高中理科数学计数问题(排列组合)

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高中理科数学-计数问题(排列组合)

理科数学复习专题统计与概率排列组合一．基本计数原理1．加法原理：做一件事有n类办法，完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步完成，完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：要求做一件事有多少种方法，一般先分类，再分步。

例：用ABCD四个字母和1-9九个数字中各取一个给教室的座位编号，可以编出几种号码？练：从3名老师，8名男生，5名女生中选人参加活动。

（1）活动只需一人参加，有几种选法？（2）活动需一名老师，一名男生，一名女生参加，有几种选法？（3）活动需一名老师，一名学生参加，有几种选法？题型总结※重排问题（元素可以重复选取）例：(1)将5本书分给3个不同的学生，有几种分法?(2)将3个人分到5个不同的车间工作，有几种分法？练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军，每门学科一名冠军，可能出现几种结果？※组数问题（特殊位置、特殊元素优先考虑）例：（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位偶数?（2）用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?（3）用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?※选取问题（优先安排“全能者”）例：艺术小组共有9人，每人至少会钢琴和小号一种乐器，其中会钢琴的有7人，会小号的有3人。

从中选一人参加钢琴比赛，一人参加小号比赛。

总共有几种选取方案？练：艺术小组共有9人，只会钢琴有5人，只会小号有2人，全能的有2人，从中选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。

总共有几种选取方案？※涂色问题例：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图的五个区域内，要求相邻的两个区域颜色都不相同，则有几种不同的涂色方法练：如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数是_______二、排列：例：从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生，1个上午，1个下午，几种选法？总结：从n 个元素中选出m 个进行排列，总共有几种选法？1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．【说明】排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!n nA n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）题型总结※ 计算排列数计算：42128642A A A A -++※ 用排列解决的计数问题（1）特殊优先原则（2）相邻元素捆绑法（3）不相邻元素插空法（4）定序问题倍缩法例：①用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?②用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?例：用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)偶数数字从左向右从小到大排列．练：3个男生4个女生站成一排（1）甲只能排在中间或排在两端（2）甲和乙只能站在两端(3) 甲不站最左端，乙不站最右端 ( 4) 所有男生站一起(5) 所有男生站一起，所有女生站一起 (6)男生不能相邻(7) 甲乙中间有两人 (8)甲在乙的右边排列问题综合练习1、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 ( )A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种2、有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种3、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起的不同坐法种数为（）A 、333A ⨯B 、333)(3A ⨯ C. 433)(A D. 99A4、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学生不能相邻，那么不同的排法有（）A 、36种B 、72种C 、108种D 、120种5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起去动物园游玩，购票后需要排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法数共有（）A 、12B 、24C 、36D 、486、公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有（）A 、15种B 、24种C 、360种D 、480种7、在学校的一次演讲比赛中，高一，高二，高三分别有1名，2名，3名同学获奖，将这6名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有（）A 、6种B 、36种C 、72种D 、120种8、由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是_____A ．72 B.96 C.108 D.1449、电视台某段时间连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种10、甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（）A.12种B.18种C.24种D.96种11、某中学一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )A ．600种B ．480种C ．408种D ．384种12、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A ）288个（B ）240个（C ）144个（D ）126个13、6位同学排成三排，每排2人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法有__种14、A ，B ，C ，D ，E 五个元素排成一列，若A 在B 的前面且D 在E 的前面，则有_____种不同的排法.15、安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班1天，其中甲乙二人都安排在10月1日和10月2日，不同的安排方法共有________种。

高考数学中的排列组合问题

高考数学中的排列组合问题在高考数学中，排列组合是一个必考的章节，也是一个相对来说较为重要的部分。

排列组合问题设计到数学中常见的一种基本计数方法，用来解决多种实际问题。

如果掌握了排列组合的知识，不仅可以顺利通过高考数学的考试，更可以在数学学习和未来的实际生活中受益。

一、排列问题排列问题指的是从 n 个不同元素中任选 m 个元素，按照一定的顺序排列出来的所有情况数，其运算规则是：A(n, m) = n!/(n - m)!其中，n 表示选取元素的个数，m 表示排列出来元素的个数，n! 表示数学中的阶乘，即 n! = n*(n-1)*(n-2)* (1)在实际生活中，排列问题的应用极为广泛。

比如在一只篮球队中，从 10 名队员中选取 5 名队员排列出比赛阵容的所有情况，就是一个排列问题。

再如，在一个电子密码锁中，可以通过排列问题来计算所有可能的密码组合，以防止密码被人轻易破解。

二、组合问题组合问题指的是从 n 个不同元素中任选 m 个元素，但是不考虑选取元素的顺序，求出所有情况的总数，其运算规则是：C(n,m) = A(n,m) / m! = n! / [m!*(n-m)!]组合问题其实就是在排列问题的基础上去掉了顺序这个限制。

组合问题的应用也很广泛。

比如在一次抽奖活动中，从 50 份礼物中随机抽出 5 份给获奖者，就是一个组合问题。

再如，对于一篇文章中的多个字母或单词的排列组合，也可以使用组合问题来解决。

三、应用举例排列组合问题在实际生活中的应用非常广泛。

下面我们通过几个例子来具体说明一下。

1.在一家商场内销售了 4 种不同的商品，其中商品 A 的售价为10 元，商品 B 的售价为 15 元，商品 C 的售价为 20 元，商品 D 的售价为 25 元。

假设小明手上有 100 元钱，他想从这四种商品中买 3 种不同的商品，每种商品只买一个，并且不超过 100 元。

问小明有多少种选择方案？此题是一个排列组合问题。

高中数学排列组合知识点

排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的xx,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有种不同的排法乙甲丁丙三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。

新高考数学题型全归纳之排列组合专题01 两个计数原理(解析版)

专题1 两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】18+38=56．【例2】若a 、b 是正整数，且6a b ≤+，则以()a b ，为坐标的点共有多少个？【解析】66=36´．【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256创= 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有98172创=根据分类计数原理知共有25672328+= 故选：B ．【例4】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A ．8B ．24C ．48D ．120【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有122A =种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A =创=种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有22448?（个)．故选：C ．【例5】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A =个； ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A =个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A =个；最后还有5420也满足题意. 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175．类型二、乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，则进门的方法有4种，出门的方法也有4种，则不同的走法有4416?种【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法，同理第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即44464创=不同的放法，故答案为：64．【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种．【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有25A 安排方法，故不同的安排种法有256120A ?，故答案为120．【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】111838684C C = 【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63729=种．【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6种可能，因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有36666创=种可能【例12】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【解析】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有22A 种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有222A 种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有15C 种排法．由分步乘法计数原理得共有221225240A A C =（种)．答案为：40【例13】从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n +=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x ，，=<且||9}y <内的椭圆个数为（） A ．43B ．72C ．86D ．90【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m n ¹，所以有两类，一类是m ，n 从{1，2，3，6¼，7，8}任选两个不同数字，方法有2856A = 令一类是m 从9，10，两个数字中选一个，n 从{1，2，3，6¼，7，8}中选一个方法是：2816?所以满足题意的椭圆个数是：561672+= 故选：B ．【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}，--的“同族函数”共有（）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有1-、1中的一个和3-、3中的一个，满足条件的定义有：{1-，3}-、{1-，3}、{1，3}-、{1，3}、{1-，1，3}-、{1-，1，3}、{1-，3-，3}、{1，3-，3}、{1-，1，3-，3}，共9个．故选：C ．【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（）A ．90个B ．99个C ．100个D ．112个【例16】从集合{4321012345}，，，，，，，，，----中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（）A ．10B ．32C ．110D ．220【解析】从集合{1-，2-，3-，4-，0，1，2，3，4，5}中，随机选出5个数组成子集，共有105C 种取法，即可组成105C 个子集，记“这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件A ，而两数之和为1的数组分别为(1,2)-，(2,3)-，(3-，4)(4-，5)，(0,1)，A 包含的结果有①只有有一组数的和为1，有5422213111160C C C C C =种结果②有两组数之和为1，有562160C C =种，则A 包含的结果共有220种故答案为：220．【例17】若x 、y 是整数，且6x ≤，6x ≤，则以()x y ，为坐标的不同的点共有多少个？【解析】整数x ，y 满足6x ≤，6x ≤ 则{6,5,4,3x A?----，2-，1-，0，1，2，3,4,5,6}，{6,5,4y B?---，3-，2-，1-，0，1，2，3，4,5,6}，从A 种选一个共有13种方法，从B 选一个共有13种方法，故有1313169?种．故答案为：169．【例18】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数． ⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【解析】（1）根据题意，分2步分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法， ②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有2520A =种选法，则可以组成520100?个无重复数字的三位数（2）分3步进行分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法，②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法， ③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法，则可以组成566180创=个数字允许重复的三位数；【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？【解析】63333333创创?【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种．A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种结果1，2，首先从3个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，共有22326C A =种结果，故选：B ．类型三、基本计数原理的综合应用【例21】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【解析】按首位数字的奇偶性分两类：一类是首位是奇数的，有：2323A A ；另一类是首位是偶数，有：322322()A A A -则这样的五位数的个数是：2332223322()20A A A A A +-=．故答案为：20．【例22】若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象．则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）A ．27B ．36C ．39D ．48【解析】如果n 是良数，则n 的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为0)，而小于1000的数至多三位，一位的良数有0，1，2，共3个二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有339?个三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有34336创=个．综上，小于1000的“良数”的个数为393648++=个故选：D ．【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【解析】依题意，正方体的8个顶点所确定的平面有：6个表面，6个对角面，8个正三角形平面共20个. 故答案为：20【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【解析】因为3855711=⨯⨯，在1~385这385个自然数中，5的倍数有385[]775=（个)， 7的倍数有385[]557=（个)，11的倍数有385[]3511=（个)，5735⨯=的倍数有385[]1135=（个)，51155⨯=的倍数有385[]755=（个)， 71177⨯=的倍数有385[]577=（个)，385的倍数有1个．由容斥原理知，在1~385中能被5、7或11整除的数有775535(1175)1145++−+++=（个)，而5、7、11互质的数有385145240−=（个)．即分母为385的真分数有240（个)．如果有一个真分数为385a，则必还有另一个真分数385385a −，即以385为分母的最简真分数是成对出现的，而每一对之和恰为1．故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1120120⨯=．【例25】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A =个； ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A =个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A =个；最后还有5420也满足题意. 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175．【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000创创创?”到“9999创创创?”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A ．2000B ．4096C ．5904D ．8320【解析】10000个号码中不含4、7的有484096=， \ “优惠卡”的个数为1000040965904-=，故选：C ．【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）A ．6B ．9种C ．11种D ．23种【解析】设四人分别为a 、b 、c 、d ，写的卡片分别为A 、B 、C 、D ，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a 有三种拿法，不妨设a 拿了B ，则b 可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c 和d 只能有一种拿法，所以共有33119创?种分配方式，故选：B．【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A．504B．210C．336D．120【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，\三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为789504创=，故选：A．【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A．15种B．12种C．9种D．6种【解析】同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，\只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有2种选法，共有4种结果，当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定，当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，共有2种结果，\总上可知共有426+-种结果，故选：D．【例30】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256创=当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有98172创=根据分类计数原理知共有25672328+=故选：B．【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有( )A．3种B．4种C．5种D．6种【解析】得3分最多6场，则1分的1场，剩余的场次均得0分；若3分的共5场，则1分的共4场；若3分的共4场，则1分的共7场；若得3分的共3场，则1分的共9场；若得3分的2场，则1分的13场，不合题意，故选B.。

高中数学排列组合问题的类型及解答

高中数学排列组合问题的类型及解答一、相邻问题捆绑法例16名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种A. 720B. 360 C. 240D. 120解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。

由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。

评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

二、相离问题插空法例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。

由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。

评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。

此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。

三、定序问题缩倍法例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。

现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。

解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种）。

评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。

这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。

四、标号排位问题分步法例4同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）A. 6种 B. 9种C. 11种D. 23种解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。

高中数学排列组合习题及解析

排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的，下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。

1.排列的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2.组合的定义：从n个不同元素中，任取m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

3.排列数公式：4.组合数公式：5.排列与组合的区别与联系：与顺序有关的为排列问题，与顺序无关的为组合问题。

例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。

所涉及问题是排列问题。

解先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。

根据乘法原理，共有的不同坐法为种。

结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。

即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。

例2 、5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。

解因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有种排法，其中女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。

结论2 捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。

即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种?分析此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。

数学排列组合知识点精要讲解

数学排列组合知识点精要讲解在我们的数学世界中，排列组合是一个既有趣又充满挑战的领域。

它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决各种各样的计数问题，从简单的挑选物品到复杂的任务安排，都离不开它的身影。

接下来，让我们一起深入探索排列组合的奥秘。

一、排列排列，简单来说，就是从给定的元素中选取一些，并按照一定的顺序进行排列。

例如，从 A、B、C 三个字母中选取两个进行排列，有多少种不同的排列方式呢？我们可以依次考虑每个位置的选择。

第一个位置有 3 种选择（A、B 或 C），当第一个位置确定后，第二个位置就只剩下 2 种选择了。

所以总的排列数就是 3×2 ＝ 6 种，分别是 AB、AC、BA、BC、CA、CB。

一般地，如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n, m) ，那么它的计算公式就是：A(n, m) ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1) 。

比如，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，那么排列数 A(5, 3) ＝ 5×4×3 ＝ 60 种。

在解决排列问题时，要特别注意“顺序”这个关键因素。

只要顺序不同，就算元素相同，也是不同的排列。

二、组合组合则是从给定的元素中选取一些，不考虑顺序。

还是以 A、B、C 三个字母为例，从中选取两个字母的组合，有多少种呢？这里 AB 和 BA 因为不考虑顺序，所以算是同一种组合。

所以组合数就是 3 种，分别是 AB、AC、BC。

如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为 C(n, m) ，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！，其中“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5×4×3×2×1 。

比如，从 6 个不同元素中选取 4 个的组合数 C(6, 4) ＝ 6! ／（4!×2!）＝ 15 种。

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)

高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)一、基本原理1.加法原理：如果做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2.乘法原理：如果做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：当做一件事时，元素或位置允许重复使用时，常用基本原理求解。

二、排列从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An公式：Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!规定：0!=1性质：1.n!=n×(n-1)。

(n+1)×n!=(n+1)!2.n×n!=[(n+1)-1]×n!=(n+1)×n!-n!=(n+1)!-n!3.n(n+1)/2-1=n(n-1)/2三、组合从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数，记作C nm。

公式：Cnm=n!/m!(n-m)! 性质：1.若Cn1=m，则Cnm=Cnm-1+Cn-1m-1规定：Cn1=Cnn=12.Cn0+Cn1+。

+C nn=2^n3.Crr+1+Crr+2+。

+C rn=Cr+1n4.CnC1nCnn=2^n四、处理排列组合应用题1.明确要完成的是一件什么事（审题）；2.确定有序还是无序，分步还是分类；3.解排列、组合题的基本策略：1）直接法；2）间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

3）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：分类不重复不遗漏。

即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

3.排列应用题：一种解法是穷举法，即将所有满足题设条件的排列和组合逐一列举出来。

另一种解法是特殊元素和特殊位置优先考虑。

对于相邻问题，可以使用捆绑法，将相邻的元素看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

高中数学排列组合知识讲解

模块九排列与组合、二项式定理第一部分：排列、组合一。

计数原理加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m 类，每一类的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1+N 2+N 3+…..+N m 种方法。

（又称分类计数原理）乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m 步，每一步的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1⨯N 2⨯N 3⨯…..⨯N m 种方法。

（又称分类计数原理）分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。

正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。

排列数、组合数的定义①排列数：从n 个元素中取出m 个排成一列（即排入m 个位置），共有mn A 种排法。

A m n =n （n －1）（n －2）…（n －m +1）.特别的：!n A nn = ②组合数：从n 个元素中取出m 个形成一个组合，共有mn C 种取法。

C m n =!)!(!m m n n -特别地：1,10==nn n C C组合数的两个性质：（1）C m n =C mn n-；（2）C m n 1+=C m n +C 1-m n. 三。

解决排列、组合问题的四大原则及基本方法1. 特殊优先原则该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．范例甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（）Ａ．90种Ｂ．89种Ｃ．60种Ｄ．59种解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有25C 种；②从剩下的4天中选2天安排乙有24C 种；③仅剩2天安排丙有22C 种．由分步乘法计数原理可得一共有22254260C C C =··种，即选Ｃ．评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑． 2.先取后排原则该原则充分体现了mmmn m n C A A =·的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必要的重复与遗漏．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）．Ａ．12种Ｂ．24种Ｃ．36种Ｄ．48种解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有24C 种分法，再将这三组分配到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有234336C A =·种不同分配方案．评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有34372A =·种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则．3.正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到１件次品的不同取法的种数是（）Ａ．12694C CＢ．12699C CＣ．3310094C C -Ｄ．3310094A C -解析：从100件次品中取3件产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，即从94件正品中取3件正品有394C 种取法，所以满足条件的不同取法是3310094C C -，故选Ｃ．如果从正面考虑，则必须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单．而本例最易迷惑人的是Ｂ：12699C C ，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次品为ABCDEF ，正品为甲乙丙丁戊…则12699C C 可以是ＡＢ甲，也可能是ＢＡ甲，因而重复．评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则． 4.策略针对原则不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．①相邻问题捆绑法（整体法），不相邻问题插空法人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高中数学-排列组合13种方法精讲

排列组合1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

3、排列及排列数：（1）排列：排列数：从n个不同元素中取出m个（m≤n）个元素的所有排列的个数，（2）排列数公式()()1.nnA mn=m-⋅⋅⋅-1+n全排列：4、组合及组合数：（1）组合：组合数：（2）\计算公式：.5、组合数的性质：1、捆绑与插空法：例1．8位同学排成一队，问：⑴甲乙必须相邻，有多少种排法？⑵甲乙不相邻，有多少种排法？⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）2、定序问题缩倍法：例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。

现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）例2．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A,B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?3、标号排位问题分步法：例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种例2．将标有1, 2,… 10的10个小球投入同样标有1, 2,… 10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?4、有序分配问题逐分法：例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）种A. 1260B. 2025C. 2520D. 5040例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）种A 、4448412C C C B 、44484123C C C C 、3348412A C C D 、334448412A C C C例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？（1）平均分给甲、乙、丙三人；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本.5、隔板法：例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,则不同的装法共有多少种?6、多元问题分类法：例1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A. 210个B. 300个C. 464个D. 600个例2．（1）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（2）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）共有多少种？7、至少问题间接法：例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种A. 140B. 80C. 70D. 35例2．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。

高中数学 2-3 排列组合典型例题教师用

1．分类计数原理: 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N = n 1+n 2+n 3+…+n M 种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N =n 1·n 2·n 3·…n M 种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。

它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。

只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。

利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。

3.⑪排列的定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑫排列数的定义: 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. 其中n ，m ∈N *，并且m ≤n ．⑬排列数公式: !(1)(1)(,,)()!m n n A n n n m m n n m N n m =--+=∈- ≤ 当m =n 时，排列称为全排列，排列数为n n A =(1)21n n ⨯-⨯⨯⨯ 记为n !, 且规定O!=1.注：!(1)!!n n n n ⋅=+- ; 11--=m n m n nA A 4.⑪组合的定义: 从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数的定义: 从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示. ⑬组合数公式: (1)(1)!!!()!m m n n m m A n n n m n C A m m n m --+===- . 规定01n C =，其中m ，n ∈N +，m ≤n.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. ⑭组合数的两个性质:①;mn m n n C C -= 从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n -m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n -m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②11m m m n n n C C C -++= 根据组合定义与加法原理得；在确定n +1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m -1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法; ②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，()m m n <个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m m n nA A 种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略.1.1两个计数原理(1)例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。

高中数学排列组合题型归纳总结教程文件

排列组合1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解： 522480A A A =练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解5456A A练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法，⋯，在第 n 类办法中有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1m2m n种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 .先排末位共有 C31然后排首位共有 C41C41 A 43C31最后排其它位置共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求, 再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

【备战】高考数学高频考点归类分析排列组合、二项式定理(真题为例)

高频考点排列组合、二项式定理一、分类计数原理的应用：典型例题：例1. （2012年北京市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【】A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B。

【考点】排列组合问题。

【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。

如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是O ，一种倩况），共6 种。

因此总共有12 + 6 = 18 种情况。

故选B。

例2. （2012年安徽省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为【】()A1或3()B1或4()C2或3()D2或4【答案】D。

【考点】排列组合。

【解析】∵261315132C-=-=，∴在6位同学的两两交换中少2种情况。

不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为2人；②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。

故选D。

例3. （2012年山东省理5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为【】A 232B 252C 472D 484【答案】C。

【考点】排列组合的应用。

【解析】3321164412161514416725608846C C 7C 2C ⨯⨯--=--=-=。

高中理科数学《计数原理与排列组合》单元测试

一、选择题1.8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为()A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【解题提示】用插空法求解.【解析】选A.8名学生先排有错误!未找到引用源。

种排法,产生9个空,2位老师插空有错误!未找到引用源。

种排法,所以共有错误!未找到引用源。

种排法.2.(2016·烟台模拟)从1,3,5,7,9这5个奇数中选取3个数字,从2,4,6,8这4个偶数中选取2个数字,再将这5个数字组成没有重复数字的五位数,且奇数数字与偶数数字相间排列.这样的五位数的个数是()A.180B.360C.480D.720【解析】选D.第一步,选:错误!未找到引用源。

;第二步,排:3!·2!.根据分步乘法计数原理,得符合条件的五位数共有错误!未找到引用源。

3!·2!=720(个). 3．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有()A．24种B．28种C．32种D．36种解析：将3本相同的小说记为a，a，a；2本相同的诗集记为b，b，将问题分成3种情况，分别是①aa，a，b，b，此种情况有A24＝12种；②bb，a，a，a，此种情况有C14＝4种；③ab，a，a，b，此种情况有A24＝12种，总共有28种，故选B.答案：B4．如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有()A．9个B．3个C．12个D．6个解析：当重复数字是1时，有C13·C13种；当重复数字不是1时，有C13种．由分类加法计数原理，得满足条件的“好数”有C13·C13＋C13＝12个．答案：C5．(2018·沧州七校联考)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37种．6．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为()A．42 B．30C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．7．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279解析：能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.答案：B8．(2014·四川，理)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种答案 B解析根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．9．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有() A．288个B．240个C．144个D．126个答案 B解析对个位是0和个位不是0两类情形分类计算；对每一类情形按“个位——最高位——中间三位”分步计数：①个位是0并且比20 000大的五位偶数有1×4×A43＝96个；②个位不是0并且比20 000大的五位偶数有2×3×A43＝144个；故共有96＋144＝240个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．10.(2018·衡水中学调研卷)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种答案 A解析将4个小球分2组，①C 42C 22A 22＝3种；②C 41C 33＝4种．①中的这3种分组方法任意放均满足条件，∴3×A 22＝6种放法．②中的4种分组方法各只对应1种放法．故总种数为6＋4＝10种．11．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法总数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40答案 B解析因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这6项工程的不同方法数为A 55，对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法总数为A 55A 33＝5×4＝20.12．(2017·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( ) A ．C 419B ．C 389C ．C 409D ．C 399答案 D解析首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台象排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399. 二、填空题13. 将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人．要求甲必须在高一年级，乙和丙均不在高三年级，则不同的安排种数为．答案：9解析：若甲、乙在高一年级，则丙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3；若甲、丙在高一年级，则乙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3；若甲在高一年级，乙、丙在高二年级，此时不同的安排种数为3，所以由分类计数原理知不同的安排种数为9.14．(2017·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案 84解析方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 73种．故共有C 71＋A 72＋C 73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C 96＝84(种)抽调方法．15．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有种。

(完整版)高中排列组合知识点汇总情况及典型例题(全)

适用标准一．基来源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，则达成这件事的方法数等于各种方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步达成，则达成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或地点同意重复使用，求方法数经常用基来源理求解。

二．摆列：从 n 个不一样元素中，任取m（ m≤ n ）个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从 n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列，所有摆列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.(1) (3)规定： 0!1n!n(n 1)!,( n1) n!( n 1)!(2) n n! [( n 1) 1] n! ( n 1) n! n! (n 1)! n!；n n 1 1n1111(n1)!( n1)!(n1)!( n 1)!n!(n 1)!三．组合：从 n 个不一样元素中任取 m（m≤n）个元素并构成一组，叫做从n 个不一样的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!m !定： C n01A m m m!m! n2.组合数性质： C n m C n n m， C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2 L C n r1 C n r C r r11C r r1 C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2 L C n r1 C n r C n r11若 C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1 +m 2n四．办理摆列组合应用题 1.①明确要达成的是一件什么事（审题）②有序仍是无序③分步仍是分类。

2．解摆列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不切合条件的所有状况去掉。

【专题】计数问题（排列组合，容斥原理，Prufer序列）

【专题】计数问题（排列组合，容斥原理，Prufer序列）【容斥原理】对于统计指定排列⽅案数的问题，⼀个⽅案是空间中的⼀个元素。

定义集合x是满⾜排列中第x个数的限定条件的⽅案集合，设排列长度为S，则⼀共S个集合。

容斥原理的本质是考虑[集合交或集合交的补集]和[集合并或集合并的补集]之间相互转化的问题。

定义⽬标函数为f(m)，已知函数g(T)。

（例如已知集合并，则T表⽰所有T个集合的集合并，通常g(T)=C(n,T)*T个集合的集合并）当两者都不是补集或两者都是补集时，有f(S)=Σ(-1)|T|-1g(T)，其中T为S的⾮空⼦集，即奇加偶减。

当两者中有且仅有⼀者是补集时，有f(S)=Σ(-1)|T|g(T)，其中T为S的⼦集，要把空集的补集（即全集）算⼊。

要特别注意补集的情况下，g(T)表⽰T的补集，记住⽆论如何原集从⼩到⼤。

例如已知集合并，求解集合交，容斥原理就是将所有集合组合⽅案的集合并乘以由集合个数决定的容斥系数，得到S个集合的集合交。

莫⽐乌斯函数µ相关的容斥：对于统计指定数字数量的问题，⼀个数字是空间中的⼀个元素，定义集合x（x是素数）是含有素因⼦x的数字集合。

那么枚举所有数字就是枚举集合交，µ就是(-1)^k（k是素因⼦个数）即容斥系数。

最后，当限制条件取反时，交集变成并集的补集，并集变成交集的补集。

★⾃带容斥：可以省略系数的计算，对每个数计算【集合减去内部所有包含的交集】，然后求和即可。

具体见：T2看到计数想容斥。

例题：1.对⼀个n*m的棋盘染⾊，每格可以是⿊⾊或⽩⾊，要求每⾏每列都有⿊格。

定义⼀个集合为指定⾏列含有⿊格，则题⽬要求集合交。

只有集合并的补集可以计算，即⼀些⾏⼀些列全是⽩格（是⼀些⾏⼀些列有⿊格的补集），枚举⾏列，则选出i⾏j列的⽅案数是C(n,i)C(m,j)，这i⾏j列全是⽩格的⽅案数是2(n-i)(m-j)。

所以答案就是Σ(-1)i+j C(n,i)C(m,j)2(n-i)(m-j)，0<=i<n，0<=j<m。

高中理科数学 计数问题(排列组合)