2020年北京市房山区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

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2022北京市房山区高三二模数学试卷(含答案)

2022北京市房山区高三二模数学试卷本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{13}A x x =−<<，集合{2}B x x =≤，则（） A ．{23}A B x x =−≤<I B ．{23}A B x x =−≤<U C ．{12}A B x x =−<<I D ．{3}A B x x =<I2．双曲线2212x y −=的焦点坐标为（）A ．(1,0)±B ．(C ．(D ．(3．已知0.2421,log 0.2,log 33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >> 4．已知3cos ,5αα=是第一象限角，且角,αβ的终边关于y 轴对称，则tan β=（） A ．34 B ．34− C ．43 D ．43− 5．已知数列{}n a 满足()12,n n n a a n S *+=∈N 为其前n 项和．若22a =，则5S =（）A ．20B ．30C ．31D ．626．已知函数2()log f x x =，则不等式()2f x <的解集为（） A ．(4,0)(0,4)−U B ．(0,4) C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊄，且αβ⊥，那么“l α∥”是“l β⊥”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边,AB AD 向外分别作正方形ABEF ，ADMN ，其中2,1,4AB AD BAD π==∠=，则AC FN ⋅=u u u r u u u r（）A ．0B ．1−C ．D ．−9．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果13,45n a a ==，那么n d +的最小值为（） A ．13 B ．14 C ．17 D ．18（10）下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区； ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%．其中正确结论的序号是（）A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．抛物线22y x =的准线方程为_________． 12．若复数z 满足(1i)2i z −⋅=，则||z =_______．13．已知圆22:(1)(2)1C x y −+−=和直线:(1)l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为____________．14．已知函数3,,(),.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为__________．15．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数sin y A t ϖ=．我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音．已知一个复合音的数学模型是函数1()sin sin22f x x x =+．给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期是π； ②()f x 在[0,2]π上有3个零点； ③()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④()f x 其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）在ABC V 中，1cos ,22a Bbc b +==．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求BC 边上的高．条件①：2cos 3B =−；条件②：sin 2B =；条件③：ABC V的面积为32+．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ．在底面ABCD 中，BC AD ∥，CD AD ⊥，1AD CD ==，2BC =．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若半面PAB 与平面PCD 的夹角等于3π，求点B 到平面PCD 的距离．18．（本小题14分）北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：性别男女（Ⅰ）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50,60)的概率；（Ⅱ）从参加体育实践活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为0μ，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为12,μμ，当m 满足什么条件时，1202μμμ+≥．（结论不要求证明）19．（本小题14分）已知函数21()(1)e ()2xf x x ax a =−−∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[1,2]上的最小值．20．（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)−，一个焦点为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）已知点(0,2)P ，过原点O 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，直线PM 与椭圆C 的另一个交点为Q ．若MNQ V，求直线PM 的斜率． 21．（本小题14分）已知数集{}()12312,,,,1,2n n A a a a a a a a n ==<<<≥L L 具有性质P ：对任意的k(2),,(1)k k n i j i j n ≤≤∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,3,5}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）已知()12n n S a a a n *=+++∈NL ，求证：21nn aS −≤；（Ⅲ）若36n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．2022北京市房山区高三二模数学试卷参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．11．12x =−12．(1,2)；1+ 14．答案不唯一，满足1a <−或01a <<即可 15．②④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）（Ⅰ）方法一：在ABC V 中，因为1cos 2a Bbc +=，所以由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B B C +=． 2分因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+． 4分所以1sin cos sin 2B A B =．在ABC V 中，sin 0B ≠，所以1cos 2A =，所以60A =︒． 6分方法二：在ABC V 中，因为1cos 2a Bbc +=，由余弦定理222cos 2a c b B ac +−= 2分得222122a cb a bc ac +−⋅+=，整理得222c b a bc +−=所以2221cos 22c b a A bc +−==，所以60A =︒． 6分（Ⅱ）选条件②：由（Ⅰ）知0120B ︒<<︒因为在ABC V 中，sin 2B =，所以45B =︒ 8分又A B C π++=，所以75C =︒ 9分所以()sin sin 4530sin 45cos30cos45sin 30C =+=+︒︒︒︒︒︒ 10分12=+ 11分=12分设BC 边上高线的长为h ，则sin 242h b C +==⨯=． 14分选条件③：因为13sin sin 60222ABC S bc A c c =︒+===V 8分所以1c =+ 9分由余弦定理得2222cos 4422(1=6a b c bc A =+−=++−⨯⨯+︒ 11分所以a =12分设BC 边上高线的长为h ，则22ABC S h a ===V 14分 17．（本小题14分）（Ⅰ）设BC 中点为E ，连接AE ，易知ADCE 为正方形，且1,AC AE AB ===所以222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥ 2分因为PA ⊥底面,ABCD AC ⊂底面ABCD ，所以PA AC ⊥ 4分又,PA AB ⊂面PAB ，PA AB A =I 所以AC ⊥平面PAB 5分（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCD ，在正方形ADCE 中AE AD ⊥ 所以,,AE AD PA 两两互相垂直．如图建立空间直角坐标系A xyz − 6分设(0)PA a a =>则(1,1,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,)C D B P a −所以(0,1,),(1,0,0)PD a DC =−=u u u r u u u r， 7分设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，则 00n PD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u ur u r u r u r 即00.y az x −=⎧⎨=⎩ 8分所以(0,,1)n a =r9分由（Ⅰ）知，平面PAB 的法向量为(1,1,0)AC =u u u r10分因为平面PAB 与平面PCD 的夹角为3π，所以||1cos |cos ,|32||||AC n AC n AC n π⋅====rr u u u r r u u u r u u ur 11分解得1a = 12分设点B 到平面PCD 的距离为d ．(0,2,0),(0,1,1)BC n ==u u u r r则||||BC n d n ⋅===u u u r rr 14分 18．（本小题14分）（Ⅰ）方法一：记事件A 为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B 为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在[50,60)” 由题意可知，459(),()100100P A P AB == 2分因此9()91100()45()455100P AB P B A P A ==== 4分所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50,60)的概率为15方法二：记事件M 为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在[50,60)”由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活动时间在[50,60)所包含的基本事件共9个 2分所以91()455P M == 4分所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50,60)的概率为15（Ⅱ）方法一：X 的所有可能值为0，1，2， 5分记事件C 为“从参加体育活动时间在[80,90)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D 为“从参加体育活动时间在[90,100)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”．由题意知，事件C 、D 相互独立，且10282(),()153123P C P D ==== 6分所以111(0)()()()339P X P CD P C P D ====⨯= 7分 21124(1)()()()()()33339P X P CD CD P C P D P C P D ===+=⨯+⨯=U 8分224(2)()()()339P X P CD P C P D ====⨯= 9分所以X 的分布列为：故X 的数学期望144124()01299993E X =⨯+⨯+⨯== 12分方法二：X 的所有可能值为0，1，2， 5分因为从参加体育活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为23，故22,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭6分所以2221(0)139P X C ⎛⎫==−= ⎪⎝⎭7分1112224(1)1339P X C ⎛⎫⎛⎫==−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 8分 22224224(2)39339P X C ⎛⎫====⨯= ⎪⎝⎭9分所以X 的分布列为：故X 的数学期望24()233E X np ==⨯= 12分（Ⅲ）{211}m Z m ∈≤≤ 14分 19．（本小题14分）（Ⅰ）当0a =时，()(1)e ,()e xxf x x f x x =='− 1分所以(0)0,(0)1f f '==−． 3分所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：1y =−． 4分（Ⅱ）()()e e xxf x x ax x a =−=−'． 5分 ①当0a ≤时，e 0xa −>．所以[1,2]x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在[1,2]上是增函数．所以min 1()(1)2f x f a ==−． 7分 ②当0a >时，令()0f x '=，解得12ln ,0x a x ==（舍） 8分 1°当ln 1a ≤，即0e a <≤时，[1,2]x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在[1,2]上是增函数．所以min 1()(1)2f x f a ==−． 10分 2°当1ln 2a <<，即2e e a <<时，所以2min ()(ln )ln (ln 1)2f x f a a a a a ==−+−． 12分 3°当ln 2a ≥，即2e a ≥时，[1,2]x ∈时，()0f x '<．所以()f x 在[1,2]上是减函数．所以2min ()(2)e 2f x f a ==−． 14分综上，当e a ≤时，min 1()2f x a =−；当0e a <≤时，2min 1()ln (ln 1)2f x a a a a =−+−．当2e a ≥时，2min?()e 2f x a =−．20．（本小题15分）（Ⅰ）由题设，得1,1b c == 2分则2222a b c =+= 3分所以椭圆C 的方程为2212x y +=． 4分离心率2c e a ===5分（Ⅱ）方法一：设直线PM 的方程为2y kx =+ 6分由22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2212860k x kx +++= 7分()22Δ(8)41260k k =−+⨯>解得232k >设()()1122,,,M x y Q x y ，根据题意12,x x 同号，则122812k x x k −+=+，122612x x k =+ 9分根据椭圆的对称性知12OMQ ONQ MNQ S S S ==V V V ， 10分所以OMQ POQ POM S S S =−V V V 11分211122||22x x =⨯−⨯ 21x x =− 12分=5== 整理得42223380k k −+= 13分解得22192,2k k ==，（满足232k>）所以k =，或2k =±15分方法二：设直线PM 的方程为2y kx =+由22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2212860k x kx +++= ()22Δ(8)41260k k =−+⨯>，解得232k >设()()1122,,,M x y Q x y ，则122812k x x k −+=+，122612x x k=+ 根据椭圆的对称性知125OMQ ONQ MNQ S S S ===V V V ，设O 到直线MQ 的距离为d ，d=12||MQ x =−=11||225OMQ S MQ d =⨯==V 整理得42223380k k −+=解得22192,2k k ==，（满足232k >）所以k =，或2k =±21．（本小题14分）（Ⅰ）因为311≠+，所以{1,3,5}不具有性质P ． 2分因为212,312,633=⨯=+=+，所以{1,2,3,6}具有性质P 4分（Ⅱ）因为集合{}12,,,n A a a a =⋯具有性质P ：即对任意的(2),,(1)k k n i j i j n ≤≤∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立，又因为121,2n a a a n =<<⋯<≥，所以11,i k j k a a a a −−≤≤，所以12k i j k a a a a −=+≤即1122332212,2,2,,2,2n n n n n n a a a a a a a a a a −−−−−≤≤≤⋯≤≤ 6分将上述不等式相加得()211212n n n a a a a a a −−+⋯++≤++⋯+ 所以1212n n a a a a −≤++⋯+；由于11a =，12121n n n n a a a a a S −−≤++⋯++= 9分（Ⅲ）最小值为75．首先注意到11a =，根据性质P ，得到2122a a ==所以易知数集A 的元素都是整数．构造{1,2,3,6,9,18,36}A =或者{12,4,5,9,18,36}A =，，这两个集合具有性质P ，此时元素和为75．下面，证明75是最小的和假设数集{}()1212,,,,2n n A a a a a a a n =⋯<<⋯<≥，满足175n i i S a==≤∑（存在性显然，因为满足175ni i S a ==≤∑的数集A 只有有限个）．第一步：首先说明集合{}()1212,,,,2n n A a a a a a a n =⋯<<⋯<≥中至少有7个元素：由（Ⅱ）可知21322,2a a a a ≤…，…又11a =，所以234562,4,8,16,3236a a a a a ≤≤≤≤≤<；所以7n ≥第二步：证明1218,9n n a a −−==；若18A ∈，设18t a =，因为361818n a ==+，为了使得1n i i S a ==∑，最小，在集合A 中一定不含有元素k a ，使得1836k a <<，从而118n a −=；假设18A ∉，根据性质P ，对36n a =，有,i j a a ，使得36n i j a a a ==+ 显然i j a a ≠，所以363672n i j a a a ++=+= 而此时集合A 中至少还有4个不同于,,n i j a a a 的元素，从而()1476n i j S a a a a >+++=，矛盾，所以18A ∈，进而18t a =，且118n a −=；同理可证：29n a −=（同理可以证明：若9A ∈，则29n a −=）．假设9A ∉．因为118n a −=，根据性质P ，有,i j a a ，使得118n i j a a a −==+ 显然i j a a ≠，所以172n n i j a a a a −+++=，而此时集合A 中至少还有3个不同于1,,,n n i j a a a a −的元素从而11375n n i j S a a a a a −>++++=，矛盾，所以9A ∈，且29n a −=至此，我们得到了1218,9n n a a −−==，根据性质P ，有,i j a a ，使得9i j a a =+ 我们需要考虑如下几种情形： ①8,1i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8，则76S >；②7,2i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7，则76S >； ③6,3i j a a ==，此时集合{1,2,3,6,9,18,36}A =的和最小，为75； ④5,4i j a a ==，此时集合{1,2,4,5,9,18,36}A =的和最小，为75． 14分。

北京房山区房山第二中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析

北京房山区房山第二中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数图像上一点，以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（）A. B．C． D．参考答案：D略2. 设，则( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B【分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。

3. △ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理求得sinB的值．【解答】解：△ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则由正弦定理可得=，即=，∴sinB=，故选：A．4. 函数，若函数有3个零点，则实数a的值为（）A．－2 B．－4 C．2 D．不存在参考答案：C5. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，则异面直线A1B、EC的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取A1B1中点F，则BF∥EC，∠A1BF是异面直线A1B、EC的夹角，由此能求出异面直线A1B、EC的夹角的余弦值．【解答】解：取A1B1中点F，则BF∥EC，∴∠A1BF是异面直线A1B、EC的夹角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1F=1，A1B=，BF=，∴cos∠A1BF===．故选：A．6. 若复数为纯虚数，则x的值为（）A．2． B． -1. C．．Ｄ．．参考答案：D略7. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的，，有，则（）．A. B.C. D.参考答案：A由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行8. 把十进制数15化为二进制数为（ C ）A． 1011 B．1001 (2） C． 1111（2）D．1111参考答案：C9. 复数则A.1B.C.D.参考答案：B本题主要考查复数的四则运算与复数的模., 则10. 某人从湖里捞一网鱼，共条，做上记号后放入湖中，数日后再捞一网，共条，若其中做记号的鱼有条，估计湖中全部鱼的数量为（）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的焦距是▲，双曲线C的渐近线方程是▲ .参考答案：标准方程：，，则焦距为；渐近线。

2020届北京中考数学二模试卷(房山区)

2020届北京中考数学二模试卷（房山区）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个.1.在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标.过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就.将820000000用科学记数法表示为( ) A.98.210⨯B.90.8210⨯C.88.210⨯D.78210⨯2.如图是某个几何体的三视图，该几何体是( )A.长方体 C.正方体B.三棱柱 D.圆柱3.实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A. b a <B. a b -<C. 0a b +>D. a b >4.《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康.下列垃圾分类标志，是中心对称图形的是( )5.李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)每天所走的步数，并绘制成如右统计表: 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是( ) A.1.6，1.5B.1.7，1.6C.1.7，1.7D.1.7，1.556.如图，在ABCD Y 中，延长AD 至点E ，使2AD DE ，连接BE 交CD 于点F ，交AC 于点G ，则CGAG的值是（） A. 23B.13C.12D.347.如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断:①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47;②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5;③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45.其中合理的是( ) A.①B.②C.①②D.①③8. 2020年是5G 爆发元年，三大运营商都在政策的支持下，加快着5G 建设的步伐.某通信公司实行的5G 畅想套餐，部分套餐资费标准如下:套餐类型月费（元/月）套餐内包含内容套餐外资费国内数据流量（GB ）国内主叫（分钟）国内流量国内主叫套餐1 128 30 200 每5元1GB ，用满3GB 后每3元1GB ，不足部分按照0.03元/MB 收取0.19元/分钟套餐2 158 40 300 套餐3 198 60 500 套餐423880600他应预定的套餐是( ) A.套餐1 B.套餐2 C.套餐3D.套餐4二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9. 若分式11x x +-值为0，则x 的值是 .10. 如图，扇形AOB ，通过测量、计算，得»AB 的长约为.cm （π取3.14，结果保留一位小数）11.如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(32)--，，“炮”位于点()2,0-，则“兵”位于的点的坐标为.12.如图，一个大正方形被分成两个正方形和两个一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a b ，的正确的等式.13.如果4m n +=，那么代数式222(2)m n m n m m n+++g 的值为14.已知一组数据123,,,n x x x x gg g ，的方差是2S ，那么另一组数据1233,3,3,3n x x x x ----gg g ，的方差是 .15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中记载了一个“折竹抵地”问题:“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何?”尺)，现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距译文:“有一根竹子，原高二丈(1丈10A B C分别表示竹梢，离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺?”如图，我们用点,,竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC为x尺，则可列方程为16.下面是“作一个30︒角”的尺规作图过程.已知:平面内一点A.求作:∠A，使得∠A=30°作法:如图，(1)作射线AB;(2)在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C;(3)以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD.则∠DAB即为所求的角.该尺规作图的依据是三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分)17.114sin3015-+o（）18.解不等式组：3(1)2,12.2x xxx+<⎧⎪⎨-<+⎪⎩19.如图，在ABCV中，BD平分ABC∠交AC于点,//D DE AB交BC于点,E F是BD 中点.求证:EF平分BED∠.20.已知关于x的一元二次方程2430kx x-+=.(1)当1k=时，求此方程的根;(2)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.21.如图，菱形ABCD 中，分别延长,DC BC 至点,E F ，使,CE CD CF CB ==,连接,,,.DB BE EF FD(1)求证:四边形DBEF 是矩形; (2)若355AB cos ABD =∠=，，求DF 的长.22.在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数()0ky x x=>的图象与直线1y x =-交于点()3A m ，(1)求k 的值(2)已知点()(),00P n n >，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线1y x =-于点B ，交函数()0ky x x=>于点C . ①当4n =时，判断线段PC 与BC 的数量关系，并说明理由; ②若PC BC ≤，结合图象，直接写出n 的取值范围.23.如图，在90ABC ACB ∠=︒V 中，，以BC 为直径的O e 交AB 于点,D E 是AC 中点，连接DE .(1)判断DE 与O e 的位置关系并说明理由;(2)设CD 与OE 的交点为F ，若10,6AB BC ==，求OF 的长.24.GDP 是指一个国家(或地区)在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量经济状况的最佳指标.截止2020年4月27日，对除西藏外的30个省区市第一季度有关GDP 的数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:a.各省区市GDP 数据的频数分布直方图，如图24-1(数据分成6组，各组是04,488121216,1620,2024x x x x x x <≤<≤<≤<≤<≤<≤，，):b.2020年第一季度GDP 数据在这一组的是:4.6 4.95.0 5.1 5.3 5.46.37.4 7.5 7.8 7.8 c.30个省区市2020年第一季度及2019年GDP 增速排名统计图，如图24-2: d.北京2020年第一季度GDP 数据约为7.5千亿，GDP 增速排名为第22.根据以上信息，回答下列问题:(1)在30个省区市中，北京2020年第一季度GDP的数据排名第.(2)在30个省区市2020年第一季度及2019年GDP增速排名统计图中，请在图中用“O”圈出代表北京的点(3)2020年第一季度GDP增速排名位于北京之后的几个省份中，2019年GDP增速排名的最好成绩是第.(4)下列推断合理的是.①与2019年GDP增速排名相比，在疫情冲击下，2020年全国第一季度增速排名，部分省市有较大下滑，如D代表的湖北排名下滑最多.、、分别代表的新疆、广西、青海位于西部地区，多为人口净流出或少量净流②A B C入，经济发展主要依靠本地劳动力供给，疫后复工复产效率相对较高，相对于2019年GDP增速排名位置靠前.25.已知线段6AB cm =，点M 是线段AB 上一动点，以AB 为直径作O e ，点C 是圆周上一点且4AC cm =，连接CM ，过点A 做直线CM 的垂线，交O e 于点N ，连接CN ，设线段AM 的长为xcm ，线段AN 的长为1y cm ，线段CN 的长为2y cm .小华同学根据学习函数的经验，分别对函数12,y y ，随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是该同学的探究过程，请补充完整:(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了12,y y 与x 的几组对应值:(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点()()12,,x y x y ，，并画出函数12,y y的图象(函数2y 的图象如图，请你画出1y 的图象)V是等腰三角形时，AM的长度约为(3)结合画出的函数图象，解决问题:当CANcm.26.在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点,A B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . (1)求抛物线对称轴;(2)求点D 纵坐标(用含有a 的代数式表示);(3)已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个公共点，求a 的取值范围.27.点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰Rt ADC V ，连接BD ，在Rt ABD V 外侧，以BD 为斜边作等腰Rt BED V ，连接EC . (I)如图1，当30DBA ∠=︒时: ①求证:AC BD =;②判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明;(2)如图2，当045DBA ︒<∠<︒时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变?对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路:想法1:尝试将点D 为旋转中心，过点D 作线段BD 垂线，交BE 延长线于点G , 连接CG ;通过证明ADB CDG V V ≌解决以上问题;想法2:尝试将点D 为旋转中心，过点D 作线段AB 垂线，垂足为点G ，连接EG .通过证明ADB GDE V V ∽ 解决以上问题;想法3:尝试利用四点共圆，过点D 作AB 垂线段DF ，连接EF ，通过证明D F BE 、、、四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.请你参考上面的想法，证明EC EB =(一种方法即可)28.过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”.(1)如图，在等腰Rt ABC V 中，902A AB AC ∠=︒==，. ①在下图中画出一条Rt ABC V 的形内弧; ②在Rt ABC V 中，其形内弧的长度最长为.(2)在平面直角坐标系中，点()()()2,02001D E F -，，，，.点M 为DEF V 形内弧所在圆的圆心.求点M 纵坐标M y 的取值范围;(3)在平面直角坐标系中，点(M ，点G 为x 轴上一点点P 为OMG V 最长形内弧所在圆的圆心，求点P 纵坐标p y 的取值范围.。

2020年北京房山区高三二模数学试卷

平面与平面
．所成角的正弦值．
3
17. 已知数列的前项和为，
，
．是否存在正整数
，使得、、
成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
从①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答．
18. “十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数．下表记录了月日至日的实时在园人数：
2020年北京房山区高三二模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知全集 A.
．集合 B.
，那么集合 C.
（）． D.
2. 在
中，若
，
，
，则（）．
A.
B.
C.
D.
3. 函数
的最小正周期为（）．
A.
B.
C.
D.
4. 若双曲线 A. B. C. D.
的一条渐近线经过点
，则该双曲线的离心率为（）．
5. 函数 A. B. C. D.
的零点个数为（）．
6. “
”是“
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
”的（）．
1
7. 已知函数 A. 是奇函数，且在 B. 是奇函数，且在 C. 是偶函数，且在 D. 是偶函数，且在
，则上是增函数上是减函数上是增函数上是减函数
（）．
8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（）．
主视图
左视图
俯视图 A. B. C. D.

2023-2024学年北京市房山区高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年北京市房山区高考数学模拟试题（二模）一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,1A B xx =-=≥∣，则()R A B ⋃=ð（）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1xx ≤∣D ．{}11xx -≤≤∣【正确答案】D【分析】解一元二次不等式得集合B ，再结合集合的补集、并集运算即可.【详解】因为{}{}21|11B xx x x x =≥=≤-≥∣或，所以{}R |11B x x =-<<ð，又{}1,0,1A =-，所以()R A B ⋃=ð{}11xx -≤≤∣.故选：D.2．已知复数()i 2i z =⋅+，则复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】先求得复数z 的代数形式，进而求得其在复平面内对应的点所在象限.【详解】()i 2i 12i z =⋅+=-+，则12z i =--，则复数z 在复平面内对应的点坐标为()1,2--，该点位于第三象限.故选：C3．已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面,αβ，下列四个命题中正确的为（）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,l m m α⊂∥，则l α∥C ．若,∥∥l l αβ，则αβ∥D ．若,l l αβ⊥∥，则αβ⊥【正确答案】D【分析】求得,m n 位置关系判断选项A ；求得,l α位置关系判断选项B ；求得,αβ位置关系判断选项C ，D.【详解】选项A ：若,m n αα∥∥，则m n ∥或,m n 异面或,m n 相交.判断错误；选项B ：若,l m m α⊂∥，则l α∥或l ⊂α.判断错误；选项C ：若,∥∥l l αβ，则αβ∥或,αβ相交.判断错误；选项D ：若l α∥，则必有,l l l α''⊂∥，又l β⊥，则l β'⊥，则αβ⊥.判断正确.故选：D4．设5250125(21)x a a x a x a x -=++++ ，则125a a a +++= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】D【分析】先令0x =计算出0a 的值，再令1x =计算出0125a a a a ++++ 的值，由此可计算出125a a a +++ 的值.【详解】令0x =，所以()5011a -==-，令1x =，所以2515011a a a a +++=+= ，所以125112a a a +++=+= ，故选：D.5．设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c<<【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.32,si 2n n212i 81s 30a b >=<===2e <<，则1ln 212<<，即112c <<，所以b<c<a .故选：B6．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若2,60AF DAF ∠== ，则抛物线C 的方程为（）A ．28y x =B ．24y x =C ．22y x=D ．2y x=【正确答案】C【分析】根据抛物线的定义求得2DF =，然后在直角三角形中利用60DAF ∠=︒可求得2p =，从而可得答案．【详解】如图，连接DF ，设准线与x 轴交点为M抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线l ：2p x =-又抛物线的定义可得AF AD =，又60DAF ∠= ，所以DAF △为等边三角形，所以2DF AF ==，60DFM ∠=所以在Rt DFM 中，222DF MF p ===，则1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =.故选：C.7．已知点P 是双曲线C ：x 224y -=1的一条渐近线y ＝kx （k ＞0）上一点，F 是双曲线C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横坐标为（）A ．5±B 5C ．5±D ．25【正确答案】A根据条件得到渐近线方程为：y ＝2x ，再由面积为5得到yP ＝5横坐标.【详解】由双曲线方程可得a ＝1，b ＝2，则c 415+则渐近线方程为：y ＝2x ，F 50），又S 12=c •|yP |＝5，则yP ＝5当y ＝5x 52y==当y ＝﹣5x 52y==-，故点P 的横坐标为故选：A ．本题主要考查了双曲线渐近线方程的应用，求出P 的纵坐标是解题的关键，属于基础题.8．在ABC 中，3,2AC BC AB ===，则AB 边上的高等于（）A ．BC D ．32【正确答案】B【分析】根据余弦定理求cos C ，再得sin C ，利用ABC 的面积公式即可求AB 边上的高.【详解】在ABC 中，因为3,2AC BC AB ===，由余弦定理得222cos2AC BC AB C AC BC +-=⋅因为()0,πC ∈，所以sin 7C ==设AB 边上的高为h ，则11sin 22ABC S AC BC C AB h =⋅⋅=⋅ ，所以3sin 722AC BC Ch AB⋅⋅===，即AB 故选：B.9．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人.因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层.假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ，则S 的最小值是（）A ．42B ．41C ．40D ．39【正确答案】C【分析】先求得“不满意度”之和S 的解析式，再利用二次函数的性质求得S 的最小值.【详解】设在第n (212)n ≤≤层下，则[][](2)(3)1112(11)(12)2S n n n n =-+-++⨯++++-+-⨯2(2)(21)(12)(121)35321572222n n n n n n --+--+=+⨯=-+223533532809157157222624n n n ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭又212,N n n ≤≤∈，则9n =时S 取得最小值40.故选：C10．有三支股票,,,28A B C 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票.则只持有B 股票的股民人数是（）A ．7B ．6C ．5D ．4【正确答案】A【分析】通过设出只持有A 股票的人数和只同时持有了B 和C 股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有B 股票的股民人数.【详解】由题意，设只持有A 股票的人数为X ，则持有A 股票还持有其它殸票的人数为1X -(图中d e f ++的和)，∵只持有一支股票的人中,有一半没持有B 或C 股票,∴只持有了B 和C 股票的人数和为X (图中b c +部分).假设只同时持有了B 和C 股票的人数为a ,∴128X X X a +-++=,即329X a +=，则X 的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1,与之对应的a 值为2,5,8,11,14,17,20,23,26,∵没持有A 股票的股民中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍∴()2a b a c +=+，即3X a c -=，∴8,5X a ==时满足题意，此时1,7c b ==,∴只持有B 股票的股民人数是7,故选：A.本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有A 股票的人数，利用韦恩图结合条件即得.二、填空题11．已知向量()(),4,1,a t b t == ，若a b∥，则实数t =______.【正确答案】2±【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式即可求出结果.【详解】因为向量()(),4,1,a t b t == 且a b∥，所以410t t ⨯-⨯=,解得2t =±，故2±三、双空题12．设数列{}n a 的前n 项和141n n S -=-，则n a =__________；使得命题“*0,n N n ∀>∈N ，都有1100n n a a +->”为真命题的一个0N 的值为__________.【正确答案】20,1,N 34,2n n n n *-=⎧∈⎨⨯≥⎩3（答案不唯一，03N ≥）【分析】根据给定的前n 项和求出通项n a 即可，由1100n n a a +->求出n 的取值范围作答.【详解】数列{}n a 的前n 项和141n n S -=-，当1n =时，011410a S ==-=，当2n ≥时，1221(41)(41)34n n n n n n a S S -----==---=⨯，显然10a =不满足上式，所以20,1,N 34,2n n n a n n *-=⎧=∈⎨⨯≥⎩；当1n =时，211003a a -<=，不等式1100n n a a +->不成立，当2n ≥时，1221343494n n n n n a a -+--=⨯--⨯=⨯，不等式1291001004n n n a a -+⇔>->，而N n *∈，解得4n ≥，因此对*,3n n ∀>∈N ，不等式1100n n a a +->恒成立，所以“*0,n N n ∀>∈N ，都有1100n n a a +->”为真命题的03N ≥，取0N 的一个值为3.故20,1,N 34,2n n n n *-=⎧∈⎨⨯≥⎩；3四、填空题13．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为__________.【正确答案】3【分析】设()00,P x y ，根据点P 到直线y x =的距离为2，求得22000021x y x y +-=，再由()00,x y 在圆C 上，得到()0010y x -=，取得00y =或01x =，进而求得满足条件的点的个数，得到答案.【详解】设()00,P x y ，由点P 到直线y x =2=两边平方整理得到22000021x y x y +-=①因为()00,x y 在圆C 上，所以()22012x y +-=，即2200021x y y +-=②联立①②得()0010y x -=，解得00y =或01x =，当00y =时，由①②可得201x =，解得01x =或01x =-，即(1,0)P 或(1,0)P -当01x =时，由①②可得20020y y -=，解得00y =或02y =，即(1,0)P 或()1,2P 综上，满足条件的点P 的个数为3.故3.五、双空题14．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=-+>< ⎪⎝⎭满足：()πR,2x f x f x ⎛⎫∀∈+=- ⎪⎝⎭，ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且在ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则ω=__________；ϕ=__________.【正确答案】23π-/13π-【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的周期及对称中心，结合单调递减区间求解作答.【详解】由()πR,2x f x f x ⎛⎫∀∈+=- ⎪⎝⎭，得π(π)()()2f x f x f x +=-+=，因此π是函数()f x 的一个周期，又函数()f x 在ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则函数()f x 的周期ππ5π(31262[T --=≥，因此函数()f x 的最小正周期为π，则2π2πω==，由ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，函数()f x 图象的一个对称中心为π(,0)6，即有π2π,Z 6k k ϕ⨯+=∈，而π||2ϕ<，于是π0,3k ϕ==-，此时π()sin(2)3f x x =--，当ππ(,)123x ∈-时，πππ2(,)323x -∈-，正弦函数sin y x =在ππ(,)23-上单调递增，于是函数()f x 在ππ(,)123-上单调递减，所以2ω=，π3ϕ=-.故2；π3-六、填空题15．已知集合(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1②在阴影部分任取一点M ，则M 到坐标轴的距离小于等于3；③阴影部分的面积为8π；④阴影部分的内外边界曲线长为8π.其中正确的有__________.【正确答案】①②④【分析】对于①，令0x =,求出[1]y ∈- ，求出点,A B 坐标即得解；对于②，利用圆的参数方程设点，再利用绝对值三角不等式得解；对于③，利用割补法求解；对于④，求出阴影部分的内外边界曲线的各个部分即得解.【详解】对于①，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0x =时，整理得[]32sin 0,2y y =-∈θ，解得[1]y ∈- ，“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点(0,1)B -，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为||1AB =,故①正确；对于②，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，整理得：2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩，所以2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++，所以M 到坐标轴的距离为||2cos cos αθ+或|2sin sin |αθ+，因为cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈，所以2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=，|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=，所以M 到坐标轴的距离小于等于3，故②正确；对于③，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0y =时，整理得[]32cos 2,2y y=-∈-θ，解得[3,1][1,3]x ∈-- ，因为22(cos )(sin )4x y -+-=θθ表示以()cos ,sin Q θθ为圆心，半径为2r =的圆，则13r OQ OP OQ r =-≤≤+=，且0πθ≤≤，则()cos ,sin Q θθ在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以O 为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以O 为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以()1,0M -为圆心，半径为2的圆弧，设()1,0N ，则2AN AM MN ===，即 AN 所对的圆心角为π3，同理¼AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为π3，阴影部分在第四象限的外边界为以()1,0N 为圆心，半径为2的圆弧，设()()3,0,3,0G H -，可得π1,3ON OD OND ==∠=， DG 所对的圆心角为2π3，同理 DH所在圆的半径为2，所对的圆心角为2π3，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，所以它的面积是212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯= ⎝弓形半圆V .x 轴上方的阴影半圆的面积为219π3π22⨯=,第四象限的阴影部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和减去14个半圆的面积，且等于2211π5π211π32412⨯⨯+-⨯=+所以阴影部分的面积为95117π2(πππ212262++-++，故③错误；对于④，x 轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=，x 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=，所以阴影部分的内外边界曲线长为13π11π8π33+=，故④正确.故①②④.关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法求不规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标.七、解答题16．已知函数()2122cos sin f x x x ωω=-.(1)求()0f 的值；(2)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期.【正确答案】(1)2(2)详见解析【分析】（1）代入公式即可求得()0f 的值；（2）选①时，先化简题给解析式再利用三角函数的性质即可求得函数()f x 的周期和在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值；选②时，利用二次函数性质即可求得函数()f x 在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并直接得到函数()f x 的一个周期.【详解】（1）()2122cos sin f x x x ωω=-，则()202cos 0sin0=2f =-（2）选①121,2ωω==时，()2n 2π2cos sin 1cos 2si42s 21f x x x x x x ⎛⎫=-=+-=++ ⎪⎝⎭由ππ,26x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得2,2π3π7441πx ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos 2124x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02114x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，则当244π3πx +=-，即π2x =-时函数()f x 取得最小值0，函数()f x 的周期为2ππ2=选②121,1ωω==时，()2221172cos sin 2sin sin 22sin 48f x x x x x x ⎛⎫=-=--+=-++⎪⎝⎭由ππ,26x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()1f x ≥则当π2x =-或π6x =时函数()f x 取得最小值1，函数()f x 的周期为π.17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为211,x s ，考核成绩的平均数和方差分别为222,x s ，试比较1x 与221,x s 与22s 的大小.（只需写出结论）【正确答案】(1)0.5；(2)X 的分布列见解析，数学期望为1；(3)12x x =；2212s s >.【分析】（1）由题可得10名学生的考核成绩，然后根据古典概型概率公式即得；（2）根据条件可得X 可取0,1,2，然后分别求概率可得分布列进而可得期望；（3）利用平均数和方差公式即得.【详解】（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人,所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是50.510=.从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5；（2）由题知，考核成绩小于90分的学生共4人，其中两轮测试至少有一次大于90分学生有2人.所以X 可取0,1,2，则()022224C C 10C 6P X ===，()112224C C 21C 3P X ===，()202224C C 12C 6P X ===，所以X 的分布列为X012P162316所以()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=；（3）由题可得()119689888892918790929090.310x =⨯+++++++++=，()219389.589.588908991.59190.59190.310x =⨯+++++++++=，()()()2222119690.38990.39090.3 6.2110s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦ ()()()2222219390.389.590.39190.3 1.8110s ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦ ，所以12x x =；2212s s >.18．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是棱11,AA BB 上的点，1113A E BF AA ==.(1)证明：平面CEF ⊥平面11ACC A ；(2)若2AC AE ==，求二面角1E CF C --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直；（2）求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取BC 的中点O ,连接OA ，在正三棱柱111ABC A B C -中，不妨设12,3AB a AA ==;以O 为原点，,OB OA分别为x 轴和y 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则(),0,0C a -,()()(),0,,0,1,0,,2A F a E ，()()()()12,0,1,,2,,0,0,0,3CF a CE CA a CC ====；设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CF n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,2020ax z ax z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取=1x -，则2y z a ==，即()1,2n a =-；设平面11ACC A 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则100m CA m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即11130ax z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =-得)1,0m =- .因为0m n ⋅=+=，所以平面CEF ⊥平面11ACC A；（2）因为2AC AE ==，由（1）可得1a =，即()1,n =-，易知平面1CFC的一个法向量为()OA =,cos ,n OA n OA n OA⋅==-二面角1E CF C --的余弦值为4.19．已知函数()()21ln 12f x x x =--+，其中0a >.(1)若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；(2)求()f x 的单调区间；(3)若()f x 在[)0,∞+上的最大值是0，求a 的取值范围.【正确答案】(1)13a =(2)见解析.(3)[1,)+∞【分析】（1）对函数求导，通过2x =是()f x 的极值点，即求出a 的值；（2）对函数求导，分别讨论a 取不同值时函数的单调性，即可求出()f x 的单调区间；（3）由函数在区间上的最大值，分类讨论在不同a 取值时函数的单调性和值域，即可得出a 的取值范围.【详解】（1）由题意，1x >-，在()()21ln 12f x x ax x =--+中，0a >，()(1)1x ax a f x x--+'=+.∵2x =是()f x 的极值点∴()20f '=，解得.13a =经检验，13a =时符合题意，∴13a =.（2）由题意，1x >-，在()()21ln 12f x x ax x =--+中，0a >，()(1)1x ax a f x x--+'=+.当()0f x '=时，解得1210,1x x a==-.①当01a <<时，,()x f x 与()f x '的情况如下:x()11,x -1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '-+-()f x 极小值极大值()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是(1,0)-和11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；②当1a =时，()()21ln 12f x x x x =--+，()201x f x x'-=≤+，∴()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞，无增区间；③当1a >时，()()21ln 12f x x ax x =--+，()(1)1x ax a f x x--+'=+，210,,()x x f x -<<与()f x '的情况如下：x()21,x -2x ()21,x x 1x ()1,x +∞()f x '-+-()f x 极小值极大值∴当1a >时，()f x 的单调递增区间是11,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和(0,)+∞.综上，当01a <<时，()f x 的单调递增区间是10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是(1,0)-和11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭;当1a =时，()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞，无减区间；当1a >时，()f x 的单调递增区间是11,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和(0,)+∞.（3）由题意，在()()21ln 12f x x ax x =--+中，0a >，()f x 在[)0,∞+上的最大值是0，当01a <<时，()f x 在(0,)+∞的最大值是11f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,∵11(0)0f f a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，不合题意，舍去;当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减，可得()f x 在[0,)+∞上的最大值是(0)0f =，符合题意.∴a 的取值范围[1,)+∞.本题考查了函数的求导，导数法求函数单调性，考查分类讨论法求函数的单调性和求参数的取值范围，具有极强的综合性.20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为()2,,0,A a F -为椭圆右焦点，3AF =.(1)求椭圆C 的方程与离心率；(2)设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M .直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E .求证.ODF OEF∠=∠【正确答案】(1)22143x y +=，12e =.(2)证明见解析.【分析】（1）由题知1c =,3AF a c =+=,求得a ,再由222b a c =-,即可求椭圆C 的方程与离心率.（2）设AP 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标，求得M 坐标，求得直线OM 的方程，分别取得D ，E 点坐标，则EF OM ⊥，DF OE ⊥，在Rt EHO 和Rt DGO 中ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以ODF OEF ∠=∠.【详解】（1）椭圆的焦距为2，所以22c =，1c =，又3AF a c =+=，所以2,a =2223b a c =-=，椭圆C 的方程是22143x y+=，离心率为12c e a ==.（2）由（1）得(2,0)A -.设AP 的中点为00(,)M x y ，11(,)P x y .设直线AP 的方程为:(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=，所以21216243k x k --+=+，所以202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即22286(,)4343k kM k k -++，所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+，所以直线OM 的方程是34y x k=-，令4x =得4(4,)D k -，直线OE 的方程是y kx =，令4x =得(4,4)E k =，由()1,0F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ;因为直线DF 的斜率是3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G .在Rt EHO 和Rt DGO 中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以ODF OEF ∠=∠.21．有限数列n A ：1a ，2a ，…，n a ．（3n ≥）同时满足下列两个条件：①对于任意的i ，j （1i j n ≤<≤），<i j a a ；②对于任意的i ，j ，k （1≤<<≤i j k n ），i j a a ，j k a a ，i k a a ，三个数中至少有一个数是数列n A 中的项．(1)若4n =，且11a =，22a =，3a a =，46a =，求a 的值；(2)证明：2，3，5不可能是数列n A 中的项；(3)求n 的最大值．【正确答案】(1)3a =(2)证明见解析(3)9【分析】（1）利用①推出a 的范围．利用②求解a 的值即可；（2）利用反证法：假设2，3，5是数列n A 中的项，利用已知条件②①，推出23n n a a --=得到矛盾结果．（3）n 的最大值为9，一、令9A ：1114,2,1,,,0,,1,2242-----，则9A 符合①②，二、设n A ：1a ，2a ，…，n a （3n ≥）符合①②，（i ）n A 中至多有三项，其绝对值大于1．利用反证法证明假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不正确；（ii ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1．利用反证法推出矛盾结论、（iii ）n A 中至多有两项绝对值等于1．（iv ）n A 中至多有一项等于0．推出n 的最大值为9．【详解】（1）由①得：26a <<，由②得：当2i =，3j =，4k =时，2a ，6a ，12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但66a >，126>，故26a =，解得：3a =，经检验，当3a =时，符合题意，（2）假设2，3，5是数列n A 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列n A 中的项，则有限数列n A 的最后一项5n a >，且4n ≥，由①，1231n n n n a a a a --->>>>，对于数2n a -，1n a -，n a 由②可知：21n n n a a a --=，对于数3n a -，1n a -，n a ，由②可知：31n n n a a a --=，所以23n n a a --=，这与①矛盾．所以2，3，5不可能是数列n A 中的项．（3）n 的最大值为9，证明如下：一、令9A ：1114,2,1,,,0,,1,2242-----，则9A 符合①②，二、设n A ：1a ，2a ，…，n a （3n ≥）符合①②，则：（i ）n A 中至多有三项，其绝对值大于1．假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设i a ，j a ，k a ，l a 是n A 中绝对值最大的四项，其中1i j k l a a a a <≤≤≤，则对i a ，k a ，l a 有i l l a a a >，k l l a a a >，故i l a a ，k l a a 均不是数列n A 中的项，即i k a a 是数列n A 中的项，同理：j k a a 也是数列n A 中的项．但i k k a a a >，j k k a a a >，所以i k j k l a a a a a ==，所以i j a a =，这与①矛盾．（ii ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1，假设n A 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（i ）得出矛盾，（iii ）n A 中至多有两项绝对值等于1．（iv ）n A 中至多有一项等于0．综合（i），（ii），（iii），（iv）可知n A中至多有9项，由一、二可得，n的最大值为9．。

北京市房山区2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析

北京市房山区2019-2020学年中考数学二模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知二次函数2 45y x x =-++的图象如图所示，若()1 3A y -，，()()2301B y C y ，，，是这个函数图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是（）A ．123 y y y <<B ．213 y y y <<C ．312 y y y <<D ．132y y y <<2．若实数 a ，b 满足|a|＞|b|，则与实数 a ，b 对应的点在数轴上的位置可以是（） A ．B ．C ．D ．3．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用正多边形的周长圆的直径来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（）A ．0.5B ．1C ．3D ．π42(2)2a a -=-，那么（） A ．2x <B ．2x ≤C ．2x >D ．2x ≥5．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里6．对于不等式组1561333(1)51x xx x⎧-≤-⎪⎨⎪-<-⎩，下列说法正确的是（）A．此不等式组的正整数解为1，2，3B ．此不等式组的解集为716x-<≤C．此不等式组有5个整数解D ．此不等式组无解7．如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需从下列条件中增加一个，错误的选法是（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．AB＝AC D．DB＝DC8．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（）A．线段PB B．线段BC C．线段CQ D．线段AQ10．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A．68°B．20°C．28°D．22°11．为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续6天的最高气温，结果如下（单位C ：﹣6，﹣1，x，2，﹣1，1．若这组数据的中位数是﹣1，则下列结论错误的是（）A．方差是8 B．极差是9 C．众数是﹣1 D．平均数是﹣112．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为（）A．115°B．120°C．125°D．130°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADC=4，反比例函数y=kx（x＞0）的图像经过点E，则k=_______ 。

北京市房山区2020届高三第二次模拟检测数学试题及答案解析

房山区2020年高考第二次模拟检测高三数学本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U =R ，集合2{|0}A x x x =->，那么集合UA =（A ）(,0][1,)-∞+∞ （B ）(,0)(1,)-∞+∞（C ）(0,1)（D ）[0,1]（2）在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =（A ）（B ）（C ）（D ）（3）函数()sin πcos πf x x x =的最小正周期为（A ）1 （B ）2 （C ）π（D ）2π（4）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（A （B（C ）2（D （5）函数2()e xf x x =-的零点个数为（A ）0（B ）1 （C ）2（D ）3（6）“sin sin αβ≠”是“αβ≠”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件俯视图左视图主视图（7）已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x（A ）是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数（B ）是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数（C ）是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数（D ）是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数（8）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（9）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ，空气的温度是0C θ，经过t 分钟后物体的温度C θ可由公式010()e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C 的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C ，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈）（A ）0.6 （B ）0.5 （C ）0.4（D ）0.3（10）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（A ）12 （B ）13 （C ）14（D ）15（A ）2 （B ）（C ）（D ）4EA 1B 1C 1CAB 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市房山区2020届高三第二次模拟检测数学试题 Word版含解析

房山区2020年高考第二次模拟检测高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =R ，集合2{|0}A x x x =->，那么集合UA（）A. (,0][1,)-∞⋃+∞B. (,0)(1,)-∞⋃+∞C. (0,1)D. [0,1]【答案】D 【解析】【分析】计算()(),01,A =-∞⋃+∞，再计算补集得到答案.【详解】2{|0}A x x x =->，20x x ->，解得1x >或0x <，故()(),01,A =-∞⋃+∞，故[0,1]UA =.故选：D.【点睛】本题考查解不等式，补集的计算，属于简单题. 2.在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =（）A.B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=sin sin 43b π=，解得b =.故选：B.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 3.函数()sin πcos πf x x x =的最小正周期为（） A. 1 B. 2 C. π D. 2π【答案】A 【解析】【分析】化简得到1()sin 22f x x π=，利用周期公式得到答案. 【详解】1()sin πcos πsin 22f x x x x π==，故周期212T ππ==. 故选：A.【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.4.若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A.B.C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】首先根据题意得到b a =e =计算即可.【详解】由题知：双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±，因为渐近线方程过点，所以b y x a =过点，即ba=22222221132c a b b e a a a+===+=+=. 故选：C【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意找到,,a b c 的关系式为解题的关键，属于简单题.5.函数2()x f x e x =-的零点个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】【分析】由2(0)xf x e x =-=，得到2x e x =.分别画出xy e =和2yx 的图象可知当0x <时，函数x y e =和2y x 有一个交点.当0x >时，利用导数研究函数2()x f x e x =-的单调性和最值即可得到零点个数，再综合0x <和0x >的情况即可得到函数的零点个数. 【详解】令2(0)xf x e x =-=，得：2x e x =，分别画出xy e =和2yx 的图象，如图所示：当0x <时，函数xy e =和2yx 有一个交点.当0x >时，()2xf x e x '=-，令()2x g x e x =-，()2xg x e '=-，()0g x '=，ln 2x =.当(0,ln 2)x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数，当x (ln 2,)∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数.所以ln 2min ()(ln 2)2ln 22ln 40g x g e ==-=->，所以()f x 在(0,)+∞为增函数，又因为(0)1f =，所以(0,)x ∈+∞，()0f x >. 故()f x 在(0,)+∞无零点.综上：函数2()xf x e x =-的零点个数为1. 故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 6.“sin sin αβ≠”是“αβ≠”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数运算依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若αβ=，则sin sin αβ=，则若sin sin αβ≠，则αβ≠，故是充分条件；若αβ≠，取2αβπ=+，则sin sin αβ=，故不是必要条件. 故“sin sin αβ≠”是“αβ≠”的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 7.已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x （） A. 是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数 B. 是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数 C. 是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数 D. 是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果. 【详解】()lg 1lg 1f x x x -=-++()f x =，()f x ∴是偶函数；当1x >时，()()()2()lg 1lg 1lg 1f x x x x =++-=-，设()21t x x =-，则()t x 在(1,)+∞上单增，又()lg f t t =为增函数，所以()2()lg 1f x x =-在(1,)+∞上单增，()f x ∴是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数.故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， ()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数）.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（）A. 2B. 22C. 23D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据三视图可得直观图四棱锥P ABCD -，结合图形，即可得到最长的侧棱为PB ，根据勾股定理即可求出PB 的长．【详解】根据三视图可得直观图四棱锥P ABCD -，如图：底面是一个直角梯形，AD AB ⊥，//AD BC ，4=AD ,2AB BC PO ===,且PO ⊥底面ABCD ，所以22222PA PD PC ===+= 2222222222223PB PO OB PO OA AB +++=++=，∴该四棱锥最长侧棱长为3故选:C【点睛】本题考查三视图的问题，关键是画出直观图，结合图形即可得到答案，考查学生的直观想象和运算求解能力.9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，经过t 分钟后物体的温度θ℃可由公式010()e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80℃的物体，放在20℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40℃，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈）（） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4D. 0.3【答案】D 【解析】【分析】80℃的物体，放在20℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40℃，则44020(8020)k e -=+-，从而413k e -=，由此能求出k 的值．【详解】由题知，80℃的物体，放在20℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40℃，则44020(8020)k e -=+-，从而413ke-=， 14ln ln33k ∴-==-，得1 1.009ln 30.344k =≈≈.故选:D【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力. 10.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（） A. 12 B. 13 C. 14D. 15【答案】B 【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；所以李明需要配送的天数为1050217+++=，所以整个5月李明不用去配送的天数是301713-=. 故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若()(1)13m i i i ++=+（m R ∈），则m =_________．【答案】2 【解析】【分析】由题意结合复数的乘法法则可得()()1113m m i i -++=+，由复数相等的条件即可得解. 【详解】由题意()()()(1)1113m i i m m i i ++=-++=+，由m R ∈可得1113m m -=⎧⎨+=⎩，解得2m =.故答案为：2.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件与运算求解能力，属于基础题.12.若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a =_________．【答案】3 【解析】【分析】由题意结合圆的方程可得该圆圆心为()1,0，，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.【详解】由题意圆的方程2220x y x a +--=可转化为()2211x y a -+=+，所以该圆圆心为()1,0，所以圆心到直线3x =的距离31d =-=3a =.故答案为：3.【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.13.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，||1MF =，则点M 的横坐标是________，△MOF （O 为坐标原点）的面积为_________．【答案】 (1). 12 (2). 14【解析】【分析】设出焦点坐标，根据抛物线定义即可求出点M 的横坐标，得到点M 坐标，继而可求△MOF （O 为坐标原点）的面积.【详解】因为22y x =，所以焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()11,M x y ，所以根据抛物线的定义由：112MF x =+，又||1MF =，所以1112x +=，解得：112x =，即点M 的横坐标是12. 因为112MOF S y OF =⨯⨯△，又211212y =⨯=，所以11y =，12OF =，所以111112224MOF S y OF =⨯⨯=⨯=△，故△MOF （O 为坐标原点）的面积为14.故答案为：1 2；14.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，解题关键根据抛物线定义用抛物线上点的横坐标表示焦半径的长，属于基础题.14.已知正方形ABCD的边长为2，若3BP PD=，则PA PB⋅的值为_________．【答案】34【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，进而得到,PA PB的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则(())0,2,0,0,2,0,2,2A B C D，设(),P x y，()(),,22==BP x y PD x y，因为3BP PD=，)()3232x xy y⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得44x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P ⎝⎭，所以3223,,4444⎛⎫⎛=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PA PB ，所以344444⎛⎛⎛⋅=-⨯-+-= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭PA PB ，故答案为：34【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,,22,.a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩给出下列三个结论：①存在实数a ，b ，c 使得a b b c c a *+**≥成立； ②函数()sin cos f x x x =*的值域为[0,2]； ③不等式2(1)1x x *-*≤的解集是[1,)+∞．其中正确结论的序号是_____________．【答案】①③ 【解析】【分析】由22,22,a b a ba b b a a b-≥⎧*=⎨-<⎩得，2a b a b *=-，对于①，由a b b c c a *+**≥得，a b b c c a ≥-+--，由绝对值三角不等式即可判断；（另解：举例说明，取a b c ==；）对于②，()2sin cos f x x x =-，再根据辅助角公式和三角函数的性质即可判断；对于③，由2(1)1x x *-*≤得，2x x -≤，解出即可判断．【详解】解：由22,22,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩得，2a b a b *=-，对于①，由a b b c c a *+**≥得，222a b b c c a≥-+--，即a b b c c a ≥-+--，由绝对值三角不等式可得，()()a b b c a b b c c a -+-≥-+-=-，当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立，故①对；（另解：取a b c ==，则,0,00a b b c c a *=*=*=，则a b b c c a *+**≥成立；）对于②，()sin cos f x x x =*2sin cos x x =-22sin 4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0,22⎡⎤∈⎣⎦，故②错；对于③，由2(1)1x x *-*≤得，222(1)1x x -≤--，即2x x -≤， ∴()222x x -≤，解得1x ≥，故③对；故答案为：①③．【点睛】本题主要考查新定义问题，解题的关键在于理解新运算的含义2a b a b *=-，属于中档题．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BCC B 是边长为2正方形，平面ABC ⊥平面11BCC B ，1AB =，AB BC ⊥，点E 为棱1AA 的中点．（Ⅰ）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面1B CE 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；．【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，利用平面与平面垂直的性质可得AB ⊥平面11BCC B ，得到11A B ⊥平面11BCC B ，得111A B BC ⊥，由11BCC B 是正方形，得11BC B C ⊥，再由直线与平面垂直的判定可得1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB ⊥平面11BCC B ，又1BC BB ⊥，故以B 为坐标原点，分别以BC ，1BB ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面1CB E 的一个法向量与1BC的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线1BC 与平面1B CE 所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）证：平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC平面11BCC B BC =，AB 平面ABC ，且AB BC ⊥， AB ∴⊥平面11BCC B ，在三棱柱111ABC A B C -中，有11//AB A B ，11A B ∴⊥平面11BCC B ，得111A B BC ⊥,11BCC B ∵是正方形，11BC B C ∴⊥，而1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A B C ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB ⊥平面11BCC B ，又1BC BB ⊥，∴以B 为坐标原点，分别以BC ，1BB ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，(0,1,1)E ， (2,1,1)CE =-，1(2,2,0)CB =-，1(2,2,0)BC =，设平面1CB E 的一个法向量为(,,)n x y z =，由120220n CE x y z n CB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =，设直线1BC 与平面1B CE 所成角为θ，则111sin cos n BC n BC n BC θ⋅==，1+1+211+244+01⨯+⨯=⨯626=，即直线1BC 与平面1B CE 6．【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，．是否存在正整数k （1k >），使得12,,k k a a S +成等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．从①120n n a a +-=，②1(2)n n S S n n -=+≥， ③2n S n =这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】若选①，不存在正整数k （1k >），使得12,,k k a a S +成等比数列；若选②，存在6k =，使得12,,k k a a S +成等比数列；若选③，存在3k =，使得12,,k k a a S +成等比数列．【解析】【分析】由题意得，若存在正整数k （1k >）满足题意，则212k k a S a +⋅=；若选①，则数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，求得12n n a ，122112nn n S -==--，代入数据求解即可求出答案；若选②，则当2n ≥时，1n n n a S S -=-，据此求得n a n =，()12n n n S +=，代入数据求解即可求出答案；若选③，则当2n ≥时，1n n n a S S -=-，据此求得21n a n =-，代入数据求解即可求出答案．【详解】解：若选①，则数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， ∴12n na ，122112nn n S -==--，∴21221k k a S ++⋅=-，()2212222k k k a --==，若12,,k k a a S +成等比数列，则212k k a S a +⋅=，则222212k k +--=，即242240k k +-+=，即()22860k -=，解得28k =±故不存在正整数k （1k >），使得12,,k k a a S +成等比数列；若选②，则当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，又11a =符合上式，则n a n =，*n N ∈，∴()12n n n S +=，∴()()12232k k k a S +++⋅=，22ka k =，若12,,k k a a S +成等比数列，则212k k a S a +⋅=，即()()2232k k k ++=，解得6k =，或1k =-（舍去），故存在6k =，使得12,,k k a a S +成等比数列；若选③，则当2n ≥时，1n n n a S S -=- ()22121n n n =--=-，又11a =符合上式，则21n a n =-，*n N ∈，∴()2122k a S k +⋅=+，()2221k a k =-，若12,,k k a a S +成等比数列，则212k k a S a +⋅=，则()()22221k k +=-，即()()3130k k +-=，解得3k =，或13k =-（舍去），故存在3k =，使得12,,k k a a S +成等比数列．【点睛】本题主要考查根据数列的递推公式求通项公式，考查计算能力，属于中档题． 18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16时公布实时在园人数．下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，40%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．（Ⅰ）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）37；（Ⅱ）X 的分布列见解析，数学期望()67E X =；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天12时的在园人数的方差最大．【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得，在园人数为840% 3.2⨯=万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；（Ⅱ）从10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得X 的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案；（Ⅲ）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论．【详解】解：∵40%以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是8万人， ∴在园人数为840% 3.2⨯=万人以下为“舒适”，（Ⅰ）10月1日至7日的下午14时去该公园游览，“舒适”的天数为3天， ∴甲同学遇上“舒适”的概率37P =；（Ⅱ）从10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日， ∴X 的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，∴()204327620217C C P X C ====， ()1143271241217C C P X C ====，()024327312217C C P X C ====， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天12时的在园人数的方差最大．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．19.已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，点P 在椭圆C 上，点Q 和点P 关于x 轴对称，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：P ，M 两点的横坐标之积等于4，并求OM 的取值范围．【答案】（I ）22143x y +=；（II ）证明见解析；OM 的取值范围是()2,+∞. 【解析】【分析】（I ）根据椭圆的顶点、离心率以及222a b c =+求得,,a b c，从而求得椭圆的方程.（II ）设出,P Q 的坐标，求得直线AP 和直线BQ 的方程，由此求得交点M 的坐标，进而证得,P M 两点的横坐标之积等于4.求得OM 的表达式，由此求得OM 的取值范围.【详解】（I ）由于椭圆焦点在x 轴上，所以22222112a a c c a b a b c =⎧⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，所以椭圆的方程为22143x y +=. （II ）设()P m n ,则(),Q m n -、2222131434m n m n ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭. 依题意可知22m -<<，且0m ≠.直线AP 的方程为()22ny x m =++，直线BQ 的方程为()22n y x m =--.由()()2222n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪-⎩解得42x mny m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即42,n M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以,P M 两点的横坐标之积为44m m ⋅=.由OM =====由于22m -<<，且0m ≠，所以222804,7m m <<>2>.也即OM 的取值范围是()2,+∞.【点睛】本小题主要考查根据,,a b c 求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，考查椭圆中的范围问题，属于中档题. 20.已知函数cos ()e 1sin x xf x x=++．（1）求函数()f x 的定义域；（2）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程；（3）求证：当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥．【答案】（1）|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭；（2）2y =;（3）见解析. 【解析】【分析】（1）由分母不等于0解不等式可求得定义域；（2）根据导数的几何意义易求出切线方程；（3）先求导判断函数()f x 在ππ(,)22x ∈-上的单调性，再求出()f x 最小值，命题得证. 【详解】解：（1）由1sin 0x +≠得，22x k ππ≠-+，k Z ∈.所以函数()f x 的定义域为|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭.（2）由()()()2sin 1sin cos cos 11sin 1sin x x x x x xf x e e xx -+-⋅-=='++++得：()00f '=，又()02f =，所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为：2y =.（3）由（2）得，()11sin x f x e x-=++'.当ππ(,)22x ∈-时，11sin y x-=+与xy e =单调递增，所以()11sin x f x e x-=++'在ππ(,)22-上单调递增.又()00f '=，所以()f x 在π(,0)2-上单调递减，在(0,)2π上单调递增.故()()()min 02f x f x f ≥==.【点睛】本题考查了函数的定义域求法、导数的几何意义及函数的最值，是高考基本知识，属于中档题.21.已知集合P 的元素个数为3n *()n N ∈且元素均为正整数，若能够将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P A B C =⋃⋃，A B =∅，A C ⋂=∅，BC =∅，其中12{,,,}n A a a a =，12{,,,}n B b b b =，12{,,,}n C c c c =，且满足12n c c c <<<，k k k a b c +=，1,2,,k n =，则称集合P 为“完美集合”．（Ⅰ）若集合{1,2,3}P ，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（Ⅱ）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（Ⅲ）设集合{|13,}P x x n n =∈*N ≤≤，证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或 41n k =+*()n N ∈．【答案】（Ⅰ）集合P 是“完美集合”，集合Q 不是“完美集合”，理由见解析；（Ⅱ）7，9，11中中任一个；（Ⅲ）详见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据“完美集合”的定义判断.（Ⅱ）根据“完美集合”的定义，写出集合A ，B ，C 的所有情况，算出x 的所有可能的值.（Ⅲ）根据集合P 中所有元素的和为()331123 (32)+++++=n n n ，以及()1112223331231...2-+++++++++=++++n n n n n a b c a b c a b c c c c c c 和3=n c n 得到()1231914--=+++n n n c c c c ，利用n c 为正整数求解. 【详解】（Ⅰ）{1,2,3}P是“完美集合”，此时，{1}A =，{2}B =，{3}=C ，满足12n c c c <<<，k k k a b c +=.{1,2,3,4,5,6}Q =不是“完美集合”，若Q 为“完美集合”，将Q 分成3个集合，每个集合中有两个元素，则111a b c +=，222+=a b c . Q 中所有元素之和为21 ，21210.5÷= 不符合要求.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2x ≠，若{1,3}A =，{4,6}=B ，根据 “完美集合”的定义，则{5,}=C x ，369x =+=.若{1,4}A =，{5,3}=B ，根据 “完美集合”的定义，则{6,}=C x ，347x =+=.若{1,5}A =，{6,3}=B ，根据 “完美集合”的定义，则{4,}=C x ，5611x =+=.综上：正整数x 的值为，9，7，11中任一个.（Ⅲ）设集合P 中所有元素的和为()331123 (32)+++++=n n n ，而()1112223331231...2-+++++++++=++++n n n n n a b c a b c a b c c c c c c ，因为3=n c n ，所以()()123133122-+=++++n n n n c c c c c ，()12313314-+=++++n n n n c c c c c ，()1231914--=+++n n n c c c c ，等号右边为正整数，则等式左边()91-n n 可以被4整除，所以4n k =或 14n k -=，即4n k =或 41n k =+*()n N ∈．【点睛】本题主要考查了集合的新概念问题，集合的运算以及等差数列的求和公式，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.。

2020年北京市房山区高考数学二模试卷

2020年北京市房山区高考数学二模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x＞0}，那么集合∁U A＝（）A．（﹣∞，0]∪[1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．（4分）在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．3．（4分）函数f（x）＝sinπx cosπx的最小正周期为（）A．1B．2C．πD．2π4．（4分）若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．5．（4分）函数f（x）＝e x﹣x2的零点个数为（）A．0B．1C．2D．36．（4分）“sinα≠sinβ”是“α≠β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知函数f（x）＝lg|1+x|+lg|1﹣x|，则f（x）（）A．是奇函数，且在（1，+∞）上是增函数B．是奇函数，且在（1，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（1，+∞）上是增函数D．是偶函数，且在（1，+∞）上是减函数8．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（）A．2B．C．D．49．（4分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，经过t分钟后物体的温度θ°C可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80°C的物体，放在20°C的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40°C，则k约等于（）（参考数据：ln3≈1.099）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.310．（4分）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（）A．12B．13C．14D．15二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

精品解析：北京市房山区2020届高三第二次模拟检测数学试题(解析版)

B. (, 0) (1, )
C. (0,1)
D. [0,1]
【答案】D
【解析】【分析】
计算 A , 0 1, ，再计算补集得到答案.
【详解】 A {x | x2 x 0}， x2 x 0 ，解得 x 1 或 x 0 ，故 A , 0 1, ，
故 ðU A [0,1] .
又因为 f (0) 1，所以 x (0, ) ， f (x) 0 .
故 f (x) 在 (0, ) 无零点.
综上：函数 f (x) ex x2 的零点个数为1.
故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.
6.“ sin sin ”是“ ”的（）
【详解】
f
(x)
sin πx cos πx
1 sin 2 x ，故周期 T 2
2 2
1.
故选：A.
【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
4.若双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0) 的一条渐近线经过点 (1,
3) ，则该双曲线的离心率为（
）
A. 2
故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
7.已知函数 f (x) lg |1 x | lg |1 x | ，则 f (x) （） A. 是奇函数，且在 (1, ) 上是增函数 B. 是奇函数，且在 (1, ) 上是减函数 C. 是偶函数，且在 (1, ) 上是增函数 D. 是偶函数，且在 (1, ) 上是减函数
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件与运算求解能力，属于基础题.

数学高三二模2020-2021试卷房山区(含答案)

左视图1 122 正视图俯视图房山区2021年高三二模试题数学 2021.05本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1) 已知全集{1, 2, 3, 4}=U ，集合{(1)(3)0}≤=∈--A x x x Z ，={2, 3}B ，则C (A B)=U(A) {3} (B) {4} (C) {3 4}， (D) {1 3 4}，， (2) 若复数2(2)(1) i =+-+-z x x x （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数x 的值为(A) 1(B) 2(C) 2-(D) 1或2-(3) 在△ABC 中，6=BC ，3π=A ，sin 2sinBC =，则△ABC 的面积为 (A) 63(B) 6(C) 93 (D) 42(4) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(A) 6 (B) 3 (C) 5(D) 5(5) 某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s （万元）与机器运转时间t （年数，*∈t N ）的关系为22364=-+-s t t .要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8(6) 已知角α的终边经过点(3,4)，把角α的终边绕原点O 逆时针旋转2π得到角β的终边，则tan β等于 (A) 43-(B)43(C) 34-(D) 34(7) 设1F ，2F 是双曲线22:13x C y -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 上，且1OP OF =，则△12PF F 的面积为(A)52(B) 2 (C)32(D) 1(8) 20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0=lg lg M A A -，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是标准地震的振幅．2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为(A) 0.210-(B) 0.210(C) 40lg39(D)4039(9) “0≤a ”是“函数ln , 0 ()2 , 0≤>⎧=⎨-+⎩xx x f x a x 有且只有一个零点”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件(10) 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛. 该校高三年级有1，2，3，4共四个班参加了比赛，其中有两个班获奖. 比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是（）(A) 乙，丁(B) 甲，丙 (C) 甲，丁 (D)乙，丙第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市房山区2020届高三第二次模拟检测数学试题含答案

通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，
40% 以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8 万人．（Ⅰ）甲同学从10 月1日至 7 日中随机选1天的下午14 时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从10 月1日至 7 日中任选两天，记这两天中这 4 个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为 X ，求
成等比数列？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由．
从① an+1 − 2an = 0 ，② Sn = Sn−1 + n(n ≥ 2) ， ③ Sn = n2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
3
（18）（本小题 14 分）
“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10 时，12 时，14 时，16 时公布实时在园人数．下表记录了10 月1日至 7 日的实时在园人数：
北京市房山区 2020 年高考第二次模拟检测
高三数学
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（B） 3 2
（C） 2 6
（D） 3 3
（3）函数 f (x) = sin πx cos πx 的最小正周期为
（A）1 （C） π
（B） 2 （D） 2π
（4）若双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1 (a 0,b 0) 的一条渐近线经过点 (1,

北京市房山区达标名校2020年高考二月调研数学试卷含解析

北京市房山区达标名校2020年高考二月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β>2．ABC 是边长为3E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（） A ．34B ．334C ．64D ．3643．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（）A ．12B ．22C ．32D ．234．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 6．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -7．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为（）A B ．2C D 8．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=9．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断： ①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数； ④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x ．那么正确论断的编号是（） A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤11．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i12．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点P m ⎫⎪⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京房山区房山第二中学2020年高三数学文模拟试卷含解析

北京房山区房山第二中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 三棱锥的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆的面积为，则该三棱锥的高的最大值为（）A. 7B. 7.5C. 8D. 9参考答案：C2. 已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是（）参考答案：B因为，所以在为增函数,又时，为增函数, 所以图象越来越陡峭，时，为减函数, 所以图象越来越平缓。

3. 设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=A．2 B．-2 C．D．-参考答案：B函数的导数为，所以函数在的切线斜率为，直线ax+y+3=0的斜率为，所以，解得，选B.4. 将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．B．C．D．参考答案：A将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，令，解得可得函数的增区间，当时，可得函数在区间单调递增。

故答案选5. 数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5等于( )A．1 B．C．D．参考答案：B考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵，∴…+==．∴．故选B．点评：熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键．6. 复数，（i为虚数单位），z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】先将化简运算得到，再由对应点的坐标得出结果.【详解】由题意知，其对应点的坐标为（，），在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 若变量x，y满足约束条件，则点（3，4）到点（x，y）的最小距离为（）A．3 B．C．D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由点到直线的距离公式求得点（3，4）到点（x，y）的最小距离．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，点（3，4）到点（x，y）的最小距离为P（3，4）到直线x+y﹣4=0的距离．为．故选：C．8. 函数的极值点的个数是A.2B.1C.0D.由a确定参考答案：C函数的导数为，所以函数在定义域上单调递增，所以没有极值点，选C.9. 记定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为（）A．1B．2C．3D．4参考答案：A【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x﹣在x∈[﹣1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．【解答】解：由题意可得（x3+2x）dx=（x4+x2）=，∴函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x=在[﹣1，1]上根的个数，构造函数g（x）=x3+2x﹣，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．故选：A．【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．10. 已知函数f（x）=Asin(ωx＋)（A>0, ω>0）的图象与直线y=b（0<b<A）的三个相邻交点的横坐标分别是2、4、8,则函数f(x)的单调递增区间是（）.A．[6kπ, 6kπ＋3]，k∈Z B．[6k―3, 6k]，k∈ZC．[6k, 6k＋3]，k∈Z D．无法确定参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，其中满足约束条件，若的最小值，则k的值为_____________.参考答案：1略12. 已知单位圆的圆心在原点，圆周上的六个等分点其中落在x正半轴上，且这六个点分别落在以原点为始点，X非负半轴为始边的∠的终边上，所有的∠可表示为__________________ （用一个含的式子表示）。

高三数学第二次模拟考试理房山二模,试题

房山2021年高考第二次模拟测试试卷创作人：历恰面日期： 2020年1月1日数学〔理〕第一局部〔选择题一共40分〕一、选择题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项．假设a ∈R ，i 为虚数单位，且()i i=1+2i a -，那么a =〔〕．A ．1-B ．0C ．1D ．2集合{}|2A x x =>-，集合{}|ln ,1B y y x x ==>，那么AB =〔〕．A ．()2,0-B ．()2,1-C ．()2,-+∞D ．()0,+∞“1a =-〞是“直线210ax y ++=与直线()120x a y +--=平行〞的〔〕．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件如图是甲，乙两名同学5次综合测评成绩的茎叶图，以下四个结论中，正确的选项是〔〕． A ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 B ．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 C ．甲成绩的平均值等于乙成绩的平均值 D ．甲成绩的HY 差小于乙成绩的HY 差将函数sin 2y x =的图像向右平移π8个单位后，所得图象的一条对称轴方程是〔〕．A ．π8x =B ．π8x =-C ．π4x =D ．π4x =-如图，设区域(){},|0π,01D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投入一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，那么点落入到阴影区(){},|0π,0sin M x y x y x =≤≤≤≤的概率为〔〕．A ．1B ．π2C ．2πD ．1π对任意两实数,a b ，定义运算“*〞：,,,.a a b a b b a b ⎧*=⎨<⎩≥关于函数()1e e x x f x --=*给出以下四个结论： ①函数()f x 为偶函数； ②函数()f x 的最小值是e ③函数()f x 在()0+∞，上单调递增④函数()f x 的图象与直线()=e 1y x +没有公一共点其中正确结论的序号是〔〕． A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④直线2x =与双曲线C ：2248x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上的任意一点，假设OP aOA bOB =+〔,a b ∈R ，O 为坐标原点〕，那么a b +的取值范围是〔〕．A ．(][),11,-∞-+∞B ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．(),22,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣D ．22,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭第二局部〔非选择题一共110分〕二、填空题一共6小题，每一小题5分，一共30分．在极坐标系中，圆=2cos ρθ的圆心到直线cos =2ρθ的间隔为____________．如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B 、C 两点，3PA =，30PAB ∠=︒，那么AOB ∠=______；=PC ______．执行如下图的程序框图，输出的值是n _______________．某地区组织汉字听写比赛，一共有4所的7名同学参赛，其中甲有2人参赛，乙有3人参赛，其余2所各有1人参赛，假设比赛中有3人获奖，那么这3人来自3所不同的可能情况的种数为____．一个几何体的三视图如下图，该几何体的外表积是___________．假设三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足112a b c +=，那么称a ，b ，c 是调和的；假设满足2a c b +=，那么称a ，b ，c 是等差的．集合}{,,P a b c =，假设P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，那么称集合P 为“好集〞． ①请写出一个好集______________；②假设集合}{|2014,M x x x=∈Z≤，P M⊆，那么不同的“好集〞P的个数为________．三、解答题一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程．〔本小题一共13分〕在锐角ABC △中，1cos 29C =-．〔I 〕求sin C 的值；〔II 〕当3a =，3sin C A =时，求b 的值．〔本小题一共14分〕如图，在三菱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为矩形，平面11AA B B ⊥平面ABC ．90ABC ∠=︒，1112AB BC AA ===，点F 为AC 的中点，点E 为1AA 上一点．〔I 〕求证：平面BEF ⊥平面11AA C C ；〔II 〕当AE 的长为何值时，二面角111A C E B --为60︒？FEA 1B 1C 1CBA〔本小题一共13分〕甲、乙、丙三人参加一项技能测试，甲通过测试的概率为35，乙通过测试的概率为12，乙、丙两人同时通过测试的概率为13，且三人能否通过测试互相HY．〔I〕求三人中至少一人通过测试的概率；〔II〕设X为甲、乙、丙三人中通过测试的人数，求X的分布列和数学期望．〔本小题一共14分〕函数22()ln a f x x a xx =+-．〔I 〕当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；〔II 〕讨论函数()f x 的单调性；〔III 〕假设0a >时，函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．〔本小题一共13分〕点(,)A x y 和点(4,)B y ，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ．〔I 〕求点A 的轨迹C 的方程；〔II 〕过点P (4,0)的直线l 交轨迹C 于D ，E 两点，判断DOE △的形状，并证明你的结论．〔本小题一共13分〕数列}{na 中，16a =，1132n n n a a +++=⋅，*n ∈N ．〔I 〕设12n n n b a +=-，证明：数列}{n b 是等比数列；〔II 〕在数列}{na 中，是否存在连续三项成等差数列？假设存在，求出所有符合条件的项；假设不存在，请说明理由；〔III 〕假设1r s <<且*,r s ∈N ，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(,)r s 在某一条直线上．。

2020年北京房山区高三二模数学试卷-学生用卷

2020年北京房山区高三二模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京房山区高三二模第1题4分已知全集U=R．集合A={x|x2−x>0}，那么集合∁U A=（）．A. (−∞,0]∪[1,+∞)B. (−∞,0)∪(1,+∞)C. (0,1)D. [0,1]2、【来源】 2020年北京房山区高三二模第2题4分2020~2021学年北京海淀区北京市玉渊潭中学高一下学期期末第2题4分2020~2021学年9月北京西城区北京市第七中学高三上学期月考第5题4分在△ABC中，若A=π4，B=π3，a=2√3，则b=（）．A. 2√3B. 3√2C. 2√6D. 3√33、【来源】 2020年北京房山区高三二模第3题4分2020~2021学年9月北京西城区北京市第七中学高三上学期月考第3题4分函数f(x)=sin⁡πxcos⁡πx的最小正周期为（）．A. 1B. 2C. πD. 2π4、【来源】 2020年北京房山区高三二模第4题4分若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,√3)，则该双曲线的离心率为（）．A. √2B. √3C. 2D. √55、【来源】 2020年北京房山区高三二模第5题4分函数f(x)=e x−x2的零点个数为（）．A. 0B. 1C. 2D. 36、【来源】 2020年北京房山区高三二模第6题4分“sin⁡α≠sin⁡β”是“α≠β”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7、【来源】 2020年北京房山区高三二模第7题4分2020~2021学年甘肃白银靖远县靖远县第四中学高一上学期期中第9题5分已知函数f(x)=lg⁡|1+x|+lg⁡|1−x|，则f(x)（）．A. 是奇函数，且在(1,+∞)上是增函数B. 是奇函数，且在(1,+∞)上是减函数C. 是偶函数，且在(1.+∞)上是增函数D. 是偶函数，且在(1,+∞)上是减函数8、【来源】 2020年北京房山区高三二模第8题4分2020年北京海淀区北京育英学校高三三模第8题4分某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（）．A. 2B. 2√2C. 2√3D. 49、【来源】 2020年北京房山区高三二模第9题4分2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三下学期高考模拟（保温练习2）第7题4分把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C ，空气的温度是θ0°C ，经过t 分钟后物体的温度θ°C 可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt 求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80°C 的物体，放在20°C 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40°C ，则k 约等于（参考数据：ln⁡3≈1.099）（）．A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.310、【来源】 2020年北京房山区高三二模第10题4分2019~2020学年陕西西安蓝田县高二下学期期末理科第11题5分李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用．．去配送的天数是（）．A. 12B. 13C. 14D. 15二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京房山区高三二模第11题5分若(m +i )(1+i )=1+3i (m ∈R )，则m = ．12、【来源】 2020年北京房山区高三二模第12题5分2020~2021学年天津滨海新区高二上学期期末第14题5分若直线x =3与圆x 2+y 2−2x −a =0相切，则a = ．13、【来源】 2020年北京房山区高三二模第13题5分2020年北京海淀区北京育英学校高三三模第13题5分已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，|MF |=1，则点M 的横坐标是，△MOF （O 为坐标原点）的面积为．14、【来源】 2020年北京房山区高三二模第14题5分2020年北京海淀区北京育英学校高三三模第14题5分已知正方形ABCD 的边长为√2，若BP →=3PD →，则PA →⋅PB →的值为．15、【来源】 2020年北京房山区高三二模第15题5分对任意两实数a ，b ，定义运算“∗”：a ∗b ={2a −2b,a ⩾b 2b −2a,a <b，给出下列三个结论： ①存在实数a ，b ，c 使得a ∗b +b ∗c ⩾c ∗a 成立；②函数f (x )=sin⁡x ∗cos⁡x 的值域为[0,2]；③不等式x ∗2⩽(1−x )∗1的解集是[1,+∞)．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京房山区高三二模第16题14分如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BCC 1B 1是边长为2的正方形，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB =1，AB ⊥BC ，点E 为棱AA 1的中点．(1) 求证：BC1⊥平面A1B1C．(2) 求直线BC1与平面B1CE所成角的正弦值．17、【来源】 2020年北京房山区高三二模第17题14分2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三下学期高考模拟（保温练习2）第16题已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，．是否存在正整数k(k>1)，使得a1、a k、S k+2成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．从①a n+1−2a n=0，②S n=S n−1+n(n⩾2)，③S n=n2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18、【来源】 2020年北京房山区高三二模第18题14分2020~2021学年北京东城区北京市第五中学高三上学期期中第18题2020~2021学年10月北京西城区北京市第十三中学高三上学期月考第20题14分2020年北京海淀区北京育英学校高三三模第18题14分“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16时公布实时在园人数．下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，40%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．(1) 甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率．(2) 从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布列和数学期望．(3) 根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）19、【来源】 2020年北京房山区高三二模第19题14分已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2.0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为12．(1) 求椭圆C的方程．(2) 设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M．求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求|OM|的取值范围．20、【来源】 2020年北京房山区高三二模第20题15分2020年北京海淀区北京育英学校高三三模第20题14分已知函数f(x)=cos x1+sin⁡x+e x．(1) 求函数f(x)的定义域．(2) 求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程．(3) 求证：当x∈(−π2,π2)时，f(x)⩾2．21、【来源】 2020年北京房山区高三二模第21题14分2020年北京海淀区北京育英学校高三三模第21题14分2020~2021学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高一上学期期中第21题2020~2021学年10月广东广州越秀区广州市执信中学高一上学期周测A卷（二）第17题2020~2021学年10月北京东城区北京市东直门中学高二上学期月考第23题已知集合P的元素个数为3n(n∈N∗)且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即P=A∪B∪C，A∩B=∅，A∩C=∅，B∩C=∅，其中A={a1,a2,⋯,a n}，B={b1,b2,⋯,b n}，C={c1,c2,⋯,c n}，且满足c1<c2<⋯<c n，a k+b k=c k，k=1，2，⋯，n，则称集合P为“完美集合”．(1) 若集合P={1,2,3}，Q={1,2,3,4,5,6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由．(2) 已知集合P={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”，求正整数x的值．(3) 设集合P={x|1⩽x⩽3n,n∈N∗}，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1(n∈N∗)．1 、【答案】 D;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 D;10 、【答案】 B;11 、【答案】2;12 、【答案】3;13 、【答案】12;1 4 ;14 、【答案】34;15 、【答案】①③;16 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √63．;17 、【答案】选择①不存在，证明见解析（或选择②存在，k=6或选择③存在，k=3）．;18 、【答案】 (1) 37．;(2) X的分布列为数学期望为67．;(3) 从10月2日开始连续三天的在园人数的方差最大．;19 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) (2,+∞)．;20 、【答案】 (1) {x|x≠−π2+2kπ(k∈Z)}．;(2) y=2．;(3) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 不是；证明见解析．;(2) 7或9或11．;(3) 证明见解析．;。

2020年北京市房山区高考数学二模试卷 (含答案解析)

2020年北京市房山区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x |(x −4)(x +1)≥0}，则∁U A = ( )A. (−1,4]B. [−1,4)C. (−1,4)D. [−1,4]2. 在△ABC 中，b =2，A =π3，B =π4，则a 的值为( ) A. √3 B. √6 C. 2√3 D. √623. 函数f (x )=√3sin 2x +3sinxcosx 的最小正周期是( )A. 4πB. 2πC. πD. π24. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线经过点(3,−√7)，则此双曲线的离心率为( )A. √23B. 4√77 C. 43 D. 535. 已知f(x)={x +3,x ≤1−x 2+2x +3,x >1，则函数g(x)=f(x)−e x 的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知α,β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+(−1)k β”是“sinα=sinβ”的( )．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数f(x)=ln|x|( )A. 是偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增B. 是偶函数，在区间(0,+∞)上单调递减C. 是奇函数，在区间(−∞,0)上单调递增D. 是奇函数，在区间(−∞,0)上单调递减8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A. √5B. 2√2C. 2√3D. 39. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C ，空气的温度是θ0°C ，经过t 分钟后物体的温度θ°C 可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt 求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有80°C 的物体，放在20°C 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40°C ，则k 约等于(参考数据：ln3≈1.099) ( )A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.310. 甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃.甲说：“是丙或丁打碎的.”乙说：“是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“不是我打碎的.”他们中只有一人说了谎，请问是( )打碎了玻璃．A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. (1+i)(2−i)= ______ ．12. 已知直线l ：ax +y +2a =0与圆C ：x 2+(y −4)2=4相切，则a 的值为__________．13. 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，且M 为AF 的中点，若点M 的横坐标为2，则|AF|=______．14. 已知正方形ABCD 的边长为2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=______． 15. 不等式组{x <2m +1x <m −2的解集是x <m −2，则m 的取值应为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AC ⊥BB 1，AB =A 1B =AC =2，BB 1=2√2．(Ⅰ)求证：A 1B ⊥平面ABC ；(Ⅱ)若P 是棱B 1C 1的中点，求直线BB 1与平面PAB 所成角的正弦值．17.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，____.是否存在正整数k(k>1)，使得a1，a k，S k+2成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．从①a n+1−2a n=0，②S n=S n−1+n(n≥2)，③S n=n2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至2019年10月27日在中国武汉举行，第七届世界军人运动会是我国第一次承办的综合性国际军事体育赛事，也是继北京奥运会后我国举办的规模最大的国际体育盛会．经过激烈角逐，奖牌榜的前6名依次为中国、俄罗斯、巴西、法国、波兰和德国．其中德国队共有45名运动员获得了奖牌，其中金牌10枚、银牌15枚、铜牌20枚，某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国队获奖选手中抽取9名获奖代表．(1)请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别为多少人？(2)从这9人中随机抽取3人，记这3人中银牌选手的人数为X，求X的分布列和期望．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，△OAB的面积为√22．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设斜率为k的直线l与椭圆交于P、B两点，与x轴交于N点，直线PA与y轴交于点M.求证：|AN|·|BM|为定值．20.已知函数f(x)=x−sinx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；(Ⅱ)求证：当x∈(0,π2)时，0<f(x)<16x3．21.已知集合A={y|y=x2−32x+1,x∈[34,2]}，B={x|x+m2≥1}.命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x≤−1或x≥4}，U=R，∴∁U A=(−1,4)．故选：C．可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．本题考查补集的运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵b=2，A=π3，B=π4，∴由正弦定理可得：a=bsinAsinB =2×√32√22=√6．故选：B．由已知利用正弦定理即可解得a的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：C解析：本题主要考查三角函数图像与性质的应用，以及两角和与差的三角函数公式，二倍角公式化简，属于中档题．根据两角和与差的三角函数公式，二倍角公式化简原式可得，即可求解．解：由题意得，函数，则函数的最小正周期是，故选C．4.答案：C解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线bx +ay =0经过点(3,−√7)，可得3b =√7a ，即：9(c 2−a 2)=7a 2，9c 2=16a 2.e =c a >1，可得e =43．故选：C ．利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a 、b 关系然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：B解析：解：函数g(x)=f(x)−e x 的零点，即为函数y =e x ，y =f(x)交点的横坐标，在同一坐标系中画出y =e x ，y =f(x)={x +3,x ≤1−x 2+2x +3,x >1的图象如下图所示：，由图象可知两个函数有2个交点，即函数g(x)=f(x)−e x 的零点个数为2个．故选：B ．设y =e x ，y =f(x)，分别作出两个函数的图象，利用图象的交点个数，确定函数零点的个数．本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决函数交点问题中最基本的方法，要求熟练掌握．6.答案：C解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键．难度不大．根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论k为偶数和奇数时，是否成立即可．解：当k=2n，为偶数时，α=2nπ+β，此时sinα=sin(2nπ+β)=sinβ，当k=2n+1，为奇数时，α=2nπ+π−β，此时sinα=sin(π−β)=sinβ，即充分性成立，当sinα=sinβ，则α=2nπ+β，n∈Z或α=2nπ+π−β，n∈Z，即α=kπ+(−1)kβ，即必要性成立，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要条件，故选：C．7.答案：A解析：本题考查函数的单调性和奇偶性，是基础题．由该函数的特点结合函数奇偶性的定义求解即可．解：因为函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，且f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数．又x>0时，f(x)=lnx，所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，故选A．8.答案：D解析：解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD//BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC=√PA2+AC2=√22+22+12=3，故选：D．由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．。

2020年北京市房山区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

2022北京市房山区高三二模数学试卷(含答案)

北京房山区房山第二中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析

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