2-1 数学高考复习金版教程

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高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案2-2

第2章第2节一、选择题1. 若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：B4)，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．4. (2010·安庆一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ， x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. [13，1) C. (0，13]D. (0，23]答案：B解析：据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1.在(1,2)上是减函数且f (x )>0，故选D.二、填空题7. 函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．答案：[0，32]解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．8. 若在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．答案：3∵区间(m,2m ＋1)中2m ＋1>m ，∴m >－1. 综上，－1<m ≤0. 三、解答题10. (2010·青岛调研)已知f (x )＝x x －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2) (x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m.由h′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍去)．则有∴h (t )在(0,2)内有最大值1－m ，∴s (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)时恒成立等价于h (t )<0恒成立，即1－m <0，∴m >1.12. (2010·广东一模)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1－m ·2xx. 化简得：⎩⎪⎨⎪⎧m ·2x ＋2＋21＋m ·2x≥0，m ·2x ＋1＋41＋m ·2x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－12x 或m ≥－12x ＋1，m ≤－22x或m >－12x.上面不等式组对一切x ∈[0,1]都成立，故⎨⎧m <－1或m ≥－14，－1，∴m ≤－2或m ≥－14.。

金版教程2022高考数学理二轮复习训练：2-1-2 三角函数、平面向量

11.已知函数f(x)＝2sin cosx＋sinxcosx＋ sin2x(x∈R)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，B为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝，M为BC边的中点，AM＝2 ，求a＋c的最大值．
解(1)f(x)＝2 cosx＋sinxcosx＋ sin2x＝2sinxcosx－ (cos2x－sin2x)＝sin2x－ cos2x＝2sin .
∴函数取最大值时x的取值集合为
.
(2)由题意，f(A)＝sin ＋1＝，
化简得sin ＝ .
∵A∈(0，π)，∴2A＋ ∈ ，∴2A＋＝，
∴A＝ .
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.
由b＋c＝2，知bc≤ 2＝1，即a2≥1，当b＝c＝1时取等号．
又由b＋c>a得a<2，∴a的取值范围是[1,2).
(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，b＋c＝2.求实数a的取值范围．
解(1)f(x)＝2cos2x－sin
＝(1＋cos2x)－
＝1＋ sin2x＋ cos2x
＝1＋sin .
∴函数f(x)的最大值为2.
当且仅当sin ＝1，即2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时取到．
1.已知平面对量a，b满足：a＝(1，－2)，|b|＝2 ，a·b＝－10，则向量b的坐标是()
A.(2，－4)B．(－2,4)
C.(1,2)D．(－1,2)
答案B
解析由题意知|a|＝，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ＝10cosθ＝－10，cosθ＝－1，θ＝π，又|b|＝2|a|，因此b＝－2a＝(－2,4).

最新北师大版高中数学选修2-1课时同步讲义(全册共312页)

最新北师大版高中数学选修2-1课时同步讲义（全册共312页）目录第一章常用逻辑用语§1命题(一)§2充分条件与必要条件§3全称量词与存在量词3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题§4逻辑联结词“且”“或”“非”4．1逻辑联结词“且”4．2逻辑联结词“或”第二章空间向量与立体几何§1从平面向量到空间向量§2空间向量的运算(一)§2空间向量的运算(二)§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)3．1空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示§4用向量讨论垂直与平行第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题§5夹角的计算§6距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1椭圆1．1椭圆及其标准方程1.2椭圆的简单性质(一)§2抛物线2．1抛物线及其标准方程§3双曲线3．1双曲线及其标准方程3．2双曲线的简单性质§4曲线与方程4．1曲线与方程§1 命题(一)学习目标 1.理解命题的概念.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式.4.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．知识点一命题的概念及分类思考下列语句有什么共同特征？(1)空集是任何集合的子集．(2)单位向量的模为1.(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．答案共同特征是：都是陈述句，都可以判断真假．梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题⎩⎪⎨⎪⎧ 真命题：判断为真的语句，假命题：判断为假的语句. 知识点二命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫作命题的条件，q 叫作命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．知识点三四种命题四种命题的定义如下表所示1．命题均能判断其真假．(√)2．我们所学习过的定理均为命题．(√)3．命题：若函数f (x )为区间D 上的奇函数，则f (0)＝0，为真命题．(×)4．命题：若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，其逆命题为真命题．(×)类型一命题的概念及真假判断命题角度1 命题的概念例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0；(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数．考点命题的定义及分类题点命题的定义解 (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．反思与感悟判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句是命题的是( )①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x ＞2；⑤这座山真险啊！A ．①②③B ．①③④C ．①②⑤D ．②③⑤考点命题的定义及分类题点命题的定义答案 A解析依据命题定义，得①②③为命题．命题角度2 命题真假的判断例2 给定下列命题：①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题；③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴； ④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形．其中为真命题的是________．考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 ①③④解析结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；又因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题；②中，若a ＝－2，b ＝2，则a ＋b ＝0，是有理数，故②是假命题．引申探究1．本例中命题④变为：若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？解不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．2．本例中命题④改为：若AB →·BC →＝0，则△ABC 是________三角形．答案直角解析由AB →·BC →＝0，得∠B ＝90°，故该三角形为直角三角形．反思与感悟一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2 (1)下列命题中假命题的个数为( )①多边形的外角和与边数有关；②如果数量积a ·b ＝0，那么向量a ＝0或b ＝0；③二次方程a 2x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实根；④函数f (x )在区间[a ，b ]内有零点，则f (a )·f (b )<0.A ．1B ．2C ．3D ．4考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 C解析因为Δ＝4＋4a 2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．(2)下列命题中为真命题的是( )A ．若ln x ＜1，则x ＜eB ．若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．已知数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，则该数列为等比数列D ．在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足a cos B ＝b cos A ，则该三角形为等腰三角形考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 D解析对于A ，需满足x ＞0；对于B ，若b ＝0，其结论不成立；对于C ，若a n ＝0，则结论不成立．类型二命题的结构形式例3 将下列命题写成“若p ，则q ”的形式．(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．考点命题的结构形式题点改写成标准的若p 则q 形式解 (1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．(2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实数根．反思与感悟将命题改写为“若p ，则q ”形式的方法及原则跟踪训练3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.考点命题的结构形式题点改写成标准的若p则q形式解(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题．(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题．类型三四种命题的概念及真假判断命题角度1四种命题的概念例4(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的() A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．等价命题答案 A(2)写出命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题．考点四种命题的概念题点四种命题定义的应用解逆命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下．否命题：若抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，则集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅.逆否命题：若集合{x|ax2＋bx＋c＜0}＝∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上．反思与感悟四种命题的转换方法(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．考点四种命题的概念题点四种命题定义的应用解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．命题角度2 四种命题的真假判断例5 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a >b ，则ac 2>bc 2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假解 (1)逆命题：若ac 2>bc 2，则a >b .真命题．否命题：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2.真命题．逆否命题：若ac 2≤bc 2，则a ≤b .假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思与感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练5 已知命题“若2m －1＜x ＜3m ＋2，则1＜x ＜3”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假答案 ⎣⎡⎦⎤13，1解析其逆命题为若1＜x ＜3，则2m －1＜x ＜3m ＋2.该命题为真命题，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤1，3m ＋2≥3，解得13≤m ≤1，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，1.1．下列语句为命题的是()A．2x＋5≥0 B．求证对顶角相等C．0不是偶数D．今天心情真好啊考点命题的定义及分类题点命题的定义答案 C解析结合命题的定义知C为命题．2．下列说法中错误的是()A．命题“a，b，c中至少有一个等于0”的否命题是“a，b，c中没有一个等于0”B．命题“若x＞1，则x2－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x2－1＜0”C．命题“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”D．命题“若x＝－4，则x是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“若x1≠－4，则x不是方程x2＋3x－4＝0的根”考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析由否命题的定义知B是错误的．3．命题“若a≥b，则a＋b＞2017且a＞－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2017且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2017且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2017或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2017或a≤－b，则a≤b考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 C解析将原命题的条件与结论互换的同时，对条件和结论进行否定即得逆否命题．“若a≥b，则a＋b＞2 017且a＞－b”的逆否命题为“若a＋b≤2 017或a≤－b，则a＜b”．故选C.4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围答案(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.5．命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围解“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；当m>0，且Δ＝m2－12m<0，即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，所以0<m<12满足题意．综上所述，实数m的取值范围是[0,12)．1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．一、选择题1．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A．两个平面B．一条直线C．垂直D．两个平面垂直于同一条直线考点命题的结构形式题点区分命题的条件和结论答案 D解析所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.2．下列命题为假命题的是()A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．0是偶数D．5＞3考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 B解析结合向量的有关知识知A为真命题，B为假命题．C，D显然是真命题．3．命题“若x2＞1，则x＜－1或x＞1”的逆否命题是()A．若x2＞1，则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1，则x2≤1C．若－1＜x＜1，则x2＜1D．若x＜－1或x＞1，则x2＞1考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析结合逆否命题的定义知B正确．4．下列命题是真命题的是()A．若ab＝0，则a2＋b2＝0B．若a>b，则ac>bcC．若M∩N＝M，则N⊆MD．若M⊆N，则M∩N＝M考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 D解析A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M⊆N.故A，B，C均错误．5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是() A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 D解析D中如果α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．6．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 B解析设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.7．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．①③考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 D解析结合线面、面面位置关系易知①③为真命题．8．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列说法正确的是()A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆否命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确考点四种命题题点四种命题的判断答案 B解析否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，所以A错误；B正确；C不正确，故选B.二、填空题 9．有下列命题： ①22340能被5整除；②不存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0； ③对任意的实数x ，均有x ＋1＞x ； ④方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．(填序号) 考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 ④解析易知①②③为真命题，④中Δ＝4－12＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实根，因而④为假命题．10．命题“当a ＞0，a ≠1时，若函数f (x )＝log a x 在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 考点四种命题的概念题点按要求写命题答案当a ＞0，a ≠1时，若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x 在其定义域内不是减函数．11．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q 中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．考点命题的真假判断题点由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，－2]解析 p 为真命题时，Δ＝4a 2－16＜0，解得－2＜a ＜2.q 为真命题时，5－2a ＞1，解得a ＜2.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，a ∈∅.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，即a ≤－2.故实数a 的取值范围为(－∞，－2]．三、解答题12．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0. 考点命题的结构形式题点改写成标准的若p 则q 形式，并判断命题的真假解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题． (2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根．∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，该命题是真命题．13．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假解其逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集． ∵a ＜1，∴Δ＝(2a ＋1)2－4×(a 2＋2)＝4a ＋1－8＝4a －7＜0，即不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集， ∴原命题的逆否命题是真命题．四、探究与拓展14．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a <0或a >3 D ．0<a <3考点命题的真假判断题点由命题的真假求参数的取值范围答案 A解析若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，当a ＝0时，3>0符合题意，当a ≠0时，则a >0且Δ<0，解得0<a <3，综上可知，当0≤a <3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，故当a <0或a ≥3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题．15．写出命题“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1＞0，那么m 2－5m ＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假解由2m ＋1＞0，得m ＞－12.由m ＋32m －1＞0，得m ＜－3或m ＞12，又m ＞－12，所以m ＞12.由m 2－5m ＋6＜0，得2＜m ＜3，又m ＞－12，所以2＜m ＜3.由此可知，原命题可变为“如果m ＞12，那么2＜m ＜3”，显然原命题是假命题．逆命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6＜0，那么m ＋32m －1＞0”，即“如果2＜m ＜3，那么m ＞12”，它是真命题．否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1≤0，那么m 2－5m ＋6≥0”，因为⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1＞0，m ＋32m －1≤0，所以⎩⎨⎧m ＞－12，－3≤m ＜12，所以－12＜m ＜12，由⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1＞0，m 2－5m ＋6≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－12，m ≤2或m ≥3，即－12＜m ≤2或m ≥3，所以否命题可表述为“如果－12＜m ＜12，那么－12＜m ≤2或m ≥3”，它是真命题．逆否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6≥0，那么m ＋32m －1≤0”，则逆否命题可表述为“如果－12＜m ≤2或m ≥3，那么－12＜m ＜12”，它是假命题．§2 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件(1)“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)若p ⇒q ，但q ⇏p ，称p 是q 的充分不必要条件，若q ⇒p ，但p ⇏q ，称p 是q 的必要不充分条件．知识点二充要条件思考在△ABC 中，角A ，B ，C 为它的三个内角，则“A ，B ，C 成等差数列”是“B ＝60°”的什么条件？答案因为A ，B ，C 成等差数列，故2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，故B ＝60°，反之，亦成立，故“A ，B ，C 成等差数列”是“B ＝60°”的充要条件．梳理 (1)一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)充要条件的实质是原命题“若p ，则q ”和其逆命题“若q ，则p ”均为真命题，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件． (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.的充分不必要的必要不充分的必要条件其中p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}．1．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)2．若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)类型一充分条件、必要条件、充要条件的判定例1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a＞b，q：ac＞bc.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．(4)∵p⇏q，且q⇏p，∴p是q的既不充分又不必要条件．反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0<a<4；(2)p：|x－2|<3，q：6x－5<－1；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ；(4)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解 (1)当a ＝0时，1>0满足题意；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a <0，a >0，可得0<a <4.故p 是q 的必要不充分条件． (2)易知p ：－1<x <5，q ：－1<x <5，所以p 是q 的充要条件．(3)因为A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，即p ⇒q ，但⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β>4，αβ>4⇏⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，所以q ⇏p ，所以p 是q 的充分不必要条件．类型二充要条件的探求与证明命题角度1 充要条件的探求例2 求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0，∴a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0，∴0<a ≤1.综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.反思与感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2已知数列{a n}的前n项和S n＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{a n}是等差数列的充要条件？请说明理由．考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解是充要条件．(充分性)当t＝－1时，S n＝(n＋1)2－1＝n2＋2n.a1＝S1＝3，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n＋1.又a1＝3符合上式，∴a n＝2n＋1(n∈N＋)，又∵a n＋1－a n＝2(常数)，∴数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．故t＝－1是{a n}为等差数列的充分条件．(必要性)∵{a n}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，∵a1＝S1＝4＋t，a2＝S2－S1＝5，a3＝S3－S2＝7，∴10＝11＋t，解得t＝－1，故t＝－1是{a n}为等差数列的必要条件．综上，t＝－1是数列{a n}为等差数列的充要条件．命题角度2充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)，∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x2＝ca＜0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac ＜0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca ＜0，即ac ＜0，此时Δ＝b 2－4ac ＞0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.反思与感悟对于充要条件性命题证明，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，需要分清条件和结论．跟踪训练3 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k ＜－2. 考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，(x 1＋x 2)－2＞0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，－(2k －1)－2＞0，k 2＋(2k －1)＋1＞0，解得k ＜－2. 充分性：当k ＜－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k ＞0. 设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2.则(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝k 2＋2k －1＋1＝k (k ＋2)＞0. 又(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2＝－(2k －1)－2＝－2k －1＞0， ∴x 1－1＞0，x 2－1＞0，∴x 1＞1，x 2＞1.综上可知，方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根的充要条件为k ＜－2. 类型三利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4 设命题p ：x (x －3)＜0，命题q ：2x －3＜m ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 [3，＋∞)解析 p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3； q ：2x －3＜m ，即x ＜m ＋32.由题意知p ⇒q ，q ⇏p ，则在数轴上表示不等式如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3，即实数m 的取值范围为[3，＋∞)．反思与感悟 (1)在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p 和q 转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． (2)根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 ①记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}；②若p 是q 的充分不必要条件，则M ?N ，若p 是q 的必要不充分条件，则N ?M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N ；③根据集合的关系列不等式(组)； ④求出参数的范围．跟踪训练4 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪y ＝2x 2x ＋1，x ∈R，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝13x ＋m ，x ∈[－1，1]，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析由题意知A ＝{y |0＜y ＜1}．， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y | m －13≤y ≤m ＋13，依题意，得B ?A ，故⎩⎨⎧m －13>0，m ＋13<1，∴13<m <23.1．“x ＞0”是“x 2＋x ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案 A解析由x 2＋x ＞0⇔x ＜－1或x ＞0，由此判断A 符合要求．2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析当a ＋b ＝0时，得a ＝－b ，所以a ∥b ，但若a ∥b ，不一定有a ＋b ＝0.3．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0，x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．0＜a ＜1B ．0≤a ≤1C ．0＜a ＜12D ．a ≥1或a ≤0 考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分、必要条件的判断答案 B解析当关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0，x ∈R 恒成立时，应有Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1.所以一个必要不充分条件是0≤a ≤1.4．设p ：1≤x ＜4，q ：x ＜m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．(用区间表示) 考点充分条件的概念及判断题点由充分条件求取值范围答案 [4，＋∞)解析因为p 为q 的充分条件，所以[1,4)⊆(－∞，m )，得m ≥4.5．设p ：|x |＞1，q ：x ＜－2或x ＞1，则q 是p 的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”“充要”)考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断答案充分不必要。

2023高一数学金版教程

2023高一数学金版教程一、课程介绍本教程为高一数学课程，旨在帮助学生掌握高中数学的基础知识和技能，为未来的深入学习打下坚实的基础。

本教程注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，通过多种形式的教学方法和练习，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

二、学习目标1. 掌握高中数学的基础知识和技能，包括函数、方程、不等式、几何、统计等。

2. 培养数学思维能力和解决问题的能力，能够运用所学知识解决实际问题。

3. 养成良好的学习习惯和方法，提高自主学习和合作学习的能力。

三、教学内容1. 函数部分a. 掌握函数的定义和性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

b. 学习常见函数的图像和解析式，能够识别和应用常见函数。

c. 学会运用函数解决实际问题，如根据函数关系式分析问题、根据图像观察问题等。

2. 方程部分a. 掌握一元二次方程、二元一次方程组等的基本解法。

b. 学习不等式的基本性质和求解方法，如简单不等式的证明、不等式的应用等。

c. 学习函数与方程的关系，能够将函数、不等式和方程进行综合应用。

3. 几何部分a. 学习常见几何图形的性质和特征，如三角形、四边形、圆等。

b. 学习坐标系和解析几何的基本知识，如坐标表示、直线和圆的位置关系等。

c. 学会运用几何知识解决实际问题，如根据几何图形分析问题、根据坐标系进行预测和规划等。

4. 统计部分a. 学习数据收集、整理和分析的基本方法，如统计图表、平均数、方差等。

b. 学习概率和统计的基本概念和原理，如随机事件、概率的求解和应用等。

c. 学会运用统计知识解决实际问题，如根据数据进行分析、预测和决策等。

四、教学方法1. 案例教学：通过实际案例的分析和讨论，帮助学生更好地理解和掌握数学知识，培养解决实际问题的能力。

2. 合作学习：鼓励学生相互交流、讨论和合作，共同解决问题，培养团队协作精神。

3. 探究式教学：引导学生自主探究、发现和解决问题，培养创新精神和创新能力。

金版教程高考数学文二轮复习讲义：第二编专题整合突破专题三三角函数与解三角形第一讲三角函数的图象与性质

专题三三角函数与解三角形第一讲三角函数的图象与性质必记公式]1．三角函数的图象与性质重要结论]1．三角函数的奇偶性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )，是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )，是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )． 2．三角函数的对称性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )解得；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )解得；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解得．失分警示]1．忽视定义域求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域．2．重要图象变换顺序在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3．忽视A ，ω的符号在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，若ω<0，需先通过诱导公式将x 的系数化为正的．4．易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误．考点三角函数的定义域、值域(最值)典例示法典例1 (1)2016·合肥一模]函数y ＝lg (2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________．解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞12，cos x ≤12，首先作出sin x ＝12与cos x ＝12表示的角的终边(如图所示)．由图可知劣弧和优弧的公共部分对应角的范围是⎣⎢⎡2k π＋π3，2k π＋⎭⎪⎫5π6(k ∈Z )．所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z )．答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6(k ∈Z ) (2)已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .①求f (x )的最小正周期；②求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解] ①f (x )＝－sin2x －cos2x ＋3sin2x －cos2x ＝2sin2x －2cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由①知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1.所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上最大值为22，最小值为－2.1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域(最值)的三种求法 (1)直接法：利用sin x ，cos x 的值域．(2)化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．针对训练2015·天津高考]已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)解法一：因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间－π3，π4]上的最大值为34，最小值为－12.解法二：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，故当2x －π6＝－π2，x ＝－π6时，f (x )取得最小值为－12，当2x －π6＝π3，x ＝π4时，f (x )取最大值为34.考点三角函数的性质典例示法典例2 2015·山东枣庄质检]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ωx2，x ∈R (其中ω＞0)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f (x )的单调递增区间．解] (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1 由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6≤1，得－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－1≤1，所以函数f (x )的值域为－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知， f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3 (k ∈Z )．1．求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程． ②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0. 2．求解三角函数的性质的三种方法 (1)求单调区间的两种方法①代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． (2)判断对称中心与对称轴：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．(3)三角函数周期的求法 ①利用周期定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象．针对训练1．2015·湖南高考]已知ω＞0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.答案 π2解析由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 2．2014·北京高考]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12(π2＋23π)＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π.考点三角函数的图象及应用典例示法题型1 利用图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例3 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3解析] 从图中读出此函数的周期情况为34T ＝34·2πω＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，所以ω＝2.又读出图中最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，代入解析式f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得到2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝2k π－π3.因为－π2<φ<π2，所以令k ＝0，得到φ＝－π3，故选A. 答案] A题型2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换典例4 2015·山东高考]要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析] 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以只需将y ＝sin4x的图象向右平移π12个单位，即可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，故选B.答案] B题型3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质的综合应用典例5 2016·太原一模]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称解析] ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．答案] B本例中条件不变，若平移后得到的图象关于y 轴对称，则f (x )的图象又关于谁对称？( )答案 D解析 g (x )的图象关于y 轴对称，则－2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，可求φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，2x ＋π6＝k π，可得x ＝k π2－π12，令k ＝1，则x ＝5π12，故选D.1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法2.三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的正负和它的平移要求．(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.3．研究三角函数图象与性质的常用方法(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后再求解．(2)对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛cos φ＝a a 2＋b 2，⎭⎪⎫sin φ＝b a 2＋b 2的形式来求．全国卷高考真题调研]1．2016·全国卷Ⅱ]若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )答案 B解析函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12，令2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.2．2015·全国卷Ⅰ]函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z答案 D解析由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D.其它省市高考题借鉴]3．2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3 答案 A解析因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s >0，故s 的最小值为π6.故选A.4．2015·陕西高考]如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析由题图可知－3＋k ＝2，k ＝5，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max＝3＋5＝8.5．2015·湖南高考]将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 D解析由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D.6．2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.一、选择题1．2016·贵阳监测]下列函数中，以π2为最小正周期的奇函数是( )A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2C ．y ＝sin2x cos2xD ．y ＝sin 22x －cos 22x答案 C解析 A 中，y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数，故A 错；B 中，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos4x ，为偶函数，故B 错；C 中，y＝sin2x cos2x ＝12sin4x ，最小正周期为π2且为奇函数，故C 正确；D 中，y ＝sin 22x －cos 22x ＝－cos4x ，为偶函数，故D 错，选C.2．2016·唐山统考]将函数y ＝3cos2x －sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数为g (x )，则g (x )＝( )A ．2sin2xB ．－2sin2xC ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6答案 A解析因为y ＝3cos2x －sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ( 2x －π3 )，将其图象向右平移π3个单位长度得到g (x )＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－π3＝－2sin(2x －π)＝2sin2x 的图象，所以选A.3．2016·武昌调研]已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A ．3 B.32 C.43 D.23答案 A解析将f (x )的图象向右平移2π3个单位后得到图象的函数解析式为2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，所以2ωπ3＝2k π，k∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω＞0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A.4．2016·沈阳质检]某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －2π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫56x ＋3π5答案 C解析不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.5．2016·广州模拟]已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( )A ．－35 B ．－45 C.35 D.45答案 B解析由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos φ＝－1－sin 2φ＝－45.6．2016·重庆测试]设x 0为函数f (x )＝sinπx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋12＜33，则这样的零点有( )A ．61个B ．63个C ．65个D ．67个答案 C解析依题意，由f (x 0)＝sinπx 0＝0得，πx 0＝k π，k ∈Z ，x 0＝k ，k ∈Z .当k 是奇数时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝1，|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65个，选C.二、填空题7．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案 32解析由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又∵－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.8．2016·贵阳监测]为得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，可将函数y＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是________．答案 2π3解析由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π3＋2(k 1－k 2)π，∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3.9．2016·湖南岳阳质检]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象向左平移π6个单位后与函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则正数ω的最小值为________．答案 232解析将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象向左平移π6个单位后，得到函数f 1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π4的图象．又f 1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π4的图象与g (x )＝sin ( ωx ＋π6 )的图象重合，故ωx ＋π6ω＋π4＝2k π＋ωx ＋π6，k ∈Z .所以ω＝12k －12(k ∈Z )．又ω＞0，故当k ＝1时，ω取得最小值，为12－12＝232.三、解答题10．2014·山东高考]已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0＜φ＜π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z. 11．2016·天津五区县调考]已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12(x∈R )．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)函数f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在x ∈0，π]上的最大值及最小值．解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)函数f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移π6个单位，得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，因为x ∈0，π]得：x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1所以当x ＝0时，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3有最小值－32，当x ＝5π6时，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3有最大值1.12．2016·福建质检]已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos2x . (1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，求实数m 的最大值．解 (1)因为tan θ＝2，所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos2θ＝sin θcos θ＋12(2cos 2θ－1)＝sin θcos θ＋cos 2θ－12＝sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－12＝tan θ＋1tan 2θ＋1－12＝110.(2)由已知得f (x )＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.依题意，得g (x )＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4，即g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，2m －π4.又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以2m －π4≤π2，即m ≤3π8，故实数m 的最大值为3π8.。

2023年高考数学一轮复习金版教程文档第一部分第一章考点测试

第一章集合与常用逻辑用语考点测试1 集合高考概览本考点在高考中是必考知识点，常考题型为选择题，分值为5分，低难度考纲研读1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 7．能使用Venn 图表达集合的关系及运算一、基础小题1．已知集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |2<x <5}，则A ∪B ＝( ) A ．(1，6) B ．(－2，5) C ．(2，3) D ．(3，5) 答案 B解析 A ＝{x |－2<x <3}，A ∪B ＝(－2，5).故选B.2．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析集合M ＝{a 1，a 2}或{a 1，a 2，a 4}，有2个．故选B. 3．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <13，则(∁R P )∩N ＝()A ．{x |0<x <3}B ．{x |0<x ≤3}C ．{0，1，2，3}D ．{1，2，3}答案 C 解析由题意，得P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <13＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －33x >0＝{x |x >3或x <0}，则(∁R P )∩N ＝{x |0≤x ≤3}∩N ＝{0，1，2，3}．故选C.4．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 A解析由已知得B ＝{(2，1)}，所以B 的子集有2个．故选A.5．已知集合A ＝{x |(x －2)(x ＋2)≤0}，B ＝{y |x 2＋y 2＝16}，则A ∩B ＝( ) A ．[－3，3] B ．[－2，2] C ．[－4，4] D ．∅ 答案 B解析由题意，得A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |－4≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}．故选B.6．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，A ∩(∁U B )＝{3}，则B ＝( )A ．{1，2}B ．{2，4}C ．{1，2，4}D ．∅答案 A解析由∁U (A ∪B )＝{4}，得A ∪B ＝{1，2，3}．由A ∩(∁U B )＝{3}，得3∈A 且3∉B .现假设1∉B ，∵A ∪B ＝{1，2，3}，∴1∈A .又1∉A ∩(∁U B )＝{3}，∴1∉∁U B ，即1∈B ，矛盾．故1∈B .同理2∈B .故选A.7．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2}，则有( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝AD ．A ∩B ＝A答案 C解析 A ＝{x |y ＝x 2－2}＝R ，B ＝{y |y ＝x 2－2}＝[－2，＋∞)，所以B ⊆A ，故A ∪B ＝A .故选C.8．已知集合M 是函数y ＝11－2x的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，则M ∩N ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－4≤x <12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪x <12且y ≥－4D ．∅ 答案 B解析由题意，得M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，N ＝[－4，＋∞)，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，12.故选B.9.若集合U ＝R ，A ＝{1，2，3，4，5}，集合B ＝{x |0<x <4}，则图中阴影部分表示( )A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3}C ．{4，5}D ．{1，4}答案 C解析集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |0<x <4}，图中阴影部分表示A ∩(∁U B )，又∁U B ＝{x |x ≥4或x ≤0}，所以A ∩(∁U B )＝{4，5}．故选C.10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C．1 D．0答案 B解析由y＝2x与y＝x＋1的图象可知，两函数图象有两个交点，如图所示．∴A∩B中元素的个数为2.故选B.11．(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln (1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)≠∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)答案AB解析由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又∁U N＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁U N)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M⊆/(∁U N).故选AB.12．(多选)已知集合A＝{0，1，2}，若A∩(∁Z B)≠∅(Z是整数集合)，则集合B可以为()A．{x|x＝2a，a∈A}B．{x|x＝2a，a∈A}C．{x|x＝a－1，a∈N}D．{x|x＝a2，a∈N}答案ABD解析由题意知，集合A＝{0，1，2}．{x|x＝2a，a∈A}＝{0，2，4}，则A∩(∁Z B)＝{1}≠∅，A满足题意；{x|x＝2a，a∈A}＝{1，2，4}，则A∩(∁Z B)＝{0}≠∅，B 满足题意；{x|x＝a－1，a∈N}＝{－1，0，1，2，3，…}，则A∩(∁Z B)＝∅，C 不满足题意；{x|x＝a2，a∈N}＝{0，1，4，9，16，…}，则A∩(∁Z B)＝{2}≠∅，D 满足题意．故选ABD.二、高考小题13．(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4} 答案 B解析因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}．故选B.14．(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3}答案 B解析由题意可得∁U B ＝{1，5，6}，故A ∩(∁U B )＝{1，6}．故选B. 15．(2021·全国甲卷)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4C ．{x |4≤x <5}D ．{x |0<x ≤5} 答案 B解析由已知得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4.故选B.16．(2021·全国乙卷)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z 答案 C解析因为s ＝2n ＋1，n ∈Z ，当n ＝2k ，k ∈Z 时，s ＝4k ＋1，k ∈Z ；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，s ＝4k ＋3，k ∈Z ，所以TS ，S ∩T ＝T .故选C.17．(2021·天津高考)设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，则(A ∩B )∪C ＝( )A ．{0}B ．{0，1，3，5}C ．{0，1，2，4}D ．{0，2，3，4}答案 C解析 ∵A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，∴A ∩B ＝{1}，∴(A ∩B )∪C ＝{0，1，2，4}．故选C.18．(2020·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B ＝( )A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4} 答案 C解析 A ∪B ＝[1，3]∪(2，4)＝[1，4).故选C.19．(2020·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案 B 解析 ∵A ＝{x |x2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，∴－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.20．(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 C解析由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以A ∩B 中的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，共4个．故选C.三、模拟小题21．(2022·江苏镇江市第一中学高三上学期期初考试)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈N}，集合B＝{x|x2＋x－6＝0}，则A∩B＝()A．{2} B．{－3，2}C．{－3，1} D．{－3，0，1，2}答案 A解析集合A＝{x||x|≤2，x∈N}＝{0，1，2}，集合B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}．故选A.22．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知全集U＝R，设集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－1<0}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{x|x≤3} B．{x|－3≤x<1}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|1≤x≤3}答案 D解析由题意得，A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<1}，∴∁U B＝{x|x≥1}，∴A ∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}．故选D.23．(2021·新高考八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪(∁R N)＝()A．∅B．M C．N D．R答案 B解析解法一：∵∁R M⊆N，∴M⊇∁R N，据此可得M∪(∁R N)＝M.故选B.解法二：如图所示，设矩形区域ABCD 表示全集R ，矩形区域ABHE 表示集合M ，则矩形区域CDEH 表示集合∁R M ，矩形区域CDFG 表示集合N ，满足∁R M ⊆N ，结合图形可得M ∪(∁R N )＝M .故选B.24．(2021·河南南阳模拟)设集合P ＝{3，log 2a }，Q ＝{a ，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q ＝( )A ．{3，0}B ．{3，0，1}C ．{3，0，2}D ．{3，0，1，2}答案 B解析 ∵P ∩Q ＝{0}，∴log 2a ＝0，∴a ＝1，从而b ＝0，∴P ∪Q ＝{3，0，1}．故选B.25．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪y ＝ x －4x －7，集合B ＝{3，4，5，6，7}，则A ∩B ＝( ) A ．(3，4) B ．{3，4} C ．[3，4] D ．{3，4，7} 答案 B解析由x －4x －7≥0得⎩⎨⎧（x －4）（x －7）≥0，x ≠7，得x ≤4或x >7，所以A ＝{x |x ≤4或x >7}，因为B ＝{3，4，5，6，7}，所以A ∩B ＝{x |x ≤4或x >7}∩{3，4，5，6，7}＝{3，4}．故选B.26．(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)已知集合M ＝{x |1－a <x <2a }，N ＝(1，4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，2答案 C解析因为M ⊆N ，而∅⊆N ，所以当M ＝∅时，2a ≤1－a ，则a ≤13；当M ≠∅时，M ⊆N ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a <2a ，1－a ≥1，2a ≤4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >13，a ≤0，a ≤2，无解．综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.故选C. 27．(2022·湖南长沙长郡中学高三上开学考试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪12<2x ＋1<16，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若1∈A ∩B ，则A ∪B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 答案 D 解析由题可知，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪12<2x ＋1<16，即2－1<2x ＋1<24，解得－2<x <3，又x ∈N ，所以A ＝{0，1，2}．因为1∈A ∩B ，则1∈B ，所以1－4＋m ＝0，解得m ＝3，所以B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}．故选D.28．(多选)(2021·江苏沭阳如东中学测试)设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值可以为( )A ．15B ．0C ．3D ．13 答案 ABD解析 ∵x 2－8x ＋15＝0的两个根为3和5，∴A ＝{3，5}，∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{3}或B ＝{5}或B ＝{3，5}，当B ＝∅时，满足a ＝0即可，当B ＝{3}时，满足3a －1＝0，∴a ＝13，当B ＝{5}时，满足5a －1＝0，∴a ＝15，当B ＝{3，5}时，显然不符合条件，∴实数a 的值可以是0，13，15.故选ABD.29．(多选)(2021·山东滨州模拟)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中的真命题有( )A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集B ．若S 为封闭集，则一定有0∈SC ．封闭集一定是无限集D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集答案 AB解析因为两个复数的和是复数，两个复数的差是复数，两个复数的积也是复数，所以集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集，A 正确；当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，B 正确；集合S ＝{0}显然是封闭集，但S 是有限集，C 错误；取S ＝{0}，T ＝{0，1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0－1＝－1不属于T ，故T 不是封闭集，D 错误．故选AB.30．(多选)(2022·湖南衡阳模拟)对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合M ，N ，定义集合M ⊗N ＝{x |f M (x )·f N (x )＝－1}．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{1，2，4}，则下列结论正确的是( )A ．1∈A ⊗B B ．2∈A ⊗BC ．4∉A ⊗BD ．A ⊗B ＝B ⊗A答案 ACD解析由题意知，f A (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈{2，4，6}，1，x ∉{2，4，6}，f B (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈{1，2，4}，1，x ∉{1，2，4}．当x ＝1时，f A (1)＝1，f B (1)＝－1，所以f A (1)f B (1)＝1×(－1)＝－1，故1∈A ⊗B ，A 正确；当x ＝2时，f A (2)＝－1，f B (2)＝－1，所以f A (2)f B (2)＝(－1)×(－1)＝1，故2∉A ⊗B ，B 错误；当x ＝4时，f A (4)＝－1，f B (4)＝－1，所以f A (4)f B (4)＝(－1)×(－1)＝1，故4∉A ⊗B ，C 正确；由定义及乘法的交换律可知，D 正确．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2021·江西南昌高三模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2≤x ≤4}．(1)求A ∩(∁U B )；(2)若集合C ＝{x |a ≤x ≤4a ，a >0}，满足C ∪A ＝A ，C ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意，得A ＝{x |－1≤x ≤5}，∁U B ＝{x |x <2或x >4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x <2或4<x ≤5}．(2)由C ∪A ＝A 得C ⊆A ，则⎩⎨⎧a ≥－1，4a ≤5，解得－1≤a ≤54.由C ∩B ＝B 得B ⊆C ，则⎩⎨⎧a ≤2，4a ≥4，解得1≤a ≤2. 从而实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪1≤a ≤54.2．(2022·云南师大附中月考)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤4，B ＝{x |x 2＋(b －a )x －ab ≤0}．(1)若A ＝B 且a ＋b <0，求实数a ，b 的值；(2)若B 是A 的子集，且a ＋b ＝2，求实数b 的取值范围．解 (1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤4＝{x |－1≤x ≤2}，∵a ＋b <0，∴a <－b ，∴B ＝{x |(x －a )(x ＋b )≤0}＝{x |a ≤x ≤－b }， ∵A ＝B ，∴a ＝－1，b ＝－2.(2)∵a ＋b ＝2，∴B ＝{－b ≤x ≤2－b }， ∵B 是A 的子集，∴－b ≥－1且2－b ≤2，解得0≤b ≤1，即实数b 的取值范围为[0，1].考点测试2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，低难度考纲研读1.理解命题的概念2．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义3．理解全称量词与存在量词的意义4．能正确地对含有一个量词的命题进行否定一、基础小题1．下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是()A．a－1>b B．a＋1>bC．|a|>|b| D．a3>b3答案 B解析寻找使a>b成立的必要不充分条件，若a>b，则a＋1>b一定成立，a3>b3也一定成立，但是当a3>b3成立时，a>b也一定成立．故选B.2．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数答案 D解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，把“所有”改为“至少有一个”，“是”的否定为“不是”，故命题“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”．故选D.3．命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是()A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∃x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 答案 A解析存在量词命题的否定为全称量词命题，所以∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.故选A.4．已知0<α<π，则“α＝π6”是“sin α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵0<α<π，则α＝π6⇒sin α＝12，sin α＝12⇒α＝π6或α＝5π6，∴已知0<α<π，则“α＝π6”是“sin α＝12”的充分不必要条件．故选A.5．“直线l 与曲线C 只有一个交点”是“直线l 与曲线C 相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析若直线l 与曲线C 只有一个交点，直线l 与曲线C 不一定相切，比如当直线l 与双曲线的渐近线平行时，直线l 与该双曲线只有一个交点，但不相切；反之，若直线l 与曲线C 相切，直线l 与曲线C 也不一定只有一个交点．6．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－1，3)C．(－3，＋∞) D．(－3，1)答案 B解析因为命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋12≤0”是假命题，所以2x2＋(a－1)x＋12>0在R上恒成立为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4×2×12<0，解得－1<a<3，故实数a的取值范围是(－1，3).故选B.7．(多选)下列命题中，假命题是()A．∃x∈R，使得e x≤0B．a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件C．∀x∈R，2x>x2D．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)答案ACD解析对于A，由指数函数的性质可得e x>0，所以命题“∃x∈R，使得e x ≤0”为假命题；对于B，由a>1，b>1，可得ab>1成立，即充分性成立．反之，例如a＝12，b＝4时，ab>1，所以必要性不成立，所以命题“a>1，b>1是ab>1的充分不必要条件”为真命题；对于C，例如当x＝2时，2x＝x2，所以命题“∀x∈R，2x>x2”为假命题；对于D，当sin x<0时，sin x＋1sin x≥2不成立，所以是假命题．故选ACD.8．(多选)下列叙述中正确的是()A．“a<1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C．“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件D．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”答案AC解析令f (x )＝x 2＋x ＋a ，方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则f (0)<0，则有a <0，∴“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，A 正确；当b ＝0时，若a >c 成立，则ab 2＝0＝cb 2，充分性不成立，B 错误；a >1⇒1a <1，1a <1⇒/a >1，∴“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，C 正确；由ax 2＋bx ＋c ≥0可得a >0，b 2－4ac ≤0或a ＝b ＝0，c ≥0，∴“b 2－4ac ≤0”是“ax 2＋bx ＋c ≥0”的必要不充分条件，D 错误．故选AC.9．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：x ∈(A ∩B )，那么¬p 是________．答案 x ∉A 或x ∉B解析 x ∈(A ∩B )即x ∈A 且x ∈B ，所以其否定为x ∉A 或x ∉B .10．设p ：ln (2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析由p 得，12<x ≤1，由q 得，a ≤x ≤a ＋1，因为q 是p 的必要不充分条件，所以a ≤12且a ＋1≥1，所以0≤a ≤12.11．已知“p ：(x －m )2>3(x －m )”是“q ：x 2＋3x －4<0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析由p 中的不等式(x －m )2>3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)>0，解得x >m ＋3或x <m .由q 中的不等式x 2＋3x －4<0，得(x －1)(x ＋4)<0，解得－4<x <1.因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p 且p ⇒/ q ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.所以实数m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞).12．设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空)答案充分充要解析由题知p ⇒q ⇔s ⇒t ，又t ⇒r ，r ⇒q ，q ⇒s ⇒t ，故p 是t 的充分条件，r 是t 的充要条件．二、高考小题13．(2021·天津高考)已知a ∈R ，则“a >6”是“a 2>36”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a >6，则a 2>36，故充分性成立；若a 2>36，则a >6或a <－6，推不出a >6，故必要性不成立．所以“a >6”是“a 2>36”的充分不必要条件．故选A.14．(2021·北京高考)已知f (x )是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f (x )在[0，1]上单调递增”是“函数f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若函数f (x )在[0，1]上单调递增，则f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)，若f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)，比如f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，故f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)推不出f (x )在[0，1]上单调递增，故“函数f (x )在[0，1]上单调递增”是“函数f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)”的充分而不必要条件．故选A.15．(2021·浙江高考)已知非零向量a ，b ，c ，则“a ·c ＝b ·c ”是“a ＝b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.16．(2021·全国甲卷)等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n.设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案 B解析当a1＝－1，q＝2时，{S n}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n>0，若a1>0，则q n>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则q n<0(n∈N*)，这样的q不存在，所以甲是乙的必要条件．故选B.17．(2020·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析依题意m，n，l是空间中不过同一点的三条直线，当m，n，l在同一平面时，可能m∥n∥l，故不能得出m，n，l两两相交．当m，n，l两两相交时，设m∩n＝A，m∩l＝B，n∩l＝C，根据经过两条相交直线，有且只有一个平面可知m，n确定一个平面α，而B∈m⊂α，C∈n⊂α，根据如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内可知，直线BC即l⊂α，所以m，n，l在同一平面．综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件．故选B.18．(2020·北京高考)已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ①当存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β时，若k 为偶数，则sin α＝sin (k π＋β)＝sin β；若k 为奇数，则sin α＝sin (k π－β)＝sin [(k －1)π＋π－β]＝sin (π－β)＝sin β.②当sin α＝sin β时，α＝β＋2m π或α＋β＝π＋2m π，m ∈Z ，即α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m )或α＝k π＋(－1)k β(k ＝2m ＋1)，即存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β.所以，“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充分必要条件．故选C.19．(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，不等式两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →||AC →|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →||AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →||AC →|cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C.三、模拟小题20．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)命题p ：∃x ∈[0，＋∞)，e x <x 2－x 的否定为( )A ．∃x ∈[0，＋∞)，e x ≥x 2－xB ．∀x ∈[0，＋∞)，e x ≥x 2－xC ．∃x ∈(－∞，0)，e x ≥x 2－xD ．∀x ∈(－∞，0)，e x ≥x 2－x 答案 B解析命题p ：∃x ∈[0＋∞)，e x <x 2－x 的否定为∀x ∈[0，＋∞)，e x ≥x 2－x .故选B.21．(2022·福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))“a <2”是“∀x >0，a ≤x ＋1x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若∀x >0，a ≤x ＋1x ，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ，因为x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x 时等号成立，所以a ≤2，因为{a |a <2}{a |a ≤2}，所以“a <2”是“∀x >0，a ≤x＋1x ”的充分不必要条件．故选A.22．(2022·北京交通大学附属中学高三开学考试)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋an ，则“a 2>a 1”是“数列{a n }单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析数列{a n}单调递增⇔a n＋1>a n，可得n＋1＋an＋1>n＋an，化为a<n2＋n，∴a<2.由a2>a1可得2＋a2>1＋a，∴a<2.∴“a2>a1”是“数列{a n}单调递增”的充要条件．故选C.23．(2021·山东潍坊一中模拟)已知△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“a2＋b2＝2c2”是“△ABC为等边三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当a＝1，b＝3，c＝2时，满足△ABC三边关系与a2＋b2＝2c2，但△ABC不是等边三角形；当△ABC为等边三角形时，a2＋b2＝2c2成立．故“a2＋b2＝2c2”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件．故选B.24．(多选)(2021·湖北恩施高三模拟)下列选项中，能作为x＞y的充分条件的是()A．xt2＞yt2B．点(x，y)是曲线x3－y3－x2＝1上的点C．1x＜1y＜0D．点(x，y)是双曲线x2－y2＝1上的点答案ABC解析由题意，对于A，由xt2>yt2，可知t2＞0，可得x＞y成立，所以A正确；对于B，点(x，y)是曲线x3－y3－x2＝1上的点，则x3－y3＝1＋x2>0，可得x 3＞y 3，即x ＞y 成立，所以B 正确；对于C ，由1x ＜1y ＜0，可得x ＜0，y ＜0，又由1y －1x ＝x －y xy ＞0，可得x －y >0，即x ＞y 成立，所以C 正确；对于D ，点(x ，y )是双曲线x 2－y 2＝1上的点，可得x 2＞y 2，不一定得到x ＞y 成立，所以D 不正确．故选ABC.25．(多选)(2021·广东中山模拟)有限集合S 中元素的个数记作card(S )，设A ，B 都为有限集合，则下列命题中的真命题是( )A ．A ∩B ＝∅的充要条件是card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )B ．A ⊆B 的必要条件是card(A )≤card(B )C ．A ⊆/B 的充要条件是card(A )≤card(B )D ．A ＝B 的充要条件是card(A )＝card(B )答案 AB解析 A ∩B ＝∅，集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确；A ⊆B ，集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确；A ⊆/B ，集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C 错误；A ＝B ，集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误．故选AB.26．(2022·湖南湘潭高三模拟)用实数m (m ＝0或1)表示命题p 的真假，其中m ＝0表示命题p 为假，m ＝1表示命题p 为真，设命题p ：∀x ∈Z ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －23≥a (a ∈R ).(1)当a ＝2时，m ＝________；(2)当m ＝1时，实数a 的取值范围为________．答案 (1)0 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56 解析 (1)当a ＝2时，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －23≥2对x ＝1不成立，所以命题p 为假命题，故m ＝0.(2)因为m ＝1，所以命题p 为真命题，令f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －23，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧76－2x ，x ≤12，16，12<x <23，2x －76，x ≥23，所以当x ≤12时，f (x )为减函数，当x ≥23时，f (x )为增函数，要使∀x ∈Z ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －23≥a 成立，只需x ＝0和x ＝1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －23≥a 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤76，a ≤56，得a ≤56.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2021·山东青岛高三模拟)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －6x ＋3>0，B ＝{x ∈R |2x 2－(a ＋10)x ＋5a ≤0}．(1)若B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围；(2)从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B ⊆∁R A 的什么条件(充分必要性).①a ∈[－7，12)；②a ∈(－7，12]；③a ∈(6，12].注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解 (1)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －6x ＋3>0＝(－∞，－3)∪(6，＋∞)，所以∁R A ＝[－3，6]，集合B ＝{x ∈R |2x 2－(a ＋10)x ＋5a ≤0}＝{x ∈R |(2x －a )(x －5)≤0}，若B ⊆∁R A ，且5∈∁R A ＝[－3，6]，只需－3≤a 2≤6，所以－6≤a ≤12.故实数a 的取值范围为[－6，12].(2)由(1)可知B ⊆∁R A 的充要条件是a ∈[－6，12].选择①，则结论是既不充分也不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是充分不必要条件．2．(2021·江苏无锡惠山校级期中)已知命题p ：方程x 2k ＋5＋y 23－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋kx ＋2k ＋5≥0恒成立；命题r ：1－m <k <1＋m (m >0).(1)若命题p 与命题r 互为充要条件，求实数m 的值；(2)若命题q 是命题r 的必要不充分条件，求正数m 的取值范围．解若方程x 2k ＋5＋y 23－k＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k ＋5>3－k >0，解得－1<k <3，故p 为真命题时，－1<k <3；若∀x ∈R ，x 2＋kx ＋2k ＋5≥0恒成立，则Δ＝k 2－4(2k ＋5)≤0，解得－2≤k ≤10，故q 为真命题时，－2≤k ≤10.(1)若命题p 与命题r 互为充要条件，则(－1，3)＝(1－m ，1＋m )，解得m ＝2.(2)若命题q 是命题r 的必要不充分条件，则(1－m ，1＋m )[－2，10]，则⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，等号不同时成立，解得m ≤3，故正数m 的取值范围是(0，3].。

高三数学(理)总复习--金版教程《高效作业》带详解答案1-1

第1章第1节一、选择题1. 集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A. {t |0≤t ≤3}B. {t |－1≤t ≤3}C. {(－2，1)，(2，1)}D. Ø 答案：B解析：∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．故选B.2. 已知全集U 为实数集R ，集合M ＝{x |x ＋3x －1<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则右图中阴影部分表示的集合是( )A. [－1,1]B. (－3,1]C. (－∞，－3]∪[－1，＋∞)D. (－3，－1)答案：D解析：∵M ＝{x |x ＋3x －1<0}＝{x |－3<x <1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩∁U N ＝{x |－3<x <－1}，所以选D.3. 若A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( )A. A ⊆CB. C ⊆AC. A ≠CD. A ＝Ø答案：A解析：因为A ⊆A ∪B 且B ∩C ⊆C ，A ∪B ＝B ∩C ，由题意，得A ⊆C ，所以选A.4. 定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,5}，则A *B 的子集个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 答案：D解析：由题意知：A *B ＝{1,7}．故A *B 的子集有22＝4个．故选D.5. (2010·福建质检一)已知集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B＝Ø的充要条件是( )A. 0≤a ≤2B. －2<a <2C. 0<a ≤2D. 0<a <2 答案：A解析：如果A ∩B ＝Ø，根据数轴有⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2a ＋2≤4，解得0≤a ≤2.6. (2010·衡水调研)已知集合A ＝{x |x 2＋52x ＋1＝0}，B ＝{y |y ＝x 2＋a ，x ∈R }，若A ∩B ≠Ø，则a 的取值范围是( )A. (－∞，－12] B. (－12，＋∞) C. [－4，－14] D. (－∞，－2]答案：A解析：依题意得，A ＝{x |x 2＋52x ＋1＝0}＝{－12，－2}，B ＝{y |y ＝x 2＋a ，x ∈R }＝{y |y ≥a }，若A ∩B ≠Ø，则需a ≤－12，故选A. 二、填空题7. 已知集合A ＝{x |x 2－2x <3}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝________.答案：(－1,2]解析：因A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}＝(－1,3)，所以A ∩B ＝(－1,2]．8. (2010·南京调研)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．答案：±2解析：根据题意知a 2＝4，所以a ＝±2.9. (2010·宜昌调研)对于集合N ＝{1,2,3，…，n }及其每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集中的元素，然后从最大数开始交替地减，加后所得的数，例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为5，当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3的情况，计算它的“交替和”的总和S 3＝________，并根据其结果猜测集合N ＝{1,2,3，…，n }的“交替和”的总和S n ＝________.答案：n ·2n －1解析：当n ＝3时，集合N ＝{1,2,3}的所有非空子集是{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，它的“交替和”的总和S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12.由S 1＝1，S 2＝4＝2×2，S 3＝12＝3×22，归纳猜想S n ＝n ·2n －1. 三、解答题10. (2010·湖北调研)设全集U ＝R ，函数y ＝log 2(6－x －x 2)的定义域为A ，函数y ＝1x 2－x －12的定义域为B . (1)求集合A 与B ；(2)求A ∩B 、(∁U A )∪B .解：(1)函数y ＝log 2(6－x －x 2)要有意义需满足：6－x －x 2>0，解得－3<x <2， ∴A ＝{x |－3<x <2}．函数y ＝1x 2－x －12要有意义需满足x 2－x －12>0，解得x <－3或x >4， ∴B ＝{x |x <－3或x >4}．(2)A ∩B ＝Ø.∁U A ＝{x |x ≤－3或x ≥2}，∴(∁U A )∪B ＝{x |x ≤－3或x ≥2}．11. 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．12. (2010·揭阳模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，∴a >0.∴解不等式f (x )＝ax 2＋x <0，得集合A ＝(－1a，0)． (2)由B ＝{x ||x ＋4|<a }，解得B ＝(－a －4，a －4)，∵集合B 是集合A 的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－a －4≥－1a a －4≤0，，解得0<a ≤5－2.。

高中数学金版教程选修1-2课件B2-1-2

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01课前自主预习 02课堂互动探究 03随堂达标自测 04课后课时精练
A ·数学 ·选修1-2
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理．( × ) (2)演绎推理的结论一定是正确的．( × ) (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( × )
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01课前自主预习
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01课前自主预习 02课堂互动探究 03随堂达标自测 04课后课时精练
A ·数学 ·选修1-2
用三段论写推理过程的技巧 (1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系． (2)有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略． (3)在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提．
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[跟踪训练1] 把下列推断写成三段论的形式： (1)因为△ABC 三边的长依次为 3,4,5，所以△ABC 是直角三角形； (2)函数 y＝2x＋5 的图象是一条直线；
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导果 1.演绎推理从一种一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简而言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 2．演绎推理的一般模式 (1)大前提—— 已知的一般原理； (2)小前提—— 所研究的特殊情况； (3)结论—— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
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金版教程·高三总复习人教数学(理)2第8章第2讲

1 l2：x＋my＝0，若 l1∥l2，则斜率相等，截距不同，故有－2＝ 1 －m，∴m＝2 成立．
第八章第2讲
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(2)x＋y－8＝0
提示：所求直线的斜率为－1，利用点
斜式方程可以写为 y－6＝－1(x－2)，x＋y－8＝0. 2. x1－x22＋y1－y22 |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 |C1－C2| A2＋B2 x2＋y2
解析：(1)由已知可得l2的斜率必存在，
∴k2＝1－a. 若k2＝0，则1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0. 又∵l1过(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，
即b＝3a－4(不合题意)．
第八章第2讲
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|－2－24| 26 d＝ 2 2＝13＝2. 5 ＋12 (2)提示：设所求的直线为 3x＋4y＋m＝0，利用平行直线间的距离公式 |m＋5| |m＋5| d＝ 2 2＝ 5 ＝3，∴m＝10，m＝－20. 3 ＋4 故所求的直线为 3x＋4y＋10＝0，或 3x＋4y－20＝0.
第八章第2讲
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第2讲
两直线的位置关系
第八章第2讲
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不同寻常的一本书，不可不读哟！
第八章第2讲
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2023金版教程高中新课程创新导学案数学必修一

2023金版教程高中新课程创新导学案数学必修一导学目的：1.了解数学必修一的总体要求和教学内容，对数学课程有一个整体的把握。

2.对数学必修一的学习重点和难点有清晰的认识，为后续学习做好准备。

3.掌握数学学科的学习方法和解题技巧，提高数学学科的学习效率和成绩。

导学重点：1.数的集合与逻辑推理2.函数与方程3.三角函数4.几何向量5.数学归纳法与数学证明导学难点：1.函数与方程的转化和运用2.三角函数的图象和性质理解3.几何向量的运用4.数学归纳法与数学证明的应用导学内容：1.数的集合与逻辑推理1.1 数的分类和定义1.2 集合的概念和运算1.3 数与集合的关系1.4 命题与逻辑连接词2.函数与方程2.1 函数的概念及表示2.2 函数的性质2.3 一次函数和二次函数2.4 方程的解法3.三角函数3.1 角度与弧度3.2 三角函数的概念3.3 三角函数的图象和性质3.4 三角函数的运用4.几何向量4.1 向量的概念和表示4.2 向量的运算4.3 向量的应用5.数学归纳法与数学证明5.1 数学归纳法的原理5.2 数学归纳法的应用场景5.3 数学证明的方法和技巧6.学习方法与解题技巧6.1 夯实基础，逐步深入6.2 多做练习，多思考问题6.3 掌握解题技巧，提高解题效率导学建议：1.认真预习课本内容，对各个知识点有一个初步的了解和认识。

2.课上认真听讲，积极参与课堂讨论和互动，及时解决自己的疑问。

3.课下多做相关的练习题，巩固所学知识，培养自己的解题能力和思维能力。

4.相互合作，多借助同学和老师的帮助，共同提高。

结语：数学必修一作为高中新课程改革的一部分，学科设置和教学内容都有明显的创新和提升。

通过本次的导学案，相信同学们对数学必修一的学习目标和重点有了更清晰的认识，也对如何有效地学习数学有了更明晰的思路。

希望同学们能够在学习数学的过程中勇往直前，不断提高自己的数学水平，取得优异的成绩。

在高中新课程改革中，数学必修一作为学生整个高中数学学科学习的开端，教学内容更趋于严谨、深入和扎实。

【金版教程】高考数学总复习-8

• 最新考纲解读 • 1．了解解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题的方法． • 2．理解轨迹的概念，能够根据所给条件选择适当的直角坐标
系，运用求轨迹的常用方法求曲线的轨迹方程．
• 3．掌握求动点的轨迹方程的几种常见方法．
• 高考考查命题趋势
• 1．求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是高考的热点．
和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，
• ∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，
• ∴圆心轨迹方程为
＝1.轨迹是椭圆.
例 2 过双曲线 C：x2－y32＝1 的右焦点 F 作直线 l
• (2)若求轨迹，则不仅要求求出其轨迹方程，而且还需要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚．最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性．
• 2．估计2011年高考对求轨迹方程仍是重点
• (1)对于求曲线(或轨迹)的方程这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考查学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力．
()
• A．x2－y2＝10
B．x2＋y2＝10
• C．x2＋y2＝38
D．x2－y2＝38
• [解析] 设动点的坐标为(x，y)由题意得：
• (x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝38，
• 化简得：x2＋y2＝10.
• [答案] B
• 2．若的轨迹是
• A．圆 • C．双曲线
－|x－y＋3|＝0，则点M(x，y) ()
②若直线 l 不垂直于 x 轴，设其方程为 y－2＝k(x －1)，即：kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离

高二必修二数学金版教程

高二必修二数学金版教程《高二必修二数学金版教程》是一本针对高二学生的数学教材，由教育部编写，金版出版社出版。

本教材全面系统地介绍了高二数学的知识点和解题方法，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

下面将从教材的结构、内容以及特点等方面进行详细介绍。

首先，教材的结构分为基础部分、拓展部分和提高部分三个部分。

基础部分主要是复习和巩固高一数学的基础知识，包括数与式、函数与方程、数列与数学归纳法等内容。

拓展部分则是进一步拓展和应用基础知识，包括二次函数、指数函数、对数函数等内容。

提高部分则是针对高二学生的学习特点，进行综合性的提高训练，包括综合题、应用题等。

其次，教材的内容覆盖了高中数学的各个知识点，涵盖了基础知识和拓展知识。

教材中的例题和习题设计合理，贴近学生的实际生活和学习需求，让学生能够真正理解和掌握知识点。

教材中还有丰富的解题方法和思路，能够帮助学生培养解决问题的能力和思维方式。

此外，教材还注重培养学生的实践能力和创新精神，通过大量的实例和综合题，引导学生运用所学的数学知识解决实际问题。

最后，教材的特点主要有以下几个方面。

首先，教材内容紧扣高考要求，涵盖了高考数学的各个知识点和题型，具有很强的针对性和实用性。

其次，教材的编写风格简洁明了，语言通俗易懂，使学生更容易理解和掌握知识点。

再次，教材注重知识的系统性和连贯性，前后知识点之间有很好的衔接和联系，帮助学生形成完整的数学知识体系。

最后，教材中还提供了大量的习题和练习题，帮助学生巩固和强化所学知识，提高解题能力。

总之，《高二必修二数学金版教程》是一本全面系统的数学教材，内容丰富，编排合理，具有较强的实用性和针对性。

通过学习教材，学生能够全面提高数学素养和解题能力，为高考提供有力的支持。

《金版教程》2023高考科学复习创新方案 (3)

《金版教程》2023高考科学复习创新方案2023高考科学复习创新方案《金版教程》包含以下几个创新方面：1. 知识点筛选和精炼：《金版教程》将针对科学科目中的重点知识点进行深度筛选和精炼，去除冗余和不必要的内容，着重突出高考考点和专注于学科核心内容。

这样一来，学生可以更加有针对性地进行复习，节约宝贵的复习时间。

2. 引入案例分析和实践操作：除了传统的知识讲解和练习题，《金版教程》还将引入更多实际案例分析和实践操作。

通过实际案例分析，学生可以更好地理解知识点的应用和实际意义；通过实践操作，学生可以锻炼科学实验、观察和数据分析等技能，帮助他们更好地应对考试中的实操题。

3. 提供在线互动学习平台：《金版教程》将提供一个在线互动学习平台，学生可以在平台上与老师和其他学生进行实时互动，讨论问题、解答疑惑，还可以参加在线小测验和模拟考试，帮助他们及时发现问题、强化学习效果。

4. 设计个性化学习路径：《金版教程》将根据每个学生的学习情况和能力水平，设计个性化学习路径。

通过分析学生的学习数据和表现，系统可以为每个学生推荐适合他们的学习资料和教学活动，帮助他们充分发挥自己的潜力，并有针对性地进行巩固和提高。

5. 集中复习和强化训练营：《金版教程》将定期组织集中复习和强化训练营，为学生提供高强度、高质量的学习和训练机会。

在复习和训练营中，学生可以与其他优秀学生进行切磋，共同进步。

此外，还将邀请一线名师和学科专家进行专题讲座和辅导，让学生获得更加系统和深入的知识内容。

通过以上创新方案，《金版教程》可以帮助学生更加高效地进行科学复习，提高复习效果和考试成绩。

同时，学生将享受到个性化学习，实践操作和在线互动的学习体验，培养科学实践能力和综合素质。

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直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．包括0°角、直角、锐角，因此直线和平面所成角的范围是 0，.π2求斜线与平面所成的角一般步骤：
①找出斜线在给定平面内的射影；②指出并论证斜线与平面所成的角；③在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角．
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5．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面a内的____________________，我们就说直线a与平面α互相垂直．
6．过一点有且只有一条直线与平面垂直，同样， ____________________.
7．从平面外一点引平面的垂线， ____________________，叫做这个点到这个平面的距离．
5．任意一条直线都垂直 6．过一点有且只有一个平面与直线垂直 7．这个点和垂足间的回
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8．直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的______，那么这条直线垂直于这个平面．
(2)符号语言：假设________，________，________， ________，________，那么l⊥α.
(1)文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．简称为：“____________________〞．
(2)符号语言：假设______∥________，______， ________，那么l∥m.

金版教程高三数学知识点

金版教程高三数学知识点一、函数与极限1. 函数的定义与性质1.1 函数的定义1.2 定义域与值域1.3 奇偶性与周期性2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 无穷大与无穷小2.3 函数的连续性二、导数与微分1. 导数的概念与求法1.1 导数的定义1.2 函数的可导性与导数的存在性1.3 导数的基本性质2. 微分的概念与应用2.1 微分的定义2.2 微分中值定理2.3 凹凸性与拐点三、一元函数的单调性与曲线图像1. 单调性的判定与其在曲线上的应用 1.1 单调性的判定条件1.2 单调性在曲线绘制中的应用2. 曲线图像的绘制与性质探究2.1 一阶导数与曲线的变化趋势2.2 二阶导数与凹凸性2.3 曲线的渐近线与拐点四、不等式与等式1. 不等式的性质与解法1.1 不等式的基本性质1.2 一元一次不等式的解法1.3 二次及高次不等式的解法2. 等式的性质与解法2.1 方程与恒等式的区别2.2 一元方程的解法2.3 二次及高次方程的解法五、数列与数列极限1. 数列的定义与性质1.1 数列的基本概念1.2 数列的递推公式与通项公式1.3 数列的收敛性与发散性2. 数列极限的概念与计算2.1 数列极限的定义2.2 数列极限的性质2.3 数列极限的计算方法六、平面解析几何1. 点、直线与平面的基本性质1.1 点、直线与平面的定义1.2 直线的表示与性质1.3 平面的表示与性质2. 几何图形的方程与轨迹2.1 直线的一般方程2.2 圆的方程与性质2.3 曲线的方程与性质七、空间解析几何1. 空间中点、直线与平面的性质 1.1 点、直线与平面的位置关系 1.2 平面与平面的位置关系1.3 点到直线与平面的距离2. 空间几何体的投影与旋转2.1 平面图形在空间中的投影 2.2 空间几何体的旋转与对称2.3 空间几何体的体积计算以上为金版教程高三数学知识点小节概览，通过学习这些知识点，可以帮助高三学生更好地掌握数学基础。

《金版教程》2023高考科学复习创新方案

《金版教程》2023高考科学复习创新方案引言高考对学生而言是人生关键的一场考试，科学是高考必考的一个重要科目。

为了帮助广大学生更好地复习科学，特推出了《金版教程》2023高考科学复习创新方案。

本文将会详细介绍该方案的内容和特点。

1. 方案概述本方案旨在通过创新的复习模式，帮助学生全面复习科学知识，提高考试成绩。

该方案采用多种教学方法和学习工具，结合课堂教学和自主学习，注重培养学生的实际操作能力和科学思维能力。

2. 方案特点2.1 多元化的学习资源《金版教程》2023高考科学复习创新方案提供了多种多样的学习资源，包括教材、课件、习题集、实验指导书等。

学生可以根据自己的实际情况选择适合自己的学习资源，进行有针对性的复习。

2.2 知识点重点突破本方案通过梳理高考科学考纲，确定重点知识点，并提供详细的讲解和练习题，帮助学生理解和掌握重要知识点，从而更好地应对考试。

2.3 实践与理论相结合《金版教程》2023高考科学复习创新方案注重实践能力的培养。

除了学习理论知识，学生还将参与实验操作，观察实验现象，进行实验分析，从而掌握科学实验的基本方法和思维。

2.4 个性化学习本方案通过分层教学，根据学生的不同实际情况，提供个性化的学习指导。

学生可以根据自己的学习需求和水平进行自主学习，提高学习效果。

3. 方案实施步骤3.1 制定复习计划学生应根据自己的时间安排和学习进度，制定合理的复习计划。

计划中应包括各个科学知识模块的复习时间和复习重点。

3.2 学习教材学生应仔细阅读教材，理解教材内容，并结合教材中的例题进行练习。

3.3 完成习题集学生应根据自己的复习进度，合理安排时间完成习题集中的练习题。

对于做错的题目，学生应仔细分析错误原因，并及时纠正。

3.4 进行实验操作学生应按照实验指导书的要求，进行实验操作，并记录实验过程和实验结果。

在实验分析中，学生应结合理论知识，解释实验现象。

3.5 参与讨论和互助学生可以通过参与讨论和互助，与同学一起解决学习中的问题，互相帮助和学习。

金版教程2022高考数学理二轮复习训练：2-1-3 数列

1.[2021·郑州质检一]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )A.－1 B ．1 C.2 D ．－2答案 D解析 S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2.2.[2021·西安八校联考]在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A.37 B ．36 C.20 D ．19 答案 A解析 a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.3.设数列{a n }是首项为a 1，公差为1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1、S 2、S 4成等比数列，则a 2021＝( )A.4030 B ．4029 C.2022 D.40292 答案 D解析由于S 1、S 2、S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，所以(2a 1＋1)2＝a 1(4a 1＋6)，解得a 1＝12.所以a n ＝12＋(n －1)×1＝n －12(n ∈N *)，故a 2021＝40292，选D.4.已知等比数列{a n }的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A.3＋2 2 B ．3－2 2 C.2＋3 2D ．2＋2 2 答案 A解析设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0.由于a 1，12a 3,2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，解得q ＝1＋2，所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，故选A.5.若a ，b ，c 成等比数列，其中0<a <b <c <1，n ∈N *，且n ≠1，则log a n ，log b n ，log c n 组成的数列( )A.是等比数列B.是等差数列C.每项的倒数成等差数列D.其次项与第三项分别是第一项与其次项的n 次幂答案 C解析解法一：1log c n －1log b n ＝log n c －log n b ＝log n c b ，1log b n －1log a n ＝log n b －log n a＝log n b a ，∵c b ＝b a ，∴1log c n －1log b n ＝1log b n －1log a n ，即各项的倒数成等差数列．故选C.解法二：取a ＝18，b ＝14，c ＝12，n ＝2，则log a n ＝－13，log b n ＝－12，log c n ＝－1，所以各项的倒数成等差数列．故选C.6.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 2＝( )A.34 B ．1 C.43 D.12答案 A解析由题意可设数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公差为d (d ≥0)．由于正项数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 3＝3a 1＋3d .又{S n }。