SARS的传播

SARS 的传播模型摘要传染病、战争、饥荒是影响世界人口的三大因素，其中尤其以传染病对人口的影响最为大。

对于问题1，本文结合附件一所给的模型，对它提出的半模拟循环计算的方法进行了检验，得出该模型的优点在于形式简单，模拟的精确度较高，K 值的改变体现出了其合理性，同时指出了它的主要缺点在于过分依赖数据和不具有长远的预测性。

对于问题2，我们以2003年6月以前的有关数据为资料，根据对SARS 传播的分析，在传统的SIR 传染病模型的基础上对人群作了合理的分类：健康者、患病者和移出者。

其中，移出者指死亡及治愈组成的免疫类。

考虑到3类人群均是关于时间的变量且患病者的数量和采取的控制手段密切相关，建立了控制前传播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法得到了病人的自由传播源平均每天造成的感染率81.331710λ-=⨯和该病平均每天的治愈率0.0810μ=，病人平均每天的死亡率0.0383δ=，疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例10.2692β=，疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例20.2062β=，可控系数0.9384α=五个参数。

关键词：SARS ；微分方程；SIR 模型一、问题重述SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二、模型的假设和符号说明模型假设1. 人群分为健康者、患病者和移出者三类，称SIR 模型。

2. 假设SARS 的传播方式为接触性传播，不与患病者接触就不会被感染。

3. 假设SARS 患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具备传染性，SARS患者只在被发现前可以传染他人。

4. SARS 治愈恢复的人和得病死亡的人退出传染体系。

5. 所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口的迁入迁出，自然出生和自然死亡等种群动力因素。

人口始终保持一个常数，即()N t N =。

6. SARS 患者康复后具有免疫能力，治愈后没有被感染的可能。

符号说明λ 自由传播源平均每天造成的感染率 μ该病平均每天的治愈率 ()N t 第t 天传染系统内的总人口数 ()S t 第t 天健康者人数 ()I t 第t 天患病者人数 ()R t 第t 天移出者人数 δ患者平均每天的死亡率 ()M t过了潜伏期，表现出症状，但还未隔离的患者数。

()CP t 第t 天疑似病例的人数 ()DP t第t 天确诊病人的人数1β 疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例 2β疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例 α被自由传染源有效感染的人中的可控系数 0t控制起始时间三、问题分析对于问题二的分析。

1、对于接触率的理解一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。

假设第t 天的单位时间内，一个病人能传染的健康者数目与此环境内健康者总数()S t 成正比，比例系数为λ，从而在第t 天的单位时间内被所有病人传染的人数为()()S t I t λ。

2、对于治愈率的理解第t 天的单位时间内，从患病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为μ，单位时间内移出者的数量为()I t μ。

四、模型建立与求解模型的建立（一）对于问题一的模型的建立。

附件 1 给出的模型为()()01tN t N K =+。

作变换，令1k e λ+=，因为不同阶段k 的值是不一样的，所以对于不同的阶段，λ的值也是不同的。

故XXX 老师所给出的模型可改写成()0t N t N e λ=，其中，λ在不同阶段的值是不一样的。

即在假设病例人数是时间t 的连续函数时，有dNN dtλ=。

1）合理性附件 1所给出的模型为：()()01tN t N K =+ 。

它是基于现实中的自然状态，描述出了 SARS 传染病最核心最本质的变化趋势。

k 的取值采用半模拟循环计算方法，发展趋势由k 值的变化体现。

该模型的优点在于简单，易行，方便对数据采用拟合处理和利用取对数求方差估计与实际数据的误差，说明了该模型所具有的合理性。

2）实用性任何具有传染性的疾病大致都是会经历“发展(快速蔓延)期一相对稳定期一逐渐消亡期”这样的一个过程，附件一模型准确地体现出了这点，因此它具有普遍实用性。

3)模型的缺陷，此模型最大的缺陷即是把实际问题过于简单化了。

(1)模型中的k 的取值只能根据已经有的数据拟合，因此模型的精确度严重地依赖与所给数据的准确度。

实际中，统计所给的数据本身就有一定误差，拟合一个本身就包含偏差的数据势必造成与现实规律更大的背离。

我们以“北京日志”的数据进行验证，见下图0102030405060704图 1 北京实际与预测感染者人数直观的看出，模型只能给出接近的前期发展趋势，后期拟合与实际曲线有相当误差。

(2)模型本身不具有预测性，它的k 值是由数据拟合决定的。

如果背离题目本意，我们让k 按照某种规律变化，预测发展趋势，其产生的误差是很大的。

(3)随着时间的推移，社会中存在各种控制的综合作用，用一个单纯笼统的k 的变化已很难刻画出复杂因素的影响，因为各种因素对 SARS 的影响不尽相同，有的可能抑制传播，有的则可能促进流行，致使模型的一致性在后期变差，误差越来越大。

因此，至少应设为某种函数形式，引入一些参量因子进行考虑。

(4)此模型单单刻画出了传染病的一般性，那么SARS 和其它的传染病也就没什么本质上的区别了，缺乏对其SARS 的特征进行具体深入分析。

（二）对于问题二的模型的建立。

模型 I由假设1显然有()()()S t I t R t N ++=对于患病者而言应有dISI I dtλμ=- （4.2.1） 对于病愈免疫和死亡的移出者而言应有drI dtμ= （4.2.2）在记初始时刻的健康者和病人的总数分别是()000S S >和()000I I >（不妨设移出者的初始值00R =），则由（2.1），（2.2）式，SIR 模型的方程可以写作()()0,0,0dISI I I I dtdr I S Sdtλμμ⎧=-=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩ （4.2.3）但是上述模型没有考虑到隔离人数，已被传染但未被隔离和死亡人数对模型的影响，因此，对模型I 进行改进,得到下面的模型∏。

模型 ∏基于微分方程描述变化，并结合差分方程迭代的思想，把整个社会看成一个系统，重点考虑研究对象是否已退出系统。

对于处于系统中的各种参量间的关系体现与模型中。

据资料，SARS 潜伏期的患者不具有传染性，则：()()I t M t =，模型为：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12000010,0,0,0I t CP t DP t S t N t d I t M t S t CP t CP t M t I t dt d S t DP t M t S t dtCP t CP t DP t R t R t CP t I I S S CP CP DP DP λμδαβλβμδ+++=⎧⎪⎪=--+-⎡⎤⎪⎣⎦⎪⎪=-⎨⎪⎪=-+-⎪=+⎪⎪====⎩ 模型的求解对于问题二的模型的求解。

模型 I由假设1显然有()()()S t I t R t N ++=对于患病者而言应有dISI I dtλμ=- （4.2.1） 对于病愈免疫和死亡的移出者而言应有drI dtμ= （4.2.2）在记初始时刻的健康者和病人的总数分别是()000S S >和()000I I >（不妨设移出者的初始值00R =），则由（2.1），（2.2）式，SIR 模型的方程可以写作()()0,0,0dISI I I I dtdr I S Sdtλμμ⎧=-=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩ （4.2.3）但是上述模型没有考虑到隔离人数，已被传染但未被隔离和死亡人数对模型的影响，因此，对模型I 进行改进,得到下面的模型∏。

模型 ∏基于微分方程描述变化，并结合差分方程迭代的思想，把整个社会看成一个系统，重点考虑研究对象是否已退出系统。

对于处于系统中的各种参量间的关系体现与模型中。

据资料，SARS 潜伏期的患者不具有传染性，则：()()I t M t =，模型为：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12000010,0,0,0I t CP t DP t S t N t d I t M t S t CP t CP t M t I t dt d S t DP t M t S t dtCP t CP t DP t R t R t CP t I I S S CP CP DP DP λμδαβλβμδ+++=⎧⎪⎪=--+-⎡⎤⎪⎣⎦⎪⎪=-⎨⎪⎪=-+-⎪=+⎪⎪====⎩ 在模型中，参数的确定：1β=(每天新增的疑似排除人数)()/DP t ； 2β=(每天新增的疑似转为确诊的人数)()/DP tμ=(当天治愈人数)()/CP t ；δ=(当天病人死亡数)()/CP t对题中的数据去除偏离较大的点，进行多项式拟合，得10.2692β=20.2062β=及0.1203μδ+=（程序见附录2）,并通过前12天的实际数据，直接运用MATLAB 中的计算，得到此时的81.331710λ-=⨯，0.0810μ=，10.2692β=，20.2062β=。

原数据和拟合数据对比图见下图010203040506070图 2 原数据和拟合数据对比图通过上图可以发现，该模型对原数据的拟合效果很好，因此可以用来预测患病人数的趋势。

五、模型稳定性分析在原来稳定的系统下，我们认为的改变某一常量，如改变该传染系统中的患病者的数值，经过若干天后，仍会趋于一个稳定的平衡。

I t在原始数据的基础上，设变化范围为[-20,20]，即跨度为基于上面的理论分析，将()I t的值，具体数值见附录4。