D ．15)53(2-=- 4、计算：（1）22)3553()54(- （2）22(6)(8)-+-（3）2)52(494-⋅+ （4）2230.6--5、已知实数x 在数轴上的位置如图所示，化简2222(1)(2)x x x --+-．6、（改错题）计算：（2x -）2＋2(3)x - 解：（2x -）2＋2(3)x -＝2－x ＋x －3 ① ＝－1 ②你认为上述解答过程是错在第_____步，为什么？并求出正确的结果．二次根式的乘法 1、计算：（1）－122×3＝_____； （2）18×（－32）＝_____． 2、计算：（1）110×110＝______； （2）131x·3xy ＝______． 3、化简：（1）3a -＝_____；（2）34m n （0<m ）＝______． 4、若)2)(1(21--=-⋅-x x x x ．则x 的取值范围是（ ）A ．1>xB ．2≥xC ．2>xD ．1≥x 5、定义运算“@”运算法则，x@y@z ＝xyz ，则2@3@6值为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．126、下列各等式成立的是（ ）A ．45×25＝85B ．53×42＝205C ．43×32＝75D ，53×42＝20 7、已知2＝a ，则200的值为（ ）A ．a 2B ．a 3C ．a 10D ．a 8 8、下列计算正确的是（ ）A ．(121)(9)1219-⨯-=-⨯-＝33B ．23x ＝x 3C ．(16)(25)1625-⨯-=⨯＝20D ．249x -＝32-x 9、阅读解答题:因为23＝223⨯＝12 ①－23＝2(2)3-⨯＝12 ②所以23＝－23 ③ 即2＝－2导致以上出现错误的结果错因在第几步（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 10、化简：（1）2000 （2）250a b （0<a ，0>b ）（3）18×3220×（－1315） （4）627×（－23）（5）2xy ×12x （6）115×23×（－1210）11、计算（1）5xy ×（－323x y ）×361y （2）32ab b ·（－323a b ）·3ab（0<a ，0>b ）（3）)))((abx ax x a b x ab --- （0>a ，0>b ，0>x ）12、将aa 1-括号外的因式a 移到括号内部．二次根式的除法及最简二次根式 1、计算：（1）49＝_____________；（2）2764＝______．2、计算：（1）0.680.17＝__________；（2）328＝______． 3、计算：（1）0.48＝______；（2）512＝_____． 4、若2211x xx x--=++，则x 取值范围为_______． 5、下列各式是最简二次根式为（ ） A ．15B ．24C ．28D ．7326、如图所示，小芳想在墙壁上钉一个三角形架，•其中两直角边的长度之比为3：2，斜边长为520，则较短直角边的长度为（ ） A ．40 B ．210 C ．410 D ．426 7、化去下列各式中根号内的分母正确的是（ ） A ．2225555== B ．22151535=⨯ C ．3333n n mn m m m ==（0>m ，0>n ） D ．11aa a a==＝a 8、下列各式计算正确的是（ ）A ．442939---==---＝23B ．238499=＝2132C ．3163727÷= D ．825＝58 9、把下列二次根式化为最简二次根式： （1）338＝_______； （2）712＝_______；（3）2.11.0⋅＝_______；（4）3273x ＝_______； 10、计算：（1）48÷（32·3）（2）43623x x ÷（3）3520÷（－136）（4）8243311、计算：（1）3223×（－1815）÷1225（2）－4318÷（28×1354）。
二次根式讲义 Word
二次根式及其运算概述：二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法。
知识盘点：1、二次根式的性质：2、二次根式的运算法则：（5）3、设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅4、当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．典典例精析：例1 化简：点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：点评：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：点评：（1）将被开方数的化成分母是2的分数就可以按例3的方法解决了，还要注意开方时考虑符号；(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简。
例5：(2010湖北省荆门市)已知a ＝2b ＝2a b -的值． 点评：由于a+b 和ab 都是有理数，所以整体代人较为简便。
点评：考虑到被开方数的平方差特点待定系数法设原式为x ，两边平方可以使原式简化。
例7：化简441296222+--+-+++x x x x x x点评：本题的解法叫零点法，也叫分段讨论法，是解决绝对值题型的基本方法。
例8：设154-=a ，试求a a a 4223--的值。
点评：原式=a(a 2-2a-4)=a(a 2-2a+1)-5a ….通过配方巧妙解答，流畅自然。
例9：计算10121011101144++-++点评：设10,10,10424===a a a 则达到化繁为简之妙。
例10：已知a 、b 都是有理数，且347-是方程02=++b ax x 的解，求a+b 。
二次根式知识点讲义
第一章 二次根式知识点一： 二次根式的概念 知识点二：取值范围：二次根式（）的双重非负性PS;单项式和多项式统称整式。
单项式：由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1下列各式13)-其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x知识点三：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同：当被开方数是非负数，即时，=；时，无意义，而.例3、（1）-2)3(； （2）2)32(； （3） 2)(b a + （a+b ≥0）知识点四 .最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
例4、（1__ __；（2=___ __；（3=____；（40,0)x y≥≥=___ _；（5）_______420=-。
例5、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)知识点五.二次根式的运算：PS把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项1同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a m﹒a n=a m+n。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（a m）n =a m n积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
二次根式讲义
7. 若 ，求 的值。
8、化简：
【例二】若y= + +2009，则x+y=
【例三】若a、b为实数，且满足|a－2|＋ ＝0， 则b－a的 值为( )
A.2 B.0 C.－2 D.以上都不对
【例四】若 是二次根式,则字母a应满足的条件是( )
A. B. C. D.
3、化简
【例五】 的平方根是( )
A.5B. -5C.± D.±5
【例六】计算 +|-11|- ，正确的结果是（ ）
6、分母有理化
在二次根式的运算中，把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。
方法一： (a≥0，b≥0)
方法二： (a≥0，b≥02、二次根式的化简和混合运算
三、经典例题
1、求二次根式的值
【例一】当x=-2时,二次根式 的值为_______.
2、利用二次根式非负性解题
满足：（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
4同类二次根式：
把几个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
5、二次根式的运算
（1）乘法 （a≥0，b≥0）
（2）除法运算： (a≥0，b＞0)
（3）加减运算：先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式。
2、（2013，永州）已知 ,则 的值为
A. 0 B. C. 1 D.2
3、（2013,上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
4、（2012，陕西）计算： ．
A. ；B. ；C. ；D. ．
5、（2013，佛山）化简 的结果是( )
A． B． C． D．
二次根式基础讲义
二次根式复习讲义（MS ）一、基础知识(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。
，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
（二）.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
（三）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．二、分类考点 二次根式的定义例： ） A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个练习：下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？1．求a 为何值时，下列各式有意义. （1）a a 212-+ （2）32-+a a （4）215.0-a练习1、 53+-x 的取值范围是 _________________练习2有意义的x 的取值范围是 _________________ 练习3、x x --+315的取值范围是 _________________练习4、若31-+a 在实数范围内有意义， 则a 满足的条件是（ ）A.2=aB. 2≥a C ．4-≤a D. 2≥a 或4-≤a例1： 在根式1) ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例2.在二次根式45， 2x 3， 11， 54， x 4中，最简二次根式个数是（ ） A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个例1．把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号里面（1）53- （2）3.010 （3）1832 （4）616 （5）2142-例2、将根号外的数移到根号内（1）33 （2）717（3）x 2 （4）x x 2练习1．计算化简（1）226061- （2）84252.0b a （3）b b 42-（4）b a 325（0<b ） （5）2211b a -（b a <）练习3．求值（1）当211=x 时，求2244x x x +--的值；（2）当3-=a 时，求4152+-⋅-a a a 的值.练习4．求值22)2()1(+--b a ，其中3,14==b a .练习5、10)21()2006(312-+---+;练习5、已知AB，试比较A 与B 的大小。
二次根式的讲解
二次根式的概念与性质一、知识结构：知识要点梳理知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
（2） 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。
关于二次根式的概念，要注意以下几点：（1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。
如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；（4）象“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。
知识点二：二次根式的性质1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.（6）若，则。
注意与的逆用。
要点诠释：二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.要注意以下问题：（1）因为被开方数a2≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。
第三讲 二次根式讲义
第三讲 二次根式一、课标下复习指南 (一)二次根式的有关概念 1．二次根式形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．2．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (二)二次根式的主要性质1．)0(≥a a 是一个非负数； 2．);0()(2≥=a a a 3．⎩⎨⎧<-≥==);0(),0(||2a a a a a a4．);0,0(≥≥⋅=b a b a ab5．);0,0(>≥=b a ba ba6．若a ＞b ≥0，则.b a >(三)二次根式的运算 1．二次根式的加减二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． *3．分母有理化把分母中的根号化去，分式值不变，叫做分母有理化． 常用的二次根式的有理化因式：(1)a 与a 互为有理化因式；(2)b a +与b a -，一般的，b c a +与b c a -互为有理化因式；(3)b a +与b a -，一般的，b d a c +与b d a c -互为有理化因式． 二、例题分析例1 当x 为何值时，下列代数式有意义?.1)2(;322)1(232x x x x x -+----解 (1)欲使3222---x x x 有意义，只要使⎩⎨⎧=/--≥-.032,022x x x 即⎩⎨⎧≠-=/≥.31,2x x x 且 解得x ≥2且x ≠3． ∴当x ≥2且x ≠3时，3222---x x x 有意义．(2)欲使231x x -+-有意义，只要使－x 2≥0，解得x ＝0． ∴当x ＝0时，231x x -+-有意义．说明 代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；由实际意义得到的代数式还要符合实际意义．例2 化简：(1);14962123xx x x x -+ *(2)已知1＜x ＜2，化简122+-x x .442x x +-+ 解 (1)原式x x x x x x 4221-+=x x 23-=(2)∵1＜x ＜2，∴x －1＞0，2－x ＞0．224412x x x x +-++-∴22)2()1(x x -+-=＝|x －1|＋|2－x |＝(x －1)＋(2－x )＝1．说明 (1)二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式；(2)化简2a 时，要考虑字母a 的取值范围；(3)在二次根式运算中，根号外的因式可以平方后作为被开方数的因式移进根号内，从而使运算简化．例3 计算：(1);22)8321464(÷+- (2)+⋅-+-5()625()2332(202.)6219 解 (1)原式22)262264(÷+-= .232+=(2)原式＝5)(625[()1861212(-++-62561230)625()]6219-+-=-⋅+.61435-=说明 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用．例4 已知xy ＝3，求yxyx y x+的值． 分析 因为xy ＝3，所以x ，y 同正或同负，要分情况讨论．解 当x ＞0，y ＞0时， 原式.322==+=xy xy xy 当x ＜0，y ＜0时，原式.322-=-=--=xy xy xy 综上可知，原式.32±= 三、课标下新题展示例5 若n 20是整数，则满足条件的最小正数n 为( )． A ．2 B ．3C ．4D ．5解 D ．说明 对于二次根式的性质：||);0()(22a a a a a =≥=，会有多种形式进行考查，要熟练掌握．例6 对正实数a ，b ，定义,*b a ab b a +-=若4*x ＝44，则x 的值是______． 解 依题意，得.4444=+-x x 整理，得.484=+x x 变形，得.4912)(2=++x x.49)1(2=+∴x71=+∴x 或,71-=+x 6=x 或8-=x (舍)．∴x ＝36．经检验，x ＝36是原方程的解． ∴x 的值是36．说明 此题考查了阅读理解能力、完全平方公式、二次根式的性质、配方法解方程，是一道代数综合题，要求每个基本知识点都熟练掌握． 四、课标考试达标题(一)选择题1．在根式⑤④③②①;2;15;;5223a b a a -2;12aa ⑥中，最简二次根式是( )． A ．②③⑤ B ．②③⑥C ．②③④⑥D ．①③⑤⑥2．如果最简根式a b b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是( )．A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－23．下列各式中，运算正确的是( )． A ．553322=+ B ．236=÷ C ．632=D ．12233=-(二)填空题4．当x 满足______条件时，32++-x x在实数范围内有意义． 5．若式子|2|)1(2-+-x x 化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是______． 6．已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝______．7．观察下列各式：=+=+412,312311514513,413=+…请你将发现的规律用含自然数n 的等式表示出来______．(n ≥1)(三)解答题 8．计算：.)2(xy yxxyxy ⋅+-9．化简：.)23(36329180-++--10．先化简，再求值：423)225(--÷---a a a a ，其中.33-=a*11．观察下列分母有理化的运算：-=+2121=+-=+321,23231,1,32-251+.,25 -= 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：+++++++ 321231121().12010()200920101+⋅+参考答案第三讲 二次根式1．B ． 2．A ． 3．B ． 4．－3≤x ＜0． 5．x ≥2． 6．－1，0，1． 7．21)1(21++=++n n n n ． 8．xy －2y ＋x ． 9．⋅2210．－2(a ＋3)，.32- 11．2009．。
八年级二次根式 教师讲义带答案
第五章二次根式知识网络知识点一：二次根式的概念形如的式子叫做二次根式;注：在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式;知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可;2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义;知识点三：二次根式的非负性表示a的算术平方根,也就是说,是一个非负数,即0;注：因为二次根式表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数的算术平方根是非负数,即0,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似;这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0;知识点四：二次根式的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数;注：二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论;上面的公式也可以反过来应用：若,则,如：,.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值;注：1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即；若a是负数,则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义；3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简;知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中a可以是正实数,0,负实数;但与都是非负数,即,;因而它的运算的结果是有差别的,,而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而.知识点七：二次根式的运算1．二次根式的乘除运算1运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.2注意知道每一步运算的算理；3乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算1对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括号,应先算括号里面的；2二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果.1加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难点分散,易于理解和掌握.在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,达到化简的目的,但最后结果一定要化简.例如进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行乘法运算,43+=+=+通过约分达到化简目的；2多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221+-=-=,利用了平方差公式.所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化. 4．分母有理化把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：2a a +-互为有理化因式；一般地a a +--互为有理化因式；一般地+-式.专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题专题解读涉及二次根式的最值问题,应根据题目的具体情况来决定应采用的方法,不能一概而论,但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x 取何值时,3的值最小最小值是多少分析 00,因为3是常数,3的最小值为3.0，33≥,∴当9x +1=0,即19x =-时,3有最小值,最小值为3.解题策略解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,0a ≥0. 专题2 二次根式的化简及混合运算专题解读对于二次根式的化简问题,可根据定义,也可以利用||a =这一性质,但应用性质时,要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是 分析 根据具体选项,应先进行化简,再计算. A 选项中,==B 选若可化为=,C 选项逆用平方差公式可求得2（=4-5=-1,而D 得22=.故选A.例3 计算2006200721)21)的结果是 分析 本题可逆用公式ab m=a m b m及平方差公式,将原式化为2006[(21)(21)]21)2 1.=故选D.例4 书知2228442142x x y x x x y y x x++=--+，求的值. 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x 的值,但要注意所得x 的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质,得2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠解题策略 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例5 223541294-202522a a a a a -++-（≤≤）.解题策略 本题应根据条件直接进行化简,2(0)||-(0).a a a a a a ⎧==⎨⎩≥，＜例6 已知实数,a ,b ,c 在数轴上的位置如图21-8所示,化简222||()().a a c c a b -+-解：由a ,b ,c 在数轴上的位置可知：解题策略 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时,要充分挖掘题目中的隐含条件,再进行化简.规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论,用这种方法解题分为以下步骤：首先,求出绝对值为零时未知数的值,这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次,以这些零点为分点,把数轴划分为若干部分,即把实数集划分为若干个集合,在每个集合中分别进行化简,简称“零点分区间法”.例8 已知3,12,.a ba b ab ba b a+=-=求的值 图21-8分析 这是一道二次根式化简题,在化为最简二次根式的过程中,要注意a ,b 的符号,本题中没明确告诉,a ,b 的符号,但可从a +b =-3,ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3,ab =12,∴a ＜0,b ＜0.解题策略 本题最容易出现的错误就是不考虑a ,b 的符号,把所求的式子化简,直接代入.专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9 的运算结果应在 A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果,原式4==+,由于即2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知m 是,n ,求m nm n-+的值. 解：∵9＜13＜16,即3 43,即m =3,3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题专题4 配方法专题解读 把被开方数配方,a |化简.例11 化简规律·方法一般地,对于a±型的根式,可采用观察法进行配方,即找出x,yx＞y＞0,使得xy=b,x+y=a,则2a±=,于是==,.例12 若a,b为实数,且b15,值.分析本题中根据b15可以求出a,b,对.解：由二次根式的性质得3503350..5305aa aa-⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，当3215.55a b====，时，原式解题策略对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a bab+或2()a bab-的形式,当它们作为被开方式进行化简时,要注意.a b a b ab+-和以及的符号专题5 换元法专题解读通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13计算解：令x两边同时平方得：∴x2=33专题6 代入法专题解读通过代入求代数式的值.例14 已知22==a b ab2400,5760,.专题7 约分法专题解读通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15 化简例16 化简).≠x y三、思想方法专题专题8 类比思想专题解读类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一些属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念,得到同类二次根式的概念,即把二次根式化简成最简二次根式后,若被开方数相同,则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.解：1原式2原式=3+2.解题策略对于二次根式的加减法,应先将各式化为最简二次根式,再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想专题解读当问题比较复杂难于解决时,一般应采取转化思想,化繁为简,化难为易,本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时,常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y 24x -中,自变量x 的取值范围是 .分析 本题比较容易,主要考查函数自变量的取值范围的求法,24x -是二次根式,所以被开方数2x -4≥0,所以x ≥2.故填x ≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序,若输入x 3,则输出的数值为 .图21-9分析 本题比较容易,根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题,易知图中所表示的代数式为21x -,3-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想专题解读 当遇到某些数学问题存在多种情况时,应进行分类讨论.本意在运用公式2||a a =进行化简时,若字母的取值范围不确定,应进行分类讨论.例20 若化简2|1|816x x x ---+25x -,则x 的取值范围是 A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-,由此可知|1|1x x -=-,且|4|4x x -=-,由绝对值的意义可知10x -≥,且40x -≥,所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.解题策略 2a |a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm,5cm 和3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少分析 这是一个求最短路径的问题,一个长方体有六个面,蚂蚁有三种不同的爬行方法,计算时要分类讨论各种方法,进而确定最佳方案.解：沿前、右两个面爬,=cm. 沿前、上两个面爬,=cm. 沿左、上两个面爬,=cm.所以它要爬行的最短路径长为规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去,共有三个爬行路线,每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.二次根式单元测试题一判断题：每小题1分,共5分1．ab 2)2(-＝－2ab ．………………… 2．3－2的倒数是3＋2． 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．… 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．… 5．x 8,31,29x +都不是最简二次根式． 二填空题：每小题2分,共20分 6．当x __________时,式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时,|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2x －1＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：7－522000·－7－522001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0,则x －12＋y ＋32＝____________．15．x ,y 分别为8－11的整数部分和小数部分,则2xy －y 2＝____________． 三选择题：每小题3分,共15分16．已知233x x +＝－x 3+x ,则………………A x ≤0B x ≤－3C x ≥－3D －3≤x ≤017．若x ＜y ＜0,则222y xy x +-＋222y xy x ++＝……………………… A2x B2y C －2x D －2y18．若0＜x ＜1,则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于……………………… A x2 B －x2 C －2x D2x19．化简aa 3-(a ＜0)得……………………………………………………………… A a - B －a C －a - D a20．当a ＜0,b ＜0时,－a ＋2ab －b 可变形为……………………………………… A 2)(b a + B －2)(b a - C 2)(b a -+- D 2)(b a ---四计算题：每小题6分,共24分 21．235+-235--；22．1145-－7114-－732+；23．a 2m n －m ab mn ＋m n n m ÷a 2b 2mn ； 24．a ＋ba abb +-÷b ab a +＋a ab b -－ab b a +a ≠b ．五求值：每小题7分,共14分25．已知x ＝2323-+,y ＝2323+-,求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 26.当x ＝1－2时,求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、 解答题：每小题8分,共16分 27.计算25＋1211+＋321+＋431+＋…＋100991+． 28. 若x ,y 为实数,且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xyy x +-2的值． 一判断题：每小题1分,共5分 1、提示2)2(-＝|－2|＝2．答案×． 2、提示231-＝4323-+＝－3＋2．答案×．3、提示2)1(-x ＝|x －1|,2)1(-x ＝x －1x ≥1．两式相等,必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．答案×． 4、提示31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．答案√．5、29x +是最简二次根式．答案×． 二填空题：每小题2分,共20分6、提示x 何时有意义x ≥0．分式何时有意义分母不等于零．答案x ≥0且x ≠9．7、答案－2a a ．点评注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、提示a －12-a ________＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．答案a ＋12-a ． 9、提示x 2－2x ＋1＝ 2,x －1．当1＜x ＜4时,x －4,x －1是正数还是负数 x －4是负数,x －1是正数．答案3．10、提示把方程整理成ax ＝b 的形式后,a 、b 分别是多少12-,12+．答案x ＝3＋22．11、提示22d c ＝|cd |＝－cd ．答案ab ＋cd ．点评∵ ab ＝2)(ab ab ＞0,∴ ab －c 2d 2＝cd ab +cd ab -．12、提示27＝28,43＝48．答案＜．点评先比较28,48的大小,再比较281,481的大小,最后比较－281与－481的大小． 13、提示－7－522001＝－7－522000·_________－7－52．7－52·－7－52＝1．答案－7－52．点评注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、答案40．点评1+x ≥0,3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时,x ＋1＝0,y －3＝0． 15、提示∵ 3＜11＜4,∴ _______＜8－11＜__________．4,5．由于8－11介于4与5之间,则其整数部分x ＝小数部分y ＝x ＝4,y ＝4－11答案5．点评求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后,其整数部分和小数部分就不难确定了． 三选择题：每小题3分,共15分 16、答案D ．点评本题考查积的算术平方根性质成立的条件,A 、C 不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17、提示∵ x ＜y ＜0,∴ x －y ＜0,x ＋y ＜0． ∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ． 222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．答案C ．点评本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、提示x －x 12＋4＝x ＋x 12,x ＋x 12－4＝x －x 12．又∵ 0＜x ＜1, ∴ x ＋x 1＞0,x －x1＜0．答案D ．点评本题考查完全平方公式和二次根式的性质．A 不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时,x －x1＜0．19、提示3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．答案C ． 20、提示∵ a ＜0,b ＜0,∴ －a ＞0,－b ＞0．并且－a ＝2)(a -,－b ＝2)(b -,ab ＝))((b a --． 答案C ．点评本题考查逆向运用公式2)(a ＝aa ≥0和完全平方公式．注意A 、B 不正确是因为a ＜0,b ＜0时,a 、b 都没有意义． 四计算题：每小题6分,共24分21、提示将35-看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式． 解原式＝35-2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、提示先分别分母有理化,再合并同类二次根式． 解原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、提示先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式． 解原式＝a 2m n －m ab mn ＋m n n m ·221b a n m＝21b n m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n nmn m ⋅ ＝21b－ab 1＋221ba ＝2221b a ab a +-．24、提示本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分． 解原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +． 点评本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐． 五求值：每小题7分,共14分25、提示先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值． 解∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26, y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26． ∴ x ＋y ＝10,x －y ＝46,xy ＝52－262＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 点评本题将x 、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．26、提示注意：x 2＋a 2＝222)(a x +, ∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +22a x +－x ,x 2－x 22a x +＝－x 22a x +－x ．解原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x-++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时,原式＝211-＝－1－2．点评本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差,那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1． 六、解答题：每小题8分,共16分27、提示先将每个部分分母有理化后,再计算．解原式＝25＋11212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--＝25＋112-＋23-＋34-＋…＋99100- ＝25＋11100- ＝925＋1．点评本题第二个括号内有99个不同分母,不可能通分．这里采用的是先分母有理化,将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、提示要使y 有意义,必须满足什么条件].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ,y 的值吗].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 解要使y 有意义,必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时,y ＝21．又∵ xy y x ++2－xy y x +-2＝2)(xy y x+－2)(xy y x -＝|xy yx+|－|xy y x-|∵ x ＝41,y ＝21,∴y x ＜x y ． ∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41,y ＝21时,原式＝22141＝2．点评解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y的值．。
二次根式讲义
【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】 1．概念与性质例1下列各式1）， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3在根式1)，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x yy x x x y例5已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤bab a b b ba a=22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+222;2);3);4)275xa b x xy abc +-2()a b -（ ＞0）（ ＜0）0 （ =0）；2．二次根式的化简与计算例6将根号外的a移到根号内，得() A. ； B. －； C. －； D.例7把（a－b ）－1a－b化成最简二次根式例8计算：例9先化简，再求值：，其中a=，b=．例10如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：222()a b a b---3.比较数值（1）、根式变形法当0,0a b>>时，①如果a b>，则a b>；②如果a b<，则a b<。
二次根式及其运算知识讲义(解析版)
专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（1+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x-8＜0，原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a-2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a-5，∴5a-5≥0，即a≥1，，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知 m 是正整数， ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ． （31=【答案】（1）12；（2）2；（3）9. 【解析】解：（1）原式12019+2222=+++2019++== （2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2（a 2+b 2）+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。
专题02 二次根式【课件精讲】
A．2 3 B．3
C．2 2 D．2
【答案】A 【分析】将被开方数 12 写成平方数 4 与 3 的乘积，再将 4 开出来为 2，易知化简 结果为 2 3 ．
【详解】解： 12 43 22 3 ＝2 3 ，
故选：A．
3．下列各式中与 3 是同类二次根式的是（
）
A． 6 B． 9 C． 12 D． 18
（3）
2
3 1
3 2
3
2 ；（4）
8
2
18
24
1 6
3
【答案】（1） 5
2 ；（2）
2 ；（3） 3 2
3 ；（4）5 11 2
6
【分析】（1）先化为最简二次根式，再计算加减法；
（2）先算乘方和开方，去绝对值，再算加减法；
（3）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并计算；
1 x2
1 y2
1 z2
11 xy
1 z
（结论不需要证明）
例如： 1 22
1 32
1 52
1 22
1 32
(
1 5)2
11 1 2 3 (5)
19 30
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】（1）求
1 12
1 22
1 32
的值；
S
【能力提升】（2）设
1
1 12
1 22
1
1 22
1 32
1
1 20192
03
考点ห้องสมุดไป่ตู้解
【考点1】二次根式的概念
【例 1】（2022·江苏连云港）函数 y x 1中自变量 x 的取值范围是（ ） A． x 1 B． x 0 C． x 0 D． x 1
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二次根式讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A 、aB 、10-C 、1a +D 、21a +2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个.【例2】若式子3x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三：111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值【例4】已知a b 是12a b ++的值。
举一反三：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
知识点二：二次根式的性质 【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a a a 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】题型一：二次根式的双重非负性【例5】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
二次根式的性质2 （公式)0()(2≥=a a a 的运用）【例6】化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：1、在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+= 二次根式的性质3 （公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用） 【例7】已知2x <,）A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三： 1( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．92、若a －3＜0，则化简a a a -++-4962的结果是（ ）(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a【例8】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+ 的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．【例9】化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（）（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤10 o ba举一反三：若代数式2，则a 的取值范围是（ ）（A ）4a ≥（B ）2a ≤ （C ）24a ≤≤ （D ）2a =或4a = 【例10】化简二次根式22a a a +-的结果是（ ） （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a举一反三：1、把二次根式a a -1化简，正确的结果是（ ） A. -aB. --aC. -aD.a 知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】 下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）AB C ． 21 D【例11】举一反三：1、下列根式不是最简二次根式的是( )2、在根式，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)3、把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2)b a 245【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 5 D.21 举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）A 2、在二次根式：①12；② 32；③32；④27中，能与3合并的二次根式是 。
知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：a =b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a 与a3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】【例13】 把下列各式分母有理化（1（2 （3（4）【例14】把下列各式分母有理化：（1（2（3举一反三：1、已知x =，y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例15】化简(1)1525⋅32⨯【例16】化简： )0,0(≥>b a )0,0(>≥y x知识点六：二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【典型例题】【例17】计算（1） （2）⎛- ⎝；【例18】（3）3213273108334a a a a a a a -+- （4）114a a b b a b ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭【例19】1、a b b a ab b 3)23(235÷-⋅ 2、 132x y ·（-42y x ）÷162x y3、673)32272(-⋅++4、1110)562()562(+-）【例20】求的值．知识点七：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b <，则a b <2、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
【典型例题】【例21】 比较的大小。
【例22】【例23】【例24】33的大小。