安徽省马鞍山市12-13学年度高二上学期期末素质测试数学理试题

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安徽省马鞍山市2023-2024学年高二上学期期末测试数学试题含答案

马鞍山2023－2024学年度第一学期期末测试高二数学试题（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，已知()1,3,2A --，()2,0,4AB =，则点B 的坐标是A.()3,3,2 B.()3,3,2---C.()1,3,6- D.()1,3,6--【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.【详解】设(),,B x y z ，()1,3,2A --，则()1,3,2AB x y z =++-，而()2,0,4AB =，所以123024x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得136x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()1,3,6B -，故选：C.【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题.2.由点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=引的切线长是（）A.3B.C.D.5【答案】A 【解析】【分析】将圆的方程化为标准形式，求出点(1,4)P -到圆心()2,3的距离，结合勾股定理即可得解.【详解】圆2246120x y x y +--+=即圆()()22231x y -+-=的圆心半径分别为()2,3,1r =，点(1,4)P -到圆心()2,3的距离为d ==，所以点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=3=.故选：A.3.已知等差数列{}n a 的公差为1，108a =，则2024a =（）A.2021B.2022C.2023D.2024【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质代入即可求解.【详解】由题意得()2024102024101820142022a a +-⨯=+==.故选：B.4.抛物线22y x =的焦点坐标为（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()0,1【答案】C 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再求焦点坐标.【详解】由22y x =得212x y =，所以抛物线为开口向上的抛物线，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C5.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为12,F F ，等轴双曲线222y x b -=的焦点为3F ，4F ，若四边形1324F F F F 是正方形，则该椭圆的离心率为（）A.12B.2 C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的焦距相等列方程，然后整理可得.【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦距相等，所以有=，整理得2213b a =，所以3e ===.故选：C6.已知正项等比数列{}n a 中，24492a a ⋅=，791092a a ⋅=，则13a =（）A.732 B.832 C.932D.992【答案】B 【解析】【分析】由正项等比数列的性质，2243a a a ⋅=，2798313a a a a a ⋅==⋅，可求13a 的值.【详解】正项等比数列{}n a 中，2243492a a a ⋅==，则3232a =，27981092a a a ⋅==，则8532a =，又28313a a a =⋅，即131029322a =⋅，解得13832a =.故选：B7.三棱锥O ABC -中，点P ∈面ABC ，且12OP OA kOB OC =+-，则实数k =（）A.12-B.12 C.1 D.32【答案】D 【解析】【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解.【详解】由题意三棱锥O ABC -中，点P ∈面ABC ，且12OP OA kOB OC =+- ，所以1112k +-=，解得32k =.故选：D.8.已知O 为坐标原点，双曲线：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P ，且FP OA =，直线AP 与双曲线的左支交于点B ，则PFB ∠的大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】B 【解析】【分析】根据FP 垂直渐近线且=FP OA ，可得e =a b ==()1,1P -及2B x =-，这样就可得BF x ⊥轴，从而可得求解.【详解】易知FP b =，于是a b =，故离心率e =，不妨设a b ==()1,1P -，()2,0F -，)A，不难求得2B x =-，于是BF x ⊥轴，所以45PFB ∠=︒．故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若三条直线l 1：210x y -+=，l 2：10x y +-=，l 3：220x ay a ++-=有2个公共点，则实数a 的值可以为（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】BD 【解析】【分析】由题意知三条直线中，有两条直线相互平行，讨论13,l l 平行和23,l l 平行，求解即可.【详解】由题意可得，三条直线中，有两条直线相互平行，l 1：210x y -+=的斜率为2，l 2：10x y +-=的斜率为1-，所以12,l l 不平行，若13,l l 平行，则22211a a -=≠-，解得：1a =-，若23,l l 平行，则22111a a -=≠-，解得：2a =，综上：实数a 的值为1a =-或2a =.故选：BD .10.平面直角坐标系数Oxy 中，已知(1,0),(1,0)A B -，则使得动点P 的轨迹为圆的条件有（）A.1PA PB ⋅=B.221PA PB += C.||2||PA PB = D.||||3PA PB +=【答案】AC 【解析】【分析】设(,)P x y ，根据选项中的条件列出方程，化简，结合化简结果可判断动点轨迹是否为圆，即可判断A ，B ，C ；结合椭圆定义可判断D.【详解】设(,)P x y ，则(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--，对于A ，由1PA PB ⋅=得222211,2x y x y -+=∴+=，此时动点P 的轨迹为圆，A 正确；对于B ，由221PA PB += 得2222(1)(1)1x y x y --++-+=，则2212x y =-+，该式无意义，此时点P 不存在，B 错误；对于C ，由||2||PA PB ==，整理得2210103x y x +-+=，即22516()39x y -+=，此时动点P 的轨迹为圆，C 正确；对于D ，由||||3PA PB +=可知，动点P 到两定点(1,0),(1,0)A B -的距离之和为3，且3||2AB >=，此时动点P 的轨迹为椭圆，D 错误，故选：AC11.已知曲线C ：221mx ny +=，则下列结论正确的是（）A.若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若0m n =>，则CC.若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为0mx ny ±=D.若0,0m n =>，则C 是两条直线【答案】ABD 【解析】【分析】结合选项条件，分别根据椭圆、圆以及双曲线的标准方程，化简曲线C ：221mx ny +=为相应的标准方程，即可判断A ，B ，C ；0,0m n =>时，方程即为y =，即可判断D.【详解】对于A ，若0m n >>，则110m n<<故曲线C ：221mx ny +=，即22111x y m n+=，表示椭圆，其焦点在y 轴上，A 正确；对于B ，若0m n =>，110m n=>则曲线C ：221mx ny +=，即221x y n+=，表示半径为的圆，B 正确；对于C ，若0mn <，不妨设0,0m n ><，则曲线C ：221mx ny +=，即22111x y m n-=-，表示焦点在x 轴上的双曲线则a b ==b y x a =±=，0=，C 错误；对于D ，若0,0m n =>，曲线C ：221mx ny +=，即21ny =，即y =，则C 是两条直线，D 正确，故选：ABD12.已知数列{}n a 中，10a =，()2*1n n n a a a n λ+=+-∈N，则下列结论正确的是（）A.当0λ=时，数列{}n a 为常数列B.当0λ<时，数列{}n a 单调递减C.当104λ<≤时，数列{}n a 单调递增D.当14λ>时，数列{}n a 为摆动数列【答案】ABC 【解析】【分析】求出数列{}n a 各项的值，可判断A 选项；利用数列的单调性可判断B 选项；利用数学归纳法推导出n a ⎡∈⎣，结合数列的单调性可判断C 选项；取1λ=，求出数列{}n a 各项的值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当0λ=时，()2*1n n n a a a n +=-∈N，由10a =可得20a =，30a =，40a =，L ，以此类推可知，对任意的n *∈N ，0n a =，此时，数列{}n a 为常数列，A 对；对于B 选项，当0λ<时，则210n n n a a a λλ+-=-≤<，此时，数列{}n a 单调递减，B 对；对于C 选项，因为104λ<≤，()2*1n n n a a a n λ+=+-∈N ，且10a =，则(2a λ=∈，猜想，n *∀∈N ，0n a ≤<当1n =时，猜想成立，假设当()n k k *=∈N时，猜想成立，即0ka≤<，则当1n k =+时，2211124k k k k a a a a λλ+⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，因为104λ<≤，则102<≤，则函数21124y x λ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭在⎡⎣上单调递增，所以，2211124k kk k a a a a λλλ+⎛⎫⎡=-++=--++∈ ⎪⎣⎝⎭，即1k a +⎡∈⎣成立，由数学归纳法可知，对任意的n *∈N ，n a ⎡∈⎣，所以，210n n n a a a λ+-=->，此时，数列{}n a 单调递增，C 对；对于D 选项，当14λ>时，取1λ=，则()2*11n n n a a a n +=+-∈N 且10a =，则21a =，31a =，41a =，L ，以此类推可知，当2n ≥且n *∈N 时，1n a =，即0,11,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，此时，数列{}n a 不是摆动数列，D 错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：判断数列单调性的方法有：（1）利用数列对应的函数的单调性判断；（2）对数列的前后项作差（或作商），利用比较法判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点()1,0作直线与24y x =交于A ，B 两点，若||4AB =，则直线AB 的倾斜角为______.【答案】90︒【解析】【分析】联立直线与抛物线方程可求得12x x +，再利用抛物线的焦点弦公式得到关于m 的方程，解之即可得解.【详解】因为抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)F ，准线为=1x -，则直线AB 过抛物线的焦点，且由题意可知直线AB 的斜率不为0，不妨设直线AB 为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my --=，易知0∆>，则124y y m +=，故()21212242x x m y y m +=++=+，因为||4AB =，所以1224x x ++=，即2422m +=，故0m =，所以直线AB 的方程为1x =，则直线AB 的倾斜角为90︒.故答案为：90︒.14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．【答案】1n-【解析】【详解】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-=，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n n n S =-+--=-，即1n S n =-.【点睛】这类型题使用的公式是11n n n S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥，一般条件是()n n S f a =，若是消n S ，就需当2n ≥时构造()11n n S f a --=，两式相减1n n n S S a --=，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1nn n a S S -=-，再利用递推求解通项公式.15.设12,F F 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆上任一点，若1260F PF ∠=︒且12F PF △的面积为3，则该椭圆的短轴长为______.【答案】10【解析】【分析】由椭圆定义得到122PF PF a +=，122F F c =，由余弦定理得到21243b PF PF ⋅=，结合三角形面积公式得到方程，求出5b =，得到答案.【详解】由椭圆定义得122PF PF a +=，122F F c =，由余弦定理得()2222212121212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅222121212124244222a PF PF c b PF PF PF PF PF PF -⋅--⋅==⋅⋅，即2121242122b PF PF PF PF -⋅=⋅，解得21243b PF PF ⋅=，由三角形面积公式得221212114sin 22323b PF PF FPF ⋅∠=⋅⋅=，即233=，解得5b =，故该椭圆的短轴长210b =.故答案为：1016.设集合{}1,2,3,,14A ⊆ ，若A 中任意3个元素均不构成等差数列，则集合A 中元素最多有______个．【答案】8【解析】【分析】先判断出8k ≤，再根据特例可判断等号成立，故可求元素个数的最大值.【详解】设{}12,,,k A a a a = ，若9k ≥且{}n a 递增，由题意可知31533,3a a a a -≥-≥且3153a a a a -≠-，故517a a -≥，同理957a a -≥，又5195a a a a -≠-，故有9115a a -≥，矛盾．故8k ≤，取{1,2,4,5,10,11,13,14}A =满足条件．故答案为：8.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.棱长为2的正四面体PABC 中，设PA a = ，PB b = ，PC c =．M ，N 分别是棱,AB PC 的中点．（1）用向量a ，b ，c 表示MN；（2）求||MN．【答案】（1）1()2MN a b c =--+（2）||MN =【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理求解即可；（2）由空间向量模长公式和数量积公式求解即可.【小问1详解】连接PM ，所以()111222MN PN PM PC PA AM PC PA AB ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭111111222222PC PA PB PA PC PA PB ⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，因为PA a = ，PB b = ，PC c =，所以1111111()2222222MN PC PA PB c a b a b c =--=--=--+.【小问2详解】MN == 因为正四面体PABC 的边长为2，所以,,a b c的夹角为60︒，2a b c === ，所以12222c a b a c b ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，MN == .18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且11a +，21a +，41a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，*N n ∈，n S 是{}n b 的前n 项和，求使113n S <成立的最大的正整数n .【答案】（1）41n a n =-（2）8【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，由题意列出关于d 的方程，求出d ，即可求得答案；（2）结合（1）可得11n n n b a a +=的表达式，利用裂项相消法求得n S 的表达式，解数列不等式，即可求得答案.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，13a =，由11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()()2214111a a a +=++，即2(4)4(43)d d +=+，解得4d =或0（舍），所以34(1)41n a n n =+-=-；【小问2详解】因为111111(41)(43)44143n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111111437711414343433(43)n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-== ⎪-+++⎝⎭⎝⎭，由113n S <，得13(43)13n n <+，解得9n <，所以使113n S <成立的最大的正整数8n =.19.在三棱台111ABC A B C -中，1111,2,4A B AA AB ===，1AA ⊥平面ABC ，11AB AC ⊥．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若4BC =，求直线1AC 与平面1B AC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）19【解析】【分析】（1）根据题意先证1AB ⊥平面1BAC ，可得1AB BC ⊥，进而可证BC ⊥平面11BAA B ，即可得结果；（2）建系，求平面1B AC 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为1AA ⊥平面ABC ，且,AB BC ⊂平面ABC ，可知1AA BC ⊥，1AA AB ⊥，在11Rt B A A △中，可得11111tan 2AA AB A A B ∠==，在1Rt A AB △中，可得11111tan tan 2AA B A B A BA BA ∠=∠==，即1111tan tan 1AB A B A B ∠⋅∠=，且1111π,0,2AB A B A B ⎛⎫∠∠∈ ⎪⎝⎭，可得1111π2AB A B A B ∠+∠=，则11AB A B ⊥，又因为11AB AC ⊥，111A B AC A ⋂=，11,A B A C ⊂平面1BAC ，可得1AB ⊥平面1BAC ，且BC ⊂平面1BAC ，则1AB BC ⊥．且11AA AB A = ，11,AA AB ⊂平面11BAA B ，可得BC ⊥平面11BAA B ，且AB ⊂平面11BAA B ，所以BC AB ⊥．【小问2详解】如图，以B 为坐标原点，,BC BA 分别为,x y 轴所在直线，过B 平行于直线1AA 的直线为z 轴所在直线，建立空间直角坐标系则11(0,4,0),(4,0,0),(0,3,2),(0,4,2)A C B A ，可得111(4,4,2),(0,1,2),(4,3,2)CA AB CB =-=-=-，设平面1B AC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11204320n AB y z n CB x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令1z =，解得2x y ==，可得(2,2,1)n =，则11121cos ,639CA n CA n CA n ⋅===⨯⋅，所以直线1AC 与平面1B AC 所成角的正弦值为19．20.已知椭圆Γ：224x y λ+=（0λ>）．（1）若椭圆Γ的焦距为6，求λ的值；（2）设(0,1)P ，若椭圆Γ上两点M ，N 满足2MP PN =，求点N 横坐标取最大值时λ的值．【答案】（1）12（2）20【解析】【分析】（1）由焦距以及,,a b c 之间的关系列方程即可求解；（2）设出直线方程，并与椭圆方程联立，结合已知和韦达定理即可求解.【小问1详解】设焦距为26c =，则294c λλ=-=，解得12λ=．【小问2详解】要使点N 的横坐标最大，需直线MN 斜率存在．设:1MN y kx =+，与椭圆Γ联立得()2241840k x kx λ+++-=，由韦达定理：2284,4141M N M Mk x x x x k k λ--+==++．由2MP PN =知2M N x x =-，故()2841N M N kx x x k =-+=+，要使点N 的横坐标最大，在这里不妨取0k >，所以28814142N k k x k k =≤=+，当且仅当12k =时，等号成立．当12k =时，224241M N N x x x k λ-==-+，即482λ-=-，此时20λ=．21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在函数222x xy =+的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，（i ）求数列{}(21)n n a b -⋅的前n 项和n T ；（ii ）求数列{}2n n a b ⋅的前n 项和n R ．【答案】（1）()*n a n n =∈N （2）（i ）1(23)26n n T n +=-+；（ii ）()212326n n R n n +=-+-【解析】【分析】（1）由,n n S a 的关系即可求解；（2）（i ）由错位相减法以及等比数列求和公式即可得解；（ii ）由（i ）结论结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解.【小问1详解】点(),n n S 在函数222x x y =+的图象上，所以222n n nS =+．当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=．故()*n a n n =∈N ．【小问2详解】由（1）知，()*,2n n na n n b=∈=N．（i ）121232(21)2n n T n =⨯+⨯++- ①，23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-+- ②，①－②得：()()311231121222222(21)22(21)212n nn n n T n n -++--=++++--=+-- ，故1(23)26n n T n +=-+．（ii ）2122212222nn R n =⨯+⨯++⨯ ③，222322121222(1)22nn n R n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ④，③－④得：1222121123252(21)222nn n n n R n n T n ++-=⨯+⨯+⨯++--=- ，故()212326n n R n n +=-+-．22.过点()2,8-作直线l 与双曲线C ：221416x y -=交于A ，B 两点，P 是双曲线C 的左顶点，直线,PA PB与y 轴分别交于,Q R ．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）求证：线段QR 的中点M 为定点，并求出点M 的坐标．【答案】（1）522k k k ⎧⎫>-≠±⎨⎬⎩⎭且（2）证明见解析，(0,2)M -【解析】【分析】（1）设:8(2)l y k x -=+，与双曲线22:1416x y C -=联立由直线与双曲线的位置关系求解即可；（2）表示出直线PA 的方程，令0x =求出,Q R 得坐标，则()()()122112122222Q kM y y y x y x y y y x x ++++==++，将韦达定理代入化简即可得出答案.【小问1详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设:8(2)l y k x -=+，与双曲线22:1416x y C -=联立得：()()()22224416432800k x k k x k k --+-++=．因为直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，所以240k -≠且0∆>，由240k -≠，得2k ≠±，由()()()()2222Δ4164443280256250k kk k k k =++-⋅++=+>，得52k >-，解得直线l 斜率的取值范围为522k k k ⎧⎫>-≠±⎨⎬⎩⎭且．【小问2详解】(2,0)P -，设()()1122,,,A x y B x y ，则11:(2)2y PA y x x =++，令0x =得1122Q y y x =+，同理可得2222k y y x =+．于是，()()()122112121212222222Q kM y y y x y x y y y yy x x x x ++++==+=++++()()()()12211212122828241624k x x k x x k x x k x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++()()121212122(84)83224kx x k x x k x x x x +++++=+++，由韦达定理有()2212122243280416,44k k k k x x x x k k-++++==--，代入上式可得：()()()()()()222222243280(84)416(832)41282,6443280241644M k k k k k k k k y k k kk k -+++++++-===---+++++-所以线段QR 的中点为定点(0,2)M -．.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；。

高二上学期数学期末测试题

高二上学期数学期末测试题The document was prepared on January 2, 2021高二上学期数学期末测试题一、选择题：1．不等式212>++x x 的解集为 A.()()+∞-,10,1 B.()()1,01, -∞- C.()()1,00,1 - D.()()+∞-∞-,11, 2．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分不必要3.若,20πθ≤≤当点()θcos ,1到直线01cos sin =-+θθy x 的距离为41,则这条直线的斜率为 B.－1 C.23 D.－334.已知x 的不等式01232>+-ax ax 的解集是实数集 R ,那么实数a 的取值范围是A.0,916 B.0, 916 C.916,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡38,0 5.过点2,1的直线l 被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线方程为： A. 053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 013=+-y x6.下列三个不等式：①;232x x >+②2,0,≥+≠∈ba ab ab R b a 时、；③当0>ab 时,.b a ba +>+其中恒成立的不等式的序号是 A.①② B.①②③ C.① D.②③7.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点,O 为原点,则OM 的长是 A ．4 B ． C ．22 D ．29.与曲线1492422=+y x 共焦点,而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x10.抛物线x y 42-=上有一点P,P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为A ．32B ．2+3C ．3D ．32-11.若椭圆)1(122>=+m y mx与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ∆的面积是 A ．4B ．2C ．1D ．12.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点ＡＢ,其中点Ａ坐标为1,2,设抛物线焦点为Ｆ,则|FA |+|FB |= Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4二、填空题13. 设函数,2)(+=ax x f 不等式6|)(|<x f 的解集为-1,2,则不等式()1≤x f x的解集为 14.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的圆周,则ba11+的最小值为______ 15．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点,则焦点坐标是 . 16.抛物线x y 22-=上的点M 到焦点F 的距离为3,则点M 的坐标为____________. 三、解答题： 18．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ,其离心率为22,设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ已知直线l 与圆3222=+y x 相切,求证：OA ⊥OBO 为坐标原点；Ⅲ以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB,若点Q 在椭圆C 上,且满足OP OQ λ=O 为坐标原点,求实数λ的取值范围．19．已知圆C y 轴对称,经过抛物线x y 42=的焦点,且被直线x y =分成两段弧长之比为1：2,求圆C 的方程.20. 平面内动点Px,y 与两定点A-2, 0, B2,0连线的斜率之积等于-1/3,若点P 的轨迹为曲线E,过点Q (1,0)-作斜率不为零的直线CD 交曲线E 于点C D 、．1求曲线E 的方程； 2求证：AC AD ⊥；3求ACD ∆面积的最大值．21．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ,且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点,求直线l 的方程. 22、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ,上顶点为A ,过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆与x 轴正半轴Q P 、两点,且PQ AP 58=I 求椭圆离心率e ；II 若过A,F,Q 三点的圆恰好与直线033:=++y x l 相切,求椭圆方程答案一、ABDB A CD D A A C A 二、13. {x|x>21或52≤x }; 14. 4 ; 15.0,±3; 16．－5,25±. 三、17．解：由062322<--+-x x x x ,得0)2)(3()2)(1(<+---x x x x 18．Ⅰ椭圆方程为2212x y +=；Ⅱ见解析Ⅲ22λ-<<且0λ≠．解析试题分析：Ⅰ由已知离心率为22,可得等式222b a =；又因为椭圆方程过点(1M 可求得21b =,22a =,进而求得椭圆的方程； Ⅱ由直线l 与圆2223x y +=相切,可得m 与k 的等式关系即222(1)3m k =+,然后联立直线l 与椭圆的方程并由韦达定理可得122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,进而求出=21y y 222212m k k -+,所以由向量的数量积的定义可得→→⋅OB OA 的值为0,即结论得证；Ⅲ由题意可分两种情况讨论：ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称；ⅱ当0m ≠时,点A 、B不原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数λ的取值范围即可.试题解析：Ⅰ222c e a b c a==+离心率,222a b ∴= 222212x y b b ∴+=椭圆方程为,将点(12M ，代入,得21b =,22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．Ⅱ因为直线l 与圆2223x y +=相切,所以=即222(1)3m k =+ 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,所以1212()()y y kx m kx m =++=221212()k x x km x x m +++=222212m k k -+,所以1212OA OB x x y y ⋅=+=222212m k -++222212m k k -+=22232212m k k --+=0,故OA OB ⊥, Ⅲ由Ⅱ可得121222()212my y k x x m k +=++=+, 由向量加法平行四边形法则得OA OB OP +=,OP OQ λ=,OA OB OQ λ∴+= ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称,则0λ= 此时不构成平行四边形,不合题意． ⅱ当0m ≠时,点A 、B 不原点对称,则0λ≠,由OA OB OQ λ+=,得12121(),1().Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即224,(12)2.(12)Q Qkm x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩点Q 在椭圆上,∴有222242[]2[]2(12)(12)km mk k λλ-+=++, 化简,得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠,∴有2224(12)m k λ=+． ①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-,∴由0∆>,得2212k m +>． ②将①、②两式,得2224m m λ>0m ≠,24λ∴<,则22λ-<<且0λ≠．综合ⅰ、ⅱ两种情况,得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．19.解：设圆C 的方程为)(2a y x -+22r =, 抛物线x y 42=的焦点()0,1F221r a =+∴ ①又直线x y =分圆的两段弧长之比为1：2,可知圆心到直线x y =的距离等于半径的,21即22r a = ②解①、②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=±+y x20．1223144x y +=(2)x ≠±；2略；31. 解析试题分析：1根据题意可分别求出连线PA ,PB 的斜率PA k ,PB k ,再由条件斜率之积为13列出方程,进行化简整理可得曲线E 的方程,注意点P 不与点,A B 重合.根据斜率的计算公式可求得2PA y k x ,2PB yk x ,所以12223y yx x x ,化简整理可得曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±； 2若要证AB AC ,只要证0AB AC ,再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线BC 的方程为1myx ,1122,,,C x y D x y ,联立直线与椭圆的方程消去x ,可得y 的一元二次方程032)3(22=--+my y m ,由违达定理知33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,则12122623x x m y y m ,()()21212243113m x x my my m -+⋅=--=+,又112,ACx y ,222,AD x y ,所以()()()121212*********AC AD x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++=,从而可以证明AB AC ；3根据题意可知122111223ACDS AQ y y m △=⋅-=⨯=+,=故当0m =时,ACD △的面积最大,最大面积为1.试题解析：1设动点P 坐标为(,)x y ,当2x ≠±时,由条件得：1223y y x x ⋅=--+,化简得223144x y +=, 故曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±. 4分说明：不写2x ≠±的扣1分 2CD 斜率不为0,所以可设CD 方程为1+=x my ,与椭圆联立得：032)3(22=--+my y m 设),(),,(2211y x D y x C , 所以33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,. 6分 01323)1(31)()1(),2(),2(2222212122211=+++++-=++++=+⋅+m m m m y y m y y m y x y x ,所以AC AD ⊥ 8分3ACD ∆面积为2222221)3(334394||21+-+=++=-m m m m y y , 10分当0=m 时ACD △的面积最大为1. 12分考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.21．解：直线l 与x 轴不平行,设l 的方程为 a my x += 代入双曲线方程整理得而012≠-m ,于是122--=+=m amy y y B A T 从而 12--=+=m a a my x T T 即 )1,1(22mam am T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴mam a m am 即22+=a m ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=m 或 122+=a m当0=m 时,由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a m 时,由①得 1=a l m ∴±=,3的方程为13+±=y x . 故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x22．解：I ），（）、）（，（），由，（设b A b a c c F x Q 000220-=- 知),(),,(0b x AQ b c FA -==. cb x b cx AQ FA 2020,0,==-∴⊥ .设PQ AP y x P 58),,(11=由,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+=b b yc b x x 135581,138581581201 因为点P 在椭圆上,所以1)135()138(22222=+bb ac b 整理得ac c a ac b 3232222=-=）（，即 02322=-+⇒e e .21=⇒e II 由I,a c a c a c b ac b 21,21;23,3222====得由得于是AQF a Q a F ∆-),0,23(),0,21(的外接圆圆心为)0,21(a ,半径.21a FQ r ==因为这个圆与直线033:=++y x l 相切,所以a a =+2|321|,解得a =2, ∴c=1,b=3,所求椭圆方程为13422=+y x。

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含解析)

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．直线的倾斜角为( )A.45°B.60°C.135°D.150°2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则m 的值为( )3．已知等差数列满足，则( )A.10B.8C.6D.44．如图，三棱柱中，，，，点M 为四边形的中心点，则( )B.D.5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为( )A.， B.， C.， D.，6．已知数列的前n项和为，前n 项积为，满足，则( )A.45B.50C.55D.607．已知点F 为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A ,B 两点，点M 为的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若20x y ++=()0,0,1A ()1,2,3B (),,2C m n ABBC{}n a 1356a a a ++=24a a +=111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =11BCC B AM =1122b c ++ 1122a b c++1122b c +-1122a b c--222:14y x C b -=20x =()3,0()3,0-()0,3()0,3-()1,0()1,0-()0,1()0,1-{}n a n S n T 21n n S a =-1224log T T =22(0)y px p =>:21l y x =+AB 1M 1||MM =( )A.2B.3C.4D.58．已知函数表示不超过x 的最大整数，，，数列的前n 项和为，则( )A.673B.747C.769D.821二、多项选择题9．在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是( )A.向量关于平面的对称向量的坐标为B.若，则D.若，10．已知椭圆的上顶点为B ，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是( )A.若，则C.当时，过点D.若直线与椭圆C 的另一个交点为A ，，则11．已知等差数列的前n 项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是( )A. B. C. D.数列的前10项和为12．点A ,B 为圆上的两点，点为直线上的一个动点p =()[]f x x =41n a n =-[]2log n n b a ={}n b n S 100S =Oxyz ()2,2,1a =-(),,2b x y = a Ozx ()2,2,1a b ⊥ 20x y -+=225x y +=a b ⊥ 2x =-1y =-222:1(1)x C y a a +=>1F 2F 12BF BF ⊥a =2=2a =F 1BF 112BF F A = 232a ={}n a n S 11a =238a a +={}n a {}1n S -{}n b 21n a n =-21n S n =-10399b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭102122():21M x y -+=()1,P t -:1l x =-，则下列说法正确的是( )A.当，且为圆直径时，面积的最大值为3B.从点向圆C.A ,B 为圆M上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得D.当三、填空题13．已知直线，，则直线，之间距离的最大值为______.14．过点的直线l 被圆：所截得的弦长的最小值为______.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线、的斜率分别为、，且，若的面积为、的斜率分别为、，则______.16．已知抛物线，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于A ,B两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为，O 为坐标原点，则面积的最小值为______.四、解答题17．已知直线l 过点.（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点，O 为坐标原点，当的面积最小时，求直线l 的方程.18．已知数列的前n 项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.19．如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，的0t =AB PAB △P M π3APB ∠=(1,2P -+1+1:1l y kx =+()2:2l y k x =-1l 2l ()3,122450x y x +--=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F :l y kx =MP MQ MP k MQ k 3MP MQ k k ⋅=12MF F △1MF 2MF 1MF k 2MF k 12MF MF k k +=22(0)y px p =>602OAB △()1,23b a =OAB △{}n a n S 2n S n ={}n a 2n n n b a ={}n b n T P ABC -ABC PA PC ==（1）证明：；（2）若，点F 为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆C 上任意一点，点P 到距离的最大值为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点的两条不同的直线，关于x 轴对称，直线，与椭圆C 在x轴上方分别交于M 、N 两点.直线是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由.21．已知数列的前n 项和为，前n 项积为，满足.（1）求，和；22．已知点，圆，点，点的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆交于M ，N 两点，设直线，的倾斜角分别为,.（1）求曲线C 的方程；AC BP ⊥2PB =PB ACF PBC 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 1F )21+1F 1l 2l 1l 2l MN {}n a n S n T ()*12n n T a n =-∈N 1T 2T n T 11122n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭()12,0F -222:(2)10F x y -+=(,P x y 2(),P x y 2F 1F M 1F N αβ参考答案1．答案：C解析：根据题意：，所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，且，可得.故选：C 2．答案：B解析：根据题意：，，与共线，所以，可得故选：B 3．答案：D解析：由，得到，即，所以，故选：D.4．答案：A解析：根据题意，，又，所以，故选：A.5．答案：B解析：已知双曲线的渐近线方程为，对照202x y y x ++=⇔=--1-α0180α︒≤<︒tan 1135αα=-⇔=︒()1,2,2AB = ()1,2,1BC m n =---AB BC()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= λ==1356a a a ++=336a =32a =24324a a a +==1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++BC AC AB =-1111111222222AM AB BB AC a b c =++=++ 222:14y x C b -=220y x x by b =±⇔±=，可得，所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，.故选：B.6．答案：D解析：根据题意：，，两式作差可得，当时，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D.7．答案：B解析：根据题意，过点A ,B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，所以设，，，联立.故选：B.20x =25b =2549c =+=()0,3()0,3-21n n S a =-1121n n S a --=-12n n a a -=1n =11a ={}n a 2n n a -=()()44156056128922a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅==1224log 60T T =1A 1B 111||||2||AA BB MM +==()11,A x y ()22,B x y 121222p px x x x p +++=++()221224421021y px x p x x x y x ⎧=⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=8．答案：A解析：根据题意分析可得：，，，，，，，，，所以.故选：A 9．答案：AC解析：对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A 正确；对于选项B:若，则，即，故B 错误；，故C 正确；对于选项D:若或，故D 错误.故选：AC.10．答案：ABD解析：对于A 项，若，则对于B项，由可解得：，故B 项正确；对于C 项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆C 所截的弦长的最小[][]1212log log 31b a ===[][]2222log log 72b a ===[][]3232log log 113b a ===[][]4242log log 153b a ===584b b ~=9165b b ~=17326b b ~=33647b b ~=651008b b ~=10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()2,2,1a =-Ozx ()2,2,1a b ⊥ 2220a b x y ⋅=-+= 10x y -+=225x y =⇔+=a b ⊥ 2210251x y x x y y -+==-⎧⇒⎨+==-⎩12x y =⎧⎨=⎩1BF BF ⊥1c ==a =22221e a a -==2a =2a =22:14x C y +=1F 1=≠对于D 项，如图，因为，，设点，由可得，解得：，代入椭圆，故选：ABD.11．答案：ACD解析：设等差数列的公差为d ，，由解得：，故，，故A 项正确，B 项错误；将数列列举出来为：数列列举出来为：故共同项依次有：,即，故，则，C 项正确；，故选：ACD.12．答案：ABD解析：对A ：当，为直径时，为点A 的纵坐标），所以当点A 为或时，三角形面积最大，的()0,1B ()1,0F c -(,)A m n 112BF F A =(,1)2(,)c m c n --=+31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222:x C y a +=114==2={}n a 11a =231238a a a d +=+=2d =12(1)21n a n n =+-=-()21212n n n S n +-=={}n a 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, {}1n S -0,3,8,15,24,35,,3,15,35, 13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ 2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-1041001399b =⨯-=()()21111141212122121n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭11111111111323521921221⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0t =AB 1122PAB S PM =⨯△A ()2,1()2,1-PAB，所以A 正确；对B ：设，交与点N ，由圆的切线性质，则，，当点P 在处时，最大，此时对C ：当点在处，且，为切线时，最大，此时所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设的中点D，则设小圆半径为，D 正确.()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯=△APM θ∠=AB PM Rt Rt BNP MNB :△△ABM APM θ∠=∠=2cos θθ()1,0-θsin θ=θ==P ()1,0-PA PB APB ∠1sin 3APM ∠=<APM <2APB APM =∠<AB MD ⊥=+r 1PM r =+=+ +1+解析：由题意可知：直线的斜率为k ，过定点；直线的斜率为k ，过定点；可知14．答案：判断可知点在圆内，而圆，若直线l 斜率存在时，设，圆心到直线的距离为，若，则，若,，则，解得或直线l 斜率存在时，，若直线l 斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为，综上所述，圆心所以所截的弦长的最小值为故答案为：15．答案：解析：1:1l y kx =+()0,1A ()2:2l y k x =-()2,0B 1//l l ()3,122450x y x +--=2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=:31l y kx k =-+()2,031y kx k =-+d )2221210d k k d -++-=1d =0k =0d >1d ≠()224410d ∆=--≥01d <<1d <≤max d =1=-:3l x =()2,03x =1d =(2,0=设，，，根据题意，可得，联立，化简得，所以,所以，又，可得，，所以双曲线，的面积为代入双曲线C 的方程可得，所以故答案为：.解析：如图所示，分别过A ,B 向准线作垂线，垂足分别为、，过B 作的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为，，即，(),M M M x y 0M x >0M y >2c =22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222220b a k x a b --=2k <120x x +=12x x =()()()()222222222222222121222222212123M M M MP MQ M M M MM k kx y kx y k x x y b k a b b x k x x b x x x x x a a k b a a b a k b x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭--+⋅====-=--++2224a b c +==21a =23b =22:13y C x -=12MF F △2M M c y y ⨯=⇔=M x =12MF MF k k +==A 'B 'AA '602()601cos 60p BF BF p ︒=-⇔+︒=3232p =⨯=设，，满足，，设直线，代入抛物线方程，可得，，所以，当时，三角形.17．答案：（1）或；（2）解析：（1）根据题意：直线l 在y轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点，将代入可得所以直线l 的方程为；当直线l 过原点，所以直线l 的方程为即.综上，直线l 的方程为或；（2）设直线l 的方程为，所以，，()11,A x y ()22,B x y 2116y x =2226y x =3:2AB x my =+26y x =2690y my --=121269y y my y +=⎧⎨=-⎩()1219222OAB p S y y =⨯+≥△0m =350x y +-=20x y -=240x y +-=(0,013ya =()1,2n =350x y +-=(0,02=()221y x -=-20x y -=350x y +-=20x y -=()21(0)y k x k -=-<21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2B k -所以，当且仅当，（舍），所以直线l 的方程为即.18．答案：（1）；（2）解析：（1）根据题意：，当时，，两式相减即得：，因时，，满足上式，故；（2），则，，两式相减可得：，故.19．答案：（1）证明见解析；如图，取的中点O ，连接，，因为，所以，又因为底面是边长为2的等边三角形，()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△k -=2442OAB k k =⇔=⇔=-△2k =()()221y x -=--240x y +-=21n a n =-()12326n n T n +=-⨯+2n S n =2n ≥21(1)n S n -=-22(1)21n a n n n =--=-1n =11a =21n a n =-()2212n n n n b a n ==-⋅2121232(21)2,n n n T b b b n =+++=⨯+⨯++-⨯ ()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ()21122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-()12326n n T n +=-⨯+AC PO BO PA PC =PO AC ⊥ABC所以，又,平面，可得平面，又平面，所以.（2）因为，所以，因为，由可得：，又，,平面，所以平面，如图，以，，分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，因，，设平面的法向量，则，取，得，则，又，，设平面的法向量，则取，得.设平面与平面的夹角为，则故平面与平面.BO AC ⊥PO BO O = ,PO BO ⊂POB AC ⊥POB BP ⊂POB AC BP ⊥PA PC ==1AO =1PO =BO =2PB =222PO BO PB +=PO BO ⊥PO AC ⊥BO AC O = ,BO AC ⊂ABC PO ⊥ABC OA OB OP()1,0,0A ()B ()1,0,0C -()0,0,1P 12F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0AC =- 1(2AF =-ACF ()1,,n x y z = 1120102AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 1y =z =0x =1(0,1,n =()1,0,1PC =--()1PB =- PBC ()2,,n x y z = 220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =z ==2(=ACF PBC θ1212cos n n n n θ⋅===⋅ ACF PBC；（2）是，解析：（1）根据题意，，解得，又，；（2）根据题意可得：设直线的方程为，联立，设直线与椭圆C 的交点为，，可得：由对称性可知：，直线的方程为，设直线与x 轴交点为，所以，可得：，所以直线过定点.的214y +=()4,0-c e a ==2c +=+a =2=22224a b c b =+⇔=214y +=1l ()2y k x =+()()2222222128880184y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩1l ()11,M x y ()22,M x y '1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()22,N x y -2l ()2y k x =-+MN (),0T t ()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k--+-+-=⇔+-=++24160412t t k--⇔=⇔=-+MN ()4,0-21．答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）当时，当时，数列的前n 项积为，满足，时，，，数列是首项为4，公比为2的等比数列，时，（2）先证明左边：即证明，又由，解得又所以，1T =217=n T =1n =111112T a T a =-⇔==2n =2212222312127T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔= {}n a n T ()*12n n T a n =-∈N ∴2n ≥1n T =112n T -=⨯+11121n T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n =14=11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭∴1111422n n n n T T -++=⨯=⇔=1n =1T =n =111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭n T =12n n T a =-n a =11212112122n n n n n a ++--=>=--123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-再证明右边：22．答案：（1）；根据题意：，，，根据定义可得，，所以曲线C 的轨迹方程为；（2）根据题意：，，当l 的斜率不存在时，，此时，，，当l 的斜率存在时，设，，()1212121221n n n n n a +--=<=--∴n S <2213y x -=()12,0F -(22,0F 12224a c F =<==221(0,0)y a b b-=>>221a a =⇔=242c c =⇔=222b c a b =-⇔=2213y x -=()12,0F -()22,0F :1l x =()1,3M ()1,3N -110F M F N ⋅=β=()11,M x y ()22,N x y设直线，联立直线l 与圆可得：，，所以代入韦达定理可知，因为直线l 与曲线C 相切，联立，，所以，故得，:l y kx m =+2F ()()1222221212460(2)10x x y kx m k x km x m x y x x ⎧+⎪=+⎧⎪⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩()230k -≠22Δ030k m =⇔--=110F M F N ⋅=β=。

安徽省马鞍山市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案

安徽省马鞍山市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin 2α=是3πα= 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2. ①均为假命题为假命题，则若q p q p ,∧；②设R y x ∈,，命题“”则若0,022=+=y x xy 的否命题是真命题；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；则其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则cos ,OA BC <>= （）A ．21B ．22C ．-21D ．04．若抛物线)0(22>=p px y 上横坐标是2的点M 到抛物线焦点距离是3，则=p （）A ．1B ．2C ．4D ．85. 已知两定点F 1(-1,0) 、F 2(1,0), 则命题甲：12F F 是1PF 与2PF 的等差中项,命题乙：动点P 的轨迹是椭圆，则甲是乙的 ( ).A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件6．过椭圆1162522=+y x 的中心任作一直线交椭圆于Q P 、两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．207.如右图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =，8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（）A ．30 B ．60 C ．90 D ．1208．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为21,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF = 4:3:2，则曲线C 的离心率等于 ()A. 1322或B. 1223或C. 12D. 239．P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，则2PF 的值为（）A. 33B.33或1C. 1D. 25或9 10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙，，，则∆BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定第Ⅱ卷二、填空题:(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则,为邻边的平行四边形的面积为． 12．若函数()|21|2x f x a =--有两个零点，则a 应满足的充要条件是13．已知12F F 、为椭圆22:194x y C +=的左、右焦点，则在该椭圆上能够满足1290F PF ∠=的点P 共有个14.在Rt ABC ∆中，2AB AC ==.如果一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，则这个椭圆的焦距为． 15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，k k =-，则动点P 的轨迹为双曲线； ②已知圆C 上一定点A 和一动点B ，O 为坐标原点，若()+=21则动点P 的轨迹为圆；③04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的离心率相同；④已知两定点12(1,0),(1,0)F F -和一动点P ，若212||||(0)PF PF a a ⋅=≠，则点P 的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16．(本小题满分12分) 已知曲线C: 22220(40)x y Gx Ey F G E F ++++=+->,求曲线C 在x轴上的所截的线段的长度为1的充要条件，证明你的结论。

安徽省高二上学期期末数学试卷

安徽省高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分） (2019高一下·上海期中) △ 中，“ ”是“ ”的（）条件A . 充要B . 充分不必要C . 必要不充分D . 既不充分也不必要2. （2分） (2019高三上·荆门月考) 满足条件的面积的最大值是（）A .B .C .D .3. （2分）下列函数是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=lnxB . y=x+C . y=x2D .4. （2分）如图，是的斜二测直观图，斜边，则的面积是（）A .B . 1C .D . 25. （2分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB . 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC . 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD . 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n6. （2分） (2019高二上·漳平月考) 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若是线段的中点，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .7. （2分）直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（）A . AB1∥平面BDC1B . A1C⊥平面BDC1C . 直三棱柱的体积V＝4D . 直三棱柱的外接球的表面积为8. （2分） (2019高二上·桂林期末) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的右项点为A，过A作双曲线C的一条渐近线的平行线，且该直线与另一条渐近线交于点M，若（ + ） =0，则C的离心率为（）A .B .C . 2D .9. （2分） (2020高一下·宝应期中) 下列命题中，m，n表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面．正确的命题是（）若，，则；若，，则；若，，则；若，，，则．A .B .C .D .10. （2分）(2020·淮北模拟) 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D .11. （2分） (2018高一上·龙岩月考) 中，，，点在双曲线上，则（）A .B .C .D .12. （2分）在正六棱柱中，不同在任何侧面而且不同在任何底面的两顶点的连线称为对角线，那么一个正六棱柱对角线的条数共有（）A . 24B . 18C . 20D . 3213. （2分） (2020高二上·鹤岗月考) 在矩形ABCD中，，，沿矩形对角线BD将折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD中，当时，；②四面体ABCD的体积的最大值为；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为；④四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为（）A . ①④B . ①②C . ①②④D . ②③④14. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 已知双曲线的一个焦点为 ,则焦点到其中一条渐近线的距离为（）A . 2B . 1C .D .二、填空题 (共5题；共5分)15. （1分）(2020·梅河口模拟) 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且 = , 那么椭圆的方程是________．16. （1分） (2016高二上·桐乡期中) 已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为________．17. （1分）平面直角坐标系中，双曲线C1:的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 ________ .18. （1分） (2016高一下·南京期末) 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．在下列命题中，正确的是________（写出所有正确命题的序号）①若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ19. （1分） (2017高二下·桂林期末) 若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S= r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4 ，则此四面体的体积V=________．三、解答题 (共8题；共61分)20. （1分） (2017高二下·惠来期中) 已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示x﹣10245F（x）12 1.521下列关于函数f（x）的命题；①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确命题的序号是________．21. （5分）已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．22. （5分）(2017·泉州模拟) 如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，∠CBD=60°，BD=2BC=4，点E在CD上，DE=2EC．（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角E﹣BA﹣D的余弦值为，求三棱锥A﹣BCD的体积．23. （10分）(2020·丽江模拟) 设、为曲线上两点，与的横坐标之和为 .（1）求直线的斜率；（2）设弦的中点为，过点、分别作抛物线的切线，则两切线的交点为，过点作直线，交抛物线于、两点，连接、 .证明： .24. （5分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求锐二面角M﹣AC﹣B的余弦值．25. （10分） (2019高二上·小店月考) 已知四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，点E，F分别为，上的一点，且，．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．26. （15分） (2019高二上·阳江月考) 已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）当时，求的面积；（3）当为钝角时，求点横坐标的取值范围.27. （10分） (2018高二上·蚌埠期末) 已知抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，抛物线交于点，且 .（1）求抛物线的方程；（2）过原点作斜率为和的直线分别交抛物线于两点，直线过定点，是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.。

(完整word版)高二数学期末考试试题及其答案

禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.1. （5分）已知集合 M={1, 2, 3}, N={2, 3, 4},则下列式子正确的是（ A. M?NB. N?MC. MAN={2, 3} D. M U N={1 , 4}C.向左平移单位B.向右平移单位 ……冗、,D.向右平移亏单位7 .下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，若求出y关于x 的线性回归方程为 ? 0.7x 0.35 ,那么表中t 的值为B. 3.158 .已知 f (x) = (x — m) (x — n) +2,并且 m, n, a, 3的大小关系可能是（2.已知向量 a=(-b l)f 正⑵ -3),则 2%-b 等于（） A. (4, - 5) B. (—4, 5) C. (0, T) D. (0, 1) 3.在区间（1, 7）上任取一个数，这个数在区间 5, 8）上的概率为4.要得到函数B-i7Ty=sin （4x-F-）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象 5.已知两条直线m, n,两个平面鹏 8给出下面四个命题:①m H n, m± a? n± a ② a// & m? a, n?仅 m // n @ aJ & m " n, m± ? n± 3 其中正确命题的序号是 A.①③B.②④C.①④D.②③ 6.执行如图所以的程序框图，如果输入 a=5 ,那么输出 n=（A. 2B. 3C. 4D. 5A.向左平移，单位x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 3 a 、 D. 4.53是方程f （x ） =0的两根，则实数A. a< mvnv 3 B- m< a< 3< n C. m< a< n< 3 D. a< mv 3< n 9 .已知某锥体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该锥体的体积为（）10 .在等月ABC 中，/BAC=90°, AB=AC=2,同=2而I,菽=3凝，则前■刘的值为（）Dy11 .已知一个三角形的三边长分别是 5, 5, 6, 一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小,13.若直线 2X + (m+1) y+4=0 与直线 mX+3y+4=0 平行，则 m=y<l15 .若变量x 、y 满足约束条件 y+y>口 ,则z=x-2y 的最大值为bkx 3,x 016 .已知函数f X 1k，若方程f f X 2 0恰有三个实数根，则实数k 的-,x 02取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC. (I) 求B 的大小；(n) 若 b=" A=T\求^ ABC 的面积.r . ..-18 .已知：a 、b 、c是同一平面上的三个向量，其中a=(l, 2).A. 2cm 3B. 4cm 3C. 6cm 3D . 8cm 3B.则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2的概率是（B. 1-C. 1 -12.已知函数f （x ）= ,X 1 , X 2 , X 3, X 4, X 5 是方程 f (x) =m 的五个不等的实数根，则 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5的取值范围是（A. (0,同 B .（一兀，兀） C. (lg ，兀 1) D. ( 为 10)二、填空题（每题 5分，，茜分20分）14.已知sinOL IcosCl①若|C 1=2 j5,且c // a,求C的坐标.… .. 5②右|b |=——,且a +2 b与2 a -b垂直，求a,与b的夹角219.设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知S3=6, a4=4.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2) 若bn=3 — 3 %,求证：—+---+ , , •+ ——<—.b L b2 L 420为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15〜65岁的人群抽样了n人，回答问题15 25 35 45 55 e5 学龄(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2, 3, 4组每组各抽取多少人？(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.21.在三柱ABC-A i B i C i中，△ ABC是边长为2的正三角形，侧面BB i C i C是矩形，D、E分别是线段BB i、AC i的中点.(i)求证：DE//平面A i B i C i；(2)若平面ABC，平面BB i C i C, BB i=4 ,求三棱锥A- DCE的体积.22.已知圆C: x2+y2+2x- 3=0.(i)求圆的圆心C的坐标和半径长；(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A (xi, yi)、B (X2, y2)两点, 求证：1 :工为定值;町K2(3)斜率为i的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使^ CDE的面积最大.禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷参考答案选择题（每小题分，共分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBCBCBABAACD、填空题（每小题 5分，共12分）,、M A TV - n 2n 兀兀 n 解：A =——，，C =兀- =———4 q 3 3 2••,|b=V3, B =-^-JbsinC V5 ^/218.解：①设 c (x, y) • •• c // a 且|C |二2 J52x y 0•• 2 2 x 2 y 2 202 c =(2,4)或 c =(-2, -4).13.-3 14. — 15. 3 16.1,17 (I)解：:2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC,由正弦定理得, 2b 2= (2a+c) a+ (2c+a) c, 化简彳导,a 2+c 2B=2TT...sinC=sin (2L 』)=、3 「 JT由正弦定理得,SliTT-COS-^-COS-SLIT^ bI sinC sinBcsinBsin号X 炳乂配yXsin-TT 3^/3b 2+ac=0.・•.△ABC 的面积②「( a+2b ) ± (2a-b)，( a+2b) (2a-b) =0,-r -to- -► —*■• -2a 2+3a b-2 b 2=0• •.2|a |2+3| a | b||cos -2|b |2=02X 5+3X v -'5 X — cos -2X - =0, cos = -1 2 4打九 2k Tt, 长［0,兀］「. 0 =Tt.9 CL— 2520解：（1）由频率表中第 4组数据可知，第 4组总人数为 —再结合频率分布直方图可知n ----------- 1000.025 10a 100 0.01 10 0.5 519.解：（1）设公差为 d,则解得=1-a n =n. (2)证明：b n =3—3 、=3n+1— 3n=2?3n,0.36 (1分)•｝是等比数列.，q1b 100 0.03 10 0.9 2乙x 180.9, y — 0,220 15(2)因为第2, 3, 4组回答正确的人数共有 54人，所以利用分层抽样在 54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:(3)设第2组2人为：A 1, A 2；第3组3人为：B 1, B 2, B 3；第4组1人为：C 1 .则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A 2), (A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 1,B 3), (A 1C1),(A 2,B 1), (A 2, B 2), (A 2,B 3), (A2,C I ), (B I ,B2), (B I ,B3), (B 1,C 1), (B 2,B 3), (B2,C I ), (B 3,C I )共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件, ……，一，…— …31，所抽取的人中恰好没有第 3组人的概率是：P - -155贝U 由EF 是△ AA 1C 1的中位线得 EF // AA 1, 又 DB 1//AA 1, DB 1卷AA 1 所以 EF // DB 1, EF = DB 1所以DE //平面A 1B 1C 1(n)解：因为E 是 AC 1 的中点，所以 V A DCE =V D ACE =2过A 作AH ，BC 于H 因为平面平面 ABC ，平面BB 1C 1C,所以AHL 平面BB 1C 1C,所以 V A DCE =V D —ACE =「5二「7 (4)第2组:18 54 2人;第3组:27 54 3人;第4组:9 54…(8分)21. (1)证明：取棱A i C i 的中点F,连接EF 、B 1F…(10分)…(12分)故四边形DEFB 1是平行四边形，从而 DE// B1FEF122.解：（1）圆 C: x 2+y 2+2x-3=0,配方得（x+1） 2+y 2=4,则圆心C 的坐标为（-1,0）,圆的半径长为 2;（2）设直线l 的方程为y=kx,联立方程组工卜了 +2x3=。

安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则复数z 的虚部为（）A ．32B ．32- C ．3i 2 D ．3i 2- 2．已知向量()2,1BC =u u u r ，()0,1AB =-u u u r ，则AC =u u u r （）A ．2B ．3CD ．3．某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（）A ．8.5B ．9C ．9.5D ．104．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．若,m αβ⊥∥α，则m β⊥B ．若m ∥,n αα⊥，则m n ⊥C ．若,⊥⊥m n n α，则m ∥αD ．若α∥,,m m βα⊂∥n ，则n ∥β5．一个射手进行射击，记事件1A =“脱靶”，2A =“中靶”，3A =“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（）A ．1A 与2AB ．1A 与3AC ．2A 与3AD ．以上都不对6．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，1b =，1cos 3C =-，则边c 上的高为（）A B C D 7．如图，A O B '''V 是由斜二测画法得到的AOB V 水平放置的直观图，其中2O A O B ''''==，点C '为线段A B ''的中点，C '对应原图中的点C ，则在原图中下列说法正确的是（）A ．0OC AB ⋅=u u u r u u u rB ．AOB V 的面积为2C ．OC u u u r 在OB u u u r 上的投影向量为2OB u u u rD ．与AB u u u r AB u u r 8．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度MN ，在钟楼的正西方向找到一座建筑物AB ，高为a 米，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，钟楼顶部M 的仰角分别为α和β，在A 处测得钟楼顶部M 的仰角为γ，则钟楼的高度为（）米.A ．()()sin sin sin sin a αββαβγ+- B ．()()sin sin sin sin a a αββαβγ++- C ．()()sin sin sin sin a αγβαβγ+- D ．()()sin sin sin sin a a αβγββγ++-二、多选题9．已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（）A ．若甲､乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >B ．若甲､乙两组数据的方差分别为2212,s s ，则2212s s >C ．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差10．在复平面内，下列说法正确的是（）A ．复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点位于第一象限B ．若复数2212z z =，则12=z zC ．若复数12,z z 满足1212z z z z +=-，则120z z =D ．若复数z 满足1z ≤≤z 对应的点所构成的图形面积为2π11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为棱AB 上的动点，DF ⊥平面1,D EC F 为垂足，下列结论正确的是（）A ．1FD FC =B ．二面角1D CE D --的正切值的最大值为2C ．三棱锥1C DED -的体积为定值D ．三角形1A EC三、填空题12､下底面半径分别为2，3，则该圆台的体积为.13．在直角三角形ABC V 中，90,2,4∠===o A AB AC ，点P 在ABC V 斜边BC 的中线AD 上，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为.14．空间四边形ABCD 中，2,1,3AB BC CD AD ====，且异面直线AD 与BC 成60o ，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为.四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos sin a c b C C +=.(1)求角B ；(2)若3b =，求ABC V 周长的最大值.16．漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；(2)已知满意度分值落在[)70,80的平均数175z =，方差219s =，在 80,90 的平均数为285z =，方差224s =，试求满意度分值在[)70,90的平均数z 和方差2s .17．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i ）写出该试验的样本空间Ω；（ii ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面,PCD PD PC ⊥，点M 为AB 中点.(1)证明：平面PBC ⊥平面PAD ；(2)求CM 与平面APC 所成角的正弦值的取值范围.19．在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列()123:,,,,n A n A A A A L 与()123:,,,,n B n B B B B L ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②11i i i i A A B B ++⊥u u u u u r u u u u u r ，其中i 1,2,3,,1n =-L ，则称()A n 与()B n 互为正交点列.(1)求()()()()1233:1,1,4,1,6,1A A A A -的正交点列()3B ；(2)判断()()()()()12344:0,0,1,2,0,4,1,6A A A A A 是否存在正交点列()4B ？并说明理由.。

安徽省马鞍山市第二中学学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题解析版_2

C.
23 3
D.
6 3
【答案】C 【解析】解：由题意可得：连接A1C，AC，过 A 作AE ⊥ A1C
，如图所示：
根据长方体得性质可得：A1A ⊥ 平面 ABCD．因为AB = BC = 1，AA1 = 2，所以AC = 2，A1C = 6，
根据等面积可得：AE
=
A1A ⋅ AC A1C
=
2 3
【答案】A 【解析】解： ∵ y2 = −4x ∴ p = 2，焦点坐标为(−1,0)
依题意可知当 A、P 及 P 到准线的垂足 Q 三点共线时，距离之和最小如图，
故
P
的纵坐标为
1，然后代入抛物线方程求得x
=
−1
4
，
则该点坐标为：(−1,1)．
4
故选：A．先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当 P，A 和焦点三点共线且点 P 在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．
4 16
故选：D．先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
4. a = 3是直线ax + 2y + 3a = 0和直线3x + (a−1)y = a−7平行且不重合的( )
A. 充分非必要条件
BD，
则AO
=
BO
=
1AB
2
=
1
2，
DO ⊥ AC，BO ⊥ AC， ∴ ∠DOB是将这个菱形沿 AC 折成600的二面角的平面角， ∴ ∠DOB = 60 ∘ ，
∴

安徽省马鞍山市含山中学高二上学期期末考试数学(理)试题 PDF版含答案

15.中国古代数学经典《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．若三棱锥�� − �� 为鳖臑,且��⊥ 平面�� , �� = �� = 2,又该鳖臑的外接球的表面积为24��，则该鳖臑的体积为 16.抛物线 x 2 py( p 0) 的焦点为 F ,其准线与双曲线
D． , 2 2 2
B．45°
2,
D．90°
B1 A1
C1
8.如图所示，在正三棱柱�� − ��1 ��1 ��1 中，��是��的中点，��1 = √2��，则异面直线��1 与��所成的角为 C．60°
x2 y2 y2 x2 1 表示焦点在�� 轴上的椭圆，命题��:双曲线 1 的离心率 2m 9 m 5 m
-2-
e(
6 , 2 ) ，若“�� ∧ ��”为假命题，“�� ∨ ��”为真命题，则��的取值范围是__________． 2
1
B．5＋2 3 D．4＋2 3
1
1
1
正视图
1
侧视图
俯视图
-1-
7.已知圆 O： x y 4 上到直线 l : x y a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a 的取值范围为

2013年马鞍山市三模数学试卷(理)

安徽省马鞍山市2013年高中毕业班第三次教学质量检测（数学理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）设集合2{|40}A x x =->，{|21}xB x =<，则A B =（A ）{|2}x x > （B ）{|2}x x <- （C ）1{|}2x x <（D ）{|22}x x x <->或（2）已知复数2(1)(2)i ()z a a a =-+-∈R ，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.8P X <=，则(13)P X <<=（A ）0.6（B ）0.4（C ）0.3（D ）0.2（4）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为（A ）22cos sin y x x =-（B ）lg ||y x =（C ）2x xe e y --=（D ）3y x =（5）在极坐标系中，直线2sin()4πρθ-=与圆2cos ρθ=的位置关系是（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）无法确定（6）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是（A ）12π（B ）13π（C ）15π（D ）17π（7）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F △，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A ）4+（B 1（C ）（D 1（8）从0,8中任取一数，从3,5,7中任取两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A ）24（B ）18（C ）12（D ）6（9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*14()n n a S n +=∈N ，则6a =（A ）445⨯（B ）4451⨯+（C ）55（D ）551+（10）已知函数2342013()12342013x x x x f x x =-+-+-⋅⋅⋅-，则下列结论正确的是（A ）()f x 在(0,1)上恰有一个零点（B ）()f x 在(0,1)上恰有两个零点（C ）()f x 在(1,2)上恰有一个零点（D ）()f x 在(1,2)上恰有两个零点二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 ▲ ．（12）设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点(,)x y D ∈，则目标函数z x y=+的最大值为 ▲ ．（13）执行下边的程序框图，输出的T = ▲ ．（14）ABC △中，向量AB与BC 的夹角为56π，||2AC = ，则||AB 的取值范围是 ▲ ．【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．（15）如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从顶点A 出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去8个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论： ① 有12个顶点； ② 有24条棱； ③ 有12个面；④ 表面积为23a ；⑤ 体积为356a ．其中正确的结论是 ▲ （写出所有正确结论的编号）．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分12分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=⋅->的最小正周期为2π．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设ABC △的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，求此时函数()f x 的值域．（17）（本小题满分12分）甲、乙等6名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为1,2,,6 ）．（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为，求ξ的分布列与期望．（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，22AB BC CE CD ====，23BCE π∠=．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求二面角A EB D --的大小．（19）（本小题满分12分）数列{}n a 满足13a =，125n n a a n ++=+．（Ⅰ）求2a 、3a 、4a ；（Ⅱ）求n a 的表达式；（Ⅲ）令12233445212221n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++- ，求n T ．（20）（本小题满分13分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值．（21）（本小题满分14分）已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知,P Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．① 求证：MN AB ⊥；② 若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．参考答案一．选择题（1）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题．（2）【答案】选（A）．【命题意图】本题考查复数的概念及充要条件，容易题．（3）【答案】选（C）．【命题意图】本题考查正态分布知识，容易题．（4）【答案】选（B）．【命题意图】本题考查函数的奇偶性与单调性，容易题．（5）【答案】选（C）．化成普通方程，易判断．【命题意图】本题考查极坐标方程及直线与圆的位置关系，容易题．（6）【答案】（D）【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体表面积的计算，考查空间想象能力，容易题．（7）【答案】（D）【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题．（8）【答案】（B）【命题意图】本题考查排列组合的知识，中等题．（9）【答案】（A）【命题意图】本题考查递推数列通项公式的求法，中等题．（10）【答案】（C）【命题意图】本题考查导数的应用，考查函数零点的知识，较难题．二．填空题：（11）【答案】84．【命题意图】本题考查二项式定理的基础知识，容易题．（12）【答案】3．【命题意图】本题考查双曲线和抛物线的基础知识，考查线性规划，容易题．（13）【答案】30．【命题意图】本题考查程序框图，容易题．（14）【答案】(0,4]．【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．（15）【答案】①②⑤．【命题意图】本题考查空间想象能力，较难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）【命题意图】本题考查三角函数、解三角形、基本不等式的基础知识，中等题．【答案】（Ⅰ）111()2cos2sin(2)2262f x x x xπωωω=--=--，……4分由题，222Tππω==及0ω>，得：2ω=，所以1()sin(4)62f x xπ=--．……6分（Ⅱ）由22221cos222a cb ac acxac ac+--=≥=，知：(0,]3xπ∈，……9分从而74-(-,]666p p px∈，所以函数()f x的值域为1[1,]2-．…12分（17）【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题．【答案】（Ⅰ）只考虑甲、乙两考生的相对位置，用组合计算基本事件数；设A表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得：2434664 ()1()15A AP A P AA=-=-=甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是45. ………………6分（另解2411434334666624 ()5A A A A AP AA A=+=）（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值是0，1，2，3，4，且2651(0)3PCξ===,2644(1)15PCξ===,2631(2)5PCξ===,2622(3)15PCξ===,2611(4)15PCξ===[另解：2525661(0)3A APAξ===，214244664(1)15A A APAξ===，223243661(2)5A A APAξ===，232242662(3)15A A APAξ===，2424661(3)15A A P A ξ===]………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列是：所以14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即甲、乙两考生之间的面试考生个数X 的期望值是43. ………………12分（18）【命题意图】本题考查空间位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题．【答案】(Ⅰ)证明：取BE 的中点O ，AE 的中点F ，连OC ，OF ，DF ，则2OF//BA∵AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，∴2CD //BA ，∴OF//CD ，∴OC ∥FD∵BC=CE ，∴OC ⊥BE ，又AB ⊥平面BCE. ∴OC ⊥平面ABE. ∴FD ⊥平面ABE.从而平面ADE ⊥平面ABE. ………………6分 (Ⅱ)二面角A —EB —D 与二面角F —EB —D 相等，由(Ⅰ)知二面角F —EB —D 的平面角为∠FOD 。

2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测理科数学试题

马鞍山市2013年高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学参考解答及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑. 1．【答案】C 由复数的运算得i z 22-= ，故z =22，选C 【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题 2. 【答案】B【命题意图】本题考查集合运算，简单题. 3. 【答案】C.【命题意图】本题考查简易逻辑，容易题. 4．【答案】A. 【命题意图】本题考查线性规划，容易题. 5.【答案】B.【命题意图】本题考查二项式定理，中等题. 6．【答案】C 该几何体为三棱柱，计算可得表面积【命题意图】本题考查三视图，几何体表面积，中等题. 7. 【答案】A.【命题意图】本题考查程序框图、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，中等题.8．【答案】D 由函数性质，得1£a ,解得11-＃x 故选D 【命题意图】本题考查函数基本性质，不等式，较难题. 9．【答案】D,而12613()132n n n n a a A a +++==，又160a =，故当616n +=即10n =时n A 最小.【命题意图】本题考查等差数列基础知识，中等题. 10．【答案】 A.简解：由sin cos 0-= a a a sin cos ααα=，知sin y x = ()0,2x π∈的过O 点的切线为l ，易知切线l 的斜率αααsin cos =，数形结合可知选A【命题意图】本题考查三角函数，导数及其应用，不等式，难题.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题． 11. 直线l 的极坐标方程为(cos sin )6+=r q q ，圆C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线l 的距离值为d ，则d 的最大值为 ▲ . 【答案】1.【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程及参数方程，考查运算能1112p O6p力与数形结合能力，中等题.12．函数sin()y A ωx φ=+的部分图像如图所示，其中0,02>>||<πA ωφ，，则其解析式为 ▲ 【答案】2sin(2)3y x p=- 【命题意图】本题考查三角函数图象，中等题13. 已知P 是椭圆22162+=x y 和双曲线222-=x y 的一个交点，若21,F F 分别是椭圆的左，右焦点，则=∠21cos PF F ▲ 【答案】0【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的基本知识，中等题.14．在ABC D 中，若120BAC ? ，1AB AC?-uu u r uuu r，则||-AB AC uu u r uuu r的最小值是 ▲ .【命题意图】本题考查平面向量基本知识，中等题.15. 如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为正方形11BCC B 的中心，F 为棱11C D 上的动点（包括端点11C D ，）.给出下列命题： ① 存在点F ，使得1^EF AB C 平面；② 存在点F ，使得EF ABCD 与平面所成角为3p；③ 对任意的点F ，总有1^EF A D ；④ 对任意的点F ，三棱锥1-A DEF 的体积为定值. 其中正确的命题的序号是 . 【答案】①③④【命题意图】本题考查立体几何线面关系、线面角、几何体体积，较难题三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)（Ⅰ）证明：cos2cos22cos()cos()a b a b a b +=+-；（Ⅱ）在ABC ∆中，若3A p=，求22sin sin B C +的最大值. 【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量平行关系、正弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．（Ⅰ）证明：()()()()cos 2cos 2cos cos 轾轾+=++-++--臌臌a b a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]=+--++a b a b a b a b [cos()cos()sin()sin()]++-+++a b a b a b a b 2cos()cos()=+-a b a b所以原等式成立.…………………………………………4分（Ⅱ）解法1 221cos21cos2sin sin 22--+=+B C B C ()11cos 2cos 22=-+B C()()1cos cos =-+-B C B C ()11cos 2=+-B C ……………………8分1∵3=A p ∴22(,)33-?B C p p ∴3==B C p时，22max3sin sin 2+=B C （）………………12分解法22241cos(2)21cos 23sin sin )322---+-=+B B B B （pp11cos 226骣÷ç=+-÷ç÷ç桫B p （以下同解法1）解法3 ∵3=A p由余弦定理可得：22222222222++=+-?-=b c b c a b c bc b c ∴2222+ b c a ，由正弦定理可得2223sin sin 2sin 2+?B C A （以下略）类似解法参照给分17．(本题满分12分) 某市高二年级甲校有1100人，乙校有900人.现对两校高二年级在当年学业水平考试中的数学学科成绩进行统计分析，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，整理得到以下统计表（本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）：甲、乙两校高二年级数学成绩统计表计算．（II ）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【命题意图】本题考查2×2列联表、抽样调查的方法，及用样本估计总体的基本思想和设计抽样方法收集数据等基础知识，考查应用意识和数据处理的能力. 解：（Ⅰ）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，故10,15x y ==估计乙校平均分为 55156530752585159557190⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈.………6分2200(40702070) 4.7141109060140k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯又因为4.714 3.841>故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异” ．……………………………………………………………………………12分18．(本题满分12分)如图，AB 为圆柱的底面直径，过母线的截面ACEF 是边长为1的正方形.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCF ；（Ⅱ）若平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°，求圆柱的底面直径AB 长. 【命题意图】利用圆柱为载体研究空间里的点、线、面之间的位置关系.如面面垂直，二面角等.中等题.（Ⅰ）证明：∵过圆柱母线的截面ACEF 是正方形，∴截面ACEF ⊥平面ABC, AE ⊥CF又AB 为圆柱的底面直径, ∴AC ⊥BC∴BC ⊥截面ACEF ∴ BC ⊥AE又∵Ç=CF BC C故AE ⊥平面BCF又ÌAE ABE 平面∴平面ABE⊥平面BCF …………………………6分（Ⅱ）解：平面BEF 与平面BCF 所成的二面角为60°，设AE ÇCF =M 由（Ⅰ）AE ⊥平面BCF ，过E作^EH BF 于H连接MH 轣MH BF \EHM 为60°设=BC t则BE EH ==在Rt EMH V 中，依题sin ?=EHM解得1=t 故直径AB ……………………………12分方法（2）建立空间直角坐标系如图设=BC t则(0,,0),(1,0,1),(0,0,1)(1,,1),(1,0,0)?-=B t F E BF t EF uu u r uu u r设平面BEF 法向量为(,,)=m x y z u r00(0,1,)00m EF x m t x ty z mBF íïí?=ïï镲揶=眄镲-+=?ï镱ïîu r uu u r u r u ruu u r 又平面BCF 法向量为n r，由^AE 平面BCF ，故(1,0,1)=-n r1cos ,12=?m n t u r r ，故直径AB 12分ABCEFH MA B C E F 第18题图19．(本题满分13分)已知抛物线21116C y x =-：的顶点为P ，两条互相垂直的直线恒与1C 相切,切点分别为M ，N 两点.（Ⅰ）若3OG OP OM ON =++u u u r u u u r u u u r u u u r,求G 点的轨迹2C 的方程；（Ⅱ）若直线210L mx y -+=：与1C 相交于A,B 两点, 与2C 相交于C,D 两点, 设PAB D ,PCD D 的面积分别是1S ,2S ,求证：不论实数m 取何值，12S S 为定值，并求出这个定值. 【命题意图】本题考查抛物线及动点的轨迹方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，中等题.解: （Ⅰ）由2116y x =-得13y x ¢= 设2(,1)6m M m -,2(,1)6n N n -,由PM PN L L ^得111933m n mn ?-?-再设(,)G x y ，由(0,1)P -及3OG OP OM ON =++uuu r uu u r uuu r uuu r2231836x m n m n y í=+ïïïÞì+-ï=ïïïî2218()2189y m n mn x ?+--= 故G 点的轨迹2C 的方程为22x y =…………………………………………6分（Ⅱ）显然12||||S AB S CD =，由22113906210y x x mx mx y íïï=-ï?-=ìïï-+=ïî 记11(,)A x y ,22(,)B x y，∴1221233||(4)92x x m AB m x x í+=ïï?+ìï?-ïî 记33(,)C x y ,44(,)D x y ，2221010y x x mx mx y íï=ï?-=ìï-+=ïî∴342121||(4)12x x mCD m x x í+=ïï?+ìï?-ïî∴123S S ==为常数∴命题成立，这个常数为3.……………………………………………………13分解法2：由解法1，记11(,)A x y ,22(,)B x y ，33(,)C x y ,44(,)D x y 由21116C y x =-：和2C ：22y x =的焦点都是点1(0,)2，且直线210L mx y -+=：过点1(0,)2根据抛物线的定义可知：122112234234()+6+53122==3()+1422m x x S y y m m x x S y y m +++==++++ 20．（本题满分13分）函数2()(1)ln f x x b x =-+，其中b R Î.（Ⅰ）若函数在其定义域内是单调递增函数，求b 的取值范围；（Ⅱ）设3222,()3467>=-+-+a g x x a x a a .当12b =时，若存在12,[1,2]x x Î ，使得121|()(|<2f xg x -），求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考察导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究. 中等题.解（Ⅰ）函数2/22f (x)=2(x-1)+(0)b x x bx x x-+=>由题意，f ′(x )≥0在(0，＋∞)内恒成立，故2220x x b -+ 在(0，＋∞)内恒成立即22112+22(-)22b x x x ?=-+恒成立．显然，2112(-)22x -+在(0，＋∞)内的最大值为12，所以，b ≥12；即b 的取值范围为1,2轹÷ê+ ÷÷êøë.……………………………………………………6分（Ⅱ）首先研究f (x )，g (x )在[1,2]上的性质．由（Ⅰ），当b ＝12时，21()(1)ln 2f x x x =-+在(0，＋∞)内单调递增，从而f (x )在[1,2]上单调递增，因此，f (x )在[1,2]上的最小值f (x )min ＝f (1)＝0，最大值f (x )max ＝f (2)＝1＋12ln 2.g ′(x )＝3(x 2－a 2)，由a >2，知当x ∈[1,2]时，g ′(x )＝3(x 2－a 2)<0，因此，322()34a 67g x x a x a =-+-+在[1,2]上单调递减．g (x )在[1,2]上的最小值g (x )min ＝g (2)＝226150a a --+< 最大值g (x )max ＝g (1)＝268a a -+①若g (x )max ＝268a a -+≥0，即a ≥4时，两函数图象在[1,2]上有交点，此时a ≥4显然满足题设条件，②若g (x )max ＝268a a -+<0，即2<a <4，f (x )的图象在上，g (x )的图象在下．只需f (x )min －g (x )max <12，即f (1)－g (1)<12，即－(268a a -+)<12，所以，3＋22<a <4.综上，所求实数a 的取值范围是(3)++ .…………………………………………13分 21．（本题满分13分）已知正项数列{}n a ，{}nb 满足：对任意正整数n ，都有2n a ,2n b ,21+n a 成等差数列，n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列，且1a 2a . （Ⅰ）求证：数列{n b }是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅲ）设22212111n nS a a a =+++L ，如果对任意正整数n ，不等式2aS n <2－22n n b a 恒成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查等差、等比数列综合应用，以及对裂项相消及不等式相关知识的理解应用，考查了分类讨论思想，中等题. （Ⅰ）证明由已知，得22212+=+n n n b a a①a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1 ② 将②代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2112-+=? n n nn n b b b b b即112-+=+n n n b b b ∴{b n }是等差数列．…………………………………………4分（Ⅱ）解设数列{b n }的公差为d ，由a 1a 2经计算，得21b ＝252，22b ＝18.∴1b ＝522，d ＝2b －1b ＝32－522＝22，b n ＝522＋(n －1)·22＝22(n ＋4)．∴b n ＝22(n ＋4)，a n.…………………………………………………8分（Ⅲ）解由（Ⅰ）得21na＝23)(4)++n n （＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4. ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14－15＋⎝⎛⎭⎫15－16＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋3－1n ＋4＝2⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4. 不等式2aS n <2－22n nb a 化为4a ⎝⎛⎭⎫14－1n ＋4<2－n ＋4n ＋3. 即(a －1)n 2＋(3a －6)n －8<0，设f (n )＝(a －1)n 2＋(3a －6)n －8，则f (n )<0对任意正整数n 恒成立．当a －1>0，即a >1时，不满足条件；当a －1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a －1<0，即a <1时，f (n )的对称轴为x ＝－3 a －22 a －1<0，f (n )关于n 递减，因此，只需f (1)＝4a －15<0.解得a <154，∴a <1.综上，a ≤1.………………………………………………………………………………13分。

2024-2025学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期9月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年安徽省马鞍山市第二中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足(1−i)z=2+i，则复数z的虚部为( )A. 32B. −32C. 32i D. −32i2.已知向量BC=(2,1)，AB=(0,−1)，则|AC|=( )A. 2B. 3C. 2D. 223.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是( )比赛成绩678910班级数35444A. 8.5B. 9C. 9.5D. 104.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若α⊥β，m//α，则m⊥βB. 若m//α，n⊥α，则m⊥nC. 若m⊥n，n⊥α，则m//αD. 若α//β，m⊂α，m//n，则n//β5.一个射手进行射击，记事件A1=“脱靶”，A2=“中靶”，A3=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是( )A. A1与A2B. A1与A3C. A2与A3D. 以上都不对6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=1，cos C=−13，则边c上的高为( )A. 62B. 63C. 32D. 337.如图，△A′O′B′是由斜二测画法得到的△AOB 水平放置的直观图，其中O′A′= O′B′=2，点C′为线段A′B′的中点，C′对应原图中的点C ，则在原图中下列说法正确的是( )A. OC ⋅AB =0B. △AOB 的面积为2C. OC 在OB 上的投影向量为2OBD. 与AB 同向的单位向量为8.如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度MN ，在钟楼的正西方向找到一座建筑物AB ，高为a 米，在地面上点C 处(B,C,N 三点共线)测得建筑物顶部A ，钟楼顶部M 的仰角分别为α和β，在A 处测得钟楼顶部M 的仰角为γ，则钟楼的高度为( )米．A. a sin (α+β)sin βsin αsin (β−γ) B. a +a sin (α+β)sin βsin αsin (β−γ)C. a sin (α+γ)sin βsin αsin (β−γ)D. a +a sin (α+β)sin γsin βsin (β−γ)二、多选题：本题共3小题，共18分。

安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期阶段检测(12月)数学试题

安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期阶段检测（12 月）数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的准线方程是（） A ．12x =-B ．18x =-C ．18y =-D ．12y =-2．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2023a =（） A ．1-B ．12C ．1D ．23．直线l 的方向向量()2,3a =r，且过点()1,1，则直线l 的方程为（） A ．2350x y +-= B ．3250x y +-=C ．2310x y -+=D ．3210x y --=4．已知等比数列{}n a 的公比为正数，若23952a a a =，22a =则1a =（）A ．12B C D ．25．两圆221x y +=与222210x y x y ++-+=的公共弦长为（）A B C ．12D ．16．已知4199299n n a n -=-，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（）A ．1a ，50aB ．1a ，100aC ．49a ，50aD ．49a ，100a7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（）A ．12B C ．13D ．168．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且21π5π,312F MF ⎛∠⎫∈ ⎪⎝⎭，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．(B ．)+∞C ．()1D ．)1二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．若23p x y =+r r r ，则p r 与x r，y r 共面B ．若23MP MA MB =+u u u r u u u r u u u r，则,,,M P A B 共面C ．若0OA OB OC OD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r，则,,,A B C D 共面 D ．若151263OP OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,,P A B C 共面10．已知圆()()22:1225C x y -+-=，直线()():211740l m x m y m +++--=．则以下几个结论正确的有（）A ．直线l 与圆C 相交B ．圆C 被y 轴截得的弦长为C ．点C 到直线lD ．直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为250x y --=11．已知1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，A 为左顶点，P为双曲线右支上一点．若122PF PF =，且12PF F △的最小内角为30︒，则（）AB ．双曲线的渐近线方程为y x =±C ．245PAF ∠=︒D ．直线220x y +-=与双曲线有两个公共点12．若数列{}n a 满足11a =，21a =，()21N n n n a a a n +++=+∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（）A ．713a =B ．135********a a a a a ++++=LC ．754S =D ．24620222023a a a a a ++++=L三、填空题13．已知向量()2,3,2a =-r ，()2,,1b m =--r ，且a b ⊥r r ，则m =．14．已知双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为.15．已知n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且2131n n S n T n +=-，那么44a b =．16．已知实数x ，y 满足222210x y x y +--+=，则11x y x +-+的取值范围是．四、解答题17．已知圆22:240C x y x y m ++-+=与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切点为M ． (1)求圆C 的圆心坐标及半径；(2)求满足PM =的点P 的轨迹方程． 18．设数列{}n a 满足()12321n a a n a n +++-=L ． (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．19．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点（点A 在第一象限）．(1)若3AF FB =u u u r u u u r，求直线l 的方程；(2)求OAB V 面积的最小值．20．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．(1)证明：直线//CE 平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值． 21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*2(N )2n n S a n ∈=-， (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12log n n n b a a =⋅，12n n T b b b =+++L ，求使1250n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>椭圆上一动点P 与左､右焦点构成的(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线PQ 交椭圆C 于,P Q 两点，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，已知123k k =. ①求证：直线PQ 恒过定点；②设APQ △和BPQ V 的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.。

安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题

安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题一、单选题 1．已知复数i3iz =-，则z =（）A ．13B C ．110D 2．已知集合{}12A x N x =∈-<，集合()(){}130B x x x =+->，则集合()R A B I ð等于（） A ．[]1,3- B ．()1,3- C ．{}0,1,2 D ．{}1,23．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-4．若,0a b >，且1131a b ab =++，则a b +的取值范围（） A ．3a b +≥B ．06a b <+≤C ．03a b <+≤D ．6a b +≥5．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u uv u u u v B ．1344AB AC -u u uv u u u v C ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v6．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立7．已知函数()2cos 241x x xf x =-，则函数()y f x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．8．函数()12,0,2,0,x x x f x x +⎧-≥=⎨<⎩若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则()2123x f x x x +的取值范围是（）A ．10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题9．已知向量()1,3a =r ，()1,2b =-r，()2,4c =-r ，则下列结论正确的是（）A ．b c ∥r rB ．50a c +=r rC ．()a b b +⊥r r rD ．,4a b π=r r10．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠时，恒有()()2112120x f x x f x x x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”．给出下列四个定义域为()0,∞+的函数，其中能被称为“理想函数”的有（）A ．()1f x =B ．()2f x x =C ．()21f x x =+D ．()2f x x x =+11．设函数()πsin 23f x x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]()*0,πN n n ∈恰有2023个零点，则n 的可能取值为（）A ．1011B ．1012C ．2022D ．202312．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+u u u r u u u r u u u r，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P三、填空题13．设0.4330.2log ,0.,4log 4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为.(用“<”连接) 14．已知向量0a b c ++=r r r r ，||1a =r ，||||2b c ==r r ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r15．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）：学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，则a 的值为．16．在直三棱柱111ABC A B C -中，135ACB ∠=︒，AB 1BC CC ==P 是线段1B C 上的动点，则11A P PC +的最小值是．四、解答题17．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求第二次取到红球的概率；(2)如果是4个红球，n 个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为16，那么n 是多少？18．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()cos 3cos a B c b A =-. （1）求sin A ；（2）若a =ABC V b c +的值19．已知函数2()sin 22cos (0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，1x ，2x 是方程()0f x =的两个不相等的实根，且12x x -的最小值为π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围20．已知定义在R 上的函数()f x 对任意12,x x R ∈都有等式()()()12121f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若()34f =，关于x 不等式)3ft f+>恒成立，求t 的取值范围.21．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，E 为BC 的中点，把△ABE 和△CDE 分别沿,AE DE 折起，使点B 与点C 重合于点P ．（1）求证：PE ⊥平面PAD ；（2）求二面角P AD E --的大小．22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M N ，分别是AB BC ，的中点，1AB =，12BC BB ==，60ABC ∠=o ．(1)证明：平面1A MN ⊥平面11ABB A ； (2)求点C 到平面1A MN 的距离．。

安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期阶段检测(10月)数学试题

安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高二上学期阶段检测（10月）数学试题一、单选题1．已知圆的圆心在(3,4)-，半径为5，则它的方程为（） A ．()()22345x y -+-= B ．()()223425x y +++= C ．22(3)(4)25x y ++-=D ．()()22345x y ++-=2．过点()P ，倾斜角为60o 的直线方程是（）A 40y ++=B ．0x +=C 40y -+=D ．0x +=3．原点到直线912100x y +-=间的距离是（） A ．23B ．13C ．1D ．254．若0ab <，0bc <，则直线0ax by c ++=不经过第象限（） A ．一B ．二C ．三D ．四5．与两圆221:(1)(2)1C x y -++=和222:(1)(3)9C x y ++-=都相切的直线有（）条 A ．1B ．2C ．3D ．46．已知()3,4A --，()6,3B 两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，求a 的值（） A ．13B ．97-C ．13-或79-D ．13或79-7．已知,M N 是圆2220x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则BMN V 的面积为（）A ．3B ．32C D ．348．已知圆22:2220M x y x y ++--=，直线:220l x y --=，点P 为l 上一动点．过点P 作圆M 的切线PA PB ，，切点为A B ，，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=二、多选题9．已知方程()()2224232141690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则实数m 可能的取值为（） A ．－1B ．0C ．12D ．110．圆心在x 轴上，半径为2，且与直线0x y -=相切的圆的方程可能是（）A ．(224x y -+= B ．22(2)4x y -+=C ．22(4x y ++=D ．22(2)4x y ++=11．若直线123:34,:0,:234l x y l x y l x my +=-=-=不能构成三角形，则m 的取值为（）A ．23B ．23-C ．29D ．29-12．下列命题正确的是（）A ．直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=有且仅有三个点到直线:0l x y -=的距离为1C ．若圆22120C :x y x ++=与圆()222:48020C x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，则4m =D ．函数y三、填空题13．直线3420x y ++=在x 轴上的截距是．14．直线10ax y +-=与直线2410ax y -+=相互垂直，=a ．15．设圆222210x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB =l 直线方程为．16．如图，在Rt ABC △中，90,4,6ACB CB CA ∠=︒==，C e 半径为2，P 为圆上一动点，连接,AP BP ，则12AP BP +的最小值为.四、解答题17．已知直线1:0l x ay a +-=和直线()2:2320l ax a y a --+-=. (1)若12l l ⊥，求实数a 的值； (2)若12l l ∥，求实数a 的值.18．已知ABC V 的顶点()3,5A -，()5,7B ，()5,1C ． (1)求AB 边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点A ，且在x 轴上的截距和y 轴上的截距相等的直线的方程．19．已知一圆C 的圆心为()2,1-，且该圆被直线:10l x y --=截得的弦长为(1)求该圆的方程；(2)求过点()4,3P 的该圆的切线方程.20．如图，圆1O 与圆2O 的半径都是2，126O O =，过动点P 分别作圆1O 与圆2O 的切线PM ，PN ，M ，N 分别为切点，使得2PM PN =.(1)试建立适当坐标系，求动点P 的轨迹方程；(2)若圆1O 与圆2O 的一条公切线l 与坐标轴平行，判断直线l 与曲线P 的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由.21．已知圆C 过点()0,0O ，(，(B .(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点C 且与x 轴平行的直线与圆C 交于点M ，N ，点P 为直线5x =上的动点，直线PM ，PN 与圆C 的另一个交点分别为E ，F （EF 与MN 不重合），证明：直线EF 过定点. 22．在平面直角坐标系中，已知动点M 到点10,2A ⎛⎫⎪⎝⎭与到直线102y +=的距离相等．(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设点P 是轨迹E 上的动点，点Q ，R 在x 轴上，圆()22:11C x y +-=内切于PQR V ，求PQ R V 的面积最小值．。

2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级第二学期期末联考数学试卷(含解析)

2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级第二学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数y =cos x 的图象在点(π3,12)处切线的斜率为( )A. −32 B. −12C.32D. 122.六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为( )A. 180种B. 336种C. 720种D. 1440种3.在(x 2−y )5的展开式中，x 4y 3项的系数为( )A. 10B. −10C. 20D. −204.已知函数y =f(x)，y =g(x)的导函数的图象如图，那么y =f(x)，y =g(x)的图象可能是( )A. B.C. D.5.假设A ，B 是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定正确的是( )A. P(A|B)P(B)=P(AB)B. P(A|B)=P(B|A)C. P(A|B)≤P(B)D. P(A|B)≤P(A)6.小明用摸球的方式决定周末去A或B地游玩.规则如下：箱子里装有质地和大小完全相同的4个红球和3个白球，从中任取4个小球，若取出的红球个数不少于白球个数，则去A地，否则去B地，则小明去A地游玩的概率为( )A. 1235B. 1335C. 57D. 31357.随机变量X的分布列如下，则方差D(bX)的最大值为( )X123P a2b aA. 127B. 227C. 19D. 298.已知a，b满足ae a=b ln b−b=e3(e是自然对数的底数)，则( )A. e a+1<bB. ab<e3C. 52<a<e D. 12e3<b<23e3二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

安徽省马鞍山市(新版)2024高考数学统编版质量检测(提分卷)完整试卷

安徽省马鞍山市（新版）2024高考数学统编版质量检测(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积的4倍、下底面的面积之和乘以高h的六分之一，即.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为，则它的高为（）A．B．C．D．4第(3)题在中，角的对边分别为，已知，则的面积为（）A．B．C．D．第(4)题为深入贯彻落实习近平总书记在党史学习教育动员大会上的重要讲话精神，巩固深化党史学习教育成果，激励和动员广大教师立大志、明大德、成大才、担大任，以优异成绩迎接党的二十大胜利召开，某校开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题党史知识竞赛活动，其中初中部180名教师的竞赛成绩的平均分为90分，方差为2，高中部270名教师的竞赛成绩的平均分也为90分，方差为3，则该校全体教师的竞赛成绩的方差为（）A．13B．26C．1.3D．2.6第(5)题设向量，，若与共线，则（）A．B．C．D．第(6)题若复数满足，则（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（）A．B．C．D．第(8)题已知拋物线，过点的直线与直线交于点，与交于两点（点A在第一象限）.若线段恰被点平分，则（）A．B．C．或D．或二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知抛物线与圆的公共点为A ，B ，点P 为圆C 的劣弧上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则下列四个命题中正确的是（）A ．B ．点P 纵坐标的取值范围是C ．点N 到圆心C 距离的最小值为1D ．若l 不经过原点，则周长的取值范围是第(2)题已知直三棱柱中，，，M ，N ，Q 分别为棱，，AC 的中点，P 是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（）A ．平面MNAB ．三棱锥的体积为定值C ．的最大值为4D ．若P 为的中点，则过A ，M ，P 三点的平面截三棱柱所得截面的周长为第(3)题函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B ．C ．是函数的一条对称轴D ．是函数的对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在中，内角所对的边分别为，已知且．则中最大角的度数是__________．第(2)题在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，若，则的最小值为___________第(3)题如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数有两个极值点为，.(1)当时，求的值；(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.第(2)题“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求的值和这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）;(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求抽取的2人中至少有1人的年龄在第1组中的概率.第(3)题已知函数．(1)当时，求的图像在点处的切线方程；(2)若函数有一个零点，求k的取值范围．第(4)题有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点所在的直线为轴，线段的中点为原点建立平面直角坐标系．(1)记折痕与的交点的轨迹为曲线，求曲线的方程；(2)若直线：（）与曲线交于，两点．（ⅰ）当为何值时，为定值，并求出该定值；（ⅱ），为切点，作曲线的两条切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点在直线上，探究：此时直线是否过定点，若过，求出该定点；若不过，请说明理由．第(5)题已知数列的前项和为，满足：.(1)求证：数列为等差数列；(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.。

安徽省马鞍山市2023-2024学年高二上学期期中调研考试数学试题

a1
1 32
， T5
T6
，则（
）
A． q = 2
B．当且仅当 n 6 时， Tn 取得最小值
C．Tn T11n n N*, n 11
D． Sn Tn 的正整数 n 的最大值为 11
12．已知圆 C : x2 y2 4 ，圆 M : x2 y2 8x 6 y m 0 （）
6．已知点
P 4,3 ，点 Q
在
x2
y2
4
的圆周上运动，点
M
满足
PM
MQ
，则点
M
的
运动轨迹围成图形的面积为（）
A． π
B． 2π
C． 3π
D． 4π
7．等比数列 an 中， a1 a2 a3 a4 a5 3 ， a12 a22 a32 a42 a52 15 ，则
a1 a2 a3 a4 a5 （）
n n N* 项和，则 1 1 1 的值为
．
S1 S2
S10
14．平面直角坐标系 xOy 中，过直线 l1 : 7x 3y 1 0 与 l2 : x 4 y 3 0 的交点，且在 y
轴上截距为 1 的直线 l 的方程为
．（写成一般式）
试卷第 2页，共 4页
15．如图，第一个正六边形 A1B1C1D1E1F1 的面积是 1，取正六边形 A1B1C1D1E1F1 各边的中
直线 l : ax 2by 3c 0 ．若直线 OM 垂直于直线 l ，垂足为 M ，则线段 AM 的最小值
为
．
四、问答题
17．已知直线 l1 : 2x a 1 y 2 0 ， l2 : a 2 x 2a 1 y 3 0 a R ．
(1)若 l1 l2 ，求实数 a 的值；