2011年考研数学概率论与数理统计重难点分析

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考研数学中的概率与统计重点难点

考研数学中的概率与统计重点难点在考研数学中，概率与统计这一板块一直是众多考生需要重点攻克的难关。

它不仅要求我们对基本概念有清晰的理解，还需要具备较强的逻辑推理和计算能力。

下面，我们就来详细探讨一下其中的重点和难点。

一、随机事件与概率这部分是概率与统计的基础，其中重点包括事件的关系与运算、概率的基本性质和古典概型、几何概型。

对于事件的关系，要明确包含、相等、互斥、对立等概念。

比如互斥事件指的是两个事件不能同时发生，而对立事件则是不仅不能同时发生，且必有一个发生。

古典概型的计算是常见的考点，需要我们准确地确定样本空间和事件所包含的样本点个数。

几何概型则要通过图形来理解，计算区域的面积或长度等。

概率的基本性质，如加法公式、乘法公式等，在解题中经常用到。

特别是条件概率，它是连接事件独立性和后续全概率公式、贝叶斯公式的重要桥梁。

二、随机变量及其分布这是概率与统计的核心内容之一。

重点在于离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布。

离散型随机变量要掌握常见的分布，如二项分布、泊松分布等。

理解它们的概率质量函数、期望和方差的计算方法。

连续型随机变量则要熟悉正态分布、均匀分布、指数分布等。

掌握概率密度函数的性质，以及利用概率密度函数计算概率。

另外，随机变量函数的分布也是一个难点。

需要通过变量代换等方法，求出新的随机变量的分布。

三、多维随机变量及其分布多维随机变量的重点是二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布。

联合分布函数和联合概率密度函数的性质和计算方法要熟练掌握。

通过联合分布可以求出边缘分布，而条件分布则是在已知部分信息的情况下，求出另一变量的分布。

独立性是多维随机变量中的重要概念，如果两个随机变量相互独立，那么它们的联合分布等于边缘分布的乘积。

四、随机变量的数字特征期望和方差是最基本的数字特征，要清楚它们的性质和计算方法。

对于期望，要理解离散型和连续型随机变量期望的计算公式。

方差则反映了随机变量的离散程度。

概率论与数理统计的考试重难点

概率论与数理统计的考试重难点万学*海文数学教研室——李兰巧2011年的考试大纲已经出炉，11年大纲概率部分和10年完全没有区别，所以考生在复习的时候可以按照既定计划进行复习即可。

概率与数理统计这门课程从试卷本身的难度的话，在三门课程中应该算最低的，但是从每年得分的角度来说，这门课程是三门课中得分率最低的，由于它的概念比较多，式子比较复杂，尤其是统计部分，很多同学在初学的时候都会被吓住，有的会选择放弃学概率。

其实是非常不明智的，因为我总结这门课的最大特点是，题型比较单一，解题手法也比较单一，比如大题基本上就围绕在随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，参数的矩估计和最大似然估计这几块。

这在《全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精讲》中重点介绍了相关题型，并且给出了独特和详细的求解步骤，考生认真学习后，必能轻松过关。

这门课程，很多同学觉得难，难在两点，一是古典概率，那块儿的计算一不小心就数错了，或者是不知道怎么来数数，其实这个大家放心，考研只会考简单的古典概率的计算，复杂的不会考，所以这部分可以很快通过；二是数理统计部分，这部分式子比较复杂，很多人学到这里就脑袋大，其实不用担心，这部分需要你真正去记忆的很少。

概率论与数理统计一共是八章，前五章是概率论，数学一、数学三都要考的。

数理统计是后面三章，数学一和数学三是要考的，但是估计量的评选标准、置信区间和假设检验只有数学一要求。

作为前面五章的概率论，我简单介绍一下。

第一章随机事件和概率，是后续各章的基础。

它的重点内容主要是事件的关系和运算，古典概型和几何概型，加法公式、减法公式、乘法公式、全概公式和贝叶斯公式。

第一章很少单独命题，经常是结合随机变量来考察的。

09年、10年连续两年利用古典概型结合随机变量已解答题的形式考察了。

第二章一维随机变量及其分布，这部分的重点内容是常见分布，同时它是学习二维随机变量的基础。

近几年考察一维随机变量的题目相对减少，更多的是考察二维随机变量的有关题目第三章二维随机变量，是考试的重点之重点。

考研数学概率复习难点归纳

考研数学概率复习难点归纳概率是考研数学中难度较大的一个章节，很多考生都会感到头痛，特别是在记忆和理解方面。

为了帮助考生更好地复习，本文将归纳概率复习中的难点。

1. 基本概率公式和加法公式概率的基本公式和加法公式是概率计算的基础，也是考研数学概率考试中的必考点。

但是，很多考生往往容易混淆这两个公式，造成计算错误。

•基本概率公式：$P(A) = \\frac{N(A)}{N}$其中，P(A)代表事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的样本点个数，N代表总的样本点个数。

•加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)其中，P(A+B)代表事件A或事件B发生的概率，P(AB)代表事件A和事件B同时发生的概率。

需要注意的是，加法公式只适用于“或”的情况，而不是“和”的情况。

因为“和”的情况存在重复计数的问题。

2. 条件概率和乘法公式条件概率和乘法公式是概率计算中的另一个基础。

但是，很多考生容易对条件概率和条件概率公式之间的区别存在混淆，难以理解概率问题。

•条件概率：$P(A|B) = \\frac{P(AB)}{P(B)}$其中，P(A|B)代表在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，而P(B)代表事件B发生的概率。

•乘法公式：$P(AB) = P(B) \\times P(A|B)$可以理解为：A和B同时发生的概率等于B发生的概率与在B发生的条件下A发生的概率的乘积。

对于条件概率和乘法公式，考生需要逐步理解它们的含义，尤其是在复杂的题目中，需要注意条件的限制和约束。

3. 独立事件和全概率公式独立事件和全概率公式是概率计算中比较复杂的内容，对于大多数考生来说，需要花费一定的复习时间才能理解。

•独立事件：如果事件A和事件B满足$P(AB) = P(A) \\times P(B)$，则事件A和事件B称为独立事件。

当事件A和事件B是独立事件时，知道事件B发生与否对事件A的概率没有影响，反之，知道事件A发生与否对事件B的概率也没有影响。

数学概率统计常见难点解析

数学概率统计常见难点解析数学概率统计是数学中的一门重要学科之一，其研究的是对随机事件的量化描述和分析。

随着社会的不断发展，数学概率统计在各个领域的应用也越来越广泛。

但是，数学概率统计中存在很多难点，许多学生在学习的过程中都会遇到很多困难。

本文将针对数学概率统计中的常见难点进行解析，旨在帮助广大学生更好地掌握这门学科。

一、概率的基础知识概率是数学概率统计中最基础的概念之一。

在概率的学习过程中，最容易引起困惑的就是条件概率和贝叶斯公式。

条件概率指的是在某一条件下发生某一事件的概率，最常见的就是求“已知B发生，A 也发生的概率”。

而贝叶斯公式则是解决在一些事件之后，又会发生什么事件的问题，即后验概率等于先验概率乘积与条件概率之比。

二、离散随机变量和连续随机变量随机变量是概率统计中的重要概念，将某种随机事件转化为数值，使得更容易进行分析和计算。

离散随机变量指的是取值为有限个或可数个的随机变量。

而连续随机变量则是指取值为某一区间内任意实数的随机变量。

在学习离散随机变量和连续随机变量的时候，常见的难点就是对于概率质量函数和概率密度函数的理解和使用。

其中，概率质量函数指的是离散随机变量在某个取值处的概率，而概率密度函数则指的是连续随机变量在某个区间内的可能性分布。

三、独立性和期望独立性和期望也是数学概率统计中的重要概念。

独立性指的是两个或多个事件之间相互独立，即发生一个事件不影响其他事件发生的概率。

而期望则是对于某一随机变量，取某一数值的概率乘以该数值并求和的结果。

在独立性和期望的学习中，常见的难点就是对于概率加法和期望加法的理解和运用。

四、假设检验和置信区间假设检验和置信区间是概率统计中常见的一种方法，通常用于判断某个事件是否发生以及在多大概率水平下某个事件可能发生。

在学习假设检验和置信区间的过程中，常见的难点就是对于零假设和备择假设的理解和应用。

另外，对于置信区间，学生还需要掌握对于置信水平的理解和应用。

2011考研数学概率论与数理统计强化课程讲义全

2011考研强化班概率论与数理统计讲义第1讲随机事件和概率1．1 知识网络图1．2 重点考核点的分布(1)样本空间与随机事件．*(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式)．*(3)条件概率与概率的乘法公式．**(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性)．**(5)全概公式与贝叶斯(Bayes)公式．(6)伯努利(Bernoulli)概型．各个考核点前面加“**”表示重点考核点；“*”表示次重点考核点；括号前没有标注的表示一般考核点(下同)．1．3 课上复习内容1．3．1 预备知识在复习“概率论”之前，我们需要掌握“二值集合”、“组合分析中的几个定理”、“随机现象及其统计规律”和“微积分”等内容，下面将有关内容作一简单介绍：1．3．1．1 二值集合集合是一个不能给出数学定义的概念，尽管如此，我们仍然可以给它一个定性描述．所谓集合就是按照某些规定能够识别的一些具体对象或事物的全体．构成集合的每一个对象或事物叫做集合的元素．集合通常用大写字母A，B，C表示，其元素用小写字母a，b，c表示．设A是一个集合，如果a是A的元素，记作a∈A，用“1”表示这一隶属关系；如果a 不是A的元素，记作a∈A(或a∉A)，用“0”表示这一隶属关系．因此，我们称这种集合为“二值集合”，在初等概率论中，我们只研究这样的集合．有关二值集合的表示方法、基本性质在初等数学中已作过详细讨论，这里不再重复．下面仅就集合的“相等”与“等价”概念以及集合分类情况作一简单介绍．例1设A＝{2，4，8}，则集合A的所有子集是，{2}，{4}，{8}，{2，4}，{2，8}，{4，8}，{2，4，8}．注意，在考虑集合A的所有子集时，不要把空集和它本身忘掉．设A，B是两个集合．如果A⊂B，B⊂A，那么称集合A与B相等，记作A＝B．很明显，含有相同元素的两个集合相等．例2设A＝{0，2，3}，B＝{x|x为方程x3－5x2＋6x＝0的解}，则A＝B．设A，B是两个集合．如果B的每一个元素对应于A的唯一的元素，反之A的每一个元素对应于B的唯一的元素，那么就说在A和B的元素之间建立了一一对应关系，并称A与B等价，记作A～B．与自然数集N等价的任何集合，称为可列集．显然，一切可列集彼此都是等价的．今后我们常称这类集合中元素的个数为可列个(或可数个)，并把有限个或可列个统称为至多可列个(或至多可数个)．例3设A＝{a|a＝2n，n∈N}，B＝{b|b＝n2＋1，n∈N}，则A～B．由上面的讨论可以看出，集合的分类如下：1．3．1．2 组合分析中的几个定理1．加法原理定理1设完成一件事有n类方法，只要选择任何一类中的一种方法，这件事就可以完成．若第一类方法有m1种，第二类方法有m2种，……，第n类方法有m n种，并且这m1＋m2＋…＋m n种方法里，任何两种方法都不相同，则完成这件事就有m1＋m2＋…＋m n种方法．2．乘法原理定理2设完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，……第n步有m n种方法，并且完成这件事必须经过每一步，则完成这件事共有m1m2…m n种方法．3．排列定义1 从n个不同元素中，每次取出m个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n 个元素中每次取出m个元素的排列．定理3从n个不同元素中，有放回地逐一取出m个元素进行排列(简称为可重复排列)，共有n m种不同的排列．例4 袋中有N个球，其中M个为白色，从中有放回地取出n个：①N＝10，M＝2，n＝3；②N＝10，M＝4，n＝3．考虑以下各事件的排列数：(Ⅰ)全不是白色的球．(Ⅱ)恰有两个白色的球．(Ⅲ)至少有两个白色的球．(Ⅳ)至多有两个白色的球．(Ⅴ)颜色相同．(Ⅵ)不考虑球的颜色．答案是：①当M＝2时，(Ⅰ)83．(Ⅱ)3×22×8．(Ⅲ)3×22×8＋23．(Ⅳ)3×22×8＋3×2×83＋83(或103－23)．(Ⅴ)23＋83．(Ⅵ)103．②当M＝4时，将上面的2→4，8→6即可．分析这是一个可重复的排列问题．由定理3，可求出其排列数．问题恰有两个白色球的答案中为什么是3倍的22×8，而不是1倍或6倍的？提示根据加法原理．定理4 从n 个不同元素中，无放回地取出m 个(m ≤n )元素进行排列(简称为选排列)共有)!(!)1()1(m n n m n n n -=+--种不同的排列．选排列的种数用mn A (或mn P )表示，即)!(!m n n A m n -=特别地，当m ＝n 时的排列(简称为全排列)共有n ·(n －1)(n －2)·…·3·2·1＝n ! 种不同排列．全排列的种数用P n (或nn A )表示，即P n ＝n !，并规定0!＝1．4．组合定义2 从n 个不同元素中，每次取出m 个元素不考虑其先后顺序作为一组，称为从n 个元素中每次取出m 个元素的组合．定理5 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合(简称为一般组合)共有(1)(1)!!!()!n n n m n m m n m --+=-种不同的组合．一般组合的组合种数用mn C (或⎪⎪⎭⎫⎝⎛m n )表示，即 ,)!(!!m n m n C m n -=并且规定.10=n C 不难看出m m nnm A C p =⋅例5 袋中有N 个球，其中M 个为白色，从中任取n 个： ①N ＝10，M ＝2，n ＝3；②N ＝10，M ＝4，n ＝3．考虑以下各事件的组合数： (Ⅰ)全不是白色的球． (Ⅱ)恰有两个白色的球． (Ⅲ)至少有两个白色的球． (Ⅳ)至多有两个白色的球． (Ⅴ)颜色相同． (Ⅵ)不考虑球的颜色．答案是：①当M ＝2时，(Ⅰ).0238C C (Ⅱ).1822C C (Ⅲ).1822C C(Ⅳ)211203328282810().C C C C C C C ++或 (Ⅴ).38C (Ⅵ)⋅310C②当M ＝4时，(Ⅰ).0436C C (Ⅱ).1624C C (Ⅲ).06341624C C C C +(Ⅳ))(34310360426141624C C C C C C C C -++或． (Ⅴ).3634C C +(Ⅵ)⋅310C分析(略)定理6 从不同的k 类元素中，取出m 个元素．从第1类n 1个不同元素中取出m 1个，从第2类n 2个不同的元素中取出m 2个，……，从第k 类n k 个不同的元素中取出m k 个，并且n i ≥m i ＞0(i ＝1，2，…，k )(简称为不同类元素的组合)，共有iik k m n ki m n m n m n C CC C ∏==12211 种不同取法．例6 从3个电阻，4个电感，5个电容中，取出9个元件，问其中有2个电阻，3个电感，4个电容的取法有多少种？解这是一个不同类元素的组合问题．由定理6知，共有60151413252423==C C C C C C即60种取法．例7 五双不同号的鞋，从中任取4只，取出的4只都不配对(即不成双)，求(Ⅰ)排列数；(Ⅱ)组合数．答案是：(Ⅰ)141618110C C C C ；(Ⅱ).1212121245C C C C C分析(略)1．3．1．3 微积分概率论可以分为“高等概率论”与“初等概率论”．初等概率论是建立在排列组合和微积分等数学方法的基础上的．全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的“概率论”就是初等概率论．微积分作为初等概率论的基础知识，除了我们已经比较了解的“函数、极限、连续、可导、可积”等概念之外，还应了解下面的有关概念．1．可求积与不可求积在微积分中，求不定积分与求导数有很大不同，我们知道，任何初等函数的导数仍为初等函数，而许多初等函数的不定积分，例如x x x x x xx x x x x d 1,d sin ,d ln 1,d sin ,d e 322+⎰⎰⎰⎰⎰- 等，虽然它们的被积函数的表达式都很简单，但在初等函数的范围内却积不出来．这不是因为积分方法不够，而是由于被积函数的原函数不是初等函数的缘故．我们称这种函数是“不可求积”的．因此，我们可以将函数划分为：在初等概率论中，正态分布密度函数就是属于可积而不可求积的一类函数． 2．绝对收敛(1)任意项级数的绝对收敛所谓任意项级数是指级数的各项可以随意地取正数、负数或零．下面给出绝对收敛与条件收敛两个概念．定义3 若任意项级数nn u∑∞=1的各项取绝对值所成的级数||1nn u∑∞=收敛，则称级数nn u ∑∞=1是绝对收敛的；若||1nn u∑∞=发散，而级数n n u ∑∞=1收敛，则称级数n n u ∑∞=1是条件收敛的．例如，级数nn n 1)1(11+∞=-∑是收敛的，但各项取绝对值所成的级数 ++++=-+∞=∑nn n n 1...211|1)1(|11是发散的，因而级数n n n 1)1(11+∞=-∑是条件收敛．又如，级数2111)1(n n n +∞=-∑各项取绝对值所成级数++++=-+∞=∑222111211|1)1(|nnn n是收敛的，因而级数2111)1(n n n +∞=-∑是绝对收敛的．定理7 若级数nn u∑∞=1绝对收敛，则nn u∑∞=1必定收敛．证明令),2,1()0(0)0(|)|(21=⎩⎨⎧<≥=+=n u u u u u v n n n n n n ，，于是）⋯=≥≥,2,1(0||n v u n n ．由||1nn u∑∞=收敛，根据正项级数的比较判别法，可知级数n n v ∑∞=1是收敛的．考虑到，||2n n n u v u -= 根据级数的基本性质，可知级数nn u∑∞=1也是收敛的．根据上面的定理，判断任意一个级数nn u∑∞=1的收敛性，可以先判断它是否绝对收敛．如果||1nn u∑∞=收敛，则n n u ∑∞=1也收敛．这样一来，我们可以借助于正项级数的判别法来判断任意项级数的敛散性了．但是，当级数||1nn u∑∞=发散时，不能由此推出级数n n u ∑∞=1也发散．在初等概率论中，我们将用绝对收敛这一概念来给出离散型随机变量均值的定义． (2)无穷积分的绝对收敛定义4 如果函数f (x )在任何有限区间[a ，b ](b ＞a )上可积，并且积分x x f ad |)(|⎰+∞收敛，那么，我们称积分x x f ad )(⎰+∞是绝对收敛的．此时，我们也称函数f (x )在无穷区间[a ，＋∞)上绝对可积．定理8 若积分x x f ad )(⎰+∞绝对收敛，则x x f ad )(⎰+∞必定收敛．上面的定理的逆定理并不成立，也就是说，从x x f ad )(⎰+∞的收敛性，不能推出x x f ad |)(|⎰+∞也收敛，例如，积分⎰+∞-d sin x xx是收敛的，但是积分x xx d |sin |0⎰+∞却发散．这一点与定积分不同，对于定积分，从x x f bad )(⎰的存在性，必能推出xx f bad |)(|⎰存在．若积分x x f ad )(⎰+∞收敛，而积分x x f ad |)(|⎰+∞发散时，则称积分x x f ad )(⎰+∞为条件收敛的．例如积分x xxad sin ⎰+∞是条件收敛的．在初等概率论中，我们将用绝对可积这一概念来给出连续型随机变量均值的定义． 1．3．2 样本空间与随机事件1．随机现象及其统计规律性在客观世界中存在着两类不同的现象：确定性现象和随机现象．在一组不变的条件S 下，某种结果必定发生或必定不发生的现象称为确定性现象．这类现象的一个共同点是：事先可以断定其结果．在一组不变的条件S 下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象．这类现象的一个共同点是：事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种．一般来说，随机现象具有两重性：表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律性．随机现象的偶然性又称为它的随机性．在一次实验或观察中，结果的不确定性就是随机现象随机性的一面；在相同的条件下进行大量重复实验或观察时呈现出来的规律性是随机现象必然性的一面，称随机现象的必然性为统计规律性．2．随机试验与随机事件为了叙述方便，我们把对随机现象进行的一次观测或一次实验统称为它的一个试验．如果这个试验满足下面的三个条件：(1)在相同的条件下，试验可以重复地进行．(2)试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果．(3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果．那么我们就称它是一个随机试验，以后简称为试验．一般用字母E表示．问题“一个具体的人，在一次乘车郊游时，因发生交通事故而受伤”，是否为随机试验？在随机试验中，每一个可能出现的不可分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点，用ω表示；而由全体基本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，记为Ω．例8设E1为在一定条件下抛掷一枚匀称的硬币，观察正、反面出现的情况．记ω1是出现正面，ω2是出现反面．于是Ω由两个基本事件ω1，ω2构成，即Ω＝{ω1，ω2}．例9 设E2为在一定条件下掷一粒骰子，观察出现的点数．记ωi为出现i个点(i＝1，2，…，6)．于是有Ω＝{ω1，ω2，…，ω6}．问题例8、例9中样本空间Ω的子集个数是多少？为什么？所谓随机事件是样本空间Ω的一个子集，随机事件简称为事件，用字母A，B，C等表示．因此，某个事件A发生当且仅当这个子集中的一个样本点ω发生，记为ω∈A．在例9中，Ω＝{ω1，ω2，…，ω6}，而E2中的一个事件是具有某些特征的样本点组成的集合．例如，设事件A＝{出现偶数点}，B＝{出现的点数大于4}，C＝{出现3点}，可见它们都是Ω的子集．显然，如果事件A发生，那么子集{ω2，ω4，ω6}中的一个样本点一定发生，反之亦然，故有A＝{ω2，ω4，ω6}；类似地有B＝{ω5，ω6}和C＝{ω3}．一般而言，在例9中，任一由样本点组成的Ω的子集也都是随机事件．1．3．3 事件之间的关系与运算事件之间的关系有：“包含”、“等价(或相等)”、“互不相容(或互斥)”以及“独立”四种．事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”．如果没有特别的说明，下面问题的讨论我们都假定是在同一样本空间Ω中进行的．1．事件的包含关系与等价关系设A，B为两个事件．如果A中的每一个样本点都属于B，那么称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为A⊂B或B⊃A．如果A⊃B与B⊃A同时成立，那么称事件A与事件B等价或相等，记为A＝B．在下面的讨论中，我们经常说“事件相同、对应概率相等”，这里的“相同”指的是两个事件“等价”．2．事件的并与交设A，B为两个事件．我们把至少属于A或B中一个的所有样本点构成的集合称为事件A与B的并或和，记为A∪B或A＋B．设A ，B 为两个事件．我们把同时属于A 及B 的所有样本点构成的集合称为事件A 与B 的交或积，记为A ∩B 或A ·B ，有时也简记为AB ．3．事件的互不相容关系与事件的逆设A ，B 为两个事件，如果A ·B ＝，那么称事件A 与B 是互不相容的(或互斥的)．对于事件A ，我们把不包含在A 中的所有样本点构成的集合称为事件A 的逆(或A 的对立事件)，记为.A 我们规定它是事件的基本运算之一．在一次试验中，事件A 与A 不会同时发生(即A ·A ＝，称它们具有互斥性)，而且A与A 至少有一个发生(即A ＋A ＝Ω，称它们具有完全性)．这就是说，事件A 与A 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=+∅=⋅.,ΩA A A A 问题 (1)事件的互不相容关系如何推广到多于两个事件的情形？(2)三个事件A ，B ，C ，ABC ＝与⎪⎩⎪⎨⎧∅=∅=∅=BC AC AB ,, 关系如何？根据事件的基本运算定义，这里给出事件之间运算的几个重要规律： (1)A (B ＋C )＝AB ＋AC (分配律)． (2)A ＋BC ＝(A ＋B )(A ＋C )(分配律)．(3)B A B A ⋅=+ (德·摩根律)．(4)B A B A +=⋅(德·摩根律)．有了事件的三种基本运算我们就可以定义事件的其他一些运算．例如，我们称事件AB 为事件A 与B 的差，记为A －B ．可见，事件A －B 是由包含于A 而不包含于B 的所有样本点构成的集合．例10 在数学系学生中任选一名学生．设事件A ＝{选出的学生是男生}，B ＝{选出的学生是三年级学生}，C ＝{选出的学生是科普队的}．(1)叙述事件ABC 的含义．(2)在什么条件下，ABC ＝C 成立？ (3)在什么条件下，C ⊂B 成立？解 (1)事件ABC 的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．(2)由于ABC ⊂C ，故ABC ＝C 当且仅当C ⊂ABC ．这又当且仅当C ⊂AB ，即科普队员都是三年级的男生．(3)当科普队员全是三年级学生时，C 是B 的子事件，即C ⊂B 成立． 4．事件的独立性设A ，B 是某一随机试验的任意两个随机事件，称A 与B 是相互独立的，如果P (AB )＝P (A )P (B )．可见事件A 与B 相互独立是建立在概率基础上事件之间的一种关系．所谓事件A 与B 相互独立就是指其中一个事件发生与否不影响另一个事件发生的可能性，即当P (B )≠0时，A 与B 相互独立也可以用)()|(A P B A P =来定义．由两个随机事件相互独立的定义，我们可以得到：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．如果事件A ，B ，C 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P 则称事件A ，B ，C 相互独立．注意，事件A ，B ，C 相互独立与事件A ，B ，C 两两独立不同，两两独立是指上述四个式子中前三个式子成立．因此，相互独立一定是两两独立，但反之不一定．例11 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A ＝{掷第一次出现正面}，B ＝{掷第二次出现正面}，C ＝{正、反面各出现一次}，则事件A ，B ，C 是相互独立，还是两两独立？解由题设，可知P (AB )＝P (A )P (B )，即A ，B 相互独立．而1()(())()()(),4P AC P A AB AB P AB P A P B =+===()()()()()(()())P A P C P A P AB AB P A P AB P AB =+=+⋅=+⨯=41)4121(21 故A ，C 相互独立，同理B ，C 也相互独立．但是P (ABC )＝P (∅)＝0，而 ,81212121)()()(=⨯⨯=C P B P A P 即 )()()()(C P B P A P ABC P ≠,因此A ，B ，C 两两独立．问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系？在一般情况下，即P (A )＞0，P (B )＞0时，有关系吗？为什么？(2)设0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (B |A )＋P (B |A )＝1．问A 与B 是否独立，为什么？由此可以得到什么结论？1．3．4 概率的定义与性质1．概率的公理化定义定义5 设E 是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E 中所有的随机事件组成的集合为定义域，定义一个函数P (A )(其中A 为任一随机事件)，且P (A )满足以下三条公理，则称函数P (A )为事件A 的概率．公理1(非负性) 0≤P (A )≤1．公理2(规范性) P (Ω)＝1．公理3(可列可加性) 若A 1，A 2，…，A n ，…两两互斥，则).()(11i i i i A P A P ∑∞=∞==由上面三条公理可以推导出概率的一些基本性质．性质1(有限可加性) 设A 1，A 2，…，A n 两两互斥，则).()(11i ni i n i A P A P ∑===性质2(加法公式) 设A ，B 为任意两个随机事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )．性质3 设A 为任意随机事件，则P (A )＝1－P (A )．性质4 设A ，B 为两个任意的随机事件，若A ⊂B ，则P (B －A )＝P (B )－P (A )．由于P (B －A )≥0，根据性质4可以推得，当A ⊂B 时，P (A )≤P (B )．例12 设A ，B ，C 是三个随机事件，且=====)()(,41)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81)(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率．解设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )．又因为,41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P ,而由P (AB )＝0，有P (ABC )＝0，所以⋅=-=858143)(D P 问题怎样由P (AB )＝0推出P (ABC )＝0？提示利用事件的关系与运算导出．例13 设事件A 与B 相互独立，P (A )＝a ，P (B )＝b ．若事件C 发生，必然导致A 与B 同时发生，求A ，B ，C 都不发生的概率．解由于事件A 与B 相互独立，因此P (AB )＝P (A )·P (B )＝a ·b ．考虑到C ⊂AB ，故有,B A B A AB C ⊃+=⊃因此).1)(1()()()()(b a B P A P B A P C B A P --===2．概率的统计定义定义6 在一组不变的条件S 下，独立地重复做n 次试验．设μ是n 次试验中事件A 发生的次数，当试验次数n 很大时，如果A 的频率f n (A )稳定地在某一数值p 附近摆动；而且一般说来随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值p 为事件A 在条件组S 下发生的概率，记作.)(p A P =问题 (1)试判断下式p n n =∞→μlim成立吗？为什么？(2)野生资源调查问题池塘中有鱼若干(不妨假设为x 条)，先捞上200条作记号，放回后再捞上200条，发现其中有4条带记号．用A 表示事件{任捞一条带记号}，问下面两个数2004,200x 哪个是A 的频率？哪个是A 的概率？为什么？3．古典概型古典型试验：(Ⅰ)结果为有限个；(Ⅱ)每个结果出现的可能性是相同的．等概完备事件组：(Ⅰ)完全性；(Ⅱ)互斥性；(Ⅲ)等概性．(满足(Ⅰ)，(Ⅱ)两条的事件组称为完备事件组)定义7 设古典概型随机试验的基本事件空间由n 个基本事件组成，即Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }．如果事件A 是由上述n 个事件中的m 个组成，则称事件A 发生的概率为⋅=nm A P )( (1－1) 所谓古典概型就是利用式(1－1)来讨论事件发生的概率的数学模型．根据概率的古典定义可以计算古典型随机试验中事件的概率．在古典概型中确定事件A 的概率时，只需求出基本事件的总数n 以及事件A 包含的基本事件的个数m ．为此弄清随机试验的全部基本事件是什么以及所讨论的事件A 包含了哪些基本事件是非常重要的．例14 掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率．解设A ＝{出现正正}，其基本事件空间可以有下面三种情况：(Ⅰ)Ω1＝{同面、异面}，n 1＝2．(Ⅱ)Ω2＝{正正、反反、一正一反}，n 2＝3．(Ⅲ)Ω3＝{正正、反反、反正、正反}，n 3＝4．于是，根据古典概型，对于(Ⅰ)来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m 1＝1，于是有21)(=A P ．而对于(Ⅱ)来说，m 2＝1，于是有31)(=A P ．而对于(Ⅲ)来说，m 3＝1，于是有41)(=A P ．问题以上讨论的三个结果哪个正确，为什么？例15 求1．3．1预备知识的例5中(Ⅰ)至(Ⅴ)问的概率．答案是：①当M ＝2时，(Ⅰ)⋅31038/C C (Ⅱ)⋅31018/C C (Ⅲ)⋅31018/C C (Ⅳ)1． (Ⅴ)⋅31038/C C②当M ＝4时，(Ⅰ)⋅31038/C C (Ⅱ)⋅3101624/C C C (Ⅲ)310341624/)(C C C C +．(Ⅳ)31034310/)(C C C -． (Ⅴ) 3103634/)(C C C +．分析(略)问题 (1)例15中各问可否使用排列做，为什么？(2)用排列或组合完成例15时哪种方法较为简便？例16 求1．3．1预备知识的例4中(Ⅰ)至(Ⅴ)问的概率．答案是：①当M ＝2时，(Ⅰ)3310/8． (Ⅱ)3210/823⨯⨯． (Ⅲ)33210/)2823(+⨯⨯．(Ⅳ)33310/)210(-． (Ⅴ)33310/)82(+．②当M ＝4时，将上面的2→4，8→6即可．分析(略)问题 (1)例16中各问可否使用组合做，为什么？(2)用元素可重复的排列或组合完成例16时，哪种方法较为简便？(3)小结一下“古典概型”中“有放回地抽取”与“无放回地抽取”时分别应采用的方法．例17 求1．3．1预备知识的例7中“取出的4只都不配对”的概率．答案是：410141618110/P C C C C 或 4111145222210/C C C C C C ．分析(略)例18 从一副扑克牌的13张梅花中，有放回地取3次，求三张都不同号的概率．解这是一个古典概型问题．设A ＝{三张都不同号}．由题意，有n ＝133，m ＝313P ，则 ⋅==169132)(n m A P问题如果我们进一步问三张都同号，三张中恰有两张同号如何求出？另外，本题可否使用二项概型计算？例19 在20枚硬币的背面分别写上5或10，两者各半，从中任意翻转10枚硬币，这10枚硬币背面的数字之和为100，95，90，…，55，50，共有十一种不同情况．问出现“70，75，80”与出现“100，95，90，85，65，60，55，50”的可能性哪个大，为什么？答案是：出现“70，75，80”可能性大，约为82％．分析这是一个古典概型问题．设A ＝{出现“70，75，80”}，由题意，有,2,6104105105101020C C C C m C n +==则 ⋅==184756151704)(n m A P 4．几何概型几何型试验：(Ⅰ)结果为无限不可数；(Ⅱ)每个结果出现的可能性是均匀的．定义4 设E 为几何型的随机试验，其基本事件空间中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件A 所包含的基本事件，则称事件A 发生的概率为,)()()(Ω=L A L A P (1－2) 其中L (Ω)与L (A )分别为Ω与A 的几何度量．所谓几何概型就是利用式(1－2)来讨论事件发生的概率的数学模型．注意，上述事件A 的概率P (A )只与L (A )有关，而与L (A )对应区域的位置及形状无关．例20 候车问题某地铁每隔5 min 有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每一个乘客到站等车时间不多于2 min 的概率．解设A ＝{每一个乘客等车时间不多于2 min}．由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站，因此每一乘客到达站台时刻t 可以看成是均匀地出现在长为5 min 的时间区间上的一个随机点，即Ω＝[0，5)．又设前一列车在时刻T 1开出，后一列车在时刻T 2到达，线段T 1T 2长为5(见图1－1)，即L (Ω)＝5；T 0是T 1T 2上一点，且T 0T 2长为2．显然，乘客只有在T 0之后到达(即只有t 落在线段T 0T 2上)，等车时间才不会多于2min ，即L (A )＝2．因此图1－1⋅=Ω=52)()()(L A L A P 问题 (1)例20可否使用一维均匀分布来计算？(2)举例说明：(Ⅰ)概率为0的事件不一定是不可能事件．(Ⅱ)概率为1的事件不一定是必然事件．例21 会面问题甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，它们同日到达时会面的概率是多少？解这是一个几何概型问题．设A ＝{它们会面}．又设甲乙两船到达的时刻分别是x ，y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24．由题意可知，若要甲乙会面，必须满足|x －y |≤2，即图中阴影部分．由图1－2可知：L (Ω)是由x ＝0，x ＝24，y ＝0，y ＝24图1－2所围图形面积S ＝242，而L (A )＝242－222，因此.)2422(1242224)()()(2222-=-=Ω=L A L A P 问题例21可否使用二维均匀分布来计算？1．3．5 条件概率与概率的乘法公式1．条件概率前面我们所讨论的事件B 的概率P S (B )，都是指在一组不变条件S 下事件B 发生的概率(但是为了叙述简练，一般不再提及条件组S ，而把P S (B )简记为P (B ))．在实际问题中，除了考虑概率P S (B )外，有时还需要考虑“在事件A 已发生”这一附加条件下，事件B 发生的概率．与前者相区别，称后者为条件概率，记作P (B |A )，读作在A 发生的条件下事件B 的概率．在一般情况下，如果A ，B 是条件S 下的两个随机事件，且P (A )≠0，则在A 发生的前提下B 发生的概率(即条件概率)为)()()|(A P AB P A B P =， (1－3) 并且满足下面三个性质：(1)(非负性)P (B |A )≥0；(2)(规范性)P (Ω|A )＝1；(3)(可列可加性)如果事件B 1，B 2，…互不相容，那么).|()|(11A B P A B P i i i i ∑∞=∞==问题 (1)条件概率在原样本空间Ω中是某一个事件的概率吗？(2)如何判断一个问题中所求的是条件概率还是无条件概率？(3)在一个具体问题中条件概率如何获得？例22 设随机事件B 是A 的子事件，已知P (A )＝1/4，P (B )＝1/6，求P (B |A )．分析这是一个条件概率问题．解因为B ⊂A ，所以P (B )＝P (AB )，因此⋅===32)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 2．概率的乘法公式在条件概率公式(1－3)的两边同乘P (A )，即得P (AB )＝P (A )P (B |A )． (1－4)例23 在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解设事件A ＝{第一次取到正品}，B ＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出.010095)(=/=A P 由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以⋅=995)|(A B P 由公式(1－4)， ⋅=⨯==3961999510095)|()()(A B P A P AB P问题 (1)例23中，问两件产品为一件正品，一件次品的概率是多少？(2)例23中，将“无放回地抽取”改为“有放回地抽取”，答案与上题一样吗？为什么？例24 抓阄问题五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．分析 (1)什么是“抓阄”问题，如何判断它？(2)例24中“求第二个人抓到的概率”是指“在第一人没有抓到的条件下，第二个人抓到的概率”吗？解这是一个乘法公式的问题．设A i ＝{第i 个人抓到有物之阄}(i ＝1，2，3，4，5)，有⋅=+∅=+=+=Ω=2121212111222)(A A A A A A A A A A A A A根据事件相同，对应概率相等有).|()()()(121212A A P A P A A P A P ==又因为,41)|(,54)(,51)(1211===A A P A P A P所以⋅=⨯=514154)(2A P 问题 (1)本题还有其他方法解决吗？(2)若改成n 个人抓m 个有物之阄(m ＜n )，下面的结论),,2,1()(n k nm A P k == 还成立吗？例25 设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色．今从袋中随机地取一个球，设事件A ＝{取出的球涂有白色}，B ＝{取出的球涂有红色}，C ＝{取出的球涂有蓝色}．试验证事件A ，B ，C 两两相互独立，但不相互独立．证根据古典概型，我们有n ＝4，而事件A ，B 同时发生，只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球，即m ＝1，因而⋅=41)(AB P 同理，事件A 发生，只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球，因而⋅==⋅==2142)(2142)(B P A P 因此，有 ,412121)()(=⨯=B P A P 所以 P (AB )＝P (A )P (B )，即事件A ，B 相互独立．类似可证，事件A ，C 相互独立，事件B ，C 相互独立，即A ，B ，C 两两相互独立，但是由于,41)(=ABC P 而 ,4181212121)()()(=/=⨯⨯=C P B P A P 所以A ，B ，C 并不相互独立．例26 加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．答案是：0.124(或1－0.98×0.97×0.95×0.97)．问题本题使用加法公式还是乘法公式较为简便？例27 一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率．答案是：)989099910010(0084.0⨯⨯或．。

数学概率论重难点解析

数学概率论重难点解析概率论是数学中的一个重要分支，研究的是不确定性事件的规律性。

在学习概率论的过程中，很容易遇到一些重难点，下面将对其中几个重要的难点进行解析。

一、概率定义与性质概率的定义是指在具有一定条件的情况下，某事件发生的可能性大小。

概率的性质包括非负性、规范性、可列可加性等。

概率的非负性表示概率值不会是负数；概率的规范性意味着所有可能事件的概率之和等于1；概率的可列可加性是指对于可列个两两互斥的事件，它们的概率之和等于各事件概率的极限。

二、古典概型与几何概型在概率论中经常遇到的是古典概型和几何概型。

古典概型是指在试验前能够确定每个基本事件发生的可能性相等的情况，例如掷一枚均匀的骰子，每个面出现的概率都是1/6。

而几何概型则是指事件发生与事件的几何性质有关的情况，例如在二维平面上随机取一点，点落在某一区域内的概率与区域的面积有关。

三、条件概率与独立性条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。

条件概率的计算可以通过贝叶斯定理进行，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

独立性是指两个事件发生与否互不影响的情况。

如果事件A和事件B是独立的，那么P(A|B) = P(A)，即在已知事件B发生的情况下，事件A的概率与事件B无关。

四、常见概率分布概率论中还有一类重要的难点是各种概率分布的理解和运用。

几个常见的概率分布包括离散型分布（如二项分布、泊松分布）和连续型分布（如正态分布、指数分布）。

对于这些概率分布，需要了解其分布函数、概率密度函数、期望值、方差等基本性质。

五、大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理，它们揭示了随机事件的规律性。

大数定律表明，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于该事件的概率。

中心极限定理则指出，独立的随机变量之和在一定条件下服从正态分布，不管这些随机变量是什么分布。

总结：概率论作为数学的一个分支，涉及了很多重要的难点。

2011年硕士研究生统一考试数学真题命题分析

2011年硕士研究生统一考试数学真题命题分析启航教育数学研究中心启航的数学教育团队具有多年辅导经验，深谙考研数学的命题思路和规律。

在2011年全国研究生入学数学考试结束的第一时间，启航考研数学中心工作人员对2011年考研数学真题做了细致的分析，同时也为广大2012的考生提供了备考的意见和建议。

一、命题特点2011的数学大纲跟10相比没有变化，今年数学真题的命题特点与启航在考前所做的预测基本一致。

先总体分析一下今年的大题（以数三为例）：高数的大题总体来说命题思路比较常规，强调基础，突出了考试大纲中所要求的重难点。

总体难度不大。

启航考研，线性代数部分的两道大题一道考在向量与线性方程组这一部分，另一道考在特征值与特征向量这一块，是最常见的出题方式。

考题还是以考查考生对基本概念、核心定理的记忆和理解，以计算能力为重。

概率论与数理统计的两道考题集中在多维随机变量这部分，其中离散型一道题，连续型一道题，出题的方式比较常规，比较偏重考查考生的对基本的计算公式的掌握程度，总结今年考题的命题思路主要有以下两个方面：1．试题难度稳中有降纵观整个试卷应该是仍然延续了前两年的考试趋势，覆盖大纲的面比较广，考查的均是大纲所要求的基本内容和重难点，没有偏题，没有怪题，难度适中。

跟往年相比，就数三来讲由于2008、2009连续考了两个书上的定理，2010年把原来出的证明题转化成两个证明题，因此相对来说难度稍有提高。

启航考研，2008、2009年相对来说计算量大，难度适中，2010年由于多了两个证明题，显得计算量偏小，难度稍有提高。

2011年出题总体来说还是延续了以往的思路：以考查考生的计算能力和综合运用知识的能力为主。

高等数学的这类证明题已经好多年没有考过了，很多人没有预测到。

但它实际上也是对这一块基本思想和基本方法的应用，比2010年的证明要简单，这种题型的思想其实大家在做小题的时候经常会遇得到，考察的还是基础的内容和方法的应用。

概率论与数理统计重点笔记

概率论与数理统计重点笔记
概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它涉及到随机现
象的概率规律和统计规律的研究。

在学习概率论与数理统计时，我
们需要掌握一些重点概念和方法，下面我会从概率论和数理统计两
个方面分别介绍一些重点内容。

首先是概率论部分。

概率论是研究随机现象的规律性和统计规
律的数学理论。

重点内容包括事件与概率、随机变量及其分布、大
数定律和中心极限定理等。

事件与概率是概率论的基础，它涉及到
样本空间、事件的概念、事件的运算规则等内容。

随机变量及其分
布是概率论的核心内容，包括离散型随机变量、连续型随机变量及
它们的分布、数学期望和方差等。

大数定律和中心极限定理是概率
论的重要成果，它们揭示了大量独立随机变量和的平均值的规律性，是概率论在实际问题中的重要应用。

其次是数理统计部分。

数理统计是利用数学方法研究统计规律
的学科。

重点内容包括抽样分布、参数估计、假设检验等。

抽样分
布是数理统计的基础，它涉及到样本分布、样本均值的分布、样本
方差的分布等内容。

参数估计是数理统计的核心内容，包括点估计
和区间估计，涉及到最大似然估计、贝叶斯估计等方法。

假设检验
是数理统计的重要应用，它包括了假设检验的基本原理、参数检验和非参数检验等内容。

总的来说，概率论与数理统计是数学中的重要分支，它们的重点内容涉及到概率论和数理统计的基本概念、方法和应用。

在学习过程中，我们需要深入理解这些内容，并能够灵活运用到实际问题中去。

希望这些内容能够帮助你更好地理解概率论与数理统计。

考研数学备考常见难点和解决方法

考研数学备考常见难点和解决方法数学是考研中必考科目之一，许多考生因为数学基础较弱，备考阶段遇到许多难点。

本文将从常见难点入手，为大家提供解决方法。

一、概率论与数理统计概率论与数理统计是数学中的重点难点，而且这一部分考察的知识点较为典型，需要考生掌握。

许多考生在这一部分的备考过程中面临以下几个难点。

1.随机变量的认识不足在考试中，许多题目都需要用到随机变量的知识，但是许多考生对随机变量的定义和认识不足，导致随机变量的应用出现问题。

解决方法是在平时的学习中注重对随机变量的定义和特点进行理解，同时多做一些随机变量的例题，加深对其应用的理解。

2.条件概率的混淆在概率论与数理统计中，条件概率是重要的考察点，考生需要掌握条件概率的概念和计算方法。

许多考生在此处会将条件概率和联合概率混淆，导致计算错误。

解决方法是在自己的笔记中区分不同的概念，同时多做一些涉及条件概率的例题，加深对其应用的理解。

二、高等数学高等数学是数学中的重点难点，考生需要掌握函数、极限、导数、积分等知识点。

在备考的过程中，考生需要关注以下难点。

1.极限的求解极限是高等数学的重点，许多题目都需要用到极限的知识点。

但是，许多考生在求解极限时，容易陷入找不到方法的困境。

解决方法是在平时的学习中多做极限的例题，并注重对不同的求解方法和技巧进行理解和掌握。

2.积分的应用积分也是高等数学中的重点，考生需要掌握积分的应用。

但是，许多考生在计算积分时会出现一些小错误，导致计算结果错误。

解决方法是在做题中注重细节的处理，同时多做一些积分的例题，加深对其应用的理解。

三、线性代数线性代数是数学中的重点难点，考生需要掌握知识点，如矩阵、行列式、向量空间等。

在备考的过程中，考生需要关注以下难点。

1.矩阵的运算矩阵的运算是线性代数中的重点，许多题目都需要用到矩阵的知识点。

但是，考生容易在矩阵的加减乘除中出现一些计算错误。

解决方法是加强对矩阵的基本运算法则的掌握，多做一些矩阵的例题，加深对其应用的理解。

考研数学概率论与数理统计难点分析

考研数学概率论与数理统计难点分析一直以来概率论与数理统计都是考研数学中的一大难点，考生们的问题也是多种多样。

考研专家通过对历年真题的分析与考生们的反馈。

整理出了以下几大难点及常考的几大提醒。

如果您有任何关于考研数学的相关问题可以点击咨询我们的在线老师。

概率论与数理统计初步主要考查考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

一、随机事件与概率重点难点：重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算常考题型：(1)事件关系与概率的性质(2)古典概型与几何概型(3)乘法公式和条件概率公式(4)全概率公式和Bayes公式(5)事件的独立性(6)贝努利概型二、随机变量及其分布重点难点重点：离散型随机变量概率分布及其性质，连续型随机变量概率密度及其性质，随机变量分布函数及其性质，常见分布，随机变量函数的分布难点：不同类型的随机变量用适当的概率方式的描述，随机变量函数的分布常考题型(1)分布函数的概念及其性质(2)求随机变量的分布律、分布函数(3)利用常见分布计算概率(4)常见分布的逆问题(5)随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布重点难点重点：二维随机变量联合分布及其性质，二维随机变量联合分布函数及其性质，二维随机变量的边缘分布和条件分布，随机变量的独立性，个随机变量的简单函数的分布难点：多维随机变量的描述方法、两个随机变量函数的分布的求解常考题型(1)二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布(2)二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布(3)二维随机变量函数的分布(4)二维随机变量取值的概率计算(5)随机变量的独立性四、随机变量的数字特征重点难点重点：随机变量的数学期望、方差的概念与性质，随机变量矩、协方差和相关系数难点：各种数字特征的概念及算法常考题型(1)数学期望与方差的计算(2)一维随机变量函数的期望与方差(3)二维随机变量函数的期望与方差(4)协方差与相关系数的计算(5)随机变量的独立性与不相关性五、大数定律和中心极限定理重点难点重点：中心极限定理难点：切比雪夫不等式、依概率收敛的概念。

概率论与数理统计各章难点

独立同分布，其期望、方差 2 > 0 存在，则有
l i m P { k 1
X
n
k
n x } ( x ) .
n
n
或者
1 n Xk n l i m P { k 1 x } ( x ) . n / n
定理 ( 棣莫弗- 拉普拉斯定理 ) 若 Xn ~ b (n , p ) , 则有
n
n xi
n
0,

所以， p 的最大似然估计量为
第六章参数估计
点估计的常用方法
最大似然估计由总体X的概率密度 f (x) (或分布律P {X= xi } ) 建立似然函数
L( ) L( x1 , x 2 , , x n ; )
f ( x , )
i
n
或
L( ) L( x1 , x 2 ,, x n ; )
P{ X x }

0
dy

y
2e
2( x y )
1 dx . 3
y G0
O
x
例2 已知 X 、Y 的联合密度函数为： 6 ，x2≤y≤x;
1
y
y=x2
f ( x，y ) =
0 ，
其它 . G
计算 X、Y 的边缘概率密度. 解 fX (x) = f (x, y) dy =
x x2
fY ( y )= fX ( g 1 ( y )) [g 1 ( y )].
两端求导数
例1 已知 X 具有密度函数 x ， 0＜x＜4， 8 f X (x) = 0 ，其它.
求 Y = 2X + 8 的密度函数. 解 y–8 2 ).

考研数学的概率论初期复习难点及方法推荐

考研数学的概率论初期复习难点及方法推荐第1篇：考研数学的概率论初期复习难点及方法推荐概率论与数理统计和高等数学、线*代数不同，后者中计算技巧多一些，而概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，但对考生分析问题的能力要求高一些，概率论与数理统计中的一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。

一、概率论与数理统计的试题特点对历年的考题来看，概率论与数理统计这部分内容考查单一知识点比较少，即使是填空题和选择题。

大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力，考生要能够灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

二、初期复习难点很多考生都有这样的感受，初期复习的时候，连概率的题目也看不懂，这也成了广大考生的难点。

看不懂题目一方面是因为做的题目比较少，另一个很重要的方面是对基本概念、基本*质理解的不够深刻，没有理解到这些概念的精髓和用途。

考研教育网建议学子一方面多做些题目，尤其是文字叙述的题目，逐渐提高自己分析问题的能力。

另一方面花点时间准确理解概率论与数理统计中的基本概念，可以结合一些实际问题理解概念和公式，反过来，也可以通过做一些文字叙述题巩固概念和公式。

只要公式理解的准确到位，并且多做些相关题目，考卷中碰到类似题目时就一定能够轻易读懂和正确解答。

三、错题原因分析除了复习中有困难，我们还要看看做这部分试题容易出错的主要原因：1.概念不清，弄不清事件之间的关系和事件的结构；2.分析有误，概率模型搞错；3.不能正确地选择概率公式去*和计算；4.不能熟练地应用有关的定义、公式和*质进行综合分析、运算和*。

因此考生只有将有关的定义、公式和*质以及概率模型弄透了，才有可能在做题时少犯错误。

四、公式记忆方法推荐概率论与数理统计中的公式不仅要记住，而且要会用，要会用这些公式分析实际中的问题。

考研教育网在这里推荐一个记忆公式的方法，就是结合实际的例子和模型记忆。

考研数学一大纲重难点解析概率论与数理统计部分典型题型剖析

考研数学一大纲重难点解析概率论与数理统计部分典型题型剖析概率论与数理统计是考研数学一大纲中的重要部分，也是考生们在备考过程中常常遇到的难点之一。

本文将重点解析概率论与数理统计的典型题型，帮助考生更好地掌握这一部分知识。

一、概率论1. 概率与事件概率论的基础是概率与事件的概念。

在此部分，考生需要掌握事件的基本概念、事件的运算、概率的定义、概率的性质等内容。

典型题型包括事件的互斥与独立性、事件的运算法则等。

考生在解答此类题目时应注意运用概率的基本性质，并进行合理的计算。

2. 随机变量及其分布律随机变量是概率论与数理统计的重要概念之一。

考生需要掌握随机变量的定义、离散随机变量与连续随机变量的概念、分布律的性质等知识点。

典型题型包括计算随机变量的期望、方差等。

考生在解答此类题目时应注意根据定义和性质进行计算，并合理运用公式。

3. 数理期望与方差数理期望与方差是随机变量的重要特征之一。

考生需要掌握数理期望与方差的概念、性质、计算方法等知识点。

典型题型包括利用数理期望与方差计算随机变量的相关性和条件概率等。

考生在解答此类题目时应注意计算过程的合理性，并运用数理期望与方差的性质进行推理。

4. 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理是概率论的重要理论。

考生需要掌握大数定律与中心极限定理的概念、条件以及应用方法。

典型题型包括利用大数定律和中心极限定理求解随机变量的极限分布等。

考生在解答此类题目时应注意运用大数定律和中心极限定理的条件，并进行合理的推导。

二、数理统计1. 参数估计参数估计是数理统计的重要内容之一。

考生需要掌握点估计和区间估计的概念、性质、计算方法等知识点。

典型题型包括利用最大似然估计和矩估计求解参数的估计量等。

考生在解答此类题目时应注意理解估计的概念和方法，并进行合理的计算与推导。

2. 假设检验假设检验是数理统计中的重要内容之一。

考生需要掌握假设检验的基本原理、步骤、常见假设检验方法等知识点。

考研数学概率论与数理统计的解题技巧

考研数学概率论与数理统计的解题技巧概率论与数理统计是考研数学中常见的一门重要课程，也是很多考生感到头疼的一门学科。

然而，只要我们掌握了一些解题技巧，就能在考试中事半功倍。

本文将介绍几种有效的解题技巧，帮助考生高效备考，并取得优异的成绩。

一、概率论解题技巧概率论作为考研数学中的一部分，涉及到多种基本概念和公式。

下面，将介绍几种解题技巧，帮助考生更好地理解和应用概率论的知识点。

1. 熟练掌握基本概率公式在解概率论题目时，我们需要熟悉并且掌握基本的概率公式，如加法定理、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式等。

通过不断的练习，我们可以更加灵活地运用这些公式解决各种概率计算问题。

2. 划分样本空间对于复杂的概率问题，我们可以通过划分样本空间的方法来简化问题。

将问题分解为多个互斥事件，然后计算每个事件的概率，最后将它们相加得到最终的结果。

3. 排列组合的运用在计算概率的过程中，经常会遇到排列组合的问题。

对于这类问题，我们需要熟练掌握排列组合的相关知识，并理解其在概率计算中的应用。

二、数理统计解题技巧数理统计是考研数学中的另一门重要课程，其中包含了很多统计学的基本概念和方法。

下面，将介绍几种解题技巧，帮助考生更好地应对数理统计的考试题目。

1. 理解概念在学习数理统计时，我们首先需要理解其中的各种概念，如样本和总体、参数和统计量等。

只有在理解了这些概念的基础上，我们才能正确地应用相应的统计方法解决问题。

2. 分析问题并确定解题方法在遇到数理统计的问题时，我们需要仔细分析问题，并确定解题的合适方法。

根据问题的具体要求，我们可以选择假设检验、置信区间估计、方差分析等方法进行分析和计算。

3. 熟悉分布数理统计中有很多重要的分布，如正态分布、t分布和卡方分布等。

我们需要熟悉这些分布的性质和应用，以便在解题过程中能够正确选择相应的分布并进行计算。

结语通过掌握上述的解题技巧，考生可以更加高效地备考概率论与数理统计，并在考试中取得优异的成绩。

2011年考研数学概率复习重点归纳

2010 年基础班讲课提要-------概率统计
概率统计辅导讲义
第一讲第二讲第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲概率与事件的概率计算一维随机变量及其相关问题多维随机变量及其相关问题期望, 方差与相关系数多元正态分布的相关问题；极限定理统计的基本概念和抽样分布；点估计估计量的评选准则、区间估计与假设检验（仅限数一）
P( A I B) P( B)
P( B) > 0
注：条件概率也是一种概率，故概率的运算规则同样适用于条件概率。例14 设 P ( A | B ) = P (B | A ) =
注： P ( A | B ) = P (B | A) ⇒ P ( A) = P ( B ) （对称）
1 1 , P ( A) = . 求 P ( A U B ) . 2 3
工具：微积分求区域面积、体积等例 9（会面问题）两人相约于晚 7 点到 8 点间在某地会面，先到者等足 20 分钟便立即离去. 设两人的到达时刻在 7 点到 8 点间都是随机且等可能的. 求两人能会面的概率 p. 【5 】 9 例 10（Buffon 问题）平面上画有一族相距为 a 的平行线. 向此平面投一长为 l (<a)的针. 求针与平行线相交的 2l 概率 p. 【 a π 】例 11 例 12 在区间（0，1）中随机地取出两个数，求两数之和小于 1.2 的概率. 【0.68】半径为 r 的圆形硬币任意抛于边长为 a 的正方形桌面上，求硬币不与正方形各边相
2010 年基础班讲课提要-------概率统计
☆ 注意：在ℱ中对至多可数次的集合的并、交及求逆运算都是封闭的. ★ 概率的简单性质：性质 1（求逆公式）如果 A ∈ℱ，则 P ( A ) = 1 − P ( A) . 性质 2（减法公式）如果 A, B ∈ ℱ, 则 P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB ) ；特别地，当 A ⊃ B 时，有 P ( A − B ) = P ( A) − P ( B ) ，从而 P ( A) ≥ P ( B ) （单调性）. 性质 3（一般的加法公式）如果 A, B ∈ ℱ，则

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记第一章：随机事件及其概率题型一：古典概型1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。

2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。

3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。

4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要）课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率1。

3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。

2。

设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。

3。

设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。

课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12，13题型三：全概率与贝叶斯公式1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。

知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求：（1）学生回答正确的概率；（2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。

2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。

名师重、难点分析：概率论与数理统计

名师重、难点分析：概率论与数理统计1.概率的公式、概念比较多，怎么记？答：我们看这样一个模型，这是概率里经常见到的，从实际产品里面我们每次取一个产品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽签抓阄的模型。

现在我说四句话，大家看看有什么不同，第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品，我们每次取一件，取后不放回”，下面我们来求四个类型，第一问我们求第三次取得次品的概率。

第二问我们求第三次才取得次品的概率。

第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。

第四问不超过三次取到次品。

大家看到这四问的话我想是容易糊涂的，这是四个完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型，但实际上是不一样的。

先看第一个“第三次取得次品”，这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系，所以这个我们叫绝对概率。

第一个概率我想很多考生都知道，这个概率应该是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。

这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是说这个概率与次数是没有关系的。

所以在这里我们可以看出，日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。

拿这个模型来说，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。

下面我们再看看第二个概率，第三次才取到次品的概率，这个事件描述的是绩事件，这是概率里重要的概念，改变表示同时发生的概率。

但是这个与第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以这样表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。

如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC绩事件发生的概率。

第三问表示条件概率，已知前两次没有取到次品，第三次取到次品P（C|AB），第三问求的就是一个条件概率。

我们看第四问，不超过三次取得次品，这是一个和事件的概率，就是P（A＋B＋C）。

从这个例子大家可以看出，概率论确实对题意的理解非常重要，要把握准确，否则就得不到准确的答案。

考研数学概率论与数理统计重难点分析

考研数学概率论与数理统计重难点分析概率论与数理统计是考研数学中的重要组成部分，也是相对较难的部分，考研生需要认真复习和理解。

本文将通过分析考研概率论与数理统计的重难点，帮助考生更好地复习这一部分内容。

一、概率的基础知识考研概率论的基础知识主要包括样本空间、事件、概率、条件概率、随机变量及其分布、数理期望、方差、协方差和相关系数等概念。

在这些基础知识中，样本空间和事件的概念是考研数学中最基础和最重要的概念。

1.1 样本空间样本空间是一个随机试验所有可能结果组成的集合。

例如，掷一枚骰子，样本空间为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。

考研中常见的样本空间还有组合问题中的选数问题，如从五个数中选三个数的样本空间为 {1, 2, 3}、{1, 2, 4}、{1, 2, 5}、{1, 2, 6}、{1, 3, 4}、{1, 3, 5}等15种情况。

1.2 事件事件是指样本空间的子集，即指随机事件发生的某些结果。

例如在掷一枚骰子的样本空间中，假设事件A表示掷得奇数，则事件A为 {1, 3, 5}。

在考研中，事件的概念常常和条件概率一起出现。

1.3 概率概率是指一个事件在样本空间中占据的比重。

在样本空间中，每个事件的概率都应该在0到1之间，即0≤P(A)≤1。

1.4 条件概率条件概率是指事件A在事件B已经发生的情况下发生的概率。

其中，条件概率的计算方法为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

在考研中，条件概率经常用于证明一些定理和公式。

二、随机变量和概率分布随机变量是指取值具有不确定性的变量。

在考研中，常见的随机变量有离散随机变量和连续随机变量。

2.1 离散随机变量离散随机变量是指取值不连续的随机变量，如扔掷一个骰子出现的点数、抛一次硬币出现正面的次数等。

离散随机变量最重要的是概率质量函数，即这些随机变量取值的概率分布。

2.2 连续随机变量连续随机变量是指取值连续的随机变量，如测量一个人身高、身体重量等。