§3.3.1 函数的单调性

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函数的单调性及凹凸性

x 的增大而增大，即 f (x) 是单调增加的
则
f (x) 0
当曲线弧是凸时，切线的斜率随着 x 的增大而减小，即 f (x) 是单调减少的
则
f (x) 0
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3.1.3 函数的凹凸性
讨论函数 f (x) 凹凸性的问题时，可先求出使 f (x) 0 的点及 f (x) 不存在的点，这些点把 f (x) 的定
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3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
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3.1.1 拉格朗日中值定理
3.1.1 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理几何意义
曲线 y f (x) 上至少有一点
M (, f ( )) 的切线的斜率 f () 等于线段 AB 的斜率
义域划分为若干个区间，确定各个区间上二阶导数 f (x) 的符号，即可得出函数 f (x) 的凹凸区间及拐点.
高等数学应用教程例4 解
列表讨论如下
3.1.3 函数的凹凸性
由表 3-2 可知，曲线在区间 (,0] 和区间 [1, ) 上是凹的，在区间[0,1] 上是凸的，拐点为点 (0,1) 和 (1,0) .
反之,也有类似结论,从而有以下函数单调性的判定定理
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3.1.2 函数的单调性
而即
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例2 解
3.1.2 函数的单调性
这两点把定义域分成3个小区间，列表讨论如下
高等数学应用教程例3 解
3.1.2 函数的单调性
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3.1.2 函数的单调性

高中数学第三章三角函数 3.3 三角函数的图像与性质 3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质

3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)[学习目标] 1.掌握y ＝sin x 与y ＝cos x 的定义域，值域，最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．[知识链接]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称． 2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立．3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质(下表中k ∈Z )：函数 y ＝sin x y ＝cos x图象定义域 R R 值域 [－1,1][－1,1]对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 奇偶性奇函数偶函数单调递增⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π[]－π＋2k π，2k π 单调递减⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π []2k π，π＋2k π最值在x ＝π2＋2k π时，y max ＝1；在x ＝－π2在x ＝2k π时，y max ＝1；在x ＝π＋2k π要点一求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．规律方法用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log 12cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )，亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )．亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z .∵0＜12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为u ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．要点二正弦、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin196°与cos156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°， cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°<sin66°；从而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<co s π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 规律方法用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos870°与sin980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°， ∵0°<150°<170°<180°，∴cos150°>cos170°，即cos870°>sin980°. 要点三求正弦、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．跟踪演练3 已知0≤x ≤π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a )．解设cos x ＝t ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤t ≤1.∵y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2，∴当a <0时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝0；当0≤a ≤12时，M (a )＝1－2a ，m (a )＝－a 2；当12<a <1时，M (a )＝0，m (a )＝－a 2；当a ≥1时，M (a )＝0，m (a )＝1－2a . 综上，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ， a ≤12，0，a >12，m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， a <0，－a 2，0≤a <1，1－2a ，a ≥1.要点四三角函数的奇偶性例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x .解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．规律方法判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系．跟踪演练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2·sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. 解 (1)f (x )＝sin2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数.1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析由π2≤x ＋π6≤32π解得π3≤x ≤43π.故选D.2．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B ．sin3>sin2 C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin2>cos1 答案 D解析 ∵sin2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos1，即sin2>cos1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.故选B. 4．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，又0<cos35°<1，∴c >b >a .1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础达标1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定答案 D3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1B ．1 C ．－12D ．－5答案 C解析由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4； ③sin138°<sin143°；④tan40°＞sin40°. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③B．①④ C ．②③D ．②④答案 B5．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析易知②③成立，令φ＝π2，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立．6．若|x |≤π4，则函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是________．答案 12－22解析由cos 2x ＝1－sin 2x ，故f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ，令sin x ＝t ，由|x |≤π4，由图象知t ∈[－22，22]，故函数化为y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，当t ＝－22时，y min ＝12－22. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升 8．函数y ＝2sin x的单调增区间是( )A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z ) C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )答案 A解析函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间9．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．πB.2πC.3πD ．2π 答案 C解析在同一坐标系中画出函数y ＝πsin x 与y ＝πcos x 的图象，如图所示，则|MN |的最小值为|PQ |.又P (π4，2π2)，Q (5π4，－2π2)，故|PQ |＝π4－5π42＋2π2＋2π22＝3π.10．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．答案 sin3<sin1<sin2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．解由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －2π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋52π；(2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解 (1)函数定义域为R ，且f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋52π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，显然有f (－x )＝f (x )恒成立．∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋52π为偶函数． (2)由2sin x －1＞0，即sin x ＞12，得函数定义域为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋56π(k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．(3)函数定义域为R . f (－x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＝lg 1sin x ＋1＋sin 2x＝－lg ()sin x ＋1＋sin 2x ＝－f (x )，∴函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )为奇函数．三、探究与创新 13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )，同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。

数学：3.3.1函数的单调性与导数课件

3.3.1函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期日：十二点三十五分。
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；
的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
第十二页，编辑于星期日：十二点三十五分。
练习
函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x图) 象的
大致形状
第十三页，编辑于星期日：十二点三十五分。
第二十页，编辑于星期日：十二点三十五分。
• 解法二：(数形结合)
• 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0 有一根为1，则另一根在[4,6]上．
所以ff′′((46))≤≥00，，即35((57－－aa))≤≥00，，所以 5≤a≤7.
总结
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到 f '(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证。
数.
第十六页，编辑于星期日：十二点三十五分。
练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

函数的单调性与导数（获奖教案

函数的单调性与导数（获奖教案3.3.1函数的单调性与导数教材分析“函数单调性与导数”是⾼中数学（选修1-1）第三章导数及其应⽤的第三节，本节的教学内容属导数的应⽤，是在学⽣学习了导数的概念、计算、⼏何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，⼜可为后⾯研究函数的极值和最值打好基础.由于学⽣在⾼⼀已经掌握了单调性的定义，并能⽤定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学⽣体验到，⽤导数判断单调性要⽐⽤定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数⽽⾔），充分展⽰了导数解决问题的优越性.课时分配本节内容⽤1课时完成，主要经历从⽣活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到⼀般的数学思想，体现了数学知识来源于⽣活，⼜服务于⽣活.教学⽬标重点：利⽤导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何⽤导数判断函数的单调性.知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能⼒点：1.通过本节的学习，掌握⽤导数研究单调性的⽅法.2.在探索过程中培养学⽣的观察、分析、概括的能⼒渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学⽣多动⼿、多观察、勤思考、善总结，培养学⽣的探索精神，引导学⽣养成⾃主学习的学习习惯.⾃主探究点：通过问题的探究，体会知识的类⽐迁移.以已知探求未知，从特殊到⼀般的数学思想⽅法.考试点：利⽤导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，⽽不是导数的单调性决定函数的单调性.教具准备：多媒体课件,三⾓板课堂模式：学案导学⼀.引⼊新课y 的单调性，如何进⾏？师：判断函数的单调性有哪些⽅法？⽐如判断2x⽣：⽤定义法、图像法.师：因为⼆次函数的图像我们⾮常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想⼀下，有没有需要注意的地⽅？⽣：注意定义域.师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？师：定义是解决问题的最根本⽅法，但定义法较繁琐,⼜不能画出它的图像，那该如何解决呢？揭⽰并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断⼆次函数的单调性）⼊⼿，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最⼤值或最⼩值等性质是⾮常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有⼀个基本的了解．函数的单调性与函数的导数⼀样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?⼆．探究新知师：如图（1），它表⽰跳⽔运动中⾼度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表⽰⾼台跳⽔运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最⾼点，以及从最⾼点到⼊⽔这两段时间的运动状态有什么区别？⽣：通过观察图像，可以发现：（1）运动员从起点到最⾼点，离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最⾼点到⼊⽔，运动员离⽔⾯的⾼度h 随时间t 的增加⽽减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【设计意图】从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学⽣提供⼀个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学⽣；让学⽣完成对函数单调性与导数关系的第⼀次认识，明确研究课题.师：导数的⼏何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下⾯函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数x y =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数01/>=y ；（2）函数2x y =的定义域为R ，在),(+∞-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增；⽽x y 2/=，当0x 时，其导数0/>y ；当0=x 时，其导数0/=y ．（3）函数3x y =的定义域为R ，在定义域上为增函数；⽽2/3x y =，若0≠x ，则其导数032>x ，当0=x 时，其导数032=x ；（4）函数x y 1=的定义域为),0()0,(+∞?-∞，在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递减,⽽2/1xy -=，因为0≠x ,所以0/师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/内单调递减.【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运⽤.让学⽣体会从特殊到⼀般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学⽣在⽼师的引导下⾃主学习和探索，提⾼学习的成就感和⾃信⼼.三. 理解新知师：如图，导数'0()f x 表⽰函数)(x f 在点00(,)x y 处的切线的斜率．观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？⽣:在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数)(x f 在0x 附近单调递增；在1x x =处，0)(1/师⽣共同总结：函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/【设计意图】通过导数的⼏何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成⼀般性结论.让学⽣经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系.四．运⽤新知例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的⼤致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点⽐较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的⼤致形状如图所⽰．学⽣思考，并在纸上画出函数图像教师投影若⼲学⽣的作业情况,学⽣共同分析.【设计意图】让学⽣通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的,这是今后利⽤导函数研究函数的必备技能.这⾥让学⽣切实理解，为今后学习扫清障碍. 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1所⽰．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图2所⽰．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3所⽰．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图4所⽰．学⽣练（3）、（4）【设计意图】让学⽣初步体会⽤导数的⽅法确定函数单调性的简便. 【师⽣活动】总结求()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．例3．已知函数xx y 1+=，试讨论出此函数的单调区间. 解：2222//)1)(1(111)1(x x x x x x x x y +-=-=-=+=２令0)1)(1(2>+-xx x . 解得11-<>x x 或∴xx y 1+=的单调增区间是：),1()1-,(+∞-∞和令0)1)(1(2<+-x x x ，解得1001<<<<-x x 或∴xx y 1+=的单调减区间是：)1,0()0,1(和-练习：93P 1题五.课堂⼩结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间【设计意图】通过师⽣共同反思，优化学⽣的认知结构.六. 布置作业必做：课本８9P A 组 1,2 选做：1、求下列函数的单调区间： (1) 76223+-=x x y (2) x xy 21+=(3) []π2,0,sin ∈=x x y (4) x x y ln = 2、已知32()f x x bx cx d =+++的图像过点(0,2)P 且在1x =-处的切线⽅程为670x y -+=，求（1）()f x 的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间.3、已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学⽣动⼿练习,加强学⽣的应⽤意识.七.教后反思1. 本节课的亮点：教学过程中教师指导启发学⽣以已知的熟悉的⼆次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从⽽到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推⼴到⼀般.这个过程中既让学⽣获得了关于新知的内容，更可贵的是让学⽣体会到如何研究⼀个新问题，即探究⽅法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想⽅法,培养了学⽣的探索精神，积累了探究经验.2. 不⾜之处：学⽣对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练.⼋、板书设计。

3.3.1 函数的单调性与导数

活动与探究 1 (1)函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1�� = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
�� 2
,(-t,+∞),递减区间为
�� 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
�� 2
,
+
∞
,递减区间为
-��,
�� 2
.
迁移与应用已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,

高考数学一轮复习导数与函数的单调性

因为 x∈[1,4]，所以1x∈14，1，
所以 G(x)max＝－176(此时 x＝4)，所以 a≥－176，又因为 a≠0，所以实数 a 的取值范围是－176，0∪(0，＋∞).
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则 f′(x)<0 在[1,4]上有解，所以当 x∈[1,4]时，a>x12－2x有解，又当 x∈[1,4]时，x12－2xmin＝－1(此时 x＝1)，所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).
(2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间.
g(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x－1(a<0)，其定义域为(0，＋∞)，
∴g′(x)＝2ax＋2－a－1x＝2ax2＋2x－ax－1＝2x－1xax＋1(a<0)，令 g′(x)＝0，可得 x1＝12，x2＝－1a>0， ①若－1a>12，即－2<a<0，当 0<x<12或 x>－1a时，g′(x)<0；当12<x<－1a时，g′(x)>0， ∴g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞，单调递增区间为12，－1a；
1 ex
－ex＋2x－1 3
x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，
则实数a的取值范围是_－__1_≤__a_≤__13__.
由题意得 f′(x)＝－e1x－ex＋2－x2＝－ex＋e1x＋2－x2，因为 ex＋e1x≥2 ex·e1x＝2，当且仅当 x＝0 时等号成立，所以f′(x)≤0，所以函数f(x)在R上单调递减，又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0⇒f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，即 3a2≤1－2a，解得－1≤a≤13.

-函数的单调性、极值与最值

（
2 ， 0） 2
+ ↑
（ 0， 2 2 ）
不存在无
2 2
+ ↑
0
极大
－
↓
（ 1 ，）
－
（
2 2
，1 ）
1
不存在
+ ↑
0
－
极小
极大
↓
无
↓
所以，f(x)的极大值为 f (
2 3 2 3 ) 4 ， f ( ) 4 . 2 2 0 )1 . f(x)的极小值为 f(
练习
求下列函数的极值.
注2：Th1中的“>”和“<”号也可改为“≥ ”和“≤ ” 号，
2、分段单调函数： Def 1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子
区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.
结论同样成立.
3、驻点：导数 f '(x)在区间内部的零点称为 f (x)驻点 . Def 2：
即： f ' ( x ) 0 ，则 x 为驻点 . 0 0
2 2 例3：证明 1 x ln( x 1 x ) 1 x ( x 0 ).
2 2 证：令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x ) 1 x
2 则 f ' ( x ) ln( x 1 x ) 0
( x 0)
当 x （ 0 , ）时， f( x ) 为严格单调递
a
x0
0
b
x
2、极值的必要条件定理 2 设函数 f(x) 在 I 内连续，点 x0 不是 I 的断点，若函数在 x0 处取得极值，则 x0 或是函数的不可导点，或是可导点；当 x0 是 f(x) 的可导点，那么 x0 必是函数的驻点，即 f ( x0 ) = 0. 推论：设函数 f(x)在点 x0可导，则函数 f(x)在点 x0 取得极值的必要条件是 f ( x0 ) = 0 . 注1：极值点有可能是可导点，也有可能是极值点.

北师大版高中数学必修第一册3.3.1指数函数的概念及其图象课件

方法归纳与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0，且a≠1)： (1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y＝af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y＝ ax的单调性确定函数y＝af(x)的值域；
(3)求函数y＝f(ax)的定义域，需先确定y＝f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即u＝ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，得y＝f(ax)的定义域；
状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与 “降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．
基础自测 1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝－2x是指数函数．( × ) (2)函数y＝2x＋1是指数函数．( × ) (3)函数y＝ax是指数函数．( × ) (4)因为a0＝1(a>0，且a≠1)，所以y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点 (0，1)．( √ )
答案：CD
(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是________.
方法归纳识别指数函数图象问题应注意： (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y 轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型．
变式2 (变条件，变设问)若将本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
解析：∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2 ＋1.

3.3 函数的单调性

【解】 f(x)=x -mx+ - +3

2

=(x- ) +3

2
根据题意可知函数的对称轴为 x=-2

即-(- )=-2

求得 m=-4
∴f(x)=x2+4m+3 f(1)=1+4+3=8

B.y=(x≠0)是增函数
C.y=x2 在[0,+∞)上是减函数

D.y=()x 在 R 上是减函数
【答案】D
8.一次函数y=kx+b在(-∞,+∞)上是单调递减函数,且
图象不过第三象限(
)
A.k>0,b≠0 B.k<0,b≥0
C.k<0,b≠0 D.k>0,b<0
【答案】B
9.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则
是 (-∞,0]
,单调减区间
.
12.若 y=(3k-1)x+k 是 R 上的减函数,则 k 的范围
为

{k|k< }

.
13.下列函数中:(1)y=3x-6;(2)y=3-2x;(3)y=x2+2x+1(x∈(-∞,-1]);

(4)y=- +1(x∈-∞,0)中,在给定区间单调递减的有 (2)、(3)
3.y=
(
)
A.在(0,+∞)上是增函数
C.在(0,+∞)上是减函数
【答案】C
B.在[0,+∞)上是增函数
D.在[0,+∞)上是减函数
4.函数f(x)=-5x2

函数的单调性与导数

x f′(x)＝ a ln a
(a>0)
f′(x)＝ ex
1 f′(x)＝ xln a (a>0 且 a≠1) 1 f′(x)＝ x
探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题 1 观察高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10 的图象，及 h′(t)＝－9.8t＋6.5 的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别.
3.3.1
小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减.
问题 3
若恒有 f′(x) ＝0,则函数 f(x)有什么特性？
答函数 f(x)是常函数，不具有单调性
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2 x3 3x2 24 x 1.
3.3.1 例 2 求函数 f(x)＝3x2－2ln x 的单调区间： 3 3 ∴f(x)的单调递增区间为( ，＋∞)，单调递减区间为(0， ). 3 3
3.3.1
(2，＋∞) ，减区间为 4.(1) 函数 y ＝ x2 － 4x ＋ a 的增区间为 _________ (－∞，2) __________.
解析 y′＝2x－4，令 y′>0，得 x>2；令 y′<0，得 x<2，
所以 y＝x2－4x＋a 的增区间为(2，＋∞)，
减区间为(－∞，2).
3.3.1
随堂检测
1.函数 f(x)＝x＋ln x 在(0,6)上是 A.单调增函数 B.单调减函数 1 1 C.在0，上是减函数，在，6 上是增函数 e e 1 1 D.在0，上是增函数，在，6 上是减函数 e e 1 解析 ∵f′(x)＝1＋ >0， x ∴函数在(0,6)上单调递增. ( A )

3.3函数的单调性、凹凸性与极值

y y
o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时， f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时， 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻域内，f ( x ) 都不单调递增．
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少；当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.

【数学】3.3.1《函数的单调性和导数》教案(新人教A版选修1-1)

§3.3.1函数的单调性与导数【成功细节】严俏华谈导数的计算的方法本节主要是用函数的导数研究函数的单调性，学习过程中要深刻理解相关的结论以及方法，要学好本节内容，我认为应注意以下几个细节入手：（1）函数在某点处的单调性与该点处的切线的斜率（即函数在该点处的导数值）的符号相关；若导数值大于零，则函数在此处为增函数；（2）若函数在某个闭区间上的导数值恒为零，则该函数为常数函数；（3）在求函数的单调区间时，可直接解关于导数的不等式；（4）深刻理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，包括连个方面：导数的符号说明函数的单调性，某区间内，导数值为正，则函数为增函数；导数绝对值得大小反映了函数图象的变化速度，绝对值越大，函数图象越陡峭。

如这个题主要考查导数的基本运算以及应用导数解决函数的单调性，是一个简单题，可直接求解即可.1()ln ln 1f x x x x x'=+⨯=+，令()0f x '>可解得1x e>，所以函数的单调递增区间是1(,)e +∞.【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

——叶圣陶【精读·细化】1.用10分钟的时间阅读教材89～91页, 函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的几何意义与导数之间的联系呢？如果在某个区间恒有()f x '=0，那么函数有什么特征？细节提示:把握住单调性定义中y 的变化量与x 的变化量的比值与导数的定义之间的关系。

【提升·解决】1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等于零，则函数为常数函数.【关注·思考】2.阅读课本92～93页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.【提炼·发现】2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.（2007年广东文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 2007年广东省文科状元严俏华【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的应用知识点1 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.86.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】随着时间的变化，运动员离水面的【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【思考】导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】函数的单调性可简单的认为是:若2121()()f f x x xx-->0则函数f(x)为增函数.可把2121()()f f x x x x--看作y x∆∆=2121()()f f x x x x--.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>；（2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；而2()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。

教学设计5：3.3.1 利用导数判断函数的单调性

3.3.1 利用导数判断函数的单调性一、教学设计：内容和内容解析：该部分的内容主要讲述的是函数的单调性与导数之间的关系，为函数的单调性研究提供了一个更为便捷的方法.在学习本节课之前，学生在必修1的《函数性质》内容中学习了函数单调性的定义以及利用图像得出单调区间的方法，另外还学习了导数的几何意义就是函数图象上的点所在的切线斜率.在函数单调性定义中提到：在定义域中的某个区间内任取两个不相等的自变量12,x x ，通过求1()f x 与2()f x 的大小关系可以判断函数的单调性.同时注意到导数的定义中的描述：000()()'()limx x f x f x f x x x →-=-.将导数的定义结合1212()()0f x f x x x ->-时，()f x 为增函数； 1212()()0f x f x x x -<-时，()f x 为减函数.可以判定()f x 在某个区间上如果满足'()0f x >，则()f x 在该区间上为增函数；反之，如果'()0f x <，则()f x 在该区间上为减函数.另外，相比于利用单调性定义判定1()f x 与2()f x 的大小关系来确定函数单调性的繁琐运算，求导函数的过程要简洁许多，这就为学生判断一些相对比较复杂的函数的单调性提供一个有力的方法. 目标和目标解析： 1．知识与技能目标：（1）了解函数的单调性与导函数之间的关系；（2）能利用导数研究简单函数的单调性，并掌握原函数与导函数之间的关系；（3）掌握函数单调性的求法，用以解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标：（1）利用函数1()f x x x=+回顾单调性的定义和利用图象求单调区间的方法；（2）利用一个函数作为引入，让学生明确本节课学习之后将要达到的学习效果；（3）借助一个函数图象和几何画板让学生体验单调区间与导函数之间的关系；（4）利用所得的结论，让学生研究三个函数的单调区间；（5）利用三个函数图像，作出相应的原函数与导函数的图像草图，让学生体会原函数与导函数之间的图象联系；（6）利用引入中的例题，对本节课所学的内容进行应用并作适当的拓展、总结. 3．情感、态度与价值观目标：通过例题的设计培养学生的阅读与理解能力，在图象的研究中培养学生的观察能力，鼓励学生之间的相互协作，培养学生友善的社会主义核心价值观.教学过程例1：已知1()(0)f x x x x=+>，（1）用单调性的定义，求()f x 的单调递增区间；（2）作出()f x 的图象，并写出()f x 的单调区间.解：（1）任取120x x >>，则12()()f x f x -=121211()()x x x x +-+ 得121212121()()()()x x f x f x x x x x --=- 由120x x >>，得120x x ->，120x x >故当121x x >>时，1210x x ->恒成立得到12()()0f x f x -> 即()f x 在(1,)+∞上为增函数. （2）作出()f x 的图象如图所示，由图可得，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，减区间为(1,0)-，(0,1)例2：已知函数()f x 的图象如图所示，且'()f x 是()f x 的导函数.（1）写出()f x 的单调增区间；（2）在你所写出的单调增区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（3）写出()f x 的单调减区间；（4）在你所写出的单调减区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（5）结合切线的斜率与导数的关系，求'()0f x >与'()0f x <的解集；（6）观察单调区间与（5）的解集之间的关系，并总结单调区间和导函数之间的关系.解：（1）增区间是：(1,1)-；（2）增区间上的点所对应的切线斜率为正数；（3）减区间是：(,1),(1,)-∞-+∞；如果出于教学进度的考虑，教师可以直接用几何画板向学生演示()f x 图象中各个点的切线斜率特征，并给出相应的结论.但是这样只能使学生成为课堂教学的旁观者.通过让学生自己在纸上作出几条切线观察，进行归纳后与其他组员分享，能极大的提高学生课堂的参与度，即使自己不会也会被其他组员感染而参与研究.若其他同学与他有相同的结教师一条条的放映处题目，让学生依序解答每道题，切忌一次性将所有的问题投影出来，使学生产生畏难心理.然后观察学生的活动情况，根据学生的反应作出是否放映下一个问题的判断.同时对学生学习过程中存在的问题及时给予点拨.在学生得出猜想之后，教师再利用几何画板多次演示切点所在的单调区间对斜线斜率的符号的影响. 最后再总结函数的单调区间与导函数之间的关系，让学生对所给出的结论有更好的理解.学生通过阅读题目要求，对图象进行独立研究，将所得到的结果与其他组员分享，并根据所得结论的异同进行及时的纠正或讨论.学情预设：学生在此处会出现端点处作切线，得到导函数在单调区间上可以等于0的结论，对于这个问题可以放到后续的图象中一句话带过，教师不必纠缠.(1,)+∞；f x为增时，则()()x为减函：求下列函数的单调区间：教学实践心得《函数的单调性与导数》的教学价值的挖掘与思考导数部分的内容在高中数学教学中占据着举足轻重的地位，这从对导数时常作为压轴题进行考察就可见一斑.而在压轴题中时常都是以探究式的出题方式要求学生在摸索中找到解题的方法，这既要求学生对相关知识点有较为熟练的基本解题能力，还需要有较为扎实的探究问题的技能.这就要求在本阶段的教学绝对不能依靠以教师为主体的精英化教育时代留下的经验，用绝对量的题目和不断加大的题目难度进行教学，并要求学生如法炮制的在解题过程中应用.它可以综合应用高中阶段所有的知识点进行命题，同时内容本身的解题步骤就比较复杂，如果教师在课堂上以讲为主，时常会发现学生心不在焉，甚至在课堂上睡觉.那么应该用怎样的方法来启发学生对问题进行探究呢？在解答这个问题之前，先分析一下当前时代下人们学习方式的转变.在工业时代，人们的学习方式主要还是以口口相传或者经验传授的方式进行学习.而在网络时代，人们在学习的过程中更加注重主体参与、体验式的学习方式，因为所有的信息都能够信手拈来为我所用.那么面对杂乱无章的海量信息，教师更多的应该扮演引导者的角色，把探究过程中的操作步骤留给学生，让学生在合作探究的过程中慢慢去体会知识的形成与应用的过程.以软件为例，现在的软件首先会用step by step的方式对你进行指导，让你能够尽快了解软件的基本功能和操作方式.客户在了解了产品的基本功能之后，就可以在熟练操作的基础上对该软件的功能进行进一步的开发，另外对于复杂的软件则可以不断通过搜索引擎找到相关的案例进行手把手的操作，提升自我的应用能力，让软件更好的为我服务.这给导数的探究式教学提供了宝贵的借鉴.1．设置问题必须低起点.将导数应用在函数的研究中，学生之前从来没有使用过.所以在课程学习的最初阶段，教师应当努力维护学生对新鲜事物所拥有的本能的好奇，努力避免用复杂的问题瞬间将学生的学习热情扼杀在萌芽的状态.华罗庚先生曾经说过：“（数学教育）要尽可能的退，退到数学最本质的内容.”而这种“退”主要是要让学生能够在学习的最初阶段能够较好的抓住所学内容的本质.图象作为函数研究中的重要工具有着直观与便捷的特点，在《导数与函数单调性》的例题中先用图象作为探究的切入点，可以让学生直接开始对所给的图象作切线，尽可能靠近学生的“最近发展区”，可操作性比较强.2．一步一步引导最初学习.学生刚开始接触将导数作为方法研究函数的内容，教师不能要求学生一下就直接懂得探究的方法，应当对探究中的每一步都进行指点，让学生将自己的“最近发展区”在教师的指导下不断的向前推进并逐步形成自己的方法.另外结合心理学研究的结果：相比于耳朵听到的内容，眼睛看到的内容在记忆中留下的印象要更为深刻.教师可以在课堂的一开始将学生的基础定位定位尽可能低，以便于让尽可能多的学生能够参与到课堂的学习.3．便捷化的操作.操作越简单越能激起学习者的探究热情.在最初的引入阶段利用单调性的定义探究函数的单调性需要的步骤和技巧极多.而在学习导数的内容之后，学生可以对比两种解法，导数所具备的的明显的便捷性与普适性将会引导学生不断深入的学习下去.在得到导数与函数单调性的代数上的意义之后，紧接着又能够得到导数与函数单调性在图象上的相互关系. 4．建立学生智能的概念.学生是一个具有主观能动性的人，教师其实并不需要一开始就将复杂的题目向学生进行传授，而更应该回归到本源，将原本复杂的题目进行分解，让学生通过自主探究完成简单的问题，接着再慢慢的熟练掌握知识的内涵与作用.这时他就能对这些知识和技能进行重构，最终完成复杂的任务，这是大脑进行思考的基本顺序.所以在设置《导数和函数单调性》的问题时，在文字或者语言提示中不断的为学生铺路，尽可能让学生自主的解答学习过程中所存在的问题，不断挖掘知识的潜在价值，这甚至可以为后续的研究提供借鉴.当教师在后续的课程中设置同样的语言可以触发学生相同的思考，为后续的学习铺路.本节课由于是第一课时，所以教学的过程中依然停留在课堂内的学习.在网络化的时代，甚至可以鼓励学生在课堂上使用手机搜索自己存在的问题，还可以将自己在学习过程中的体会发布到网络上与其他同学进行分享，将课堂内的学习延伸到网络上，提高学生的学习乐趣和应用手机解决实际问题的能力.。

原创1：3.3.1 利用导数判断函数的单调性

数 f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．
(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、 “和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(2)中的单调减区间不能写成(0，π)∪32π，2π.
1－3x2<0，解得
x<－
33或
x>
3 3.
因此，函数
f(x)
的
单
调
减
区
间
为
－∞，－
3 3
，
33，＋∞.
(2)f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝ 2sinx＋4π＋1. 令 2sinx＋4π＋1>0，得 0<x<π 或32π<x<2π. 因此函数的单调增区间为(0，π)与32π，2π. 令 2sinx＋4π＋1<0，得 π<x<32π，因此函数的单调减区间为π，32π.
第三章导数及其应用
§3.3 导数的应用
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系； 2.能够利用导数研究函数的单调性； 3.会求函数的单调区间.
1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点) 2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点) 3.常与方程、不等式等结合命题.
题目类型三、由单调性求参数的取值范围
例3.若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围．
[题后感悟] (1)一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范围？
函数在区间[a，b] 上单调递增减
―→
f′x≥0f′x≤0在区间[a，b]上恒成立

函数的单调性课件

当 x = 4 , 或 x = 1时, ′ =0.
综上, 函数() 图象的大致形状如图所示.
反思感悟
函数图象与导函数图象之间的关系
研究一个函数的图象与其导函数图象之间关系时，注意抓住各自的关键要素.对
于原函数，要注意其图象在哪个区间内递增，在哪个区间内递减；对于导函数，
要注意其图象在哪个区间内大于0，在哪个区间内小于0，并分析这些区间与原
∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为(
3
3
, +∞)，单调递减区间为(0, ).
3
3
判断函数y＝f (x)的单调性
第1步：确定函数的定义域；
第2步：求出导数f ′(x)>0的解；
第3步：由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
一导数与函数图象间的关系
例1 已知导函数 ′ 的下列信息，试画出函数 () 的图象的大致形状.
解：f ′(x)=3 2 − 2 − 1, 令 ′() ≥ 0即3 2 − 2 − 1 ≥ 0
1
解得 ≤ − 或 ≥ 1
3
∴ 函数的单调增区间为 −∞， −
1
3
减区间为 − ，1
1
3
， 1， + ∞
三含参函数的单调性问题
试确定下列函数的单调减区间

（1）() = +
>0
②若a＞0，则由f ′(x)＝0，得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；

高中数学选修1课件1-3.3.1函数的单调性与导数

解析：方法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝a－1.
当 a－1≤1，即 a≤2 时，对于任意的 x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，即函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当 a－1＞1，即 a＞2 时，函数 f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞) 上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而 4≤a －1≤6，故 5≤a≤7. 综上，实数 a 的取值范围为[5,7]．
(3)要特别注意函数的定义域．
跟踪训练 2 求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x3－2x2＋x；
(3)y＝12x＋sin x，x∈(0，π)．
解析：(1)∵y＝(1－x)ex， ∴y′＝－xex，∴y′＞0 时 x＜0，y′＜0 时 x＞0， ∴函数 y＝(1－x)ex 的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)． (2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令 3x2－4x＋1＞0，得 x＞1 或 x＜13. ②令 3x2－4x＋1＜0，得13＜x＜1.
状元随笔
如图，函数 y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内 “平缓”．
说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
[小试身手]
1．已知函数 f(x)＝x3－3x2－9x，则函数 f(x)的单调递增区间是
状元随笔先求导数，再利用二次函数知识求 a.
3．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值

§3 函数的单调性

A.减少的
B.增加的
C.一定不单调
D.不确定
2．已知关于 x 的不等式 x2－x＋a－1≥0 在 R 上恒
成立，则实数 a 的取值范围是( D )
A.－∞，54
5

C.4，＋∞
B.－∞，54
5

D.4，＋∞
【解析】记 f(x)＝x2－x＋a－1，则原问题等价于二次
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)
x
y
图像在区间I逐渐上升ຫໍສະໝຸດ 区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内任意 x1,x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)
x
根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出函数在区间增加的定义.
函数在区间增加（或减少) 你能类比函数在区间增加的研究
是增函数. (×)
y
f(2)
f(1)
O 1 2x
【即时训练】
写出下列函数的单调区间：
y y=2x+1
y
y=(x-1)2-1
o
x
增区间为 (, )
y
y =x3
o1
-1
2x
增区间为 [1, )
减区间为 (,1]
o x 增区间为 (, )
例1 说出函数 f (x) 1 的单调区间，并指明在该区间
x)
|
2x

a
|
=
2x a, x 2x a,
a, 2
xa 2
,
函数f (x)的单调递增区间是[3,+)，

3.3.1单调性

例4 求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调区间.
例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间.
解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0.
即函数的单减区间为(-∞,0).
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
函数y=x2－4x＋3的图象： y
02
x
单增区间：（２，+∞）.
单减区间：(－∞，２).
例2：讨论函数 y

x

1
的单调性。
y
x
2
-1
01
-2
x
单增区间：(-∞，-1)和（1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和（0，1）.
那么如何求出下列函数的单调性呢?
(1) y x3 2x2 x;
a的取值范围为( A ) 3 3 3 3
(A)a>0
(B)–1<a<1
(C)a>1
(D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1
是( B )
(A)单调递增函数（B）单调递减函数 (C)部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
2
2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解: y 9x2 6x
9x2 6x 0, x 2 或x 0,单调增区间为(,0) ( 2 ,);
3
3
9x2 6x 0,0 x 2 ,单调减区间为(0, 2).