立体角计算公式

立体角计算公式

初醒悟

摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0引言

光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为：

I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。

式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr 。

但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。

1立体角的定义

将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω=

2

r A

图1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ）

2立体角的计算

设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应

的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π

不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。

图3 计算示意图

曲面面积计算公式为： A=

⎰⎰

∂∂+∂∂+D

y

z x z 2

2)()(

1dxdy （1） 上半球球面方程为：

Z=2

21y x -- （2）

由

x z ∂∂=221y

x x --- （3）

221y

x y y z ---=

∂∂ （4）

得 222211)()(

1y

x y z x z --=∂∂+∂∂+ （5）

代入（1）式得： A=

⎰⎰

--D

y

x dxdy 2

2

1 (6)

利用极坐标，得： A=

⎰⎰

-D

r

rdrd 2

1θ (7)

易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：

α

2

2sin x +y 2

=1 (8) x 2

+β

22sin y =1 (9)

交点坐标（

βαβα2

2

sin sin 1cos sin -,

β

αα

β2

2sin sin 1cos sin -)

φ1=arctg αβ

tg tg (10)

φ2=arctg β

α

tg tg (11)

将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α

22

2sin cos sin 11Φ+

Φ=

r (12)

β

22

2sin sin cos 12Φ+

Φ=

r (13)

图4 xy 面投影

根据对称性，有：

A=4(A1+A2) (14) A1=

⎰

⎰

-ΦΦ1

2

1

1r r

rdr d

A2=

⎰

⎰

Φ-Φ2

2

2

1r r

rdr d

于是， A1=10

1

021(r r d ⎰Φ--Φ

=

⎰

ΦΦ+

Φ-

-1

222

sin cos sin 111(α

）d Φ

=Φ1-⎰

ΦΦ+Φ-1

2

22

2cos sin sin sin 1αα

d Φ =Φ1-

⎰

ΦΦ

+Φ-Φ

Φ1

2

2

2

sin sin sin 1cos cos ααd

设t=sin Φ，则cos Φd Φ=dt A1=Φ1-⎰

Φ-1

sin 0

2

2

cos 1cos t dt αα

=Φ1-

⎰

Φ-1

sin 0

2

2cos /1t

dt

α =Φ1-arcsin(cos α·t)

1sin 0

Φ

=Φ1-arcsin(cos αsin Φ1) (15)

同理，

A2=Φ2-arcsin(cos βsin Φ2) (16)

带入（14）式,得出最终结果：

A=4(arctg

αβtg tg -arcsin(cos αsin(arctg αβ

tg tg )) +arctg βαtg tg -arcsin(cos βsin(arctg β

α

tg tg ))) (17)

特别地，当α=β时，Φ1=Φ2=π/4， A1=A2=π/4-arcsin(cos α/2)

3数值结果

参考文献

⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11

⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12

⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海