多维空间的立体角

多维空间的立体角
立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。

本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。

1. 平面角
我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：
dφ=CD ̂r
其中，CD
̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：
CD
̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：
φ=∫
dl
r
B
A
sin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：
ψ=π
2
−θ
φ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙r
r B A
2. 立体角
对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。

设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：
dS⊥=dS∙r r
立体角微元dΩ为：
dΩ=dS∙r r3
曲面对空间的立体角为：
Ω=∫dS∙r r3
S
不难得到，全空间的立体角Ω=4π
下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：
顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)
半球：2π
球面三角形：A+B+C−π
四面体：
对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=1
2
(α+β+γ)，则：
tan Ω
4
=√tan
θ
2
tan
θ−α
2
tan
θ−β
2
tan
θ−γ
2
正方体的一个顶角的立体角为π
2，正四面体的一个顶角为arctan 10√2
23
（或者arccos 23
27）
3. n 维空间的立体角
设n 维立体角Ω的顶点位于n 维球的球心，设n 维球的表面积为S ，半径为R ，则：
Ω(n )=
S(n)
R n−1
则问题的关键在于求出n 维球体的表面积： 由Gauss 公式：
∫∇∙r dV V
=∮r ∙dS ðV
由于r 代表n 维球径向矢量，设：
r =x 1i 1+x 2i 2+x 3i 3+⋯+x n i n
则：
∇∙r =n
r ∙dS =x 12+x 22+⋯x n
2R
=R
故：
nV (n )=RS(n) S (n )=
n
R
V(n) 通过换元易得：
V (n )=R n β(n)
其中，β(n)为单位球体的体积：
β(n )=∫dx 1dx 2⋯dx n V n 0
V n 0:x 12+x 22+⋯+x n 2
≤1
β(n )=∫dx n 1
−1
∫
dx 1dx 2⋯dx n−1V n−1
V n−1: x 12+x 22+⋯+x n−12≤1−x n 2
故：
V n−1=βn−1∙(1−
x n 2)n−1
2
βn =βn−1∫(1
−x 2)n−12dx
1
−1
=2βn−1∫(1−
x 2)n−1
2dx 1
换元，令x =cos t
βn =2βn−1∫sin n t dt π
2
=√πβn−1Γ(n +12)
Γ(n 2+1)
由于β1=2，可得：
βn =πn
2
Γ(n 2+1)
最终可得：
V (n )=R n
πn 2Γ(n
2
+1) S (n )=
nR n−1π
n 2Γ(n
2+1) Ω(n )=
n nπn 2
Γ(n
2+1)
列表如下：
图像如下：
附源代码：
n=1:10;
V=n.*pi.^(n/2)./gamma(1+n/2); plot(n,V,'black+');
xlabel('n')
ylabel('\Omega(n)')
title('空间维数与立体角')。