“排列组合常见的解题策略”课例分析
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
几类排列组合问题的求解策略
几类排列组合问题的求解策略1、相邻问题法例1 用0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字组成的无重复数字且四个偶数连在一起的八位数字有多少个？解：将四个偶数视为一个数,那么它与四个奇数共五个数全排列,但要注意四个偶数间可交换,0不能在最高位,则所求个数是：A44A55－A44A33=2736点评：解相邻问题时,注意将相邻的几个元素并为一个组(当做一个元素)参与排列,但要注意相邻元素间是可交换的。
2、相离问题插空法例2 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈不能挨着,则节目顺序有多少种不同的排法？解：问题解决分两步进行：第一步排2个相声和3个独唱，有A55种；第二步将4个舞蹈插入第一步排列的6个间档中去（包括其首末两个间档），有插法A64种，由乘法原理节目顺序的不同排法种数为A55A64=4320。
点评：元素相离(即不相邻)问题,可先把没有位置要求的几个元素全排列,再将规定相离的几个元素插入上述几个元素的间档和两端.3、定序问题缩倍法例3 5男3女列成一队，若女的顺序一定，则共有多少种不同的排法？解：因8人的全排列数为A88，3女的全排列为A33，而3女顺序一定，则所求排列数为A88／A33=6720。
点评：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法。
若本例中再另一个条件：5男顺序也一定，则其不同排列种数为A88／(A33A55)=56。
4、多排问题单排法例4 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素在后半段四个位置中选一个，；其余5个元素任排在剩余的5个位置上有A55种，因此所求排法种数为：A41A42A55=5760。
点评：把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
'5、选排问题先选后排法例5 全组12个同学，其中有3个女同学，现在选出5个组成一个文娱小组，分别担任不同的工作。
（1）至少一个女同学当选有多少种不同的选法？（2）至多两个女同学当选有多少种不同的选法？解：（1）选出5人中至少一个女同学的选法有（C31C94+C32C93+C33C92）种，再考虑让其分别担任5项不同的工作，则有选法种数为：（C31C94+C32C93+C33C92）A55＝79920（2）仿（1）的方法得所求选法种数为：(C32C93＋C31C94＋C55)A55＝90720点评：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可采用先选后取的方法。
高三数学排列组合20种解题方法汇总含例题及解析
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A种方法。
解排列组合应用题的十三种策略及常现背景
解排列组合应用题的十二种策略导与练排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一、运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理。
例 1 （2003年全国高考题）如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有 种。
（以数字作答）。
分析：本题只要用两个基本原理即可解决。
解：根据题意，可分类求解：第一类，用三种颜色着色，由乘法原理C 14C 41 C 12=24种方法；第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有2C 14C 41 C 12 C 11=48种方法。
从而再由加法原理，得24+48=72种方法。
故应填72。
二、特殊元素（位置）优先例2 从a,b,c,d,e 这5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b 不能放在第二个格子中，问共有多少种不同的放法？解法一（元素分析法，b 为特殊元素）先排b ，但考虑到取出的4个元素可以有b,也可以没b,所以分两类：第一类，取出的4个元素中有b,则排b 有A 13种方法；再从a,c,d,e 中取出3个排另外三个格子有A 34种所以此类共有A 3413A ⋅种。
第二类，取出的4个元素中没有b ，则!有A 44种方法，所以共有A 3413A ⋅+ A 44=96种放法.解法二（位置分析法，第二格为特殊位置）先排第二格，有A 14种（从a,c,d,e 中取一个）再排另三格有A 34种，所以共有A 14.A 34种放法。
解法三：（间接法）3445A A -三、捆绑法例3．计划在一画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须排一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）A 5544A A ⋅B 554433A A A ⋅⋅C 554413A A C ⋅⋅D 554422A A A ⋅⋅解：油画整体、国画整体、水彩画个“元素” 先排，考虑到水彩画不能排两端，所以有22A 种方法，又幅油画的不同陈列方式有44A 种，幅国画陈列方式 有55A 种，因而，画展的不同陈列方式 有554422A A A ⋅⋅种，故选D.四、插空法 例4、道路边上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于问题中有7盏亮3盏暗，又两端不能暗，问题等价于：在7盏开着的路灯的6个间隔中，选出3个间隔各插入3只关掉的路灯，所以关灯的方法共有2036=C 种。
排列组合问题的解答策略
排列组合问题的解答策略一、排列组合综合应用的一般方法在解决实际问题中，要认真审题，分清是排列还是组合，有序排列，无序组合。
（1）直接法。
对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，从特殊入手，先满足特殊元素或特殊位置，再满足其他元素或位置。
（2）间接法（正难则反）。
对于某些排列组合问题，正面情况比较复杂，而反面情况比较简单，可先不考虑限制条件，计算出排列组合总数，再减去其反面情况的排列组合数。
例1．1名老师和4名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，共有多少种排法？解法1：（特殊元素法）老师在中间的三个位置上任选一个位置的选法有13A 种，然后4名学生在剩余的位置上排列，排法有44A 种，所以共有13A ·44A =72种。
解法2：（特殊位置法）先安排两端站2名学生，有24A 种方法，其余位置的排法有33A 种方法，所以排法种数是24A 33A =72种。
解法3：（间接法）先把5人全排有55A 种，再减老师排在两端时的12C 44A 种，所以排法种数为55A -12C 44A =72种。
例2．从10种不同作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果要求甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同放法共有多少种？解：（特殊位置）从甲乙以外的8种种子中选1个放入第1号瓶，有18C 种方法，再从乘下9种种子中选5种放在其余5个瓶中有59A 种放法，所以有18C ·59A =120960种放法。
二、常见的排列问题1、含有特殊元素，特殊位置问题——特殊优先法对于带有特殊元素、特殊位置的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与位置，即特殊优先法。
2、相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素捆绑在一起看作一个“元”，与其他元素排列，然后松绑对“元”内部元素排列。
例3．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种。
A 、720种 B 、360种 C 、240种 D 、120种解析：5252240A A = 选C3、“小团体”排列问题——捆绑法对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”捆绑看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题，联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。
实践证明，备考有效的方法是题型与解法归类，识别模式，熟练运用。
本文介绍十二类典型排列组合问题的解答策略，供参考。
一、相邻问题捆绑法例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种A. 720B. 360C. 240D. 120解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。
由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。
评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
二、相离问题插空法例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。
由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。
评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。
此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。
三、定序问题缩倍法例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。
现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。
解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种）。
评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。
这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题是组合数学的基本问题，主要涉及对象的排列和组合，一般分为以下几种类型：
1. 排列问题：求n个不同元素按照一定规律排列的方案数，其中每个元素只能出现一次。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，求按照一定顺序排列的方案数。
解策略：使用排列公式an = n！/ (n-r)！，其中n表示元素个数，r表示选取个数。
2. 组合问题：求n个不同元素中选取r个元素的方案数，其中
元素的顺序不重要。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，不考虑人的排列顺序，求方案数。
解策略：使用组合公式Cn,r = n!/ (r!(n-r)! )，其中n表示元素
个数，r表示选取个数。
3. 含有限制条件的问题：在组合问题的基础上，加入限制条件，例如某些元素必须或者不能一起选取。
例如，从6个男人和4
个女人中选择3人组成一个委员会，其中必须有至少一名女性。
解策略：分别考虑满足和不满足限制条件的情况，分别计算方案数并相加。
4. 区分问题与不区分问题：确定是否考虑对象间的区分性。
例如，从8个相同的球中选取3个球，不考虑球的区分性，求方
案数。
解策略：对于不区分问题，使用组合公式；对于区分问题，使用排列公式。
5. 带替换问题：从n个元素中选取r个元素，其中每个元素可以重复选取s次。
例如，从5个牌子中选取3个牌子，其中每个牌子可以选取多次。
解策略：使用带替换的组合公式，即C(n+r-1,r)。
通过以上不同类型排列组合问题的解答策略，能够有效解决各种实际问题。
排列组合常见题型及解题策略(详解)
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。
例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。
例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。
例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种？例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。
n A B n A n B n A B()()()()例9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。
常见排列组合问题解题策略(1)
常见排列组合问题解题策略泸县四中杨志强一. 教学目标：1．掌握有关排列组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力．2．通过对典型错误的剖析，学生克服解题中的“重复”与“遗漏”等常见错误．培养思维的深刻性与批判性品质．2. 过程与方法(1)让学生经历从实例中抽象概括出有条件限制的排列组合应用问题(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习有条件限制的排列组合应用问题的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点:有条件限制的排列组合应用问题．三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学过程(一)研探新知排列组合问题是高中数学中的一个难点，也是高考的必考内容。
其思考方法独特，如果对题意理解偏差的话，极易在计数过程中出现“重复”和“遗漏”。
提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构建模型解题。
下面我们来看几种常见的的解题策略。
1、特殊元素优先安排的策略2、合理分类与准确分步的策略（确立恰当的分类标准，作到不重复不遗漏）3、排列、组合混合问题先选后排的策略4、正难则反“排除法”的策略5、相邻问题“捆绑法”的策略把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其余普通元素全排列，是为“捆绑法”，不过要注意“大元素”内部还需要进行排列。
6、相间问题“插空法”的策略7、定序问题除法处理的策略(二)例题分析例1、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）解析：第一类：用2种颜色来涂色，则1、3号格子颜色一样，2、4号格子颜色一样，有6530⨯=种第二类：用3种颜色来涂色，则1、3号两个格子颜色一样或2、4号格子颜色一样或1、4号格子颜色一样有363360A =种所以一共有30+360=390种例2、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A. 360B. 288C. 216D. 96解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有32223342432A C A A =种，其中男生甲站两端的有1442223232212=A A C A A 符合条件的排法故共有288种例3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。
例析排列组合问题的解决策略
例析排列组合问题的解决策略兰化三中 郑江霞排列组合问题应用题几乎一题一个面孔，于是一些同学只好靠多做题来取胜。
实际上，排列组合问题也是有共性的，应在学习的过程中注重总结。
首先要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，是排列问题，反之，是组合问题。
其次，要弄清目标的实现是分步达到的，还是分类完成的，前者用乘法原理，后者用加法原理，而一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，避免产生遗漏和重复计数的错误。
排列、组合问题解题方法比较灵活，思考问题的角度不同，就会得到不同的解法。
一题多解既是解排列组合应用问题最主要的检验方法，也是训练学生分析能力的有效手段。
若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解。
教案中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法。
处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排列。
下面以分组分配问题为例说明如何解决排列组合应用题。
例．本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （）分给甲、乙、丙三人，每人本； （）分为三份，每份本；（）分为三份，一份本，一份本，一份本；（）分给甲、乙、丙三人，一人本，一人本，一人本； （）分给甲、乙、丙三人，每人至少本解：（）根据分步计数原理得到：90222426=C C C 种；（）分给甲、乙、丙三人，每人两本有222426C C C 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有33A 种方法．根据分步计数原理可得：33222426xC C C C =，所以1533222426==A C C C x ．因此，分为三份，每份两本一共有种方法 点评：本题是分组中的“均匀分组．．．．”问题． 一般地：将mn 个元素均匀分成n 组（每组m 个元素），共有 m m m mn mn m mnnC C C A -⋅⋅⋅种方法（）这是“不均匀分组”问题，一共有60332516=C C C 种方法．（）在（）的基础上再进行全排列，所以一共有36033332516=A C C C 种方法．（）可以分为三类情况：①“、、型”即（）中的分配情况，有90222426=C C C 种方法； ②“、、型”即（）中的分配情况，有36033332516=A C C C 种方法； ③“、、型”，有903346=A C 种方法，所以，一共有＝种方法．例．本不同的书全部送给人，每人至少本，有多少种不同的送书方法？解：第一步从本不同的书中任取本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法；第二步将个“不同元素（书）”分给个人有55A 种方法．根据分步计数原理，一共有26C 55A ＝种方法．变题：本不同的书全部送给人，有多少种不同的送书方法？ 变题： 本不．同的书全部送给人，每人至多本，有多少种不同的送书方法？ 变题： 本相．同的书全部送给人，每人至多本，有多少种不同的送书方法？ 答案：．1562556=； ．72056=A ； ．656=C ．。
排列组合八种题型的技巧解法
排列组合八种题型的技巧解法一、占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法。
一就是认真审题。
在切换题目之前先使学生认真审题，从特定字眼小球和盒子都已“编号”著手，确切这就是一个“排序问题”，然后对题目展开等价切换。
二是转换题目。
在审题的基础上，为了激发学生兴趣，使其进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（凳子已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法。
三就是解决问题。
这时我出马另一名学生去精心安排这5十一位学生挤位子（学生之争着上台，积极性已经获得了很大的提升），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），不懈努力地“出谋划策”，没两分钟的时间，同学们存有了统一的观点：先选取合乎题目特定条件“两个学生与其正下方的凳子编号相同”的两位同学，存有c种方法，使他们坐在与自己编号相同的凳子上，然后剩的三位同学不挤编号相同的凳子存有2种排法，最后根据乘法原理获得结果为2×c=20（种）。
这样原题也就获得了化解。
四是学生小结。
接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案（课堂气氛又一次活跃起来）。
五就是老师总结。
对于这一类占到位子问题，关键就是把握住题目中的特定条件，先从特定对象或者特定位子抓起，再考虑通常对象，从而最终解决问题。
二、分组问题基准2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别挑选出3个和2个数共同组成五位数，问这样的五位数存有几个？（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是p×p）一就是认真审题。
先由学生审题，明晰共同组成五位数就是一个排序问题，但是由于这五个数源自两个相同的组与，因此就是一个“分组排序问题”，然后对题目展开等价切换。
排列与组合问题的解题思路与示例解析
排列与组合问题的解题思路与示例解析在数学中，排列与组合是一类常见的问题类型，需要运用一定的思维方法和技巧来解决。
本文将介绍一些解题思路和示例解析，帮助读者更好地理解和应用排列与组合的知识。
一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定顺序进行排列的方式。
解决排列问题的关键在于确定元素的选取顺序和确定每个位置的元素个数。
1.1 顺序问题在解决排列问题时，首先需要确定元素的选取顺序。
例如，有6个人参加一场比赛，需要确定他们的名次。
这是一个顺序问题，因为名次的不同会导致结果的不同。
解决这类问题时，可以使用乘法原理。
即，第一个位置有6种选择，第二个位置有5种选择，以此类推，直到最后一个位置有1种选择。
因此，总的排列方式为6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720种。
1.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决排列问题时需要考虑重复元素的影响。
例如，有4个字母A、B、C、D，需要排列成3位的字符串。
解决这类问题时，可以使用分情况讨论的方法。
首先，考虑第一位的选择，共有4种选择。
然后，考虑第二位的选择，由于第一位已经选择了一个元素，所以只剩下3种选择。
最后，考虑第三位的选择，由于前两位已经选择了两个元素，所以只剩下2种选择。
因此，总的排列方式为4 × 3 × 2 = 24种。
二、组合问题组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序。
解决组合问题的关键在于确定元素的选取个数和确定元素的组合方式。
2.1 选取个数问题在解决组合问题时，首先需要确定元素的选取个数。
例如，有8个人参加一场晚会，需要从中选取3个人组成一个小组。
解决这类问题时，可以使用组合数的公式。
即，从8个人中选取3个人的组合数为C(8,3) = 8! / (3! × (8-3)!) = 56种。
2.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决组合问题时需要考虑重复元素的影响。
考研数学：排列组合的7大方法及例题解析
考研数学：排列组合的7大方法及例题解析
考研数学:排列组合的7大方法及例题解析
1.元素分析法
【例】求7人站一队，甲必须站在当中的不同站法。
【解析】要求甲必须站在当中，因此只需对其它6人全排列即可，不同的站法共有几种。
2.位置分析法
【例】求7人站一队，甲、乙都不能站在两端的不同站法。
【解析】先站在两端的'位置有几种站法，再站其它位置有几种站法，因此所有不同的站法共有几种站法。
3.间接法
【例】求7人站一队，甲、乙不都站两端的不同站法。
【解析】考虑对立事件为甲乙都站在两端，共有几种站法;7人站成一队所有的站法共几种，所以甲乙不都站两端的不同站法共几种。
4.捆绑法
【例】求7人站一队，甲、乙、丙三人都相邻的不同站法。
【解析】先将甲、乙、丙看成一个人，即相当于5个人站成一队，有几种站法，再对这三个人全排列即得所有的不同站法共几种。
5.插空法
【例】求7人站一队，甲、乙两人不相邻的不同站法。
【解析】先将其它五人全排列，然后将甲、乙两人插入所产生的6个空中即可，共几种不同的站法。
6.留出空位法
【例】求7人站一队，甲在乙前，乙在丙前的不同站法。
【解析】由于甲、乙、丙三人的顺序一定，因此只要其余4人站好，这7个人就站好了，不同的站法共有几种。
7.单排法
【例】求9个人站三队，每排3人的不同站法。
【解析】由于对人和对位置都无任何的要求，因此，相当于9个
人站成一排，不同的站法显然共有几种。
排列组合教学案例分析及其启示
排列组合教学案例分析及其启示排列组合是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中经常出现的题型。
由于其抽象性和难度较高，教学难度也比较大。
本文基于实际教学案例，从教学设计、教学方法和评价与反思三个方面进行分析，并提出了相应的启示和建议。
一、教学设计1. 目标明确在教学设计中，要明确教学目标，使学生知道学习的目的和意义。
例如：通过本节课程的学习，能够掌握排列、组合的概念和计算方法，能够应用到数学竞赛和实际生活中。
2. 分层渐进教学设计要求剖析重点难点，从简单到复杂、由易到难地逐层讲解。
例如：讲解排列的基本概念和计算方法，讲解组合的概念和计算方法，再逐步引入排列组合的综合问题。
3. 知识拓展在教学设计中，要注意拓展知识，在讲解基础知识的同时，引入相关的知识点，以便学生更深刻地理解和应用。
例如：在讲解到排列组合时，可以顺带讲解乘法原理和加法原理，并对其进行简单的练习题。
二、教学方法1. 概念解释概念解释是教学中的基础，要求教师简明扼要地讲解概念，而且要重点突出。
例如：排列的定义是指从n个不同的元素中取出m个元素进行排列，它的排列数为A(n,m) = n!/(n-m)!。
2. 观察实验在教学方法中，观察实验也是一种有效的方法，可以帮助学生更好地理解概念和计算方法。
例如：老师可以准备一些小球和盒子，让学生自己摆放，观察不同的摆放方式，进而引导学生发现排列组合的规律。
3. 举例说明在教学中，举例说明也是一种非常重要的方法。
通过具体例子的说明，可以使学生更加深入地理解概念和计算方法，并且也能够提高学生的兴趣。
例如：老师可以用一些具体的实例来解释排列和组合的区别和联系，帮助学生更加深入地理解。
三、评价与反思1. 检查错误在教学结束后，需要对学生进行测试，检查学生是否掌握了概念和计算方法，如果在测试中发现学生的错误，应该及时纠正和指导。
例如：当学生在计算排列组合时，出现了错误，老师应该及时指出是哪个环节出错，并进行相应的解释和指导。
例谈排列组合问题的解答策略
例谈排列、组合问题的解答策略排列、组合问题，高考中通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际、生动有趣。
但题型多样、思想方法独特、灵活。
学生在学习上很容易出现“一听就懂，一过就忘，一做就错”的不良情况。
实践证明备考的有效方法是题型与解法归类，识别模式，熟练运用。
下面通过十多种解题策略的介绍，以求起到抛砖引玉的作用。
一，合理分类，准确分步的策略在正确理解两个基本原理的基础上，首先要弄清楚一件事是“分类”还是“分步”完成，要做到“分类“时不重不漏；“分步”时各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤。
例1，⑴若x, y∈N﹡, x+y≤6，则有序数对(x,y) 有多少个？⑵若1≤X≤4,1≤Y≤5以有序整数对(x,y)为坐标的点有多少个？略解：⑴当x=1,2,3,4,5 时y 值分别有5个,4个, 3个, 2个, 1个.根据分类计数原理，数对有5+4+3+2+1=15个。
⑵对于x 取1, 2, 3 ,4, 中任一数时，y都有1、2、3、4、5分别与它对应，由分步计数原理知,点的个数有4×5=20个.例2，2100有多少个正的约数？略解：由于2100=22×3×52×7，可见质因数2有两个，具有“不选”、“选一个”、“选两个”等三种不同选法；同时对于3有两种不同选法，对于5有三种不同的选法；对于7有两种不同的选法。
故2100共有3× 2× 3 ×2＝ 36个正约数。
二，特殊优先安排策略对于存在特殊元素，特殊位置的排列、组合问题可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或位置。
这种解法也叫特殊优先法。
例3，从a,b,c,d,e 5个元素中取出4个放在四个不同的格子中且元素b不能放在第二个格子里，问共有多少个不同的放法？解法一：（考虑特殊元素）先排b但考虑到取出的4个元素中含b与不含b分为两类：第一类取出的4个元素中含b的取法有A31A43种；第二类取出的4个元素中不含b 则有A44种，由分类计数原理知共有A31A43 + A44 =96 种放法。
下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析
下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。
一、特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有A42种，0在十位有A21·A31种；第二类，不含0，有A21·A32种。
故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有A42种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有A21A31A31种。
故共有A42+A21A31A31=30。
练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个（用数字作答）。
答案：36二、排组混合，先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。
例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。
因此，有C42A43=144种放法。
练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个？答案：有C43C32A55=1440（个）三、元素相邻，整体处理对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。
例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。
同时，3个女生自身也应全排列。
由乘法原理共有A66·A33种。
练习3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？答案：A44·24=384四、元素间隔，分位插入对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。
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“排列组合常见的解题策略”课例分析
导读：本文是关于“排列组合常见的解题策略”课例分析，希望能帮助到您！
----构造模型策略
一、教材分析
排列和组合是数学基础知识的重要组成部分之一，它在解决实际问题以及科学技术的研究中都有广泛的应用；在排列组合问题中充分体现了分类、化归的数学思想。
它应用性强，具有题型多变，条件隐晦，思维抽象，分类复杂，问题交错，易出现重复和遗漏以及不易发现错误等特征。
因而在这部分教学中，应充分调动学生的积极性，强调学生的主体作用，明确基本原理，注重思维过程的分析，让学生在问题解决的过程中不断反思探索规律，体验成功，从而提升学生的思维能力。
二、学情分析
高二(1)班的同学素质高，思维活跃，其中十几位同学参加数学奥赛辅导，学习数学态度端正，兴趣浓厚，有较强的数学能力和积极主动的学习精神。
三、教学目的
1、认知目标：
使学生进一步理解并掌握处理排列组合问题的基本策略，进一步体会分类与化归的数学思想方法以及分析与解决问题的能力，培养学生的探索创新意识。
2、技能目标：
充分发挥教师的主导和学生的主体作用，使学生的自主意识、自学能力、探索创新意识得到发展。
3、情感目标：
培养学生的自信心和学习兴趣，树立实事求是的科学态度和不怕困难的进取精神，积极探索，进而培养学生的创新能力。
四、教法分析
根据排列组合的知识特点“条件隐晦，思维抽象”，在教学中采用发现法，坚持“思路教学”，深钻教材，注意从实验入手，模拟发现，从特殊到一般，归纳出一般的规律，优化学生的思路，激活学生的思维。
五、教学过程分析
1、复习思考
（1）处理排列组合问题的常见解题策略
(提问学生作答)
问题一、街道旁有编号1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三只灯相灭，但不能同时熄灭相邻两只，在两端的两只路灯不熄灭的情况下，问不同的熄灯方法有多少种?
①通过复习提问总结解决排列组合问题的基本思路和方法。
②设置问题情景，激发学生的学习欲望。
通过引导，学生得出多种解法，从而优化思维，发现规律为构造数学模型一做好铺垫。
2、创设情景
练习（1）：四个相同苹果分给三个人，没人至少一个，有多少种分配方案?(提问，多解)，电脑演示。
（2）：把六个名额分给三个班级，没班至少一个名额，有多少种分法?(提问多解)，电脑演示，介绍插板法。
巩固创设情景。
体现化归思想，并将问题发散，从不同角度展示出问题的共性，给学生自主发现、探索的空间，引入“插板”这一解决问题的策略。
3、提出猜想
你能编一道与本题意思相近的习题或将本题推广吗?
学生是学习的主体，是课堂教学的探索者、发现者和创造者，让他们的智慧火花充分闪亮。
4、探得索出分结析论
模型一：把n个相同的小球放入m个不同的盒子中，要求每盒至少有一个球，问有多少种不同的方法?
归纳出共性，推广到一般，抽象出数学模型，使学生的思维得到提升。
5、问题解决进一步推广
练习：(分组讨论)
（1）求方程x+y+z=16的正整数解的组数。
（2）15个苹果分给三个人，每人至少两个，有多少种分法?
（3）把二十个相同的小球放入编号为1、2、3、4、的四个盒子中，要求每个盒子中的小球数目不少于编号数，求不同的放法种数。
弄清问题本质，将问题转化为模型，并能应用模型解决问题。
6、新情境设计
（1）第二小题条件改为每人至少三个，有多少种分法?
（2）学生总结规律。
（3）如果条件改为每人分得苹果个数不限，有多少种分法种数?
（4）你能将本题推广吗?
（5）改变条件提出新问题，让学生有一个再发现，再创造的过程。
（6）培养学生自主探索创新意识。
7、探索分析
用电脑演示每人至少分得一个苹果、二个苹果和三个苹果的情形，并由学生总结规律。
体现从特殊到一般的思维方法，模拟发现，激励探索，激活思路。
8、得出结论
模型二、把n个相同的小球放入m个不同盒子(n≥m≥1)，每个盒子容量不限，有多少种不同方法?
比较差异，将模型一进一步推广，使学生在“好奇”中产生
“内驱力”，进而产生不断探索的愿望。
9、问题
（1）中日围棋擂台赛规定各国各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛…，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一个比赛过程，试求中方获胜的所有可能出现的比赛过程的种数?
（2）从7个学校选出12人组成足球联队，要求每校至少有一个人参加，问各校名额分配共有多少种不同情况?
将问题综合，让学生分享探索带来的成果，感受问题解决的成功喜悦，同时也使他们进一步掌握分类的数学思想和化归的方法，激发探索的欲望。
10、小结
小结：回顾上述几个例题的解答过程，我们可以看到一个共同的特点，就是利用一一对应关系将一种不易直接求得其数目的计数模式转化为另一种易于计算的模式，从而收到了简化问题的效果，可以说，这种通过建立一一对应关系而化难为易的方法是数学中一种常用的方法，并且在代数问题发挥着极大的作用。
另外，我们还推出了两个模型，大家回去后希继续对这个模型进行研究，掌握这个模型的各种变化，并要善于把各种具体问题归结成这个模型的某一种方式，那么解排列组合问题就有了一定的规律可循了。
六、课题后记
1、本着坚持以学生是探索发现的主体这一教学原则，教师的角色从知识的传播者转化为学生主动学习，主动探索的引导者和促进者：学生以被动接受知识转到主动参与，在讨论探索中获取知识。
学生在教师的适时点拨下，通过自己动脑，探索出两个模型。
由于学生亲自品尝了自己发现的乐趣，更激起了他们强烈的求知欲和创造欲。
2、体现循序渐进原则。
本课例的例题，练习题的安排体现了思维的阶梯性，一步一个台阶，逐步引向深入。
由于问题处在学生思维水平的“最近发展区”，因而为学生提供了自由想象的空间，最后指引学生进行变式练习，提出了新的探索目标，从而满足了不同层次学生的需要，充分体现了数学素质教育的思想。
同时充分肯定学生的每一点进步，使学生增强学好数学的信心。
3、通过现代化教育技术，以电脑动画方式模拟思维的动态过程，将抽象内容形象化，激发学生兴趣，培养学生观察、分析和抽象概括能力。
学生的“再发现”不是放任自流，而是在教师精心设计教学过程，创设问题情境，让学生自己从知识的发生，发展过程中去发现新知识，认识新知识，从而积极主动地参与学习，充分体现教师的主导作用。
4、层层建构，分层递进，引导学生逐步深入，符合学生的认知特点使学生易于理解，培养学生的创新精神，优化学生的思维品质。
解决重点，突破难点，通过分层递进，既可照顾后进生，又可促进优等生，达到面向全体学生的目的，使不同的学生都能得到发展。
七、点评
学习数学的过程是知识建构的过程，是思维训练的过程。
本节课充分发挥学生的主体作用，通过精心设计问题，让学生去探索，发现从特殊到一般，归纳规律，构造数学模型，掌握分类的数学思想和化归的方法，分层递进不断深化。
课堂思维密度大，高潮迭起，是培养学生创新能力和课堂开展研究性学习的典型范例。