多维空间的立体角

多维空间的立体角

立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。

1. 平面角

我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：

dφ=CD ̂r

其中，CD

̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：

CD

̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：

φ=∫

dl

r

B

A

sin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：

ψ=π

2

−θ

φ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙r

r B A

2. 立体角

对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。

设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：

dS⊥=dS∙r r

立体角微元dΩ为：

dΩ=dS∙r r3

曲面对空间的立体角为：

Ω=∫dS∙r r3

S

不难得到，全空间的立体角Ω=4π

下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：

顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)

半球：2π

球面三角形：A+B+C−π

四面体：

对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=1

2

(α+β+γ)，则：

tan Ω

4

=√tan

θ

2

tan

θ−α

2

tan

θ−β

2

tan

θ−γ

2

正方体的一个顶角的立体角为π

2，正四面体的一个顶角为arctan 10√2

23

（或者arccos 23

27）

3. n 维空间的立体角

设n 维立体角Ω的顶点位于n 维球的球心，设n 维球的表面积为S ，半径为R ，则：

Ω(n )=

S(n)

R n−1

则问题的关键在于求出n 维球体的表面积： 由Gauss 公式：

∫∇∙r dV V

=∮r ∙dS ðV

由于r 代表n 维球径向矢量，设：

r =x 1i 1+x 2i 2+x 3i 3+⋯+x n i n

则：

∇∙r =n

r ∙dS =x 12+x 22+⋯x n

2R

=R

故：

nV (n )=RS(n) S (n )=

n

R

V(n) 通过换元易得：

V (n )=R n β(n)

其中，β(n)为单位球体的体积：

β(n )=∫dx 1dx 2⋯dx n V n 0

V n 0:x 12+x 22+⋯+x n 2

≤1

β(n )=∫dx n 1

−1

∫

dx 1dx 2⋯dx n−1V n−1

V n−1: x 12+x 22+⋯+x n−12≤1−x n 2

故：

V n−1=βn−1∙(1−

x n 2)n−1

2

βn =βn−1∫(1

−x 2)n−12dx

1

−1

=2βn−1∫(1−

x 2)n−1

2dx 1

换元，令x =cos t

βn =2βn−1∫sin n t dt π

2

=√πβn−1Γ(n +12)

Γ(n 2+1)

由于β1=2，可得：

βn =πn

2

Γ(n 2+1)

最终可得：

V (n )=R n

πn 2Γ(n

2

+1) S (n )=

nR n−1π

n 2Γ(n

2+1) Ω(n )=

n nπn 2

Γ(n

2+1)

列表如下：

图像如下：

附源代码：

n=1:10;

V=n.*pi.^(n/2)./gamma(1+n/2); plot(n,V,'black+');

xlabel('n')

ylabel('\Omega(n)')

title('空间维数与立体角')