安徽省马鞍山市12-13学年度高二上学期期末素质测试数学理试题
安徽省马鞍山市2023-2024学年高二上学期期末测试数学试题含答案
马鞍山2023－2024学年度第一学期期末测试高二数学试题（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，已知()1,3,2A --，()2,0,4AB =，则点B 的坐标是A.()3,3,2 B.()3,3,2---C.()1,3,6- D.()1,3,6--【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.【详解】设(),,B x y z ，()1,3,2A --，则()1,3,2AB x y z =++-，而()2,0,4AB =，所以123024x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得136x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()1,3,6B -，故选：C.【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题.2.由点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=引的切线长是（）A.3B.C.D.5【答案】A 【解析】【分析】将圆的方程化为标准形式，求出点(1,4)P -到圆心()2,3的距离，结合勾股定理即可得解.【详解】圆2246120x y x y +--+=即圆()()22231x y -+-=的圆心半径分别为()2,3,1r =，点(1,4)P -到圆心()2,3的距离为d ==，所以点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=3=.故选：A.3.已知等差数列{}n a 的公差为1，108a =，则2024a =（）A.2021B.2022C.2023D.2024【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质代入即可求解.【详解】由题意得()2024102024101820142022a a +-⨯=+==.故选：B.4.抛物线22y x =的焦点坐标为（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()0,1【答案】C 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再求焦点坐标.【详解】由22y x =得212x y =，所以抛物线为开口向上的抛物线，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C5.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为12,F F ，等轴双曲线222y x b -=的焦点为3F ，4F ，若四边形1324F F F F 是正方形，则该椭圆的离心率为（）A.12B.2 C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的焦距相等列方程，然后整理可得.【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦距相等，所以有=，整理得2213b a =，所以3e ===.故选：C6.已知正项等比数列{}n a 中，24492a a ⋅=，791092a a ⋅=，则13a =（）A.732 B.832 C.932D.992【答案】B 【解析】【分析】由正项等比数列的性质，2243a a a ⋅=，2798313a a a a a ⋅==⋅，可求13a 的值.【详解】正项等比数列{}n a 中，2243492a a a ⋅==，则3232a =，27981092a a a ⋅==，则8532a =，又28313a a a =⋅，即131029322a =⋅，解得13832a =.故选：B7.三棱锥O ABC -中，点P ∈面ABC ，且12OP OA kOB OC =+-，则实数k =（）A.12-B.12 C.1 D.32【答案】D 【解析】【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解.【详解】由题意三棱锥O ABC -中，点P ∈面ABC ，且12OP OA kOB OC =+- ，所以1112k +-=，解得32k =.故选：D.8.已知O 为坐标原点，双曲线：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P ，且FP OA =，直线AP 与双曲线的左支交于点B ，则PFB ∠的大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】B 【解析】【分析】根据FP 垂直渐近线且=FP OA ，可得e =a b ==()1,1P -及2B x =-，这样就可得BF x ⊥轴，从而可得求解.【详解】易知FP b =，于是a b =，故离心率e =，不妨设a b ==()1,1P -，()2,0F -，)A，不难求得2B x =-，于是BF x ⊥轴，所以45PFB ∠=︒．故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若三条直线l 1：210x y -+=，l 2：10x y +-=，l 3：220x ay a ++-=有2个公共点，则实数a 的值可以为（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】BD 【解析】【分析】由题意知三条直线中，有两条直线相互平行，讨论13,l l 平行和23,l l 平行，求解即可.【详解】由题意可得，三条直线中，有两条直线相互平行，l 1：210x y -+=的斜率为2，l 2：10x y +-=的斜率为1-，所以12,l l 不平行，若13,l l 平行，则22211a a -=≠-，解得：1a =-，若23,l l 平行，则22111a a -=≠-，解得：2a =，综上：实数a 的值为1a =-或2a =.故选：BD .10.平面直角坐标系数Oxy 中，已知(1,0),(1,0)A B -，则使得动点P 的轨迹为圆的条件有（）A.1PA PB ⋅=B.221PA PB += C.||2||PA PB = D.||||3PA PB +=【答案】AC 【解析】【分析】设(,)P x y ，根据选项中的条件列出方程，化简，结合化简结果可判断动点轨迹是否为圆，即可判断A ，B ，C ；结合椭圆定义可判断D.【详解】设(,)P x y ，则(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--，对于A ，由1PA PB ⋅=得222211,2x y x y -+=∴+=，此时动点P 的轨迹为圆，A 正确；对于B ，由221PA PB += 得2222(1)(1)1x y x y --++-+=，则2212x y =-+，该式无意义，此时点P 不存在，B 错误；对于C ，由||2||PA PB ==，整理得2210103x y x +-+=，即22516()39x y -+=，此时动点P 的轨迹为圆，C 正确；对于D ，由||||3PA PB +=可知，动点P 到两定点(1,0),(1,0)A B -的距离之和为3，且3||2AB >=，此时动点P 的轨迹为椭圆，D 错误，故选：AC11.已知曲线C ：221mx ny +=，则下列结论正确的是（）A.若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若0m n =>，则CC.若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为0mx ny ±=D.若0,0m n =>，则C 是两条直线【答案】ABD 【解析】【分析】结合选项条件，分别根据椭圆、圆以及双曲线的标准方程，化简曲线C ：221mx ny +=为相应的标准方程，即可判断A ，B ，C ；0,0m n =>时，方程即为y =，即可判断D.【详解】对于A ，若0m n >>，则110m n<<故曲线C ：221mx ny +=，即22111x y m n+=，表示椭圆，其焦点在y 轴上，A 正确；对于B ，若0m n =>，110m n=>则曲线C ：221mx ny +=，即221x y n+=，表示半径为的圆，B 正确；对于C ，若0mn <，不妨设0,0m n ><，则曲线C ：221mx ny +=，即22111x y m n-=-，表示焦点在x 轴上的双曲线则a b ==b y x a =±=，0=，C 错误；对于D ，若0,0m n =>，曲线C ：221mx ny +=，即21ny =，即y =，则C 是两条直线，D 正确，故选：ABD12.已知数列{}n a 中，10a =，()2*1n n n a a a n λ+=+-∈N，则下列结论正确的是（）A.当0λ=时，数列{}n a 为常数列B.当0λ<时，数列{}n a 单调递减C.当104λ<≤时，数列{}n a 单调递增D.当14λ>时，数列{}n a 为摆动数列【答案】ABC 【解析】【分析】求出数列{}n a 各项的值，可判断A 选项；利用数列的单调性可判断B 选项；利用数学归纳法推导出n a ⎡∈⎣，结合数列的单调性可判断C 选项；取1λ=，求出数列{}n a 各项的值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当0λ=时，()2*1n n n a a a n +=-∈N，由10a =可得20a =，30a =，40a =，L ，以此类推可知，对任意的n *∈N ，0n a =，此时，数列{}n a 为常数列，A 对；对于B 选项，当0λ<时，则210n n n a a a λλ+-=-≤<，此时，数列{}n a 单调递减，B 对；对于C 选项，因为104λ<≤，()2*1n n n a a a n λ+=+-∈N ，且10a =，则(2a λ=∈，猜想，n *∀∈N ，0n a ≤<当1n =时，猜想成立，假设当()n k k *=∈N时，猜想成立，即0ka≤<，则当1n k =+时，2211124k k k k a a a a λλ+⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，因为104λ<≤，则102<≤，则函数21124y x λ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭在⎡⎣上单调递增，所以，2211124k kk k a a a a λλλ+⎛⎫⎡=-++=--++∈ ⎪⎣⎝⎭，即1k a +⎡∈⎣成立，由数学归纳法可知，对任意的n *∈N ，n a ⎡∈⎣，所以，210n n n a a a λ+-=->，此时，数列{}n a 单调递增，C 对；对于D 选项，当14λ>时，取1λ=，则()2*11n n n a a a n +=+-∈N 且10a =，则21a =，31a =，41a =，L ，以此类推可知，当2n ≥且n *∈N 时，1n a =，即0,11,2n n a n =⎧=⎨≥⎩，此时，数列{}n a 不是摆动数列，D 错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：判断数列单调性的方法有：（1）利用数列对应的函数的单调性判断；（2）对数列的前后项作差（或作商），利用比较法判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点()1,0作直线与24y x =交于A ，B 两点，若||4AB =，则直线AB 的倾斜角为______.【答案】90︒【解析】【分析】联立直线与抛物线方程可求得12x x +，再利用抛物线的焦点弦公式得到关于m 的方程，解之即可得解.【详解】因为抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)F ，准线为=1x -，则直线AB 过抛物线的焦点，且由题意可知直线AB 的斜率不为0，不妨设直线AB 为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my --=，易知0∆>，则124y y m +=，故()21212242x x m y y m +=++=+，因为||4AB =，所以1224x x ++=，即2422m +=，故0m =，所以直线AB 的方程为1x =，则直线AB 的倾斜角为90︒.故答案为：90︒.14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．【答案】1n-【解析】【详解】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-=，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n n n S =-+--=-，即1n S n =-.【点睛】这类型题使用的公式是11n n n S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥，一般条件是()n n S f a =，若是消n S ，就需当2n ≥时构造()11n n S f a --=，两式相减1n n n S S a --=，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1nn n a S S -=-，再利用递推求解通项公式.15.设12,F F 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆上任一点，若1260F PF ∠=︒且12F PF △的面积为3，则该椭圆的短轴长为______.【答案】10【解析】【分析】由椭圆定义得到122PF PF a +=，122F F c =，由余弦定理得到21243b PF PF ⋅=，结合三角形面积公式得到方程，求出5b =，得到答案.【详解】由椭圆定义得122PF PF a +=，122F F c =，由余弦定理得()2222212121212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅222121212124244222a PF PF c b PF PF PF PF PF PF -⋅--⋅==⋅⋅，即2121242122b PF PF PF PF -⋅=⋅，解得21243b PF PF ⋅=，由三角形面积公式得221212114sin 22323b PF PF FPF ⋅∠=⋅⋅=，即233=，解得5b =，故该椭圆的短轴长210b =.故答案为：1016.设集合{}1,2,3,,14A ⊆ ，若A 中任意3个元素均不构成等差数列，则集合A 中元素最多有______个．【答案】8【解析】【分析】先判断出8k ≤，再根据特例可判断等号成立，故可求元素个数的最大值.【详解】设{}12,,,k A a a a = ，若9k ≥且{}n a 递增，由题意可知31533,3a a a a -≥-≥且3153a a a a -≠-，故517a a -≥，同理957a a -≥，又5195a a a a -≠-，故有9115a a -≥，矛盾．故8k ≤，取{1,2,4,5,10,11,13,14}A =满足条件．故答案为：8.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.棱长为2的正四面体PABC 中，设PA a = ，PB b = ，PC c =．M ，N 分别是棱,AB PC 的中点．（1）用向量a ，b ，c 表示MN；（2）求||MN．【答案】（1）1()2MN a b c =--+（2）||MN =【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理求解即可；（2）由空间向量模长公式和数量积公式求解即可.【小问1详解】连接PM ，所以()111222MN PN PM PC PA AM PC PA AB ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭111111222222PC PA PB PA PC PA PB ⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭，因为PA a = ，PB b = ，PC c =，所以1111111()2222222MN PC PA PB c a b a b c =--=--=--+.【小问2详解】MN == 因为正四面体PABC 的边长为2，所以,,a b c的夹角为60︒，2a b c === ，所以12222c a b a c b ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，MN == .18.已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且11a +，21a +，41a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，*N n ∈，n S 是{}n b 的前n 项和，求使113n S <成立的最大的正整数n .【答案】（1）41n a n =-（2）8【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，由题意列出关于d 的方程，求出d ，即可求得答案；（2）结合（1）可得11n n n b a a +=的表达式，利用裂项相消法求得n S 的表达式，解数列不等式，即可求得答案.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，13a =，由11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()()2214111a a a +=++，即2(4)4(43)d d +=+，解得4d =或0（舍），所以34(1)41n a n n =+-=-；【小问2详解】因为111111(41)(43)44143n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111111437711414343433(43)n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-== ⎪-+++⎝⎭⎝⎭，由113n S <，得13(43)13n n <+，解得9n <，所以使113n S <成立的最大的正整数8n =.19.在三棱台111ABC A B C -中，1111,2,4A B AA AB ===，1AA ⊥平面ABC ，11AB AC ⊥．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若4BC =，求直线1AC 与平面1B AC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）19【解析】【分析】（1）根据题意先证1AB ⊥平面1BAC ，可得1AB BC ⊥，进而可证BC ⊥平面11BAA B ，即可得结果；（2）建系，求平面1B AC 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为1AA ⊥平面ABC ，且,AB BC ⊂平面ABC ，可知1AA BC ⊥，1AA AB ⊥，在11Rt B A A △中，可得11111tan 2AA AB A A B ∠==，在1Rt A AB △中，可得11111tan tan 2AA B A B A BA BA ∠=∠==，即1111tan tan 1AB A B A B ∠⋅∠=，且1111π,0,2AB A B A B ⎛⎫∠∠∈ ⎪⎝⎭，可得1111π2AB A B A B ∠+∠=，则11AB A B ⊥，又因为11AB AC ⊥，111A B AC A ⋂=，11,A B A C ⊂平面1BAC ，可得1AB ⊥平面1BAC ，且BC ⊂平面1BAC ，则1AB BC ⊥．且11AA AB A = ，11,AA AB ⊂平面11BAA B ，可得BC ⊥平面11BAA B ，且AB ⊂平面11BAA B ，所以BC AB ⊥．【小问2详解】如图，以B 为坐标原点，,BC BA 分别为,x y 轴所在直线，过B 平行于直线1AA 的直线为z 轴所在直线，建立空间直角坐标系则11(0,4,0),(4,0,0),(0,3,2),(0,4,2)A C B A ，可得111(4,4,2),(0,1,2),(4,3,2)CA AB CB =-=-=-，设平面1B AC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11204320n AB y z n CB x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令1z =，解得2x y ==，可得(2,2,1)n =，则11121cos ,639CA n CA n CA n ⋅===⨯⋅，所以直线1AC 与平面1B AC 所成角的正弦值为19．20.已知椭圆Γ：224x y λ+=（0λ>）．（1）若椭圆Γ的焦距为6，求λ的值；（2）设(0,1)P ，若椭圆Γ上两点M ，N 满足2MP PN =，求点N 横坐标取最大值时λ的值．【答案】（1）12（2）20【解析】【分析】（1）由焦距以及,,a b c 之间的关系列方程即可求解；（2）设出直线方程，并与椭圆方程联立，结合已知和韦达定理即可求解.【小问1详解】设焦距为26c =，则294c λλ=-=，解得12λ=．【小问2详解】要使点N 的横坐标最大，需直线MN 斜率存在．设:1MN y kx =+，与椭圆Γ联立得()2241840k x kx λ+++-=，由韦达定理：2284,4141M N M Mk x x x x k k λ--+==++．由2MP PN =知2M N x x =-，故()2841N M N kx x x k =-+=+，要使点N 的横坐标最大，在这里不妨取0k >，所以28814142N k k x k k =≤=+，当且仅当12k =时，等号成立．当12k =时，224241M N N x x x k λ-==-+，即482λ-=-，此时20λ=．21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在函数222x xy =+的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，（i ）求数列{}(21)n n a b -⋅的前n 项和n T ；（ii ）求数列{}2n n a b ⋅的前n 项和n R ．【答案】（1）()*n a n n =∈N （2）（i ）1(23)26n n T n +=-+；（ii ）()212326n n R n n +=-+-【解析】【分析】（1）由,n n S a 的关系即可求解；（2）（i ）由错位相减法以及等比数列求和公式即可得解；（ii ）由（i ）结论结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解.【小问1详解】点(),n n S 在函数222x x y =+的图象上，所以222n n nS =+．当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=．故()*n a n n =∈N ．【小问2详解】由（1）知，()*,2n n na n n b=∈=N．（i ）121232(21)2n n T n =⨯+⨯++- ①，23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-+- ②，①－②得：()()311231121222222(21)22(21)212n nn n n T n n -++--=++++--=+-- ，故1(23)26n n T n +=-+．（ii ）2122212222nn R n =⨯+⨯++⨯ ③，222322121222(1)22nn n R n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ④，③－④得：1222121123252(21)222nn n n n R n n T n ++-=⨯+⨯+⨯++--=- ，故()212326n n R n n +=-+-．22.过点()2,8-作直线l 与双曲线C ：221416x y -=交于A ，B 两点，P 是双曲线C 的左顶点，直线,PA PB与y 轴分别交于,Q R ．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）求证：线段QR 的中点M 为定点，并求出点M 的坐标．【答案】（1）522k k k ⎧⎫>-≠±⎨⎬⎩⎭且（2）证明见解析，(0,2)M -【解析】【分析】（1）设:8(2)l y k x -=+，与双曲线22:1416x y C -=联立由直线与双曲线的位置关系求解即可；（2）表示出直线PA 的方程，令0x =求出,Q R 得坐标，则()()()122112122222Q kM y y y x y x y y y x x ++++==++，将韦达定理代入化简即可得出答案.【小问1详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设:8(2)l y k x -=+，与双曲线22:1416x y C -=联立得：()()()22224416432800k x k k x k k --+-++=．因为直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，所以240k -≠且0∆>，由240k -≠，得2k ≠±，由()()()()2222Δ4164443280256250k kk k k k =++-⋅++=+>，得52k >-，解得直线l 斜率的取值范围为522k k k ⎧⎫>-≠±⎨⎬⎩⎭且．【小问2详解】(2,0)P -，设()()1122,,,A x y B x y ，则11:(2)2y PA y x x =++，令0x =得1122Q y y x =+，同理可得2222k y y x =+．于是，()()()122112121212222222Q kM y y y x y x y y y yy x x x x ++++==+=++++()()()()12211212122828241624k x x k x x k x x k x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++()()121212122(84)83224kx x k x x k x x x x +++++=+++，由韦达定理有()2212122243280416,44k k k k x x x x k k-++++==--，代入上式可得：()()()()()()222222243280(84)416(832)41282,6443280241644M k k k k k k k k y k k kk k -+++++++-===---+++++-所以线段QR 的中点为定点(0,2)M -．.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；。
高二上学期数学期末测试题
高二上学期数学期末测试题The document was prepared on January 2, 2021高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题一、选择题：1．不等式212>++x x 的解集为 A.()()+∞-,10,1 B.()()1,01, -∞- C.()()1,00,1 - D.()()+∞-∞-,11, 2．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的 条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分不必要3.若,20πθ≤≤当点()θcos ,1到直线01cos sin =-+θθy x 的距离为41,则这条直线的斜率为 B.－1 C.23 D.－334.已知x 的不等式01232>+-ax ax 的解集是实数集 R ,那么实数a 的取值范围是A.0,916 B.0, 916 C.916,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡38,0 5.过点2,1的直线l 被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线方程为： A. 053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 013=+-y x6.下列三个不等式：①;232x x >+②2,0,≥+≠∈ba ab ab R b a 时、；③当0>ab 时,.b a ba +>+其中恒成立的不等式的序号是 A.①② B.①②③ C.① D.②③7.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点,O 为原点,则OM 的长是 A ．4 B ． C ．22 D ．29.与曲线1492422=+y x 共焦点,而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x10.抛物线x y 42-=上有一点P,P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为A ．32B ．2+3C ．3D ．32-11.若椭圆)1(122>=+m y mx与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ∆的面积是 A ．4B ．2C ．1D ．12.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点ＡＢ,其中点Ａ坐标为1,2,设抛物线焦点为Ｆ,则|FA |+|FB |= Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4二、填空题13. 设函数,2)(+=ax x f 不等式6|)(|<x f 的解集为-1,2,则不等式()1≤x f x的解集为 14.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的圆周,则ba11+的最小值为______ 15．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点,则焦点坐标是 . 16.抛物线x y 22-=上的点M 到焦点F 的距离为3,则点M 的坐标为____________. 三、解答题： 18．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ,其离心率为22,设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ已知直线l 与圆3222=+y x 相切,求证：OA ⊥OBO 为坐标原点；Ⅲ以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB,若点Q 在椭圆C 上,且满足OP OQ λ=O 为坐标原点,求实数λ的取值范围．19．已知圆C y 轴对称,经过抛物线x y 42=的焦点,且被直线x y =分成两段弧长之比为1：2,求圆C 的方程.20. 平面内动点Px,y 与两定点A-2, 0, B2,0连线的斜率之积等于-1/3,若点P 的轨迹为曲线E,过点Q (1,0)-作斜率不为零的直线CD 交曲线E 于点C D 、．1求曲线E 的方程； 2求证：AC AD ⊥；3求ACD ∆面积的最大值．21．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ,且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点,求直线l 的方程. 22、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ,上顶点为A ,过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆与x 轴正半轴Q P 、两点,且PQ AP 58=I 求椭圆离心率e ；II 若过A,F,Q 三点的圆恰好与直线033:=++y x l 相切,求椭圆方程答案一、ABDB A CD D A A C A 二、13. {x|x>21或52≤x }; 14. 4 ; 15.0,±3; 16．－5,25±. 三、17．解：由062322<--+-x x x x ,得0)2)(3()2)(1(<+---x x x x 18．Ⅰ椭圆方程为2212x y +=；Ⅱ见解析Ⅲ22λ-<<且0λ≠．解析试题分析：Ⅰ由已知离心率为22,可得等式222b a =；又因为椭圆方程过点(1M 可求得21b =,22a =,进而求得椭圆的方程； Ⅱ由直线l 与圆2223x y +=相切,可得m 与k 的等式关系即222(1)3m k =+,然后联立直线l 与椭圆的方程并由韦达定理可得122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,进而求出=21y y 222212m k k -+,所以由向量的数量积的定义可得→→⋅OB OA 的值为0,即结论得证；Ⅲ由题意可分两种情况讨论：ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称；ⅱ当0m ≠时,点A 、B不原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数λ的取值范围即可.试题解析：Ⅰ222c e a b c a==+离心率,222a b ∴= 222212x y b b ∴+=椭圆方程为,将点(12M ，代入,得21b =,22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．Ⅱ因为直线l 与圆2223x y +=相切,所以=即222(1)3m k =+ 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,所以1212()()y y kx m kx m =++=221212()k x x km x x m +++=222212m k k -+,所以1212OA OB x x y y ⋅=+=222212m k -++222212m k k -+=22232212m k k --+=0,故OA OB ⊥, Ⅲ由Ⅱ可得121222()212my y k x x m k +=++=+, 由向量加法平行四边形法则得OA OB OP +=,OP OQ λ=,OA OB OQ λ∴+= ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称,则0λ= 此时不构成平行四边形,不合题意． ⅱ当0m ≠时,点A 、B 不原点对称,则0λ≠,由OA OB OQ λ+=,得12121(),1().Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即224,(12)2.(12)Q Qkm x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩点Q 在椭圆上,∴有222242[]2[]2(12)(12)km mk k λλ-+=++, 化简,得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠,∴有2224(12)m k λ=+． ①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-,∴由0∆>,得2212k m +>． ②将①、②两式,得2224m m λ>0m ≠,24λ∴<,则22λ-<<且0λ≠．综合ⅰ、ⅱ两种情况,得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．19.解：设圆C 的方程为)(2a y x -+22r =, 抛物线x y 42=的焦点()0,1F221r a =+∴ ①又直线x y =分圆的两段弧长之比为1：2,可知圆心到直线x y =的距离等于半径的,21即22r a = ②解①、②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=±+y x20．1223144x y +=(2)x ≠±；2略；31. 解析试题分析：1根据题意可分别求出连线PA ,PB 的斜率PA k ,PB k ,再由条件斜率之积为13列出方程,进行化简整理可得曲线E 的方程,注意点P 不与点,A B 重合.根据斜率的计算公式可求得2PA y k x ,2PB yk x ,所以12223y yx x x ,化简整理可得曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±； 2若要证AB AC ,只要证0AB AC ,再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线BC 的方程为1myx ,1122,,,C x y D x y ,联立直线与椭圆的方程消去x ,可得y 的一元二次方程032)3(22=--+my y m ,由违达定理知33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,则12122623x x m y y m ,()()21212243113m x x my my m -+⋅=--=+,又112,ACx y ,222,AD x y ,所以()()()121212*********AC AD x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++=,从而可以证明AB AC ；3根据题意可知122111223ACDS AQ y y m △=⋅-=⨯=+,=故当0m =时,ACD △的面积最大,最大面积为1.试题解析：1设动点P 坐标为(,)x y ,当2x ≠±时,由条件得：1223y y x x ⋅=--+,化简得223144x y +=, 故曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±. 4分说明：不写2x ≠±的扣1分 2CD 斜率不为0,所以可设CD 方程为1+=x my ,与椭圆联立得：032)3(22=--+my y m 设),(),,(2211y x D y x C , 所以33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,. 6分 01323)1(31)()1(),2(),2(2222212122211=+++++-=++++=+⋅+m m m m y y m y y m y x y x ,所以AC AD ⊥ 8分3ACD ∆面积为2222221)3(334394||21+-+=++=-m m m m y y , 10分 当0=m 时ACD △的面积最大为1. 12分考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.21．解：直线l 与x 轴不平行,设l 的方程为 a my x += 代入双曲线方程 整理得而012≠-m ,于是122--=+=m amy y y B A T 从而 12--=+=m a a my x T T 即 )1,1(22mam am T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴mam a m am 即22+=a m ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=m 或 122+=a m当0=m 时,由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a m 时,由①得 1=a l m ∴±=,3的方程为13+±=y x . 故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x22．解：I ），（）、）（，（），由，（设b A b a c c F x Q 000220-=- 知),(),,(0b x AQ b c FA -==. cb x b cx AQ FA 2020,0,==-∴⊥ .设PQ AP y x P 58),,(11=由,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+=b b yc b x x 135581,138581581201 因为点P 在椭圆上,所以1)135()138(22222=+bb ac b 整理得ac c a ac b 3232222=-=）（，即 02322=-+⇒e e .21=⇒e II 由I,a c a c a c b ac b 21,21;23,3222====得由得 于是AQF a Q a F ∆-),0,23(),0,21(的外接圆圆心为)0,21(a ,半径.21a FQ r ==因为这个圆与直线033:=++y x l 相切,所以a a =+2|321|,解得a =2, ∴c=1,b=3,所求椭圆方程为13422=+y x。
安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含解析)
安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．直线的倾斜角为( )A.45°B.60°C.135°D.150°2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则m 的值为( )3．已知等差数列满足，则( )A.10B.8C.6D.44．如图，三棱柱中，，，，点M 为四边形的中心点，则( )B.D.5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为( )A.， B.， C.， D.，6．已知数列的前n项和为，前n 项积为，满足，则( )A.45B.50C.55D.607．已知点F 为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A ,B 两点，点M 为的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若20x y ++=()0,0,1A ()1,2,3B (),,2C m n ABBC{}n a 1356a a a ++=24a a +=111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =11BCC B AM =1122b c ++ 1122a b c++1122b c +-1122a b c--222:14y x C b -=20x =()3,0()3,0-()0,3()0,3-()1,0()1,0-()0,1()0,1-{}n a n S n T 21n n S a =-1224log T T =22(0)y px p =>:21l y x =+AB 1M 1||MM =( )A.2B.3C.4D.58．已知函数表示不超过x 的最大整数，，，数列的前n 项和为，则( )A.673B.747C.769D.821二、多项选择题9．在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是( )A.向量关于平面的对称向量的坐标为B.若，则D.若，10．已知椭圆的上顶点为B ，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是( )A.若，则C.当时，过点D.若直线与椭圆C 的另一个交点为A ，，则11．已知等差数列的前n 项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是( )A. B. C. D.数列的前10项和为12．点A ,B 为圆上的两点，点为直线上的一个动点p =()[]f x x =41n a n =-[]2log n n b a ={}n b n S 100S =Oxyz ()2,2,1a =-(),,2b x y = a Ozx ()2,2,1a b ⊥ 20x y -+=225x y +=a b ⊥ 2x =-1y =-222:1(1)x C y a a +=>1F 2F 12BF BF ⊥a =2=2a =F 1BF 112BF F A = 232a ={}n a n S 11a =238a a +={}n a {}1n S -{}n b 21n a n =-21n S n =-10399b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭102122():21M x y -+=()1,P t -:1l x =-，则下列说法正确的是( )A.当，且为圆直径时，面积的最大值为3B.从点向圆C.A ,B 为圆M上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得D.当三、填空题13．已知直线，，则直线，之间距离的最大值为______.14．过点的直线l 被圆：所截得的弦长的最小值为______.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线、的斜率分别为、，且，若的面积为、的斜率分别为、，则______.16．已知抛物线，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于A ,B两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为，O 为坐标原点，则面积的最小值为______.四、解答题17．已知直线l 过点.（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点，O 为坐标原点，当的面积最小时，求直线l 的方程.18．已知数列的前n 项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.19．如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，的0t =AB PAB △P M π3APB ∠=(1,2P -+1+1:1l y kx =+()2:2l y k x =-1l 2l ()3,122450x y x +--=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F :l y kx =MP MQ MP k MQ k 3MP MQ k k ⋅=12MF F △1MF 2MF 1MF k 2MF k 12MF MF k k +=22(0)y px p =>602OAB △()1,23b a =OAB △{}n a n S 2n S n ={}n a 2n n n b a ={}n b n T P ABC -ABC PA PC ==（1）证明：；（2）若，点F 为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆C 上任意一点，点P 到距离的最大值为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点的两条不同的直线，关于x 轴对称，直线，与椭圆C 在x轴上方分别交于M 、N 两点.直线是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由.21．已知数列的前n 项和为，前n 项积为，满足.（1）求，和；22．已知点，圆，点，点的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆交于M ，N 两点，设直线，的倾斜角分别为,.（1）求曲线C 的方程；AC BP ⊥2PB =PB ACF PBC 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 1F )21+1F 1l 2l 1l 2l MN {}n a n S n T ()*12n n T a n =-∈N 1T 2T n T 11122n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭()12,0F -222:(2)10F x y -+=(,P x y 2(),P x y 2F 1F M 1F N αβ参考答案1．答案：C解析：根据题意：，所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，且，可得.故选：C 2．答案：B解析：根据题意：，，与共线，所以，可得故选：B 3．答案：D解析：由，得到，即，所以，故选：D.4．答案：A解析：根据题意，，又，所以，故选：A.5．答案：B解析：已知双曲线的渐近线方程为，对照202x y y x ++=⇔=--1-α0180α︒≤<︒tan 1135αα=-⇔=︒()1,2,2AB = ()1,2,1BC m n =---AB BC()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= λ==1356a a a ++=336a =32a =24324a a a +==1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++BC AC AB =-1111111222222AM AB BB AC a b c =++=++ 222:14y x C b -=220y x x by b =±⇔±=，可得，所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，.故选：B.6．答案：D解析：根据题意：，，两式作差可得，当时，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D.7．答案：B解析：根据题意，过点A ,B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，所以设，，，联立.故选：B.20x =25b =2549c =+=()0,3()0,3-21n n S a =-1121n n S a --=-12n n a a -=1n =11a ={}n a 2n n a -=()()44156056128922a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅==1224log 60T T =1A 1B 111||||2||AA BB MM +==()11,A x y ()22,B x y 121222p px x x x p +++=++()221224421021y px x p x x x y x ⎧=⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=8．答案：A解析：根据题意分析可得：，，，，，，，，，所以.故选：A 9．答案：AC解析：对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A 正确；对于选项B:若，则，即，故B 错误；，故C 正确；对于选项D:若或，故D 错误.故选：AC.10．答案：ABD解析：对于A 项，若，则对于B项，由可解得：，故B 项正确；对于C 项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆C 所截的弦长的最小[][]1212log log 31b a ===[][]2222log log 72b a ===[][]3232log log 113b a ===[][]4242log log 153b a ===584b b ~=9165b b ~=17326b b ~=33647b b ~=651008b b ~=10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()2,2,1a =-Ozx ()2,2,1a b ⊥ 2220a b x y ⋅=-+= 10x y -+=225x y =⇔+=a b ⊥ 2210251x y x x y y -+==-⎧⇒⎨+==-⎩12x y =⎧⎨=⎩1BF BF ⊥1c ==a =22221e a a -==2a =2a =22:14x C y +=1F 1=≠对于D 项，如图，因为，，设点，由可得，解得：，代入椭圆，故选：ABD.11．答案：ACD解析：设等差数列的公差为d ，，由解得：，故，，故A 项正确，B 项错误；将数列列举出来为：数列列举出来为：故共同项依次有：,即，故，则，C 项正确；，故选：ACD.12．答案：ABD解析：对A ：当，为直径时，为点A 的纵坐标），所以当点A 为或时，三角形面积最大，的()0,1B ()1,0F c -(,)A m n 112BF F A =(,1)2(,)c m c n --=+31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222:x C y a +=114==2={}n a 11a =231238a a a d +=+=2d =12(1)21n a n n =+-=-()21212n n n S n +-=={}n a 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, {}1n S -0,3,8,15,24,35,,3,15,35, 13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ 2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-1041001399b =⨯-=()()21111141212122121n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭11111111111323521921221⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0t =AB 1122PAB S PM =⨯△A ()2,1()2,1-PAB，所以A 正确；对B ：设，交与点N ，由圆的切线性质，则，，当点P 在处时，最大，此时对C ：当点在处，且，为切线时，最大，此时所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设的中点D，则设小圆半径为，D 正确.()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯=△APM θ∠=AB PM Rt Rt BNP MNB :△△ABM APM θ∠=∠=2cos θθ()1,0-θsin θ=θ==P ()1,0-PA PB APB ∠1sin 3APM ∠=<APM <2APB APM =∠<AB MD ⊥=+r 1PM r =+=+ +1+解析：由题意可知：直线的斜率为k ，过定点；直线的斜率为k ，过定点；可知14．答案：判断可知点在圆内，而圆，若直线l 斜率存在时，设，圆心到直线的距离为，若，则，若,，则，解得或直线l 斜率存在时，，若直线l 斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为，综上所述，圆心所以所截的弦长的最小值为故答案为：15．答案：解析：1:1l y kx =+()0,1A ()2:2l y k x =-()2,0B 1//l l ()3,122450x y x +--=2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=:31l y kx k =-+()2,031y kx k =-+d )2221210d k k d -++-=1d =0k =0d >1d ≠()224410d ∆=--≥01d <<1d <≤max d =1=-:3l x =()2,03x =1d =(2,0=设，，，根据题意，可得，联立，化简得，所以,所以，又，可得，，所以双曲线，的面积为代入双曲线C 的方程可得，所以故答案为：.解析：如图所示，分别过A ,B 向准线作垂线，垂足分别为、，过B 作的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为，，即，(),M M M x y 0M x >0M y >2c =22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222220b a k x a b --=2k <120x x +=12x x =()()()()222222222222222121222222212123M M M MP MQ M M M MM k kx y kx y k x x y b k a b b x k x x b x x x x x a a k b a a b a k b x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭--+⋅====-=--++2224a b c +==21a =23b =22:13y C x -=12MF F △2M M c y y ⨯=⇔=M x =12MF MF k k +==A 'B 'AA '602()601cos 60p BF BF p ︒=-⇔+︒=3232p =⨯=设，，满足，，设直线，代入抛物线方程，可得，，所以，当时，三角形.17．答案：（1）或；（2）解析：（1）根据题意：直线l 在y轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点，将代入可得所以直线l 的方程为；当直线l 过原点，所以直线l 的方程为即.综上，直线l 的方程为或；（2）设直线l 的方程为，所以，，()11,A x y ()22,B x y 2116y x =2226y x =3:2AB x my =+26y x =2690y my --=121269y y my y +=⎧⎨=-⎩()1219222OAB p S y y =⨯+≥△0m =350x y +-=20x y -=240x y +-=(0,013ya =()1,2n =350x y +-=(0,02=()221y x -=-20x y -=350x y +-=20x y -=()21(0)y k x k -=-<21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2B k -所以，当且仅当，（舍），所以直线l 的方程为即.18．答案：（1）；（2）解析：（1）根据题意：，当时，，两式相减即得：，因时，，满足上式，故；（2），则，，两式相减可得：，故.19．答案：（1）证明见解析；如图，取的中点O ，连接，，因为，所以，又因为底面是边长为2的等边三角形，()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△k -=2442OAB k k =⇔=⇔=-△2k =()()221y x -=--240x y +-=21n a n =-()12326n n T n +=-⨯+2n S n =2n ≥21(1)n S n -=-22(1)21n a n n n =--=-1n =11a =21n a n =-()2212n n n n b a n ==-⋅2121232(21)2,n n n T b b b n =+++=⨯+⨯++-⨯ ()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ()21122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-()12326n n T n +=-⨯+AC PO BO PA PC =PO AC ⊥ABC所以，又,平面，可得平面，又平面，所以.（2）因为，所以，因为，由可得：，又，,平面，所以平面，如图，以，，分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，因，，设平面的法向量，则，取，得，则，又，，设平面的法向量，则取，得.设平面与平面的夹角为，则故平面与平面.BO AC ⊥PO BO O = ,PO BO ⊂POB AC ⊥POB BP ⊂POB AC BP ⊥PA PC ==1AO =1PO =BO =2PB =222PO BO PB +=PO BO ⊥PO AC ⊥BO AC O = ,BO AC ⊂ABC PO ⊥ABC OA OB OP()1,0,0A ()B ()1,0,0C -()0,0,1P 12F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0AC =- 1(2AF =-ACF ()1,,n x y z = 1120102AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 1y =z =0x =1(0,1,n =()1,0,1PC =--()1PB =- PBC ()2,,n x y z = 220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =z ==2(=ACF PBC θ1212cos n n n n θ⋅===⋅ ACF PBC；（2）是，解析：（1）根据题意，，解得，又，；（2）根据题意可得：设直线的方程为，联立，设直线与椭圆C 的交点为，，可得：由对称性可知：，直线的方程为，设直线与x 轴交点为，所以，可得：，所以直线过定点.的214y +=()4,0-c e a ==2c +=+a =2=22224a b c b =+⇔=214y +=1l ()2y k x =+()()2222222128880184y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩1l ()11,M x y ()22,M x y '1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()22,N x y -2l ()2y k x =-+MN (),0T t ()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k--+-+-=⇔+-=++24160412t t k--⇔=⇔=-+MN ()4,0-21．答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）当时，当时，数列的前n 项积为，满足，时，，，数列是首项为4，公比为2的等比数列，时，（2）先证明左边：即证明，又由，解得又所以，1T =217=n T =1n =111112T a T a =-⇔==2n =2212222312127T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔= {}n a n T ()*12n n T a n =-∈N ∴2n ≥1n T =112n T -=⨯+11121n T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n =14=11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭∴1111422n n n n T T -++=⨯=⇔=1n =1T =n =111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭n T =12n n T a =-n a =11212112122n n n n n a ++--=>=--123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-再证明右边：22．答案：（1）；根据题意：，，，根据定义可得，，所以曲线C 的轨迹方程为；（2）根据题意：，，当l 的斜率不存在时，，此时，，，当l 的斜率存在时，设，，()1212121221n n n n n a +--=<=--∴n S <2213y x -=()12,0F -(22,0F 12224a c F =<==221(0,0)y a b b-=>>221a a =⇔=242c c =⇔=222b c a b =-⇔=2213y x -=()12,0F -()22,0F :1l x =()1,3M ()1,3N -110F M F N ⋅=β=()11,M x y ()22,N x y设直线，联立直线l 与圆可得：，，所以代入韦达定理可知，因为直线l 与曲线C 相切，联立，，所以，故得，:l y kx m =+2F ()()1222221212460(2)10x x y kx m k x km x m x y x x ⎧+⎪=+⎧⎪⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩()230k -≠22Δ030k m =⇔--=110F M F N ⋅=β=。
安徽省马鞍山市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
安徽省马鞍山市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin 2α=是3πα= 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2. ①均为假命题为假命题，则若q p q p ,∧；②设R y x ∈,，命题“”则若0,022=+=y x xy 的否命题是真命题；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件； 则其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则cos ,OA BC <>= （ ）A ．21B ．22C ．-21D ．04．若抛物线)0(22>=p px y 上横坐标是2的点M 到抛物线焦点距离是3，则=p （ ）A ．1B ．2C ．4D ．85. 已知两定点F 1(-1,0) 、F 2(1,0), 则命题甲：12F F 是1PF 与2PF 的等差中项,命题乙：动点P 的轨迹是椭圆，则甲是乙的 ( ).A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件6．过椭圆1162522=+y x 的中心任作一直线交椭圆于Q P 、两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．207.如右图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在 这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =，8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（ ）A ．30 B ．60 C ．90 D ．1208．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为21,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF = 4:3:2，则曲线C 的离心率等于 ()A. 1322或B. 1223或C. 12D. 239．P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，则2PF 的值为（ ）A. 33B.33或1C. 1D. 25或9 10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙，，，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定第Ⅱ卷二、填空题:(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．若函数()|21|2x f x a =--有两个零点，则a 应满足的充要条件是13．已知12F F 、为椭圆22:194x y C +=的左、右焦点，则在该椭圆上能够满足1290F PF ∠=的点P 共有 个14.在Rt ABC ∆中，2AB AC ==.如果一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，则这个椭圆的焦距为 ． 15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，k k =-，则动点P 的轨迹为双曲线； ②已知圆C 上一定点A 和一动点B ，O 为坐标原点，若()+=21则动点P 的轨迹为圆；③04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的离心率相同；④已知两定点12(1,0),(1,0)F F -和一动点P ，若212||||(0)PF PF a a ⋅=≠，则点P 的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16．(本小题满分12分) 已知曲线C: 22220(40)x y Gx Ey F G E F ++++=+->,求曲线C 在x轴上的所截的线段的长度为1的充要条件，证明你的结论。
安徽省高二上学期期末数学试卷
安徽省高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分） (2019高一下·上海期中) △ 中，“ ”是“ ”的（）条件A . 充要B . 充分不必要C . 必要不充分D . 既不充分也不必要2. （2分） (2019高三上·荆门月考) 满足条件的面积的最大值是（）A .B .C .D .3. （2分）下列函数是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=lnxB . y=x+C . y=x2D .4. （2分）如图，是的斜二测直观图，斜边，则的面积是（）A .B . 1C .D . 25. （2分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB . 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC . 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD . 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n6. （2分） (2019高二上·漳平月考) 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若是线段的中点，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .7. （2分）直三棱柱ABC－A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（）A . AB1∥平面BDC1B . A1C⊥平面BDC1C . 直三棱柱的体积V＝4D . 直三棱柱的外接球的表面积为8. （2分） (2019高二上·桂林期末) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的右项点为A，过A作双曲线C的一条渐近线的平行线，且该直线与另一条渐近线交于点M，若（ + ） =0，则C的离心率为（）A .B .C . 2D .9. （2分） (2020高一下·宝应期中) 下列命题中，m，n表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面．正确的命题是（）若，，则；若，，则；若，，则；若，，，则．A .B .C .D .10. （2分）(2020·淮北模拟) 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D .11. （2分） (2018高一上·龙岩月考) 中，，，点在双曲线上，则（）A .B .C .D .12. （2分）在正六棱柱中，不同在任何侧面而且不同在任何底面的两顶点的连线称为对角线，那么一个正六棱柱对角线的条数共有（）A . 24B . 18C . 20D . 3213. （2分） (2020高二上·鹤岗月考) 在矩形ABCD中，，，沿矩形对角线BD将折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD中，当时，；②四面体ABCD的体积的最大值为；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为；④四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中所有正确结论的编号为（）A . ①④B . ①②C . ①②④D . ②③④14. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 已知双曲线的一个焦点为 ,则焦点到其中一条渐近线的距离为（）A . 2B . 1C .D .二、填空题 (共5题；共5分)15. （1分）(2020·梅河口模拟) 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且 = , 那么椭圆的方程是________．16. （1分） (2016高二上·桐乡期中) 已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为________．17. （1分）平面直角坐标系中，双曲线C1:的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 ________ .18. （1分） (2016高一下·南京期末) 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．在下列命题中，正确的是________（写出所有正确命题的序号）①若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ19. （1分） (2017高二下·桂林期末) 若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S= r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4 ，则此四面体的体积V=________．三、解答题 (共8题；共61分)20. （1分） (2017高二下·惠来期中) 已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示x﹣10245F（x）12 1.521下列关于函数f（x）的命题；①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确命题的序号是________．21. （5分）已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．22. （5分）(2017·泉州模拟) 如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，∠CBD=60°，BD=2BC=4，点E在CD上，DE=2EC．（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角E﹣BA﹣D的余弦值为，求三棱锥A﹣BCD的体积．23. （10分）(2020·丽江模拟) 设、为曲线上两点，与的横坐标之和为 .（1）求直线的斜率；（2）设弦的中点为，过点、分别作抛物线的切线，则两切线的交点为，过点作直线，交抛物线于、两点，连接、 .证明： .24. （5分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）求锐二面角M﹣AC﹣B的余弦值．25. （10分） (2019高二上·小店月考) 已知四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，点E，F分别为，上的一点，且，．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．26. （15分） (2019高二上·阳江月考) 已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点.（1）求椭圆的离心率；（2）当时，求的面积；（3）当为钝角时，求点横坐标的取值范围.27. （10分） (2018高二上·蚌埠期末) 已知抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，抛物线交于点，且 .（1）求抛物线的方程；（2）过原点作斜率为和的直线分别交抛物线于两点，直线过定点，是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.。
(完整word版)高二数学期末考试试题及其答案
禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.1. （5分）已知集合 M={1, 2, 3}, N={2, 3, 4},则下列式子正确的是（ A. M?NB. N?MC. MAN={2, 3} D. M U N={1 , 4}C.向左平移单位B.向右平移单位 ……冗、,D.向右平移亏单位7 .下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，若求出y关于x 的线性回归方程为 ? 0.7x 0.35 ,那么表中t 的值为B. 3.158 .已知 f (x) = (x — m) (x — n) +2,并且 m, n, a, 3的大小关系可能是（2.已知向量 a=(-b l)f 正⑵ -3),则 2%-b 等于（） A. (4, - 5) B. (—4, 5) C. (0, T) D. (0, 1) 3.在区间（1, 7）上任取一个数，这个数在区间 5, 8）上的概率为4.要得到函数B-i7Ty=sin （4x-F-）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象 5.已知两条直线m, n,两个平面鹏 8给出下面四个命题:①m H n, m± a? n± a ② a// & m? a, n?仅 m // n @ aJ & m " n, m± ? n± 3 其中正确命题的序号是 A.①③B.②④C.①④D.②③ 6.执行如图所以的程序框图，如果输入 a=5 ,那么输出 n=（A. 2B. 3C. 4D. 5A.向左平移 ，单位x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 3 a 、 D. 4.53是方程f （x ） =0的两根，则实数A. a< mvnv 3 B- m< a< 3< n C. m< a< n< 3 D. a< mv 3< n 9 .已知某锥体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该锥体的体积为（ ）10 .在等月ABC 中，/BAC=90°, AB=AC=2,同=2而I,菽=3凝，则前■刘的值为（）Dy11 .已知一个三角形的三边长分别是 5, 5, 6, 一只蚂蚁在其内部爬行， 若不考虑蚂蚁的大小,13.若直线 2X + (m+1) y+4=0 与直线 mX+3y+4=0 平行，则 m=y<l15 .若变量x 、y 满足约束条件 y+y>口 ,则z=x-2y 的最大值为bkx 3,x 016 .已知函数f X 1k，若方程f f X 2 0恰有三个实数根，则实数k 的-,x 02取值范围是三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC. (I) 求B 的大小；(n) 若 b=" A=T\求^ ABC 的面积.r . ..-18 .已知：a 、b 、c是同一平面上的三个向量，其中a=(l, 2).A. 2cm 3B. 4cm 3C. 6cm 3D . 8cm 3B.则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2的概率是（B. 1-C. 1 -12.已知函数f （x ）= ,X 1 , X 2 , X 3, X 4, X 5 是方程 f (x) =m 的五个不等的实数根，则 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5的取值范围是（A. (0,同 B .（一兀，兀） C. (lg ，兀 1) D. ( 为 10)二、填空题（每题 5分，，茜分20分）14.已知sinOL IcosCl①若|C 1=2 j5,且c // a,求C的坐标.… .. 5②右|b |=——,且a +2 b与2 a -b垂直，求a,与b的夹角219.设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知S3=6, a4=4.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2) 若bn=3 — 3 %,求证：—+---+ , , •+ ——<—.b L b2 L 420为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15〜65岁的人群抽样了n人，回答问题15 25 35 45 55 e5 学龄(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2, 3, 4组每组各抽取多少人？(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.21.在三柱ABC-A i B i C i中，△ ABC是边长为2的正三角形，侧面BB i C i C是矩形，D、E分别是线段BB i、AC i的中点.(i)求证：DE//平面A i B i C i；(2)若平面ABC，平面BB i C i C, BB i=4 ,求三棱锥A- DCE的体积.22.已知圆C: x2+y2+2x- 3=0.(i)求圆的圆心C的坐标和半径长；(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A (xi, yi)、B (X2, y2)两点, 求证：1 :工为定值;町K2(3)斜率为i的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使^ CDE的面积最大.禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷参考答案选择题（每小题分，共分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBCBCBABAACD、填空题（每小题 5分，共12分）,、M A TV - n 2n 兀 兀 n 解：A =——，，C =兀- =———4 q 3 3 2••,|b=V3, B =-^-JbsinC V5 ^/218.解：①设 c (x, y) • •• c // a 且|C |二2 J52x y 0•• 2 2 x 2 y 2 202 c =(2,4)或 c =(-2, -4).13.-3 14. — 15. 3 16.1,17 (I)解：:2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC,由正弦定理得, 2b 2= (2a+c) a+ (2c+a) c, 化简彳导,a 2+c 2B=2TT...sinC=sin (2L 』)=、3 「 JT由正弦定理得,SliTT-COS-^-COS-SLIT^ bI sinC sinBcsinBsin号X 炳乂配yXsin-TT 3^/3b 2+ac=0.・•.△ABC 的面积②「( a+2b ) ± (2a-b)，( a+2b) (2a-b) =0,-r -to- -► —*■• -2a 2+3a b-2 b 2=0• •.2|a |2+3| a | b||cos -2|b |2=02X 5+3X v -'5 X — cos -2X - =0, cos = -1 2 4打九 2k Tt, 长［0,兀］「. 0 =Tt.9 CL— 2520解：（1）由频率表中第 4组数据可知，第 4组总人数为 —再结合频率分布直方图可知n ----------- 1000.025 10a 100 0.01 10 0.5 519.解：（1）设公差为 d,则解得=1-a n =n. (2)证明：b n =3—3 、=3n+1— 3n=2?3n,0.36 (1分)•｝是等比数列.，q1b 100 0.03 10 0.9 2乙x 180.9, y — 0,220 15(2)因为第2, 3, 4组回答正确的人数共有 54人，所以利用分层抽样在 54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:(3)设第2组2人为：A 1, A 2；第3组3人为：B 1, B 2, B 3；第4组1人为：C 1 .则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A 2), (A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 1,B 3), (A 1C1),(A 2,B 1), (A 2, B 2), (A 2,B 3), (A2,C I ), (B I ,B2), (B I ,B3), (B 1,C 1), (B 2,B 3), (B2,C I ), (B 3,C I )共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件, ……，一，…— …31，所抽取的人中恰好没有第 3组人的概率是：P - -155贝U 由EF 是△ AA 1C 1的中位线得 EF // AA 1, 又 DB 1//AA 1, DB 1卷AA 1 所以 EF // DB 1, EF = DB 1所以DE //平面A 1B 1C 1(n)解：因为E 是 AC 1 的中点，所以 V A DCE =V D ACE =2过A 作AH ，BC 于H 因为平面平面 ABC ，平面BB 1C 1C,所以AHL 平面BB 1C 1C,所以 V A DCE =V D —ACE =「5二「7 (4)第2组:18 54 2人;第3组:27 54 3人;第4组:9 54…(8分)21. (1)证明：取棱A i C i 的中点F,连接EF 、B 1F…(10分)…(12分)故四边形DEFB 1是平行四边形，从而 DE// B1FEF122.解：（1）圆 C: x 2+y 2+2x-3=0,配方得（x+1） 2+y 2=4,则圆心C 的坐标为（-1,0）,圆的半径长为 2;（2）设直线l 的方程为y=kx,联立方程组工卜了 +2x3=。
安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则复数z 的虚部为（ ）A ．32B ．32- C ．3i 2 D ．3i 2- 2．已知向量()2,1BC =u u u r ，()0,1AB =-u u u r ，则AC =u u u r （ ）A ．2B ．3CD ．3．某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（ ）A ．8.5B ．9C ．9.5D ．104．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若,m αβ⊥∥α，则m β⊥B ．若m ∥,n αα⊥，则m n ⊥C ．若,⊥⊥m n n α，则m ∥αD ．若α∥,,m m βα⊂∥n ，则n ∥β5．一个射手进行射击，记事件1A =“脱靶”，2A =“中靶”，3A =“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ）A ．1A 与2AB ．1A 与3AC ．2A 与3AD ．以上都不对6．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，1b =，1cos 3C =-，则边c 上的高为（ ）A B C D 7．如图，A O B '''V 是由斜二测画法得到的AOB V 水平放置的直观图，其中2O A O B ''''==，点C '为线段A B ''的中点，C '对应原图中的点C ，则在原图中下列说法正确的是（ ）A ．0OC AB ⋅=u u u r u u u rB ．AOB V 的面积为2C ．OC u u u r 在OB u u u r 上的投影向量为2OB u u u rD ．与AB u u u r AB u u r 8．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度MN ，在钟楼的正西方向找到一座建筑物AB ，高为a 米，在地面上点C 处（,,B C N 三点共线）测得建筑物顶部A ，钟楼顶部M 的仰角分别为α和β，在A 处测得钟楼顶部M 的仰角为γ，则钟楼的高度为（ ）米.A ．()()sin sin sin sin a αββαβγ+- B ．()()sin sin sin sin a a αββαβγ++- C ．()()sin sin sin sin a αγβαβγ+- D ．()()sin sin sin sin a a αβγββγ++-二、多选题9．已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．若甲､乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >B ．若甲､乙两组数据的方差分别为2212,s s ，则2212s s >C ．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差10．在复平面内，下列说法正确的是（ ）A ．复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点位于第一象限B ．若复数2212z z =，则12=z zC ．若复数12,z z 满足1212z z z z +=-，则120z z =D ．若复数z 满足1z ≤≤z 对应的点所构成的图形面积为2π11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为棱AB 上的动点，DF ⊥平面1,D EC F 为垂足，下列结论正确的是（ ）A ．1FD FC =B ．二面角1D CE D --的正切值的最大值为2C ．三棱锥1C DED -的体积为定值D ．三角形1A EC三、填空题12､下底面半径分别为2，3，则该圆台的体积为.13．在直角三角形ABC V 中，90,2,4∠===o A AB AC ，点P 在ABC V 斜边BC 的中线AD 上，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为.14．空间四边形ABCD 中，2,1,3AB BC CD AD ====，且异面直线AD 与BC 成60o ，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为.四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos sin a c b C C +=.(1)求角B ；(2)若3b =，求ABC V 周长的最大值.16．漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）；(2)已知满意度分值落在[)70,80的平均数175z =，方差219s =，在 80,90 的平均数为285z =，方差224s =，试求满意度分值在[)70,90的平均数z 和方差2s .17．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12. (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i ）写出该试验的样本空间Ω；（ii ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面,PCD PD PC ⊥，点M 为AB 中点.(1)证明：平面PBC ⊥平面PAD ；(2)求CM 与平面APC 所成角的正弦值的取值范围.19．在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列()123:,,,,n A n A A A A L 与()123:,,,,n B n B B B B L ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②11i i i i A A B B ++⊥u u u u u r u u u u u r ，其中i 1,2,3,,1n =-L ，则称()A n 与()B n 互为正交点列.(1)求()()()()1233:1,1,4,1,6,1A A A A -的正交点列()3B ；(2)判断()()()()()12344:0,0,1,2,0,4,1,6A A A A A 是否存在正交点列()4B ？并说明理由.。
安徽省马鞍山市第二中学学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题解析版_2
C.
23 3
D.
6 3
【答案】C 【解析】解：由题意可得：连接A1C，AC，过 A 作AE ⊥ A1C
，如图所示：
根据长方体得性质可得：A1A ⊥ 平面 ABCD． 因为AB = BC = 1，AA1 = 2， 所以AC = 2，A1C = 6，
根据等面积可得：AE
=
A1A ⋅ AC A1C
=
2 3
【答案】A 【解析】解： ∵ y2 = −4x ∴ p = 2，焦点坐标为(−1,0)
依题意可知当 A、P 及 P 到准线的垂足 Q 三点共线 时，距离之和最小如图，
故
P
的纵坐标为
1，然后代入抛物线方程求得x
=
−1
4
，
则该点坐标为：(−1,1)．
4
故选：A． 先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当 P，A 和焦点三点共线且 点 P 在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横 坐标的值从而得到答案．
4 16
故选：D． 先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程． 本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
4. a = 3是直线ax + 2y + 3a = 0和直线3x + (a−1)y = a−7平行且不重合的( )
A. 充分非必要条件
BD，
则AO
=
BO
=
1AB
2
=
1
2，
DO ⊥ AC，BO ⊥ AC， ∴ ∠DOB是将这个菱形沿 AC 折成600的二面角的平面角， ∴ ∠DOB = 60 ∘ ，
∴
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马鞍山市第二中学2012—2013学年度第一学期期终素质测试高二数学试题（理科）命题人 聂晓峰 审题人 张以虎一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，计50分）1．命题“若a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题是（▲▲）A 、若a+b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数B 、若a+b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数C 、若a 、b 都不是偶数，则a+b 不是偶数D 、若a 、b 不都是偶数，则a+b 不是偶数 2．“直线y=kx+1的倾斜角为钝角”的一个必要不充分条件是（▲▲） A 、k<0B 、k<-1C 、k<1D 、k>-23．下列语句为特称命题且为假命题的是（▲▲）A 、指数函数都是增函数B 、有一个事件的概率大于1吗？C 、有些三角形没有外接圆D 、存在一个实数x ，使x 2≤04．椭圆22195y x +=的焦点坐标为（▲▲） A 、(3, 0)，(-3, 0)B 、(0, 3)，(0, -3)C 、(2, 0)，(-2, 0)D 、(0, 2)，(0, -2)5．双曲线2213y x -=的渐近线方程为（▲▲） A 、y=±3xB 、y=C 、y=±13x D 、y=±３x 6．过点(1, 1)作直线，使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有（▲▲）A 、1条B 、2条C 、3条D 、0条7．已知S 是⊿ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =x AB +y AC+z AS ，则x+y+z 的值为（▲▲） A 、0B 、1C 、2D 、38．若a 、b 、c 为任意向量，λ∈R ，下列等式不一定成立的是（▲▲）A 、(a +b )+c = a +(b +c )B 、(a +b )·c = a·b + a·cC 、λ(a +b )=λa +λbD 、(a·b )c = a (b·c )9．已知A(x, 5-x, 2x-1)，B(1, x+2, 2-x)，当|AB|取最小值时，x 的值等于（▲▲）A 、87B 、-87C 、19D 、191410．将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，则异面直线AB 与CD 的夹角的余弦值是（▲▲）A 、-12B 、12CD二、填空题（本大题5小题，每小题5分，计25分）11．在⊿ABC 中，“A<B ”是“sinA<sinB ”的 ▲▲▲▲ 条件；12．双曲线221169x y -=上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则点P 到左焦点的距离为 ▲▲▲▲ ；13．抛物线y=14x 2的焦点坐标是 ▲▲▲▲ ； 14．已知a =(1, 1, 0)，b =(1, 1 ,1 )，若b =b 1+b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1=▲▲▲▲、b 2=▲▲▲▲；15．已知空间四边形ABCD 的四条边和对角线长都为a ，点E 、F 、G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则四个数量积①BA ·AC ；②AD ·BD ；③FG ·AC ；④EF ·CB 中，其中运算结果为的22a 式子的序号为 ▲▲▲▲ ；三、解答题（本大题共6小题，计75分）16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2 + (a-1)x +a 2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a 2-a) x 在R 上是增函数。
分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
17．（12分）已知抛物线C ：x 2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F 的距离为174。
(1)求p 与m 的值；(2)若直线l 过焦点F 交抛物线于P ，Q 两点，且|PQ|=5，求直线l 的方程。
18．（12分）若a 、b 、c 均为实数，且a=x 2-2y+π２，b=y 2-2z+3π，c=z 2-2x+6π。
求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0。
19．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点。
(1)求异面直线AC 与PB 的距离；(2)在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离。
20．（13分）如图，⊿BCD 与⊿MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，(1)求直线AM 与平面BCD 所成角的大小； (2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值。
21、（14分）设椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点为F ，过点F的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60º，且2AF FB =。
（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程。
*******此页自行保存，只要上交答题卷．．．．．．．．．．．．．．，请将有关答案填入相应答题栏．．．．．．．．．．．．．．*******ABCDM第20题2012-2013学年度第一学期期末考试高二数学理科***答题卷***一、选择题(5×10=50)二、填空题(5×5=25)11）、；12）、；13)、；14）、；15）、。
三、解答题（本大题共6小题，计75分）16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x的不等式x 2 + (a-1)x +a2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a2-a) x在R上是增函数。
分别求出符合下列条件的实数a的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
17．（12分）若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+π２，b=y2-2z+3π，c=z2-2x+6π。
求证：a，b，c中至少有一个大于0。
18．（12分）已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F的距离为174。
(1)求p与m的值；(2)若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程。
19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，BC=1，PA=2，E为PD的中点。
(1)求异面直线AC与PB的距离；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离。
20．（13分）如图，⊿BCD与⊿MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；ABCD M第20题21、（14分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60º，2AF FB =。
（1）求椭圆C 的离心率； （2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程。
参考答案一、选择题(3×12=36)二、填空题(4×5=20)11）、 充要条件 ； 12）、 13 ； 13)、 （0, １） ；14）、 (1, 1, 0) ； (0, 0, 1) ；15）、 ②③ 。
三、解答题（本大题共6小题，计75分）16．（12分）给定两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2 + (a-1)x +a 2 ≤0的解集为Ф；命题乙：函数f (x)=(2a 2-a) x 在R 上是增函数。
分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围。
(1) 甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且仅有一个是真命题。
解：由甲命题为真，得(a-1)2-4a 2<0，⇒ (3a-1)(a+1)>0，∴a< -1或a>13， 由乙命题为真，得2a 2-a>1，⇒ (2a+1)(a-1)>0，∴a< -12或a>1。
………4分 (1)若甲、乙全假，可得a ∈[-12，13]，故所求范围是(-∞, -12)∪(13, +∞) ………8分(2)若甲、乙全真，可得a ∈(-∞, -1)∪(1, +∞)，故所求范围是[-1, -12)∪(13,1] ………12分17．（12分）若a 、b 、c 均为实数，且a=x 2-2y+π２，b=y 2-2z+3π，c=z 2-2x+6π。
求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0。
解：假设a 、b 、c 均不大于零，则a+b+c ≤0 （*） ………2分 而由已知得，a+b+c=x 2-2x+y 2-2y+z 2-2z+2π+3π+6π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3 ………8分 由于π-3<0，所以a+b+c>0，与（*）式矛盾，故假设错误，所以，原命题成立。
………12分 18．（12分）已知抛物线C ：x 2=2py(p>0)上一点A(m, 4)到其焦点F 的距离为174。
(1)求p 与m 的值；(2)若直线l 过焦点F 交抛物线于P ，Q 两点，且|PQ|=5，求直线l 的方程。
解：(1)依题174=4+2p ，∴p=2p，x 2=y ，∴m 2=4，m=±2 ………5分 (2)依题可设PQ 的方程为l ：y=kx+14，与x 2=y 联立，消去x ，得y 2-(12+k 2)y+116=0，∴y 1+y 2=12+k 2，而|PQ|= y 1+y 2+p=1+k 2，k 2=5-1=4，k=±2 ………10分∴直线l 的方程为y=2x+14或y= -2x+14， ………12分 19．（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点。
(1)求异面直线AC 与PB 的距离；(2)在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出点N 到AB和AP 的距离。
答案：(1)；(2)解析：以A 为原点，以向量AB AD AP、、的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系，利用向量条件下的距离公式求解，以下省略。
20．（13分）如图，⊿BCD 与⊿MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，(1)求直线AM 与平面BCD 所成角的大小； (2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值。
解：(1)取CD 中点O ，则MO ⊥CD ，∵面MCD ⊥面BCD 交于CD ，∴MO ⊥面BCD ， 又AB ⊥面BCD ，∴AB ∥MO 。