非线性振动中文
非线性振动第1章
近20多年来计算机技术的迅速发展，许多非线性振动问题 可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，这就使得非线性 振动问题的解法向前推进了一大步。
1 非线性振动的利用； 2 非线性振动的控制； 3 非线性振动的机理 。
目前在工程技术部门中，对许多非线性振动机理的研究 还很不深入。例如，对于一些在复杂非线性因素影响下的强 非线性多自由度系统的精确求解、复杂时变过程的特性、复 杂系统失稳的机理、复杂自激振动的起因和发展过程，一些 重大机械设备产生重大事故和发生破坏的原因，亚谐分叉解 的形成，混沌运动的产生等等。
工作温度：287.9o C
转速： 1490 r/min
额定功率：4000-13000 KW
高 度：8 m
价 格：9000 万元
2021/3/15
非线性振动第1章
10
沈阳鼓压缩机股份有限公司和我们的合作项目：4.8万千瓦 煤液化用大型气体离心压缩机
功率；48000 千瓦；转速：高速轴：8100 转/分， 低速轴：4700 转/分；
8. 复杂非线性振动系统的自激振动；
9. 带有冲击的非线性振动系统的振动机理与振动特性；
10. 非线性系统的振动及其稳定性的控制；
11. 有关非线性振动的动态过程的机理及利用；
12. 与非线性振动有关的设备或结构破坏的机理及故障的诊断方法；
13. 在复杂因素影响下的非线性波的机理及其控制与利用；
14. 板壳及复杂结构在大变形情况下的非线性振动的研究；
非线性振动第1章
非线性振动——精选推荐
非线性振动非线性振动§0.1非线性振动的研究对象在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化。
这类现象称为振荡。
例如大海的波涛起伏、花的日开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振荡特性。
振动是一种特殊的振荡，即平衡位置四周微小或有限的振荡。
如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等。
从最小的初等粒子到巨大的天体，从简单的摆到复杂的生物体，无处不存在振动现象。
有时人们力图防止或减小振动，有时又力图制造和利用振动。
尽管振动现象的形式多种多样，但有着共同的客观规律和同一的数学表达形式。
因此有可能建立同一的理论来进行研究，即振动力学。
振动力学是力学、声学、无线电电子学、自动控制理论等学科，以及机械、航空、土木、水利等工程学科的理论基础之一。
它应用数学分析、实验量测和数值计算等方法，探讨振动现象的机理和基本规律，为解决与振动有关的实际题目提供理论依据。
根据描述振动的数学模型的不同，振动理论区分为线性振动理论和非线性振动理论。
线性振动理论适用于线性系统，即质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统，其数学描述为线性常系数常微分方程。
不能简化为线性系统的系统为非线性系统，研究非线性系统的振动理论就是非线性振动理论。
线性振动理论是对振动现象的近似描述，在振幅足够小的大多数情况下，线性振动理论可以足够正确地反映振动的客观规律。
频率、振幅、相位、激励、响应、模态等都是在线性理论中建立起来的基本概念。
实际机械系统中广泛存在着各种非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等作用力非线性，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性，非线性本构关系等材料非线性，弹性大变形等几何非线性等。
因此工程实际中的振动系统尽大多数都是非线性系统。
由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法，而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。
振动理论06(1-2)-非线性振动
6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。
令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。
单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。
如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。
102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。
非线性振动
非线性振动百科名片恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说,线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
目录编辑本段简介非线性振动恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性振动只适用于小运动范围，超过此范围，就变成非线性振动。
非线性系统的运动微分方程是非线性的，不能用叠加原理求解。
方程中不显含时间的非线性系统称为非线性自治系统；显含时间的称为非线性非自治系统。
保守非线性自治系统的自由振动仍是周期性的，但其周期依赖于振幅。
对于渐硬弹簧，振幅越大，周期越短；对于渐软弹簧，振幅越大，周期越长。
非保守非线性自治系统具有非线性阻尼，阻尼系数随运动而变化，因而有可能在某个中间振幅下等效阻尼为零，从而能把外界非振动性能量转变为振动激励而建立起稳定的自激振动（简称自振）。
弦乐器和钟表是常见的自振系统。
周期地改变系统的某个参量而激起系统的大幅振动称参变激发。
当系统的固有频率⑴等于或接近参量变化频率的一半时，参变激发现象最易产生。
具有非线性恢复力的系统受到谐激励时，其定常受迫振动存在跳跃现象，即激励频率3缓慢变化时，响应振幅一般也平稳变化，但通过某些特定3值时，振幅会发生跳跃突变。
具有非线性恢复力且固有频率为 3 n 的系统，在受到频率为3的谐激励时，有可能产生频率为 3 /n （心3 n）的定常受迫振动（n为正整数），称为亚谐共振或分频共振。
它的出现不仅与系统和激励的参数有关，而且依赖于初始条件。
亚谐共振可以解释为，由于非线性系统的响应不是谐和的，频率3/n的响应中存在频率为 3 的高次谐波，激励对高次谐波作功而维持了振动。
非线性振动
非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。
一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。
通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。
理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。
非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。
学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。
其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。
非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。
然而这方面的例子是极为有限的。
这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。
定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。
把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。
这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。
定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。
求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。
非线性振动_绪论
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
3非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象4某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减?线性系统中自由振动总是衰减的esinntxat??5强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分?简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外还含有频率为激振频率的几分之一即频率为的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍即频率为的超谐波响应nm为正整数?由于存在次谐波与超谐波振动非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度nm6多个简谐激振力作用下的组合振动?如激励为?响应中的频率含mnnm12为正整数ftft1122coscos和7存在频率俘获现象?在非线性振动系统中当系统以振动受到另一激励时系统可能以其中之一的频率振动即频率俘获128在一定条件会出现分叉现象与混沌运动duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动03非线性振动问题的研究方法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法平均法小参数法摄动法近似法解析法
6 闻邦椿等.非线性振动理论中的解析方法及工程应用. 东北大学出版社，2001年 7 刘延柱，陈立群.非线性振动.北京：高等教育出版社，2001年 8 陈予恕.非线性振动. 北京：高等教育出版社，2002年 9 闻邦椿等.工程非线性振动. 北京：科学出版社， 2007年
(振动理论课件)非线性振动概述
非线性振动概述
➢ 当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果 不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振 动、多频响应、超谐和亚谐共振、跳跃现象等 实际现象作出解释。
A
几何非线性
➢几何非线性—例2
单摆振动方程 gsin 0
l 这是一个非线性方程，对于小偏角，sin
可以得到足够精确的线性方程 g 0
l
可得单摆的固有振动周期为 T 2 l 与摆角无关，具有等时性
g
但是对于较大的偏角，必须考虑动非线性的影响。如果偏角并不 十分大，可以对sinθ展开成泰勒级数只取前两项，
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动 过程的直观描述。
❖ 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
❖ 因此，关于奇点的类型和稳定性的研究，关于极限环 的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的 研究，是传统几何方法讨论的主要内容。
➢ 在工程问题中，稳态运动往往对应于机械系统的正常 工作状态。这种工作状态必须是稳定的，因为只有稳 定的运动才是可实现的运动。
非线性振动的定性分析方法
➢ 相平面法是最直观的定性分析方法，它只适用于单 自由度系统
➢ 相平面法利用相轨迹描绘系统的运动性态。相轨迹 的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期 运动。
非线性振动概述
一、关于非线性振动
1、什么是非线性振动： 指不能用线性微分方程所能描述的运动。
2、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素而处于非线性状态。
（1）内在的非线性因素
※ 例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力
例如单摆： 恢复力矩为
当 50 时
sin 1 3 1 5
2、参数振动： 漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料
自由面的振荡对飞行的影响则是当代科研的前沿；对圆柱容器中 的水面上、下铅直振动时所发生的参量振动既是古老的话题，（1831年法拉第研究过） 也是当今热极一时的“混沌”的一个例子。
4
0
A x
X 0/
/
例10－12 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘
以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即当t=0时，x>0, v>0。 可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（D）
6
例10－11 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期 T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负 方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为
F x, x2 v, v2
对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系统的振动就是非线性的。即使振 动系统本身是线性的（或说所有内在的非线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策 动力的作用，其振动也是非线性的。
针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。 3、非线性系统的本质特点是：
3! 5!
M mgl sin mgl( 1 3 1 5)
6 120
弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性现恢复力，即
F k1x k2 x 2 k3 x3
第十一章非线性振动(2011版)
224第十一章 非线性振动11.1 引言振动系统的许多运动状态可以按线性系统来分析，解释，但这只能限于一定的范围之内，因为系统中某些元件的特性只在某一定范围之内才是线性的。
例如，一个弹簧被拉伸或压缩，其中将分别产生拉压恢复力，在一定范围之内，力与变形之间的关系是线性的，超过这一范围，恢复力增长的速率将大于变形增长的速率（硬弹簧）或小于变形增长的速率（软弹簧）。
因此，一个简单的弹簧—质量振子，如果工作于弹簧的线性范围之内，就可以看为一个线性系统；如果工作于这线性范围之外，就是一个非线性系统。
同理，一个单摆，如果振幅θ充分小以至可以假设sin θ就等于θ，则可看为线性系统。
但对于大幅振动，这种假设就不再正确。
本质上是非线性的系统如果简单当作线性系统来处理，则不仅所得结果在数量上的误差过大，更重要的是按照线性理论将无法预料或解释实际系统可能出现的某些重要的非线性现象。
对于线性系统，因果关系是线性的。
即载荷加倍，响应也就加倍；若同时作用有不同的载荷，总响应就是各个单独载荷的响应之和，因此可以应用叠加原理，对于非线性系统因果关系不再是线性的，叠加原理也就不再适用。
非线性系统至今没有一般的解法，只能采用一些特殊的研究方法来尽可能地揭示系统的某些重要的运动性态。
这些方法沿着定性的与定量的两个方向发展，二者相辅相成，法国物理学家邦加来（Poincare ）在这两个方面都作出了奠基性的工作。
本章通过的一些典型的1自由度非线性系统介绍方法与定量方法的一些初步认识；揭示非线性系统所特有的某些重要的运动性态。
11.2相平面1自由度振动系统的运动微分方程一般形式为...,,0f x t xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(11.2-1)其中.,,f x t x ⎛⎫ ⎪⎝⎭可以是x 与.x 的非线性函数。
如.,,f x t x ⎛⎫⎪⎝⎭不显含时间t ，则有...,0f x xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(11.2-2)方程（11.2-1）所表示的系统称为非自治系统，而方程（11.2-2）可改写为两个联立的一阶方程如下..(,)x yy f x y ==- (11.2-3)如果把x 与y 都看为笛卡儿坐标，则x-y 平面成为相平面。
大学物理非线性振动讲解
f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态,但此 时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;
f =1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;
f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转; f=1.50, 又出现貌似无规则的运动,但比 f=1.15,时更为混乱.
说明鞍点是不稳定的平衡点，
因为与之相连的四条相轨迹中
两条指向它，两条背离它，而
附近相轨迹呈双曲线状．
Ep
o
d
dt
o
势能曲线、相图、鞍点
假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来， 双曲点就成了敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的 顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑 回原来的一侧单摆向回摆动。
g 4 2 64 2
式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。
当m 时，T→∞，T/T’随摆幅θm变化关系如图所示。
可见单摆的周期是一个向无
穷大发展的非线性变化。
T T
单摆线性振动的相图
d2 g sin
2
dt 2 L
1
两边积分得
( d
dt
)2
2
2
C1
即
(d dt)2
§8.3 非线性振动
一、非线性振动系统
由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。
下面以单摆做自由振动为例进行分析
单摆的线性振动
d2
mL dt 2
mg sin
d 2
dt 2
g sin
L
将sinθ按泰勒级数展开可得
振动理论及工程应用9 第十章 非线性振动
从研究方法上或是振动过程的变化规律上， 非线性振动与线性振动之间有本质区别。
研究非线性振动有两种基本方法
定性方法：
定性方法关心的是在已知解的邻域内系统的一 般稳定性特征，并非寻求与时间相关的解。
定量方法：
定量方法关心的是运动的时间历程，一般应用 摄动法来求得这类方程的近似解析解。
10.1 非线性振动的例子
x3
0
如果不再假设位移x很小，那么弹簧的弹性恢复
力一般地是位移x的非线性函数
一般非线性系统的运动微分方程可表示为
mx Fx 0
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为硬特性恢复力（称为硬弹簧）；
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧）
例如
F x x x3 , 0
当 0 时表示硬弹簧；
1 2
稳定结点
1 2 稳定非正常结点
1 2
稳定星形结点
（2）两特征值均为正实数(p＜0 , p2≥ 4q＞0)，则平 衡点是不稳定结点。分别称为不稳定结点，不稳定非 正常结点和不稳定星形结点。图形分别与上图相似， 但箭头方向相反。
（3）特征值为相异实数（q＜0），则平衡点称为鞍 点，如图所示。
运动微分方程为
mx 2 S AEl sin 0
l
其中A, E和l分别表示钢丝的横截面 积，弹性模量和长度增量； 为钢丝 与竖直线的偏角。
运动微分方程为
其中
mx 2 S AEl sin 0
l
l l 2 x2 l x2 2l
代入整理得
sin
x
x
l2 x2 l
mx
2S l
x
AE l3
微分方程式的一个解x=x(t), y=y(t)对应于相平面 上的一条曲线，称为相轨迹，简称轨迹。
机械振动第6章非线性振动
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1
2 T
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
非线性振动现象
非线性振动现象振动是物体围绕平衡位置做周期性的来回运动，它是自然界中普遍存在的现象。
在很多实际问题中，我们会遇到非线性振动现象，即振动系统不满足线性的回复力定律。
非线性振动现象在物理学、工程学以及生物学等领域都有广泛的应用和重要的研究价值。
一、什么是非线性振动现象非线性振动现象是指振动系统的受力律不满足线性回复力定律，即系统力与位移之间的关系不是线性的。
与线性振动相比，非线性振动显示出更加丰富的运动特性和行为。
非线性振动现象的出现主要归结为以下几个方面的原因：1.回复力律的非线性：通常线性振动系统受到的回复力与振动的位移成正比，但在某些情况下，回复力可能随着位移的增加而变化速率不等，导致非线性振动现象的出现。
2.系统参数的非线性：振动系统的参数非线性，如刚度、阻尼系数、质量等的变化，也会导致系统的振动特性发生变化。
3.外部扰动的非线性：外界对振动系统的扰动如果不规律、不可逆，也会导致系统出现非线性振动现象。
二、非线性振动的种类非线性振动现象的种类繁多，下面介绍几种常见的非线性振动现象：1.硬度非线性：当振动系统的回复力不仅与位移的大小有关，还与位移的变化率有关时，就会出现硬度非线性。
硬度非线性表现为振动系统的频率与振幅的关系非线性，通常存在频率间跳变、倍频和次谐波等特点。
2.阻尼非线性：振动系统受到非线性阻尼时，会出现振幅的跃变、突变等非线性现象。
3.非线性共振：当振动系统的频率接近系统的特征频率时，振幅会出现非线性的迅速增大，达到共振峰值。
4.受迫非线性振动：当振动系统受到非线性外力激励时，振幅和频率会发生非线性变化。
三、非线性振动的应用非线性振动现象在各个领域都有广泛的应用和研究价值：1.物理学：非线性振动现象的研究在物理学领域中有重要的地位。
例如，非线性振动现象的研究为材料的性能评估和电磁波的传播提供了重要依据。
2.工程学：非线性振动的研究对于工程结构的设计和优化至关重要。
例如，建筑结构和桥梁的振动特性分析需要考虑非线性振动的影响。
机械振动第6章非线性振动ppt课件
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程， 不能获得系统的频率、振幅等基本参数。
只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因 此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近 似解析方法主要用于弱非线性系统。
发生非线性振动的原因：
1、内在的非线性因素
振动系统内部出现非线性回复力
单摆（或复摆） 的回复力矩
Mm(g l35)
3! 5!
振动系统的参量不能保持常数，
如漏摆、荡秋千。
自激振动 .
2、外在的非线性影响 非线性阻尼的影响 如 frk1vk2v2k3v3 策动力为位移或速度的非线性函数
如 F F (x ,x 2 ,x 3 ,v ,v 2 ,v 3 ) 线性振动与非线性振动的最大区别： 线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
基本解(x0, x0)的领域内展开成泰勒级数:
x 02xF(t)
x ( t,) x 0 ( t)x 1 ( t)2x 2 ( t)
.
第5章 非线性振动 5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在 时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可 按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。 这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。
步长D t 内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马克
（Newmark）法、威尔逊（Wilson） 法、Runge－Kutta法等。
纽马克（Newmark）法
梯形法 最早由欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响
振动理论06(1-2)-非线性振动
振动理论(6-1)第6章具有非线性特征的系统陈永强北京大学力学系6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。
令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。
单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。
如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。
102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。
第6章非线性振动-1
鞍点
第6章 非线性振动
u 1 u 10 e l 1 t l t u 2 u 20 e 2
6. 2 非线性振动的定性分析方法
当 > 0，即两个特征值同号时，奇点为结点。当 两个特征值都为负时，当 t → ∞时，所有的轨线趋向于 原点，因此，奇点是稳定结点，系统的运动是渐近稳定 的。而当特征值同为正时，奇点是不稳定结点。
材料非线性 几何非线性 非线性阻尼 负刚度负阻尼
非线性特性
振幅过大超出材 料线弹性范围 位移或变形过大使结 构几何形状显著变化 材料内摩擦阻尼、流体 阻尼等都是非线性阻尼 有些情况下会存在 负刚度和负阻尼
第6章 非线性振动 非线性振动研究的内容
6.1 非线性振动概述
则有
l
1
l1
ln
u1 u 10
1
l
ln
2
u2 u 20
或
2
l1
ln
u1 u 10
ln
u2 u 20
设 = l 2 / l 1 ，则有 ln
ln u1
u1 u 10
ln
u2 u 20
或
u 10
ln
u2 u 20
第6章 非线性振动 从式 ln
u1
6. 2 非线性振动的定性分析方法 可得到相轨迹方程 u
设e1和e2是在原点的领域中小到可以忽略，则可以用
下列线性化方程讨论非线性方程在原点附近的稳定性：
x Ax
作非奇异线性变换
x B u
则方程可以写为
u Ju
其中
J B
1
AB
非线性振动
l
/ rad
t/s
Testing Techniques
工程振动与测试
质量m在拉紧着的钢丝中的振动。设质量m附着在 长度为2l的钢丝中间，钢丝两端的拉力为S。当质点从 其平衡位置侧向移动距离x时，钢丝产生恢复力，
运动微分方程为
mx 2 S AEl sin 0
l
其中A, E和l分别表示钢丝的横截面 积，弹性模量和长度增量； 为钢丝 与竖直线的偏角。
Testing Techniques
工程振动与测试
10.1 非线性振动的例子
单摆的有限振幅振动是最简单的一个例子
运动微分方程为
g sin 0
l
对于微小振动，sin
g 0
l
如果振幅不是很小
线性系统
g l
3
6
0
非线性系统
Testing Techniques
工程振动与测试 单摆运动特性
m
它是x和 x 的非线性函数。
如果函数 f 不显含t，则称这个系统为自治系统， 否则称为非自治系统。
Testing Techniques
工程振动与测试
10.2 相平面
设自治系统可表示为
或
x f x, x 0
x y, y f x, y
对于更一般的情形，方程可表示为
x X x, y, y Y x, y
Testing Techniques
工程振动与测试
运动微分方程为
其中
mx 2 S AEl sin 0
l
l l 2 x2 l x2 2l
代入整理得
sin
x
x
l2 x2 l
mx
2S l
非线性振动
x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) x2 (t )
2
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
)在 将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x, x
0)的领域内展开成泰勒级数: 基本解(x0, x
2 0 x x F (t ) x (t, ) x0 (t ) x1 (t ) 2 x2 (t )
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不 衰减 • 线性系统中自由振动总是衰减的
x Aent sin(t )
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频 率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
纽马克法来自于梯形法，它按照泰勒级数展开式，保留 到二阶导数加速度项，并引入两个参数 和对截去的高阶小 量作修正。
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
5.3 非线性振动问题的研究方法
实物或模型实验— —结合计算机处理数据 实验方法： 空间平面法） 定性方法（几何法或相 在相平面上研究解或平 衡点的性质，即相轨迹 在相平面上分布 情况；确定奇点、极限 环、特殊轨线，解的全 局性态。 法） 初值法（如Rouge kut t a 边值法（Shoot ingMot hed) 数值解法： 直接 点映射法 胞映射法 跌代法 分析方法： （小参数法） 摄动法 定量方法 渐进法（平均法） 多尺度法 （近似法）解析法： 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
动力系统的非线性振动分析
动力系统的非线性振动分析动力系统的非线性振动是指在外部激励下，动力系统输出的振动不符合线性系统的响应规律，而出现非线性现象。
非线性振动是一种复杂而有趣的现象，广泛应用于各个领域，如机械工程、航空航天、电力电子等。
非线性振动的分析对于设计和优化动力系统至关重要，因此本文将介绍非线性振动的基本理论、方法和应用。
非线性振动的基本理论基于非线性动力学，非线性动力学研究非线性振动系统的运动规律。
非线性振动系统通常由一系列非线性微分方程描述，如Duffing方程、Van der Pol方程等。
这些方程往往包含非线性项，如非线性刚度、非线性阻尼、非线性耗散等。
非线性系统的解析解很难获得，因此需要借助数值模拟和近似方法来进行分析。
数值模拟是研究非线性振动的常用方法之一、通过数值方法可以求解非线性微分方程的数值解，得到系统的时域响应。
常用的数值方法包括Euler法、Runge-Kutta法、有限元法等。
数值模拟可以模拟系统在不同参数和激振条件下的响应，确定系统的稳定性和动态特性。
非线性振动还可以通过近似方法进行分析。
近似方法不依赖于数值计算，通过一系列数学变换和经验公式，将非线性系统简化为线性或半线性系统，以更好地理解系统的振动行为。
常用的近似方法有受激扰动法、多尺度方法和平均法等。
这些方法可以得到系统的解析解或近似解，为设计和优化动力系统提供参考。
非线性振动的应用广泛，其中一个重要应用是结构动力学领域。
在建筑、桥梁和飞行器等结构中，非线性振动会导致结构的破坏和失效。
通过对结构的非线性振动分析，可以预测并避免结构的振动失控，以提高结构的安全性和可靠性。
此外，非线性振动还在能量传输和能量转换系统中发挥着重要作用。
如能量管道、振动发电器和能量吸收器等系统，其中非线性振动可以改善系统的能量传输效率和转换效率。
通过对非线性振动的分析和优化，可以提高能量系统的性能，降低能量损耗。
总之，非线性振动的分析是设计和优化动力系统的重要环节。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《非线性振动》教学大纲
课程编号：1322013
英文名称：Nonlinear Oscillations
课程类别：选修课学时：36 学分：2
适用专业：土木工程
预修课程：结构动力学
课程内容：
内容：主要讲述非线性振动经典和现代的理论和方法，在经典部分方面，着重从定性和定量两个方面研究保守系统、散逸系统、自激振动系统、受迫振动系统和参量激励系统的形态和特征。
在现代部分方面，着重讨论点映射、胞映射、突变、分岔及混沌现象。
预期目标：使学生能从定量和定性两方面处理非线性振动现象。
重点和难点：熟练掌握常用的摄动方法，尤其是多尺度法、谐波增量平衡法和平均化方法；Duffing方程和Mathieu方程的解的特性；点（胞）映射的原理及实现；混沌振动的判别准则和Lyapunov指数求解的算法；非线性动力学中分形的概念。
教材：
A.H.Nayfeh, D.T.Mook. Nonlinear Oscillations. New York: John Wiley & Sons. 1979
参考书目：
1. 陈予恕.非线性振动.北京：高等教育出版社,2002
2. 陈树辉.强非线性振动系统的定量分析方法.北京：科学出版社,2007
3. F.C. Moon. Chaotic Vibrations. New York: John Wiley & Sons.
4. 李骊.强非线性振动系统的定性理论和定量理论.北京：科学出版社,1997考试方式与要求：
课程论文。