初中数学竞赛专项训练(3)及答案

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历年初中数学竞赛试题精选(含解答)

初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A. m(1+a%)(1-b%)元B. m?a%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元解：选C。

设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。

由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于是x＝a+b+c+d=9。

解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为各艇追上④号艇的时间为对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。

解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，则由①②得，代入③得：∴，故n的最小整数值为23。

答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得由①得：，即由②得：，即∴原不等式组的解集为∴整数的值为。

答：一层有客房10间。

解：设劳动竞赛前每人一天做个零件由题意解得∵是整数∴＝16（16＋37）÷16≈3.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。

初中数学竞赛专项训练（2）（方程应用）一、选择题：答：D。

解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程：，化简得，解得不合题意舍去）。

应选D。

答：C。

解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。

答：C。

解：若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为，则解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。

答：B。

解：设甲乙合作用天完成。

由题意：，解得。

故选B。

答：A。

解：A与B比赛时，A胜2场，B胜0场，A与B的比为2∶0。

初中数学竞赛试题及答案解析

初中数学竞赛试题二、填空题 1、 41-的负倒数与4-的倒数之和等于 . 2、甲、乙、丙、丁四个数之和等于90-.甲数减4-,乙数加4-,丙数乘4-,丁数除以4-彼此相等.则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大 . 3、已知a 1999=,则=-+---+-200133314232323a a a a a a .4、填数计算:〇中填入的最小的自然数.△中填入最小的非负数.□中填入不小于5-且小于3的整数的个数.将下式的计算结果写在等号右边的横线上.(〇+□)⨯△= .5、从集合}5,4,1,2,3{---中取出三个不同的数,可能得到的最大乘积填在□中,可能得到的最小乘积填在〇中,并将下式计算的结果写在等号右边的横线上.-(-□)÷〇= .6、计算:=------------)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1 . 7、 x 是有理数,则22195221100++-x x 的最小值是 . 8、如图,C 是线段AB 的中点,D 是线段AC 的中点.已知图中所有线段的长度之和为23,则线段AC 的长度为 . 9、在1000到5000之间同时被24,36,30整除的最小整数是_________,最大整数是__________.10、一个有理数的倒数的相反数的3倍是31,那么这个有理数是 . 11、一个有理数的二次幂大于这个有理数,那么这样的有理数的取值范围是 . 12、若8919+=+=+c b a ,则=-+-+-222)()()(a c c b b a .13、 a 1的倒数是51-,那么=a _____. 14、小丽写出三个有理数,其中每两个有理数的平均值分别是326,217,7,那么这三个有理数的平均值是 . 15、计算:=--+-)36173)(72.0()722(125.11.16、 m ，y 互为相反数,n 和y 互为倒数,则5)(y my n -的值是_____.17、已知1171=x ,则3)114(3)711)(1(2++--x x x 的值是 . 18、已知52,32<-<-b a a b .则化简98272-+++-----b a a b a b 所得的结果是 .19、 m ,n 是正整数,mn =120,则m +n 可能取到的最小值是_____.20、若a=1997,则7122----+a a a a 的值是 . 21、若x = -0.239,则199********-------++-+-x x x x x x 的值等于_____.参考答案二、填空题 1、 417- 解：41-的负倒数为411--,4-的倒数为41-, 二者之和为:411--+41-417414-=--=.2、 204解：设等数为a ,则 90)4()4()]4([)]4([-=-⨯+-+--+-+a a a a 即90412-=-a ,∴ a =40, 因此,甲数为36,乙数为44,丙数为-10,丁数为-160,其中,最大数-最小数=44-(-160)=204.3、 4000000 解：当a 1999=时,142314232323-+-=-+-a a a a a a =-+-200133323a a a 200133323-+-a a a ,所以,原式=142323-+-a a a )2001333(23-+--a a a2000200019992000)1(20002+⨯=++=++=a a a a400000020002000=⨯=.4、 0解：〇中填1,△中0,□填8. []⎣⎦⎡⎤00)81(=⨯+. 5、 ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷-- 解：由-3,-2,-1,4,5中任取三个相乘可得10种不同的乘积,它们是:124)1)(3(,205)2)(3(,244)2)(3(,6)1)(2)(3(=⋅--=⋅--=⋅--=---,105)1)(2(,84)1)(2(,6054)3(,155)1)(3(=⋅--=⋅---=⋅⋅-=⋅--,2054)1(,4054)2(-=⋅⋅--=⋅⋅-,最大乘积是30,最小的乘积是-60.∴ ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷--. 6、 137解：)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1------------ )4151()3141()2131(1)]4151([)]3141([)]2131([1---------------= )4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1-------+-+-+= 41513141213114151314121311+-+-+--+-+-+= 13710131075121151211==-++-=.7、 1715 解：一般解法是分三种情况讨论:（1）当22195-<x 时 ,,（2）当22110022195≤≤-x 时 ,,（3）当221100>x 时 ,.综合（1）,（2）,（3）可得,最小值是1715.最简单的解法是:根据绝对值的几何意义,22195221100++-x x 表示数轴上x 对应的点P 到22195-对应的点A 和221100对应的点B 的距离之和,易知当P 在线段AB 上时,P A +PB 最小值为2211001715)22195(=--. 8、 1373 解：设线段AC 的长度为x ,则AD =2x ,则AB =2x ,DC =2x ,DB =x 23,CB =x ,所以 232321221=+++++x x x x x x ,即23213=x .∴13731346==x .即AB 长度为1373.9、 4680解：24,30,36三个数的最小公倍数是360,10803360=⨯,∴大于10000且能被24,30,36整除的最小整数是1080,又36010805000⋅+>n ,其中n 为自然数,解得9810<n .∴取10=n ,得4680360101080=⋅+.∴具有这种性质的最大整数是4680.10、 -9解：利用还原算法:某数a 的3倍是31,显然91=a ,而91应是一个有理数倒数的相反数,所以这个有理数的倒数为91-,故这个有理数是-9.11、大于1的有理数和负有理数解：画出数轴如图.大于1的有理数的二次幂大于它自身；1的二次幂等于1;大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身;0的二次幂是0；负有理数的二次幂是正数,大于它自身.综上可知,二次幂大于其自身的有理数的范围,是大于1的有理数和负有理数.12、 222解：由8919+=+=+c b a 得:11,1,10=--=--=-a c c b b a .∴+-+-22)()(c b b a =-2)(a c 222121110011)1()10(222=++=+-+-.13、 51- 解：a 1的倒数是51-,那么a 1=-5,51-=a .14、 1817 解：设小丽写出的三个有理数为x ,y ,z ,则3262,2172,72=+=+=+z y z x y x , 所以15,340,14=+=+=+x z z y y x ,三式相加,3127)(2=++z y x , 则1817181273==++z y x . 15、 -14 解：因为2179167212518511.125(2)(0.72)(3)73687100367214-+--=-+=-+=-. 所以原分式的值为-14. 16、 0 解：由m 和y 互为相反数,知m = -y ,由n 和y 互为倒数,知道0,0≠≠y n 且yn 1= ∴0=-=-y y y y y m y n ,故5)(ym y n -=0. ∴17、 38 解：由1171=x ，可知2114,1171=+=-x x ，所以原式=37772(1117)322113838111111-+=+=. 18、 -6解：由32<-a b ,得03272<--<--a b a b .由52<-b a ,得052>+-a b ,得 05282>+->+-a b a b .而853)2()2(=+<-+-=+b a a b a b . 089<-+<-+∴a b b a98272-+++-----b a a b a b9)()82()72(-+-+----=b a a b a b987+--=6-=.19、 22解：由222)(1204)(4)(n m n m mn n m -+⋅=-+=+当2)(n m -愈小时,2)(n m +越小,从而m +n 也愈小,m 、n 为120的约数,且n m -要最小,由53222120⋅⋅⋅⋅==mn所以,当m =12,n =10时,m +n =22为最小值. 20、 4000解：当a =1997时,0719971997,011997199722>-->-+7122----+a a a a)7()1(22----+=a a a a7122++--+=a a a a62+=a4000619972=+⋅=. 21、 999解：由b a x <≤,可得a b a x b x -=---, 则原式)19961997()23()1(---++---+--=x x x x x x)19961997()23()01(-++-+-=个99921998111=÷+++= 999=.。

初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)

初中数学竞赛专项训练（1）（实数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。

当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为（） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。

则（）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。

全国初三初中数学竞赛测试带答案解析

全国初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为( ).(A)35 (B)40 (C)81 (D)842.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有( )个.A．50B．90C．99D．1003.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且=8a-3.则a的值是( ).A．1B．2C．0或D．4.若不等式ax2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是( ).A．2≤x≤3B．2<x<3C．-1≤x≤1D．-1<x<15.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于( ).(A) (B) (C) (D)6.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有( )个可以是这枚棋子出发的小方格.A．6B．8C．9D．10二、填空题1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB= .2.设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1="(x-b)(x-c)" 恒成立.则a+b+c的值为 .3.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP= 1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为 .4.从1， 2，…， 2 006中，至少要取出个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2 008.三、解答题1.(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.2.(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.3.(25分)在中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x的最大整数)?全国初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为( ).(A)35 (B)40 (C)81 (D)84【答案】D【解析】分析：首先设BC=a，AC=b，由勾股定理与正方形的性质，可得：a2+b2=352，Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的对应边成比例，可得12（a+b）=ab，解方程组即可求得．解答：解：如图，设BC=a，AC=b，则a2+b2=352=1225．①又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以=，即=，故12（a+b）=ab．②由①②得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b），解得a+b=49（另一个解-25舍去），所以a+b+c=49+35=84．故答案为D．2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有( )个.A．50B．90C．99D．100【答案】C【解析】由于9=10-1，99=100-1，…，所以n="9+99+999+…+" =10+102+103+…1099-99×1．然后据此等式求出n的值后，即能得出n的十进制表示中，数码1有多少个．解：n=9+99+999+…+=10+102+103+…1099-99×1，=1111111…10（99个1）-99，=11111…1011（99个1）．所以在十进制表示中，数码1有99个．故答案为：99．根据式中数据的特点将式中的数据变为10的n次方相加的形式是完成本题的关键．3.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且=8a-3.则a的值是( ).A．1B．2C．0或D．【答案】D【解析】本题考查二次函数与一元二次方程关系的综合应用问题。

数学竞赛试题及答案初中

数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。

解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。

根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。

由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。

代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。

已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。

代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。

初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题三(附答案详解)

初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题三（附答案详解）1．先阅读，再回答问题：如果x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，那么x1＋x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1＋x2＝－，x1x2＝.例如：若x1，x2是方程2x2－x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝＝－．若x1，x2是方程2x2＋x－3＝0的两个根，（1）求x1＋x2，x1x2（2）求＋的值．（3）求（x1－x2）22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，则c=；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．3．已知关于的一元二次方程．若是此方程的一个根，求的值和它的另一个根；若方程有两个不相等的实数根，试判断另一个关于的一元二次方程的根的情况．4．已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，求的取值范围；如果是满足条件的最大的整数，且方程一根的相反数是一元二次方程的一个根，求的值及这个方程的另一根．5．根据下列命题完成以下问题。

（命题）若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则有，。

〖问题1〗若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则有____________，___________。

〖问题2〗若、是一元二次方程的两个实数根，则有____________，___________。

〖问题3〗甲、乙两同学解同一道一元二次方程时，甲看错了一次项系数，得两根为2和7，乙看错了常数项，得两根为1和－10。

初一数学竞赛试题及答案

45 分钟，所以甲一共可分为 4 个 30 分钟划行时间段，中间有 3 个 15 分钟休息．如果甲开始向下游划，那么他只能用 1 个 30 分钟的时间段向下游划，否则将无法返回，
这时他离开码头的距离为： (3 1.4) 0.5 1.4 0.25 2.55 （千米）．而返回用 3 个 30 分钟的时间段所走的距离为
这时， x
3b a ，
2
2
2x 3y 2(3b a) 3(a 2b) 6b 2a 3a 6b a
这说明整数 b 能使 x=-a+3b，y=a－ 2b 满足方程 2x+3y=a．
14．设此自然数为 x，依题意可得
x 45 m2 ① (m， n 为自然数 )
x 44 n2 ②
②－①可得 n2 m2 89 ， n2 x 44 m2 45 44 m2 ，
三、解答题 13． x ， y 是满足条件 2x 3y y 能表示为 x a 3b ， y a
a 的整数（ a 是整数），证明必存在一整数 2b 的形式．
b ，使 x ，
14．一个自然数减去 45 及加上 44 都仍是完全平方数，求此数．
15．某甲于上午 9 时 15 分钟由码头划船出游，计算最迟于 12 时返回原码头，已知河
2000 2001 2002
７．因为 a b b c c a =1 b cc aa b
所以 a b ，b c ，c a 中必有一个是正数，不妨设 b cc aa b
有两种情况：① a>b>c ②a<b<c
ab 0
bc
①当 a>b>c 时， b c ，c a 均为负数；②当 c aa b
所以 a b ，b c ，c a 中恰有两个是负数。 b cc aa b

历年初中数学竞赛试题精选(含解答)

初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。

故选C方法二：代入法2、若2001119811198011⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022198019801221==⨯>S ，又1980、1981……2000均小于2001，所以22219022*********221==⨯<S ，从而知S 的整数部分为90。

3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。

解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。

初中数学竞赛试题(含答案)

DC B A初中数学竞赛试题（含答案）一、选择题（共8小题,每小题5分,满分40分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、 C 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填在题后的括号里,不填、多填或错填均得零分） 1．函数y ＝1x-图象的大致形状是（）A B C D2．老王家到单位的路程是3500米,老王每天早上7：30离家步行去上班,在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。

如果设老王步行的速度为x 米／分,则老王步行的速度范围是（）A ．70≤x ≤87.5B ．70≤x 或x ≥87.5C ．x ≤70D ．x ≥87.53．如图,AB 是半圆的直径,弦AD,BC 相交于P,已知∠DPB ＝60°,D 是弧BC 的中点,则tan ∠ADC 等于（） A ．12B．2 CD4．抛物线()20y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P,那么该抛物线的顶点坐标是（）A ．（0,－2）B ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．如图,△ABC 中,AB ＝AC,∠A ＝36°,CD 是角平分线,则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（）ABCD 6．直线l ：()0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点恰好是（横坐标和纵坐标都是整数）,那么满足条件的直线l 有（） yxOyxOyxOyxOA ．6条B ．7条C ．8条D ．无数条7．把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入20x x ++= 的三个方框中,作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （）A ．不存在B ．有一组C ．有两组D ．多于两组 8．六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数主该点的纵坐标。

山东初三初中数学竞赛测试带答案解析

山东初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列说法中，正确的是( ).A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等2.下列函数：①；②；③；④，其中的值随值的增大而增大的函数有( ) .A．4个B．3个C．2个D．1个3.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是 ( ).A．(2, )B．(－2，-)C．(2, )或(－2，)D．(2, )或(－2，-)4.一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( ).A．一种B．两种C．三种D．四种5.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A 的坐标是（）.A．（3，5）B．（4，5）C．（5，3）D．（5，4）6.如图，AB是半圆的直径，AB＝2r，C、D为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（）.A、πr2B、πr2C、πr2D、πr27.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）.A．B．C．D．8.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）.A．B．C．D．9.若关于x 的一元二次方程有解，那么m的取值范围是（）.A．B．C．且D．且10.下列说法中，①方程x(x－2)＝x－2的解是x＝1；②小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了m；③若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5；④将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是，正确的命题有( ).A．0个B．1个C．2个D．3个11.准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是( ).A．B．C．D．12.由若干个同样大小的正方体堆积成一个实物，从不同侧面观察到如图所示的投影图，则构成该实物的小正方体个数为( ).A．6个B．7个C．8个D．9个13.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）.A．cm B．4cm C．cm D．cm14.将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ). A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－315.已知反比例函数y ＝ (a≠0)的图象，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小，则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过( ). A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16.将一副三角板如图叠放，交点为O.则△AOB 与△COD 面积之比是（）.A ．B ．C ．D ．17.如图，直线l 和双曲线y ＝(k>0)交于A ，B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A ，B 重合)，过点A ，B ，P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C ，D ，E ，连接OA ，OB ，OP ，设△AOC 面积是S 1，△BOD 面积是S 2，△POE 面积是S 3，则( ).A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1＝S 2>S 3D ．S 1＝S 2<S 318.△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( ). A.=B.=C.=D.=19.一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）.A ．B ．C ．D ．20.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2．其中，正确结论的个数是（）.A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题1.y=自变量x 的取值范围是 .2.如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，点D 、E 、F 是⊙O 上三个点，EF//AB ，若EF=2，则∠EDC的度数为__________.3.把正方形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到A 1B 1C 1D 1的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD 的面积的一半，若AC=，则平移的距离是 .4.为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出____个这样的停车位．(≈1.4)三、解答题1.(8分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件.（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？2.（10分）如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．3.（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．4.（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.5.（12分）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点E .（1）求点E的坐标；（2）求过 A、O、E三点的抛物线解析式；（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值.山东初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.下列说法中，正确的是( ).A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B.【解析】A.一条弦可以对优弧，也可以对劣弧，故此项错误；B. 等弧所对的弦相等，这个命题是正确的；要强调在同圆或等园，相等的圆心角所对的弦才相等，相等的弦所对的圆心角也相等，故C、D错误.故选：B.【考点】圆心角、弧、弦的关系.2.下列函数：①；②；③；④，其中的值随值的增大而增大的函数有( ) .A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C.【解析】①，y随x的增大而减小；②，y随x的增大而增大；③，在第二象限内，y随x的增大而增大；④，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；所以满足条件的有两个.故选：C.【考点】1、一次函数的增减性；2、反比例函数的增减性；3、二次函数的增减性.3.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是 ( ).A．(2, )B．(－2，-)C．(2, )或(－2，)D．(2, )或(－2，-)【答案】D.【解析】根据位似图形的性质可知，当矩形OA′B′C′在第一象限时，，，此时点B′的坐标为(2, )；当矩形OA′B′C′在第四象限时，点B′的坐标为(－2，-).故选：D.【考点】位似图形的性质.4.一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( ).A．一种B．两种C．三种D．四种【答案】B.【解析】取30cm为一边，另两边设为xcm、ycm；（1）30cm与20cm对应，即，解得x=75，y=90；75+90＞50，不可以．（2）30cm与50cm对应，即，解得x=12，y=36；12+36=48＜50，可以．（3）30cm与60cm对应，即，解得x=10，y=25；10+25＜50，可以．所以有两种不同的截法．故选：B.【考点】相似三角形的性质.5.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A 的坐标是（）.A．（3，5）B．（4，5）C．（5，3）D．（5，4）【答案】D.【解析】连接AD，AB，AC，再过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，∵点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，∴OB=2，OC=8，BC=6，∵⊙A与y轴相切于点D，∴AD⊥OD，∵由垂径定理可知：BE=EC=3，∴OE=AD=5，∴AB=AD=5，利用勾股定理知AE=4，∴A（5，4）．故选：D．【考点】1、垂径定理；2、勾股定理.6.如图，AB是半圆的直径，AB＝2r，C、D为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（）.A 、πr 2 B 、πr 2 C 、πr 2 D 、πr 2【答案】B.【解析】连接OC 、OD ．∵△COD 和△CDA 等底等高， ∴S △COD =S △ACD ．∵点C ，D 为半圆的三等分点，AB=2r ， ∴∠COD=180°÷3=60°，OA=r ， ∴阴影部分的面积=S 扇形COD =.故选：B ．【考点】扇形面积的求法.7.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】B.【解析】设这两年平均每年绿地面积的增长率是x ，根据题意列方程得：，解得x=0.2=20%，x=-2.2舍去.故选：B.【考点】一元二次方程的应用—增长率问题.8.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】C.【解析】根据题意，BE=AE ．设BE=x ，则CE=8-x ．在Rt △BCE 中，x 2=（8-x ）2+62，解得x=，故CE=8-=，∴tan ∠CBE=.故选：C.【考点】锐角三角函数.9.若关于x 的一元二次方程有解，那么m 的取值范围是（）. A ．B ．C ．且D ．且【答案】D.【解析】∵关于x 的一元二次方程有解，∴判别式，m-20，解得：且.故选：D.【考点】一元二次方程的判别式的应用.10.下列说法中，①方程x(x－2)＝x－2的解是x＝1；②小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了m；③若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5；④将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是，正确的命题有( ).A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B.【解析】①方程x（x-2）=x-2的解是x=1或x=2，故错误；②小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1000m，则他升高了200 m，故正确；③若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为5或，故错误；④将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是y=-（x+2）2，故错误；其中正确的命题有一个.故选：B.【考点】命题与定理.11.准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是( ).A．B．C．D．【答案】A.【解析】设分成的四张纸片中，1和2为一张；3和4为一张；如图：那么共有12种情况，正好能拼成的占4种，概率是 .故选：A．【考点】概率的求法.12.由若干个同样大小的正方体堆积成一个实物，从不同侧面观察到如图所示的投影图，则构成该实物的小正方体个数为( ).A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】B.【解析】综合主视图，俯视图，左视图底面有4个正方体，第二层有2个正方体，第三层有个1正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是7．故选：B．【考点】三视图.13.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）.A．cm B．4cm C．cm D．cm【答案】C.【解析】∵半径为1cm的圆形，∴底面圆的半径为：1，周长为2π，扇形弧长为：2π=，∴R=4，即母线为4cm，∴圆锥的高为：（cm）．故选：C．【考点】圆锥的计算.14.将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ). A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－1)2－3【答案】B.【解析】抛物线y＝x2－6x＋5=，向上平移2个单位长度，即纵坐标加2，再向右平移1个单位长度，即横坐标减1，得到的抛物线解析式是，即y＝(x－4)2－2.故选：B.【考点】求抛物线的解析式.15.已知反比例函数y＝(a≠0)的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过( ).A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C.【解析】根据反比例函数的性质可知，a＞0，再根据一次函数的性质，y=-ax+a与y轴交于正半轴，-a＜0，则直线y=-ax+a随x的增大而减小，所以图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选：C.【考点】1、反比例函数的性质；2、一次函数的图象和性质.16.将一副三角板如图叠放，交点为O.则△AOB与△COD面积之比是（）.A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，∴∠D=30°，∠A=45°，AB∥CD，∴∠A=∠OCD，∠D=∠OBA，∴△AOB∽△COD，设BC=a，∴CD= ，∴S △AOB ：S △COD =1：3.故选：B.【考点】1、解直角三角形；2、相似三角形的性质.17.如图，直线l 和双曲线y ＝ (k>0)交于A ，B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A ，B 重合)，过点A ，B ，P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C ，D ，E ，连接OA ，OB ，OP ，设△AOC 面积是S 1，△BOD 面积是S 2，△POE 面积是S 3，则( ).A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1＝S 2>S 3D ．S 1＝S 2<S 3【答案】D.【解析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S= .结合题意可得：A 、B 都在双曲线y=上，则有S 1=S 2；而线段AB 之间，直线在双曲线上方；故S 1=S 2＜S 3．故选：D.【考点】反比例函数综合题.18.△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( ).A.=B.=C.=D.=【答案】C.【解析】根据题意画出图形，如图：∵DE ∥BC ，∴，故A 、D 错误；∵EF ∥AB ，∴△ABC ≌△EFC ，∴，故B 错误；∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴， ∴ ，故C 正确；故选：C.【考点】1、相似三角形的判定和性质；2、平行线分线段成比例定理.19.一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】A.【解析】由已知得，AB=×28=14海里，∠A=30°，∠ABM=105°．过点B作BN⊥AM于点N．∵在直角△ABN中，∠BAN=30°，∴BN= AB=7海里．在直角△BNM中，∠MBN=45°，则直角△BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，∴BM= (海里).故选：A．【考点】方位角.20.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）.A．0B．1C．2D．3【答案】D.【解析】①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=-＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．【考点】图象与二次函数的系数的关系.二、填空题1.y=自变量x的取值范围是 .【答案】.【解析】要使函数有意义，则x-3≥0，x-4≠0，解得：x≥3且x≠4.故答案为：x≥3且x≠4.【考点】函数自变量的取值范围.2.如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，点D 、E 、F 是⊙O 上三个点，EF//AB ，若EF=2，则∠EDC 的度数为__________.【答案】30°.【解析】连接OE 、OC ，设OC 与EF 的交点为M ；∵AB 切⊙O 于C ， ∴OC ⊥AB ； ∵EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ，则EM=MF=；Rt △OEM 中，EM=，OE=2；则sin ∠EOM=，∴∠EOM=60°；∴∠EDC=∠EOM=30°．故答案为：30°.【考点】1、切线的性质；2、解直角三角形.3.把正方形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到A 1B 1C 1D 1的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD 的面积的一半，若AC=，则平移的距离是 . 【答案】. 【解析】∵重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，即重叠部分与正方形的面积的比是1：2．则相似比是1：. ∴C ：AC=1：， ∵AC=， ∴A =AC-C=-1. 故答案为：-1.【考点】1、正方形的性质；2、相似三角形的性质.4.为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出____个这样的停车位．(≈1.4)【答案】17.【解析】如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，CE=5×sin45°=5×≈3.5米，BE=BC+CE≈5.04米，EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米，（56-5.04）÷3.1+1=50.96÷3.1+1≈16.4+1=17.4（个）．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．故答案为：17．【考点】特殊角的三角函数值.三、解答题1.(8分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件.（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）800元；（2）当售价定为每件33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元.【解析】（1）首先表示每件的利润，再计算售价定为30元时一个月卖出的件数，每件的利润与一个月卖出的件数的积即为一个月的利润；（2）设售价为每件元时，一个月的获利为元，则每件的利润为（x-20）元，一个月卖出的件数为[105-5（x-25）]件，则y=（x-20）[105-5（x-25）]，再求x为多少时，y有最大值，此时y的最大值是多少即可.试题解析：解：（1）获利：（30-20）[105-5（30-25）]="800" ，（2）设售价为每件元时，一个月的获利为元，由题意，得，当时，的最大值为845，故当售价定为每件33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元.【考点】二次函数的应用—利润问题.2.（10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】（1）由相似三角形的判定证得△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质得AD：AC=AC：AB；（2）证得∠DAC=∠ECA，根据平行线的判定得CE∥AD；（3）由CE∥AD得到△AFD∽△CFE，应用相似三角形的性质得AD：CE=AF：CF，代入数值进行计算即可. 试题解析：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【考点】相似三角形的判定和性质.3.（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．【答案】（1）y=﹣x﹣1；y=﹣；（2）x＜﹣4．【解析】（1）根据△ABC的面积求出点A的坐标，把点A、B的坐标代入一次函数解析式求出k和b的值，即可得到一次函数的解析式；根据一次函数解析式求出点C的坐标，利用点C的坐标求出反比例函数解析式；（2）一次函数与反比例函数在第二象限的交点为C，根据点C的坐标得到kx+b﹣＞0的解集.试题解析：解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1，∴B（﹣2，0），OA=1，∴A（0，﹣1），∴，解得：，∴y=﹣x﹣1，又∵OD=4，OD⊥x轴，∴C（﹣4，y），将x=﹣4代入y=﹣x﹣1得y=1，∴C（﹣4，1），∴1=，∴m=﹣4，∴y=﹣，答：一次函数解析式为y=﹣x﹣1，反比例函数解析式为y=﹣；（2）当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集是x＜﹣4．【考点】1、待定系数法求解析式；2、一次函数与反比例函数的交点.4.（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.【答案】（1）详见解析；（2） .【解析】（1）证得OD⊥DE，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；（2）由OD//AE，得到，通过转换得到，解得FC的长，进而求得AF的长，应用锐角三角函数求出cosA的值.试题解析：解：（1）证明：连结AD、OD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D是BC的中点，又∵O是AC的中点∴OD//AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知OD//AE，∴，∴，∴，解得FC=2，∴AF=6，∴cosA=.【考点】1、切线的判定；2、平行线分线段成比例定理；3、锐角三角函数.5.（12分）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点E .（1）求点E的坐标；（2）求过 A、O、E三点的抛物线解析式；（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值.【答案】（1）（4，0）；（2）；（3）当时， .【解析】（1）应用锐角三角函数求出点A的坐标，而后求出一次函数解析式，求出直线与x轴的交点E的坐标；（2）应用待定系数法列出方程组，求出a、b、c的值，得到二次函数解析式；（3）设点，根据用点P的坐标表示面积，整理得到S=，即当时， .试题解析：解：（1）作AF⊥x轴与F，∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=，∴点A（1，），代入直线解析式，得，∴m=，∴，当y=0时，，得x=4，∴点E（4，0）；（2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为，∵抛物线过原点，∴c=0，∴，∴，∴抛物线的解析式为；（3）作PG⊥x轴于G，设，，，，，当时， .【考点】1、一次函数的应用；2、二次函数综合题.。

山东初三初中数学竞赛测试带答案解析

山东初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知二次函数y=x 2﹣6x+m 的最小值是﹣3，那么m 的值等于（）A ．10B ．4C ．5D ．62.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差3.已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx+1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A ．b=﹣1B ．b="2"C ．b=﹣2D ．b=04.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，∠C=60°，如果⊙O 的半径为2，则结论错误的是（）A ．AD="DB"B ．C ．OD="1"D ．AB=5.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（）A ．20B ．12C ．14D ．136.如图，▱ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E=36°，则∠ADC 的度数是（）A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°7.已知点P （a ，a+3）在抛物线y=x 2﹣7x+19图象上，则点P 关于原点O 的对称点P′的坐标是（）A ．（4，7）B ．（﹣4，﹣7）C ．（4，﹣7）D ．（﹣4，7）8.若A （﹣，y 1），B （，y 2），C （，y 3）为二次函数y=x 2+4x ﹣5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 29.下列图形中阴影部分面积相等的是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④10.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A ．B ．C ．D ．11.如图，抛物线y=﹣2x 2﹣8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向左平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=﹣x+m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．﹣3＜m ＜﹣B ．C ．﹣2＜m ＜D ．﹣3＜m ＜﹣2二、填空题1.如图，点A 是反比例函数y=的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC 、BC ，若△ABC 的面积为3，则k 的值是．2.如图，⊙O 的半径为4，OA=8，AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为．3.对于实数a ，b ，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的两个根，则x 1⊗x 2= ．4.如图，在△ABC 中，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD ，连接AE ，对于下列结论：①AD=DC ；②△CBA ∽△CDE ；③=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论选项是．三、解答题 1.如图，直线y=x+m 与反比例函数相交于点A （6，2），与x 轴交于B 点，点C 在直线AB 上且．过B 、C 分别作y 轴的平行线交双曲线于D 、E 两点．（1）求m 、k 的值；（2）求点D 、E 坐标．2.阅读下面的材料：解方程x 4﹣7x 2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，则x 4=y 2，∴原方程可化为：y 2﹣7y+12=0，解得y 1=3，y 2=4，当y=3时，x 2=3，x=±，当y=4时，x 2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x 1=，x 2=﹣，x 3=2，x 4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程：（x 2+x ）2﹣5（x 2+x ）+4=0；（2）已知实数a ，b 满足（a 2+b 2）2﹣3（a 2+b 2）﹣10=0，试求a 2+b 2的值．3.如图，⊙O 的直径为10，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）求证：AC•CD=PC•BC ；（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长．4.如图，在一块正方形ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG 部分贴A 型墙纸，△ABE 部分贴B 型墙纸，其余部分贴C 型墙纸．A 型、B 型、C 型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．探究1：如果木板边长为1米，FC=米，则一块木板用墙纸的费用需元；探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG 的边长为x 米，一块木板需用墙纸的费用为y 元，（1）用含x 的代数式表示y （写过程）．（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG 的边长为多少米？5.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A 上，斜边从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明．（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．6.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．山东初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10B．4C．5D．6【答案】D【解析】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+m，∵函数的最小值是﹣3，∴﹣9+m=﹣3，m=6．故选：D．【点评】考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．2.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数B．中位数C．平均数D．方差【答案】B【解析】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：B．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．3.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1B．b="2"C．b=﹣2D．b=0【答案】A【解析】解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（）A．AD="DB"B．C．OD="1"D．AB=【答案】D【解析】解：连接OA，OB．∵OD⊥AB，∴由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．∴AB=2．∴A，B，C均正确，D错误．故选D．【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．5.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．13【答案】C【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD ⊥BC ，CD=BD=BC=4，∵点E 为AC 的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6.如图，▱ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E=36°，则∠ADC 的度数是（）A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°【答案】B【解析】解：∵BE 是直径，∴∠BAE=90°， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠E=36°， ∴∠BEA=∠DAE=36°， ∴∠BAD=126°， ∴∠ADC=54°，故选：B ．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现图形中的圆周角．7.已知点P （a ，a+3）在抛物线y=x 2﹣7x+19图象上，则点P 关于原点O 的对称点P′的坐标是（）A ．（4，7）B ．（﹣4，﹣7）C ．（4，﹣7）D ．（﹣4，7）【答案】B【解析】解：把点P （a ，a+3）代入函数y=x 2﹣7x+19得：a+3=a 2﹣7a+19，解得：a=4，∴点P 的坐标是（4，7）， ∴点A 关于原点的对称点A′的坐标为（﹣4，﹣7）．故选B ．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及关于原点对称的点坐标之间的关系．8.若A （﹣，y 1），B （，y 2），C （，y 3）为二次函数y=x 2+4x ﹣5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【答案】B【解析】解：∵y=x 2+4x ﹣5=（x+2）2﹣9，∴对称轴是x=﹣2，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，比较可知，B （，y 2）离对称轴最近，C （，y 3）离对称轴最远，即y 2＜y 1＜y 3．故选：B ．【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律．9.下列图形中阴影部分面积相等的是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】D【解析】解：①中直线y=x+2与坐标轴的交点为（0，2）、（2，0）．∴三角形的底边长和高都为2则三角形的面积为×2×2=2；②中三角形的底边长为1，当x=1时，y=3 ∴三角形的高为3则面积为×1×3=；③中三角形的高为1，底边长正好为抛物线与x 轴两交点之间的距离∴底边长=|x 1﹣x 2|==2 则面积为×2×1=1；④设A 的坐标是（x ，y ），代入解析式得：xy=2，则面积为×2=1∴阴影部分面积相等的是③④．故选D ．【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，是一道难度中等的题目．10.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：连接AF ，EF ，AE ，过点F 作FN ⊥AE 于点N ，∵点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点， ∴AF=EF=1，∠AFE=120°， ∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=，故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．故选：B ．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE 的长是解题关键．11.如图，抛物线y=﹣2x 2﹣8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向左平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=﹣x+m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．﹣3＜m ＜﹣B ．C ．﹣2＜m ＜D ．﹣3＜m ＜﹣2【答案】A【解析】解：令y=﹣2x 2﹣8x ﹣6=0，即x 2+4x+3=0，解得x=﹣1或﹣3，则点A （﹣1，0），B （﹣3，0），由于将C 1向左平移2个长度单位得C 2，则C 2解析式为y=﹣2（x+4）2+2（﹣5≤x≤﹣3），当y=﹣x+m 1与C 2相切时，令y=﹣x+m 1=y=﹣2（x+4）2+2，即2x 2+15x+30+m 1=0，△=﹣8m 1﹣15=0，解得m 1=﹣，当y=﹣x+m 2过点B 时，即0=3+m 2，m 2=﹣3，当﹣3＜m ＜﹣时直线y=﹣x+m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，故选：A ．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．二、填空题1.如图，点A 是反比例函数y=的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC 、BC ，若△ABC 的面积为3，则k 的值是．【答案】﹣6【解析】解：连结OA ，如图，∵AB ⊥x 轴， ∴OC ∥AB ， ∴S △OAB =S △CAB =3，而S △OAB =|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2.如图，⊙O的半径为4，OA=8，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为．【答案】π【解析】解：连接OB、OCOB是半径，AB是切线，∵OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴sinA==，∴∠A=30°，∵OC=OB，BC∥OA，∴∠OBC=∠BOA=60°，∴△OBC是等边三角形，因此S阴影=S扇形CBO==π．故答案为π．【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．3.对于实数a，b，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x 2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2= ．【答案】±4【解析】解：x2﹣6x+8=0，解得：x=4或2，当x1=2，x2=4时，x1⊗x2=22﹣2×4=﹣4；当x1=4，x2=2时，x1⊗x2=4×2﹣22=4；故答案为：±4．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．4.如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是．【答案】①②④【解析】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴和不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故答案为①②④．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．三、解答题1.如图，直线y=x+m与反比例函数相交于点A（6，2），与x轴交于B点，点C在直线AB上且．过B、C分别作y轴的平行线交双曲线于D、E两点．（1）求m、k的值；（2）求点D 、E 坐标．【答案】（1）m=﹣4，k=12（2）D （4，3） E （1，12）【解析】解：（1）把A （6，2）代入y=x+m 与y=，得m=﹣4，k=12；（2）过A 作AM ⊥x 轴于M ，由（1）可得，直线解析式为y=x ﹣4，y=，当y=0时，x ﹣4=0，x=4，∴B （4，0）， ∴BM=2，当x=4时，y==3， ∴D （4，3）．又=，∴BN=3， ∴点C 的横坐标是1，又直线AB 的解析式是y=x ﹣4，∴点C 的纵坐标是﹣3，又CE ∥y 轴，∴点E 的横坐标是1，再根据反比例函数的解析式求得点E 的纵坐标是12，则E （1，12）．【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式的方法，能够借助平行求点的坐标．2.阅读下面的材料：解方程x 4﹣7x 2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，则x 4=y 2，∴原方程可化为：y 2﹣7y+12=0，解得y 1=3，y 2=4，当y=3时，x 2=3，x=±，当y=4时，x 2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x 1=，x 2=﹣，x 3=2，x 4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程：（x 2+x ）2﹣5（x 2+x ）+4=0；（2）已知实数a ，b 满足（a 2+b 2）2﹣3（a 2+b 2）﹣10=0，试求a 2+b 2的值．【答案】见解析【解析】解：（1）设y=x 2+x ，则y 2﹣5y+4=0，整理，得（y ﹣1）（y ﹣4）=0，解得y 1=1，y 2=4，当x 2+x=1即x 2+x ﹣1=0时，解得：x=；当当x 2+x=4即x 2+x ﹣4=0时，解得：x=；综上所述，原方程的解为x 1，2=，x 3，4=；（2）设x=a 2+b 2，则x 2﹣3x ﹣10=0，整理，得（x ﹣5）（x+2）=0，解得y 1=5，y 2=﹣2（舍去），故a 2+b 2=5．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．3.如图，⊙O 的直径为10，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）求证：AC•CD=PC•BC ；（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°， ∵CD ⊥CP ， ∴∠PCD=90°， ∴∠ACB=∠PCD ， ∵∠A 与∠P 是对的圆周角，∴∠A=∠P ， ∴△ABC ∽△PDC ，∴，∴AC•CD=PC•BC ；（2）解：当点P 运动到的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于E ，∵BC ：CA=4：3，AB=10， ∴BC=8，AC=6， ∵点P 是的中点，∴∠PCB=∠ACB=45°，∴BE=CE=BC•sin45°=8×=4，在Rt △EPB 中，tan ∠P=tan ∠A===， ∴PE=BE=3， ∴PC=PE+CE=7，∴CD=PC•tan ∠P=×7=．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与转化思想的应用．4.如图，在一块正方形ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG 部分贴A 型墙纸，△ABE 部分贴B 型墙纸，其余部分贴C 型墙纸．A 型、B 型、C 型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．探究1：如果木板边长为1米，FC=米，则一块木板用墙纸的费用需元；探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG 的边长为x 米，一块木板需用墙纸的费用为y 元，（1）用含x 的代数式表示y （写过程）．（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG 的边长为多少米？【答案】（1）55 y=20x 2﹣40x+240（2）正方形EFCG 的边长为或米【解析】解：探究1：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA=1， ∴S 正方形ABCD =1，∵四边形EFCG 是正方形，∴EF=CF=，∴S 正方形EFCG =，BF=，∴S △ABE ==∴空白部分的面积为：1﹣﹣=，∴这块木板用墙纸的费用为：+80+40×=55元．故答案为：55．探究2：（1）∵木板边长为2米，∴木板的面积为：4平方米． ∵正方形EFCG 的边长为x 米， ∴S 正方形EFCG =x 2，S △ABE =2﹣x ，∴空白的面积为：4﹣x 2﹣（2﹣x ）=2﹣x 2+x ，y=60x 2+80（2﹣x ）+40（2﹣x 2+x ），y=20x 2﹣40x+240．（2）当y=225时，225=20x 2﹣40x+240，解得：x 1=，x 2=∴正方形EFCG 的边长为或米．【点评】本题考查了正方形的性质，平面几何图形的面积公式的计算，抛物线的解析式的求法．5.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A 上，斜边从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E ．（1）小敏在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠BAM ，则AE 也平分∠MAC ．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD 、CE 、DE 之间存在如下等量关系：BD 2+CE 2=DE 2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD 沿AD 所在的直线对折得到△ADF ，连接EF （如图2）；小亮的想法：将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACG ，连接EG （如图3）；请你从中任选一种方法进行证明．（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD 2+CE 2=DE 2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．【答案】见解析【解析】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°． ∵∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°． ∵∠BAD=∠DAM ， ∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°， ∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC ， ∴∠MAE=∠EAC ，即AE 平分∠MAC ；（2）选择小颖的方法．证明：如图2，连接EF ．由折叠可知，∠BAD=∠FAD ，AB=AF ，BD=DF ，∵∠BAD=∠FAD ， ∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE ．在△AEF 和△AEC 中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．选择小亮的方法，证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，∴△ADB≌△AGC，∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，∴∠EAG=45°，在△DAE和△GAE中，，∴△DAE≌△GAE（SAS），∴DE=EG，∵∠ACB=90°，∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°μ，∴△ECG是直角三角形，∴CG2+CE2=EG2，即BD2+CE2=DE2；（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．证明如下：如图4，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．又∵AC=AB，∴AF=AC．又∵∠CAE=90°﹣∠BAE=90°﹣（45°﹣∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．∴∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，∵，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=∠135°﹣∠C=135°﹣45°=90°．∴∠DFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2【点评】本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等，题目的综合性较强，难度较大，正确做出图形的辅助线是解题的关键．6.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3（2）抛物线的对称轴与⊙C 相离（3）p （，﹣），则S △PAC 的最大值=【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2﹣1把A （0，3）代入得：3=4a ﹣1解得：a=1，故 y=（x ﹣2）2﹣1=x 2﹣4x+3；（2）抛物线的对称轴与⊙C 相离理由如下：如图1，过点C 作CE ⊥BD 于E令y=0，则x 2﹣4x+3=0解得：x 1=1，x 2=3则B （1，0），C （3，0），A （0，3），故AB=，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， ∴△AOB ～△BEC∴=， ∴=， ∴CE=，∴BF=CE=1＞， ∴抛物线的对称轴与⊙C 相离；（3）设P （m ，m 2﹣4m+3），如图2，过点P 作作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ，设AC 的解析式为：y=kx+b ，故，解得：，故AC 的解析式为：y=﹣x+3，则Q （m ，﹣m+3），则PQ=﹣m+3﹣（m 2﹣4m+3）=﹣m 2+3m ，S △PAC =S △AQP +S △CQP=×3（﹣m 2+3m ），=﹣m 2+m ，则m=﹣=÷3=，把m=代入得：﹣×+×=，故p （，﹣），则S △PAC 的最大值=．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，正确表示出S △PAC =S △AQP +S △CQP 是解题关键．。

初中数学竞赛专题训练答案(10套)

数学竞赛专项训练（1）实数参考答案一、选择题1、解：设与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是x ，则1+=a x ，所以12)1(2++=+=a a a x应选D613813)13)(13(133*312*2)]2*2(*3[12*2)]2(*3[22*=+-=+--+=+-=+-=+-= 、解：原式应选D 3、2004＝n －0y ，n 是奇数，0y 必是奇数，又110x =m －280y ，m 和280y 均为偶数，所以110x 是偶数，0x 应为偶数。

故选C4、解：－ab ·ac ·bd ·cd ＝－a 2b 2c 2d 2＜0，所以这四个数中应一正三负或一负三正。

应选D 5、解：由02003200320032003=-+--+xy y x x y y x 可得 020030)2003)(2003(>++=++-y x y x xy 而所以是质数，因此必有　又因为故2003200302003==-xy xy⎩⎨⎧== 20031y x ⎩⎨⎧==12003y x 应选B6、解：因q p 352+为奇数，故p 、q 必一奇一偶，而p 、q 均为质数，故p 、q 中有一个为2，若55322==p q 不合题意舍去。

若p ＝2，则q ＝3，此时p ＋3＝5，1-p+q=12，2p+q-4=13，因为52+122=132，所以5、12、13为边长的三角形为直角三角形。

故选B7、解：依题意设六位数为abcabc ，则ab c a b c ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。

初中数学竞赛试题内容及答案

初中数学竞赛试题内容及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. ±4D. ±2答案：C3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是多少厘米？A. 10B. 15C. 20D. 25答案：A4. 一个数的绝对值是5，这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C5. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，它的体积是多少立方厘米？A. 24B. 12C. 6D. 8答案：B6. 如果一个角是直角的一半，那么这个角的度数是多少？A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°答案：C7. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. 4D. 2答案：A8. 一个等腰三角形的底边长是10厘米，两腰相等，如果底角是45°，那么腰长是多少？A. 5B. 7.07C. 10D. 14.14答案：D9. 一个数的立方是-27，这个数是多少？A. -3B. 3C. -27D. 27答案：A10. 一个数的倒数是1/4，这个数是多少？A. 4B. 1/4C. 1D. 1/2答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方加上8倍这个数再加上16等于0，这个数是______。

答案：-412. 如果一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这是一个______三角形。

答案：直角13. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

答案：814. 一个数的相反数是-5，这个数是______。

答案：515. 如果一个分数的分子是7，分母是14，化简后是______。

答案：1/216. 一个数的平方是25，那么这个数是______。

答案：±517. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。

初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题及答案 (3)

初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题
1．如图，数一数，图中共有多少个（包含大小不同的）正方形？答案55．
【分析】首先数出单独1个小方格构成的正方形有25个，再数出由4个小方格构成的正方形有16个，再数出由9个小方格构成的正方形有9个，再数出由16个小方格构成的正方形有4个，最后数出由25个小方格构成的正方形有1个，因此问题即可解决．【解答】解：由1个小方格构成的正方形有25个，
由4个小方格构成的正方形有16个，
由9个小方格构成的正方形有9个，
由16个小方格构成的正方形有4个，
由25个小方格构成的正方形有1个，
因此图中共有25+16+9+4+1＝55个正方形．
故答案为：55．
【点评】此题考查了排列与组合问题，主要利用正方性的性质，边长相等，按一定的规律数出即可．。