单服务台排队模型

2、计算公式
到达数(n) 出现次数 f n
Pn

n n!
e
理论频数 100 Pn
( fn 100Pn ) 2 100Pn
0
10
0.1224
12.24
0.4099
1
28
0.2571
25.71
0.2039
2
29
0.2700
27.00
0.1481
3
16
0.1890
18.90
0.4449
4
10
0.0992
２
５
３１
３
顾客
排队系统运行情况的分析，就是在给定输入 与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客) 的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标：
①系统中顾客数(队长)L； ②排队等待的顾客数(排队长)Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)W； ④顾客排队等待时间Wq。
排队模型的符号定义为： A/B/C/m/N
(3)普通性 在充分短的时间区间Δt内，到达两个或两
个以上顾客的概率极小，可以忽略不计，即

lim
t 0
n2
Pn
(t

t
)

0
在长为 t 的时间内到达n个顾客的概率为：
Pn
(t)

(t)n
n!
et
(t 0)
n 0,1, 2,L
其中λ表示单位时间平均到达的顾客数，即为到达率。
A — 顾客到达间隔时间概率分布; B — 服务时间的概率分布; C — 服务台数； m — 顾客源总数 N — 系统内顾客的容量
排队系统的常见分布
1、泊松分布 设N(Δt)表示在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数，是随机变量。当N(Δt)满足下列三个条件时，我们 说顾客的到达符合泊松分布。这三个条件是： (1)平稳性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客数 N(Δt)，只与区间长度Δt有关而与时间起点t无关。 (2)无后效性 在时间区间[t,t+Δt)内到达的顾客 数N(Δt)，与t以前到达的顾客数独立。
n0
1

P0 ( )n
n0
1
P0
1
1
P0 1
其中P0是空闲概率，
Pn

(1
)n
为利用率（服务台处于繁忙的概率）
对于M／M／1/∞/∞模型有如下公式：
P0 1
L 1 WL

Pn n (1 )
复习：
排队系统
顾客 源
顾客
队列
服务机构 服务完离开
排队规则
服务规则
排队系统的三个基本组成部分.
• 输入过程 （有限、无限；单个、成批；确定型、
随机型。
相继到达时间间隔
顾客到达
•排队规则 等待制、损失制、混合制 •服务机构 1、机构形式：单列、多列、服务台的数量 2、服务方式： 单个、成批 3、服务时间：确定型、随机型
当t=1时，
Pn

n
n!
e
n 0,1, 2,L
表示单位时间内到达n个顾客的概率。
容易计算Poisson分布Biblioteka Baidu总体均数与总体方差相等， 均为λ。
2、负指数分布 当顾客到达符合泊松分布时，顾客相继到达的间隔时间 T必服从负指数分布。
fT (t) et (t 0)
顾客服务时间常用概率分布也是负指数分布
f (t) et (t 0)
其中μ表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服 务率。
例8-1 某医院外科手术室任意抽查了100个工作小时， 每小时患者到达数n的出现次数如表，问每小时患者的 到达数是否服从泊松分布。
到达 数n
0
出现 次数fn
10
患者在单位时间内到达数的频数分布
1
2
3
i1
Ti
k 1 a 611 4
Q
2 0.05(4)
9.488
而 2
1.3026
2 0.05(4)
9.488
P 0.05
卡方分布下的检验水准及其临界值
接受假设，即患者到达数的经验分布适合λ=2.1的 泊松分布。
第八章 排队论
第二节 单服务台M/M/1排队模型
λ
λ
λ
λ
0
1
...
n-1
μμ
μ
μ
λ
λ
n
n+1
μ
μ
状态0： P1 P0

P1


P0
状态n： Pn1 Pn1 ( )Pn
n 1, 2,3,L
n=1： P0 P2 ( )P1

P0

P2

(

)

P0

P2

(
)2
P0
9.92
0.0006
5 ≥6
6
0.0416
1 7
0.0207
4.16 2.076.23
0.0952
∑
100
1.0000
100
1.3026
2 k ( Ai Ti )2 ,
i1
Ti
k 1 a a为参数的个数
2、计算公式
2 k (Ai Ti )2 1.3026
M/M/1/∞/∞ 模型
1、模型条件 （1）输入过程――顾客源是无限的，单个到来，到
达过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从 负指数分布； （2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先 服务； （3）服务机构――单服务台，服务时间的长短是随 机的，服从相同的负指数分布 。
排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程， 设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统 （M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表示：
Lq

2 (
)
Wq

Lq

例8-2 设某医院药房只有一名药剂员，取药的患者按 泊松分布到达，平均每小时20人，药剂员配药时间服 从指数分布，平均每人为2.5分钟。试分析该药房排 队系统的状态概率和运行指标。
解：这是一个M/M/1/∞/∞系统，单列，FCFS规则 根据题意已知，
n=2： P1 P3 ( )P2



P0

P3

(

)
2 2
P0
P3

(

)3
P0
类似可得
Pn

( )n
P0
令uuuuuuuuuuuur Pn

()n P0
由概率性质可知， Pn 1 n0

n0
Pn


( )n P0
4
5
6
≧7
28
29
16
10
6
1
0
x nfn 2.（1 人 / 小时）
100
1、原理 判断样本观察频数（A）与理论(期望)频数（T ）
之差是否由抽样误差所引起。
类别或组段 观察频数
理论频数
1
A1
T1
2
A2
T2
…
…
…
k
Ak
Tk
问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?
注意：理论频数Ti不宜过小（如不小于5），否则需要合并组段！