(北京专用)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算夯基提能作业本文

第一节平面向量的概念及其线性运算
A组基础题组
1.已知O,A,B是同一平面内的三个点,直线AB上有一点C满足2+=0,则=( )
A.2-
B.-+2
C.-
D.-+
2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
3.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形
B.平行四边形
C.梯形
D.以上都不对
4.若||=||=|-|=2,则|+|= .
5.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则
x= ,y= .
6.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命
题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.
其中正确命题的个数为.
7.如图,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.
8.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t,使C,D,E三点在同一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.
B组提升题组
9.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
10.如图,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,若=λ+μ(λ、
μ∈R),则等于( )
A. B. C. D.2
11.(2015北京朝阳期末)点O在△ABC的内部,且满足+2+4=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比是( )
A. B.3 C. D.2
12.(2015北京丰台二模)已知梯形ABCD中,AD=DC=CB=AB,P是BC边上一点,且=x+y.当P是BC 边的中点时,x+y= ;当P在BC边上运动时,x+y的最大值是.
13.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.
(1)用a,b表示向量,,,,;
(2)求证:B,E,F三点共线.
14.已知P为△ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a、b表示向量、
.
答案精解精析
A组基础题组
1.A 依题意,得=+=+2=+2(-),所以=2-,故选A.
2.D ∵c∥d,∴c=λd(λ∈R),
即ka+b=λ(a-b),
∴∴k=-1,则c=b-a,
故c与d反向.
3.C 由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.
4.答案2
解析∵||=||=|-|=2,
∴△ABC是边长为2的正三角形,
∴|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,∴|+|=2.
5.答案;-
解析由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下:
则有=(+),
所以=-=(+)-=-,
又因为=x+y,
所以x=,y=-.
6.答案 3
解析=a,=b,=+
=-a-b,故①错;
=+=a+b,故②正确;
=(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确;
∴++=-b-a+a+b+b-a=0,故④正确.∴正确命题为②③④.
7.解析∵=-=a-b,
∴===a-b,
∴=+=a+b.∵=a+b,
∴=+=+==a+b,
∴=-=a+b-a-b
=a-b.
综上,=a+b,=a+b,
=a-b.
8.解析存在.理由:由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在同一条直线上的充要
条件是存在实数k,使得=k,
即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因为a,b不共线,所以有
解得t=.
故存在实数t=,使C,D,E三点在同一条直线上.
B组提升题组
9.A 由++=0得,+=,
由O为△ABC外接圆的圆心,
结合向量加法的几何意义知,
四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,
故∠BAC=30°.
10.D 过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知,∠COD=30°,∠OCD=90°,∴OD=2CD,又由题意
知=λ,=μ,∴λ||=2μ||,即λ=2μ,故=2.
11.A 设=,=2,=4,则有++=0,所以O为△A'B'C'的重心,由重心的性质知,S△A'OB'=S△A'OC'=S△B'OC',设为S,由=,=2,知S△AOB=S.
同理,S△AOC=S,S△BOC=S.
而S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=S,
所以=·=,故选A.
12.答案;
解析当P是BC边的中点时,
易知=+,
所以x+y=+=.
当P在BC边上运动
时,=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ=(1-λ)+λ=+(1-λ)
=x+y,
所以即x+=1,
所以x+y=1+,又易知y∈[0,1],所以当y=1时,x+y取得最大值,最大值为.
13.解析(1)延长AD到G,使=,
连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,所以=a+b.
==(a+b),
==(a+b),
==b,
=-=(a+b)-a=(b-2a),
=-=b-a=(b-2a).
(2)证明:由(1)可知=,
又因为,有公共点B,
所以B,E,F三点共线.
14.解析∵=-=-a,
=-=-b,3+4+5=0, ∴3+4(-a)+5(-b)=0,
∴=a+ b.
设=t(t∈R),
则=ta+tb.①
又设=k(k∈R),
由=-=b-a,得=k(b-a). 而=+=a+,
∴=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②
由①②得解得t=.
代入①得=a+b.
∴=a+b,=a+b.。