图与网络作业

(i>=(j+2))&(3-i)>=(3-(j+2))|...
%两个仆人过河引起的状态变化
((i+1)>=j+1)&((3-(i+1))>=3-(j+1))|…
%一个商人与一个仆人过河引起的状态变化
((i+1)>=j)&(3-(i+1)>=3-j)|…
%一个商人过河引起的状态变化
(i>=j+1)&(3-i>=3-(j+1))
问题一：将匈牙利算法修改为求二分图的最大对集
二分图最大对集算法：
（ ）从 中任意取定一个初始对集 。
（ ）若 把 中的顶点皆许配，停止， 即完美对集（最大对集的极限）；否则取 中未被 许配的一顶点 ，记 ， 。
（ ）若 ，停止，边集合M为最大对集；否则取 。
（ ）若 是被 许配的，设 ， ， ，转（ ）；否则，取可增广轨 ，令 ，转（ ）。
fprintf('此时过河方案为\n ');
for k=1:temp
fprintf('（%d，%d）\n',zhuangtai(R(k),:));
if k<temp
fprintf('------>\r\n');
end
end
过河最少步数为5
此时过河方案为
（3，3）
------>
（3，1）
------>
function [D,path]=floyd(a)
n=size(a,1);
D=a;
path=zeros(n,n);
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,j)~=inf
path(i,j)=j;
end
end
end
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
由题意知：18分钟后又山洪，四人17分钟完成过桥，所以四人可及时过桥。
用图论解释：
可以以4个人在桥对岸状态来作为节点来构造一个有向图，起始状态桥对岸是空集合。第一次的可能情况有6种：｛（甲，乙），（甲，丙）（甲，丁）（乙，丙）（乙，丁）（丙，丁）｝对应的权值为｛w(甲，乙)=10，w(甲，丙)=10，w(甲，丁)=10，w(乙，丙)=5，w(乙，丁)=5，w(丙，丁)=2｝；第二次的可能可能情况有4种：｛甲，乙，丙，丁｝，对应的权值集合为：{w(甲)=10,w(乙)==5,w(丙)=2,w(丁)=1}；第三次的可能情况有4种：{（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，丙，丁），（乙，丙，丁）}，对应权值为：{w(乙，丙)=5,w(甲，丙)=10,w(丙，丁)=2,w(乙，丁)=5,w(甲，丁)=10,w(甲，丙)=10,}；第四次的可能情况有6种：｛（甲，乙），（甲，丙）（甲，丁）（乙，丙）（乙，丁）（丙，丁）｝，对应的权值为：｛w()=10，w()=10，w()=10，w()=5，w()=5，w()=2｝;第五次的可能情况有1种：{甲，乙，丙，丁}，对应的权值为：{w(丙,丁)=2,w(乙,丁)=5,w(乙,丙)=5,w(甲,丁)=10,w(甲,丙)=10,w(甲,乙)=10}。
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
path(i,j)=path(i,k);
end
end
end
end
%配合floyd算法的后续程序,s为源点,t为宿点
%L为长度,R为路由
function [L,R]=router(D,path,s,t)
L=zeros(0,0);
R=s;
while 1
if s==t
（3，2）
------>
（3，0）
------>
（1，1）
------>
（0，0）
键入不同的商人人数和船的承载人数，它的结果也是不同的！
问题三：四人过桥问题
有一天晚上，有四个人需要通过架在山谷间的危桥，任意时刻最多只能有两个人在桥上，过桥需要一盏闪光灯，这些人只有一盏闪光灯。如果单独过桥他们分别需要10、5、2、1分钟，如果两人同时过桥则所需时间是较慢者所需的时间。18分钟后，沿山谷滚滚而下的山洪将把这座桥冲毁。这四个人能及时过桥吗？用图论知识，证明你的结论；并说明如何用图论知识获得答案。
2)假设此岸的状态集合为X；
3)假设彼岸的状态集合为Y；
4)假设状态转移的边集合为M；
4．模型建立
由题可知：该问题可以使用二分图求完美对集的模型。
5.模型求解
由匈牙利算法，
利用Matlab数学软件进行计算，编程如下：
%floyd算法通用程序，输入a为赋权邻接矩阵
%输出为距离矩阵D,和最短路径矩阵path
作图如下：【黑线条表示最短路径】
由图可知：T=2+1+10+2+2=17min
问题二：安全过河问题
1．问题重述
三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人抢货.但是乘船渡河的方案由商人决定,那么商人们怎样才能安全过河?如果可以安全渡河，请找出所有可行方案.如果是n名商人，小船只能容纳m人，情况又将如何？
2.问题分析
问题条件是：三个商人与仆人要过河，船的承载量一次为两人，目的是：商人们均安全过河；约束条件是：只要两岸任意一岸的仆人个数超过商人个数，仆人就会杀人越货，即：商人无法安全过河。求：1）能使商人安全过河的所有可行性方案；2）如果是n名商人，小船只能容纳m人，方案情况。
3.模型假设
1)假设河两岸商人与仆人的人数状态构成一个二分图G；
W（x）x表示有向图弧的权值，x ；
模型求解
a)用时较少的两人丙，丁先过桥，用时T（丙丁）=2；
b)用时小的丁返回，T（丁）=1；
c)用时比较接近的两人甲，乙过桥，用时T（甲乙）=10；
d)用时少的丙返回，T（丙）=2；
e)最后两组丙，丁过桥，T（丙丁）=2.
所以总时间为：T=2+1+10+2+2=17
zhuantai(3,3)=zhuantai(4,4)=1;
[n,m]=size(zhuangtai);d=zeros(2*n);
%根据状态变化规律作出一个赋权二分图
for i=0:n-1
for j=0:n-1
if (((i+2)>=j)&(3-(i+2))>=(3-j)|...
%两个商人过河引起的状态变化
问题分析
过桥条件是：要有闪光灯；两人过桥，过桥按时间长的算。要是过桥时间最短：要花费时间最短的人带灯返回，那么容易知道时间长度接近的一同前往可以减少时间，时间越短的人回来速度快，可以减少时间。
符号说明
甲表示用时10min的人；
乙表示用时5min的人；
丙表示用时2min的人；
丁表示用时1min的人；
T（x）x表示过桥所需时间，x ；
%一个仆人过河引起的状态变化
)
d(i,j)=1;
d(j,i)=1;
endendຫໍສະໝຸດ endd(find(d==0))=inf;
for i=1:n
d(i,i)=0;
end
[D,path]=floyd(d);
%求图中各点的最短路,即得过河最优方案
[L,R]=router(D,path,1,n);
temp=length(L);fprintf('过河最少步数为%d\n',L(temp));
L=fliplr(L);
L=[0,L];
return
end
L=[L,D(s,t)];
R=[R,path(s,t)];
s=path(s,t);
end
clear;clc;
%商人安全过河问题
zhuangtai=zeros(4,4);
%允许状态，矩阵每行表示一个状态
zhuangtai(1,:)=ones(1,4);