中考专题几何综合之旋转专题

合集下载

专题29 旋转-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)

专题29 旋转【知识要点】知识点一旋转的基础旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，叫作图形的旋转.点O 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点P 经过旋转变化点P '，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.如图所示，A OB ''∆是AOB ∆绕定点O 逆时针旋转45︒得到的，其中点A 与点A '叫作对应点，线段OB 与线段OB '叫作对应线段，OAB ∠与OA B '∠叫作对应角，点O 叫作旋转中心，AOA '∠（或BOB '∠）的度数叫作旋转的角度. 【注意】1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。

【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角. 旋转的特征：➢ 对应点到旋转中心的距离相等；➢ 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ➢ 旋转前、后的图形全等. 旋转作图的步骤方法：➢ 确定旋转中心、旋转方向、旋转角； ➢ 找出图形上的关键点；➢ 连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点； ➢ 按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形. 平移、旋转、轴对称之间的联系：变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。

平移、旋转、轴对称之间的区别： 1）变化方式不同：平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。

旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。

A轴对称：将一个图形沿一条直线对折。

2）对应线段、对应角之间的关系不同平移：变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。

旋转：变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。

轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。

3）确定条件不同平移：距离与方向旋转：旋转的三要素。

【复习专题】中考数学复习：几何综合题

几何综合题（旋转为主的题型）一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1 已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△APC和正△BPD ，AD 和BC 交于点M.（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数；（2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.例2 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD ”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..例3 已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．DCB AEMMEABCD图1 图2例4 在ABCD 中，A DBC ∠=∠，过点D 作DE DF =，且EDF ABD =∠，连接EF ，EC ，N 、P 分别为EC ，BC 的中点，连接NP . （1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及ABD ∠与MNP ∠满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.五、演练方阵A 档（巩固专练）1．（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证： BE = AD .（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CPA =60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .2. 已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB 的大小.3. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ．（1）当∠ADN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由；（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．4. 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．图2AFAB 图1C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A5. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.6. 如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动．（1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为 __；（2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出11CD DD = _________；（3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．B 档（提升精练）1. 如图，△ABC 中，∠90ACB =︒, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ．（1）如图24-1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转︒60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为（直接写出结论）；（2）如图24-2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,求ADQ ∠的度数；（3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．2. 如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD ⊥CF 成立．（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD ⊥CF ； ②当AB=4，AD=时，求线段BG 的长．3. 已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，︒=∠=∠90COD AOB ．（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α (︒<<︒900α)．连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点．请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．4. 在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转．（1）当点O 为AC 中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC ，求OE OF的值．5. 如图1，四边形ABCD ，将顶点为A 的角绕着顶点A 顺时针旋转，若角的一条边与DC 的延长线交于点F ，角的另一条边与CB 的延长线交于点E ，连接EF ．（1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF －BE ．请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图3，如果四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．C 档（跨越导练）1. 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）如图1，当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当M A N ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．2. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线ACBD 相交于O .（1）如图1，设 E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且∠EOF =90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设 E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF =45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明.3. 问题：如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数为，点E落在，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为；（2）当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．4. 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。

中考数学解答题压轴题突破重难点突破八几何综合题类型六：旋转在几何综合题中的应用

(2)证明：BE＝AH＋DF.
(2)证明：将△ABH绕着点B顺时针旋转90° 得到△BCM，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF＝∠C， ∵AF∥BE，∴∠F＝∠BEC，∴△ADF≌△BCE(AAS)， ∴DF＝CE.又由旋转可知AH＝CM，∠AHB＝∠M，∠BAH＝∠BCM＝90°， ∵∠BCD＝90°，∴∠BCD＋∠BCM＝180°， ∴点E，C，M在同一直线．∴AH＋DF＝EC＋CM＝EM.
类型六：旋转在几何综合题中的应用
模型一：旋转构造基本图形【解题方法模型构建】若题干中出现“共顶点、等线段(相邻等线段)”这一特征．常考虑构造旋转，通过旋转可以将线段转移，将已知条件集中，从而解决问题．
1．遇60°旋转60°，构造等边三角形(等边三角形旋转模型)．
通过旋转可将线段AP，BP，CP转移在同一个三角形中(△CPP′)．注：根据“旋转的相互性”也可绕A点旋转△APC，或绕B，C点旋转相应三角形(还有5种构造方法)．
模型二：旋转构造模型【解题方法模型构建】 1．如图，在△OAB中，OA＝OB，在△OCD中，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝
α，将△OCD绕点O旋转一定角度后，连接AC，BD，相交于点E.简记为：双等腰，共顶点，顶角相等，旋转得全等．
【结论】(1)△AOC≌△BOD(SAS)； (2)AC＝BD； (3)两条拉手线AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补．
【结论】△ABD≌△AEC；△ABE∽△ADC.
2．请阅读下列材料：问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ 3 ，PC＝ 1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形 (如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，∴∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠ AP′B＝150°，进而求出等边角形ABC的边长为 7，问题得到解决．

初中数学中考冲刺必备(旋转几个类型题)

初中数学中考冲刺必备(旋转几个类型题)
几何图形变换包括平移、旋转和翻折三种基本变换。

这些变换是根据确定的法则对给定的图形进行位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

在这些变换中，旋转是其中一种基本变换。

旋转是指根据确定的旋转中心和旋转角度，将图形绕旋转中心旋转一定角度，得到新的图形。

在初中数学中考中，常见的旋转图形有三种类型：正三角形、正方形和等腰直角三角形。

对于正三角形类型的旋转题目，一般要求根据旋转角度和旋转中心，求出图形中某些线段的长度或角度。

例如，在正三角形ABC中，如果将ΔABP绕A点逆时针旋转60°，使得
AB与AC重合，那么需要求∠APB的度数。

对于正方形类型的旋转题目，一般要求根据旋转角度和旋转中心，求出正方形的面积或其他相关的线段长度或角度。

例如，在正方形ABCD中，如果将ΔABP绕B点顺时针旋转90°，使得BA与BC重合，那么需要求正方形ABCD的面积。

对于等腰直角三角形类型的旋转题目，一般要求根据旋转角度和旋转中心，求出图形中某些线段的长度或角度。

例如，在等腰直角三角形ABC中，如果将ΔAPC绕C点逆时针旋转90°，使得AC与BC重合，那么需要求∠___的度数。

通过以上三种类型的旋转题目的练，可以帮助学生更好地理解几何图形变换，提高他们的几何图形变换能力。

初中几何旋转经典例题

初中几何旋转经典例题【最新版】目录1.初中几何旋转的概念和基本原理2.旋转变换的性质和应用3.经典例题解析3.1 正三角形类型的旋转3.2 正方形类型的旋转3.3 平移、旋转、轴对称的易错题型整理正文初中几何旋转经典例题初中几何中的旋转是一种重要的变换方式，它不仅可以帮助我们更好地理解图形的性质，还能在解决实际问题中发挥关键作用。

本文将围绕初中几何旋转的概念、性质和应用，以及经典例题进行讲解。

一、初中几何旋转的概念和基本原理旋转是指将一个图形围绕某一点按某个方向转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转。

旋转时，旋转中心不变，旋转角度也不变。

根据旋转的方向和角度，旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转。

二、旋转变换的性质和应用旋转变换具有以下性质：1.旋转变换不改变图形的大小和形状。

2.旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的方向。

3.旋转变换可以用来简化问题，将复杂的图形变为简单的图形。

4.旋转变换在实际问题中有广泛的应用，如计算旋转体的表面积和体积等。

三、经典例题解析1.正三角形类型的旋转【例 1】如图（1-1），设 p 是等边 abc 内的一点，pa=3，pb=4，pc=5，apb 的度数是 60°。

将 abp 绕 a 点按逆时针方向旋转 60°，使得 ab 与 ac 重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的 pa、pb、pc 三条线段集中于图（1-1-b）中的一个 p"cp 中，此时 p"ap 也为正三角形。

2.正方形类型的旋转【例 2】如图，以点 O 为旋转中心将正方形 AMNB 顺时针旋转 90°，得到三角形 ANG。

连接 GN，易得∠GBC=90°，∠MGN=∠ANG=45°，∠MGB=∠ANC=90°，所以三角形 AMN 全等于三角形 ANG，所以 GN=MN，又因为∠GMB=90°，所以 MN>BN，所以 MN 最大，能构成直角三角形。

备战中考数学综合题专题复习【初中数学旋转】专题解析含答案解析

备战中考数学综合题专题复习【初中数学旋转】专题解析含答案解析一、旋转1．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O （0，0），点A （5，0），点B （0，3）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ． ①求证△ADB ≌△AOB ； ②求点H 的坐标．（3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为△KDE 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D （1，3）；（2）①详见解析；②H （175，3）；（3）303344-≤S ≤303344+．【解析】【分析】（1）如图①，在Rt △ACD 中求出CD 即可解决问题；（2）①根据HL 证明即可；②，设AH=BH=m ，则HC=BC-BH=5-m ，在Rt △AHC 中，根据AH 2=HC 2+AC 2，构建方程求出m 即可解决问题；（3）如图③中，当点D 在线段BK 上时，△DEK 的面积最小，当点D 在BA 的延长线上时，△D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A （5，0），B （0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD=22AD AC-=4，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（34）30334-当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（5+342）=303344+．综上所述，303344-≤S≤303344+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(222)或(222)，AM的最大值为2+4．【解析】【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标．【详解】(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，故答案为CB的延长线上，a+b；(2)①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，AD ABCAD EAB AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD≌△EAB(SAS)，∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5；(3)如图1，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，∴OA＝2，OB＝6，∴AB＝4，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝2AP＝22，∴最大值为22+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣4﹣2＝2﹣2，∴P(2﹣2，2)．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P(222)时，也满足条件．综上所述，满足条件的点P坐标(222)或(222)，AM的最大值为2+4．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．【解析】【分析】（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD ， ∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△DOE ≌△BOF ， ∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ， ∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ， ∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．②∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠EBD ， ∵EB ＝ED ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∴∠ABD ＝2∠ADB ， ∵∠ABD +∠ADB ＝90°， ∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°， ∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°， ∴∠EBF ＝60°．（2）结论：IH＝3FH ．理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°， ∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ， ∴∠JDH ＝∠FGH ，在△DHJ 和△GHF 中，DHG GHF DH GHJDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△DHJ ≌△GHF ， ∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ， ∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ， ∴BE ＝IM ＝BF ， ∵∠MEJ ＝∠B ＝60°， ∴△MEJ 是等边三角形， ∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60° 在△BIF 和△MJI 中，BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△BIF ≌△MJI ，∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ， ∴IH ⊥JF ，∵∠BFI +∠BIF ＝120°，∴∠MIJ +∠BIF ＝120°， ∴∠JIF ＝60°， ∴△JIF 是等边三角形，在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°， ∴∠FIH ＝30°， ∴IH＝3FH ．（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，∵∠FAD +∠DEF ＝90°， ∴AFED 四点共圆，∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴∠ADF +∠EDC ＝45°， ∵∠ADF ＝∠CDM ，∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，在△DEM 和△DEG 中，DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△DEG ≌△DEM ， ∴GE ＝EM ，∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ， ∴∠ECM ＝90° ∴EC 2+CM 2＝EM 2， ∵EG ＝EM ，AG ＝CM ， ∴GE 2＝AG 2+CE 2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.4．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3）55；（4）BD=101143．【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CECB CA=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可．试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =12n ．故答案为90°，12n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m．故答案为nm．（2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC nCE AC m==，∴△ACE ∽△BCD ，∴BD BC nAE AC m==．（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴BD BCAE AC=，∴35=810，∴BD =125．故答案为125．（4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =22AM ME +=57，由（2）可知DB AE =223，∴BD =2114．故答案为210或2114．点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．5．（探索发现）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的：（1）请参考小明的思路写出证明过程；（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________；（理解运用）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D .将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC ，交于点G .（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；（拓展迁移）（4）在（3）的前提下，如图，将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，连接MB ，若6AD =，2BD =，求MB 的长.【答案】（1）详见解析；（2）CD CF AC +=；（3）四边形ADGF 是正方形；（4）13【解析】【分析】（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE ，则四边形ABCE 是菱形；（2）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；（4）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论．【详解】（1）证明：∵ABC ∆是等边三角形，∴AB BC AC ==.∵ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，∴60CAE =︒，AC AE =.∴ACE ∆是等边三角形.∴AC AE CE ==.∴AB BC CE AE ===.∴四边形ABCE 是菱形.（2）线段DC ，CF ，AC 之间的数量关系：CD CF AC +=.（3）四边形ADGF 是正方形.理由如下：∵Rt ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，∴AF AD =，90DAF ∠=︒.∵AD BC ⊥，∴90ADC DAF F ∠=∠=∠=︒.∴四边形ADGF 是矩形.∵AF AD =，∴四边形ADGF 是正方形.（4）如图，连接DE .∵四边形ADGF 是正方形，∴6DG FG AD AF ====.∵ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，∴BAD EAF ∠=∠，2BD EF ==，∴624EG FG EF =-=-=.∵将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，∴MAE FAE ∠=∠，AF AM =.∴BAD EAM ∠=∠.∴BAD DAM EAM DAM ∠+∠=∠+∠，即BAM DAE ∠=∠.∵AF AD =，∴AM AD =.在BAM ∆和EAD ∆中，AM AD BAM DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BAM EAD SAS ∆≅∆. ∴222246213BM DE EG DG ==+=+=【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．6．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接EG，CG.(1) 求证：EG=CG；(2) 将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转 45∘,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG∴ EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;试题解析：解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。

人教九年级数学第23章旋转旋转基础知识及专题(word版含答案)

旋转及综合专题一、旋转有关定义1、定义：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、假如图形上的点 P 经过旋转变成 P ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

13、（ 1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直均分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后图形全等。

4、把一个图形绕着某一点旋转180 ，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形对于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

这两个图形的对称点叫做对于中心的对称点。

5、（ 1）对于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心均分；（2）对于中心对称的两个图形是全等图形。

6、把一个图形绕着某一点旋转180 ，假如旋转后的图形能够与本来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

二、旋转有关结论如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转角到AB1C1。

点 B 和点 B1为对应点，点 C 和 C1为对应点。

结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直均分线的交点，也即对应点所连线段的垂直均分线均经过旋转中心。

如图，线段BB1的垂直均分线l1、线段CC1的垂直均分线l2都经过旋转中心点A 。

利用这个结论我们能够利用对应点坐标求出旋转中心的坐标。

因为对应点所连线段的垂直均分线均经过旋转中心，所以只需求出两组对应点所连线段的垂直均分线分析式，而后联立刻可求出旋转中心坐标。

结论 2：对应点与旋转中心所组成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角。

如图，ABB1和 ACC1均为等腰三角形，BAB1CAC1。

第1页/共11页结论 3：对应点与旋转中心所组成的三角形均相像。

如图，BAB 1 ∽ CAC 1 。

结论 4：旋转前、后图形全等。

如图，ABCAB 1C 1 。

示例 1：已知 A( 3,2)、O(0,0) ，将线段 OA 绕点 P 旋转获得线段 O 1 A 1 ，此中 O 1 ( 1, 1) 、 A 1 ( 3, 4) ， O 1 为点 O 的对应点， A 1 为点 A 的对应点，求点 P 的坐标。

中考数学总复习之图形的旋转知识点归纳

中考数学总复习之图形的旋转知识点归纳1．旋转的性质（1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；旋转方向；旋转角度．（3）注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．2．中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．3．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．4．作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．5．利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（旋转中心；旋转方向；旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．。

中考数学模拟试题立体几何的旋转问题

中考数学模拟试题立体几何的旋转问题中考数学模拟试题—立体几何的旋转问题立体几何是中考数学中一个重要的考点，而其中的旋转问题更是难倒不少学生。

本文将就中考数学模拟试题中的立体几何旋转问题展开论述。

一、旋转问题的基本概念旋转是立体几何中常见的一种操作，它将一个几何体绕着某个轴进行转动，形成一个新的几何体。

在旋转问题中，我们需要了解以下几个基本概念：1. 旋转轴：几何体绕其旋转的直线称为旋转轴。

2. 旋转中心：旋转轴上的一个点，称为旋转中心。

3. 旋转角：几何体绕旋转轴旋转的角度。

二、常见的旋转问题类型及解题方法1. 空间图形的旋转空间图形的旋转包括柱体、圆锥体、球等的旋转。

在解决此类问题时，一般需要根据问题中给出的条件，确定旋转轴和旋转角度，然后利用几何关系进行计算。

例如，某题给出了一个高为10cm、半径为3cm的圆柱体，要求将其绕着底面半径为3cm的圆柱轴旋转一周，问旋转所得的立体图形的体积是多少。

解题思路：根据题目描述可知，圆柱体绕着底面半径为3cm的圆柱轴旋转一周，即旋转角为360度。

利用圆柱体体积的计算公式V=πr²h，将给定的数据带入公式中计算，即可得到旋转所得的立体图形的体积。

2. 平面图形的旋转平面图形的旋转包括圆、三角形等的旋转。

在解决此类问题时，我们需要确定旋转轴和旋转角度，并运用平面几何的相关知识进行计算。

例如，某题给出了一个半径为5cm的圆，要求将其绕着圆心所在直线旋转90度，问旋转所得的圆的周长是多少。

解题思路：根据题目描述可知，圆沿圆心所在直线旋转90度。

旋转90度后，该圆的直径将成为圆的周长，因此我们只需将给定的半径乘以2π即可得到旋转后圆的周长。

三、解题技巧与注意事项在解决立体几何的旋转问题时，我们还需要掌握一些解题的技巧与注意事项：1. 熟练掌握旋转操作的基本概念与公式，了解各类常见图形的旋转特性。

2. 注意理解问题描述，并将其转化为几何操作来进行计算。

3. 注意单位的转换，确保结果的准确性。

九年级旋转专题讲义

九年级旋转专题讲义旋转专题讲义（九年级）一、基础知识1. 旋转的定义：在平面内，一个图形绕着某一点转动一定的角度而不改变其位置的运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。

2. 旋转的性质：（1）旋转中心到图形上任意一点的距离在旋转前后保持不变。

（2）图形上任意两点绕旋转中心按同一方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等。

（3）图形上任意两点绕旋转中心按相反方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等，但方向相反。

二、常见题型及解题方法1. 确定旋转角：在题目中，常常会给出一些图形经过某种运动后的位置，需要确定这些图形是绕哪个点按什么方向旋转了多少度。

此时可以通过观察图形变化前后的位置，找出旋转中心和旋转角。

2. 求解旋转问题：在求解与旋转相关的问题时，常常需要利用旋转的性质，通过已知条件推导出其他未知条件。

例如，在求解几何图形的面积或周长时，可以通过旋转将不规则图形转化为规则图形，从而方便计算。

3. 判断是否为旋转对称图形：在判断一个图形是否为旋转对称图形时，可以通过观察图形是否能够绕某点按一定角度旋转后与自身重合来确定。

如果可以，则该图形是旋转对称图形。

4. 求解旋转对称图形的中心和角度：在求解旋转对称图形的中心和角度时，可以通过观察图形自身旋转的过程，找出旋转中心和旋转角度。

例如，在求解正多边形的中心和角度时，可以通过将多边形的各顶点绕中心点按相同的方向旋转相同的角度后与自身重合来确定。

三、典型例题解析例1：在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上一点，且CF=3BF。

将△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG。

则下列结论：①AF=AG；②BF=BG；③AF=FG；④△AFD≌△GFC中，正确的有（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④分析：根据题意，通过全等三角形的判定与性质分别判断即可。

解答：①∵△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG，∴AF=AG，故①正确；②∵CF=3BF，E为CD的中点，∴BF=DF=CG=BG，故②正确；③在△AFD与△GFC中，∵AD=AG，DF=CG，AF=FG，∴△AFD≌△GFC （SSS），∴∠AFC=∠AFD=90°+∠DFA，又∵∠AFC+∠AFD+∠DFA=180°，∴AF≠FG，故③错误；④由③得：AF≠FG，故④错误；故选A。

备战中考数学综合题专题复习【初中数学旋转】专题解析

备战中考数学综合题专题复习【初中数学旋转】专题解析一、旋转1．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3125；（4）BD=101143．【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CECB CA=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可．试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =12n ．故答案为90°，12n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m．故答案为nm．（2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC nCE AC m==，∴△ACE ∽△BCD ，∴BD BC nAE AC m==．（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴BD BCAE AC=，∴35=810，∴BD =125．故答案为125．（4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =22AM ME +=57，由（2）可知DB AE =223，∴BD =21143．故答案为210或21143．点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．2．（探索发现）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形.小明是这样想的：（1）请参考小明的思路写出证明过程；（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________；（理解运用）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D .将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC ，交于点G .（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；（拓展迁移）（4）在（3）的前提下，如图，将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆，连接MB ，若6AD =，2BD =，求MB 的长.【答案】（1）详见解析；（2）CD CF AC +=；（3）四边形ADGF 是正方形；（4）13【解析】【分析】（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE ，则四边形ABCE 是菱形；（2）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；（4）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论．【详解】（1）证明：∵ABC ∆是等边三角形，∴AB BC AC ==.∵ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆， ∴60CAE =︒，AC AE =. ∴ACE ∆是等边三角形. ∴AC AE CE ==. ∴AB BC CE AE ===. ∴四边形ABCE 是菱形.（2）线段DC ，CF ，AC 之间的数量关系：CD CF AC +=. （3）四边形ADGF 是正方形.理由如下： ∵Rt ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆， ∴AF AD =，90DAF ∠=︒. ∵AD BC ⊥，∴90ADC DAF F ∠=∠=∠=︒. ∴四边形ADGF 是矩形. ∵AF AD =，∴四边形ADGF 是正方形. （4）如图，连接DE .∵四边形ADGF 是正方形， ∴6DG FG AD AF ====.∵ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，∴BAD EAF ∠=∠，2BD EF ==，∴624EG FG EF =-=-=. ∵将AFE ∆沿AE 折叠得到AME ∆， ∴MAE FAE ∠=∠，AF AM =. ∴BAD EAM ∠=∠.∴BAD DAM EAM DAM ∠+∠=∠+∠，即BAM DAE ∠=∠. ∵AF AD =， ∴AM AD =.在BAM ∆和EAD ∆中，AM AD BAM DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BAM EAD SAS ∆≅∆.∴222246213BM DE EG DG==+=+=.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．3．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）（1）当OC∥AB时，旋转角α＝度；发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．【答案】（1）60或240；(2) AC=BD，理由见解析；（313+1131-4）PC的最大值=3，PC的最小值31．【解析】分析：（1）如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．（2）结论：AC=BD．只要证明△AOC≌△BOD即可．（3）在图3、图4中，分别求解即可．（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值31．详解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．故答案为60或240；（2）结论：AC=BD，理由如下：如图2中，∵∠COD=∠AOB=60°，∴∠COA=∠DOB．在△AOC和△BOD中，OA OB COA DOB CO OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC =BD ；（3）①如图3中，当A 、C 、D 共线时，作OH ⊥AC 于H ．在Rt △COH 中，∵OC =1，∠COH =30°，∴CH =HD =12，OH=32．在Rt △AOH 中，AH =22OA OH -=13，∴BD =AC =CH +AH =113+．如图4中，当A 、C 、D 共线时，作OH ⊥AC 于H ．易知AC =BD =AH ﹣CH 131- 综上所述：当A 、C 、D 三点共线时，BD 131+131- （4）如图5中，由题意，点C 在以O 为圆心，1为半径的⊙O 上运动，过点O 作OH ⊥AB 于H ，直线OH 交⊙O 于C ′、C ″，线段CB 的长即为PC 的最大值，线段C ″H 的长即为PC 的最小值．易知PC 的最大值=3，PC 的最小值31．点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．4．（12分）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN 的周长的最大值．【答案】(1) 等边三角形；(2) △PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；（3）6【解析】分析：（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，从而得到PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120°，从而得到∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为4，则PN的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．详解：（1）如图1．∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．∵AD=AE，∴BD=CE．∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，∴PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；故答案为等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2．∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．（3）∵PN=12BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质．5．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m，①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；c）当6＜m＜10时，此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．【详解】（1）等边；（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE 是等边三角形．（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD3，∴△BDE的最小周长=CD3；②存在，分四种情况讨论：a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；b ）当0≤m ＜6时，由旋转可知，∠ABE =60°，∠BDE ＜60°，∴∠BED =90°，由（1）可知，△CDE 是等边三角形，∴∠DEB =60°，∴∠CEB =30°． ∵∠CEB =∠CDA ，∴∠CDA =30°．∵∠CAB =60°，∴∠ACD =∠ADC =30°，∴DA =CA =4，∴OD =OA ﹣DA =6﹣4=2，∴m =2；c ）当6＜m ＜10时，由∠DBE =120°＞90°，∴此时不存在；d ）当m ＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE =60°，又由（1）知∠CDE =60°，∴∠BDE =∠CDE +∠BDC =60°+∠BDC ，而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE =90°，从而∠BCD =30°，∴BD =BC =4，∴OD =14，∴m =14．综上所述：当m =2或14时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．6．如图1，菱形ABCD ，AB 4=，ADC 120∠=o ，连接对角线AC 、BD 交于点O ，()1如图2，将AOD V 沿DB 平移，使点D 与点O 重合，求平移后的A'BO V 与菱形ABCD重合部分的面积．()2如图3，将A'BO V 绕点O 逆时针旋转交AB 于点E'，交BC 于点F ，①求证：BE'BF 2+=； ②求出四边形OE'BF 的面积．【答案】() 13?2①证明见解析3【解析】【分析】(1)先判断出△ABD 是等边三角形，进而判断出△EOB 是等边三角形，即可得出结论； (2)先判断出 ≌△OBF ，再利用等式的性质即可得出结论；(3)借助①的结论即可得出结论．【详解】()1Q 四边形为菱形，ADC 120∠=o ，ADO 60∠∴=o ，ABD ∴V 为等边三角形，DAO 30∠∴=o ，ABO 60∠=o ，∵AD//A′O ， ∴∠A′OB=60°，EOB ∴V 为等边三角形，边长OB 2=，∴重合部分的面积：343⨯=，()2①在图3中，取AB 中点E ，由()1知，∠EOB=60°，∠E′OF=60°， ∴∠EOE′=∠BOF ，又∵EO=BO ，∴∠OEE′=∠OBF=60°， ∴△OEE′≌△OBF ， ∴EE′=BF ，∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2；②由①知，在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF ，∴S △OEE′=S △OBF ，∴S 四边形OE′BF =OEB S 3=V【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.7．把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1) BH=CK;(2) 存在，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置，此时BH 的长度为．【解析】（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；（2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=12x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512，代入得出方程12x2-3x+9=512×12×6×6，求出即可．解：（1）BH与CK的数量关系：BH=CK，理由是：连接OC，由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG，∵AC=BC，O为AB中点，∠ACB=90°，∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，∴∠CGB=90°=∠KGH，∴都减去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，在△CGK和△BGH中∵，∴△CGK≌△BGH（ASA），∴CK=BH，即BH=CK；四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于△ACB面积的一半，等于9；（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512的位置．设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB﹣BH=6﹣x，∴S△CHK=12CH×CK=3x﹣12x2，∴S△GHK=S四边形CKGH﹣S△CKH=9﹣（3x﹣12x2）=12x2﹣3x+9，∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512，∴12x2﹣3x+9=512×12×6×6，解得136x=+，236x=-（经检验，均符合题意）．∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的512的位置，此时x的值为36±．“点睛”本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目．8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．9．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB 交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是； ②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值．【答案】（1）200；（2）①PC ＝PE ，PC ⊥PE ；②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ，见解析；③PC 21033+. 【解析】【分析】（1）由CD ∥AB ，可得∠C ＝∠B ，根据∠APB ＝∠DPC 即可证明△ABP ≌△DCP ，即可得AB ＝CD ，即可解题．（2）①延长EP 交BC 于F ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ）可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，易证△FBP ≌△EDP （SAS ），结合已知得BF ＝DE ＝AE ，再证明△FBC ≌△EAC （SAS ），可得△EFC 是等腰直角三角形，即可证明PC ＝PE ，PC ⊥PE ．③作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°，得∠FBC ＝∠EAC ，同②可证可得PC ＝PE ，PC ⊥PE ，再由已知解三角形得∴EC 2＝CH 2+HE 2＝1033+求出22110332PC EC +==【详解】（1）解：∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠B ，在△ABP 和△DCP 中，BP CP APB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△DCP （SAS ）， ∴DC ＝AB ． ∵AB ＝200米． ∴CD ＝200米，故答案为：200．（2）①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ，同（1）理，可知∴△FBP ≌△EDP （SAS ）， ∴PF ＝PE ，BF ＝DE ，又∵AC ＝BC ，AE ＝DE ， ∴FC ＝EC ，又∵∠ACB ＝90°，∴△EFC 是等腰直角三角形， ∵EP ＝FP ， ∴PC ＝PE ，PC ⊥PE ．②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．理由如下：如解图2，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，同①理，可知△FBP ≌△EDP （SAS ）， ∴BF ＝DE ，PE ＝PF ＝12EF ， ∵DE ＝AE ， ∴BF ＝AE ，∵当α＝90°时，∠EAC ＝90°， ∴ED ∥AC ，EA ∥BC ∵FB ∥AC ，∠FBC ＝90， ∴∠CBF ＝∠CAE ，在△FBC 和△EAC 中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FBC ≌△EAC （SAS ）， ∴CF ＝CE ，∠FCB ＝∠ECA ， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠FCE ＝90°，∴△FCE 是等腰直角三角形，∵EP ＝FP ， ∴CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝12EF ． ③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC ＝∠EAC ＝α＝150° 同②可得△FBP ≌△EDP （SAS ），同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP ＝EP ＝22CE ，在Rt △AHE 中，∠EAH ＝30°，AE ＝DE ＝1， ∴HE ＝12，AH ＝3，又∵AC ＝AB ＝3， ∴CH ＝3+32， ∴EC 2＝CH 2+HE 2＝1033+ ∴PC 2＝21103322EC +=【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．10．如图1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F ＝30°. （1）求证：BE ＝CE（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动.若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N.（如图2） ①求证：△BEM ≌△CEN ；②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62 4.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+3+3m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+362246EHEB m==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．-．【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）434【解析】试题分析：（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明△POH≌△QPB即可；（2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延长线于H．证明方法类似（1）；（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF3，在Rt△PCE中，表示出PC，根据PC+CB=4，可得方程+=，求出a即可解决问题；a a62)24试题解析：解：（1）结论：BQ=CP．理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，∵∠OPQ=∠OCP=60°，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．∵∠OPC =15°，∠OCB =∠OCP +∠POC ，∴∠POC =45°，∴CE =EO ，设CE =CO =a ，则FC =FP =2a ，EF =3a ，在Rt △PCE 中，PC =22PE CE + =22(23)a a a ++=(62)a +，∵PC +CB =4，∴(62)24a a ++=，解得a =4226-，∴PC =434-，由（2）可知BQ =PC ，∴BQ =434-．点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．12．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB △△≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见解析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）303343033444S -+≤≤. 【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO ∠=∠，再根据矩形的性质得CBA OAB ∠=∠.从而BAD CBA ∠=∠，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（Ⅲ）3033430334S -+≤≤. 详解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C ∠=∠=︒.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴22DC AD AC =- 22534=-=.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE ∠=︒.又点D 在线段BE 上，得90ADB ∠=︒.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB ∠=︒，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO ∠=∠.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB ∠=∠.∴BAD CBA ∠=∠.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =.∴点H 的坐标为17,35⎛⎫ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）303343033444S -+≤≤. 点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.13．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22）【解析】【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ，故答案为CB 的延长线上，a+b ；（2）①CD=BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即∠CAD=∠EAB ，在△CAD 与△EAB 中，AD AB CAD EAB AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CAD ≌△EAB ，∴CD=BE ；②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵AN=2AP=22，∴最大值为22+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=2，∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2，∴P（2-2，2）．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．如图，正方形ABCD，点M是线段CB延长线一点，连结AM，AB a=，AM b（1）将线段AM 沿着射线AD 运动，使得点A 与点D 重合，用代数式表示线段AM 扫过的平面部分的面积.（2）将三角形ABM 绕着点A 旋转，使得AB 与AD 重合，点M 落在点N ，用代数式表示线段AM 扫过的平面部分的面积.（3）将三角形ABM 顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角【答案】（1）2a ；（2）214b π或234b π；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可；（2）根据扇形的面积计算即可；（3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可．【详解】解：（1）2AD DC a •=答：线段AM 扫过的平面部分的面积为2a（2）三角形ABM 绕着点A 旋转，使得AB 与AD 重合，则三角形ABM 旋转的角度是90°或270°∴°2°90360AMN b S π⨯=扇形或°2°270360AMN b S π⨯=扇形 ∴214AMN S b π=扇形或234b π 答：扇形AMN 的面积为214b π或234b π（3）如图1，旋转中心：AB 边的中点为O ，顺时针180o如图2，旋转中心：点B ，顺时针旋转90o如图3，旋转中心：正方形对角线交点O，顺时针旋转90o【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答．∠=o，将一直角三角板15．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，AOC30()∠=o的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线M30AB的上方．()1将图1中的三角板绕点O以每秒5o的速度沿逆时针方向旋转一周.如图2，经过t秒后，ON落在OC边上，则t=______秒(直接写结果)．()2如图2，三角板继续绕点O以每秒5o的速度沿逆时针方向旋转到起点OA上.同时射线OC也绕O点以每秒10o的速度沿逆时针方向旋转一周，∠的度数．①当OC转动9秒时，求MOC②运动多少秒时，MOC35∠=o？请说明理由．【答案】（1）6；（2）①45o；②11秒或25秒，理由见解析.【解析】【分析】。

中考数学复习----《图形的旋转变换》知识点总结与专项练习题

中考数学复习----《图形的旋转变换》知识点总结与专项练习题知识点总结1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点。

2.旋转的要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角。

3.旋转的性质：①旋转前后的两个图形全等。

即有对应边相等，对应角相等。

②对应点到旋转中心的连线距离相等。

③对应点与旋转中心的连线构成的夹角等于旋转角。

4.旋转对称图形：若一个图形旋转一定角度（小于360°）之后与原图形重合，则这个图形叫做旋转对称图形。

如正多边形或圆。

5.中心对称：①定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

②性质：I：关于中心对称的两个图形能够完全重合；II：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

6. 坐标的旋转变换：①若点()y x P ，顺时针或逆时针旋转90°，则横纵坐标的绝对值互换，符号看象限。

②若点()y x P ，顺时针或逆时针旋转180°，即关于原点成中心对称，则横纵坐标变为原来的相反数。

即()y x P −−，7. 旋转作图：基本步骤：①确定旋转方向与旋转角；②把图形的关键点按照旋转方向与旋转角进行旋转，得到关键点的对应点；③将对应点按照原图形连接。

练习题1、（2022•德州）下列图形是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A 、C 、D 都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B ．2、（2022•黄石）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．温州博物馆B．西藏博物馆C．广东博物馆D．湖北博物馆【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．3、（2022•河池）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B 顺时针旋转90°得到Rt△A'B'C'．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为（）A．25π+24 B．5π+24 C．25πD．5π【分析】根据勾股定理得到AB，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴Rt△ABC所扫过的面积＝+×6×8＝25π+24，故选：A ．4、（2022•呼和浩特）如图．△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC 、ED 交于点F ．若∠BCD ＝α，则∠EFC 的度数是（用含α的代数式表示）（）A ．90°+21αB ．90°﹣21αC ．180°﹣23αD ．23α 【分析】由旋转的性质可知，BC ＝CD ，∠B ＝∠EDC ，∠A ＝∠E ，∠ACE ＝∠BCD ，因为∠BCD ＝α，所以∠B ＝∠BDC ＝＝90°﹣，∠ACE ＝α，由三角形内角和可得，∠A ＝90°﹣∠B ＝．所以∠E ＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC ＝180°﹣∠ECF ﹣∠E ＝180°﹣α．【解答】解：由旋转的性质可知，BC ＝CD ，∠B ＝∠EDC ，∠A ＝∠E ，∠ACE ＝∠BCD ， ∵∠BCD ＝α，∴∠B ＝∠BDC ＝＝90°﹣，∠ACE ＝α，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°﹣∠B ＝． ∴∠E ＝． ∴∠EFC ＝180°﹣∠ECF ﹣∠E ＝180°﹣α．故选：C ．5、（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．33B．23C．3 D．2【分析】由直角三角形的性质求出AC＝2，∠B＝60°，由旋转的性质得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．【解答】解：连接AA′，如图，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝BC＝2，∠B＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A'C于点D，∴CD＝AC＝，∴AD＝CD＝＝3，∴点A到直线A'C的距离为3，故选：C．6、（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（）A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DEC．∠DFC＝90°D．DG＝3GF【分析】根据等边三角形的判定定理得到△BCE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BE＝BC，判断A选项；证明△ABC≌△CFD，根据全等三角形的性质判断B、C选项；解直角三角形，用CF分别表示出GF、DF，判断D选项．【解答】解：A、由旋转的性质可知，CB＝CE，∠BCE＝60°，∴△BCE为等边三角形，∴BE＝BC，本选项结论正确，不符合题意；B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点F是边AC的中点，∴AB＝AC＝CF＝BF，由旋转的性质可知，CA＝CD，∠ACD＝60°，∴∠A＝∠ACD，在△ABC和△CFD中，，∴△ABC≌△CFD（SAS），∴DF＝BC＝BE，∵DE＝AB＝BF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥DE，BF＝DE，本选项结论正确，不符合题意；C、∵△ABC≌△CFD，∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°，∴GF＝CF，同理可得，DF＝CF，∴DF＝3GF，故本选项结论错误，符合题意；故选：D．7、（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．【解答】解：A、∵AB＝AC，∴AB＞AM，由旋转的性质可知，AN＝AM，∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，∵AM＝AN，AB＝AC，∴∠ABC＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意；故选：C．8、（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．【解答】解：∵∠B ＝30°，∠C ＝90°，∴∠CAB ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝60°，∵将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到△AB ′C ′，∴∠C ′AB ′＝∠CAB ＝60°．∵点B ′恰好落在CA 的延长线上，∴∠BAC ′＝180°﹣∠CAB ﹣∠C ′AB ′＝60°．故选：B ．9、（2022•内蒙古）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（）A ．21B ．33C ．1﹣33D ．1﹣43 【分析】设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL ”证明Rt △AB ′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE ＝∠B ′AE ，再根据旋转角求出∠DAB ′＝60°，然后求出∠DAE ＝30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD 的面积﹣四边形ADEB ′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE＝∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′＝60°，∴∠DAE＝×60°＝30°，∴DE＝1×＝，∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．故选：C．10、（2022•朝阳）如图，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，将线段DC绕点D 按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是．【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．【解答】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，∴DE＝DC＝4，∵cos∠ADE＝＝＝，∴∠ADE＝60°，∴∠EDC＝30°，∴S扇形EDC＝＝4π，∵AE＝＝＝6，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣6，∵四边形ABCD是矩形，∴EB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°，∵EB≠CB，∴四边形DCBE是直角梯形，∴S四边形DCBE＝＝24﹣6，∴阴影部分的面积＝24﹣6﹣4π，故答案为：24﹣6﹣4π．11、（2022•西宁）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E＝．【分析】先在含30°锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，即可解答．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，∴AC＝3，BC＝3，∠CAB＝60°，∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，∴△ABC≌△AB′C′，∠C'AE＝45°，∴AC＝AC'＝C'E＝3，BC＝B'C'＝3，∴B'E＝B'C'﹣C'E＝3﹣3．12、（2022•上海）有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案．【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；故选：C．13、（2022•遵义）在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】由中心对称的性质可求a，b的值，即可求解．【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，∴a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1，故选：C．14、（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（）A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，分别求出a、b的值，再代入即可得到答案．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，解得a＝﹣6，b＝2，∴ab＝﹣12．故选：D．15、（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得m﹣2＝﹣5，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．16、（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝．【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故答案为：5．17、（2022•枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（4，0）B．（2，﹣2）C．（4，﹣1）D．（2，﹣3）【分析】作出旋转后的图形即可得出结论．【解答】解：作出旋转后的图形如下：∴B'点的坐标为（4，﹣1），故选：C．18、（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）【分析】利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案．【解答】解：由图中可知，点A（﹣2，3），将△ABC先向右平移3个单位，得坐标为：（1，3），再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：C．19、（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（）A ．（﹣2，3）B ．（﹣3，2）C ．（﹣2，4）D ．（﹣3，3）【分析】根据旋转的性质解答即可．【解答】解：连接AP ，A 1P ．∵线段A 1B 1是将△ABC 绕着点P （3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A 1B 1C 1的一部分，∴A 的对应点为A 1，∴∠APA 1＝90°，∴旋转角为90°，∴点C 绕点P 逆时针旋转90°得到的C 1点的坐标为（﹣2，3），故选：A ．20、（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P （0，2），点A （4，2）．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在M 1（﹣33，0），M 2（﹣3，﹣1），M 3（1，4），M 4（2，211）四个点中，直线PB 经过的点是（）A．M1B．M2C．M3D．M4【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y＝x+2中可解答．【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA⊥y轴，PA＝4，由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，∴∠BPC＝30°，∴BC＝2，PC＝2，∴B（2，2+2），设直线PB的解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线PB的解析式为：y＝x+2，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣，∴点M1（﹣，0）不在直线PB上，当x＝﹣时，y＝﹣3+2＝﹣1，∴M2（﹣，﹣1）在直线PB上，当x＝1时，y＝+2，∴M3（1，4）不在直线PB上，当x＝2时，y＝2+2，∴M4（2，）不在直线PB上．故选：B．21、（2022•贺州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为．【分析】过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，从而求出点B′的坐标．【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，∴AN＝3，∴ON＝8，∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，∴∠BOA＝∠B′OA′，∴△NOB≌△MOB′（AAS），∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，∴B′（﹣4，8），故答案为：（﹣4，8）．。

中考数学专题复习：旋转

A A1
B
D D1
C
C1 B1 图（1）
A
D D1
A1
C B
B1
图（2）
A
D
A1 C1
B
D1 C
B1
C1
图（3）
• 例1:如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B、C的坐标分别为(1，1)，(4，2)，(2，3).
∠AOD=∠BOE
1 选择题： ⑴下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（）C A 角 B 等边三角形 C 线段 D平行四边形
（2）下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（） A A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形（3）已知：下列命题中真命题的个数是（） ①关于中心对称的两个图形一定不全等 B ②关于中心对称的两个图形是全等形 ③两个全等的图形一定关于中心对称 A0 B1 C2 D3
C
C (A2)
OA
B3 A2
OA
OA
B1
B2
O
A1(C2)
A(C1)
A1
乙
B1
甲
B2
下列图形中，不能通过上述方式得到的是（ D）
(A)
(B)
(C)
(D)
3.以下四家银行行标中，轴对称图形的有（ A ）
A.
B.
C.
D.
4. 下列说法正确的是( B )
A.旋转改变图形的形状和大小 B.平移改变图形的位置 C. 图形可以向某方向旋转一定距离 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
中考数学专题复习
1、概念：在平面内，把一个图形绕着某一个定点转动一个角度的图形变换叫做旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

九年级几何旋转知识点

九年级几何旋转知识点几何学是数学中一个非常重要的分支，它研究平面和空间中的形状、大小、相对位置等几何属性。

而几何旋转则是几何学中的一项基本运动变换，通过围绕一个中心点旋转图形来改变其位置和方向。

在九年级的学习中，我们需要掌握几何旋转的相关知识点，下面将详细介绍。

一、点的旋转在几何旋转中，最基本的形式就是点的旋转。

点的旋转是围绕一个中心点进行的，通过旋转角度改变点的位置。

1. 顺时针旋转顺时针旋转是指点沿着逆时针方向旋转，这种旋转是以正角度表示的。

顺时针旋转后的点的坐标可以通过以下公式计算：新点坐标(x', y') = (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)其中，(x, y)为原始点的坐标，θ为旋转角度。

2. 逆时针旋转逆时针旋转是指点沿着顺时针方向旋转，这种旋转是以负角度表示的。

逆时针旋转后的点的坐标计算方式与顺时针旋转相同。

二、图形的旋转除了点的旋转，我们还需要了解图形的旋转。

图形的旋转是以某个点为中心，围绕中心点旋转整个图形。

1. 顺时针旋转图形顺时针旋转时，旋转角度与点的旋转相同。

旋转后的图形可以通过旋转每个点来获得，其中每个点的旋转公式为：新点坐标(x', y') = (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)2. 逆时针旋转图形逆时针旋转时，旋转角度与顺时针旋转相反，即为负角度。

同样可以通过旋转每个点来获得旋转后的图形。

三、旋转的性质在几何旋转中，还有一些重要的性质需要了解：1. 旋转不改变形状和大小无论是点的旋转还是图形的旋转，都不会改变它们的形状和大小。

旋转只是改变位置和方向，但形状和大小保持不变。

2. 旋转角度的运算旋转角度可以进行运算，如两个图形的旋转角度相加或相减。

这是因为旋转角度是可以相互叠加的。

四、应用举例几何旋转在实际生活中有许多应用，比如:1. 轮子的旋转汽车的轮子是通过旋转来使车辆行驶的，而旋转正是由轮子围绕其中心旋转产生的。

中考复习之二次函数中问题综合-几何旋转问题[1]

最短距离问题分析最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。

利用一次函数和二次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：mmABmAB mnmn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：n mAnnnm（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m n Am nm nmmmmA m（1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点， P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则 PB PE +的最小值是___________；2.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（）A ．B ．C ．3 DBAm A B E CBD 图1A D EPB C二次函数常见压轴y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标求面积最大连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．因动点产生的三角形相似问题例1.（2013•南平）如图，已知点A（0，4），B（2，0）．（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x﹣m）2+n与线段OA交于点C．①求线段AC的长；（用含m的式子表示）②是否存在某一时刻，使得△ACM与△AMO相似？若存在，求出此时m的值．例2．如图，直线3y x=-+与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B C，两点的抛物线2y ax bx c=++与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线2x=．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P B Q，，为顶点的三角形与ABC△相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线23y x bx=++与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，tan∠ACO=31．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线:(0)l y kx k=≠与线段BC交于点D（不与点B C，重合），则是否存在这样的直线l，使得以B O D，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由.A BCPOxy2x=AOBCxy和最小差最大如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD 于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.面积问题：例题1：如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．yxBA FPx＝1CO例题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．例3：已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．讨论直角三角例1：已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝21x2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．例2：如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数中四边形存在问题研究一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）例1.【08湖北十堰】已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．解：1.如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)27 3(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F . （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.PEOFCDBAxyOCDBA 备用图yx二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）例1．【09福建莆田】已知，如图抛物线23(0)=++>与y轴交于C点，与x轴交于A、By ax ax c a两点，A点在B点左侧。

中考数学几何旋转经典例题

旋转知识点归纳知识点1:旋转的定义及其有关概念在平面，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角.说明: 旋转的围是在平面旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等.例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（）Ａ．25Ｂ．30Ｃ．35Ｄ．45知识点3:旋转作图例2 如图3，小明将△ABC 绕O 点旋转得到△C B A '''，其中点C B A '''、、分别是A 、B 、C 的对应点.随即又将△ABC 的边AC 、BC 及旋转中心O 擦去(不留痕迹),他说他还能把旋转中心O 及△ABC 的位置找到,你认为可以吗"若可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,请说明理由.'图1图2评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.考点4:钟表的旋转问题钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针12小时旋转一周,则每小时旋转,301236000=这样时针每分钟旋转;5.00分针每小时旋转一周,则每分钟旋转.66036000=例3 从1点到1点25分,分针转了多少度角"时针转了多少度角"1点25分时时针与分针的夹角是多少度"解读生活中的旋转.五.典例剖析例1如图1，D 是等腰Rt ABC △一点，BC 是斜边，如果将ABD △绕点AA图3'逆时针方向旋转到ACD '△的位置，则ADD '∠的度数是（）Ａ．25Ｂ．30Ｃ．35Ｄ．45例3在如图3的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）画出ABC △向平移4个单位后的111A B C △；（2）画出ABC △绕点O 顺时针旋转90后的222A B C △，并求点A 旋转到2A 所经过的路线长．学好旋转的三个要点旋转在实际生活中随处可见．因此，学好旋转的知识有利于我们解决实际问题，学习时应注意把握好以下几点：一、正确理解旋转的概念在平面，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫做旋转中心．旋转不改变图形的形状和大小．理解这个概念应注意以下两点：1．旋转和平移一样，是图形的一种基本变换； 2．图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．例如图1，ABC △是等腰直角三角形，90AB AC BAC ==︒，∠，D 是BC 上一点，ACD △经过旋转后到达ABE △的位置．（1）旋转中心是哪一点？图4图3BE P图1（2）旋转了多少度？（3）若P 是AC 的中点，那么经过上述旋转后，点P 旋转到了什么位置？三、会寻找旋转中心例3 如图3所示，四边形ABCD 绕某点旋转后到四边形A B C D ''''，你能确定旋转中心吗"试一试．分析：我们可以用待定位置法．假定点O 就是旋转中心，由于对应点到旋转中心的距离相等，则有OA OA OB OB ''==，，从而O 一定是线段AA '和线段BB '的垂直平分线的交点上．．心．例2 如图4，ABC △是等边三角形，点D G ，分别是AB AC ，的中点，四边形BDEF 和四边形AGHK 都是正方形．（1）试确定正方形AGHK 绕某点旋转得正方形EFBD 的旋转中心．（2）正方形BDEF 旋转多少度时可以与正方形AGHK 重合？分析：因为四边形AGHK 和四边形BDEF 都是正方形，所以情况较多，我们只选择其中一个讲解，其它情况请同学们自己探索，欢迎你把自己的探索成果告诉我们．解：（1）选择BD 和GH 作为对应线段（点B 对应点G ，点D 的对应点为点H ）．连接DG DH BG ，，，则易知DB DG GH ==，连接点D 与线段BG 的中点M 并延长，连接点G 与线段DH 的中点并延长，两直线相交于点O ，则有GO 垂直平分DH DO ，垂直平分BG ，则点O 就是旋转中心．BOG ∠为旋转角．（2）150DGH DGA AGH =+=︒∠∠∠，1752NGH DGH ==︒∠∠，图1图475MGO NGH ==︒∠∠（对顶角）．又90GMO =︒∠，所以15MOG =︒∠．所以旋转角230BOG MOG ==︒∠∠．所以当正方形BDEF 绕点O 顺时针旋转30︒时，可与正方形GHKA 重合．旋转坐标新意多求旋转后点的坐标的问题是学习旋转是常见的问题。

中考数学专题复习-几何问题线段的旋转

1.旋转—线段1.在ABC 中，AB AC =，060BAC αα∠=︒︒（＜＜），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ．（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE ，若45DEC∠=︒，求α的值．解析：（1） 60ABD ABC ∠=∠-︒ 又18019022ABC αα︒-∠==︒- 1190603022ABD αα∴∠=︒--︒=︒- （2）ABE 是等边三角形证明：连接AD 、CD∵60DBC∠=︒，DB BC = ∴BCD 是等边三角形，60BDC ∠=︒，BD DC =又∵AB AC =，AD AD =，∴ABD ACD ≌∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=︒∵60ABE DBC ∠=∠=︒，∴ABD EBC ∠=∠又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=︒∴ABD EBC ≌，∴AB EB = ∴ABE 是等边三角形（3）解：∵BDC 是等边三角形，∴60BCD ∠=︒ ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒又∵45DEC ∠=︒，∴EC DC BC ==, ∴1801801501522BCE EBC CEB ︒-∠︒-︒∠=∠===︒, ∵ 302EBC ABD a ∠=∠=︒-, ∴30α=︒.2.在ABC 中，BA BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若60α=︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．解析：（1）补全图形，见图1；30CDB ∠=︒（2）猜想：90CDB α∠=︒-证明：如图2 ，连结AD ，PC∵BA BC =，M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥∵点D ，P 在直线BM 上，∴PA PC =，DA DC = 又∵DP 为公共边，∴ADP CDP ≌∴DAP DCP ∠=∠，ADP CDP ∠=∠又∵PA PQ =，∴PQ PC =∴DCP PQC ∠=∠，DAP PQC ∠=∠∵180PQC DQP ∠+∠=︒，∴180DAP DQP ∠+∠=︒∴在四边形APQD 中，180ADQ APQ ∠+∠=︒∴2APQ α∠=，∴1802ADQ α∠=︒- ∴9012CDB ADQ α∠=∠=︒-（3）4560α︒︒＜＜提示：由（2）知90CDB α∠=︒-，且PQ QD =QPD CDB ∴∠=∠∴21802PQC QPD CDB CDB PAD PCQ α∠=∠+∠=∠=︒-=∠=∠∵点P 不与点B ，M 重合，∴MAD PAD BAD ∠∠∠＜＜∴18022ααα︒-＜＜，∴4560α︒︒＜＜3.如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A ，B 重合），点F 在BC 边上（不与点B ，C 重合）．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ；第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ；依此操作下去…（1）图2中的EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为____________，求此时线段EF 的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为____________，此时AE 与BF 的数量关系是_________；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及y 的取值范围．（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．解析：（1）由旋转可得：EF FD DE == DEF ∴为等边三角形∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BCAB ===，90A B C ∠=∠=∠=︒ ∵ED FD =，∴ADE CDF ≌ ∴AE CF =，BE BF =∴三角形BEF 是等腰直角三角形设BE 的长为x ，则DE EF==，4AE x =- 在Rt ADE 中，222DE AD AE =+∴ 2224)4()x =+-解得14x =-+，24x =--（舍去）∴EF ==-+（2）①四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE BF = ．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF FG GH HE === ，∴ 四边形EFGH 的形状为正方形．12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，13∴∠=∠ ．34902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，24∴∠=∠ ．在AEH 与BFE 中，1324EH EF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AEH BFE ASA ∴≌（）AE BF ∴= ．②利用①中结论，易证AEH BFE CGF DHG 、、、均为全等三角形，BF CG DH AE x ∴==== ，4AH BE CF DG x ====- ．在Rt BEF 中，222EF BE BF =+∴2224281(60)4y x x x x x =-+=-+（＜＜） ∵222816(228)y x x x =-+=-+∴当2x =时，y 取得最小值8；当0x =时，16y =∴y 的取值范围是816y ≤＜（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4-．如答图2所示，粗线部分是由线段EF 经过7次操作所形成的正八边形．设边长EF FG x == ，则BF CG x == ，422BC BF FG CG x x x =++=++=，解得：4x =-．4.已知，四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P 、G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD PG =，DFPG ⊥于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PE ，连结EF ．（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时．①求证：2DG PC =；②求证：四边形PEFD 是菱形；（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．解析：（1）①作PM AD ⊥于点M∵PD PG =，∴MG MD =又∵MD PC =，∴2DG PC =②∵PG FD ⊥于H ，∴90DGHADF ∠+∠=︒ 又∵90ADF AFD ∠+∠=︒∴DGP AFD ∠=∠∵四边形ABCD 是正方形，PMAD ⊥于点M ∴90A PMD ∠=∠=︒，PMAD = ∴PMG DAF ≌，∴DF PG =∵PG PE =，∴DFPE = ∵DF PG ⊥，PE PG ⊥，∴DF PE∴四边形PEFD 是平行四边形又∵PE PD =，∴PEFD 是菱形（2）四边形PEFD 是菱形证明：∵四边形ABCD 是正方形，DHPG ⊥于H ∴90ADC DHG ∠=∠=︒∴90CDG DHG ∠=∠=︒∴90CDP PDG ∠+∠=︒，90GDHG ∠+∠=︒ ∵PD PG =，∴PDG G ∠=∠∴CDP GDH ∠=∠∴CDP ADF ∠=∠又∵AD DC =，90FAD PCD ∠=∠=︒∴PCD FAD ≌，∴DF PD =∵PD PG PE ==，∴DF PE =又∵FD PG ⊥，PE PG ⊥，∴DF PE ∴四边形PEFD 是平行四边形又∵DFPD =，∴平行四边形PEFD 是菱形5.如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且DE 平分ADF ∠．（1）求证：AE CF DF +=；（本小问不予评分，自行查看解析）（2）当FE 平分BFD ∠时（如图2），将线段DF 绕点F 逆时针旋转45︒，旋转后的线段分别交AD 、ED 于点P 、Q ，若正方形ABCD 的边长为4，求PEQ 的面积．解析：（1）证明：将ADE 绕点D 顺时针旋转90︒到CDG则AE CG =，ADE CDG ∠=∠，AED G ∠=∠∵AB DC ，∴AED EDC ∠=∠ ∴G EDC ∠=∠∵ADE EDF ∠=∠，∴CDG EDF ∠=∠∴FDG FDC CDG FDC EDFEDC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴G FDG ∠=∠，∴DFFG = ∵CFCG FG +=，∴AE CF DF +=（2）过E 作EG DF ⊥于G 则ADE GDE ≌，BEF GEF ≌∴2AE GE BE ===，∴DE =∵AD BC ，∴180ADF BFD ∠+∠=︒ ∵DE 平分ADF ∠，FE 平分BFD ∠∴180ADFBFD ∠+∠=︒ ∴90EDFDFE ∠+∠=︒，∴90DEF ∠=︒∴EDF ADE ∽，∴EF =5DF =∴3CF=，1BF = 过Q 作QH DF ⊥于H ，设QH x =45,DFP FH QH x ∠=︒∴== 又21,tan tan 42AE ADE EDH ADE EDH AD ∠=∠∴∠====∠ 2DH x ∴=∴25x x +=，∴ 53x = ，∴ 553DQ =， 523QF =∴3EQ DE DQ =-=，∴15EQ DQ = 过E 作EIBF 交PF 于I ，则EI 是梯形ABFP 的中位线设EI t =，11,55EQ DP EQ DQ EI DQ =∴== 5DP t ∴=，45AP t =-∴ 4511()2t t =-+， 57t = ，∴ 257DP =过P 作PK DE ⊥于K ，则 25sin7PK PD ADE =⋅∠==∴ 112522342PEQ EQ PK S ⋅=⨯==6.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接CD ．（1）如图1，DE 与BC 的数量关系是___________；（2）如图2，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系_____________．解析：（1）9030ACB A ∠=︒∠=︒，，60B ∴∠=︒ ，点D 是AB 的中点，DB DC ∴= ，DCB ∴ 为等边三角形，DE BC ⊥ ，2DE BC ∴=；故答案为2DEBC =（或BC =）（2）BF BP += （或()2BF BP DE +=）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒∴60ABC ∠=︒∵D 是AB 的中点，∴12CD AB BD == ∴DCB 是等边三角形，∴60CDB PDF ∠=∠=︒∴CDP BDP BDFBDP ∠+∠=∠+∠ 即CDP BDF ∠=∠又∵DP DF =，∴CDP BDF ≌ ∴CP BF =∵BC BP CP =+，∴BC BP BF =+，∵sin60DE BC CD ===︒∴BP BF += （3）如图，与（2）一样可证明DCP DBF ≌ ，CP BF ∴= ，而CP BC BP =+ ，BF BP BC ∴-= ，BF BP ∴-=（或)2BF BP DE -=）7.在ABC 中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是AC 的中点，E 为射线DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DF ，连接FC ，过点F 作FG FC ⊥，交直线AB 于点G ．（1）如图1，当点E 在线段DC 上时，判断FG 与FC 的数量关系并加以证明；（2）如图2，当点E 在线段DC 的延长线上时，其它条件不变，你在（1）中得到的结论是否成立，请说明理由；（3）当点E 从DC 的中点M 移动到C 点时，直接写出线段FG 的中点N 所经过的路径长．解析：（1）FG FC =证明：连接EF ，延长DF 交AB 于H∵90EDF ACB ∠=∠=︒，∴DH BC∵D 是AC 的中点，∴H 为AB 的中点，12DC AC = ∴DH 是ABC 的中位线，∴12DH BC = ∵AC BC =，∴DC DH =∵DE DF =，∴CE FH =∵90EDF∠=︒，FG FC ⊥ ∴90ECFDFC ∠+∠=︒，90HFG DFC ∠+∠=︒ ∴ECFHFG ∠=∠ ∵DEF 和ADH 都是等腰直角三角形∴45DEFAHD ∠=∠=︒，∴135CEF FHG ∠=∠=︒ ∴CEF FHG ≌，∴FG FC =（2）成立证明：连接EF ，设DF 交AB 于H同理可证CE FH =，45CEF FHG ∠=∠=︒90ECF FCB ∠=︒+∠，90HFG DFC ∠=︒+∠∵DF BC ，∴DFC FCB ∠=∠∴ECF HFG ∠=∠，∴CEF FHG ≌∴FG FC =（3）线段FG 的中点N 所经过的路径长为 2提示：延长DF 交AB 于H ，取DH 中点P ，连接PC 、PN 、CN则2CD DP =，2CFFN = ∴CDP CFN ∽，∴DCP FCN ∠=∠∴DCF PCN ∠=∠∵2CD DP =，2CFFN =∴2CP CD =，2CN = ∴CP CD CN CF= ，∴CDF CPN ∽ ∴90CPNCDF ∠=∠=︒ ∴90FPN DPC ∠=︒-∠，是定值∴线段FG 的中点N 所经过的路径是一条线段当点E 与点M 重合时，F 是DH 的中点连接MF 、CG ，则MF 是DCH 的中位线由（1）知，CMF FHG ≌ ∴1122HG MF CH BH === 当点E 与点C 重合时，点G 与点B 重合，此时N 为BH 的中点∴点N 所经过的路径长即为图中NG 的长∵4AC BC ==，∴2CD =，1DF =，FG FC ==∴2NG=8.已知90ACD ∠=︒，AC DC =，MN 是过点A 的直线，DB MN ⊥于点B ．（1）如图1，求：BD AB +=；（2）当MN 绕点A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，猜想BD 、AB 、CB 满足的关系式，并给予证明；（3）在MN 在绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=︒，BD =时，则CD =_________，CB =_________．解析：（1）证明：如图1，过点C 作CE CB ⊥，交MN 于点E∵90ACB ACE ∠+∠=︒，90ACB BCD ∠+∠=︒∴ACE BCD ∠=∠∵四边形ACDB 内角和为360︒∴180D CAB ∠+∠=︒∵180EAC CAB ∠+∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形∴BE =又BE AE AB =+，∴BE BD AB =+∴BD AB +=（2）图2中，AB BD -=；图3中，BD AB -=证明：如图2，过点C 作CECB ⊥，交MN 于点E ∵90ACB ACE ∠-∠=︒，90ACB BCD ∠-∠=︒∴ACE BCD ∠=∠∵90ACD ABD ∠=∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形 ∴2BE CB =又BE AB AE =-，∴BE AB BD =-∴AB BD -=如图3，过点C 作CECB ⊥，交MN 于点E ∵90ACEACB ∠=︒+∠，90BCD ACB ∠=︒+∠ ∴ACE BCD ∠=∠∵90ABD ACD ∠=∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形∴BE =又BE AE AB =-，∴BE BD AB =-∴BD AB -=（3）2CD =，1CB =-1+提示：过点C 作CE CB ⊥，交MN 于点E ，连接AD , ACD 和ECB 都是等腰直角三角形∴45CAD CEB ∠=∠=︒∵ACE DCB ≌，∴30ACE BCD ∠=∠=︒当C 、D 两点在直线MN 异侧时则15EAC ∠=︒，∴30BAD ∠=︒∵BD =AE BD ==，AD =AB =∴2CD =∵AB BD -=-=∴1CB =-当C 、D 两点在直线MN 同侧时45ABC ADC ∠=∠=︒，∴30BAD BCD ∠=∠=︒∵BD =AE BD ==，AD =AB =∴2CD =∵BD AB +==∴1CB =+9.在ABCD 中，过点C 作CE CD ⊥交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段EF （如图1）．（1）在图1中画图探究：①当1P 为射线CD 上任意一点（1P 不与C 点重合）时，连结1EP ，将线段1EP 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段1EG ，判断直线1FG 与直线CD 的位置关系并加以证明；②当2P 为线段DC 的延长线上任意一点时，连结2EP ，将线段2EP 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段2EG ，判断直线12G G 与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若6AD =，43tanB =，1AE =，在①的条件下，设1CP x =，11PFG S y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．解析：（1）①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直．证明：如图，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段EC 、1EP 分别绕点E 逆时针旋转90︒依次得到线段EF 、1EG ．∴1190PEG CEF ∠=∠=︒，11EG EP =，EF EC =． ∵1190G EFPEF ∠=︒-∠，1190PEC PEF ∠=︒-∠． ∴11G EFPEC ∠=∠，∴11G EF PEC ≌． ∴1190G FEPCE ∠=∠=︒，∴90EFH ∠=︒，∴90FHC ∠=︒． ∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠．∵6AD =，1AE =，43tanB =．∴5DE =，43tan EDC tanB ∠==．可得4CE= 由（1）可得四边形FECH 为正方形∴4CHCE ==①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时11G EF PEC ≌（已证） 11FG CP x ∴==四边形ABCD 为平行四边形B D ∴∠=∠1,6,AE AD ==5ED ∴= 又4tan 3B ∠= 4EC ∴=四边形EFHC 中90,90,90CEF EOD FDH ∠=︒∠=︒∠=︒且EF EC =∴四边形EFHC 为正方形4CH EC ∴==114PH CP CH x ∴=-=-． ∴1112111()222142P FG FG P S x x H x x ⋅==-=- 即22412y x x x =-（＞） ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C 、H 两点重合）时∵11FG CP x ==，14PH x =-． ∴11211(11·4222)12P FG S FG PH x x x x ==-=-+ 即224120y x x x =-+（＜＜） ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG 不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2x x yx ->= 或224120y x x x =-+（＜＜）．10.在ABC 中，AB AC =，D 为BC 中点，CE 为AB 边的高，点M 在AB 边上，点N 在线段CE 上，且DM DN ⊥．（1）如图l ，当45B ∠=︒时，线段AM 与CN 的数量关系为___________；（2）如图2，当30B ∠=︒时，求证：132ME AB -=；（3）如图3，在（2）的条件下，将射线DM 绕点D 顺时针旋转30︒，交AC 边于点F ，连接MF 、MN ，若:BM CN =MN =MF 的长．解析：（1）AM CN =提示：连接AD ，∵AB AC = ，45B ∠=︒ ，∴90BAC ∠=︒ ，45C ∠=︒ ，∵D 为BC 边上的中点，∴AD BD DC == ，且AD BC ⊥ ，∴45DAB B C ∠=∠=︒=∠∵MD DN ⊥ ，∴90MDA AND ∠+∠=︒ ，且90AND NDC∠+∠=︒ ， ∴MDA NDC ∠=∠ ，在ADM 与CDN 中，DAB C AD CDMDA NDC ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩CB∴ADM CDN ≌（2）连接AD∵AB AC = ，D 为BC 中点，30B ∠=︒∴AD BC ⊥ ，30C B ∠=∠=︒ ，60BAD CAD ∠=∠=︒∵CE 为AB 边的高，∴60DCN∠=︒ ∵DMDN ⊥ ，∴ADM CDN ∠=∠ ∴ADM CDN ∽∴tan303AM AD CN CD ==︒= ，∴3AM = ∵1122ME AM AE AC AB -===∴132ME AB -=（3）由:BM CN =CN =，则5BM k =由（2）知3AM=，∴AM k =∴6AB k AC == ，132AE AC k == ，4ME k = ，CE =，NE = 在Rt MEN 中，222ME NE MN +=∴2224)()k +=，解得2k = （舍去负值）∴12AB = ，10BM = ，6AE = ，2AM = ，CE =BC =，BD CD ==连接AD，6AD ===,由（2）知ADM CDN ∽∴3DM AD AD DN CD BD===，∴30MND B MDF ∠=︒=∠=∠∴12DM MN ==∵30MDF B ∠=∠=︒ ，∴150BMD BDM ∠+∠=︒ ，150CDF BDM ∠+∠=︒∴BMD CDF ∠=∠ ，∴BMD CDF ∽ ，∴BM MD CD DF= ∵BD CD = ，∴BM MD BD DF= ∴BMD DMF ∽ ，∴MF MD MD BM =10= ，∴14 2.85MF ==。

中考数学有关旋转的问题

中考数学有关旋转的问题1. 中考旋转问题解题技巧中考数学几何题解不出答案的时候可以旋转。

初三上册数学旋转不是很重要。

在考察学生1时，会以填空题或者单项选择的形式出现。

但是它的概念和技巧比较重要的。

可以用于几何图形当中，尤其是培养动手能力。

2. 中考数学旋转问题初三的几何知识中有旋转几何，以下是旋转几何解题技巧：1. 观察题目：在解决任何几何问题时，首先应该看清楚题目并理解题目所求，然后再考虑如何解决问题。

2. 明确旋转轴：确定问题中的旋转轴，这是解决旋转几何问题的关键。

旋转轴可以是线段，可以是一个点，也可以是一个平面，这取决于题目的情况。

3. 找到旋转规律：根据旋转轴，观察图形的旋转规律，判断数学性质，如旋转角度、角度大小、对称性等等，再根据这些性质设置等式或者简化题目的复杂性。

4. 运用公式：根据旋转规律、对称性、等角关系、余角关系、内角和公式等知识去解题，并选择适合题目的计算方法如比值法、勾股定理等方法来解决问题。

5. 画图辅助：画张清晰准确的图形，并标注出旋转轴、旋转角度、已知边角等信息，辅助你解决这些题目。

6. 细心检查：解决完题目后应该再仔细检查一遍是否符合题意，有无漏选或错选的情况，这样可以避免不必要的错误。

以上就是初三旋转几何解题技巧，如果你掌握这些技巧，应该能够较好地解决旋转几何的问题。

3. 中考旋转问题解题技巧和方法根据1，是：在中考数学中，旋转题的画图方法是如下的。

1.首先，将给定的图形按照要求进行旋转，旋转的角度可以通过题目给出的条件确定。

2.根据旋转后的图形，利用纸和铅笔在试卷上画出旋转后的图形。

在画图时要确保旋转后的图形与给定图形的形状和比例相同，要严格按照题目要求进行画图。

3.可以使用直尺工具和量角器等辅助工具来帮助准确画出旋转后的图形。

4.在画完图形后，根据题目要求进行进一步的分析和计算，以得出最终的解答。

总结可以说，中考数学中的旋转题在解答时需要准确画出旋转后的图形，注意形状和比例的保持，并根据题目要求进行进一步的分析和计算。