第6章非线性振动-1

相平面上个别的平衡点就是以下方程的解：
X 1 ( x1 , x 2 ) 0 , X 2 ( x1 , x 2 ) 0
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
不失一般性，将坐标原点移至奇点处，并将函数在奇 点（0，0）附近展开为泰勒级数，得到：
X 1 ( x 1 , x 2 ) a 11 x 1 a 12 x 2 e 1 ( x 1 , x 2 ) X 2 ( x 1 , x 2 ) a 21 x 1 a 22 x 2 e 2 ( x 1 , x 2 )
非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法， 改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。
非线性振动的研究方法
非线性振动研究的方法有：定性分析、定量分析和数值分析方法。 定性法
研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时 间历程。通常采用几何方法描述系统的运动特征。
定量法 通过一些渐近的解析方法研究系统运动的时间历程。 数值法 通过数值计算方法研究系统非线性振动的规律和现象。
鞍点
第6章 非线性振动
u 1 u 10 e l 1 t l t u 2 u 20 e 2
6. 2 非线性振动的定性分析方法
当 > 0，即两个特征值同号时，奇点为结点。当 两个特征值都为负时，当 t → ∞时，所有的轨线趋向于 原点，因此，奇点是稳定结点，系统的运动是渐近稳定 的。而当特征值同为正时，奇点是不稳定结点。
x1 X 1 ( x1 , x 2 ) x 2 X 2 ( x1 , x 2 )
相平面
对于单自由度系统，相空 间缩减为以x1和x2为直角坐标 系的（x1，x2 ）平面，称为系 统的相平面。
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
相轨迹
与系统的运动状态 一一对应的相平面上的 点称为系统的相点。 系统的运动过程可用 相点在相平面上的移动过 程来描述。相点移动的轨 迹称为相轨迹，或相迹。 不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族。
振动理论及其应用
第6章 非线性振动
6.1 非线性振动概述
6.2 非线性振动的定性分析方法 6.3 非线性振动的近似解析方法 6.4 非线性振动的数值分析方法 6.5 分叉与混沌的概念
第6章 非线性振动
6.1 非线性振动概述
非线性系统
当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元 件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不 能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可 忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。
2
ln
u2 u 20
u 10
C u1

u 1 u 10 e l 1 t l t u 2 u 20 e 2
相轨迹为指数曲线族。 当 l1>0>l2 ，即两个本征 值异号时，<0，除了 u1=0的相迹趋向于原点外， 其余相迹都远离原点，根 据稳定性的定义，平衡点 为不稳定奇点，称为鞍点。 对应于负刚度的情况。
第6章 非线性振动 相轨迹方程为
u
2
6. 2 非线性振动的定性分析方法

u 20 u 10
u1
u u el1t 1 10 l t u 2 u 20 e 1
相轨迹为直线族。 当 两个特征值小于零 时相迹的方向指向原 点，奇点为稳定节点； 当 两个特征值大于零 时相迹的方向远离原 点，奇点为不稳定节 点 。
设由 xi 规定的相空间的原点与平衡点重合，则系统的运 动幅度定义为原点到扰动解积分曲线上任何一点的距离：
T x ({ x } { x })
1 2
2 xi i 1
2n
1 2
渐近稳定
Lyapunov稳定性定义
不稳定
若给定任意小的正数e，存在正数 d，对于一切受扰运动，只要其初始扰 动满足 x ( t 0 ) d ，对于所有的 t t 0 均满足 x (t ) e ，则称平凡解是稳定 的。
解的两边分别对时间求导，并消去时间t，可以得到
d u2 d u1 u2 u1
其中

l2
l1
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
u 1 u 10 e l 1 t 改写成 t 1 ln u 1 和 t 1 ln u 2 或把解 l1 u 10 l2 u 20 l t u 2 u 20 e 2
q 设 q i x i ， i x n i 和 x n i X i，f i X n i
方程可写为 x i ( t ) X i ( x 1 , x 2 , ..., x 2 n , t ) 或 { x } { X }
则矢量{x}可唯一表示系统在任一时刻t的状态。 相空间 由变量qi和 q i 规定的2n维空间称为状态空间或相空 间。
第6章单 非线性振动 非线性振动与线性振动的区别 线性振动 自由振动频率与初始条件无关 强迫振动频率与激励力频率相 等 稳定平衡位置附近的运动是稳 定的 强迫振动中每个激励频率 有一个对应的振幅 叠加原理成立
6.1 ，有时 与激励频率不相等的频率成分 突出 稳定平衡位置附近具有多种 稳定和不稳定运动 强迫振动中幅频与相频曲线 发生弯曲，产生多值性
稳定
若这个平凡解是Lyapunov稳定的， 稳定性的几何解释 而且 lim x ( t ) 0，则解是渐近稳定的。
t
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
讨论一单自由度自治系统的自由振动，其动力学方程 的一般形式为：
q f ( q , q )
设 q x1 ， q x 2 和 x 2 X 1 ， f X 2 ，上式可以 写为状态变量的一阶微分方程组：
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
奇点
相平面内能使状态方程右端等于零的特殊点称为相 轨迹的奇点。表明系统的速度和加速度均等于零，奇点 的物理意义即系统的平衡状态，因此也可将奇点称为平 衡点。 对单自由度自治系统的自由振动，状态方程为：
x1 X 1 ( x1 , x 2 ) x2 X 2 ( x1, x2 )
叠加原理不成立
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
设n自由度系统的运动微分方程为
qi ( t ) f i ( q 1 , q 2 , ... ; q n , q 1 , q 2 , ..., q n ; t ) ( i 1, 2 , ..., n )
其中， qi是广义坐标，fi是广义坐标和广义速度的非线性函数。 位形空间 由变量qi规定的n维笛卡儿空间称为位形空间。方程的解qi(t) 可用位形空间的n维矢量表示。

材料非线性 几何非线性 非线性阻尼 负刚度负阻尼
非线性特性
振幅过大超出材 料线弹性范围 位移或变形过大使结 构几何形状显著变化 材料内摩擦阻尼、流体 阻尼等都是非线性阻尼 有些情况下会存在 负刚度和负阻尼
第6章 非线性振动 非线性振动研究的内容
6.1 非线性振动概述
下面讨论矩阵J 的特征值与奇点特性的关系。
J 有不相等的实特征值l1和l2，则有 线性变换后的方程
u 1 l1u 1 u 2 l 2 u 2
l1 J 0 0 l2
上式的解为
u 1 u 10 e l 1 t l t u 2 u 20 e 2
稳定结点
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
J 有相同的本征值l1 = l2
另一种情况为
l1 J 0 l1
此时方程可以写为：
u 1 l 1u 1 u 2 u 1 l 1u 2
此方程的解为
u u el1t 1 10 l t u 2 ( u 20 u 10 t ) e 1
设e1和e2是在原点的领域中小到可以忽略，则可以用
下列线性化方程讨论非线性方程在原点附近的稳定性：
x Ax
作非奇异线性变换
x B u
则方程可以写为
u Ju
其中
J B
1
AB
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
选择合适的B，可使变换后的矩阵J 为若当标准型， 可以证明，矩阵J与矩阵A有相同的特征值。
稳定结点
第6章 非线性振动
6. 2 非线性振动的定性分析方法
J 有相同的特征值l1 = l2
一种情况为
l1 J 0 0 l1
方程可以写为：
u 1 l 1u 1 u 2 l 1u 2
方程的解为
u u el1t 1 10 l1t u 2 u 20 e

当特征值l1 < 0 时，
u 20 0 lim lim t u t u t 1 10 0 u2
（ < 0）
u2与u1相比是无穷大量。相迹 在原点与u2轴相切，所有相迹的方 向都指向原点，因此，奇点是稳定 结点。 当l1 > 0 时，奇点是不稳定结点。
方程可写为
u 1 ( i ) re i i u 2 ( i ) re
因而 r r

第6章 非线性振动
r r
6. 2 非线性振动的定性分析方法
此方程的通解为
第6章 非线性振动 自治系统和非自治系统
6. 2 非线性振动的定性分析方法
Xi中没有一个显含时间t 时，系统称为自治系统， Xi中至 少有一个显含时间t 时，系统称为非自治系统。 普通点和奇异点