3.专题1 追及和相遇问题

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专题一 追及和相遇问题
当两个物体在同一直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,两物体间的距离会不断发生变化,这样就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。

一、 追及问题
1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

甲物体追赶前方的乙物体,若甲的速度大于乙的速度,则两者之间的距离 。

若甲的速度小于乙的速度,则两者之间的距离 。

若一段时间内两者速度相等,则两者之间的距离 。

2、追及问题的特征及处理方法:
“追及”根本要点是:两个物体在同一时刻处在同一位置,常见的情形有三种:
(1)匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙,一定能追上,追上前有最大距离的条件:两物体速度相等,即v v =乙甲;若同时同地出发,乙甲v v 2=时相遇
(2)匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙,存在一个能否追上的问题。

判断方法是:假定速度相等,从位置关系判断。

①若甲乙速度相等时,甲的位置在乙的后方,则追不上,此时两者之间的距离最小。

②若甲乙速度相等时,甲的位置在乙的前方,则追上。

③若甲乙速度相等时,甲乙处于同一位置,则恰好追上,为临界状态。

解决问题时要注意二者是否同时出发,是否从同一地点出发。

(3)匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时,情形跟⑵类似。

二、相遇
⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题,分析同上。

⑵ 相向运动的物体,当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

三、解决追及、相遇问题的思路与方法
(1)思路:①根据两物体运动过程的分析,画出物体运动的示意图。

②根据两物体的运动性质,分别列出两物体的位移方程(注意两物体运动的时间关系)。

③由运动的示意图找出两物体的位移关系。

④联立方程求解。

(2)方法:①物理分析法。

判断能否追上时,看二者速度相同时的位置关系。

如A 追前方和A 相距 x 0的B 时,可以先求出速度相同所用的时间,再求出速度相同时A 、B 的位移x A 、x B ,若x A <x B +x 0,说明A 追不上B ,A 、B 间的最大距离为∆s m =x B +x 0-x A 。

若x A =x B +x 0,说明A 恰能追上(或恰追不上)B 。

若x A >x B +x 0,说明此时A 已越过B ,即x A =x B +x 0时二者相遇。

②数学方法。

即假设能相遇,列出方程x A =x B +x 0,得到关于时间的一元二次方程,若方程无解,说明不能相遇,若只有一个正根说明只能相遇一次,若有两个正根说明能相遇两次。

如需求最近距离,可先列出二者间的距离随时间的关系,然后求极值。

③图像法。

分别作出两物体运动的速度--时间图象,然后根据图像进行分析。

(3)应注意的问题:
①相遇是空间位置相同,而位移不一定相等。

②分析“追及”“相遇”问题时,一定要抓住“一个条件,两个关系”:
“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件,如两物体距离最大、最小,恰好追上或恰好追不上等.
“两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系,是解题的突破口. ③若被追赶的物体做减速运动,一定要注意追上该物体前该物体是否已经停止了。

④要注意题中的关键字眼,充分挖掘题目的隐含条件。

如“刚好ˮ“最多ˮ“至少ˮ等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。

两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞的条件是:两物体能否同时到达空间某位置。

因此应分别对两物体进行研究,列出位移方程,然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。

例1. 在十字路口,汽车以2
0.5m s 的加速度从停车线启动做匀加速运动,恰好有一辆自行车以5m s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶,求:
⑴什么时候它们相距最远?最远距离是多少?
⑵何时追上自行车?追上时汽车的速度是多大?
跟踪训练1:辆摩托车行驶的最大速度为30m/s 。

现让该摩托车从静止出发,要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s 的速度在平直公路上行驶的汽车,则该摩托车行驶时,至少应具有多大的加速度?
例2. 在同一直线上运动的A 、B 两物体,A 以 2/1s m 的加速度启动,同时在A 后60 m 远处B 以一定的速度0v 匀速追赶.如果s m v /100 ,问B 能否追上A?若追上,所用时间是多少?若追不上,A 、B 间距离最小为多少?
跟踪训练2:甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现:甲经短距离加速后能保持9 m/s 的速度跑完全程;乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的,为了确定乙起跑的时机,需在接力区前适当的位置设置标记,在某次练习中,甲在接力区前S 0=13.5 m 处作了标记,并以V =9 m/s 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令,乙在接力区的前端听到口令时起跑,并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上,完成交接棒,已知接力区的长度为L =20 m 。

求:⑴此次练习中乙在接棒前的加速度a 。

⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。

例3.汽车正以10m/s 的速度在平直公路上前进,突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s 2的匀减速运动,汽车恰好不碰上自行车、求关闭油门时汽车离自行车多远?
跟踪训练3:客车以20m/s的速度行驶,突然发现同轨前方120m处有一列货车正以6m/s的速度同向匀速前进,于是客车紧急刹车,刹车时加速度大小为0.8m/s2,问两车是否相撞?
选择题
1.两辆完全相同的汽车,沿水平直线一前一后匀速行驶,速度均为 0,若前车突然以恒定加速度刹车,在它刚停车后,后车以与前车相同的加速度开始刹车,已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两车在上述情况下不相撞,则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为()
A. s
B. 2s
C. 3s
D. 4s
2.甲乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动,它们的v—t图象如图所示,则
()
A.乙比甲运动的快 B.2 s乙追上甲
C.甲的平均速度大于乙的平均速度 D.乙追上甲时距出发点40 m远
3.汽车A在红绿灯前停住,绿灯亮起时起动,以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动,
经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时,汽车B以8 m/s的
速度从A车旁边驶过,且一直以相同速度做匀速直线运动,运动方向与A车相同,则从绿灯亮时开始()A.A车在加速过程中与B车相遇 B.A、B相遇时速度相同
C.相遇时A车做匀速运动 D.两车不可能再次相遇
4.A与B两个质点向同一方向运动,A做初速度为零的匀加速直线运动,B做匀速直线运动.开始计时时,A、B 位于同一位置,则当它们再次位于同位置时: ()
A.两质点速度相等. B.A与B在这段时间内的平均速度相等.
C.A的即时速度是B的2倍. D.A与B的位移相等.
5.汽车甲沿平直公路以速度V做匀速直线运动,当它经过某处的另一辆静止的汽车乙时,乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。

据上述条件 ( )
A.可求出乙追上甲时的速度; B.可求出乙追上甲时乙所走过的路径;
C.可求出乙追上甲所用的时间; D.不能求出上述三者中的任何一个物理量。

计算题:
1.甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶,甲车在前,乙车在后,它们行驶的速度均为v0=16m/s.已知甲车在紧急刹车时加速度的大小为a1=3m/s2,乙车在紧急刹车时加速度的大小为a1=4m/s2,乙车司机的反应时间为∆t=0.5s,求为保证两车在紧急刹车过程中不相撞,甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离?
2.(08四川卷理科)(16分)A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。

当B车在A车前84 m处时,B车速度为4 m/s,且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动;经过一段时间后,B车加速度突然变为零。

A车一直以20 m/s的速度做匀速运动。

经过12 s后两车相遇。

问B车加速行驶的时间是多少?
3.为了安全,在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120km/h.假设前方车辆突然停止,后车司机从发现这一情况,经操纵刹车,到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间)t =0.50s.刹车时汽车的加速度为a=4m/s2.该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少?
4.A、B两车沿同一直线向同一方向运动,A车的速度v A=4 m/s,B车的速度v B=10 m/s.当B车运动至A车前方7 m处时,B车以a=2 m/s2的加速度开始做匀减速运动,从该时刻开始计时,则A车追上B车需要的时间是多少?
5.甲乙两车同时同向从同一地点出发,甲车以v1=16m/s的初速度,a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动,乙车以v2=4m/s的速度,a2=1m/s2的加速度作匀加速直线运动,求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

6.A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶,B车在前,车速v2=10m/s,A车在后,车速72km/h,当A、B 相距100m时,A车用恒定的加速度a减速。

求a为何值时,A车与B车相遇时不相撞。

7、如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B.
V
8.高为h的电梯正以加速度a匀加速上升,忽然天花板上一螺钉脱落,求螺钉落到底板上的时间.
课后阅读
1.追及、相遇问题的类型
(1)加速度大的加速运动的物体A追同方向加速度小的加速运动的物体B(包括加速运动的物体追匀速运动的物体)。

此时一定能追上,并且能越过。

若A的初速度不小于B的初速度,A、B间的距离越来越小,直到追上,然后A越过B。

若A的初速度小于B的初速度,开始两物体的间距越来越大,速度差越来越小,当两物体的速度相等时,两物体间的距离达到最大值,随后A的速度开始大于B的速度,两物体间的距离又开始越来越小,直到追上,然后A越过B。

(2)加速度小的加速运动的物体A追同方向加速度大的加速运动的物体B(包括匀速运动的物体追加速运动的物体)。

若A的初速度不大于B的初速度,二者间距将越来越大,A一定追不上B。

若A的初速度大于B的初速度,开始两物体的速度差越来越小,间距越来越小,当两物体的速度相等时,两物体间的距离最小,如果此时A没有追上B,以后B的速度开始大于A的速度,二者间距又开始越来越大,物体A不可能追上物体B;如果速度相等时A恰好追上B,则以后A的速度小于B的速度,二者间距又开始越来越大(A仍在后面);如果A追上B时A
的速度比B的大,A将越过B,A越过B后,B、A间的距离又开始越来越大(A在前面),当两物体的速度相等时,两物体间的距离最大,然后B的速度大于A的速度,二者间距越来越小,直到B又追上A,越过A,可见这种情况下A、B的速度相同时,A已越过B,A、B能相遇两次。

(3)做匀减速运动的物体A追同方向做匀速运动或加速运动的物体B。

同(2)
(4)做匀加速运动(或匀速运动)的物体A追同方向做减速运动的物体B。

一定能追上。

若A的初速度不小于B 的初速度,间距越来越小,直到追上。

若A的初速度小于B的初速度,开始A、B间距变大,当A、B的速度相等时二者间距最大,以后A、B间距开始减小。

其它情况自己讨论。

综上,在追击问题中有一个重要特点,就是无论是能追上在追上前相距最远的时刻,还是不能追上相距最近的时刻,都是速度相同的时刻。

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