二次根式讲义(初次、基础版)
最新二次根式讲义(初次、基础版)
二次根式【知识要点】 必杀技：要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数．1． 二次根式的主要性质： ①⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a ； ②()a a =2(),0≥a ； ③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab ba b a ； ⑤()()b a b a b a b a ba b a --=-+-=+1； ⑥b a b a ba -+=-1． A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式②根号内不含有分母③分母不含有根号B 、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式C 、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a abD 、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m【典型例题】例1．x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1+x ； （2）23-x ； （3）123+x ； （4）x231-．例2．若a a ---33有意义，则a 的值为______________．例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是________________．例4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ．例5.数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++．例1、乘法运算（1）)169()25(-⨯- （2）1527⨯ （3）228n m （4）a a 122532⋅-例2：除法运算（1）354- （2）531513÷ （3）921.15004.0⨯⨯ （4）2294a b例3：加减混合运算（1）4832315311312--+（2）xx x x 1246932-+二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，一般步骤为： 化简→分类→合并例1、计算：（1）ab ab ab b a ÷+-)3(33，其中0,0>>b a（2）312)22(28++-（3）32)2145051183(÷-+（4）20)21()23(3632918-+-++--【变式练习】计算：6、27348612421-+-； (2))312218(21812-+--(3)a ab a b ab a 4322763232+-，其中0>ab(4)33)2321418(÷---【课堂练习】1．如果03332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++y x ，那么()=2005xy ． 2．已知y x ,的实数，214422-+-+-=x x x y ，则y x 43+的值为 ． 3．化简下列各式：（1）()()()44322>---a a a（2）()()233522-+---4．已知23-=a ，求121232---++a a a a a 的值．【贴近中考】1. (2011 江苏省南京市)计算)(12-=___________．2. (2011 江苏省扬州市)=_______________．3. (2011 内蒙古包头市)_________4. (2011 青海省)___________．5. (2011 山东省菏泽市) 实数a在数轴上的位置如图所示，则）A. 7B. -7C. 2a-15D. 无法确定6. (2011 山东省济宁市) 下列各式计算正确的是（）A=Ｂ．2=Ｃ．=Ｄ．2=-7. (2011 山东省聊城市)=_____________.8. (2011 山东省临沂市)计算）A．Ｂ．5-C．5D．。
初二数学经典讲义 二次根式(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。
《二次根式》 讲义
《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中，＼（＼sqrt{｝＼）称为二次根号，＼（a\）叫做被开方数。
需要特别注意的是，二次根式有两个非常重要的限制条件：一是根指数为 2；二是被开方数必须是非负数。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）等都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a ＼geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。
2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））例如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。
3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4\times 3} ＝＼sqrt{4} ＼cdot ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）。
4、＼（＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼dfrac{3\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 3\）。
三、二次根式的化简化简二次根式是二次根式运算中的重要环节，其目的是将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足以下两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
二次根式辅导讲义
二次根式一、知识梳理1、二次根式的概念和性质二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a ≥；（2）2()(0)a a a =≥；（3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，22()a a =.2、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式．合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b+与a b-互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．4、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．6、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,a b a b a ba b>>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩2．作商法：比较a、b的大小，当0,0a b>>时，可以采用作商法，1,1,1,a b aa b ba b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b a b>>⇔>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：a b ab⋅=（0a≥，0b≥）．二次根式的除法法则：a abb=（0a≥，0b>）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b=⋅，a、b都非负，否则不成立．二、典型例题题型一、二次根式的概念和性质例1： 函数1x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x <且0x ≠C ．1x >D ．1x ≥且0x ≠【答案】C【解析】该题考查的是函数的定义域．根式下的式子在非负条件下有意义，分数在分母不为0的条件下有意义，综上所述，10x -≥，且10x -≠，∴1x >，故本题答案为C ．例2： 若320-+-=x y ，则xy 的值为____.A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【解析】该题考查的是的非负性．根据题意得：3020x y -=⎧⎨-=⎩解得：32x y =⎧⎨=⎩∴32x y =，故选A ．变式： 已知：()322512012x x y x -+-=+--，求x y 的值. 【答案】25【解析】该题考查的是二次根式的性质．∵()322512012x xy x -+-=+--有意义∴()32020120120x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪--≠⎪⎩所以2x =，055y =+=∴2525x y ==题型二、最简二次根式例1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．22xB ．0.5C ．22x y +D ．1x 【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A 、x x 222=被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B 、120.522==，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误； C 、22x y +满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D 、1x x x=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C ．例2、若最简二次根式2342a +与22613a -是同类二次根式，则a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=-解得：1a =±变式、若2，m ，4为三角形三边，化简：()()2226m m -+-＝____________．【答案】4【解析】该题考查的是根式的化简求值．∵2，m ，4为三角形三边，可知包括如下关系：①24m +>，即6m <②24m +>，即2m >∴原式264m m =-+-=题型三、二次根式的加减例1、计算124183-⨯=__________．【答案】6【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式346923=⨯-⨯⨯326323=-⨯ 2666=-=例2、111115533131317+++=++++____.【答案】1714-【解析】该题考查根式的分母有理化．11115135133171317144444155********-----+++=+++=++++ 故答案为1714-． 变式、已知32x =+，32y =-，则33_________x y xy +=.【答案】10【解析】因为32x =+，32y =-，所以()()32321xy =+-=，()()323223x y +=++-=，所以()()()22332221232110x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦⎣⎦题型四、二次根式综合运算例1、化简：2244112a a a a -+--+（112a ≤≤）【答案】32a -【解析】()()222244112211211a a a a a a a a -+--+---=---，因为112a ≤≤，所以原式21121132a a a a a =---=-+-=-例2、若352x y +=-，325x y -=-，求xy ．【答案】52-【解析】2()352x y +=-；2()325x y -=-∴22()()352(325)5244x y x y xy +-----===-变式、化简22691025a a a a +++-+【答案】当3a <-时，原式=22a -+；当35a -≤<时，原式=8；当5a ≥时，原式=22a -；【解析】()()22226910253535a a a a a a a a +++-+=++-=++-，当3a <-时，原式353522a a a a a =++-=---+=-+；当35a -≤<时，原式35358a a a a =++-=+-+=；当5a ≥时，原式353522a a a a a =++-=++-=-题型五、二次根式化简求值例1、化简：()221269x x x -+-+=____【答案】43x -【解析】该题考查根式的化简．()()2221269123x x x x x -+-+=-+-∵由题得120x -≥，12x ≤∴()2333x x x -=-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．例2、化简：108322++．【答案】42+【解析】22108322108(12)108(12)1882(42)42++=++=++=+=+=+变式、化简：（1）412-（2）415+【答案】（1）31-（2）1062+【解析】（1）()24124233131-=-=-=- （2）221064158215(53)222++=+=+=题型六、根式的大小比较例1、比较大小：512-_______12．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．5115115254022222------===>，即511022-->， 即51122->． 例2、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A ____B ．【答案】A B >【解析】222008200620082006A ==+-，22220072007B ==；2008200622007+< ∴22A B< ∴A B >变式、已知21a =-，226b =-，62c =-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c b a <<【答案】B【解析】()()221,223,2322a b c ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2222(231)2(13)(2223)0222b a -=--+=-+=+->，b a > 2222(132)2(13)(2223)0222a c -=--+=-+=+->,a c >b ac >>题型七、二次根式的乘除例1、下列计算正确的是（ ）A ．235⋅=B ．236⋅=C ．84=D ．2(3)3-=-【答案】B【解析】根据二次根式的乘法运算法则，可得236⋅=，故答案为B 选项．例2、下列计算结果正确的是（ ）A ．257+=B ．2510⨯=C ．3223-=D ．25105=【答案】B【解析】该题考查的是二次根式计算．A 选项2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 选项252510⨯=⨯=，故本选项正确；C 选项32222-=，故本选项错误；D 选项21055=，故本选项错误． 故答案是B ．变式、已知：4322232b a a =-+-+，求11a b +的平方根．【答案】2±【解析】该题考查的是二次根式．4322232b a a =-+-+，根据被开方数的非负性我们知道320230a a -≥⎧⎨-≥⎩，所以23a =， 代入得43222322b a a =-+-+=，所以1131222a b +=+=，平方根为2±三、课堂巩固1、函数11y x =-中自变量的取值范围是（ B ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ C ）A ．()2a b a b +=+B ．22a b a b +=+C ．()22222a b a b +=+ D ．()2a b a b +=+ 3、函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是2->x 4、实数P 在数轴上的位置如图所示，化简()()2223p p -+-=15、计算：=⨯121726，=--)84)(213(24， =⨯-03.027.02-0.18，=÷-327348-5.6、化简：()221269x x x -+-+=x 34-.7、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A >B ． 8、已知: 21x =-，求223x x +-的值．()()()()2222231322-=-+=+-=-+x x x x 9、已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 1=x 3<y 原式=()1-4343=---=---y y y y1 2 3 4 p课后作业1、函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．2x ≤且0x ≠B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠2、若()424A a =+，则A =（ A ） A ．24a +B ．22a +C ．()222a + D ．()224a + 3、若2(2)10m n ++-= 则m n -= -3 ．4、在下列二次根式22211025312232322a a a a b m x a b x a b +-++，，，，，，，，，，中，最简二次根式有6个．5、若最简二次根式35a -与3a +是同类二次根式，则a =___4___.6、若231604b a a +-+=-，则3223a b a b +=-___-18___.7、比较大小：512-___>___12．（填“>”、“<”或“=”）． 8、计算：01186(121)221+---- 原式=01232212=--++9、化简：（1）412-原式=()13132-=- （2）415+221064158215(53)222++=+=+=。
二次根式讲义(初次、基础版)
二次根式【知识要点】 必杀技：要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数．1． 二次根式的主要性质： ①⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a ； ②()a a =2(),0≥a ； ③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab ba b a ； ⑤()()b a b a b a b a ba b a --=-+-=+1； ⑥b a b a ba -+=-1． A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式②根号内不含有分母③分母不含有根号B 、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式C 、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a abD 、除法公式：)0,0______(>≥=b a ba ；反之：)0,0______(>≥=b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m【典型例题】例1．x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1+x ； （2）23-x ； （3）123+x ； （4）x231-．例2．若a a ---33有意义，则a 的值为______________．例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是________________．例4．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ．例5.数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++．例1、乘法运算（1）)169()25(-⨯- （2）1527⨯ （3）228n m （4）a a 122532⋅-例2：除法运算（1）354- （2）531513÷ （3）921.15004.0⨯⨯ （4）2294a b例3：加减混合运算（1）4832315311312--+（2）xx x x 1246932-+二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，一般步骤为： 化简→分类→合并例1、计算：（1）ab ab ab b a ÷+-)3(33，其中0,0>>b a（2）312)22(28++-（3）32)2145051183(÷-+（4）20)21()23(3632918-+-++--【变式练习】计算：6、27348612421-+-； (2))312218(21812-+--(3)a ab a b ab a 4322763232+-，其中0>ab(4)33)2321418(÷---【课堂练习】1．如果03332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++y x ，那么()=2005xy ． 2．已知y x ,的实数，214422-+-+-=x x x y ，则y x 43+的值为 ． 3．化简下列各式：（1）()()()44322>---a a a（2）()()233522-+---4．已知23-=a ，求121232---++a a a a a 的值．【贴近中考】1. (2011 江苏省南京市)计算)(12-=___________．2. (2011 江苏省扬州市)=_______________．3. (2011 内蒙古包头市)_________4. (2011 青海省)___________．5. (2011 山东省菏泽市) 实数a在数轴上的位置如图所示，则）A. 7B. -7C. 2a-15D. 无法确定6. (2011 山东省济宁市) 下列各式计算正确的是（）A=Ｂ．2=Ｃ．=Ｄ．=-7. (2011 山东省聊城市)=_____________.8. (2011 山东省临沂市)计算）A．Ｂ．5-C．5D．。
二次根式讲义
二次根式讲义 一、知识点梳理 1.二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2.定义重点①式子有意义：)0(≥a a 中必须，否则，式子没有意义②隐含条件：)0(≥a a ，则，即也为非负数4. 二次根式的乘除运算b a ab ⋅=（00≥≥b a ，）)0,0(≥≥=b a b ab a根式中分母不能含有根号，且要变为最简。
6.最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
三、典型例题讲解 例11、用代数式表示：（1）面积为S 的正方形的边长为______．(2）•面积为10•的直角三角形的两直角边的比为1：•2，•则这两条直角边分别为______．2、在二次根式1a -中，字母a 的取值范围是（ ）A ．1<aB ．1≤aC ．1≥aD ．1>a 3、下列式子中，是二次根式的有（ ）①22x +，②3x ，③32，④2()x -A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、（1）若0≥a ，则a _____0．（2）若021=++-x y ，则=x _____，=y ______． 5、求使式子有意义的实数x 的取值范围．（1）2x - （2）11x - 例21、计算：（1）=2)3(______；（2）=-2)52(_____． 2、下列式子正确的个数是（ ）①2)4(4±=；②3)3(2-=--；③1)2()3(22=-；④2)7(7=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在实数范围内分解因式792-a ．解：=-=-222)7()3(79a a （ ）·（ ）4、计算：（1）22＝______．（2）2(5)-＝_____； （3）2211010-=＝______．5、计算： （1）2(2)x -（2≤x ） （2）2(32)- （3）－2(3.14)π-例31、计算：（1）2×7＝______．（2）12×8＝______； （3）0.1×100＝_______．2、下列运算不正确的是（ ）A ．0.40.6⨯＝0.2×0.6＝1.2B ．4×36＝2×6＝12C ．0.4 3.60.4 3.6 1.44⨯=⨯=＝＝1.2D ．a ·3＝3a （0≥a ） 3、计算：（1）3×（－212） （2）2×6×13（3）2ab ·1b （4）－12xy ·（－4y ）4、计算：（1）812＝______；（2）126＝_____．5、计算：（1）318÷2＝_____；（2）293x y xy ÷＝______． 例41、化简：（1）8＝______；（2）1327＝____．2、化简：（1）3a ＝_____；（2）2316x y ＝_____．3、化简：（1）56＝______； （2）－125015⨯＝______； （3）2332ab c＝______；4、下列计算正确的是（ ）A ．－1210×2＝－1220B ．y x xy x xy x 31313313=⋅=⋅C ．112882887272⨯=⨯＝4＝2 D ．534＝5435、把38化为最简二次根式为_______．6、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．aB ．31C ．1x D ．21a +四、举一反三 1．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间2．（2012杭州）已知)212()33(-⨯-=m ，则有（ ）A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－5 3.（2012泰安）下列运算正确的是（ ）A ．2(5)5-=- B ．21()164--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =4．（2012德阳）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ）A ． 0≥xB ．21≠x C ．0≥x 且21≠x D ．一切实数5.（2011山东菏泽）实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+- 化简后为（ ）A ． 7B ． －7C ．152-aD ． 无法确定6.（2011山东济宁）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．7D ．－77．（2011山东烟台）如果aa 21)12(2-=-，则（ ）A ．21<a B. 21≤a C. 21>a D. 21≥a8．（2011山东日照）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(＝0，那么20112011y x -＝ ．9. （2011山东枣庄）对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a※b ＝b a b a -+，如3※2＝32532+=-．那么8※12＝ ．10.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简22()()a b c b a c +-+--－a b c --．a 105第2题图第4题图 五、过关测试二次根式的定义 1、二次根式11x --有意义，则实数x 的取值范围为_____． 2、矩形面积为12cm 2，矩形的长与宽之比为3：2，则矩形长为_____cm ，宽为____cm ． 3、无论实数x 取何值下列式子总有意义为（ ）A ．2(1)x -- B ．21x -+ C ．21x + D ．1x -4、如图所示，方格图中小正方形的边长为1，将方格图中阴影部分剪下来，再把剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D ．65、如图所示，在平面直角坐标系中，A （－2，3），B （－4，0），C （－2，0）是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．6、已知1433b a --与114+-b a 互为相反数，试求a ，b 的值．7、已知x ，y 为实数，且y ＝1122x x -+-＋12，求x ，y 的值．二次根式的性质1、计算：（1）=2)75(____________； （2）=-2)2(x ______．2、（1）当0≥x 时，=-2x ______________；（2）当0≤x 时，2x ＝______． 3、下列式子计算不正确的是（ ）A ．3)3(2=B ．a a =-2)(（0≥a ）C ．2(32)-＝3－2D ．15)53(2-=- 4、计算：（1）22)3553()54(- （2）22(6)(8)-+-（3）2)52(494-⋅+ （4）2230.6--5、已知实数x 在数轴上的位置如图所示，化简2222(1)(2)x x x --+-．6、（改错题）计算：（2x -）2＋2(3)x - 解：（2x -）2＋2(3)x -＝2－x ＋x －3 ① ＝－1 ②你认为上述解答过程是错在第_____步，为什么？并求出正确的结果．二次根式的乘法 1、计算：（1）－122×3＝_____； （2）18×（－32）＝_____． 2、计算：（1）110×110＝______； （2）131x·3xy ＝______． 3、化简：（1）3a -＝_____；（2）34m n （0<m ）＝______． 4、若)2)(1(21--=-⋅-x x x x ．则x 的取值范围是（ ）A ．1>xB ．2≥xC ．2>xD ．1≥x 5、定义运算“@”运算法则，x@y@z ＝xyz ，则2@3@6值为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．126、下列各等式成立的是（ ）A ．45×25＝85B ．53×42＝205C ．43×32＝75D ，53×42＝20 7、已知2＝a ，则200的值为（ ）A ．a 2B ．a 3C ．a 10D ．a 8 8、下列计算正确的是（ ）A ．(121)(9)1219-⨯-=-⨯-＝33B ．23x ＝x 3C ．(16)(25)1625-⨯-=⨯＝20D ．249x -＝32-x 9、阅读解答题:因为23＝223⨯＝12 ①－23＝2(2)3-⨯＝12 ②所以23＝－23 ③ 即2＝－2导致以上出现错误的结果错因在第几步（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 10、化简：（1）2000 （2）250a b （0<a ，0>b ）（3）18×3220×（－1315） （4）627×（－23）（5）2xy ×12x （6）115×23×（－1210）11、计算（1）5xy ×（－323x y ）×361y （2）32ab b ·（－323a b ）·3ab（0<a ，0>b ）（3）)))((abx ax x a b x ab --- （0>a ，0>b ，0>x ）12、将aa 1-括号外的因式a 移到括号内部．二次根式的除法及最简二次根式 1、计算：（1）49＝_____________；（2）2764＝______．2、计算：（1）0.680.17＝__________；（2）328＝______． 3、计算：（1）0.48＝______；（2）512＝_____． 4、若2211x xx x--=++，则x 取值范围为_______． 5、下列各式是最简二次根式为（ ） A ．15B ．24C ．28D ．7326、如图所示，小芳想在墙壁上钉一个三角形架，•其中两直角边的长度之比为3：2，斜边长为520，则较短直角边的长度为（ ） A ．40 B ．210 C ．410 D ．426 7、化去下列各式中根号内的分母正确的是（ ） A ．2225555== B ．22151535=⨯ C ．3333n n mn m m m ==（0>m ，0>n ） D ．11aa a a==＝a 8、下列各式计算正确的是（ ）A ．442939---==---＝23B ．238499=＝2132C ．3163727÷= D ．825＝58 9、把下列二次根式化为最简二次根式： （1）338＝_______； （2）712＝_______；（3）2.11.0⋅＝_______；（4）3273x ＝_______； 10、计算：（1）48÷（32·3）（2）43623x x ÷（3）3520÷（－136）（4）8243311、计算：（1）3223×（－1815）÷1225（2）－4318÷（28×1354）。
二次根式基础讲义
二次根式复习讲义（MS ）一、基础知识(一)二次根式的概念：（1）二次根式：式子a (a ≥0)叫做二次根式．（2）最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，如果被开方数相同。
，这几个二次根式就叫做同类二次根式．(4)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
(5)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有理化因式．（6）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
（二）.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
（三）二次根式的性质．20)(0);,(0)0,(0),(0)0,0)____(0,0);a a a a a a a a a a b a b ≥=≥>⎧⎪===⎨⎪-<⎩=≥≥=≥>是一个非负数；（*）（三）二次根式的运算：（1）二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
（20,0,0)a b a b =≥≥=≥>注意：做乘法时要灵活运用乘法分式；做除法时，有时要写为分数形式，然后分母有理化； 化简时要注意a 的正负性，尤其是隐含的正负性．二、分类考点 二次根式的定义例： ） A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个练习：下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？1．求a 为何值时，下列各式有意义. （1）a a 212-+ （2）32-+a a （4）215.0-a练习1、 53+-x 的取值范围是 _________________练习2有意义的x 的取值范围是 _________________ 练习3、x x --+315的取值范围是 _________________练习4、若31-+a 在实数范围内有意义， 则a 满足的条件是（ ）A.2=aB. 2≥a C ．4-≤a D. 2≥a 或4-≤a例1： 在根式1) ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例2.在二次根式45， 2x 3， 11， 54， x 4中，最简二次根式个数是（ ） A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个例1．把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号里面（1）53- （2）3.010 （3）1832 （4）616 （5）2142-例2、将根号外的数移到根号内（1）33 （2）717（3）x 2 （4）x x 2练习1．计算化简（1）226061- （2）84252.0b a （3）b b 42-（4）b a 325（0<b ） （5）2211b a -（b a <）练习3．求值（1）当211=x 时，求2244x x x +--的值；（2）当3-=a 时，求4152+-⋅-a a a 的值.练习4．求值22)2()1(+--b a ，其中3,14==b a .练习5、10)21()2006(312-+---+;练习5、已知AB，试比较A 与B 的大小。
第三讲 二次根式讲义
第三讲 二次根式一、课标下复习指南 (一)二次根式的有关概念 1．二次根式形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．2．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． (二)二次根式的主要性质1．)0(≥a a 是一个非负数； 2．);0()(2≥=a a a 3．⎩⎨⎧<-≥==);0(),0(||2a a a a a a4．);0,0(≥≥⋅=b a b a ab5．);0,0(>≥=b a ba ba6．若a ＞b ≥0，则.b a >(三)二次根式的运算 1．二次根式的加减二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． *3．分母有理化把分母中的根号化去，分式值不变，叫做分母有理化． 常用的二次根式的有理化因式：(1)a 与a 互为有理化因式；(2)b a +与b a -，一般的，b c a +与b c a -互为有理化因式；(3)b a +与b a -，一般的，b d a c +与b d a c -互为有理化因式． 二、例题分析例1 当x 为何值时，下列代数式有意义?.1)2(;322)1(232x x x x x -+----解 (1)欲使3222---x x x 有意义，只要使⎩⎨⎧=/--≥-.032,022x x x 即⎩⎨⎧≠-=/≥.31,2x x x 且 解得x ≥2且x ≠3． ∴当x ≥2且x ≠3时，3222---x x x 有意义．(2)欲使231x x -+-有意义，只要使－x 2≥0，解得x ＝0． ∴当x ＝0时，231x x -+-有意义．说明 代数式有意义的条件：分式有意义的条件是分式的分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；由实际意义得到的代数式还要符合实际意义．例2 化简：(1);14962123xx x x x -+ *(2)已知1＜x ＜2，化简122+-x x .442x x +-+ 解 (1)原式x x x x x x 4221-+=x x 23-=(2)∵1＜x ＜2，∴x －1＞0，2－x ＞0．224412x x x x +-++-∴22)2()1(x x -+-=＝|x －1|＋|2－x |＝(x －1)＋(2－x )＝1．说明 (1)二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式；(2)化简2a 时，要考虑字母a 的取值范围；(3)在二次根式运算中，根号外的因式可以平方后作为被开方数的因式移进根号内，从而使运算简化．例3 计算：(1);22)8321464(÷+- (2)+⋅-+-5()625()2332(202.)6219 解 (1)原式22)262264(÷+-= .232+=(2)原式＝5)(625[()1861212(-++-62561230)625()]6219-+-=-⋅+.61435-=说明 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用．例4 已知xy ＝3，求yxyx y x+的值． 分析 因为xy ＝3，所以x ，y 同正或同负，要分情况讨论．解 当x ＞0，y ＞0时， 原式.322==+=xy xy xy 当x ＜0，y ＜0时，原式.322-=-=--=xy xy xy 综上可知，原式.32±= 三、课标下新题展示例5 若n 20是整数，则满足条件的最小正数n 为( )． A ．2 B ．3C ．4D ．5解 D ．说明 对于二次根式的性质：||);0()(22a a a a a =≥=，会有多种形式进行考查，要熟练掌握．例6 对正实数a ，b ，定义,*b a ab b a +-=若4*x ＝44，则x 的值是______． 解 依题意，得.4444=+-x x 整理，得.484=+x x 变形，得.4912)(2=++x x.49)1(2=+∴x71=+∴x 或,71-=+x 6=x 或8-=x (舍)．∴x ＝36．经检验，x ＝36是原方程的解． ∴x 的值是36．说明 此题考查了阅读理解能力、完全平方公式、二次根式的性质、配方法解方程，是一道代数综合题，要求每个基本知识点都熟练掌握． 四、课标考试达标题(一)选择题1．在根式⑤④③②①;2;15;;5223a b a a -2;12aa ⑥中，最简二次根式是( )． A ．②③⑤ B ．②③⑥C ．②③④⑥D ．①③⑤⑥2．如果最简根式a b b -3和22+-a b 是同类二次根式，那么a 、b 的值分别是( )．A ．a ＝0，b ＝2B ．a ＝2，b ＝0C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝－23．下列各式中，运算正确的是( )． A ．553322=+ B ．236=÷ C ．632=D ．12233=-(二)填空题4．当x 满足______条件时，32++-x x在实数范围内有意义． 5．若式子|2|)1(2-+-x x 化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是______． 6．已知x 为整数，且满足32≤≤-x ，则x ＝______．7．观察下列各式：=+=+412,312311514513,413=+…请你将发现的规律用含自然数n 的等式表示出来______．(n ≥1)(三)解答题 8．计算：.)2(xy yxxyxy ⋅+-9．化简：.)23(36329180-++--10．先化简，再求值：423)225(--÷---a a a a ，其中.33-=a*11．观察下列分母有理化的运算：-=+2121=+-=+321,23231,1,32-251+.,25 -= 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：+++++++ 321231121().12010()200920101+⋅+参考答案第三讲 二次根式1．B ． 2．A ． 3．B ． 4．－3≤x ＜0． 5．x ≥2． 6．－1，0，1． 7．21)1(21++=++n n n n ． 8．xy －2y ＋x ． 9．⋅2210．－2(a ＋3)，.32- 11．2009．。
二次根式的讲义
专题一 二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
例1 以下各式1〕22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2 使x ＋1x-2有意义的x 的取值范围是〔 〕 A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 假设y=5-x +x -5+2021，那么x+y=练习1使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是〔 〕 A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4练习2假设11x x ---2()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕A ．－1B ．1C ．2D ．3例4 假设230a b -+-=，那么 2a b -= 。
例5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X 2+ 4= ________ 例6 假设a 、b 为正实数，以下等式中一定成立的是〔 〕： A 、a 2 +b 2 =a 2+b 2 ； B 、〔a 2+b 2〕2 =a 2+b 2； C 、〔 a + b 〕2= a 2+b 2； D 、〔a —b 〕2 =a —b ；【知识点2】二次根式的性质：〔1〕二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说〔〕是一个非负数，即0〔〕。
注：因为二次根式〔〕表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数〔〕的算术平方根是非负数，即0〔〕，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0。
二次根式讲义
龙文教育学科教师辅导讲义教师： 于利 学生： 王楠鑫 时间：课 题二次根式教学目标（1） 理解二次根式的概念．（2）理解a （a ≥0）是一个非负数，（a ）2=a （a ≥0），2a =a （a ≥0）． （3）掌握二次根式的性质与运算法则（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．重点、难点重点1．二次根式a （a ≥0）的内涵．a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2＝a （a ≥0）；2a =a （a ≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算．难点:1．对a （a ≥0）是一个非负数的理解；对等式（a ）2＝a （a ≥0）及2a =a （a ≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式考点及考试要求二次根式是中学数学的基础知识是中考常考题目教学内容第十二章 二次根式1、二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围：（1）1+a ， （2）112a-； （3）2(3)a -例2 当x=4时，求二次根式12x -的值例3 .计算（1）（7）2； （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡43 （3）2)23( （4）2)(b a （b ≥0） 例4． 当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例5 (1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
二次根式讲义
二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】 12）解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：12()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值【例4】已知a b 是 的小数部分，求12a b ++的值。
举一反三：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
知识点二：二次根式的性质 【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． （．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
二次根式的性质2 （公式)0()(2≥=a a a 的运用）【例6】 化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：1、在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=二次根式的性质3 （公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用） 【例7】已知2x <,）A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x - 举一反三：【例 A. -a B. --a C. -aD. a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式： 最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】 下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A B C ． 21 D【例11】 举一反三：1、下列根式不是最简二次根式的是( ) 是 。
二次根式复习专题讲义[1]
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二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②. a（a≥0）是一个非负数。
③. （a）2＝a（a≥0）；2a=a（a≥0）2.二次根式的乘：①.一般的，有a²b＝a b．（a≥0，b≥0）②.反过来，有ab＝a³b( a ≥0 ，b ≥0 )3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：a b =ab（a≥0，b>0），②. 反过来，ab =ab（a≥0，b>0）4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。
解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+。
例2.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义。
变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义．变式题2：①.当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？解：依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义。
二次根式讲义
【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】 1．概念与性质例1下列各式1）， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3在根式1)，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x x yy x x x y例5已知数a ，b ，若=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤bab a b b ba a=22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+222;2);3);4)275xa b x xy abc +-2()a b -（ ＞0）（ ＜0）0 （ =0）；2．二次根式的化简与计算例6将根号外的a移到根号内，得() A. ； B. －； C. －； D.例7把（a－b ）－1a－b化成最简二次根式例8计算：例9先化简，再求值：，其中a=，b=．例10如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：222()a b a b---3.比较数值（1）、根式变形法当0,0a b>>时，①如果a b>，则a b>；②如果a b<，则a b<。
二次根式及其运算知识讲义(解析版)
专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（1+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x-8＜0，原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a-2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a-5，∴5a-5≥0，即a≥1，，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知 m 是正整数， ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ． （31=【答案】（1）12；（2）2；（3）9. 【解析】解：（1）原式12019+2222=+++2019++== （2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2（a 2+b 2）+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。
二次根式讲义
二次根式考点1二次根式的概念a≥0）的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数a的算数平方根。
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
（x≥0，y•≥0）当x考点2二次根式的性质⑴a≥0）是一个非负数，≥ 0a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数的算术平方根是非负数。
⑵（）一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
⑶一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：A、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于 a本身，若a是负数，则等于a的相反数-aB、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；C、化简时，先将它化成│a│，再根据绝对值的意义来进行化简。
⑷与的区别前者表示一个正数a的算术平方根的平方，而后者表示一个实数a的平方的算术平方根；a的取值范围不同，因而它的运算结果是有差别的。
练1 ；；；练2 计算1．）22．（23．24．（）22练3计算1．22．）23．√（1-a）2( a＞0 )考点3 二次根式的乘除 二次根式的乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 把被开方数相乘，再作开方运算。
练1．计算（1 （2 （3 （4练2 化简（1 （2 （3 （4 二次根式的除法：ba b a=).0,0(>≥b a 把被开方数相除，再作开方运算。
练1．计算：（1（2 （3 （4练2．化简：（1 （2 （3 （4练3．计算（1， （2， （3 考点4 最简二次根式⑴被开方数不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
练1 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）（B ）xy （C （D 练2 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. 21a + B. 1a 2+ C. ab 4 D. b a 2练3 下列根式中,不是最简二次根式的是：(A) (C) (D)考点5二次根式的加减⑴、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
二次根式(基础版)
2x 3
2．当 x 是多少时，
+x2 在实数范围内有意义？
x
3．若 3 x + x 3 有意义，则 x2 =_______．
4.使式子 (x 5)2 有意义的未知数 x 有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知 a、b 为实数，且 a 5 +2 10 2a =b+4，求 a、b 的值．
第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B
二、1． a （a≥0） 2． a 3．没有
三、1．设底面边长为 x，则 0.2x2=1，解答：x= 5 ．
2x 3 0 x 3
2．依题意得：
x
0
， 2 x 0
3
2x 3
∴当 x>- 且 x≠0 时，
＋x2 在实数范围内没有意义．
2
x
1
3.
六、布置作业 1．教材 P8 复习巩固 2．（1）、（2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题
1．下列各式中 15 、 3a 、 b2 1 、 a2 b2 、 m2 20 、 144 ，二次根式的个数
是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1
∴4x2-12x+9≥0，∴（ 4x2 12x 9 ）2=4x2-12x+9
例 3 在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4
(3) 2x2-3
分析：(略)
五、归纳小结
8
本节课应掌握：
1． a （a≥0）是一个非负数；
2．（ a ）2=a（a≥0）;反之:a=（ a ）2（a≥0）．
2．当 a≥0 时， a 叫什么？当 a<0 时， a 有意义吗？
二次根式知识讲解(基础)
二次根式(基础）【学习目标】1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0,（a ≥0）,（a ≥0)，（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“"称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2;②被开方数为非负数.2.代数式:形如5，a ，a+b ，ab,，x 3，这些式子，用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式。
要点二、二次根式的性质1。
a ≥0，（a ≥0）;2. （a ≥0)；3。
要点诠释：1.二次根式（a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）。
2。
2a 与2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。
2).a ≥0时，2()a =2a =a ;a 〈0时，2()a 无意义，2a =a -。
【典型例题】类型一、二次根式的概念1(2015春•潍坊期中）下列各式中,一定是二次根式的有（ )个．A 。
2 B.3 C 。
4 D.5【答案】 B【解析】2231x +-，B ．【总结升华】二次根式应满足两个条件:0．举一反三:【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）。
(1)13；(2）3-； (3）21x -+;（4）38； （5）21()3-；（6）1x -(1x >） A ．2 B 。
3 C 。
4 D 。
5【答案】B.2。
x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）1y x =-; （2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】 （1）1x -≥0,所以x ≥1。
(2)2x +≥0，32x -≥0，所以2-≤x ≤32； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）。
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二次根式
【知识要点】 必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数．
1． 二次根式的主要性质： ①⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b
a b a ； ⑤()()b a b a b a b a b
a b a --=-+-=+1
; ⑥b a b a b
a -+=-1. A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式
最简二次根式的条件：
①根号内不含有开的尽方的因数或因式
②根号内不含有分母
③分母不含有根号
B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式
C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之:)0,0_______(≥≥=b a ab
D 、除法公式：)0,0______(>≥=b a b
a ;反之：)0,0______(>≥=
b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m
【典型例题】
例1.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1）1+x ； （2)23-x ； (３）
123+x ; (4)x
231-.
例２．若a a ---33有意义,则a 的值为＿______＿__＿_＿＿．
例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是＿＿_＿＿_＿___＿＿_＿_＿.
例４.已知2<ｘ<3，化简:3)2(2
-+-x x ．
例5.数ａ、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++.
例1、乘法运算
(1）)169()25(-⨯- (2）1527⨯ （3）2
28n m (4）a a 122532⋅-
例2:除法运算
（1）354- (2）531513÷ (3）921.150
04.0⨯⨯
（
4)2294a b
例３：加减混合运算
（1）4832
31531
1312--+
（2）
x x x x 1246932-+
二次根式加减时,可以先将二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，一般步骤为： 化简→分类→合并
例1、计算：
（1）ab ab ab b a ÷+-)3(33，其中0,0>>b a
（2）312)22(28++-
（3）32)2145051183(÷-+
(4）20)21()23(3
632918-+-++--
【变式练习】
计算:
6、
27348612421-+-; (2))312218(21812-+--
(3)a ab a b ab a 4322763232+-
,其中0>ab
(4)3
3)23214
18(÷---
【课堂练习】
1.如果03332=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++y x ,那么()=2005xy ． 2.已知y x ,的实数,2
14422-+-+-=x x x y ,则y x 43+的值为 . 3．化简下列各式:
（１)()()()44322>---a a a (2）()()233522-+---
4.已知23-=a ，求12
1
232---++a a a a a 的值.
【贴近中考】
1. (20１1 江苏省南京市)
计算
)(12=__＿__＿____＿．
2. (20１1江苏省扬州市)
=_______________.
3. (2011内蒙古包头市）化简二次根式
_______＿
４. (2011 青海省) 计算
_＿__＿＿_＿__.
５. （2０11山东省菏泽市）实数a
在数轴上的位置如图所示，则
( )
A. 7
B. －７
C. 2ａ-1５
D.无法确定
6. (2０11山东省济宁市)下列各式计算正确的是（）
Ａ
=
Ｂ．2=
C
．=
=
7. （2011 山东省聊城市)
=_＿_＿_________．
8．(20１1山东省临沂市）
计算的结果是( )
Ａ．
Ｂ．5-
C.5。