第九章 立体几何总复习教案

第九章直线、平面、简单几何体学法指导：1．必须明确本章内容的复习目标：（1）准确理解和系统掌握空间直线和平面的各种位置关系（特别是平行与垂直的位置关系），能够运用概念、公理、定理等进行严密的推理判断和逻辑论证；（2）正确理解空间的各种角和距离的概念，能将其转化为平面角和线段的长度，并能熟练地运用平面几何及三角知识来计算；（3）通过图形能迅速判断几何元素的位置关系，能熟练绘制符合要求的空间图形的直观图、截面图，熟练地处理折叠、截面的问题. 但要注意立体几何中的示意图不反映元素关系的真实结构，逻辑论证仍是关键；（4）理解用反证法证明命题的思路，会证一些简单的问题.2．要掌握解题的通法，推理严谨，书写规范（1）转化法是空间直线和平面的位置关系的判断与证明的常用方法，线线关系（主要指平行和垂直）、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分、合理地运用这些关系是解题的关键；另外，转化法还常常运用在求距离时点的位置的变化，以及线面距、面面距间的转化；（2）求角或距离的方法：①“一作、二证、三计算”，即先作出所求角或表示距离的线段，再证明它就是所要求的角或距离，然后再进行计算，尤其不能忽视第二步的证明.②向量法9-1 立体几何中的平行问题教学目标：1.了解空间中两条直线的位置关系（相交、平行、异面）；了解直线和平面的位置关系(直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行)；了解两个平面的位置关系（相交、平行）。

2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题.3.掌握两平面平行的判定和性质，并用以解决有关问题.教学重点：利用两条直线平行、直线与平面平行和面面平行的判定定理解决相关的证明问题。

教学难点：线//线、线//面、面//面之间的相互联系。

教学过程设计： 一、要点回顾：1.空间中两条直线的位置关系： （1）相交：（2）平行：公理4： 平行于同一直线的两条直线平行 （3）异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

判定定理： 2.空间中直线和平面的位置关系： （1）直线在平面内：公理1： 符号语言：（2）直线与平面平行：定义 记作：判定定理： 如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行 符号语言： 图形语言：（3）直线和平面相交： 符号语言： 3.空间中平面和平面的位置关系：（1）平面和平面相交：公理2： 符号语言： 图形语言：（2）平面和平面平行：两个平面没有公共点。

判定定理：性质定理：一个重要结论：二、基础回顾：1.如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD . 方法一：方法二：说明：欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面的判定、性质，在同一题中也经常用到。

2.如图，已知四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 为正方形，侧面PDC 为正三角形且平面ABCD 底面⊥PDC ，E 为PC 的中点，求证：PA//EBD 。

三、考题训练：例1.（2007全国）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ， E F ，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小． 解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD ∥， 故FG AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥．AEBCFS D连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则1(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．3cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，．所以二面角A EF D --的大小为arccos 3．（其中第2问放在后面求二面角部分讲解）AE BCFSDH G M例2.（08安徽）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点.（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

方法一（综合法）（1）取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖MN OCD ∴平面‖（2）CD ‖AB,M D C ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角），作,AP CD P ⊥于连接MP⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP ,42ADP π∠=∵∴DP =MD ==1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为3π（3）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离2OP====∵，2AP DP ==2223OA AP AQ OP ===∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 方法二(向量法)作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N ,(1)2222(1,,1),(0,,2),(,2)44222MN OP OD =--=-=-- 设平面OCD 的法向量为(,,)n x yz =,则0,0n OP n OD ==即 2022022y zx y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z =解得n =22(1,,1)(0,4,2)044MN n =--=∵ MN OCD ∴平面‖(2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22AB MD ==--∵ 1c o s ,23AB MD AB MDπθθ===⋅∴∴ , AB 与MD 所成角的大小为3π(3)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n⋅==.所以点B 到平面OCD 的距离为23四、能力提升1.（08四川卷19）．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB BC ∠=∠=//12AD ，BE //12AF（Ⅰ）证明：,,,C D F E 四点共面；（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小；【解1】：（Ⅰ）延长DC 交AB 的延长线于点G ，由BC //=12AD 得12G B G CB C G A G D A D ===，延长FE 交AB 的延长线于'G 同理可得''''12G E G B BE G F G A AF ===故''G B GBG A GA=，即G 与'G 重合，因此直线CD EF 、相交于点G ，即,,,C D F E 四点共面。

（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，2AD =，取AE 中点M ，则BM AE ⊥，又由已知得，AD ⊥平面ABEF ，故AD BM ⊥，BM 与平面ADE 内两相交直线AD AE 、都垂直。

所以BM ⊥平面ADE ，作MN DE ⊥，垂足为N ，连结BN由三垂线定理知BN ED BMN ⊥∠，为二面角A ED B --的平面角。

13223A D AB M M N DE ⨯==⋅=故tan 2BM BMN MN ∠==所以二面角A ED B --的大小arctan【解2】：由平面ABEF ⊥平面ABCD ，AF AB ⊥，得AF ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz - （Ⅰ）设,AB a BC b BE c ===,，则 ()()()()(),0,0,,0,,0,,0,2,0,0,0,2B a C a b E a c D b Fc , ()()0,,,0,2,2EC b c FD b c =-=-故12EC FD =，从而由点E FD ∉，得//EC FD 故,,,C D F E 四点共面（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==， ()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0,1,0,1B C D E ，在DE 上取点M ，使5DM ME =，则515,,636M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而115,,636MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又()1,2,1,0,DE MB DE MB DE =-⋅=⊥，在DE 上取点N ，使2DN NE =，则222,,333N ⎛⎫⎪⎝⎭从而222,,,0,333NA NA DE NA DE ⎛⎫=---⋅=⊥ ⎪⎝⎭故MB 与NA 的夹角等于二面角A DE B --的平面角，10cos 5MB NA MB NA MB NA⋅⋅==⋅，所以二面角A DE B --的大小五、课堂小结：1.（2004PC 的中点。