Darcy方程稳定化有限元方法的超收敛分析

合集下载

稳定性与收敛性分析方法

稳定性与收敛性分析方法稳定性和收敛性是科学研究中非常重要的概念和指标，用于评估一个系统、方法或算法的可行性和有效性。

在各个领域，包括数学、物理学、工程学等，稳定性和收敛性分析方法都起着关键的作用。

本文将介绍稳定性和收敛性的概念，并重点讨论在数值计算中常用的分析方法。

一、稳定性分析方法稳定性是指一个系统在输入或参数扰动下，输出的响应是否会趋于有界或者稳定的状态。

在数学建模、控制理论等领域，稳定性分析是评估一个系统的重要手段之一。

以下是一些常见的稳定性分析方法：1. Lyapunov 稳定性分析方法: Lyapunov 稳定性分析方法是一种基于Lyapunov 函数的稳定性判断方法。

通过构造一个满足特定条件的Lyapunov 函数，可以判断系统是否是稳定的。

2. Routh-Hurwitz 稳定性判据: Routh-Hurwitz 稳定性判据是一种基于判别式的稳定性分析方法。

通过构造一个 Routh-Hurwitz 判别式，可以得到系统的稳定性边界条件。

3. 极点配置法: 极点配置法是一种常用的控制系统设计方法，也可以用于稳定性分析。

通过选择合适的极点位置，可以实现系统的稳定性。

二、收敛性分析方法收敛性是指一个数值计算方法在迭代过程中，得到的结果是否趋于准确解。

在数值计算和优化算法中，收敛性是评估算法有效性的重要指标。

以下是一些常见的收敛性分析方法：1. 收敛准则: 收敛准则是一种用于判断迭代算法是否收敛的方法。

常见的收敛准则包括绝对误差判据、相对误差判据和残差判据等。

2. 收敛速度分析: 收敛速度是指迭代算法的收敛过程有多快。

常用的收敛速度分析方法包括收敛阶数的估计、收敛速度的比较等。

3. 收敛性证明: 在一些数值计算方法中，为了证明其收敛性，需要使用一些数学工具和技巧，如递推关系、数学归纳法等。

总结：稳定性和收敛性分析方法在科学研究和工程实践中具有重要的意义。

通过对系统的稳定性进行分析，可以评估其可靠性和安全性。

求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性

1、对于 Itoˆ 型随机微分方程，主要研究了求解它的数值方法及方法的稳定性。首先通过对求解 Itoˆ 型随机微分方程的 Heun 方法进行改进得到 θ-Heun 方法。然后根据数值方法均方稳定和指数稳定的定义，证明了 θ-Heun 数值方法均方稳定和指数稳定的充要条件，以及均方稳定区域。接着给出了使 θ-Heun 数值方法均方稳定的 θ 的取值范围，并进行了数值验证。最后用数值实验对这两种数值方法的均方稳定性和渐进稳定性进行了对比。
1、For Itoˆ stochastic differential equations, The numerical method and its stability was studied mainly. First, θ-Heun method was obtained by improving the Heun method. Then, according to the definition of the mean square stability and exponential stability of numerical method, the mean square stability condition and the exponential stability condition of the θ-Heun method and its stability regions were gain. What’s more, the range of the θ that makes the stability of θ-Heun method was given, and the numerical validation was performed. Finally, the mean square stability and the asymptotic stability of these two methods were compared by numerical examples.

有限元收敛问题

有限元收敛问题引言有限元方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程学和科学领域。

在使用有限元方法进行数值计算时，我们通常关注的一个重要问题就是收敛性。

收敛性指的是当离散网格逐渐细化时，数值解是否能够趋近于真实解。

有限元收敛问题是指在使用有限元方法求解偏微分方程时，通过增加网格的细化程度来提高数值解的精度。

本文将介绍有限元收敛问题的定义、判定准则以及影响因素，并对其进行详细讨论。

有限元收敛问题定义在开始讨论之前，我们先来明确一下什么是有限元收敛问题。

给定一个偏微分方程及其边界条件，在使用有限元方法离散化后，我们可以得到一个离散形式的代数方程组。

通过求解这个代数方程组，我们可以得到一个数值解。

如果我们将网格逐渐细化，即将离散网格划分为更小的单元，然后再次求解代数方程组得到新的数值解。

如果随着网格细化，新的数值解逐渐趋近于真实解，那么我们就说有限元方法在这个问题上具有收敛性。

有限元收敛问题判定准则在实际应用中，我们如何判断使用有限元方法求解的数值解是否满足收敛性呢？以下是一些常用的判定准则：1. 网格细化首先，我们需要逐渐增加网格的细化程度。

通过将离散网格划分为更小的单元来提高数值解的精度。

通常情况下，我们会使用不同层次的网格进行计算，并比较不同网格下得到的数值解之间的差异。

2. 解析解比较如果我们能够得到偏微分方程的解析解，那么可以将数值解与解析解进行比较。

通过计算数值解与解析解之间的误差，并观察误差随着网格细化程度增加时是否逐渐减小来判断收敛性。

3. 收敛阶验证除了与解析解进行比较外，还可以对数值解的收敛阶进行验证。

收敛阶指的是当网格细化程度增加时，数值解误差与网格尺寸之间的关系。

通常情况下，我们希望数值解误差与网格尺寸之间存在线性或二次关系。

通过计算不同网格下的数值解误差和网格尺寸，并绘制误差与网格尺寸的对数-log 图，可以得到收敛阶。

如果收敛阶满足预期的要求，那么我们可以认为有限元方法在该问题上具有收敛性。

有限元的性质和收敛性

有限元的性质和收敛性一、有限元解的收敛准则有限单元法作为求解数学微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同在于有限单元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。

因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。

里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n--->∞时，则Ritz法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。

现在要研究什么是有限元解的收敛性提法？收敛的条件又是什么？在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。

如果采用完全多项式作为单元的插值函数（即试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。

但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。

有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。

下面仍以含有一个待求的标量场函数为例，微分方程是：A(φ) = L(φ) + b = 0 (1.1)相应的泛函是：（1.2）假定泛函∏中包含φ和它的直至m阶的各阶导数，若m阶导数是非零的，则近似函数至少必须是m次多项式。

若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足p≥m，这时及其各阶导数在一个单元内的表达式如下：......（1.３）由上式可见，由于是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式中都包含有常数项。

但单元尺寸趋近于零时，在每一单元内及其直至m阶导数将趋近于它的精确值，即趋近于常数。

因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确值。

如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋近于它的精确值。

有限元解就趋近于精确解，也就是说解是收敛的。

从上述讨论可以得到下列收敛准则：准则1完备性要求。

如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。

或者说试探函数中必须包括本身和直至m 阶导数为常数的项。

有限元方法超收敛性综述

有限元方法超收敛性综述专业方向计算数学学号082111026 姓名何果一、有限元方法简介有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。

由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法（Finite Element Method）。

在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。

1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。

1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。

这实际上就是有限元的做法。

有限元方法是解偏微分方程数值解一中行之有效的数值计算方法，广泛应用与科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。

冯康先生在1965年著名的论文《基于变分原理的差分格式》中第一次独立阐明了有限元方法的实施数学实质和理论基础，这是第一次系统的采用连续的工具特别是偏微分方程的工具来处理离散化的技术，更确切地说，有限元法就是为了对一些工程问题求得近似解的一种数值方法，从数学的角度来讲，有限元法是从变分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值，通常是分片多项式插值，把偏微分方程的求解化为线性方程组的求解。

然而，直接从有限元解计算所得的导数在单元边界不连续且整体精度不高，网格加密呵有限元次数增加能适当改善精度，然而随着网格的加密和多项式次数的提高，有限元方法产生的线性代数方程组的阶将暗几何级数增长，但是计算机技术发展的速度总是赶不上有限元方法对它的这种需求。

因而怎样对有限元方法所得到得数值结果事后进行某种加工（这种加工工作量极小）来提高有限元解及其导数的精度是有限元研究的一项重要内容。

在这一方面前辈们已经做出的很多出色的工作。

二、有限元的超收敛性历史回顾和当前进展有限元的超收敛现象最早由工程师发现，早在1967年ZienkiewiczCheung 就在《The finite element in structural and continuum mechanics》中指出在计算在计算中发现线性有限元解得导数在某些特殊点上有特别高的精度。

有界区域内相互作用的Forchheimer-Darcy流体方程组解的结构稳定性

浙江大学学报（理学版）Journal of Zhejiang University （Science Edition ）http ：///sci第48卷第1期2021年1月Vol.48No.1Jan.2021有界区域内相互作用的Forchheimer-Darcy流体方程组解的结构稳定性石金诚，李远飞*（广州华商学院数据科学学院，广东广州511300）摘要：研究了在R 3中有界区域内相互作用的Forchheimer -Darcy 流体方程组解的结构稳定性。

假设黏性流体在Ω1中满足Forchheimer 方程组，在Ω2中满足Darcy 方程组，借助于一些先验估计，构造了微分不等式，证明了对Forchheimer 系数b ，Forchheimer -Darcy 方程组的解是收敛的。

关键词：结构稳定性；Forchheimer 方程组；Darcy 方程组；界面边界条件中图分类号：O 175.29文献标志码：A文章编号：1008⁃9497（2021）01⁃057⁃07SHI Jincheng,LI Yuanfei （School of Data Science ，Huashang College Guangzhou ，Guangzhou 511300，China ）Structural stability of the Forchheimer-Darcy fluid in a bounded domain .Journal of Zhejiang University(ScienceEdition),2021,48(1):57⁃63Abstract :The structural stability for the solution of the Forchheimer fluid equations interfacing with a Darcy fluid equations in a bounded region in R 3is studied.Assumed that the viscous fluid be governed by the Forchheimer equations in Ω1,while in Ω2,the fluid satisfy the Darcy equations.With the aid of some priori bounds,we formulate a differential inequality and demonstrate the convergence result for the Forchheimer coefficient b .Key Words :structural stability;Forchheimer equations;Darcy equations;interface boundary condition0引言近年来，偏微分方程解的结构稳定性引起广泛关注。

有限元的收敛性摘抄

有限元的收敛性一，有限元定义：1，一阶和二阶单元，通常称为H单元。

三阶及以上的称其为P单元。

2，有限元分析首先计算节点的位移量，接着再推算其对应的单元应变值，再计算积分点的应力。

3，因此：位移的准确性高于应变、应变高于应力。

4，线性计算中，单元不可变形过大，否则造成求解失败。

二，三种收敛性技术：手动控制收敛、软件自动控制收敛（h，p自适应方法）1，h方法：根据应力梯度变化情况，根据预先规定的收敛准则，自动重新剖分网格，进行自动加密。

适用于实体零件及装配体（仅仅支持实体单元）的静态分析在应变能误差较高的区域使用较小的网格尺寸目标精度定义应变能默认值98%，一般认为达到分析要求。

2，p方法：根据约束条件，在约束条件大的地方，根据预先规定的收敛准则，调整此处的单元形状函数的阶次，在单元大小不变的情况下提高单元内部应力的准确性。

适用于实体零件及装配体的静态，但装配体仅仅支持结合方式，不可有其他接触存在默认的收敛准则是总应变能，通常默认的就足够必须使用二阶单元为初始网格雅可比检查设定在节点处三，手动收敛性检查：1，相对收敛性检查：大多数复杂情况下很难通过自适应方法得到好的结果，必须通过相对收敛性检查得到收敛的结果：步骤如下执行多个分析研究，逐步调整加密网格，检查应力值的变化情形每次以2：1的比例调整加细网格尺寸如果局部网格尺寸远小于整体尺寸，注意扭曲、失真的情况2，等值线质量检查：应力等值线应该和几何体一样连续，使用不连续选项可以更清楚的看到不连续的结果。

如果几何体光滑连续而结果呈锯齿状，表明此处结果不好，需要加密或提高网格质量。

3，误差估算方法：能量范数值：能量范误差绘图可以显示相邻元素的应力值差异，越小越好节点和单元应力值比较：节点解是临近单元的节点应力的平均值单元解是每个单元所有节点应力的平均值评定标准：理论上节点解和单元解应该有较小的差异：一般情况下，节点应力与单元应力的误差不允许超过5%建议：1，针对单一零件的分析：使用h自适应、二阶单元及默认单元大小2，针对结合的装配体：使用p自适应、二阶单元及默认单元大小3，针对有连接接头或接触条件的装配体分析：使用手动h的单元收敛使用二阶单元及默认单元大小使用初始网格控制以确保符合未变形的几何体使用局部网格控制在需要的位置以达到收敛。

广义对流扩散问题的稳定化有限元方法__概述说明

广义对流扩散问题的稳定化有限元方法概述说明1. 引言1.1 概述在科学研究和工程领域中，广义对流扩散问题代表了一类重要的物理现象。

该问题涉及到两种或多种不同类型的物质相互传递质量、能量或动量时的扩散和对流过程。

其在自然环境中的应用广泛，例如气象学中的大气污染传输模拟、地球物理学中的地下水污染迁移等。

在工程实践中，广义对流扩散问题也被广泛应用于空气动力学、化学反应工程、材料科学等领域。

稳定化有限元方法是一种常用的数值解法，用于求解偏微分方程数值近似解。

广义对流扩散问题由于其非线性特性和潜在的数值不稳定性而提出了挑战。

因此，引入稳定化技术来改进传统有限元方法并获得更准确和稳定的数值解成为一种重要需求。

本文将介绍广义对流扩散问题以及其在实际应用中的重要性，并详细探讨稳定化有限元方法在这个问题上的应用。

1.2 文章结构本文将按照以下结构来展开内容：- 引言：对广义对流扩散问题和稳定化有限元方法的概述。

- 广义对流扩散问题的稳定化有限元方法：介绍广义对流扩散问题以及解决该问题的基础理论，重点讨论有限元方法在该问题上的应用。

- 方法一：XXXXX：详细介绍第一种稳定化有限元方法，包括其基本原理、算法和实现步骤。

- 方法二：XXXXX：详细介绍第二种稳定化有限元方法，包括其基本原理、算法和实现步骤。

- 结论：总结文章内容，讨论所采用的方法的优点和局限性，并提出未来可能的改进方向。

1.3 目的本文旨在综述广义对流扩散问题及其数值求解中常用的稳定化有限元方法。

通过引入稳定化技术，在保持计算效率的同时提高数值解的准确性和稳定性。

进一步了解这些稳定化有限元方法是为了帮助研究人员和工程师更好地理解不同物质相互传递时可能遇到的问题，并能够合理选择适用于具体情况的数值求解方法，为实际应用提供可靠的数值仿真结果。

2. 广义对流扩散问题的稳定化有限元方法：2.1 广义对流扩散问题简介广义对流扩散问题是一类重要的物理现象，在多领域中都有广泛应用，包括流体力学、地球物理学和材料科学等。

有限元法的收敛性

有限元法的收敛性有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。

有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。

有限元的收敛条件包括如下四个方面：1）单元内，位移函数必须连续。

多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。

2）在单元内，位移函数必须包括常应变项。

每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。

当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。

为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。

3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。

一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。

形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。

空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。

由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。

4）位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。

对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。

要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。

对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。

但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。

总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。

前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。

时步有限元在系统稳定分析中的应用

案例背景：介绍流体动力学系统稳定分析的背景和重要性
模型建立：详细描述流体动力学系统的数学模型和建模过程
有限元分析：阐述时步有限元方法在系统稳定分析中的应用原理和过程
结果分析：展示分析结果，并对其进行分析和解释
汇报人：
系统稳定性的研究有助于深入了解系统的本质特性，为系统的优化设计、控制和故障诊断提供理论支持和实践指导。
传统方法难以处理复杂系统的稳定性问题
传统方法在处理非线性系统时存在困难
传统方法在处理时变系统和随机激励下的稳定性问题时效果不佳
传统方法在处理多尺度、多物理场耦合系统的稳定性问题时面临挑战
稳定性。
添加标题
应用场景：在航空航天、流体机械、石油天然气等领域，时步有限元方法被用于模拟流体动力学系统的行为，为设计优化和性能评
估提供依据。
添加标题
未来发展：随着计算能力的不断提升和数值方法的不断改进，时步有限元方法在流体动力学系统中的应用将更加广泛和深入，有望在解决复杂工程问题中发挥更大的
稳定性：对于某些不稳定系统，可能导致数值不稳定或发散
参数选择：需要选择合适的参数，如时间步长、空间步长等，以获得准确结果
改进时步有限元方法的精度和稳定性
拓展时步有限元方法在多物理场耦合问题中的应用
添加标题
添加标题
开发更高效的数值求解算法
添加标题
添加标题
结合人工智能和机器学习技术优化有限元方法
添加标题
简介：时步有限元方法在多体系统动力学分析中具有广泛应用，能够精确模拟复杂系统的动态行为。
添加标题
应用场景：多体系统中的刚体、柔性体和流体等不同类型物体，通过时步有限元方法进行动力学建模和仿真。

稳定渗流的有限元计算新方法

稳定渗流的有限元计算新方法
稳定渗流是指流体在多孔介质中的渗流过程中，流体与固体颗粒之间的相互作用引起的非线性行为的一种现象。

稳定渗流的计算是地下水模拟和油藏开发等领域中的重要问题。

目前，有限元方法是求解稳定渗流问题的主要数值方法。

然而，传统的有限元方法在计算稳定渗流问题时，往往会产生数值不稳定或数值耗散等问题，影响计算结果的准确性。

为了解决这些问题，近年来出现了许多新的有限元方法，例如混合有限元方法、稳定性有限元方法、非均匀网格有限元方法等。

这些方法采用了不同的数值技术和算法，旨在提高求解稳定渗流问题的精度和稳定性。

其中，混合有限元方法是一种常用的方法，它采用了两种不同的有限元空间来描述压力和速度场，并利用斯托克斯方程作为基础方程。

稳定性有限元方法则是通过添加人工耗散项或人工黏性项来控制数
值解的波动，从而提高求解稳定渗流问题的数值稳定性。

非均匀网格有限元方法则是利用非均匀网格来描述多孔介质中的复杂几何形状，从而提高计算的精度和效率。

总之，这些新的有限元方法为求解稳定渗流问题提供了更多的选择和可能性，能够有效地提高计算的精度和稳定性，为解决实际问题提供了基础和支撑。

- 1 -。

线性有限元解的渐进展开式的收敛性

线性有限元解的渐进展开式的收敛性1 有限元有限元是一种计算方法，用于解决复杂分析问题。

它是由日本科学家井上双三教授发明的，被广泛应用在建筑结构力学，流体力学等多个领域，它将物理问题物理问题使用数学来模拟，以估算出物理系统的参数。

有限元的优点是可以快速的能够求出拟合的增量，低错误率，能够降低计算所需时间和误差。

有限元解决的问题可以很复杂，可以模拟几乎所有类型的空间几何形状，适用于拟合和对比各种不同方程数值解法。

2 渐进展开式渐进展开式是有限元离散方法的一种优化算法，它将复杂的函数以一定格式进行分解，产生更容易处理的多项式系数，从而可以有效进行计算。

渐进展开式主要用于解决表达形式复杂的函数的非线性的问题，这样可以有效解决复杂的物理学问题，同时它完全遵循有限元解的离散规则，不会增加多余计算量。

3 线性有限元解的收敛性线性有限元解的收敛性是指采用有限元法时，低精度函数求解的准确性。

通过使用渐进展开式，采用有限元法时会出现收敛性的问题，尤其是在解决非线性问题时，可能会出现越收敛越远的情况。

解决收敛性的办法是对空间函数进行分段平滑的处理，或者添加更多的元素来提高计算精度，以确保结果的准确度。

另外，由于有限元离散方法具有不同精度，因此需要调整多项式系数以提高计算准确度。

4 总结有限元是一种解决复杂分析问题的计算方法，渐进展开式可以对函数进行分解，从而使其能够有效的拟合复杂的物理学问题，而线性有限元解的收敛性指的是采用有限元法解决问题时，低精度函数求解的准确性，可采用分段平滑处理空间函数，或添加更多元素提高计算精度，以及调整多项式系数来提高收敛性。

Stokes-Darcy方程有限元方法的重构型后验误差估计的开题报告

Stokes-Darcy方程有限元方法的重构型后验误差估计的开题报告一、研究背景Stokes-Darcy方程是在多孔介质流动模拟中常用的一个模型，描述了流体与多孔介质的复杂相互作用。

然而，对于Stokes-Darcy方程的数值模拟，精度和稳定性一直是研究的难点之一。

传统的有限元方法通常需要高度优化的网格才能满足要求，而研究一些新的后验误差估计方法已经成为研究热点。

二、研究目的和意义本研究致力于探究Stokes-Darcy方程的有限元方法，采用重构型后验误差估计方法，提供数值模拟的高精度和可信度。

本研究的意义在于提高Stokes-Darcy方程数值模拟的精度和可靠性，使其得到更广泛的应用和推广。

三、研究内容和方案1. Stokes-Darcy方程的描述和有限元方法的数值求解。

2. 重构型后验误差估计的基本概念和原理。

3. 基于重构型后验误差估计的Stokes-Darcy方程数值模拟方法。

4. 基于自适应有限元方法的重构型后验误差估计算法的实现和验证。

四、研究预期成果1. 设计并实现了基于重构型后验误差估计方法的Stokes-Darcy方程数值模拟方法。

2. 验证了该方法的有效性和精度。

3. 提出了基于自适应有限元方法的重构型后验误差估计算法。

五、研究方法和技术路线1. 建立Stokes-Darcy方程的数学模型，了解有限元方法的基本原理和数值实现。

2. 学习重构型后验误差估计的基本概念和算法。

3. 基于数学模型和算法设计实现Stokes-Darcy方程数值模拟的算法。

4. 实验验证算法的有效性和精度，并尝试提出改进方案。

六、论文的撰写和组织结构本论文主要由前言、绪论、主体内容、结论和参考文献构成。

其中，主体内容包括Stokes-Darcy方程的数学模型、有限元方法的数值求解、重构型后验误差估计方法的概念及应用、算法实现和实验验证等方面。

结论部分将总结本研究的成果，并提出未来的研究方向。

参考文献将介绍本研究所引用的有关文献。

大变形流固耦合理论中Darcy定律的表述方法

第26卷第9期岩石力学与工程学报 V ol.26 No.92007年9月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sept.，2007收稿日期：2006–10–04；修回日期：2007–05–11基金项目：中国博士后科学基金一等资助项目(20060400177)；863计划重大交通基础设施核心技术专题项目(2006AA11Z102)；国家自然科学基金委员会及二滩水电开发有限责任公司雅砻江水电开发联合研究基金项目(50579093)作者简介：丁洲祥(1976–)，男，博士，1999年毕业于西安公路交通大学(现长安大学)地下工程与隧道工程专业，现为同济大学在站博士后，主要从事岩土与地下工程方面的研究工作。

E-mail ：dzxdr@大变形流固耦合理论中Darcy 定律的表述方法丁洲祥1，2，朱合华1，2，蔡永昌1，2，丁文其1，2(1. 同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092；2. 同济大学地下建筑与工程系，上海 200092)摘要：研究流固耦合理论中渗流本构方程在不同参考构形下的大变形表述方法。

采用坐标和应变张量变换方法以及客观性假设，分别导出Darcy 定律在空间和物质描述两种情况下的合理形式，同时还推导变形耦合情况下大变形法渗透系数的表达式。

算例分析和试验结果均表明，不同描述方法渗透系数之间的差异随着变形发展而增大，在大应变情况下忽略参考构形的影响将引起较大误差。

考虑变形耦合的大变形法渗透系数受到材料和几何双非线性的影响，其在数学上的单调性质要比小变形情况复杂。

关键词：土力学；Darcy 定律；大变形；流固耦合；物质描述；空间描述中图分类号：TU 44 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2007)09–1847–08DESCRIPTION METHOD OF DARCY ′S LAW IN LARGE-STRAIN OFFLUID -SOLID COUPLINGDING Zhouxiang 1，2，ZHU Hehua 1，2，CAI Yongchang 1，2，DING Wenqi 1，2(1. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education ，Tongji University ，Shanghai 200092，China ；2. Department of Geotechnical Engineering ，Tongji University ，Shanghai 200092，China )Abstract ：The large-strain description method for the constitutive equation of fluid flow in fluid-solid coupling theory is studied for different reference configurations. Using the coordinate transform method ，the strain tensor transformation relation and the objectivity hypothesis ，the rational forms of Darcy ′ law in both spatial description method and material description method are derived respectively ，as well as the seepage coefficient expression for large-strain deformation coupling. The results of both experimental and case analysis show that the differences of seepage coefficients between different description methods increase with the development of material deformation ；and the ignorance of the effect of reference configuration for large-strain problems will lead to a considerable big error. The large-strain seepage coefficient(FSSC) considering deformation coupling is greatly influenced by both material and geometrical nonlinearities. The behavior of mathematical monotonicity for FSSC is more complex than that for the large-strain seepage coefficient.Key words ：soil mechanics ；Darcy ′s law ；large-strain ；fluid-solid coupling ；material description ；spatial description1 引言饱和状态的岩土介质属于两相体，其液相中流体压力的瞬时变化会引起颗粒骨架的变形。

有限元超收敛和有限元外微分的一些研究

有限元超收敛和有限元外微分的一些研究
陈竑焘
摘要
现代科学、技术、工程中的大量数学模型都是用微分方程或者积分方程来描述的。

很多近代自然科学的基本方程本身就是微分或积分方程。

有限元方法是求解这些方程的一种行之有效的方法，而有限元方法中的超收敛和外推方法是一种有效改善数值逼近精度的方法。

本文首先通过改写三角形线性有限元的积分恒等式，首次得到了一致四面体网格上的线性元的积分恒等式，从而证明了二阶椭圆问题四面体线性元解通过Richardson外推可以提高精度。

同样，由四面体线性元的积分恒等式得到了有限元特征值逼近的渐近展开，利用外推也改进了收敛精度。

接着，给出一种改进二阶椭圆特征值问题混合形式收敛速度的办法。

通过证明最低阶Raviart-Thomas有限元特征函数的超逼近结果，可以使用一类有限元后处理算子来构造辅助的解问题。

然后通过加密网格或者增加有限元次数来构造扩展的有限元空间，并在扩展的有限元空间内求解上述辅助的解问题。

这样在不增加太多计算量的前提下，得到的数值解与直接在扩展有限元空间内求解特征值问题具有同样的精度。

最后，将一系列的抛物方程用微分形式的语言写成统一的形式，引入一种新的混合格式，讨论了该格式的适定性。

并利用有限元微分
形式进行离散，讨论了离散格式的收敛性。

这些结果也表明不同范数下收敛性对解正则性的要求。

并注意到当求解抛物方程时，不需要显式地考虑其调和函数，从而可以适用于各种拓扑不平凡的区域。

关键词：积分恒等式，四面体线性元，超逼近，外推，混合有限元，后处理，有限元微分形式。

非线性BBMB方程能量稳定有限元方法高精度分析

非线性BBMB方程能量稳定有限元方法高精度分析
王乐乐
【期刊名称】《郑州航空工业管理学院学报》
【年(卷),期】2024(42)3
【摘要】文章主要研究非线性Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBMB)方程的能量稳定全离散有限元格式的高精度分析。

首先,证明了后向Euler全离散格式的能量稳定性,得到了H1模意义下有限元解的有界性。

其次,利用上述有界性和Brouwer不动点定理证明了离散问题解的存在唯一性。

再次,利用协调双线性元的特殊性质,得到了相应的超逼近和整体超收敛结果。

最后,通过数值试验验证了理论分析的有效性。

【总页数】5页(P108-112)
【作者】王乐乐
【作者单位】郑州航空工业管理学院数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21
【相关文献】
1.非线性Klein—Gordon方程各向异性高精度有限元分析
2.一类非线性抛物方程的高精度有限元分析
3.非线性发展方程的无网格比高精度有限元方法
4.非线性抛物积分微分方程的各向异性有限元高精度分析(英文)
5.一类非线性抛物方程H^1-Galerkin混合有限元方法的高精度分析
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。