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概率论与数理统计期末考试复习资料

设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数x ，有
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质： 1° f (x) 0 。
2° f (x)dx 1。
X
| x1, x2,, xk, 。
P( X xk) p1, p2,, pk,
显然分布律应满足下列条件：
（2）连续型随机变量的分布密度
（3）离散与连续型随机变量的关系（4）分布函数
（5）八大分布
（1） pk 0 ，k 1,2,，（2） pk 1。 k 1
ba
f
(x)

b
1
a
,
0,
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
0，
xa, ba
x<a， a≤x≤b
x
F (x) f (x)dx

1，
x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（x1, x2 ）内的概率为
P( A)
条件概
下，事件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) P(AB) 。
P( A)
率
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1P( B /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式：P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有

概率论与数理统计期末考试复习资料

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件满足
1° 两两互不相容，，
2° ，
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件，，…，及满足
1° ，，…，两两互不相容， >0， 1，2，…，，
2° ，，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
。
指数分布
,
0, ,
?
?其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。
X的分布函数为
,
x<0。
?记住积分公式：
正态分布
设随机变量的密度函数为
，，
其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。
具有如下性质：
1° 的图形是关于对称的；
2°当时，为最大值；
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
记为（X，Y）～N（
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即X～N（
但是若X～N（，(X，Y)未必是二维正态分布。
（10）函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝

概率论与数理统计期末考试复习资料汇编

式
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) ……P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
（14）设事件 A 、B 满足P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立独立性的。
若事件 A 、B 相互独立，且P(A) 0 ，则有
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第 1 章随机事件及其概率
（1）排列组合公式
Pmn

m! (m n)!
C
n m

m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
（2）加法和乘法原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步
（6）事件的关系与运算
B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发
德摩根率：
Ai

Ai
AB AB，AB AB
i1
i 1
设为样本空间，A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，

概率论与数理统计(A)期末复习资料

《概率论与数理统计（A ）》期末复习资料一、选择题：1.设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B2.设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则( ).(A)A 和B 两事件互不相容(互斥)； (B)AB 是不可能事件； (C)AB 未必是不可能事件； (D)0)(=A P 或0)(=B P . 3.如果0)(=AB P ，则( ).(A))()(A P B A P =-； (B)A 与B 不相容； (C)A 与B 不相容； (D))()()(B P A P B A P -=-. 4.如果1)()(=+B P A P ，则( ).(A)1)(=⋃B A P ； (B)0)(=⋂B A P ； (C))()(B A P B A P ⋂=⋂； (D))()(B A P B A P ⋃=⋂. 5.设A 和B 相互独立，则下列结论错误的是( ).(A)B ,A 独立； (B)B ,A 独立； (C))()()(B P A P B A P =； (D)φ=AB .6.设B A ⊂且相互独立，则( ).(A)0)(=A P ； (B)1)(0)(==B P A P 或； (C)1)(=A P ； (D)上述都不对. 7.设随机变量~(2,)X B p ，若()159X P ≥=，则p =( ). (A)32； (B)21； (C)31； (D)2719.8.设随机变量X 概率分布为,,2,1)1()( =+==k k k ak X P ，则a 为( ).(A)0； (B)1； (C)2； (D)3.9.设随机变量X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则λ=( ). (A)2； (B)1； (C)4； (D)0.5.10.若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式（）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=b ax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()11.设随机变量),(~2σμN X ，且022=++X x x 无实根的概率为0.5，=μ( ). (A)-1； (B)0； (C)1； (D)2.12.随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,0,20,20,),(y x cx y x f ，则c 为( ).(A)0.25； (B)1； (C)2； (D)4.13.设随机变量Y X ,相互独立，它们的密度函数分别为⎩⎨⎧≤>=-000x ,;x ,e )x (f x X ，⎩⎨⎧≤>=-00022y ,;y ,e )y (f y Y ，则=>)Y X (P ( ).(A)31； (B)21； (C)32； (D)43.14.设X ～)4,2(N 且b aX +～)1,0(N ，则( ). (A)22-==b a ，； (B)12-=-=b a ，； (C)121==b a ，； (D)121-==b a ，.15.设)1(~P X ,)2(~P Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (1,2)b (B) (3)P (C) (1.5)P(D) (2,1)b16.设随机变量)6.0,20(~b X ,)6.0,10(~b Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (10,0.6)b (B) (20,0.6)b (C) b(30,0.6) (D) (18)P17.设),(~p n b X 且6 3.6EX DX ==，,则有()(A) 100.6n p ==， (B) 200.3n p ==，(C) 150.4n p ==， (D) 120.5n p ==， 18.设12,,n X X X 是取自正态总体X ～)1,0(N 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)X ～)1,0(N ； (B)X n ～)1,0(N ； (C)S X /～)1(-n t ； (D)∑=ni i X 12～)(2n χ.19.设n X X X 21,是取自正态总体X ～),(2σμN 的样本（2>n ）, 2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)1--n SX μ～)1(-n t ； (B)22)(S X n μ-～)1,1(-n F ； (C)22σS ～)1(2-n χ； (D)122X X -～),(2σμN .20.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211(())1ni i S X X n ==--∑ X 分别为样本方差和样本均值，则下面结论中不正确的是( ). (A)2~(,)X N n σμ ；(B)22()E S σ=； (C)22()1nE S n σ=-； (D)222(1)/~(1)n S n σχ--. 21.已知随机变量X 与Y 相互独立,且2~(40)X χ,2~(80)Y χ,则~/2Y X ().(A)2(40)χ (B) (20,40)F (C) (40,80)F (D) 2(80)χ22.设n X X X ,,,21 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（）是μ无偏估计．(A) 321X X X ++ (B) 321525252X X X ++ (C) 321515151X X X ++ (D) 321535151X X X ++23.对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中,Z 检验解决的问题是（）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值(C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差24.对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,,则下列各式中（）不是统计量．(A)1X (B) μ+X(C)221σX (D)1X μ25.设n X X X ,,,21 是正态总体),(~2σμN X （2σ已知）的一个样本,按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时,判断是否接受0H 与（）有关.(A) 样本值,显著水平α (B) 样本值,样本容量(C) 样本容量n ,显著水平α (D) 样本值,样本容量n ,显著水平α 26.在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是（）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差 27.假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大,一个减小二、填空题：1.设B A ,是两个事件，且=)(B A P 1，则=-)(A B P .2.设()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()AB P = ，()B A P = .3.设事件B A ,和B A ⋃的概率分别为0.2，0.3和0.4，则=)(A B P _______.4.设B A ,是两个随机事件，()0.4()0.3P A P B ==，，若B A ,相互独立，则()P A B ⋃= ，则()P B A = .5.三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为 .6.设甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投篮3次，则有人投中的概率为 .7.从0,1,2,,9这10个数字中任意选出3个不同的数字，则3个数字中不含0或5的概率为 .8.某工厂一个班组共有男工9人，女工5人，现在要选出3个代表，则选的3 个代表中至少有1个女工的概率为 .9.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()2D X =，则(1)p X ==________. 10.设随机变量),(N ~X 42，则~X Y 22-=. 11.设随机变量Y 在]5,0[上服从均匀分布，则关于x 的一元二次方程02442=+++Y xY x 有实根的概率为 .12.设)(1x F 与)(2x F 分别是任意两个随机变量分布函数，令=)(x F)()(21x bF x aF +，则下列各组数中使)(x F 为某随机变量的分布函数的有 =a ， =b .13.已知连续随机变量X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x λ--≥=<⎧⎨⎩，0λ>，则其密度函数为，(2)P x ≤= ；已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 , 010,2)(x x x f 则:)5.15.0(<<X p = .14.设随机变量X 分布律为令,12+=X Y 则随机变量X 分布律为 ;=)(Y E _________.15.若二维随机变量(,)X Y 具有分布律：则(21)P Y X ===________. 16.设随机变量X 分布列如下表则E (X )=________，D (X )=________.17.两独立随机变量X Y 和都服从正态分布，且()()~3,4~2,9X N Y N ，，则()D X Y +=________;又两个相互独立的随机变量~(3),V ~P(2)U E ,则(22)D U V ++=________.18.设X 服从[-1，2]上的均匀分布，令⎩⎨⎧<-≥=,01,01X X Y ，，则=)(Y E ，=)(Y D .19.设相互独立的随机变量X ,Y 均服从参数为5的指数分布，则当0,0x y >>时，(,)X Y 的概率密度(,)f x y =________.20.设总体)1,0(~N X ,1210,,,X X X 是来自总体X 的样本，则~X .21.设总体2~(0,)X N σ，921,X X X 为总体的一个样本，则)(9196521X X X X X X ++++++= 分布为 .22.设),(21n X X X 是取自参数为λ泊松分布的样本，则统计量i ni X Y ∑==1服从分布.23.设12n X X X ,,,为来自总体X 的样本，且~(0,1)X N ，则统计量21~nii X=∑ .24.设12,,,n X X X 是来自总体)1,0(~N X 的简单随机样本，则21()ni i X X =-∑服从的分布为 .25.设n X X X 21,是来自正态总体X ～N (μ，2σ)的样本，即它们是独立同分布，则~X ，~)1(22σS n - .26.在单边假设检验中,原假设为0H ：μ≤0μ,则其备择假设为1H ：_______________.27.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,其中2σ未知,12,,n X X X 为其样本.若假设检验问题为0010:,:,H H μμμμ=≠则采用的检验统计量表达式应为_______________.三、计算题1.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.2.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： (1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.3.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： (1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.4.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.5.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.6.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？8.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： (1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.9.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率；(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率； (3)F (x ).10.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.11.由某机器生产的螺栓长度（cm ）~(10.05,0.062)X N ,规定长度在10.050.12±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率..12.设一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布),160(2δN ,若要求{}8.0200120≥≤<X P ,允许δ最大不超过多少？13.设X ~N （3，22），(1)求P {2<X ≤5}，P {4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; (2)确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }.14.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.（2）求（X ，Y ）的边缘分布律；（3）求W =X +Y 的分布律.16.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(,其他y x y x k y x f (1)确定常数k ；(2)求P {X ＜1，Y ＜3}； (3)求P {X <1.5}； (4)求P {X +Y ≤4}.17.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为()⎩⎨⎧>>--=--.,0,0,0),e 1)(e 1(,24其他y x y x F y x求(X ，Y )的联合分布密度.18.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=.,0,10 ,1,01 ,1其他x x x x x f求)()(X D X E ，.19.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,其他x x x x x f求)()(X D X E ，.20.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,,其他x y x k y x f 试确定常数k ，并求)(XY E .21.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为()⎩⎨⎧≤≤=;,0,10,2其他x x x f X ()(5)e ,5,0,.y Y y f y --⎧>=⎨⎩其他求E (XY ).22.设总体X 服从二项分布b (n ，p )，n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩估计.23.设总体X 的密度函数()2(x )2,,f x e x R μμ--=∈X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数μ的矩估计. 24.设12,,,n x x x 为来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本的X1，X2， (X)观测值，试求总体未知参数2,μδ的极大似然估计.25.设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-.,0,10,),(1其他x x x f θθθn X X X 21,为其样本，求θ 的极大似然估计.26.某车间生产的螺钉，其直径2~N(,)X μδ，由过去的经验知道2δ=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 求μ的置信概率为0.95的置信区间.27.来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本为X 1，X 2，…，X n ，并且2μδ未知，已知，求μ的置信概率为1α-的置信区间.28.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差2s =0.1(2g ).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.。

概率论与数理统计期末考试复习资料

分布函数F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件B1, B2,, Bn 满足
（15） 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容，P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
全概公
2°
A

n

Bi
，
式
i 1
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。

n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
（17）
每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发
伯努利生与否是互不影响的。
概型这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用Pn(k) 表示n 重伯努利试验中 A 出现k(0 k n) 次的概率，
C Pn(k) k pk qnk ，k 0,1,2,, n 。 n
第二章随机变量及其分布
3
（1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，

概率论和数理统计期末考试题库

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ），D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：且X 与Y 相互独立。

则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分）设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2( ()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？ )4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立.(4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。

概率论与数理统计期末复习资料

《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程期末复习资料注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。

9、会求分布中的待定参数。

10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。

14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。

会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。

会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。

18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。

19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

概率论与数理统计第一章期末复习

概率论与数理统计第一章期末复习(一)随机事件1.随机现象定义1在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．定义2只有一个结果的现象称为确定性现象．2.样本空间定义3一个试验如果满足下述条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．就称这样的试验是一个随机试验，记作E．定义4随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记作Ω．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，记作ω．3.随机事件定义5随机试验的某些样本点的集合称为随机事件，简称事件，常用大写英文字母A，B，C，…表示．定义6由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件．而样本空间Ω的最大子集(即Ω本身)称为必然事件，样本空间Ω的最小子集(即空集∅)称为不可能事件．4.事件的关系与运算下面的讨论总是假设在同一个样本空间Ω中进行．1)包含关系⊂如果属于A的样本点必属于B，则称A包含于B或称B包含A，记作A B ⊃．用概率的语言说：事件A发生必然导致事件B发生．或B A对任一事件A，必有∅Ω⊂A．⊂2)相等关系如果属于A的样本点必属于B，且属于B的样本点必属于A，即BA⊂且=．AB⊂，则称事件A与B相等，记作A B3)互不相容(互斥)如果A 与B 没有相同的样本点，则称A 与B 互不相容(互斥)．即事件A 与事件B 不可能同时发生．4)两事件的和事件“事件A 与B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的和(或并)，记作B A ．5)两事件的积事件“事件A 与B 同时发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的积(或交)，记作B A (或AB )．6)两事件的差事件“事件A 发生而B 不发生”，这样的事件称为事件A 对B 的差，记作A B -．7)对立事件或逆事件若=AB ∅且Ω=B A ，则称A 与B 为对立事件或互为逆事件，事件A 的对立事件记作A ．【例1】设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，则(1)事件{A 发生且B 与C 至少有一个发生}可表示为：)(C B A ；(2)事件{A 与B 发生而C 不发生}可表示为：C AB ；(3)事件{A 、B 、C 中至少有两个发生}可表示为：BC AC AB ；(4)事件{A 、B 、C 中至多有两个发生}可表示为：ABC ；(5)事件{A 、B 、C 中不多于一个发生}可表示为：AB BC AC ；(6)事件{A 、B 、C 中恰有一个发生}可表示为：ABC ABC ABC ．【例2】关系()成立，则事件A 与B 为对立事件．A ．=AB ∅B ．Ω=B AC ．=AB ∅，Ω=B AD ．=AB ∅，Ω≠B A 【解析】由对立事件的概念可知选项C 正确．【例3】甲、乙两人谈判，设事件A ，B 分别表示甲、乙无诚意，则B A 表示()A ．两人都无诚意B ．两人都有诚意C ．两人至少有一人无诚意D ．两人至少有一人有诚意【解析】由题可知A 与B 分别表示甲、乙有诚意，则B A 表示甲、乙两人至少有一人有诚意，故选项D 正确．5.事件的运算性质(1)交换律：A B B A =，BA AB =；(2)结合律：C B A C B A )()(=，)()(BC A C AB =；(3)分配律：()()()A B C AB AC = ，()()()A B C A C B C = ；(4)对偶律：B A B A = ，B A AB =．一些有用的等式：A A A = ，A Ω=Ω ，A A ∅= AA A =，A A Ω=，A ∅=∅A B A AB AB -=-=，A B A B A =【例4】化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．【解】(1) A B B A B A B A ==)())((ØA =；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3)))(())((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．(二)随机事件的概率1.概率的公理化定义定义1设E 是随机试验，Ω是它的样本空间．对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为)(A P ，称为事件A 的概率，如果集合函数)(⋅P 满足下列条件：(1)非负性0)(≥A P ，对Ω∈A ；(2)规范性()1P Ω=；(3)可列可加性若=j i A A ∅，j i ≠， ,2,1,=j i ，有∑+∞=+∞==11)()(i i i i A P A P ．2.概率的性质性质1不可能事件的概率为0，即()0P ∅=．性质2概率具有有限可加性，即若=j i A A ∅(n j i ≤<≤1)，则∑===ni i n i i A P A P 11)()( ．性质3对任一随机事件A ，有()1()P A P A =-．性质4若A B ⊂，则)()()(B P A P B A P -=-．推论若A B ⊂，则)()(B P A P ≥．性质5对任意的两个事件A ，B ，有)()()(AB P A P B A P -=-．性质6对任意的两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB =+- ．对任意三个事件A ，B ，C ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= ．推论对任意的两个事件A ，B ，有)()()(B P A P B A P +≤ ．【例1】设A 与B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是()A ．A 与B 为对立事件B ．A 与B 互不相容C ．)()()(B P A P B A P -=-D ．)()(A P B A P =-【解析】因为A 与B 互不相容，所以AB =∅，0)(=AB P ，故选项A ：互不相容不一定对立，故选项A 错误；选项B ：互不相容不一定对立，故B A 不一定等于Ω，所以B A B A =不一定等于∅，即A 与B 不一定互不相容，故选项B 错误；选项C ：)()()()(A P AB P A P B A P =-=-，故选项C 错误，进而选项D 正确．【例2】已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．【解】(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．【注】事件的概率的计算常常需要结合对偶律，应用性质3．【例3】已知事件A ，B ，B A 的概率分别是0.4，0.3，0.6，求(B A P ．【解】)()()()(AB P B P A P B A P -+= )(3.04.06.0AB P -+=所以1.0)(=AB P ，则3.0)()()((=-=-=AB P A P B A P B A P ．【例4】已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ．求：(1)A ，B ，C 中至少发生一个的概率；(2)A ，B ，C 都不发生的概率．【解】(1)因为0)(=AB P ，且AB ABC ⊂，所以由概率的单调性知0)(=ABC P ；再由加法公式，得A ，B ，C 中至少发生一个的概率为)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 8516243=-=．(2)因为{A ，B ，C 都不发生}的对立事件为{A ，B ，C 中至少发生一个}，所以A ，B ，C 都不发生的概率为83851(=-=C B A P ．3.古典概型定义2若随机试验E 具有下述特征：(1)样本空间的元素(即样本点)只有有限个，不妨设为n 个，并记它们为12,,,n ωωω ．(2)每个样本点出现的可能性相等(等可能性)，即有12()()()n P P P ωωω=== ．则称这种等可能性的概率模型为古典概型．对任意一个随机事件Ω∈A ，有nk A A P =Ω=中所有样本点的个数所含有样本点的个数事件)(．【例5】袋中有大小相同的4个白球，3个黑球，从中任取3个至少有2个白球的概率为．【解析】袋中共有7个球，从中任取3个，共有37C 中取法，即样本空间Ω中共有37C 个样本点．取出的3个球中至少有2个白球，分为2个白球1个黑球和3个白球两种情况．当取出的3个球中有2个白球1个黑球时，共有1324C C 中取法；当取出的3个球中有3个白球时，共有0334C C 中取法．记=A {从中任取3个至少有2个白球}，则事件A 中共有03341324C C C C +个样本点．因此3522)(3703341324=+=C C C C C A P ．(三)条件概率1.条件概率定义1设A 与B 是样本空间Ω中的两个事件，若0)(>B P ，则称)()()(B P AB P B A P =为“在事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率”，简称条件概率．【例1】已知31)()(==B P A P ，61)(=B A P ，求(B A P ．【解】∵61)()()(==B P AB P B A P ，∴181)(=AB P ，)(1)()()()(B P B A P B P B A P B A P -== )(1)]()()([1B P AB P B P A P --+-=127=．【注】条件概率的计算通常与概率的性质结合使用．【技巧】在计算过程中，只要有概率的性质可以用，就一直用概率的性质计算，直到没有概率的性质可用时，对得到的式子进行化简整理，代入已知数据计算．2.乘法公式定理1(乘法公式)(1)若0)(>B P ，则)()()(B A P B P AB P =．(2)若0)(121>-n A A A P ，则)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ．【例2】一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第三次才取得合格品的概率．【解】设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ．由题意知，所求概率为)(321A A A P ，易知10010)(1=A P ，999)(12=A A P ，9890)(213=A A A P ．由此得)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =0083.0989099910010≈⋅⋅=．3.全概率公式定义2设Ω为试验E 的样本空间，1B ，2B ，…，n B 为E 的一组事件．如果=j i B B ∅，j i ≠，n j i ,,2,1, =且Ω=n B B B 21，则称1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分．定理2(全概率公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则对任一事件A 有)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==．4.贝叶斯公式定理3(贝叶斯公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>A P ，0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则∑==n i j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1)()()()()(，n i ,,2,1 =．【例3】一批同型号的零件由编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的三台机器共同生产，各台机器生产的零件占这批零件的比例分别为35%、40%和25%，各台机器生产的零件的次品率分别为3%、2%和1%．(1)求该批零件的次品率；(2)现从该批零件中抽到一颗次品，试问这颗零件由Ⅰ号机器生产的概率是多少？【解】设=A {零件是次品}，=1B {零件由Ⅰ号机器生产}，=2B {零件由Ⅱ号机器生产}，=3B {零件由Ⅲ号机器生产}，则由题设知35.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，25.0)(3=B P ，03.0)(1=B A P ，02.0)(2=B A P ，01.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 021.0=．(2)题目要求的是)(1A B P ，由贝叶斯公式，得21)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．【例4】有甲、乙、丙三厂同时生产某种产品．甲、乙、丙三厂的产量之比为1：1：3，次品率分别为4%，3%，2%．(1)若从一批产品中随机抽出一件，求这件产品为次品的概率．(2)若产品的售后部门接到一名顾客投诉，说其购买的产品为次品，请问哪个厂最该为此事负责，为什么？【解】设=A {产品为次品}，=1B {产品由甲厂生产}，=2B {产品由乙厂生产}，=3B {产品由丙厂生产}，则由题设知，2.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，6.0)(3=B P ，04.0)(1=B A P ，03.0)(2=B A P ，02.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 026.0=．(2)由贝叶斯公式，得134)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，133)|()()|()()(31222==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，136)|()()|()()(31333==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．所以在产品为次品的情况下，产品来自丙厂的可能性最大，丙厂最该负责．【注】全概率公式与贝叶斯公式通常一起考试．(四)独立性1.两个事件的独立性定义1若)()()(B P A P AB P =成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称A 与B 独立．否则称A 与B 不独立或相依．定理1若事件A 与B 独立，则A 与B 独立；A 与B 独立；A 与B 独立．【例1】甲、乙两人彼此独立的向同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率．【解】设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，则=B A {目标被击中}．则)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=98.0=．【例2】若事件A 与B 相互独立，8.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：)(B A P 和)|(B A A P ．【解】∵A 与B 相互独立，∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=92.0=．)())(()|(B A P B A A P B A A P =)()()()()(B A P B P A P B A P B A P ==13.0=．【例3】设)()(B A P B A P =，证明：A 与B 相互独立．【证】因为)()(B A P B A P =，所以有)(1)()()(1)()()()()(B P AB P A P B P B A P B P B A P B P AB P --=--==，即有)]()()[()](1)[(AB P A P B P B P AB P -=-，整理得)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 相互独立．2.多个事件的相互独立性定义2设A ，B ，C 是三个事件，若有⎪⎩⎪⎨⎧===)()()()()()()()()(C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P (1)第11页共11页则称A ，B ，C 两两独立．若还有)()()()(C P B P A P ABC P =，(2)则称A ，B ，C 相互独立．注意：只有(1)式与(2)式同时成立，事件A ，B ，C 才相互独立．(1)式成立不能保证(2)式成立；反过来，(2)式成立也不能保证(1)式成立．定义3设有n 个事件1A ，2A ，…，n A ，对任意的n k j i ≤<<<≤ 1，若以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()()()()()(2121n n k j i k j i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立．定理2如果n (2≥n )个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则其中任何m (n m ≤≤1)个事件换成相应的对立事件，形成的n 个新的事件仍相互独立．【例4】三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？【解】设A ，B ，C 分别表示三人独立译出密码，则51)(=A P ，31)(=B P ，41)(=C P ，且A ，B ，C 相互独立，有方法1：)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=6.0=．方法2：)(1)(C B A P C B A P -=(1C B A P -=()()(1C P B P A P -=53411)(311)(511(1=----=．。

《概率论与数理统计》总复习资料

《概率论与数理统计》总复习资料概率论部分1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。

例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：915C n ==5005事件B 包含的样本点：563514C C C r ==240，则P (B )=240/5005=0.048例2：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数}。

若允许千位数为0，此时个位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A 种选法；从而共有539A =2520个。

其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A 种选法；从而共有428A =224个。

因此410283945)(A A A B P -==2296/5040=0.4562．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。

例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A B )解：P (AB )=P (A )P (B )=0.3，P (A －B )=P (A )－P (AB )=0.2，P (A B )=P (A )＋P (B )－P (AB )=0.8例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求：P (A －B )，P (A B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P 解：P (A －B )=0.1，P (A B )=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -==2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。

概率论与数理统计期末总复习

(3) 用样本 r 阶矩Ar 代替总体r 阶矩 µ , r
1 (样本 X1, X2,…, Xn的r 阶矩为 Ar X ir ，r 1, 2, , k ) n i 1 得未知参数 1, ,k 的矩估计量: ˆ ˆ 1 1 ( A1 , A2 , , Ak ) ˆ ˆ k k ( A1 , A2 , , Ak )
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第七章
1.点估计的方法
(1)矩估计法步骤：
(1) 求出总体的各阶原点矩,
E ( X ) i x f ( x;1 , 2 ,, k )dx
i
i

或
E ( X i ) i x j i p( x j ;1 , 2 , , k )
j
(i 1, 2 k )
3. 正态总体均值与方差的区间估计 (P28 13 P29－30 14、 15、16 、17)
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n
(2)极大似然估计的步骤： 1. 写出似然函数
L(1 , 2 , k ) f ( xi , 1 , 2 , k )
i 1
n
2. 似然函数 L(1 , 2 , k ) 取对数函数
ln L(1 , 2 , k ) ln f ( xi , 1 , 2 , k )
2
n
LXY
n 1 n ( xi x )( yi y ) x i y i x i y i n i 1 i 1 i 1 i 1
n
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2.求一元线性回归方程 (P35 3(2)) (1) 根据样本观察值求回归系数

概率论和数理统计期末考试试题及复习资料

2 (1x2 6x 16)dx 8
----------------------------------------------------------10 分
0 0 24
24 0 2
9
3、解：由卷积公式得 f Z (z)
f (x, z x)dx
，
又因为 X 与 Y 相互独立，所以 f Z (z)
f X (x)
0,
其他，
求：随机变量 Y e X 1的概率密度函数.
(5)二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则 X+Y 与 X-Y 不相关的充要条件为（A） EX EY (B) EX 2 [EX ]2 EY 2 [EY ]2 (C) EX 2 EY 2 (D) EX 2 [EX ]2 EY 2 [EY ]2
三、解答题（共 65 分） 1、(10 分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全
厂的 25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为 5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率
(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？
(2)某人花钱买了 A、B、C 三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立
(4)设随机变量 X 的密度函数为 f (x) ，且 f (x) f (x), F(x a 成立的是
a
（A） F (a) 1 f (x)dx 0
（C） F(a) F(a)
（B） F(a) 1
a
f (x)dx
20
（D） F(a) 2F(a) 1
求：（1）常数 k
1 e(zx) dx ez (e 1);
0
所以
0
fZ (z)

概率论与数理统计期末复习知识点

fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
当X 和Y 相互独立:卷积公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
f X (z y) fY ( y)dy
(2) 当X 和Y 相互独立时:
M = max(X,Y ) 的分布函数
Fmax(z) P{M z} FX (z)FY (z)
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk k 1
(1-3)设( X,Y ) 离散型随机变量. 分布律为：
P{X xi , Y y j } pij i, j 1,2,
若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）
则 E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( xi , y j )pij
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F ( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0
2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
(一)均匀分布
pi1
p•1
pi2
p•2
pij pi•
p• j 1
性质：
1 0 pij 1
2
pij 1.
j 1 i1
2.边缘分布律
3. 独立性
pij pi• p• j , ( i, j 1,2, )
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1

概率论与数理统计期末复习资料

P(X k)
n
Cnk pk qnk
(q p)n 1
k 0
k 0
随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为X ~ b(n, p) 当n=1时，即为(0-1)分布。
3.泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为
P( X k) ke ，k 0,1, 2,, 0
对随机试验，若样本空间只包括两个元素，即
S {e1, e2}，则一定能在S上定义一个服从(0-1)分布
的随机变量，令
X

0 1
e e1 e e2
例抛硬币一次，定义随机变量X为出现正面的次数，
则
X

0 1
反面正面
X01
pk 1
1
2
2
2.二项分布
随机试验E只有两个可能结果：A和 A ，则称E为伯
则 P(A1 A2
An ) P(A1) P( A2 ) P( An )
2. A 是A的对立事件，则 P A 1 P A
3. A B 则 P(B A)=P(B) P(A)
4. 一P(A B) P(A) P(B) P(AB)，当A，B互斥即AB
例将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设 A={至少有一次为正面H}，B={两次掷出同一面}，求P(B|A)
解：样本空间S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}。则可得：
P(B|A)＝1/3
条件概率的计算公式：
P
B|A

P Aபைடு நூலகம் P A
事件间的关系与事件的运算
1. 事件间的关系

概率论与数理统计期末考试试卷复习资料

数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B A)=0.8，则P () 0.7 。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ1。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += k μ+)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2－Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )0.3。

2、设X B (2)，Y B (3)，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，21，则D (Y )= 4/3 。

5、设随机变量X 的概率密度是：⎩⎨⎧<<=其他103)(2x x x f ，且{}784.0=≥αX P ，则α=0.6 。