线面,面面平行证明
空间几何线面平行面面平行线面垂直面面垂直的证明方法
空间几何线面平行面面平行线面垂直面面垂直的证明方法空间几何中，线、面、平行面、面平行线、面垂直面等概念是非常重要的。
在证明这些概念时，我们需要掌握一些基本的证明方法。
下面，我将介绍一些证明方法，帮助大家更好地理解这些概念。
一、线与面的关系1. 线与平面的关系线与平面的关系有两种情况：线在平面内或线与平面相交。
对于线在平面内的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设线与平面不在同一平面内，那么这条线必然与平面相交，与已知矛盾。
（2）假设线与平面在同一平面内，但不在同一直线上，那么这条线必然与平面相交，与已知矛盾。
（3）假设线与平面在同一直线上，但不在同一点上，那么这条线必然与平面相交，与已知矛盾。
因此，我们可以得出结论：线与平面必然在同一平面内且相交于一点或在平面内。
2. 线与直线的关系线与直线的关系有三种情况：相交、平行、重合。
对于线与直线相交的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设两条线不相交，那么这两条线必然平行，与已知矛盾。
（2）假设两条线重合，那么这两条线必然相交，与已知矛盾。
因此，我们可以得出结论：两条不同的线必然相交于一点或平行。
二、面与面的关系1. 平行面的关系平行面的关系有两种情况：平行或重合。
对于平行面的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设两个平面不平行，那么这两个平面必然相交，与已知矛盾。
（2）假设两个平面重合，那么这两个平面必然平行，与已知矛盾。
因此，我们可以得出结论：两个不同的平面必然平行或相交于一条直线。
2. 面垂直面的关系面垂直面的关系有两种情况：相交于一条直线或垂直。
对于面垂直的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设两个面不垂直，那么这两个面必然相交于一条直线，与已知矛盾。
（2）假设两个面相交于一条直线，那么这两个面必然不垂直，与已知矛盾。
因此，我们可以得出结论：两个不同的面必然相交于一条直线或垂直。
三、面平行线的关系面平行线的关系有两种情况：平行或相交。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平a a P'b 二.•「a// ■-面平行。
符合表示：a//b2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：a広oa//«=■ a//ba -:-b二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n 〃b "m // aa"b = Mm □ n = N符号表示：2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
a //P ]符号表示：: =| = l//d （更加实用的性质：一个平厂L： d面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面符号表示:$:三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直符号表示:oA 二、：po -:2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a _ ■ ,a---:2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面：=b, a x 上，a_b= a -:Welcome !!! 欢迎您的下载, 资料仅供参考!。
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法
要证明线面平行，可以采用以下方法：
1. 使用向量法：设直线L上一点为P，平面M上一点为Q，
其中从直线L的方向向量可以得到直线L的法向量nL，从平
面M的法向量可以得到平面M的法向量nM。
若nL与nM相
互垂直，则可以判断直线L与平面M是平行的。
2. 使用点法式：设直线L的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其
中(A,B,C)为直线方向向量，(x,y,z)为直线上任意一点的坐标。
设平面M的方程为Ax + By + Cz + D' = 0，其中(A,B,C)为平面的法向量，(x,y,z)为平面上任意一点的坐标。
如果直线L的法
向量与平面M的法向量平行，则直线L与平面M是平行的。
3. 使用斜率法：对于直线L，找出直线上两点的坐标(x1, y1,
z1)和(x2, y2, z2)，计算直线的斜率mL = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
对于平面M，找出平面上两点的坐标(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，计算平面的斜率mM = (z2 - z1) / (y2 - y1)。
如果直线L和平面
M的斜率相等，则直线L与平面M是平行的。
以上三种方法可以用来证明直线与平面之间的平行关系，其实质上是通过分析向量或者坐标的关系来判断直线和平面是否平行。
谈谈证明线面平行问题常用的几种方法
证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。
立体几何线面面面平行的证明
立体几何线面面面平行的证明线面、面面平行是立体几何中重要的概念，在几何证明中经常会遇到。
下面将分别介绍线面平行和面面平行的证明。
一、线面平行的证明：线面平行是指一条直线与其中一平面上的其他线段或射线都平行。
下面给出线面平行的证明。
设直线l与平面α相交于点A，我们要证明直线l与平面上任意一条线段或射线都平行。
设平面上有一条线段BC，先证明直线l与线段BC平行。
假设直线l与线段BC的其中一点D相交，连接线段AD和CD。
现在需要证明线段AD与线段BC平行。
根据平面几何的基本知识，在平面上，如果三个点在同一条直线上，那么该直线上的任意两点连线也位于平面上。
故点A、D、C三点在同一条直线上，那么线段AD也位于平面α上。
又因为直线l与线段BC和AD的交点分别为D和A，根据定理“若两条直线平行，则与这两条直线分别相交的两个平行线交点连线也平行”。
所以，直线l与线段AD平行。
同理，可以证明直线l与线段CD平行。
综上所述，直线l与线段BC平行。
接下来证明直线l与平面上的任意一条射线EF平行。
同样以与射线EF有相交点E的直线l为基准，连接射线BE和EF。
然后使用相同的证明方法，即证明射线BE与EF平行。
通过以上证明，我们可以得出结论：直线l与平面α上的任意一条线段或射线都平行。
即证明了线面平行。
二、面面平行的证明：面面平行是指两个平面平行，这在立体几何中也有重要应用。
下面给出面面平行的证明。
设平面α与平面β相交于一条直线l，我们要证明平面α与平面β上的任意一条线段或射线都平行。
以直线l为基准，设平面α上有一条线段AB，我们需要证明线段AB 与平面β平行。
作直线AB的平行线于平面β相交于点C。
现在需要证明直线BC与线段AB平行。
根据平面几何的基本知识，若两条直线平行，那么有一个点在一条直线上，则另一条直线上的点的连线也在同一平面上。
因此点C在平面β上，那么连接线段BC位于平面β上。
又因为平面α与平面β分别与直线AB和BC相交于A和C两点，根据定理“若两个平面分别与一条直线相交，那么它们的交线上的任意两点连线也在这两个平面的交线上”。
线面平行、面面平行的判定
1.如图 6，在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、 如图 ， 、 F、G 分别为棱 AA1、A1B1、A1D1 的中点． 、 的中点． 求证： 求证：平面 EFG∥平面 BC1D. ∥
图6
证明： 则有B 证明：如图 7，连接 B1D1， ， 则有 1D1∥BD. 的中点， ∵E、F、G 分别为 A1A、A1B1、A1D1 的中点， 、 、 、 ∴FG∥B1D1. 则FG∥BD， ∥ ∥ ， ∴FG∥平面 1D. ∥平面BC 同理 EF∥DC1.∴EF∥平面 1D. ∥ ∴ ∥平面BC 又∵EF∩FG＝F， ＝ ， ∴平面 EFG∥平面 ∥平面BC1D.
1．直线 l 与平面α内无数条直线平行，则 l 与α的位置关系 是( D ) A．平行 C．平行或相交 B．相交 D．以上答案都不对
2．下列说法中错误的个数是( C ) ①过平面外一点有一条直线和该平面平行 ②过平面外一点只有一条直线和该平面平行 ③过平面外有且只有一条直线和该平面平行 A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知 AB、BC、CD 是不在同一个平面内的三条线段，E、 已知 是不在同一个平面内的三条线段， 、 、 、 F、G 分别是 AB、BC、CD 的中点，求证：平面 EFG 和 AC 、 的中点，求证： 、 、 平行， 平行． 平行，也和 BD 平行．
证明：如图 ， 证明：如图4， 在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点， 的中点， 、 、 ∴AC∥EF，AC ⊄平面 EFG， ∥ ， ， EF⊂平面 EFG. ⊂ 于是 AC∥平面 EFG. ∥ 同理可证， ∥ 同理可证，BD∥平面 EFG. 图4
错因剖析：没有考虑直线在平面内的情况． 正解：A
如图 9，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 为 PB 的中点，O 为 AC、BD 的交点． (1)求证：EO∥平面 PCD ; (2)图中 EO 还与哪个平面平行？ (1)证明：∵在平行四边形ABCD 中，O 为AC、BD 的交点， 证明： 在平行四边形 的交点， 证明 、 的中点． ∴O 为 BD 的中点． 的中点， 又∵在△PBD 中，E为PB 的中点， 为 ∴EO∥PD. ∥ ∵EO⊄平面 ⊄平面PCD，PD⊂平面 ， ⊂平面PCD， ， ∴EO∥平面 ∥平面PCD. (2)解：图中EO 还与平面 PAD 平行． 解 图中 平行． 图9
线面,面面平行判定及性质
对C，m与n垂直而非平行，故C错误；
对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确.
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5.若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有 直线中
√A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线 解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
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6.设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件： ①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b. 其中能推出α∥β的条件是_②__④__.(填上所有正确的序号) 解析 在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交； 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足； 在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足.
师生共研
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC， A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1.在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点” 变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
_a_∥__β_ _α_∩__γ_＝__a_ _β_∩__γ_＝__b_
⇒a∥b
【概念方法微思考】 1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？
提示 不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直 线异面. 2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行， 那么这两个平面平行吗？
线面、面面平行的性质定理
• (4)相似三角形的周长比等于相似比. • (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似 三角形的传递性，即如果： △ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么 △ABC∽A2B2C2
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.平行四边形的判定定理
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是a 上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4， CF=4，AF=5，求EG.
∵点A为直线a线外一点 ∴点A与直线a确定一个平面，平 面ABD 又∵a∥α ，α ∩平面ABD=EG ∴BD∥EG ∴<AGE= <ADB 又∵<A=<A ∴△AGE∽△ADB ∴EG/BD=AF/AC即 EG/BD=AF/AF+CF ∴EG/4=5/9 ∴EG=20/9
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
D
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且 相等，则两平面的位置关系为________． 解析： 平行或相交，如图
答案：
平行或相交
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等
D
α
A
C
β
B
必修2
第二章
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.
面面平行可以得到线面平行吗
⾯⾯平⾏可以得到线⾯平⾏吗
只要这条直线是在其中⼀个平⾯内，⾯⾯平⾏就可以直接得出线⾯平⾏。
⾯⾯平⾏的情况下，其中⼀个⾯上的任何⼀条直线都与另外⼀个⾯平⾏。
如果两个平⾯没有公共点，则称这两个平⾯平⾏。
如果两个平⾯的垂线平⾏，那么这两个平⾯平⾏。
线⾯平⾏的判定定理：
定理1：平⾯外⼀条直线与此平⾯内的⼀条直线平⾏，则该直线与此平⾯平⾏。
已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a∥α反证法证明：假设a与α不平⾏，则它们相交，设交点为A，那么A∈α∵a∥b，∴A不在b上在α内过A作c∥b，则a∩c=A⼜
∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A⽭盾。
∴假设不成⽴，a∥α向量法证明：设a的⽅向向量为a，b的⽅向向量为b，⾯α的法向量为p。
∵b⊂α∴b⊥p，即p·b=0∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在⼀实数k使得a=kb那么p·a=p·kb=kp·b=0即a⊥p∴a∥α
定理2：平⾯外⼀条直线与此平⾯的垂线垂直，则这条直线与此平⾯平⾏。
已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。
求证：a∥α证明：设a与b的垂⾜为A，b与α的垂⾜为B。
假设a与α不平⾏，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定⼀个平⾯，因此ABC⾸尾相连得到△ABC∵B∈α，C∈α，b⊥α∴b⊥BC，即∠ABC=90°∵a⊥b，即∠BAC=90°∴在△ABC 中，有两个内⾓为90°，这是不可能的事情。
∴假设不成⽴，a∥α。
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、 两条直线垂直的判定（1） 在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
立体几何9-4线面、面面平行的判定与性质
则另一条也垂直于这个平面，故选B. 答案：B
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[例2] (文)在四面体ABCD中，CB＝CD， AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中 点．求证：
为线段CE的中点，所以PN綊12DC.
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又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，
所以AM綊12DC.所以PN綊AM.
故四边形AMNP是平行四边形．所以 MN∥AP，
而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以 MN∥DAE.
证法二：取BE中点G，连结GM、GN，
∵GN∥BC，BC∥DA，∴GN∥DA，又
(1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
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解析：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、 BD的中点，所以EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD， 所以直线EF∥平面ACD. (2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，
所以EF⊥BD. 在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，
的中点，求证：MN∥平面DAE.
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证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面 ABE，
所以AE⊥BC. 又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE， 所以AE⊥BF. 又BF∩BC＝B， 所以AE⊥平面BCE. 又(2B)证E⊂法平一：面取BDCEE的，中所点P以，A连E结⊥PAB，EP.N，因为点N
1
2
重点难点 重点：线面、面面平行的判定定理与性质定
理及应用 难点：定理的灵活运用
3
知识归纳
一、直线与平面平行
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示： b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
α⊥βαβαβaab,，b,⇒⊥⊂=⋂⊥a。
线面-面面平行证明题
线面,面面平行证明一．线面平行旳鉴定１. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2． 鉴定定理:平面外旳一条直线与此平面内旳一条直线平行，则该直线与此平面平行.3.符号表达为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒二．面面平行旳鉴定定理:一种平面内旳两条相交直线与另一种平面平行,则这两个平面平行符号语言:＿_＿＿__＿___＿__＿_____＿＿____________＿__＿____＿________＿＿___＿__＿＿__＿＿＿___＿选择题1．已知直线1l 、2l , 平面α,1l ∥2l , 1l ∥α,那么2l 与平面α旳关系是（ ）．A. 1l ∥αＢ． 2l ⊂α C. 2l ∥α或2l ⊂αD. 2l 与α相交２．如下说法(其中a,b 表达直线,表达平面)①若a ∥b ，ｂ,则a ∥②若a ∥,ｂ∥,则a ∥b③若a ∥b ，b ∥,则a ∥ ④若a ∥,b,则a ∥b其中对旳说法旳个数是（ ).ﻩA. 0个ﻩB. 1个C. ２个D. ３个3．已知a ，b 是两条相交直线,ａ∥，则b 与旳位置关系是（ ）．A. ｂ∥Ｂ. b与相交C．ｂ⊂α D. b∥或b与相交4.如果平面外有两点A、B，它们到平面旳距离都是a,则直线AＢ和平面旳位置关系一定是( ).Ａ. 平行ﻩ B. 相交 C. 平行或相交 D. ＡＢ5.如果点M是两条异面直线外旳一点,则过点M且与a,b都平行旳平面( )．A. 只有一种ﻩB. 恰有两个C. 或没有，或只有一种ﻩD. 有无数个6 ．已知两条相交直线a、b，ａ∥平面α，则ｂ与平面α旳位置关系( ）A b∥αB b与α相交Cb⊂αＤb∥α或ｂ与α相交７.不同直线,m n和不同平面,αβ,给出下列命题：①////mmαββα⎫⇒⎬⊂⎭②//////m nnmββ⎫⇒⎬⎭③,mm nnαβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面其中假命题有( ）A 0个Ｂ1个Ｃ2个 D 3个8.若将直线、平面都当作点旳集合，则直线l∥平面α可表达为( )Aｌ∉αBｌ⊂αCｌ≠αDｌ∩α＝∅９.平行于同一种平面旳两条直线旳位置关系是（）A 平行B 相交C 异面 Ｄ平行或相交或异面１0.下列命题中对旳旳是( )① 若一种平面内有两条直线都与另一种平面平行,则这两个平面平行 ②若一种平面内有无数条直线都与另一种平面平行，则这两个平面平行 ③若一种平面内任何一条直线都平行于零一种平面,则这两个平面平行 ④若一种平面内旳两条相交直线分别平行于零一种平面，则这两个平面平行 A. ①③ B. ②④ C. ②③④ Ｄ. ③④ 证明题：1. 如图, Ｄ-A ＢC 是三棱锥， Ｅ, F ， G ， H 分别是棱AB ，B Ｃ,CD,AC 旳中点．求证:平面FGH ．2.平面与△A ＢＣ旳两边AB 、ＡＣ分别交于D 、Ｅ,且A Ｄ∶DB=AE ∶E Ｃ,求证：BC ∥平面．３:在四周体AB ＣＤ中,M 、N 分别是面△ＡＣD 、△A ＢC 旳重心,在四周体旳四ED C BA个面中，与ＭN 平行旳是哪几种面？试证明你旳结论.4 D 是直三棱柱AB Ｃ—A 1B 1Ｃ1旳AB 边上旳中点, 求证: AC 1∥面B 1CD 。
第二章 线线-线面-面面的平行与垂直关系--证明
【示例变】式►(练201习1·江苏)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD
⊥平面 ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F 分别是 AP，AD 的中点．求证： (1)直线 EF∥平面 PCD； (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 错因 在运用判定定理时漏掉关键条件 致使推理不严谨致误．
3．(2012·银川质检)在空间中，下列命题正确的是( )． A．若a∥α，b∥a，则b∥α B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β 解析 若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行 的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C 错误． 答案 D线线，线面，面面的 Fra bibliotek行与垂直关系证明
直线与直线平行 (1)平行直线与平面平行
平面与平面平行
直线与直线垂直
(2)垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直
考向三 平行与垂直关系的综合应用
【例例31】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点
E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. [审题视点] 第(1)问需证明EF∥AD；第(2)问需证明BD⊥平面 EFC.
【试一试】 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是
边长为 a 的正方形，E、F 分别为 PC、BD 的中点，侧面 PAD
⊥底面
ABCD，且
PA＝PD＝
2 2 AD.
(1)求证：EF∥平面 PAD；
(2)求证：平面 PAB⊥平面 PCD.
【示例】►(2011·四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下 列命题正确的是( )． A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 错因 受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况． 实录 甲同学：A 乙同学：C 丙同学：D.
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线面，面面平行证明
一．线面平行的判定
1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.
2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
3.符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒ 二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 符号语言:_____________________________________________________________________
选择题
1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）.
A. 1l ∥α
B. 2l ⊂α
C. 2l ∥α或2l ⊂α
D. 2l 与α相交
2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面）
①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）.
A. b ∥α
B. b 与α相交
C. b ⊂α
D. b ∥α或b 与α相交
4．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）.
A. 平行
B. 相交
C. 平行或相交
D. AB ⊂α
5．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ ）.
A. 只有一个
B. 恰有两个
C. 或没有，或只有一个
D. 有无数个
6 .已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系 ( )
A ｂ∥α
B ｂ与α相交
C ｂ⊂α
D ｂ∥α或ｂ与α相交 7．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题：
① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m β
β⎫
⇒⎬⎭
③ ,m m n n αβ⊂⎫
⇒⎬⊂⎭异面
其中假命题有 ( )
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( )
A ｌ∉α
B ｌ⊂α
C ｌ≠α
D ｌ∩α＝∅
9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( )
A 平行
B 相交
C 异面
D 平行或相交或异面 10．下列命题中正确的是( )
① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行 A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④
证明题：
1.如图，D－ABC是三棱锥，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AC的中点．求证：平面FGH．
2．平面α与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，
求证：BC∥平面α.
3：在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△A BC的重心，在四面体的四个面中，与MN平行
的是哪几个面？试证明你的结论.
4 D是直三棱柱ABC—A
1B
1
C
1
的AB边上的中点，求证：AC
1
∥面B
1
CD。
E
D
C
B
A
α
A
B
D
C
A
1
B
1
C
1
D 1
C 1
B 1
A 1
A
B
C
D
P
Q
5. 在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，E 、F 分别是AB 、SC 的中点， 求证： EF ∥面SAD
6、已知：△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使A 至A ′的位置，
取B A '的中点为M, 求证:ME ∥平面CD A '
7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点，且AP=BQ ，
求证：PQ ∥平面DCC 1D 1。
8.
如图2-3-7所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，
D 是BC 的中点，试判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论.
A B C
D
S E
F
9. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E, F 分别是AB,BC 的中点,G 为DD 1上一点,且D 1G:GD=1:2,AC BD=O,求证:平面AGO ∥平面D 1EF
10.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、P 、Q 、R 分别是所在棱AB 、BC 、BB '、A 'D '、D 'C '、DD '的中点，
求证：平面PQR ∥平面EFG 。
11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M 、N 分别是A 1B 1、AB 的中点： 求证：平面AMC 1//平面NB 1C.
12.如图，在三棱锥P-ABC 中，D,E,F 分别是棱PA,PB,PC 的中点， 求证：平面DEF ∥平面ABC
C 1
B A C
D A 1
B 1
D 1
A
B C
D A ' B ' C ' D ' F
Q E
G R P B
C
P
A
D
E
F。