8-4圆锥曲线
圆锥曲线综合问题
圆锥曲线综合问题1.题目要求计算双曲线上一点到两个圆心的距离之差的最大值。
已知两圆的圆心和双曲线的焦点，可以通过计算点到圆心的距离和圆的半径来求得点到圆心的距离之和。
然后再通过两个圆心的距离和1来计算点到双曲线焦点的距离，最后将两个距离之差求出来即可得到最大值为5.2.题目要求计算过原点的直线与双曲线的交点斜率的取值范围。
可以将直线的方程代入双曲线的方程，然后整理得到一个关于斜率的一元二次方程。
由于两个交点不同，因此判别式大于0，可以得到斜率的取值范围为负根号3到正根号3.3.题目要求证明椭圆的长轴大于短轴，并求出过三个点的三角形的最大面积。
可以将直线的方程代入椭圆的方程，然后得到一个关于y的二次方程。
根据判别式大于0可以得到椭圆的长轴大于短轴。
然后可以通过求出三角形的三条边的长度，代入海伦公式求出三角形的面积，再通过求导数的方法求出最大值。
最终可以得到△OAB的最大面积为3.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，中心在坐标原点，左焦点为F(－3,10)，右顶点为D(2,0)，且点A的坐标是(1,2)。
1) 求该椭圆的标准方程。
根据题意，椭圆的长轴长度为4，短轴长度为2，且焦点在x轴上。
因此，椭圆的标准方程为x^2/4+y^2=1.2) 过坐标原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值。
当直线BC垂直于x轴时，|BC|=2，△ABC=1.当直线BC 不垂直于x轴时，设直线BC的方程为y=kx，代入椭圆的标准方程得到x^2=4k^2+1/(1+4k^2)，再根据点到直线的距离公式求得△ABC的面积。
通过求导可得当k=-1/2时，△ABC的面积最大，此时△XXX的面积为2.变式：若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点B、C且线段BC的垂直平分线恒过点A(0，－1)，求m的范围。
根据题意，直线l与椭圆C交于两点，因此可以得到方程(4k^2+1)x^2+8kmx+4(m^2-1)=y^2.同时，由于线段BC的垂直平分线恒过点A(0，－1)，因此可以得到3m=4k^2+1.结合两个方程可以得到m^21，因此m的范围为3/2<m<3.知识归纳：1.求参数范围的方法：建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围。
圆锥曲线定值,定点
过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。
数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。
解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。
优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。
一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
1 ， 2
1 PH , 即2 PF PH 2
∴ PA 2 PF PA PH
4 / 35
当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为
a2 xA 4 1 3 c
y M D C 5 x
A
0B
例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方 程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中 的 A、M、C 共线，B、D、M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中 的 MC MD ） 。 解：如图， MC MD ， ∴ AC MA MB DB 即6 MA MB 2 ∴ MA MB 8 （*）
∴ 4 y 0 4 x0
2
9 ， 2 1 4 x0
2 4 y 0 4 x0
9 9 2 (4 x0 1) 2 1 2 4 x0 4 x0 1
6 / 35
≥ 2 9 1 5,
y0
5 4
当 4x02+1=3 即 x 0
2 2 5 5 , ) 时， ( y 0 ) min 此时 M ( 2 2 4 4
方程推导了一遍，较繁琐！ 例 4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=
3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5
分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半 径） ，可转化为边长的关系。
3 sinA 5 3 ∴ AB AC BC 5
x0 y 0 k 0 (其中 K 是直线 AB 的斜率) a2 b2
圆锥曲线——椭圆(基础知识)
圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。
叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。
★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。
三、标准方程。
椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。
注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。
如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。
例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。
∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。
四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。
①、范围。
以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。
关于X 、Y 轴成轴对称。
关于原点成中心对称。
③、顶点。
坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。
长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。
构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。
椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。
⑤、扩展。
通径：过焦点且垂直于长轴。
焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。
焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。
高二数学 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质优秀教案
高二数学第八章圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质优秀教案教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中c,的几何意义a,b3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±bya x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-by a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-b y a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
【重点推荐】2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程作业1 北师大版选修1-1
2.1.1 椭圆及其标准方程[基础达标]1.椭圆2x 2＋y 2＝8的焦点坐标是( ) A ．(±2，0) B ．(0，±2) C ．(±23，0) D ．(0，±23)解析：选B.椭圆标准方程为x 24＋y 28＝1，∴椭圆焦点在y 轴上，且c 2＝8－4＝4， ∴焦点坐标为(0，±2)．2.椭圆x 225＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(3，0)，那么m 的值为( )A ．－16B ．－4C ．16D ．4解析：选C.焦点在x 轴且c ＝3，由25＝m ＋9，∴m ＝16.3.已知方程x 2k ＋1＋y23－k＝1(k∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3 解析：选B.由题意知k ＋1>3－k >0，∴1<k <3.4.过点(－3，2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )A.x 215＋y 210＝1B.x 2225＋y 2100＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 2100＋y 2225＝1 解析：选A.c 2＝9－4＝5，由题意可设所求椭圆方程为x 2b 2＋5＋y 2b 2＝1，代入(－3，2)得9b 2＋5＋4b 2＝1，∴b 2＝10，椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 5.如图，椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．8B ．2C ．4 D.32解析：选C.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，又|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8，由于N 为MF 1的中点，ON 为中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.6.已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由题意得：|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>|F 1F 2|＝2， ∴动点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，轨迹方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．解析：由于|AB |＋|F 2A |＋|F 2B |＝4a ＝20，∴|AB |＝20－(|F 2A |＋|F 2B |)＝20－12＝8. 答案：88.若方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：由方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，5－k >0，k －2≠5－k ，解得2<k <5且k ≠72.即当2<k <72或72<k <5时，方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆．答案：(2，72)∪(72，5)9.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，(1)PF 1⊥PF 2，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． (2)当∠F 1PF 2为钝角时，|PF 2|的取值范围．解：(1)∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.∴⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝6. ∵∠F 1PF 2为钝角，∴cos ∠F 1PF 2<0.又∵cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－202r 1r 2<0，∴r 21＋r 22<20，∴r 1r 2>8，∴(6－r 2)r 2>8，∴2<r 2<4.即|PF 2|的取值范围是(2，4)．10.(1)等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为42，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过A ，B 两点，求该椭圆的标准方程．(2)在△ABC 中， ∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别是a ，b ，c ，且|BC |＝2，求满足b ，a ，c 成等差数列且c >a >b 的顶点A 的轨迹．解：(1)如图，设椭圆的方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)，有|AM |＋|AC |＝2a ，|BM |＋|BC |＝2a ， 两式相加，得8＋42＝4a ，∴a ＝2＋2，|AM |＝2a －|AC |＝4＋22－4＝2 2.在直角三角形AMC 中，∵|MC |2＝|AM |2＋|AC |2＝8＋16＝24， ∴c 2＝6，b 2＝4 2. 故所求椭圆的标准方程为x 26＋42＋y 242＝1.(2)由已知条件可得b ＋c ＝2a ，则|AC |＋|AB |＝2|BC |＝4>|BC |，结合椭圆的定义知点A 在以B ，C 为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点O ，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，则m ＝2，n 2＝22－12＝3，从而椭圆方程为x 24＋y 23＝1.又c >a >b 且A 是△ABC 的顶点，结合图形，易知x >0，y ≠0.故顶点A 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1的右半部分(x >0，y ≠0)．[能力提升]1.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：选A.由题意Q 坐标为(－x ，y )(x >0，y >0)，设A (x 0，0)，B (0，y 0)， 由BP →＝2PA →得(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2xy －y 0＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x . 由OQ →·AB →＝1得(－x ，y )·(－x 0，y 0)＝1，∴x 0x ＋y 0y ＝1，把⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x 代入上述得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．2.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0， ∴π4<α<π2. 答案：(π4，π2)3.已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积；(2)求|PF 1|·|PF 2|的最大值．解：(1)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >0，n >0)． 根据椭圆的定义，得m ＋n ＝20. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝20.∵|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是100.4．(2014·玉溪一中高二期末)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|＝d .(1)证明：d ，b ，a 成等比数列；(2)若M 的坐标为()2，1，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的椭圆中，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．解：(1)证明：由条件知M 点的坐标为()c ，y 0，其中|y 0|＝d ，∴c 2a 2＋d 2b2＝1，d ＝b ·1－c 2a 2＝b 2a ，∴d b ＝ba，即d ，b ，a 成等比数列． (2)由条件知c ＝2，d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a ·1a 2＝b 2＋2，∴⎩⎨⎧a ＝2b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(3)设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当l ⊥x 轴时，A (－2，－1)、B (－2，1)，所以OA →·OB →≠0. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－42k21＋2k 2，x 1·x 2＝4k 2－41＋2k2，由OA →·OB →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， x 1·x 2＋k 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(1＋k 2)x 1·x 2＋2k 2(x 1＋x 2)＋2k 2＝0，代入得（1＋k 2）（4k 2－4）1＋2k 2－42k 2·2k 21＋2k2＋2k 2＝0，解得k ＝± 2. 所以直线l 的方程为y ＝±2(x ＋2)．。
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
1.圆锥曲线中的四种经典模型
由（*）式， − y2 y3 = 4( y2 + y3 ) + 4, 代入上式，得 ( y + 4)(y2 + y3 ) = 4(x −1).
由此可知直线 PQ 过定点 E（1，－4）.
模型二：切点弦恒过定点
例题：有如下结论：“圆 x2 + y 2 = r 2 上一点 P(x0 , y0 ) 处的切线方程为 x0 y + y0 y = r 2 ”，类比也有
=
y 12 4
y22 4
− ( y12 4
+
y22 ) + 4
y1 y2
− 2( y1 +
y2 ) + 5
=
( y1 y2 )2 16
−
( y1
+
y2 )2 − 4
2 y1
y2
+
y1
y2
− 2( y1
+
y2 )
+5
= (−4t)2 − (4m)2 − 2(−4t) + (−4t) − 2(4m) + 5 = 0化简得t 2 − 6t + 5 = 4m2 + 8m
= kQM ,
即
y3 y32 +1
=
y1 − y3 y12 − y32
,即
y3 y32
+1 −4
=
1, y1 + y3
4
44
( y3 +1)( y1 + y3) = y32 − 4,即y1 y3 + y1 + y3 + 4 = 0.
y1 y2
=
4,即y1
=
4 y2
高三数学圆锥曲线试题答案及解析
高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型一、解圆锥曲线问题常用的八种方法：1.直线的交点法：利用直线与圆锥曲线的交点来解题，求出直线与曲线的交点坐标，从而得到问题的解。
该方法适用于直线与圆锥曲线有交点的情况。
2.过顶点的直线法：通过过顶点的直线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，过顶点的直线与圆锥曲线有两个交点，利用这两个交点可以得到问题的解。
3.平行线法：对于平行线与圆锥曲线的交点性质进行分析，可以得到问题的解。
一般情况下，平行线与圆锥曲线有两个交点，通过求解这两个交点可以得到问题的解。
4.切线法：利用切线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，切线与圆锥曲线有一个交点，通过求解这个交点可以得到问题的解。
5.对称法：通过对称性质，将圆锥曲线转化为标准形式或特殊形式，从而简化问题的求解过程。
6.几何平均法：利用几何平均的性质，将圆锥曲线的方程进行变换，从而得到问题的解。
7.参数方程法：通过给定的参数方程，求解参数，从而得到与曲线相关的问题的解。
8.解析几何法：通过解析几何的方法，将问题抽象为代数方程，从而求解问题。
二、解圆锥曲线问题常规题型：1.已知曲线方程，求曲线的性质：如给定椭圆的方程，求椭圆的长短轴、焦点、离心率等。
2.已知曲线性质，求曲线方程：如给定一个椭圆的长短轴、焦点、离心率等，求椭圆的方程。
3.已知曲线方程和一个点，判断该点是否在曲线上：如给定一个椭圆的方程和一个点P，判断点P是否在椭圆上。
4.已知曲线方程和一个直线，判断该直线是否与曲线有交点：如给定一个椭圆的方程和一条直线L，判断直线L是否与椭圆有交点。
5.已知曲线方程和一个点，求该点到曲线的距离：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P到椭圆的距离。
6.已知曲线方程和一个点，求该点在曲线上的切线方程：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P在椭圆上的切线方程。
7.已知曲线方程和两个点，求该曲线上两点之间的弧长：如给定一个椭圆的方程和两个点A、B，求椭圆上从点A到点B的弧长。
圆锥曲线解题的七种题型和八种方法
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4）6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
圆锥曲线技巧--点差法
x12 4 x22
4
y12 2 y22 2
1 1
两式相减得
x12
x22 4
＝
y2
2
y2
，即
y1 y2 x1 x2
1
＝
2
×
x1 y1
x2 y2
.
又线段
AB
的中点坐标是
1 2
,
1
，因此
x1＋x2＝1，y1＋y2＝（－1）×2＝－2，
所以
y1 x1
y2 x2
＝－
1 4
，即直线
AB
技巧 1 点差法在椭圆在的应用
【例 1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线 y kx 1与椭圆 x2 y2 1相交于 A, B 两点，若 AB 中 4
点的横坐标为1，则 k =（ ）
A． 2
B． 1
C． 1 2
D．1
(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆
G
则 x1 x2 2x0 ， y1 y2 2 y0 .
因为 A ， B 两点在椭圆上，所以 x12
y12 4
1， x22
y22 4
1.
两式相减得：
x12
x22
1 4
y12 y22
0，
x1
x2
x1
x2
1 4
y1
y2
y1
y2
0
，
2 x0
x1
x2
1 2
y0
y1
y2
0，2
1 2
y0 y1 x0 x1
（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为 k1
k1 0
高中数学椭圆优秀数学教材
知 识 梳 理
课 堂 题 型 设 计 规 律 方 法 提 炼 课 后 强 化 作 业
焦点 焦距 离心率
准线 方程
焦半径
l1：x＝
；l 2：x＝
l1：
；l2：
|MF1|＝ a＋ex0 |MF2|＝ a－ex0
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|MF1|＝ a＋ey0 |MF2|＝a－ey0
图形
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
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高 考 导 航
第8章 圆锥曲线方程 内容 轴 对称轴：x轴，y轴．长轴长|A1A2|＝2a， 短轴长|B1B2|＝2b F1(－c,0)，F2(c,0) |F1F2|＝2c(c＞0)，c2＝a2－b2 F1(0，－c)，F2(0，c)
(2)平面内到定点F的距离和到定直线l的距离d之比为 常数e(0＜e＜1) 的点M的轨迹叫做椭圆，即
定点是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的相应准线．
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高 考 导 航
第8章 圆锥曲线方程
知 识 梳 理
2．椭圆的方程
(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程：
课 堂 题 型 设 计 规 律 方 法 提 炼 课 后 强 化 作 业
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · 数 学
(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程：
(3)一般表示：
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高 考 导 航
第8章 圆锥曲线方程
二、椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
（2）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ；
（3）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ．
同理可得焦点在 轴上的情形．
【结论4】（1）过圆 上一点 切线方程为 ；
（2）当 在椭圆 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为 ．
【结论5】（1）过双曲线 上一点 处的切线方程为 ；
（2）当 在双曲线 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： ．
证明：（1） 的两边对x求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，又 所求的切线方程为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
例6．
6．已知椭圆 与直线 相切于点 ，且点 在第一象限，若直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．若过原点O的直线 与 垂直交与点 ，证明： 定值．
【强化训练】
7．若椭圆 的焦点在x轴上，过点 作圆 的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ；
（2）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ．
证明：（1）设切线方程为 ，联立 方程得：
，
若 即 ， ，
令 化简可得： ， ，故切线方程为 ．
同理可证情形（2）．
【评注】 ， ，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
专题01 圆锥曲线的常用结论-2020届高三突破满分数学之圆锥曲线(文理通用)
专题01 圆锥曲线的常用结论一．椭圆焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++. （2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)122PF PF a +=; (2)1a c PF a c -≤≤+; (3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10|PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0）, 左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-; (2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数; 4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积： 122||=tan 2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时, θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4) .21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0）P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. 7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=. 8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. 9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 10. 若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1, F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+ . 11. P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 13. 已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.14. 离心率e=a c =21）（ab -、e 2=1-2）（ab 15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2216. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.17. 过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点的焦点弦为AB ,则)(221x x e a AB ++=过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=.18. 内接矩形最大面积：2ab .19. 若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+ ；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－ ；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上 20.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112a mnb+=二．双曲线焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>，e 越大，双曲线的开口越阔渐近线方程by x a=±a y x b=±1.（1）与22221x y a b -=共轭的双曲线方程为22221x y a b-=-，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③2212111e e +=。
圆锥曲线旋转变换的方程
圆锥曲线旋转变换的方程
圆锥曲线旋转变换的方程，即将平面上的圆锥曲线绕着定义的旋
转轴进行旋转，得到一个三维空间中的曲线。
圆锥曲线旋转变换的方
程可以通过以下步骤得到：
1. 确定旋转轴：旋转轴可以是任意直线，该直线通过圆锥曲线
的焦点并与曲线相交。
2. 确定旋转角度：旋转角度是指圆锥曲线在绕旋转轴旋转时所
转过的角度。
3. 建立旋转变换方程：根据选择的旋转轴和旋转角度，可以建
立相应的旋转变换方程。
这个方程描述了平面上的点在旋转后在三维
空间中的坐标。
圆锥曲线旋转变换的方程是一个复杂的数学问题，具体的方程形
式取决于所选择的具体圆锥曲线和旋转轴。
在具体问题中，可以根据
已知条件和所需结果，使用适当的数学工具和方法来推导出相应的方程。
这里给出一个简单示例：假设选择一条直线作为旋转轴，该直线
通过圆锥曲线的焦点并与曲线相交，旋转角度为45度。
则旋转变换方
程可以表示为：(x', y', z') = (x*cos(45) - y*sin(45), x*sin(45) + y*cos(45), z)，其中(x', y', z')为旋转后点的坐标，(x, y, z)
为旋转前点的坐标。
需要注意的是，圆锥曲线旋转变换的方程的具体形式会因问题的
不同而有所差异。
在实际应用中，根据具体的旋转需求，需要进行具
体的数学推导和计算，以得到适用于所以情况的旋转变换方程。
圆锥曲线题型技巧--- 斜率定值问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系
2
2
中，椭圆 2 + 2 = 1( >
> 0)的右焦点为
(1，0)，离心率为
2．分别过
2
，
的两条弦 ， 相交于点 （异于 ， 两点），且 = ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值．
2
【答案】(1) +
2 = 1;(2)详见解析.
,
④
同理由③得
y2 1 x2 2
4
x2 2
y2 1
,
⑤
由①④⑤得
x1 2
4 y1 1
x2 2
4 y2 1
0
,
化简得 x1y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑥
由①得 x1 y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑦
4 − 1)
= ⋅ 2( 1 2− 3 4)−( 1+ 2)+( 3+ 4)13 分
( 1− 3)( 2− 4)
= 0． 16 分
=
⋅ 2( 2
−2 2+
1
−
2( 2
( 1−
2 2
− +
1) 1
)
−
0
+
2
3)( 2 − 4)
4
2
2
+1
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
4k 2 1
x2 8kbx 4b2 8 0 ,
(**)
82
则
x1
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第八章 第四讲时间：60分钟 满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·陕西西安名校一模)过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案：D解析：由图象可知有两条切线和两条与渐近线平行的直线，共4条．2．(2009·浙江台州调研)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则ΔABM 的周长为 ( )A ．4B ．8C ．12D ．16 答案：B 解析：M (3，0)是椭圆的焦点，而y ＝k (x ＋3)过椭圆的另一个焦点(－3，0)，所以ΔABM 的周长为4a ＝8.3．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，倾斜角为45°的直线截得的线段长为 ( ) A ．p B ．2p C ．3p D ．4p 答案：D解析：设直线方程为y ＝x ＋m ，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (p2，0)，∴0＝p 2＋m .∴m ＝－p 2.∴直线方程为y ＝x －p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0，设两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝3p .∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p . 4．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A ．(－153，153)B ．(0，153)C ．(－153，0)D ．(－153，－1)答案：D解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6消y 得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1＋x 2＞0，x 1x 2＞0即⎩⎨⎧16k 2＋40(1－k 2)＞0，4k 1－k2＞0，－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1.故选D.5．(2009·湖南韶山模拟)双曲线9x 2－16y 2＝144被点P (8,3)平分的弦AB 的直线方程是( )A ．3x －2y －18＝0B ．3x ＋2y ＋18＝0C ．2x －3y －18＝0D ．2x ＋3y ＋18＝0 答案：A解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧9x 21－16y 21＝144，9x 22－16y 22＝144，两式相减，得 9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 又∵P (8,3)为AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝6.∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝32.∴直线AB 的方程为y －3＝32(x －8)，即3x －2y －18＝0.6．(2009·浙江杭州名校一模)直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D解析：x ＞0时，曲线为y 29－x 24＝1；x ＜0时，曲线为y 29＋x 24＝1，画图可知，直线与曲线的交点个数为3个．7．设抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)有两个交点，其横坐标分别是x 1，x 2，而直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与x 轴交点的横坐标是x 3，那么x 1，x 2，x 3的关系是 ( )A ．x 3＝x 1＋x 2 B.1x 3＝1x 2＋1x 1C.1x 1＝1x 3＋1x 2 D ．x 1＝x 2＋x 3 答案：B解析：联立直线、抛物线方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消y 得ax 2－kx －b ＝0，由韦达定理得：x 1＋x 2＝k a ，x 1·x 2＝－b a ，而x 3＝－b k ，所以x 1·x 2x 1＋x 2＝－b k ＝x 3，即1x 3＝1x 2＋1x 1.故选B. 8．(2010·首都师大附中)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．32 答案：B解析：如图，y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线x ＝－2，K (－2,0)， 设A (x ，y )，由|AK |＝2|AF |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2， 即(x ＋2)2＋y 2＝2[(x －2)2＋y 2]， 化简得y 2＝－x 2＋12x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝－x 2＋12x －4y 2＝8x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝±4. S △AFK ＝12|FK |·|y A |＝12×4×4＝8.二、填空题(4×5＝20分)9．过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |＝8，O 为坐标原点，则ΔOAB 的重心的横坐标为________．答案：2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋2. 又|AB |＝8，∴x 1＋x 2＝6. ∴ΔOAB 的重心的横坐标为 x ＝0＋x 1＋x 23＝2.10．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线的斜率为22，则mn ＝____.答案：22解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)∴mx 21＋ny 21＝1，①mx 22＋ny 22＝1，② 又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0 ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22，∴m ＝22n ，∴m n ＝22.11．(2009·浙江宁波十校联考)设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则ΔAFB 的面积为________．答案：3215解析：有两种情况，(1)直线BF ∥直线y ＝43x ；(2)直线BF ∥直线y ＝－43x .但两种情况所围成的ΔAFB 的面积相等．现就(1)进行解答．A (3,0)、F (5,0)，直线BF ：y ＝43(x －5)，联立⎩⎨⎧y ＝43(x －5)，x 29－y216＝1，得B (175，－3215)， ∴S ΔAFB ＝12|AF ||y B |＝12×2×3215＝3215.12．(2009·湖南郴州三模)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(ⅰ)抛物线的焦点坐标是________；(ⅱ)梯形PQRF 的面积是________．答案：(ⅰ)(0，18) (ⅱ)1916解析：抛物线上一点P (1,2)，求得a ＝2，焦点坐标为(0，18)；梯形PQRF 的面积是1916.故填(ⅰ)(0，18)；(ⅱ)1916.三、解答题(4×10＝40分)13．如图所示，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线与x 轴交点为Q ，过Q 点的直线l 交抛物线于A 、B 两点．(1)若直线l 的斜率为22，求证：F A →·FB →＝0；(2)设直线F A 、FB 的斜率为k F A 、k FB ，求证：k FB ＝－k F A .证明：(1)∵Q (－p 2，0)，∴直线l 的方程为：y ＝22(x ＋p2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x ＋p 2)y 2＝2px， 消去x 得：y 2－22py ＋p 2＝0，解得：A (3＋222p ，(2＋1)p )，B (3－222p ，(2－1)p )而F (p2，0)，故F A →＝((1＋2)p ，(1＋2)p )，FB →＝((1－2)p ，(2－1)p ) ∴F A →·FB →＝－p 2＋p 2＝0.(2)因直线l 与抛物线交于A 、B 两点，故直线l 的方程为：y ＝k (x ＋p2)(k ≠0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋p 2)y 2＝2px消去x得：ky 2－2px ＋kp 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1y 2＝p 2，k F A ＝y 1x 1－p 2，k FB ＝y 2x 2－p 2，∴k F A ＝p 2y 2y 212p －p 2＝p 2y 2(p 2y 2)22p －p2＝y 2p 2－y 222p ＝－k FB .14．(2009·辽宁，20)已知，椭圆C 经过点A (1，32)，两个焦点(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为 x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)． 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4(32－k )2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A (1，32)在椭圆上，所以x E ＝4(32－k )2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4(32＋k )2－123＋4k2，y F ＝－kx F ＋32＋k . 所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.15．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解析：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1. 整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0. 可得m 2＞3k 2－1.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2， y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2，由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0)整理得3k 2＝4m ＋1.②将②代入①，得m 2－4m ＞0， ∴m ＜0或m ＞4.∴m 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)． 16．(2009·安徽宿州二中模考)给定圆P ：x 2＋y 2＝2x 及抛物线S ：y 2＝4x ，过圆心P 作直线l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A 、B 、C 、D ，如果线段AB 、BC 、CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l 的方程．解析：圆P 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，则直径长|BC |＝2，圆心为P (1,0)，设l 的方程为ky ＝x －1，即x ＝ky ＋1，代入抛物线方程得：y 2＝4ky ＋4.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， 则(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16(k 2＋1)． 故|AD |2＝(y 1－y 2)2＋(x 1－x 2)2＝(y 1－y 2)2＋(y 21－y 224)2＝(y 1－y 2)2[1＋(y 1＋y 24)2]＝16(k 2＋1)2，因此|AD |＝4(k 2＋1)．根据等差数列的性质，2|BC |＝|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |，所以|AD |＝3|BC |＝6，即4(k 2＋1)＝6，k ＝±22，即l 方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.。