二次根式标准讲义

x2 + 4 ；④
4 ；⑤
−
1 3
2
；⑥
1 − a ；⑦
a2 − 2a +1 ；
其中是二次根式的是_________（填序号）． （2）下列各式中，一定是二次根式的是 ( )
A. a
B. −10
C. a + 1
D. a2 + 1
（3）无论 a 取何值，下列各式中一定有意义的是 ( )
A． a + 1
非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似，这个性质在解答题目时应用较多，如 若 a + b = 0 ，则 a = 0,b = 0 ；若 a + b = 0 ，则 a = 0,b = 0 ；若 a + b2 = 0 ，则 a = 0,b = 0
( ) 4.二次根式 a 2 = a (a 0) 的性质
第 3 章 二次根式
知识点
1.定义：形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式。
【注】在二次根式中，被开放的数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但 必须注意：因为负数没有平方根，所以 a 0 是 a 为二次根式的前提条件，如 5 ， 2x2 + 1 ，
x −1( x 1) 等式二次根式，而 −2 ， −x2 − 7 等都不是二次根式。
【注】：文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 5.二次根式的性质
( )a
2
=
a
=
a(a 0) −a (a 0)
( ) 6. a 2 与 a2 的异同点
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( ) ( ) （1）不同点： a 2 与 a2 表示意义是不同的， a 2 表示一个正数 a 的算术平方根的平
( ) 方，而 a2 表示一个实数 a 的算术平方根；在 a 2 中 a 0 ，而 a2 中 a 可以是正实数，0，
3.二次根式 a (a 0) 的非负性。
（1） a (a 0) 表示 a 的算术平方根，也就是说， a (a 0) 是一个非负数，即 a 0(a 0) 。
【注】因为二次根式 a (a 0) 表示 a 的算式平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算
术平方根是 0，所以非负数 (a 0) 的算术平方根是非负数，即 a 0(a 0) ，这个性质也是
B． a2 − 1
C． a−2
D． a2 + 1
（4）若代数式 x + 3 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 (
)
x −1
A． x 1
B． x −3 且 x 1 C． x − 3
D． x − 3 且 x 1
（5）在式子 2 ， 1 ， x −1 ， x − 2 中， x 可以同时取 1 和 2 的是 (
)
x −1 x − 2
A． 2 x −1
B． 1 x−2
C． x −1
D． x − 2
（6）若式子有意义，求出 x 的取值范围
2x − 3
1
x−3
x2 +1
−x2 + 2x −1
2x +1 + 4 − 3x
x−3 x−4
2.按要求完成下列填空
（1）若 m − 3 + (n + 1)2 = 0 ，则 m + n 的值为_________； （2）若 a − b + 1 与 a + 2b + 4 互为相反数，则 (a − )b 2019 = __________；
2.取值范围 （1）二次根式有意义的条件：有二次根式的意义可知，当 a 0 时， a 有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可；
（2）二次根式无意义的条件：应为负数没有算式平方根，所以当 a 0 时， a 没有意义。 （3）最简二次根式：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含母；分母 中不含根式。
A． −2a + b
B． 2a − b
C． −b
D． b
（4）实数 a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简 (a −1)2 − (a − b)2 + b 的结果是 ( )
A．1
B． b + 1
C． 2a
（5）已知 a 为实数，则代数式 27 −12a + 2a2 的最小值为 (
D．1 − 2a )
( ) ( ) 负数，但 a 2 与 a2 都是非负数，即 a 2 0 ， a2 0 因而它的运算结果是有差别的，
( )a 2 = a (a 0) 而
a2
=
a
=
a(a 0)
−a
(a
0)
( ) ( ) （2）相同点：当被开方数都是非负数，即 a 0 时，
2
a=
a2 ；a 0 时，
a 2 无意义，
而 a2 = −a
7.二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算 术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形 式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍 作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
x2 − 3
m4 − 4m2 + 4
x4 − 9
x2 − 2 2x + 2
4.化简下列各式
（1）若 (x − 3)2 = 3 − x ，则 x 的取值范围是_________；
（2）把 x − 1 根号外的因数移到根号内，结果是 (
)
x
A． x
B． −x
C． − −x
D． − x
（3）实数 a ， b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 | a | + (a − b)2 的结果是 ( )
3
（3）若 x、y 都是实数，且 y = 2x − 3 + 3 − 2x + 4 ，则 xy 的值为_________。
（4）若 | 2017 − m | + m − 2018 = m ，则 m − 20172 =
．
（5）观察分析下列数据，寻找规律：0， 3 ， 6 ，3，2 3 那么第 10 个数据应是 ． 3.在实数范围内分解因式
ab = a b (a 0,b 0) ； b = b (a 0,b 0)
aa
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项 式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
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典型例题
模块一 二次根式的认识和性质
1.按要求完成下列各题
（1）下列各式：①
1 ；② 5
−5 ；③ −