七年级数学下册 整式的除法(基础)知识讲解
整式的除法笔记
整式的除法笔记
1.定义：
整式除法是将一个整式（被除数）除以另一个整式（除数）的过程，其结果是一个整式或商式。
2.基本法则：
当两个整式相除时，我们可以将其视为分数的形式，即被除数/除数。
例如，对于整式A和B，A ÷ B 可以表示为A/B。
3.多项式除以单项式：
当我们有一个多项式除以一个单项式时，可以将其视为多项式的每一项分别除以该单项式。
例如，对于多项式3x^2 + 4x + 5 和单项式x，结果为3x + 4 + 5/x。
4.除法与乘法的关系：
整式除法与整式乘法是互为逆运算。
这意味着，如果我们有一个整式A除以另一个整式B得到商C，那么A可以表示为B与C的乘积。
5.余数与除式：
当整式除法不能整除时，会有一个余数。
例如，对于多项式5x^2 + 3x + 2 和单项式x+1，商为5x - 2，余数为4。
6.长除法：
当被除数和除数都是多项式时，我们通常使用长除法来找到商和余数。
这种方法类似于我们在小学时学习的长除法，但应用于整式。
7.注意事项：
o确保在除法过程中，除数的每一项都不能为0。
o当整式除法得到的结果是一个多项式时，注意结果的每一项的系数和指数。
o注意余数的存在，它可以帮助我们验证除法的正确性。
8.应用：
整式除法在代数、方程求解、多项式函数等领域都有广泛的应用。
它帮助我们简化复杂的表达式，找到多项式的根，以及解决各种与多项式相关的问题。
整式除法法则公式(一)
整式除法法则公式(一)整式除法法则公式1. 一次整式除法法则公式一次整式除法法则公式用于两个一次整式相除的情况，其公式为：被除式 = 除数× 商 + 余数例如：将被除式3x+5除以除数x+2。
首先，我们找到被除式中与除数的首项3x相乘后，得到3x2+6x。
然后，我们将其减去被除式，得到(3x2+6x)-(3x+5)=3x2+6x-3x-5=3x2+3x-5。
此时，我们可以继续进行整式除法。
继续整除时，我们发现被除式3x2+3x-5中没有与除数x+2的次数匹配的项，因此将剩余的3x2+3x-5作为余数。
因此，将被除式3x+5除以除数x+2的结果为商3与余数3x^2+3x-5。
2. 二次整式除法法则公式二次整式除法法则公式用于两个二次整式相除的情况，其公式为：(被除式) = (除数) × (商) + (余数)例如：将被除式2x^2+5x+3除以除数x+3。
我们首先找到与除数首项2x相乘的结果2x3+6x2，然后将其减去被除式，得到(2x3+6x2)-(2x2+5x+3)=2x3+6x2-2x2-5x-3=2x3+4x2-5x-3。
此时，我们可以继续进行整式除法。
继续整除时，我们发现被除式2x3+4x2-5x-3中没有与除数x+3的次数匹配的项，因此将剩余的2x3+4x2-5x-3作为余数。
因此，将被除式2x2+5x+3除以除数x+3的结果为商2x与余数2x3+4x^2-5x-3。
3. 多次整式除法法则公式多次整式除法法则公式用于两个多次整式相除的情况，其公式与二次整式除法法则公式相同。
例如：将被除式3x3+2x2+5x+1除以除数x^2+2。
我们首先找到与除数首项3x相乘的结果3x2，然后将其减去被除式，得到(3x3+2x2)-(3x2+6x)=3x3+2x2-3x2-6x=3x3-x^2-6x。
此时，我们可以继续进行整式除法。
继续整除时，我们发现被除式3x3-x2-6x中没有与除数x2+2的次数匹配的项，因此将剩余的3x3-x^2-6x作为余数。
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
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感谢聆听
练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
七年级下册数学第一单元整式的乘除压轴题讲解
七年级下册数学第一单元整式的乘除压轴题讲解
整式的乘除是数学中的基础知识，也是数学中重要的部分。
本文将针对七年级下册数学第一单元整式的乘除进行讲解，并提供一道压轴题。
一、整式的乘法
整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，得到一个新的整式的运算。
例如：(2x+3)(x+1) = 2x^2+5x+3
这里的2x+3和x+1就是两个整式，它们相乘之后，得到了一个新的整式2x^2+5x+3。
二、整式的除法
整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，得到一个商式和余数的过程。
例如：(3x^2+5x+4)÷(x+3) = 3x-4+16/(x+3)
这里的3x^2+5x+4是被除数，x+3是除数，3x-4是商，16/(x+3)是余数。
三、压轴题
(2x+3)(3x-5)-(x+4)(x-2)
解题思路：
1、先将括号内的内容乘开，得到整式。
2、再将相同项合并，得到答案。
解题过程：
(2x+3)(3x-5)-(x+4)(x-2)
=6x^2-10x+9x-15-(x^2-2x+4x-8)
=6x^2-x^2-10x+9x-2x+4x-15-8
=5x^2+x-23
因此，压轴题的答案为5x^2+x-23。
总之，整式的乘除是数学中比较基础的知识点，需要掌握好乘法和除法的方法，特别是对于乘法和除法的运算规律进行深入理解，这样才能更好地应用到实际生活中。
整式的除法
整式的除法整式的除法是指将一个多项式被另一个多项式除，得到商和余数的过程。
具体步骤如下：1. 将被除式和除式按照降幂的顺序排列。
2. 将两个多项式的最高次项对齐，即将高次项的系数乘以一个倍数，使得两个多项式的最高次项的系数相等。
3. 用被除式的最高次项去除以除式的最高次项，得到商的最高次项的系数。
4. 将此商的最高次项乘以除式，然后与被除式进行相减，得到一个新的多项式。
5. 重复以上步骤，直到剩余的多项式的次数小于除式的次数为止。
6. 最后剩下的多项式即为余数，而之前得到的各次的商的系数组成的多项式即为商。
例如，计算多项式 (4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) 除以 (2x^2 -x + 3) 的过程如下：最高次项对齐，即 (4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) 除以 (2x^2 -x + 3)。
首先用被除式的最高次项 4x^3 除以除式的最高次项 2x^2，得到商的最高次项系数 2x。
然后将 2x 乘以除式，得到 4x^3 - 2x^2 + 6x。
将这个新的多项式与被除式相减，得到 (3x^2 - 8x + 1)。
接着用被除式的最高次项 3x^2 除以除式的最高次项 2x^2，得到商的次高次项系数 1.5，即1.5x。
将 1.5x 乘以除式，得到 3x^2 - 1.5x + 4.5。
将这个新的多项式与被除式相减，得到 (-9.5x - 3.5)。
用被除式的最高次项 -9.5x 除以除式的最高次项 2x^2，得到商的次次高次项系数 -4.75，即-4.75x。
将 -4.75x 乘以除式，得到 -9.5x^2 + 4.75x - 14.25。
将这个新的多项式与被除式相减，得到 (10x - 12.75)。
最后剩下的多项式 10x - 12.75 即为余数，而之前得到的各次的商的系数组成的多项式 2x + 1.5 + (-4.75) 即为商。
因此，多项式 (4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) 除以 (2x^2 - x + 3) 的结果为商：2x + 1.5 + (-4.75) 余数：10x - 12.75。
整式的除法法则
整式的除法法则整式的除法法则是指在代数学中，对两个整式进行除法运算的规则。
整式的除法法则是代数学中的基本概念，它是解决代数问题的重要工具。
本文将介绍整式的除法法则的基本概念、步骤和相关例题。
一、整式的基本概念在代数学中，整式是由数字、变量和它们的乘积与幂的和构成的式子。
例如，3x^2+2xy-5是一个整式。
整式的除法是指对两个整式进行除法运算，得到商式和余式的过程。
在整式的除法中，被除式和除数都是整式，它们的系数可以是实数，也可以是复数。
二、整式的除法法则整式的除法包括长除法和短除法两种方法。
下面分别介绍这两种方法的具体步骤。
1. 长除法长除法是一种逐步相除的方法，适用于任意整式的除法运算。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项。
（3）用商式的最高次项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
2. 短除法短除法是一种简化的除法方法，适用于除数为一次式的情况。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）用被除式的首项除以除数的首项，得到商式的首项。
（3）用商式的首项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
三、相关例题下面通过一些例题来演示整式的除法法则的具体应用。
例题1：计算多项式(3x^3-5x^2+2x-1)÷(x-2)。
解：按照长除法的步骤进行计算，首先将被除式和除数按照同类项排列：3x^3-5x^2+2x-1÷ x-2然后将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项3x^2。
用3x^2乘以除数x-2，得到一个中间结果3x^3-6x^2。
将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式x^2+2x-1。
初中数学 如何计算整式的除法
初中数学如何计算整式的除法整式的除法是初中数学中的重要内容，它涉及到多项式的运算和化简。
在学习整式的除法时，我们需要掌握一些基本的步骤和方法。
本文将详细介绍如何计算整式的除法，并给出一些例题进行说明。
一、整式的定义首先，我们回顾一下整式的定义。
整式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式。
例如，3x^2-2x+1就是一个整式。
其中，3x^2、-2x和1都是单项式，它们相加得到整式3x^2-2x+1。
二、整式的除法步骤整式的除法可以分为以下几个步骤：1. 确定被除式和除式：被除式是我们要进行除法运算的整式，除式是我们用来除以被除式的整式。
2. 规范被除式和除式的次序：将被除式和除式按照降幂的次序排列，确保最高次项在前。
3. 比较最高次项：将被除式和除式的最高次项进行比较。
a) 如果被除式的最高次项的次数小于除式的最高次项的次数，那么商式为0，余式为被除式。
b) 如果被除式的最高次项的次数大于或等于除式的最高次项的次数，那么继续进行下一步骤。
4. 计算商式的最高次项：将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的最高次项。
5. 用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果。
6. 将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式。
7. 重复步骤4-6，直到被除式的次数小于除式的次数。
8. 最后得到的商式即为整式的商式，被除式除以除式得到的余式即为整式的余式。
三、整式的除法例题现在，我们通过一些具体的例题来演示整式的除法计算。
例题1：计算(3x^3-5x^2+2x-1) ÷ (x-2)解：首先，我们将被除式和除式按照降幂的次序排列：被除式：3x^3-5x^2+2x-1除式：x-2比较最高次项：被除式的最高次项是3x^3，除式的最高次项是x。
被除式的最高次项的次数大于除式的最高次项的次数，我们可以继续进行计算。
计算商式的最高次项：将被除式的最高次项3x^3除以除式的最高次项x，得到3x^2。
用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果：(3x^2)(x-2) = 3x^3-6x^2将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式：(3x^3-5x^2+2x-1) - (3x^3-6x^2) = x^2+2x-1现在，我们将新的被除式x^2+2x-1 作为被除式，继续进行下一步骤。
初中数学 什么是整式的除法
初中数学什么是整式的除法整式的除法是指对两个整式进行除法运算，其中被除数除以除数得到商式和余式的过程。
首先，我们来了解一些整式的基本概念。
整式是由常数项、变量项和它们之间的运算符（加法和减法）组成的代数表达式。
常数项是只包含常数的项，变量项是包含变量和常数的项。
例如，3x² + 2xy - 5 是一个整式，其中3x²是变量项，2xy 是变量项，-5 是常数项。
在整式的除法中，被除数通常是一个多项式，除数通常是一个一元多项式（只有一个变量的多项式）。
我们的目标是找到一个商式和余式，使得被除数等于除数乘以商式加上余式。
让我们通过一个例子来说明整式的除法过程：假设我们要计算(2x³ + 5x² - 3x + 1) ÷ (x - 1)。
首先，我们将被除数和除数按照降幂排列，即按照变量的指数从高到低排列。
在这个例子中，被除数已经按照降幂排列，除数为x - 1。
接下来，我们将除数的第一项x 与被除数的第一项2x³进行除法运算。
x 除以2x³等于(1/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(1/2)x³ - (1/2)x²。
然后，我们将这个结果与被除数进行减法运算，得到(2x³ + 5x² - 3x + 1) - ((1/2)x³ - (1/2)x²) = (3/2)x³ + (5/2)x² - 3x + 1。
接下来，我们重复上述步骤。
将除数的第一项x 与新的被除数的第一项(3/2)x³进行除法运算，得到(3/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(3/2)x³ - (3/2)x²。
然后，我们将这个结果与新的被除数进行减法运算，得到(3/2)x³+ (5/2)x²- ((3/2)x³ - (3/2)x²) = 8x² - 3x + 1。
整式的除法(一)
02
CHAPTER
整式除法的基本操作
约分
01
02
03
约分定义
约分是整式除法中的一种 简化运算的方法，通过约 简多项式的分母，将多项 式化为最简形式。
约分步骤
首先识别多项式中的最大 公因式，然后将其约去， 使分母变为最小公倍式。
多定理的证明需要 用到整式除法。例如，证明多项 式函数的根的性质、证明不等式
等。
在物理问题中的应用
求解物理方程
在物理中，许多方程可以通过整式除法化简为一元一次方程 或一元二次方程，方便求解。例如，弹性力学中的应力-应变 关系、电路分析中的欧姆定律等。
计算物理量
在物理中，许多物理量的计算需要用到整式除法。例如，计 算速度、加速度、角速度等物理量时，需要用到整式除法来 计算单位换算和公式变换。
注意事项
约分时要注意保持等式的 等价性，即约分前后多项 式的值不变。
通分
通分定义
通分是将两个或多个分数 的分母统一，以便进行加 减运算的方法。
通分步骤
首先找到各个分数的最小 公倍数，然后将各个分数 化为具有相同分母的形式。
注意事项
通分时要注意保持等式的 等价性，即通分前后各分 数值不变。
乘法与除法的关系
公式法
总结词
公式法是利用整式除法的公式进行计 算的方法，适用于一些特定类型的多 项式除法，可以简化计算过程。
详细描述
公式法是通过使用特定的公式来计算整 式除法。例如，在计算$frac{x^3 - 1}{x - 1}$时，可以利用公式法，得到 $frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$， 进一步化简得到$x^2 + x + 1$。
1.7整式的除法(第1课时)教学课件北师大版中学数学七年级(下)
(3)
3a 2 b 1 a 2 bc a 4b2 c, 3
a 4 b2 c 3a 2 b 1 a 2 bc 3
知识讲授
方法二：利用类似分数约分的方法
(1)x5y÷x2=
x5 y x2
x3 y;
(2)8m2n2÷2m2n=
8m2n2 2m2n
4n;
(3)a4b2c÷3a2b=
a 4b 2c 3a 2b
知识讲授
例2 若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值． 解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2， ∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2， ∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2， 解得a＝36，m＝2，n＝5.
随堂训练
1.填空: ⑴ (60x3y5) ÷(−12xy3) =−5x2y2 ;
(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.
随堂训练
能力挑战:
解：32x-y=32x÷3y =(3x)2÷3y
课堂小结
1. 单项式与单项式相除的法则 单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的 因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数 一起作为商的因式。
(2) (8x6y4z) ÷( −2x4y2z ) =−4x2y2 ;
(3) (
)÷(2x3y3 ) =
(4);若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 ,
则 a =12 , m = 3,n = 2 ;
随堂训练
2.计算12a5b4c4÷(－3a2b2c)÷2a3b2c3，其结果正确的
是( A )
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除后， 作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数一起作为商的一个因式.
初一下册数学知识点：整式的运算知识点总结
初一下册数学知识点：整式的运算知识点总结整式的运算是初一下学期学习的第一章内容，主要讲解了整式的概念、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、整式的乘除法、平方差公式、完全平方公式等。
通过对本篇知识点的学习，相信同学们对整式的运算有了更深的把握，同时也为今后学习数学打下扎实的基础!初一下册数学知识点：整式的运算第四章整式的运算一、整式单项式和多项式统称整式。
a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。
c)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(注意：常数项的单项式次数为0)a)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中，不含字母的项叫做常数项。
一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。
多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。
多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数.a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式.b)括号前面是-号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。
二、同底数幂的乘法(m，n都是整数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：a)法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式;b) 指数是1时，不要误以为没有指数;c)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加;d)当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 (其中m、n、p均为整数);e)公式还可以逆用： (m、n均为整数)a)幂的乘方法则： (m，n都是整数数)是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
北师大版七年级下册数学说课稿：1.7.1《整式的除法》
北师大版七年级下册数学说课稿：1.7.1《整式的除法》一. 教材分析《整式的除法》是北师大版七年级下册数学的一节重要内容。
本节课主要介绍了整式除法的基本概念和运算方法。
通过本节课的学习，学生能够理解整式除法的意义，掌握整式除法的运算规则，并能够运用整式除法解决实际问题。
在教材中，整式除法被安排在代数运算的章节中，与整式的加减乘法相互联系。
在学习本节课之前，学生已经掌握了整式的加减法和乘法运算，这为学习整式除法提供了基础。
整式除法不仅是代数运算的重要组成部分，也是后续学习更复杂代数运算的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的加减法和乘法运算有一定的了解。
然而，学生在学习整式除法时可能会面临一些困难。
首先，整式除法与整式加减乘法的运算规则有所不同，学生需要理解和适应新的运算规则。
其次，整式除法涉及到了除数和商的运算，学生需要理解除数和商之间的关系。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，并给予学生足够的练习机会。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解整式除法的意义，掌握整式除法的运算规则，并能够运用整式除法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作和探究活动，学生能够培养运算能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生兴趣，培养坚持不懈的学习精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握整式除法的运算规则，并能够运用整式除法解决实际问题。
2.教学难点：学生能够理解除数和商之间的关系，并能够正确进行整式除法的运算。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法和小组合作法进行教学。
首先，我会通过提问的方式引导学生思考整式除法的意义和运算规则。
然后，我会学生进行小组合作和探究活动，让学生通过讨论和实践来解决问题。
此外，我还会利用多媒体教学手段，如PPT和数学软件，来进行教学展示和解释。
整式的除法概念及法则
整式的除法概念及法则一、整式的定义整式是代数式的一种形式，它由若干个代数式按照加法和减法运算符连接而成，且每个代数式都是整数或有理数的乘积。
整式通常用字母表示未知数，也可以用具体数字表示。
二、整式的除法概念整式的除法即将一个整式除以另一个整式的运算。
整式的除法可以简化代数式的表达，使得计算更加简便。
1. 一般的除法过程整式的除法过程与算术中的除法类似，主要包括以下步骤： - 将除式与被除式按照一定规则对齐。
- 依次将被除式里的每一项与除式的首项进行除法运算。
- 求商的步骤需要使用乘法和减法运算。
- 直至被除式的所有项都进行了除法运算，最后的余数项可以保留或继续进行进一步的合并化简。
2. 整式的除法的结果若整式A除以整式B的结果为整式C，则满足等式：A = B * C。
其中，整式C称为A除以B的商，若除法运算有余数，则余数也是整式。
三、整式除法的基本法则整式的除法具有一些基本的法则，我们可以根据这些法则进行整式的除法运算。
1. 除法的可逆性对于任意非零的整式A、B和C来说，若A除以B的商为C，则A除以C的商等于B，即：A / B = C，则 A / C = B。
2. 除法的唯一性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，同时A除以B的商为D，则C和D相等，即：如果 A / B = C 且 A / B = D ，那么 C = D。
3. 除法的分配性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A加上C乘以B的结果等于A乘以D的商，即： A / B = C 那么 A + C * B = A / D4. 除法的消去性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A乘以D除以B乘以D的商等于C，即：如果 A / B = C ，那么 A * D / B * D = C。
四、整式除法的具体步骤整式除法的具体步骤如下： 1. 根据除法的定义，对于被除式和除式进行合理的排列，确保每一项按照幂次降序排列。
《整式的除法》整式的运算
与方程式的解法的综合应用
代数方程的解法
利用整可以找到方程的根 。
方程的根的性质
通过整式除法，可以进一步研究方程的根的性质，例如根的乘积、根的加法、根的减法等。
与因式分解的综合应用
因式分解与整除
整式除法中的整除与因式分解有着密切 的联系，通过整除可以将一个多项式分 解为若干个一次因式的乘积。
逆用公式
在解决复杂的整式除法问 题时，可以逆用一些基本 公式，简化计算过程。
借助工具
使用一些数学工具，如因 式分解、三角函数等，来 解决复杂的整式除法问题 。
如何进行一题多解的整式除法练习
尝试不同的解法
01
对于同一道整式除法题目，尝试使用不同的解法来解决，开拓
思路。
总结各种解法的优缺点
02
在尝试不同的解法之后，总结各种解法的优缺点，找出最优解
整式除法的应用举例
多项式除以单项式
将一个多项式除以一个单项式，得到商和余数。
多项式除以多项式
将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
整式的约分
通过约分简化整式的计算。
整式的通分
通过通分将不同的分母变为相同的分母，便于计算。
03
整式除法的计算技巧
提公因式法
总结词
提公因式法是一种通过提取多项式中的公因式来简化计算的 方法。
分组分解法
总结词
分组分解法是一种通过分组来分解多项式的方法。
详细描述
分组分解法基于多项式的结构特点，将多项式分成若干组，然后分别对每组进行因式分解。在整式除法中，分组 分解法可以用于分解被除式和除式，从而得到商和余数。使用分组分解法需要熟练掌握因式分解的方法和技巧， 以及对多项式结构的识别能力。
整式的除法的公式
整式的除法的公式整式的除法，这可是数学世界里一个挺有趣的小领域呢！咱们先来说说整式除法中最基础的公式，就像打开这扇知识大门的钥匙。
单项式除以单项式，那规则就像是一场巧妙的配对游戏。
比如说，有个式子 6x³ ÷ 3x，先看系数，6÷3=2，再看字母，x³÷x = x²，所以结果就是 2x²。
这就好比你有 6 个苹果要平均分给 3 个人，每个人能拿到2 个。
多项式除以单项式，这可稍微有点复杂啦，但别怕，咱们一步步来。
就像 (9x² + 6x)÷3x，先把多项式的每一项分别除以单项式，9x²÷3x = 3x，6x÷3x = 2，所以结果就是 3x + 2。
这感觉就像是把一大包零食分成几份，每份都分得明明白白。
我记得有一次给学生们讲整式除法的时候，有个小家伙一直皱着眉头，怎么都搞不明白。
我就打了个比方，说这整式除法就像是分蛋糕。
一个大蛋糕（多项式），要平均分给几个小朋友（单项式），得先把蛋糕切成小块（把多项式的每一项拆开），然后再一个一个地分给小朋友，看每个小朋友能拿到多少（分别做除法）。
嘿，这小家伙一下子就眼睛亮了，嘴里还念叨着“分蛋糕，分蛋糕”，然后就把题做对啦！再说说整式除法中的一些小窍门。
要特别注意符号问题，就像走在路上要注意交通信号灯一样。
负号可不能丢了，不然答案就跑偏啦。
还有，做除法的时候要细心，就像绣花一样，一针一线都不能马虎。
总之，整式的除法虽然看起来有点小复杂，但只要掌握了公式和方法，再加上多多练习，就一定能轻松应对。
就像学会了骑自行车，想怎么骑就怎么骑，自由自在！希望同学们在面对整式除法的时候，都能像勇敢的小战士，不怕困难，勇往直前，把这些难题一个个都攻克掉！。
七年级 整式的乘除知识点
七年级整式的乘除知识点整式的乘除是七年级代数学习中的重点内容，也是后续代数计算的基础。
掌握整式的乘法、除法方法，不仅能够帮助学生快速解决代数式计算问题，还可以在解决日常数学问题中提高计算效率。
本文将详细介绍七年级整式的乘除知识点。
一、整式的基础知识整式是由解析式给出的含参式，其中只包含常数项、单项式、多项式、幂函数、指数函数和其运算符，也就是只包含加减乘除和指数运算。
其中，常数项即只有一个数字，单项式是只含有一个未知数和这个未知数的各次幂的乘积，多项式是由多个单项式相加得来。
例如，3x^2 + 2xy + 5y^3就是一个多项式。
二、整式的乘法整式的乘法是代数学中最基本的操作之一，也是七年级整式的重点。
1. 单项式的乘法单项式相乘时，只需要按照乘法法则进行乘法即可。
例如，(2x^3)(3x^4) = 6x^7。
2. 多项式的乘法多项式的乘法需要用到分配律，即将每个单项式的系数依次相乘，然后将各项结果相加。
例如，(2x + 3y)(4x - 5y) = 8x^2 - 7xy - 15y^2。
三、整式的除法整式的除法基于整式的乘法方法，是代数学中的一种基本操作。
1. 单项式的除法单项式的除法是将两个单项式之间的系数分别相除，并将未知数的指数作差，最后得到新的单项式。
例如，8x^3 ÷ 4x^2 = 2x。
2. 多项式的除法多项式的除法需要用到辗转相减法，即将除式不断乘以某一因式，使它变为一个可以整除的式子，然后将这个因式除到商式中。
例如，(4x^3 + 6x^2 - 2x) ÷ (2x - 1) = 2x^2 + 4x + 2 余 0。
四、整式的乘除综合运用整式的乘除不仅是单独使用，还常常需要在代数式计算中进行综合运用。
例如，化简代数式3x^2y - 9xy^2 + 6xy ÷ 3xy，可以先进行拆分化简，将3x^2y ÷ 3xy 等于x，-9xy^2 ÷ 3xy 等于-3y，6xy ÷ 3xy 等于2，得到新的代数式x - 3y + 2。
七年级下册整式除法知识点
七年级下册整式除法知识点整式除法是七年级下册数学中重要的知识点之一，它在数学中具有极其重要的位置。
整式除法是指将一个整式（多项式）除以另一个整式的运算，下面就来详细了解一下整式除法的知识点。
1. 什么是整式？整式是一类特殊的多项式，多项式是由常数和变量的积以及常数相加减的代数式组成的。
一个多项式中，如果每一项的次数都是一样的，那么这个多项式就是整式。
例如，2x^3-5x^2+3x-7就是一个整式，而3x+2xy-4不是整式。
整式有常数项、一次项、二次项等。
2. 整式的除法整式的除法就是将一个多项式除以另外一个多项式的运算。
除数和被除数一般都是整式，这是整式除法的基础。
整式除法的答案也是一个整式，即商式。
3. 整式的性质（1）整式除法满足唯一性，即对于任意的多项式f和g，存在唯一的商式q和余式r，使得f=gq+r，并且r的次数小于g的次数。
（2）整式除法满足可减性，即如果f=q1g+r1，g=q2h+r2，则f=(q1q2)h+(q2r1+r2)。
在整式的计算过程中，可用可减性使整个过程更加简单。
（3）整式的系数也可以是复数，例如，x^2+(2+3i)x-1除以x+1就是(x+1)+(2+2i)。
4. 整式的除法步骤（1）先将除数与被除数按照次数从高到低排列，确保计算的准确性。
（2）将被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商。
（3）将商乘以除数，然后减去被除数，得到余数。
（4）将余数再次除以除数，得到新的商。
（5）重复上述步骤，直到余数的次数小于等于除数的次数。
（6）最后的商即为整式的商式，而最后的余数即为整式的余式。
5. 一个简单的例子例如，将多项式f(x)=x^3+2x^2+3x+1除以g(x)=x+1。
（1）首先将f(x)和g(x)按照次数排列，得到f(x)=x^3+2x^2+3x+1，g(x)=x+1。
（2）将f(x)的最高次项x^3除以g(x)的最高次项x，得到商x^2。
（3）将x^2乘以g(x)得到x^3+x^2，然后减去f(x)得到x^2+x+1。
七年级下册数学除法知识点汇总
七年级下册数学除法知识点汇总数学课程中的除法，作为基本的四则运算之一，是我们数字计算的必经之路。
尤其在中学阶段的学习中，掌握好除法的知识点，将对学习整个数学学科有着重要的影响。
本文将为大家汇总七年级下册数学课程中出现的除法知识点。
一、整除和除法初步首先，我们先来了解一下整除和除法初步的知识点。
1.1 整除整除是指一个整数除以另一个整数的结果恰好为整数，且余数为零，即被除数 ÷除数 = 商 + 余数，其中余数为 0。
例如，8 ÷ 4 = 2，余数为 0，8 能够被 4 整除。
1.2 除法初步除法是指将被除数分成若干个等量的部分，每一部分的大小就是除数，这样一份一份地将被除数减去，减的次数就是商，最后剩下的部分就是余数。
例如，8 ÷ 4 = 2，表示将 8 分成 4 个等量的部分，每个部分为 2，一份一份地减去，减的次数为 4，最后剩下0，因此商为 2，余数为 0。
二、约数和倍数在学习除法的过程中，我们还需要掌握约数和倍数的相关概念。
2.1 约数约数是指能够整除一个数的自然数，例如，12 的约数有1、2、3、4、6、12 六个数。
2.2 倍数倍数是指一个数的某个数倍，例如，3 的倍数有3、6、9、12、15……无限多个数。
三、质数和合数我们在掌握了约数和倍数的知识后，还需要学习质数和合数的相关概念。
3.1 质数质数是指只有1 和本身两个因数的自然数，例如，2、3、5、7、11、13、17、19、23......无限多个数。
3.2 合数合数是指除了 1 和本身以外，还有其他因数的自然数，例如，4、6、8、9、10、12、14……无限多个数。
四、分数的除法在了解了除法的基本概念后，我们需要学习分数的除法。
4.1 带分数除以整数如果要将一个带分数除以一个整数，需要将这个带分数化为假分数，然后再将假分数除以整数。
例如， 3 1/2 ÷ 2 = (7/2) ÷ 2 = 7/4 （假分数除以整数等于假分数除以分母的整数）4.2 分数相除分数相除时，要将除数的倒数乘以被除数。
整式的除法讲义
整式的除法讲义知识梳理：1、同底数幂的除法同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^m ÷ a^n = a^(m-n) (m、n都是正整数且m>n，a≠0)。
特别地，当m=n时，a^m ÷ a^n = a^(m-n) = a，而a^m ÷ a^n = 1，所以规定a≠0.2、单项式或多项式除以单项式两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的个因式。
多项式除以单项式，先把这个多项式每一项除以单项式，再把所得的商相加。
3、本章知识综合与提高①对字母表示数的再认识字母表示数是代数的基本思想之一，字母不仅表示任何一个数，也可以表示一个代数式（单项式、多项式）从而使法则和公式更具有普遍性。
②字母指数的讨论问题在决定幂的符号时需要对字母指数分奇偶加以讨论，这是研究中的一个难点。
③乘法公式的拓展立方和公式”a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)，“立方差公式”a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)。
④“十字相乘法”对于一般的二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，寻找满足a1a2=a,c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1,a2,c1,c2，如有，则ax^2+bx+c=a1x+c1)(a2x+c2)。
⑤换元法、配方法数学方法在因式分解中的应用。
典型例题及针对练：考点1 同底数幂的除法例1 计算下列各式⑴ (-y)^4 ÷ (-y)^3；⑵ (-x)^4 ÷ (-x^2)；⑶ (-a)^3 ÷ (-a)；⑷(4n) ÷ (-y)^2n。
注：1、其一底数不同，不能直接应用法则进行计算，应当把各因式都化为同底数幂后再应用法则计算，其二是指数相减，不是指数相除a^m ÷ a^n ≠ a^(m/n)。
2、含有零指数幂，通过计算，我们发现幂的运算法则对零指数幂仍旧适用，计算零指数幂的值时，要特别小心符号错误，如 (-3)^0 的值应当是1而不是-1.补例练：1、计算：⑴(a-b)^5 ÷(b-a)^3；⑵a^5 ÷(a·a^3)；⑶ a^5 ÷ [(a^2)^3 ÷ a^2)]；⑷ (am·an)^p ÷ a^q。
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整式的除法（基础）
【学习目标】
1. 会进行单项式除以单项式的计算．
2. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出
现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组
合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点二、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实
质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变
化.
【典型例题】
类型一、单项式除以单项式
1、计算：
（1）342222(4)(2)x y x y ÷；
（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭
； （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；
（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．
【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、
（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．
【答案与解析】
解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=．
（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭
21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ 21432
n xy z -=-． （3）22
[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷- 222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-
2()()x y x y x y =-÷-=-．
（4）2
[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++ 2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+
3()33a b a b =+=+．
【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数．
举一反三：
【变式】计算：
（1）3153a b ab ÷； （2）5322
53x y z x y -÷； （3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-
÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】 解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==．
（2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-
． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．
2、夏天是多雷雨的季节，大家都知道，雷雨时往往是先看到闪电，后听到雷声，这是因为光的传播速度比声音的传播速度快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为8310⨯米/秒，而声音在空气中的传播速度约为23.410⨯米/秒．
（1）光的速度大约是声音速度的多少倍？（结果保留两个有效数字）
（2）如果你看到闪电8秒后，才听到了雷声，那么你能算出闪电离你大约有多远吗？
（注：光传播到地球的时间忽略不计）
【答案与解析】
解：（1）82826
(310)(3.410)(3 3.4)(1010)0.88210⨯÷⨯=÷⨯÷⨯≈58.810⨯≈． （2）23
3.4108 2.72102720⨯⨯=⨯=（米）．
【总结升华】在科学记数法表示的数10n a ⨯中，a 相当于单项式的系数，10n 相当于单项式中的幂．
类型二、多项式除以单项式 3、计算（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ； （2）()
()32271833x x x x -+÷-.
【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算．
【答案与解析】 解：（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 5432
5242323211224111124424
482x x x x x x x x x x x x x
⎛⎫=++÷ ⎪⎝
⎭=÷+÷+÷=++ （2）()
()32271833x x x x -+÷- ()()()
32227318333961x x x x x x x x =÷--÷-+÷-=-+-
【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．
4、计算：
（1）324
(67)x y x y xy -÷；
（2）42(342)(2)x x x x -+-÷-；
（3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-；
（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫-
-÷- ⎪⎝⎭
． 【答案与解析】 解：（1）32432423
(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-．
（2）42(342)(2)x x x x -+-÷- 42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-
33212
x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-
222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-
2321x x =-+-
（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛
⎫--÷- ⎪⎝⎭ 22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22321533
ab a b =-++． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化．
举一反三：
【高清课堂399108 整式的除法 例5】
【变式】计算：
（1）23233
421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡
⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷．
【答案】
解： （1）原式2232
39421922792x y x x x y y x y ⎛
⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．
（2）原式2222
[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷ 2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷ 2(58)6x xy x =-÷
5463x y =-．。