机械振动第6章非线性振动ppt课件
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大学物理(机械波篇)ppt课件
液晶显示
利用偏振光的特性，实现液晶 屏幕对图像的显示和控制。
科学研究
在物理学、化学、生物学等领 域中，利用偏振光研究物质的 光学性质和结构特征。
06
总结回顾与拓展延伸
机械波篇重点知识点总结
机械波的基本概念
机械波是介质中质点间相互作用力引起的振动在介质中的传播。机械波的产生条件、传播方 式、波动方程等基本概念是学习的重点。
驻波形成条件 两列波的频率相同、振幅相等、相位差恒定。
3
驻波特点
波形固定不动，节点和腹点位置固定；相邻节点 间距离等于半波长；能量在节点和腹点之间来回 传递。
03
非线性振动和孤立子简介
非线性振动概念及特点
非线性振动定义
指振动系统恢复力与位移之间不满足线 性关系的振动现象。
振幅依赖性
振动频率和波形随振幅变化而变化。
当障碍物尺寸远大于波长时，衍射现象不 明显。
衍射规律
衍射角与波长成正比，与障碍物尺寸成反 比。
双缝干涉实验原理及结果分析
实验原理：通过双缝让 单色光发生干涉，形成 明暗相间的干涉条纹。
01
干涉条纹间距与光源波 长、双缝间距及屏幕到
双缝的距离有关。
03
05 通过测量干涉条纹间距，
可以计算出光源的波长。
天文学领域
通过测量恒星光谱中谱线的多普勒频移，可以推断出恒星相对于观察 者的径向速度，进而研究恒星的运动和宇宙的结构。
05
光的衍射、干涉和偏振现 象
光的衍射现象及规律总结
衍射现象：光在传播过程中遇到障碍物或 小孔时，会偏离直线传播路径，绕到障碍 物后面继续传播的现象。
当障碍物尺寸与波长相当或更小时，衍射 现象显著。
多个孤立子相互作用后，各自保持 原有形状和速度继续传播。
第6章机械振动共64页PPT资料
A x02 v0 2 0.12m
x0 Acos
cos 2
2
π
4
v0Asin0
π
4
振动方程： x0.102co2st (簧,弹性系数分别为k1和k2,两滑块 质量分别为M和m ,叠放在光滑的桌面上,M与两弹簧
x0Acos0
π
2
18
v A sin 0 π
2
机械能守恒：
1(Mmv)2 1kA2
2
2
A0.05m
振动方程： x0.05co(4s 0 tπ) m 2
19
6-1-3 简谐运动的旋转矢量表示法
旋转矢量A在 x 轴上的投 影点 M 的运动规律：
第6章
振动
1
机械振动： 物体在一定的位置附近做来回往复的运动。
振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的 变化。 波动：振动状态在空间的传播。
任何复杂的振动都可以看 做是由若干个简单而又基 本的振动的合成。这种简 单而又基本的振动形式称 为简谐运动。
2
§6-1 简谐运动
6-1-1 简谐运动的基本特征
注意： 满足上式的初相位可能有两个值，具体取哪个值
应根据初始速度方向确定。
14
例1 如图,在光滑的水平面上,有一弹簧振子,弹簧的 劲度系数为1.60N/m,振子质量0.40kg,求在下面两种 初始条件下的振动方程.(1)振子在0.10m的位置由静 止释放;(2)振子在0.10m处向左运动,速度为0.20m/s.
加速度与位移反相位。
11
比较： a 2A co t s
xA co ts
a2x
即
d2x dt 2
2
机械振动学中的非线性振动理论
机械振动学基础知识振动系统的有限元分析方法机械振动学是研究机械系统在受到外力作用时所产生的振动现象的科学。
振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的分析方法之一，它通过将振动系统离散化为有限个单元，利用数值计算方法来模拟和分析系统的振动特性。
本文将介绍机械振动学的基础知识以及振动系统的有限元分析方法。
机械振动学基础知识振动系统是由弹性元件和质量元件构成的，当受到外力作用时，系统会发生振动。
振动系统包括弹簧、阻尼器和质量块等元件。
其中，弹簧用于恢复系统的位移；阻尼器用于阻碍系统振动的增长；质量块用于储存和释放振动系统的动能。
振动系统的有限元分析方法有限元法是一种数值计算方法，它将连续的振动系统分解为有限个单元，每个单元包括节点和单元内部的位移场。
通过求解各节点的位移场，可以得到整个系统的振动响应。
1. 建立有限元模型首先，需要建立振动系统的有限元模型。
对于简单的振动系统，可以直接建立单元模型，包括节点、单元和材料属性等。
对于复杂的振动系统，可以采用现有的有限元软件进行建模。
2. 离散化在建立有限元模型后，需要对振动系统进行离散化。
将连续系统离散化为有限个单元，每个单元包括节点和连接节点的单元。
通过离散化，可以得到系统的离散动力学方程。
3. 求解动力学方程在得到系统的离散动力学方程后，可以利用数值计算方法求解系统的振动响应。
常用的方法包括有限差分法、有限元法、模态分析法等。
4. 分析结果最后，根据求解的振动响应结果，可以分析系统的振动特性，如频率响应、模态形态等，为系统设计和优化提供参考。
结论机械振动学是研究机械系统振动现象的科学，而振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的重要方法之一。
通过建立有限元模型、离散化系统、求解动力学方程和分析结果，可以深入了解振动系统的振动特性，为系统设计和优化提供有效的手段。
希望本文能够帮助读者更好地理解机械振动学的基础知识和有限元分析方法。
机械振动讲课ppt课件
相位
t
xA co t s) (
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0~2π内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ(n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
4 初相位 (t0)描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π或][0 2 π) ]
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
xAcots()
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
A co (ts T [) ]
周期 T 2π
频率 1
弹簧振子周期
T 2π m k
单摆周期
T 2 l g
T 2π
角频率 2π2π
周期和频率仅与振动系 统 本身的物理性质有关
T
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
F
o
m
x
x
Fk xma
令 2 k
m
a2x
xA co t s) (
积分常数，根据初始条件确定
d2x 2x 0 二阶常系数微分方程
dt2
2
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
单摆
msginmt a
mlmdl2m••l
t t 时
o
A
t
xAcots()
以 o为 原点的 旋转
矢量A在 x
x 轴上的投影 点的运动为
简谐运动.
t
xA co t s) (
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0~2π内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ(n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
4 初相位 (t0)描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π或][0 2 π) ]
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
xAcots()
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
A co (ts T [) ]
周期 T 2π
频率 1
弹簧振子周期
T 2π m k
单摆周期
T 2 l g
T 2π
角频率 2π2π
周期和频率仅与振动系 统 本身的物理性质有关
T
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
F
o
m
x
x
Fk xma
令 2 k
m
a2x
xA co t s) (
积分常数，根据初始条件确定
d2x 2x 0 二阶常系数微分方程
dt2
2
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
单摆
msginmt a
mlmdl2m••l
t t 时
o
A
t
xAcots()
以 o为 原点的 旋转
矢量A在 x
x 轴上的投影 点的运动为
简谐运动.
机械振动ppt课件
设 t 的初始位移和初始速度为：
x() x
x() x
令：
c 1b 1co 0 s ) (b 2si n 0 )(
c2b 1si n 0 )( b 2co 0 s)(
有 ： x ( t) b 1 co 0 ( t s ) b 2 si 0 ( t n )
b1 x
b2
x 0
单自由度系统自由振动
固有振动或自由振动微分方程 ： mxkx0
令： 0
k m
固有频率
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： x02x0
通解 ： x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
c1
,
c
：
2
任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A c12 c22
初相位 ： tg 1 c1
c2
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
A c12 c22
x
tg 1 c1
c2
T2/0
A
0
t
0
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
单自由度系统自由振动
• 线性系统的受迫振动
弹簧原长位置
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置
m
0
静平衡位置
为坐标原点，λ为静变形。
当系统受到初始扰动时，由牛顿第
k
x
二定律，得：
m x mg k(x)
机械振动第6章非线性振动
F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1
2 T
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n
机械振动第6章非线性振动ppt课件
.
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程， 不能获得系统的频率、振幅等基本参数。
只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因 此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近 似解析方法主要用于弱非线性系统。
发生非线性振动的原因：
1、内在的非线性因素
振动系统内部出现非线性回复力
单摆（或复摆） 的回复力矩
Mm(g l35)
3! 5!
振动系统的参量不能保持常数，
如漏摆、荡秋千。
自激振动 .
2、外在的非线性影响 非线性阻尼的影响 如 frk1vk2v2k3v3 策动力为位移或速度的非线性函数
如 F F (x ,x 2 ,x 3 ,v ,v 2 ,v 3 ) 线性振动与非线性振动的最大区别： 线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
基本解(x0, x0)的领域内展开成泰勒级数:
x 02xF(t)
x ( t,) x 0 ( t)x 1 ( t)2x 2 ( t)
.
第5章 非线性振动 5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在 时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可 按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。 这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。
步长D t 内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马克
（Newmark）法、威尔逊（Wilson） 法、Runge－Kutta法等。
纽马克（Newmark）法
梯形法 最早由欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程， 不能获得系统的频率、振幅等基本参数。
只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因 此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近 似解析方法主要用于弱非线性系统。
发生非线性振动的原因：
1、内在的非线性因素
振动系统内部出现非线性回复力
单摆（或复摆） 的回复力矩
Mm(g l35)
3! 5!
振动系统的参量不能保持常数，
如漏摆、荡秋千。
自激振动 .
2、外在的非线性影响 非线性阻尼的影响 如 frk1vk2v2k3v3 策动力为位移或速度的非线性函数
如 F F (x ,x 2 ,x 3 ,v ,v 2 ,v 3 ) 线性振动与非线性振动的最大区别： 线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
基本解(x0, x0)的领域内展开成泰勒级数:
x 02xF(t)
x ( t,) x 0 ( t)x 1 ( t)2x 2 ( t)
.
第5章 非线性振动 5. 3.2 非线性振动的数值分析方法
数值分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在 时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可 按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。 这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。
步长D t 内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马克
（Newmark）法、威尔逊（Wilson） 法、Runge－Kutta法等。
纽马克（Newmark）法
梯形法 最早由欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响
《机械振动教学》课件
质量块
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
物理 第六章机械振动与机械波
三、周期（频率） 波长 波速
波的周期T（频率f）与振源的周期（频率）相同，并由振源的周期（频率）决定. 在一个周期内，振动在媒质中传播的距离称为波长λ. 在波动中，振动在媒质中传播的速度称为波速v.波速的大小由媒质本身的性质决定. 在均匀媒质中，振动是匀速传播的，波长等于波速与周期的乘积，即
思考与练习（6.4）
一、单 摆
一根不能伸缩且质量可以忽略不计的细线，其 下端悬挂一个小球，上端固定在悬点上，小球略微 偏离平衡位置后，就可以在一个竖直面内来回摆动， 这种装置称为单摆.单摆的回复力为
二、单摆振动定律
实验可得，在偏角很小的情况下，单摆的周期与摆长的二次根成正比，与重力加 速度的二次根成反比，而与摆球的质量及振幅无关，即
机械振动在媒质中的传播称为机械波，简称波或波动. 波的产生首先要有做机械振动的振源；其次还要有传播振动的媒质. 波是传递能量的一种方式.
二、横波与纵波
质点的振动方向与波的传播方向垂直的波称为横波.在横波中，凸起部分的最高点 称为波峰；凹下部分的最低点称为波谷.
质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波称为纵波.在纵波中，质点分布较 密的部分称为密部；质点分布较稀的部分称为疏部.
思考与练习（6.3）
上下摆动，就会看到一列凸凹相间的波向绳子的另一端 传去，如图6-7(a)所示.每隔1/4周期绳上各点波形变化如图6-7(b)所示.
将一根螺旋弹簧用细线水平悬挂起来，在它的一端连接一个固定在钢片上的金属球， 如图6-8(a)所示.当金属球在弹片的弹力作用下沿着弹簧的方向左右振动时，就会看到一 列疏密相间的波向弹簧的另一端传去，每隔1/4周期弹簧上各点波形变化如图6-8(b)所示.
三、共振
在一根张紧的绳子上挂几个摆，其中A、C、E的摆长相等.当A摆振动时，通过张紧的 绳子给其他各摆施加驱动力使其做受迫振动.
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d ( x1 + x 2 )2 =dx12+d(2x1x2)+dx2 2?dx12 dx2 2
dt
dt dt dt dt dt
.
(3) 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统，存 在跳跃和滞后现象 在激励比较强烈而系统的阻尼又很小的情况下,主共振的 幅频特性的曲线有反向弯曲。
.
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不 衰减
.
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
谐波平衡法
谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用 系数未知的傅立叶级数表示，然后将外激励展成同样周期的 傅立叶级数，代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数 相等，得到未知系数的线性代数方程组，解方程组，得到振 动系统微分方程傅立叶级数形式的解。
讨论非线性系统的在外激励下的受迫振动：
x f(x,x )F (t)
设方程的解可以用周期为T 的傅立叶级数表示
x(t)a 0 a 1 nco n s t) (a 2nsin n t)( n 1 .
.
非线性振动方程的一般形式
线性振动方程 m x c x k xf(t) 非线性振动方程
f m ( x , x , x ) f c ( x , x , x ) f k ( x , x , x ) f ( x , x , x , t )
变质量 惯性力
非线性 阻尼力
t 0 , 0 , 0，
则上式变为
22 lg 2co s2 2 1co s0 0 2
.
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
22 lg 2co s2 2 1co s0 0 2
0= ，0= 0，则其解为
A
2 g cos
l2
运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0 dt
O
l
m
N
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：
.
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程， 不能获得系统的频率、振幅等基本参数。
只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因 此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近 似解析方法主要用于弱非线性系统。
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述 5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
.
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行简化与近似的结果。
非线性 恢复力
非线性 激振力
.
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关 线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
.
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程 • 对于非线性系统
dnx1x2dnx1dnx2
dtn
dtn dtn
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回；
c. 越过该顶点继续向前运动。 .
★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
m ld 2 ld m gsin F c o s t
d t2 d t
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
定性方法（几何法或相 空间平面法）
在相平面上研究解或平 衡点的性质，即相轨迹 在相平面上分布
情况；确定奇点、极限 环、特殊轨线，解的全 局性态。
分析方法：
定量方法
初值法（如 Rouge kutta 法）
数值解法：点胞边映映值射射法法法（
Shooting Mothed) 直接 跌代法
摄动法 （小参数法 渐进法（平均法）
A
★自由单摆的运动方程：
d2
dt2
g l
sin
当 很小，
线性近似： d 2 g (sin )
dt 2
l.
O
l
m
N
若 为任意值， (sin )
A
而 s i n (1 2 ) s i n 1 s i n 2
故自由单摆为非线性振动系统：
O
l
d2 gsin
dt2 l
m
N
令
d dt
，以及
发生非线性振动的原因：
1、内在的非线性因素
振动系统内部出现非线性回复力
单摆（或复摆） 的回复力矩
Mm(g l35)
3! 5!
振动系统的参量不能保持常数，
如漏摆、荡秋千。
自激振动 .
2、外在的非线性影响 非线性阻尼的影响 如 frk1vk2v2k3v3 策动力为位移或速度的非线性函数
如 F F (x ,x 2 ,x 3 ,v ,v 2 ,v 3 ) 线性振动与非线性振动的最大区别： 线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
• 线性系统中自由振动总是衰减的
xAentsin(t)
.
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频
率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
• 由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目 将多于系统的自由度
.
(6) 存在多个简谐激振力作用下的组合振动
（ 近似法）解析法：
多尺度法 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
）
.
一、任意摆角情况下单摆的运动
线性系统（数学定义）：
若 f ( x ) 满足 f( x 1 x 2 ) f( x 1 ) f( x 2 ) 则 f ( x ) 是线性的； 若 g ( x ) 为非线性，则
g ( x 1 x 2 ) g ( x 1 ) g ( x 2 )
.
(7) 存在频率俘获现象
• 在非线性振动系统 中，当系统以 1 振动，受到另一 2
激励时，系统可能以其中之一的频率振动，即频率俘获
.
（8）在一定条件会出现分叉现象与混沌运动
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
.
5.3 非线性振动问题的研究方法
实验方法：实物或模型实验 — —结合计算机处理数据