人教A版高中数学必修2《4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_20
人教版高中数学必修2《四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》公开课教案_14
4.3.1空间直角坐标系尊敬的各位老师：大家好！今天我说课的课题是《空间直角坐标系》第1课时。
我将以“先学后教”的思路，从教材分析、学情分析等五个方面来谈谈我对教材的理解。
一、教材分析：(一)地位和作用：《空间直角坐标系》是高中数学必修二第四章第三节内容。
本节是在学习完立体几何和直线与圆的方程后，又一重要的知识点，它是平面直角坐标系的进一步推广，是学生思维从二维到三维的过渡，与前面立体几何的内容前后呼应，更是后面运用空间向量解决立体几何问题的基础。
（二）三维目标分析1、知识目标：（1）掌握空间直角坐标系的有关概念，会由点的位置写出坐标，会由坐标描出点的位置。
（2）理解将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法。
2、能力目标：培养学生类比，化归，探究的能力和空间想象能力。
3、德育目标：通过学习的过程，培养学生合作精神和勤于思考、勇于创新的意识，让每个学生都获得自己力所能及的数学知识，增强学生的自信心。
（三）教学的重点和难点：1、教学重点：（1）空间直角坐标系的有关概念；（2）由点的位置写出点的坐标；（3）由点的坐标描出点的位置2、教学难点：（1）空间直角坐标系产生的过程；（2）如何建立恰当的坐标系来确定点的位置二、学情分析：优点：高一学生求知欲望强烈。
而且第一章学习了立体几何，有了一定的空间思维能力和方法；第四章研究了直线与圆的有关问题，已有了坐标系的基础。
缺点：高一学生的思维仍然停留在二维平面上。
根据《教学大纲》的要求和学生已有的知识基础和认知能力，我确定了以下三维教学目标和教学重难点：基于上面的学生知识基础和认知能力以及教材的特点，我对我的教法及学生的学法做一个分析。
三、教法学法分析：1、教法分析：（1）情境设置法：激发学生学习欲望。
（2）启发式教学法：突出学生的主体地位。
（3）小组合作法：提高学生的实践能力。
2、学法分析：（1）课前预习，先学后教。
课前布置学生用木棍做一小长方体，课前给出问题（如：什么是空间直角运用新知 解决新情布置作业 能力迁移坐标系？如何用空间直角坐标系来表示空间中一个点的位置？……），学生带着问题去预习，在预习的过程中发现问题，激发学生的求知欲望。
4.3.2空间两点间的距离公式人教A版高中数学必修2
A
)
空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公 式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点 间的距离的求解．设P(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 |P1P1|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12 ，当P1，P2两点落在 了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转 化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐 标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式.
练在 xOy 平面内的直线 x＋y＝1 上确定
一点 M，使它到点 N(6,5,1)的距离最小．
6 1.点 A(1,1,2)与点 B(0,-1,3)间的距离为__
2.若 A(4,－7,1),B(6,2,z),|AB|＝11,
－5或7 则 z＝________.
3．点 P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点， 设它关于 y 轴的对称点为 Q，则 PQ 的长为( A．2 5 C．3 2 B． 5 2 D． 2 3
2 2 2
例1 求证：以 A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3) 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
练在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点
A(1,0,2)与点 B(1，－3,1)的距离相等．
例2
在 yOz 平面上求与三个已知点 A(3,1,2)，
B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的坐标．
M( x1 , y1 , 0), N( x 2 , y 2 , 0)
O P1
x
2
y
N M
2
MN
( x1 x2 ) ( y1 y2 )
思考2:点P1、P2的距离如何计算？ z P2 P1 A O y N x M
数学人教A必修2 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
即 N（4,3,
5 ）. 2
数学 【备用例2】 (拔高)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,侧棱 AA1⊥底面ABC,建立适当坐标系写出各顶点的坐标. (1)求点A、B、C、D、A1、B1、C1、D1的坐标; (2)求点N的坐标.
解:取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1,可得 BO⊥AC,分别以 OB,OC,OO1 所在直线 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 因为三棱柱各棱长均为 2, 所以 OA=OC=1,OB= 3 , 可得 A(0,-1,0),B( 3 ,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2), B1( 3 ,0,2),C1(0,1,2).
对应.
2.在空间直角坐标系中横坐标为0的点在y轴上吗? 提示:不一定.横坐标为0的点一定在yOz平面内,横坐标、竖坐标全为0的 点在y轴上.
数学
【例 1】 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、 F 分别是 D1D、 BD 的中点,G 在棱 CD 上, 且 CG=
1 CD,H 为 C1G 的中点,试建立适当的坐标系,写出 E、F、G、H 的坐标. 4 解:建立如图所示的空间直角坐标系.点 E 在 z 轴上,它的横坐标、纵坐标
1.空间直角坐标系 如图,以正方体OABCD′A′B′C′为载体,以O为原点,分别以射线OA,OC, OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条数轴: x轴、y轴、z轴 ,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫
做 坐标原点 , x轴、y轴、z轴 叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫 做坐标平面,分别称为 xOy平面 、 yOz平面 、 zOx平面 ,通常建立的坐标 系为 右手直角坐标系 ,即 右手拇指 指向x轴的正方向, 食指 指向y轴的 正方向, 中指 指向z轴的正方向.
人教A版高中数学必修2《第四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_12
空间两点间的距离公式一．教材分析本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。
距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。
二．教学目标【知识与能力目标】理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。
【过程与方法目标】通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。
【情感态度价值观目标】培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。
三．教学重难点【教学重点】空间两点间的距离公式和它的简单应用。
【教学难点】空间两点间的距离公式的推导。
四．教学过程（一）导入部分我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？（二）研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）长方体的对角线及其长的计算公式①连接长方体两个顶点A ，C ′的线段AC ′称为长方体的对角线。
(如图)②如果长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，那么对角线长 .注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。
(②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
（2）两点间的距离公式空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离（ ） （ ） （ ）注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。
人教A版高中数学必修2《4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_10
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
人教A版高中数学必修二4.3.2 空间两点间的距离公式课件
1.点P(x , y , z) 在下列坐标平面
中的射影点为：
(1）在xoy平面射影点为 P1_____(x_,_y,_0_) _;
(2)在xoz平面射影点为 P2______(x_,0_,_z)_;
(3)在yoz平面射影点为 P3______(0_,_y,_z_) ;
z P2
P3
P(x,y,z)
O
方法一：过M点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。点P0在坐标系xOy中的坐
标x、y依次是P点的横坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P1在z轴
上的坐标z就是P点的竖坐标。
x
xＸ
z
z P1
1
•o
1
1
P点坐标为
•P
(x,y,z)
y Ｙ
y
•
P0
方法二：过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴 的交点分别为P、Q、R，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z) 就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
y
P1 x
2.点P(x , y , z) 关于坐标平面的对称点：
（1）关于xoy平面对称的点P1为_（_x_，_y_，_-_z）___; （2）关于yoz平面对称的点P2为_（_-_x，__y，__z）___; （3）关于xoz平面对称的点P3为_（_x_，__-y_，__z）__;
z
P(x,y,z)
O
y
x
探究3：空间两点间的距离公式
平面直角坐标系
平面上两点间的距离公式是什么？
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
高中数学 4.3.2 空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
(0,1,1),D1(0,0,1).∴
E(0, 0, 1), F(1 , 1 , 0),G(1,1, 1)
2 22
2
规律技巧:点的空间坐标为该点在坐标轴上的投影在这个坐
标轴上的坐标.
变式训练1:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,各棱长均为a,底面 为正方形,PO⊥底面ABCD,建立适当的坐标系,写出各顶点的 坐标.
2.空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数 组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 ___(_x_,y_,z_)___,其中x叫做点M的___横__坐__标___,y叫做点M的 ___纵__坐__标___,z叫做点M的___竖__坐__标___. 3.空间直角坐标系中的两点间距离公
题型三 两点间距离公式的应用 例3:已知A(1,2,-1),B(2,0,2),在xOz平面内的点M到A与B等距
离,求M点的轨迹. 分析:在xOz平面上点的坐标的特点是y=0,因此点M(x,0,z),代
入两点间距离公式化简得解.
解:设M(x,0,z)为所求轨迹上任一点,则有
(x 1)2 (2)2 (z 1)2 (x 2)2 02 (z 2)2
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①错,②,③,④正确.因此应选C.
答案:C
2.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是
()
A.(-2,1,-4)
B.(-2,-1,-4)
C.(2,-1,4)
D.(2,1,-4)
解析:点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为(x,-y,-z).
所以(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).
整理,得x+3z-1=0. ∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线,其方程为x+3z-1=0. 规律技巧:动点M的轨迹与轨迹方程是两个不同的概念.轨迹
新课必修二4.3.2空间两点间的距离公式
y
P
1
o
x
P
2
空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z
C
0 xA
P(x,y,z) By
|OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z|
从立体几何可知，|OP| 2 =|OA| 2 +|OB| 2 +|OC| 2
| P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
z
P1(x )
x
y
例三 已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，1，4），求证其连线组成的三角形为直角三角形。 利用两点间距离公式，由
| AB | 89,| AC | 75,| BC | 14
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
随堂练习
1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则 线段AB的长为（ A）
A.4 3
B.2 3
C.4 2
D.3 2
2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射 影，则OB等于（ B ）
A. 14
B. 13
C.2 3
D. 11
P1 (x1,y1,z1)
S1
O
Q1
R1
x
y
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2| |P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2 | P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
高中数学人教A版必修二4.3.2 空间两点间的距离公式
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x 2 2 2 3 2 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2, PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
小结
• 空间两点间的距离公式：
• 点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公式：
问题解决
1、在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4) C(0,2,0)
B(1,0,5) D(1,3,4)
A B
D C
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
z
P1
P2
O
y
x
P1P2 MN x1 x2 2 y1 y2 2
思考9:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2
的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考10:在上述图形背景下，点P1（x1，y1，z1）与P2 （x2，y2，z2）之间的距离是
它对任意两点P1、P2都成立吗？
z
O
P
y
x
2019年数学人教A必修二4.3 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
【解】 (1)设点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点为 P′， 则点 P′ 在 x 轴上的坐标及在 y 轴上的坐标与点 P 在 x 轴上的坐标及 在 y 轴上的坐标相同，而点 P′在 z 轴上的坐标与点 P 在 z 轴 上的坐标互为相反数． 所以，点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点 P′的坐标为(2，3， 1)． 同理，点 P 关于 yOz，zOx 坐标平面的对称点的坐标分别为 (－2，3，－1)，(2，－3，－1)．
因为点 B′在 xOy 平面上的射影是 B，它的横坐标与纵坐标与 点 B 的横坐标与纵坐标均相同，点 B′在 z 轴上的射影是 O′， 它的竖坐标与点 O′的竖坐标相同，而点 O′的竖坐标为 3， 所以点 B′的坐标是(1，2，3)． 同理得 A′(1，0，3)，A(1，0，0)． 因为点 P 与 z 轴的正半轴在 xOy 平面的同侧， 所以点 P 的竖坐标是 3. 又点 P 在 xOy 所以点 P
■名师点拔 (1)画空间直角坐标系的注意事项 ①x 轴与 y 轴成 135°角，y 轴与 z 轴成 90°角； ②y 轴和 z 轴的单位长度应相等，x 轴上的单位长度则等于 y 轴的一半(xOy 平面适用斜二测画法)； ③每两条坐标系确定的平面两两垂直． (2)空间线段的中点坐标 设 M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段 MN 的中点 P
解：因为点 C 在 y 轴上，且|OC|＝2， 它的纵坐标为 2，它的横坐标 x 与竖坐标 z 都是 0， 所以点 C 的坐标为(0，2，0)． 所以点 C′在 yOz 平面上，C′在 z 轴和 y 轴上的射影分别为 O′ 和 C， 且|OO′|＝3，|OC|＝2， 所以点 C′的坐标为(0，2，3)． 所以点 B 的坐标为(1，2，0)． 所以点 B 在 xOy 平面上， 点 B 在 x 轴和 y 轴上的射影分别为 A 和 C，
数学：432《空间两点间的距离公式》课件新人教A版必修2
通过中点坐标公式，可以方便地找到线段的中点，进而用于 计算线段的长度、确定平行线间的距离、进行向量加法运算 等。
中点坐标计算实例
总结词
通过具体的例子，演示如何使用中点坐标公式进行计算。
详细描述
例如，已知线段两端点A(1,2)和B(4,5)，使用中点坐标公式可以计算出中点M的 坐标为(2.5,3.5)。
CHAPTER 04
空间中线段的斜率与方向向量
斜率与方向向量的关系
斜率是描述线段在空间中倾斜程度的 数值，而方向向量则表示线段的方向 。
在三维空间中，线段的斜率与方向向 量之间的关系可以用数学公式表示， 为研究空间几何提供了重要的理论基 础。
斜率与方向向量的关系密切，斜率可 以通过方向向量计算得出，反之亦然 。
公式
如果点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)是空间中的两点，那么它们之 间的距离d可以通过以下公式计算 ：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2y1)^2 + (z2-z1)^2]。
公式推导过程
利用勾股定理推导
通过勾股定理，我们可以推导出空间两 点间的距离公式。设线段AB为两点间的 距离，过点A和B分别作垂直于线段AB的 两个平面，分别交线段AB于点C和D。利 用勾股定理，我们可以得到AC^2 + CD^2 = AD^2，其中AC和CD分别是点 A到平面BCD的距离和平面BCD到点D的 距离，AD是线段AB的长度。通过这个等 式，我们可以推导出空间两点间的距离 公式。
线段长度与时间的关系
在物理学中，物体的运动轨迹可以表示为线段，线段的长度与物体 运动的时间有关。
线段长度与速度的关系
在物理学中，物体的运动速度可以表示为线段长度与时间的比值， 即线段长度与速度有关。
人教A版必修2数学第四章4. 空间两点间的距离公式 课件
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
解：设点 P(x，y，z)为满足条件的任一点， 则由题意，得|PA|＝ x－22＋y－32＋z－02， |PB|＝ x－52＋y－12＋z－02. ∵|PA |＝|PB|， ∴6x－4y－13＝0 为所求点所满足的条件.
人教Ａ版必修２数学第四章4. 空间两点间的距离公式 课件
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【例 4】 给定空间直角坐标系，在 x 轴上找一点 P，使它 与点 P0(4,1,2)的距离为 30.
解：设点 P 的坐标是(x,0,0)， 由题意，得|P0P|＝ 30， 即 x－42＋12＋22＝ 30， ∴(x－4)2＝25，解得 x＝9 或 x＝－1. ∴点 P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0).
人教Ａ版必修２数学第四章4. 空间两点间的距离公式 课件
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
高中数学4.3空间直角坐标系课件新人教a必修2
1．点 P(1,4，－3)与点 Q(3，－2,5)的中点坐标是 导学号 09025061 ( C )
设点P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则
对称轴(或中心或平面)
点P的对称点坐标
原点
(－a，－b，－c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy平面
(a，b，－c)
yOz平面
(－a，b，c)
xOz平面 关于谁谁不变，其它变相反
(a，－b，c)
3．空间两点间的距离公式
平 面 上 任 意 两 点 A(x1 ， y1) 、 B(x2 ， y2) 之 间 的 距 离 公 式 |AB| ＝ x1－x22＋y1－y22，那么空间中任意两点 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)之间的距 离公式是怎样的呢？
1．空间直角坐标系
定义
以空间中两两___垂__直_____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y
『规律方法』 确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作 PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作 MB⊥y轴于点B；③设P(x，y，z)，则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|.当点A、B、 C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在 x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时， 则x、y、z的值为0.
高中数学 4.3-4.3.2空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
跟 踪 训 练
解析：|AB|＝ 4－12＋2＋22＋3－112＝ 89， |BC|＝ 6－42＋－1－22＋4－32＝ 14， |AC|＝ 6－12＋－1＋22＋4－112＝ 75. ∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2， ∴△ABC 为直角三角形． 答案：C
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题型二
空间两点距离公式的应用
例 2 已知 A(x,5 － x,2x － 1) ， B(1 ， x ＋ 2,2 － x) ，求 |AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|.
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解析：由空间两点间的距离公式得|AB|＝ 1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2 ＝ 14x －32x＋19＝
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解析： x－22＋y－12＋z－42＝5， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.点 P 的集合 是以(2,1,4)为球心，半径为 5 的球面．
自 测 自 评
1．坐标原点到下列各点的距离最小的是( A．(1,1,1) B．(1,2,2) C．(2，－3,5) D．(3,0,4)
第四章
圆与方程
4.3 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式
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掌握空间两点间的距离公式，灵活运用公式，初步 建立将空间问题向平面问题转化的思想意识．
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基 础 梳 理
1．Байду номын сангаас空间中，点 P(x，y，z)到坐标原点 O 的距离|OP|＝
2 2 2 x ＋ y ＋ z ____________.
练习 1 ： 点 M(4 ，－ 3,5) 到坐标原点 O(0,0,0) 的距离为 ________．
人教A版高中数学必修2《第四章 圆与方程 4.3空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式》_9
4.3.2 空间两点间的距离公式[学习目标] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式.1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .②相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z ).其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.知识点二 空间两点间的距离1.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P (x ，y ，z )到坐标原点O 的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2.(2)在空间中，P 1(x 1，y 1，z 1)与P 2(x 2，y 2，z 2)的距离|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.2.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.题型一 求空间中点的坐标例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标.解 如图，过点M 作MM 1⊥BC 于点M 1，连接DM 1，取DM 1的中点N 1，连接NN 1.由|BM |＝2|MC1|，知|MM 1|＝23|CC 1|＝23， |M 1C |＝13|BC |＝13. 因为M 1M ∥DD 1，所以M 1M 与z 轴平行，点M 1与点M 的横坐标、纵坐标相同，点M 的竖坐标为23，所以M ⎝⎛⎭⎫13，1，23. 由N 1为DM 1的中点，知N 1⎝⎛⎭⎫16，12，0.因为N 1N 与z 轴平行，且|N 1N |＝|M 1M |＋|DD 1|2＝56， 所以N ⎝⎛⎭⎫16，12，56.反思与感悟 建立空间直角坐标系的技巧(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 跟踪训练1 如图所示，在单位正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，M 是B 1B 的中点，N 是CC 1的中点，AP ＝2P A 1，Q 是OA 反向延长线上的一点，且OA ＝2OQ ，求点B ，C ，A 1，O 1，B 1，C 1，M ，N ，P ，Q 的坐标.解 由于点B 在xOy 平面内，竖坐标为0，∴B 点坐标为(1,1,0).C 点在y 轴上且OC ＝1，横坐标、竖坐标均为0，∴C 点坐标为(0,1,0)，A 1点在xOz 平面内，纵坐标为0，∴A 1点的坐标为(1,0,1)，O 1点在z 轴上，且OO 1＝1，∴O 1点的坐标为(0,0,1).B 1点所在平面A 1B 1C 1O 1与xOy 平面平行，竖坐标为1，∴B 1点的坐标为(1,1,1).C 1点在yOz 平面内，横坐标为0，纵坐标为1，∴C 1点的坐标为(0,1,1).同理得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. N 点为CC 1的中点，∴其横坐标为0，竖坐标为12， ∴N 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，1，12. 同理可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，0，23， Q 点坐标为(－12，0,0). 题型二 求空间中对称点的坐标例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4).(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标；(2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标.解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4).(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4).(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12).反思与感悟 任意一点P (x ，y ，z )，关于原点对称的点是P 1(－x ，－y ，－z )；关于x 轴(横轴)对称的点是P 2(x ，－y ，－z )；关于y 轴(纵轴)对称的点是P 3(－x ，y ，－z )；关于z 轴(竖轴)对称的点是P 4(－x ，－y ，z )；关于xOy 平面对称的点是P 5(x ，y ，－z )；关于yOz 平面对称的点是P 6(－x ，y ，z )；关于xOz 平面对称的点是P 7(x ，－y ，z ).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆. 跟踪训练2 求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标.解 如图所示，过点A 作AM ⊥坐标平面xOy 交平面于点M ，并延长到点C ，使AM ＝CM ，则点A 与点C 关于坐标平面xOy 对称，且点C (1,2,1).过点A 作AN ⊥x 轴于点N 并延长到点B ，使AN ＝NB ，则点A 与B 关于x 轴对称且点B (1，－2,1).∴点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点为C (1,2,1)；点A (1,2，－1)关于x 轴对称的点为B (1，－2,1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)题型三 空间中两点之间的距离例3 已知△ABC 的三个顶点A (1,5,2)，B (2,3,4)，C (3,1,5).(1)求△ABC 中最短边的边长；(2)求AC 边上中线的长度.解 (1)由空间两点间距离公式得|AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝ (2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29，∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为 (2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫4－722＝12. 反思与感悟 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，1.由空间两点间的距离公式，得|AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62， |B 1P |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＋(1－1)2＝22， |AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝ 2.所以|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，所以AP ⊥B 1P .转化思想例4 已知正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动.若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2).(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短.分析 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直.因此可以通过建立空间直角坐标系，先利用空间两点间的距离公式把|MN |表示为参数a 的函数，再利用函数求最值.解 取B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内，且在正方形ABCD的对角线上，所以M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a . 因为点N 在坐标平面xBy 内，且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0. (1)由空间两点间的距离公式，得|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为a 2－2a ＋1.(2)由(1)，得|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12. 当a ＝22(满足0＜a ＜2)时， ⎝⎛⎭⎫a －222＋12取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22. 解后反思 由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此可建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题求解.利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 长度的最小值.建系选取位置错误例5 已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有的棱长都是1，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当的坐标系，并写出各顶点的坐标.分析 由于所有棱长都是1，则△ABC 是等边三角形，而AA 1垂直于底面，因此可选取适当位置建系.解 如图，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为1，所以|OA |＝|OC |＝|O 1C 1|＝|O 1A 1|＝12，|OB |＝32. 因为点A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0. 又因为点A 1，C 1，在yOz 平面内，所以A 1(0，－12，1)，C 1(0，12，1). 又因为点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且|BB 1|＝1，所以B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1. 所以各顶点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎫0，－12，1，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1. 解后反思 在此题中易出现以点A 作为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立坐标系，由于∠BAC ≠90°，故这种建系的方法是错误的.建系时应该选取从一点出发的三条两两垂直的直线作为坐标轴.。
2019年数学人教A必修二4.3 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式 Word版含解析
[学生用书P143(单独成册)])[A基础达标]1．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为()A．(0，0，3)B．(0，2，3)C．(1，3，0) D．(1，2，0)解析：选D．由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．2．设y∈R，则点P(1，y，2)构成的集合为()A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面解析：选A．由空间直角坐标的意义，易知点P(1，y，2)(y∈R)构成的集合为垂直于xOz 平面的一条直线．3．已知空间中点A(1，3，5)，C(1，3，－5)，点A与点B关于x轴对称，则点B与点C的对称关系是()A．关于平面xOy对称B．关于平面yOz对称C．关于y轴对称D．关于平面xOz对称解析：选D．因为点(x，y，z)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y，－z)，所以B(1，－3，－5)，与点C的坐标比较，知横坐标、竖坐标分别对应相同，纵坐标互为相反数，所以点B 与点C关于平面xOz对称，故选D．4．已知A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(2，0，1)，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上均有可能解析：选A．由两点间的距离公式，得|AB|＝2，|BC|＝3，|AC|＝1，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为直角三角形．5．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则对角线|AC1|的长为()A．9 B．29C．5 D．2 6解析：选B．由已知，可得C1(0，2，3)，所以|AC1|＝（0－4）2＋（2－0）2＋（3－0）2＝29.6．在空间直角坐标系中，点M (－2，4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2，0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2，0，3)．答案：(2，0，3)．7．如图，正方体AOCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为____________．解析：因为D (2，－2，0)，C ′(0，－2，2)，所以线段DC ′的中点M 的坐标为(1，－2，1)，所以点M 关于y 轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．答案：(－1，－2，－1)8．已知点P (32，52，z )到线段AB 中点的距离为3，其中A (3，5，－7)，B (－2，4，3)，则z ＝________．解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为(12，92，－2)．又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以（32－12）2＋（52－92）2＋[z －（－2）]2＝3，解得z ＝0或－4. 答案：0或－49.如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，|P A |＝|AC |＝12|AB |＝4，N 为AB 上一点，|AN |＝14|AB |，M 、S 分别为PB 、BC 的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M 、N 、S 的坐标．解：由线面垂直的性质可知AB 、AC 、AP 三条线段两两垂直，如图，分别以A 为坐标原点，以AB 、AC 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (8，0，0)，C (0，4，0)，P (0，0，4)，因为M 、S 分别为PB 、BC 的中点，由中点坐标公式可得，M (4，0，2)，S (4，2，0)．因为N 在x 轴上，|AN |＝14|AB |，所以|AN |＝2，所以N (2，0，0)．10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 点的坐标．解：如图所示，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．因为点E 在z 轴上，E 为DD 1的中点，故E 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，12. 过点F 作FM ⊥AD 于点M ，FN ⊥DC 于点N ， 由平面几何知识知|FM |＝12，|FN |＝12，故F 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 点G 在y 轴上，又|GD |＝34，所以G 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0. 过H 作HK ⊥CD 于点K .因为H 为C 1G 的中点，所以K 为CG 的中点， 所以|DK |＝78，|HK |＝12.故H 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12. 所以E ，F ，G ，H 四点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫0，0，12，⎝⎛⎭⎫12，12，0，⎝⎛⎭⎫0，34，0，⎝⎛⎭⎫0，78，12.[B 能力提升]11．一束光线自点P (1，1，1)出发，被xOy 平面反射到达点Q (3，3，6)被吸收，那么光线所经过的距离是( )A ．37B ．33C ．47D ．57解析：选D ．P 关于xOy 平面对称的点为P ′(1，1，－1)，则光线所经过的距离为 |P ′Q |＝（3－1）2＋（3－1）2＋（6＋1）2＝57.12．三棱锥P -ABC 各顶点的坐标分别为A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，3)，则三棱锥P -ABC 的体积为________．解析：由A ，B ，C ，P 四点的坐标，知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC ，P A ⊥底面ABC ．由空间两点间的距离公式，得|AB |＝1，|AC |＝2，|P A |＝3，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13×12×1×2×3＝1.答案：113．在空间直角坐标系中，已知A (3，0，1)和B (1，0，－3)，试问： (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标． 解：(1)假设在y 轴上存在点M ，使得|MA |＝|MB |. 因为M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y ，0)． 由|MA |＝|MB |，得32＋（－y ）2＋12＝12＋（－y ）2＋（－3）2， 显然，此式对任意的y ∈R 恒成立， 说明y 轴上所有的点都满足|MA |＝|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形． 由(1)，知y 轴上任意一点都有|MA |＝|MB |，所以只要满足|MA |＝|AB |，就可以使得△MAB 是等边三角形． 因为|MA |＝32＋（－y ）2＋12＝10＋y 2，|AB |＝（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2＝20， 所以10＋y 2＝20，解得y ＝±10，所以在y 轴上存在点M ，使得△MAB 为等边三角形， 符合题意的点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．14．(选做题)已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小．解：(1)因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂平面ABEF ，所以BE ⊥平面ABCD ． 所以AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB ．因为|CM |＝|BN |＝a ，所以|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ，所以以B 为坐标原点，以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.所以|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝ a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12(0<a <2)．(2)因为|MN |＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12(0<a <2)，故当a ＝22时，|MN |min ＝22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点．。
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4.3.2空间两点间的距离公式
一、教学目标
掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算或证明.通过探究空间两点间的距离公式的，培养学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学建模能力，使学生认识到新公式产生的过程和根源。
二、教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式及应用
难点：空间两点间的距离公式的推导
三、教学设计
2. 思考：在空间直角坐标系中，方程
r z y x 2222=++（r 为定长）表示什么图形？ 3.如果是空间中任意两点
),,(),,,(22221111z y x P z y x P ，它们之间的距
离公式是怎样呢？。