材料的电子理论PPT课件

2 波函数和薛定格方程的建立
牛顿方程（牛顿第二定律）——归纳 不能由任何旧的方程导出，其正确性也不能通过 自身得到验证——第一原理
薛定格方程——第一原理
如何得出？
类比！ 以满足自由电子运动的平面波动方程为例
由物理学知，沿x方向传播的一维平面波可表示为
Y (x,
t)
Acos2π
x λ
-t
其中A为振幅，为波长，为频率，t为时间。Y
表示的波的初相为0。
引入波数矢量（波矢）K，其方向为平面波的传
播方向，大小 K K 2π λ
含义为周相2内波的数量。又知角频率=2，
所以
Y (x, t) Acos(Kx-ωt)
写成复数形式为
Y=Aei(Kx-t)
对能量为E，动量为p的自由电子延x方向传播的
电子波，将Y改成，将德布罗意假设代入，有
Schrdinger wave equation)
德拜：有了波，就应该有波动方程——提出问题 德拜的学生薛定格提出波动方程——解决问题
下面以电子波为例阐明波函数的意义。
电子波（物质波）是一种具有统计规律的几率 波，它决定电子在空间某处出现的几率。在不 同的时刻，微观粒子在空间不同位置出现的几 率都可能不同。因此几率波应该是空间位置(x,
1 传统理论
电子是粒子，光是波。
实验依据：1897年汤姆孙(J. J. Thomson) 观察到 了阴极射线（电子流）在电场和磁场中偏转，确 定了电子具有质量m=9.1091×10-31kg和电荷e
光具有波动的全部性质，如衍射、干涉、偏振， 没有质量。
2 光的波粒二象性
1905年爱因斯坦提出光是由光子组成的，从而成 功地解释了光电效应现象——诺贝尔奖。按此理
若电子所处的势场只是空间位置的函数，与时间
无关，即U=U(r)，则电子在该势场中的运动总会 达到一稳定态。对一维情况，有
(x, t) 2
*
பைடு நூலகம்
(
x)e
-
i
Et
(
x)e
i
Et
(x)
2
即处于定态的电子在空间出现的几率与时间无关
因此，求解定态波函数时，往往先解出(x)，再 由(1)式得到波函数(x, t)。
2
C d 1
令 Ψ CΦ
C 1 2 d
则
2
d 1
将(x, y, z, t)称为归一化的波函数
波函数(x, y, z, t)本身不能与任何可观察的物理 量相联系，但 2 代表微观粒子在空间出现的
几率密度。
“电子云”：电子在空间不同位置出现的几率密 度的大小的形象描述。
——电子并不是在空间以云状分布，但是由于 电子云的形象性，这一描述方法仍然在许多场 合沿用。
第1章 材料的电子理论 (Electron theory of materials)
原子、分子等通过离子键、共价键、金属键和 范德华力等方式键合使材料成为一个整体。
成何种键？ 成多少键？ 成键强弱？
取决于材料中的电子状态
材料的性能在本质上由其电子结构决定。
材料的电子理论是材料物理的基础和根本的问题
y, z)和时间t的函数。将该函数记为(x, y, z, t)或 (r, t)，称为波函数。
1 波函数的意义
类比 光波（电磁波）是由电场矢量E(x, y, z, t)和磁场 矢量H(x, y, z, t)来描述的。空间某处光的强度与 该处的 E 2 或 H 2 成正比。
——几率波的强度应该与 2 成正比，即 2
用现代的电子理论已经成功地设计了若干性能 优异的新材料。
1.1 波函数和薛定格方程 (Wave function and Schrodinger’s
equation)
1.1.1 微观粒子的波粒二象性 (Wave-corpuscle duality of
microscopic particles)
与t时刻电子在空间位置(x, y, z)出现的几率成正比。 所以，在t时刻，在(x, y, z)附近的微体积元
d=dxdydz内发现电子的几率
dw C Φ 2 d 其中C是一个常数。
可见 2 代表几率密度
在体积V内找到电子的几率为
2
2
w Vdw V C Φ d CV Φ d
在整个三维空间找到粒子的几率为100％，所以
选择性反射——波？服从布拉格定律？
2dsin=n 推算出的电子波的波长=1.65×10-10m。
电子能量E、质量m已知，按德布罗意关系
p mv m 2E 2Em m
λ h 1.6610-10 m p
同时证明了电子的波性和德布罗意假说的正确性
陆续有实验证明波粒二象性的普遍属性。
1.1.2 波函数和薛定格方程 (Wave function and
对(1)式的振幅函数求二阶导数得
d 2
dx 2
ip
2
Ae
i
px
-
1 2
p 2
-
4π 2 h2
p 2
(2)
将p2=2mE代入并整理得
d 2
dx 2
2mE 2
0
或
d 2
dx 2
8π 2 mE h2
0
一维空间自由电子的振幅函数所遵循的规律， 即一维空间自由电子的薛定格方程。
如果电子不是自由的，而是在一定的势场中运动， 振幅函数所适应的方程也可以用类似的方法建立 起来。
4 实验证据——电子衍射
1927年，贝尔实验室的 戴维森(C. Davisson)和革末(L. Germer)用电子束 照射单晶体观察到了电子衍射现象，
同年G. P. Thomson通过薄膜透射也观察到了电 子衍射现象。
戴维森和革末的实验 用电子枪发射一束54eV的电子束，垂直照射在镍 单晶的表面上，观察到与入射束成50角的方向 反射出的电子数目极大。
论，光子的能量E与其频率成正比，
E=h
其中h＝6.625×10-34J·s为普朗克常量。
3 德布罗意假说
1924年，德布罗意大胆提出了物质波的假说，认 为：一个能量为E，动量为p的粒子同时也具有波
性，其波长由动量p决定，频率由能量E决定，
即：
λ h h ν E
p mv
h
其中m为粒子的质量，v为自由粒子的运动速度。 该波长称为德布罗意波长。
2πi ( px-Et)
Ae h
Ae i
(
px-Et
)
其中 h 1.0510-34 J s 称为狄拉克常量 2π
还可以写成
i
i
Ae e px - Et
i
(x)e- Et
(1)
其中 (x)
Ae
i
px
称为振幅函数，与时间无关— —也将振幅函数称为波函数
如果波函数与时间无关，则称为作定态波函数， 这种波函数所描述的状态称为定态。