大学物理_机械振动和机械波(课堂PPT)
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高考物理课件 第十四章 机械振动、机械波 光和电磁波 14.2 机械波课件
＝58T 时，质点 A 向下振动，B 向上振动，所以 C 项正确；波的传 播速度 v＝Tλ＝145n＋0030 m/s(n＝0、1、2、3…)，有多种可能，D 项错； 由图可知质点 A 的振幅为 10 cm，质点 B 的振幅为 5 cm，所以 E 项正确．
答案：BCE
9．(多选)一简谐横波沿 x 轴正向传播，图甲是 t＝0 时刻的波 形图，图乙是某质点的振动图象，则该质点的 x 坐标值合理的是 ()
解析：由题图(a)读出波长 λ＝2.0 m，由题图(b)读出周期 T＝4 s，
则 v＝Tλ＝0.5 m/s，选项 A 正确；题图(a)是 t＝2 s 时的波形图，题 图(b)是 x＝1.5 m 处质点的振动图象，所以该质点在 t＝2 s 时向下振 动，所以波向左传播，选项 B 错误；在 0～2 s 内质点 P 由波峰向 波谷振动，通过的路程 s＝2A＝8 cm，选项 C 正确，选项 D 错误；
A．A 点处波长是 10 cm，B 点处波长是 5 cm B．周期一定都是 2×10－2 s C．t＝0.0125 s 时刻，两质点的振动速度方向相反 D．传播速度一定是 600 m/s E．A 质点的振幅是 B 质点的振幅的 2 倍
解析：由 A、B 两质点的振动图象可知两质点的周期均为 2×10 －2 s，所以 B 项正确；再由振动图象知 t＝0 时，质点 A 在平衡位置 且向上振动，B 处在波峰，则有 75 m＝34λ＋nλ(n＝0、1、2、3…)， 解得 λ＝43n0＋03 m(n＝0、1、2、3…)，所以 A 项错；在 t＝0.012 5 s
图示时刻，Q 点向下运动，速度减小，所以从图示位置运动到
波谷的时间大于T8，再从波谷运动到平衡位置的时间为T4，所以经过 38T，Q 点没有回到平衡位置，故 D 错误．由于 P、Q 两点的振动步 调总是相反，所以在相等时间内，P、Q 两点通过的路程相等，故 E 正确．
答案：BCE
9．(多选)一简谐横波沿 x 轴正向传播，图甲是 t＝0 时刻的波 形图，图乙是某质点的振动图象，则该质点的 x 坐标值合理的是 ()
解析：由题图(a)读出波长 λ＝2.0 m，由题图(b)读出周期 T＝4 s，
则 v＝Tλ＝0.5 m/s，选项 A 正确；题图(a)是 t＝2 s 时的波形图，题 图(b)是 x＝1.5 m 处质点的振动图象，所以该质点在 t＝2 s 时向下振 动，所以波向左传播，选项 B 错误；在 0～2 s 内质点 P 由波峰向 波谷振动，通过的路程 s＝2A＝8 cm，选项 C 正确，选项 D 错误；
A．A 点处波长是 10 cm，B 点处波长是 5 cm B．周期一定都是 2×10－2 s C．t＝0.0125 s 时刻，两质点的振动速度方向相反 D．传播速度一定是 600 m/s E．A 质点的振幅是 B 质点的振幅的 2 倍
解析：由 A、B 两质点的振动图象可知两质点的周期均为 2×10 －2 s，所以 B 项正确；再由振动图象知 t＝0 时，质点 A 在平衡位置 且向上振动，B 处在波峰，则有 75 m＝34λ＋nλ(n＝0、1、2、3…)， 解得 λ＝43n0＋03 m(n＝0、1、2、3…)，所以 A 项错；在 t＝0.012 5 s
图示时刻，Q 点向下运动，速度减小，所以从图示位置运动到
波谷的时间大于T8，再从波谷运动到平衡位置的时间为T4，所以经过 38T，Q 点没有回到平衡位置，故 D 错误．由于 P、Q 两点的振动步 调总是相反，所以在相等时间内，P、Q 两点通过的路程相等，故 E 正确．
大学物理-振动和波ppt课件
• a, , x 都是谐振动， 振幅不同，角频率不变
• a, , x 依次超前 /2； a, x 反相（谐振动特点）
可编辑课件PPT
8
曲线描述
x xt图
xA co ts
vx Acostπ2
axA 2costπ
A
o
T
A
Av vt 图
o
T
t
t
x a
A
A
a at图
o
A
t A2
o
Tt
2A T
A2
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22
曲线描述
x xt图
xA co ts
vx Acostπ2
axA 2costπ
A
o
T
A
Av vt 图
o
T
t
t
x a
A
A
a at图
o
A
t A2
o
Tt
2A T
A2
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23
四. 谐振系统的能量
1. 谐振系统的动能和势能
由
d2x dt2
2 x
及
d2x dt2
d
dt
d
dx
有 d2xdx, 同乘以m
A
o A Ax
2
0.2m 6s1（负号表示速度沿 Ox轴负方向）
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41
（3）如果物体在 x0.05m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
＇π 或3π
44
o π 4 x
• a, , x 依次超前 /2； a, x 反相（谐振动特点）
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8
曲线描述
x xt图
xA co ts
vx Acostπ2
axA 2costπ
A
o
T
A
Av vt 图
o
T
t
t
x a
A
A
a at图
o
A
t A2
o
Tt
2A T
A2
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曲线描述
x xt图
xA co ts
vx Acostπ2
axA 2costπ
A
o
T
A
Av vt 图
o
T
t
t
x a
A
A
a at图
o
A
t A2
o
Tt
2A T
A2
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四. 谐振系统的能量
1. 谐振系统的动能和势能
由
d2x dt2
2 x
及
d2x dt2
d
dt
d
dx
有 d2xdx, 同乘以m
A
o A Ax
2
0.2m 6s1（负号表示速度沿 Ox轴负方向）
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41
（3）如果物体在 x0.05m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
＇π 或3π
44
o π 4 x
大学物理-振动和波-PPT
t 3T 4
（振动状态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 传至10 )
所以运动方程为：
x bCos(
g b
t
)
二、谐振动的图线描述法
x
A
0
t1
t
两类问题：
1、已知谐振动方程，描绘谐振动曲线 2、已知谐振动曲线，描绘谐振动方程
三、 简谐振动的旋转矢量表示法
1、旋转矢量
ω
M
旋转矢量的长度：振幅 A
A
旋转矢量旋转的角速度：
圆频率 0
旋转矢量与参考方向x 的夹角： 振动周相
则可得： x ACos(t )
其中： A A12 A22 2 A1A2Cos(2 1)
tg A1Sin1 A2Sin2 A1Cos1 A2Cos2
2、利用旋转矢量合成
A
x ACos(t )
A1
A2
A A12 A22 2 A1A2Cos(2 1)
x
tg A1Sin1 A2Sin2 A1Cos1 A2Cos2
a
v
0
t
问题： 是描述t=0时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物 体的状态（t=0 时的位置及速度：x0 v0 )，如何求解相对应的 ？
（1）、已知 t = 0 振动物体的状态x(0), v(0)求
x(0) Acos v(0) A sin
可得：
A
x2
(0)
v2 (0) 2
tg v(0) x(0)
X
如果振动物体可表示为一质点，而与之相连接的所有弹簧等效 为一轻弹簧，忽略所有摩擦，可用弹簧振子描述简谐振动。
二、谐振动的特点：
1、动力学特征：
机械振动和机械波复习课堂PPT
15
2．共振：做受迫 振动的物体，它的 固有频率与驱动力 的频率越接近，其 振幅就越大，当二 者相等时，振幅达 到最大，这就是共 振现象．共振曲线 如图1－4所示．
16
三、机械波 1．定义：机械振动在介质中的 传播形成机械波． 2．产生条件：一是要有做机械 振动的物体作为波源，二是要有 能够传播机械振动的介质． 思考：机械波与电磁波的不同点？
50
例3图1－15甲为一列简谐横波在 t＝0.10 s 时刻的波形图，P是平 衡位置为x＝1 m处的质点，Q是 平衡位置为x＝4 m处的质点，图 乙为质点Q的振动图象，则
51
52
A．t＝0.15 s时，质点Q的加速 度达到正向最大 B．t＝0.15 s时，质点P的运动 方向沿y轴负方向 C．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该 波沿x轴正方向传播了6 m D．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质 点P通过的路程为30 cm
37
(3)振子经过一个周期位移为零， 路程为5×4 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前 100 s振子位移x＝0，振子路程s ＝20×25 cm＝500 cm＝5 m.
38
【规律总结】 (1)简谐运动的图象并非振动质点的 运动轨迹． (2)位移总是背离平衡位置，回复力 和加速度总是指向平衡位置；向最 大位移处运动时,位移变大，回复力、 加速度和势能均变大，而速度和动 能均减小;向平衡位置运动与此相反.
线长。
13
（3）小球在光滑圆弧上的往复 滚动，和单摆完全等同。只要摆 角足够小，这个振动就是简谐运 动。这时周期公式中的l应该是圆 弧半径R
14
二、受迫振动和共振 1．受迫振动：物体在周期性驱 动力 作用下的振动．做受迫振动 的物体，它的周期或频率等于驱 动力 的周期或频率，而与物体 的固有周期或频率无关．
2．共振：做受迫 振动的物体，它的 固有频率与驱动力 的频率越接近，其 振幅就越大，当二 者相等时，振幅达 到最大，这就是共 振现象．共振曲线 如图1－4所示．
16
三、机械波 1．定义：机械振动在介质中的 传播形成机械波． 2．产生条件：一是要有做机械 振动的物体作为波源，二是要有 能够传播机械振动的介质． 思考：机械波与电磁波的不同点？
50
例3图1－15甲为一列简谐横波在 t＝0.10 s 时刻的波形图，P是平 衡位置为x＝1 m处的质点，Q是 平衡位置为x＝4 m处的质点，图 乙为质点Q的振动图象，则
51
52
A．t＝0.15 s时，质点Q的加速 度达到正向最大 B．t＝0.15 s时，质点P的运动 方向沿y轴负方向 C．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该 波沿x轴正方向传播了6 m D．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质 点P通过的路程为30 cm
37
(3)振子经过一个周期位移为零， 路程为5×4 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前 100 s振子位移x＝0，振子路程s ＝20×25 cm＝500 cm＝5 m.
38
【规律总结】 (1)简谐运动的图象并非振动质点的 运动轨迹． (2)位移总是背离平衡位置，回复力 和加速度总是指向平衡位置；向最 大位移处运动时,位移变大，回复力、 加速度和势能均变大，而速度和动 能均减小;向平衡位置运动与此相反.
线长。
13
（3）小球在光滑圆弧上的往复 滚动，和单摆完全等同。只要摆 角足够小，这个振动就是简谐运 动。这时周期公式中的l应该是圆 弧半径R
14
二、受迫振动和共振 1．受迫振动：物体在周期性驱 动力 作用下的振动．做受迫振动 的物体，它的周期或频率等于驱 动力 的周期或频率，而与物体 的固有周期或频率无关．
大学物理机械振动(课堂PPT)
k , k串k,串, k并k,并
m
.
12
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t :相 位 ， 或 位 相(r， ad)或相相 位决定谐振子某
: t 0时的相,称 位为初. 相一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间.
t t2
t1
(t2) (t1)
4 上一页 下一页
要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从 是否满足下面三个方程之一为依据。
Fkx
d2x dt2
2x
0
动力学特点
x A c o t s
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量
是简谐振动量。
.
5
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A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位 大置 位的 移最 的绝对 m）值
T
对于弹 :簧 k振 , T 子 2 m, 1 k
m
k 2 m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情F况 m，a或M 由J,写出动力学
（2）将动力学方dd2程 t2x变 2x为 0的形式，
如果能化为这种 也形 就式 证， 明了振动 振为 动
（3）由动力学方程 , 求写出出周T或 期频率 。
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动 x方 0.1c程 o1st0 为 ： m
.
2 19
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振 A 幅 矢 A 的 量长
角频率 矢量逆时针匀角 速速 度 旋转的
周 期 T矢 量 旋 转 一 圈 所 T需 2 时 间
频率 矢量单位时间内圈旋数转的P
大学物理课件--机械振动与机械波
S2
P点合振动：
A
物 理 学
y ACos ( t ) A 1 A 2 2A 1 A 2 Cos
2 2
( 2 1 ) 2
r2 r1
物理教研室 陈亮
2
r
( 2 1 0)
波程差： r r2 r1
T
2
1
相位（位相）： t
ω由谐振系统性质决定
A , 由初始条件决定
初相位（初位相）：
物 理 学
物理教研室 陈亮
例1：p182例10-1 解：（1）见书 （2）t 0 时 : y 0
A y0
2
AC os
v 0 A Sin v0
2
2
本章小结
简谐振动：振动方程、三要素、合成 简谐波：
波动方程、三要素、能量
波的干涉：相干条件、加强、减弱条件
物 理 学
物理教研室 陈亮
作业
10-3、10-8、10-11、10-13
物 理 学
物理教研室 陈亮
t0
0 A cos
Y
物 理 学
物理教研室 陈亮
物 理 学
2
A Sin ( t )
物 理 学
加速度 a
dt a m C os ( t )
A C os ( t )
物理教研室 陈亮
简谐振动三要素：
振幅： A 角（圆）频率：
k m
T 周期： 2
频率：
1 T
2.t一定：t时刻的波形。
例3: p191 例10-4 波的能量 波强：单位时间通过单位面积的波
大学物理第4章机械振动 机械波课件讲义
则系统受到的合力为
F mg FS mgi k(x l0 )i
Fx mg k(x l0 ) max
mgBiblioteka k(xl0
)
m
d2x dt 2
k
x
m
d2 dt
x
2
2 k
m
d2x dt 2
2
x
0
动力学方程
l
0A
x
F
A
x
mg
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
§4.1 简谐振动的动力学特征
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动:一个做往复运动的物体，如果其偏离平
衡位置的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或正弦)
Fx F ,x , ax a
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系
x A cos( t 0 ) A cos
A
sin(
t
0 )
大学物理(机械波篇)ppt课件
大学物理(机械波篇)ppt课件
2024/1/30
1
目录
• 机械波基本概念与性质 • 线性简谐振动在介质中传播 • 非线性振动和孤立子简介
2024/1/30
2
目录
• 多普勒效应与声波干涉现象 • 光的衍射、干涉和偏振现象 • 总结回顾与拓展延伸
2024/1/30
3
01
机械波基本概念与性质
2024/1/30
2024/1/30
13
03
非线性振动和孤立子简介
2024/1/30
14
非线性振动概念及特点
非线性振动定义
指振动系振幅依赖性
振动频率和波形随振幅变化而变化。
2024/1/30
跳跃现象
系统参数连续变化时，振动状态可能发 生突变。
分岔与混沌
在特定条件下，非线性振动系统可能出 现多种不同的稳定状态，甚至产生混沌 现象。
影响因素分析
声速受介质温度、压力和成分等因素影响。
2024/1/30
12
驻波形成条件与特点
1 2
驻波定义
两列波在同一直线上沿相反方向传播，叠加后形 成的波形不随时间推移而向前传播的波。
驻波形成条件
两列波的频率相同、振幅相等、相位差恒定。
驻波特点
3
波形固定不动，节点和腹点位置固定；相邻节点 间距离等于半波长；能量在节点和腹点之间来回 传递。
15
孤立子定义和性质
孤立子定义
一种在非线性介质中传播的特殊波 动现象，具有粒子性和波动性双重
特性。
形状保持不变
在传播过程中，孤立子的形状和速 度保持恒定。
2024/1/30
相互作用不改变波形
多个孤立子相互作用后，各自保持 原有形状和速度继续传播。
2024/1/30
1
目录
• 机械波基本概念与性质 • 线性简谐振动在介质中传播 • 非线性振动和孤立子简介
2024/1/30
2
目录
• 多普勒效应与声波干涉现象 • 光的衍射、干涉和偏振现象 • 总结回顾与拓展延伸
2024/1/30
3
01
机械波基本概念与性质
2024/1/30
2024/1/30
13
03
非线性振动和孤立子简介
2024/1/30
14
非线性振动概念及特点
非线性振动定义
指振动系振幅依赖性
振动频率和波形随振幅变化而变化。
2024/1/30
跳跃现象
系统参数连续变化时，振动状态可能发 生突变。
分岔与混沌
在特定条件下，非线性振动系统可能出 现多种不同的稳定状态，甚至产生混沌 现象。
影响因素分析
声速受介质温度、压力和成分等因素影响。
2024/1/30
12
驻波形成条件与特点
1 2
驻波定义
两列波在同一直线上沿相反方向传播，叠加后形 成的波形不随时间推移而向前传播的波。
驻波形成条件
两列波的频率相同、振幅相等、相位差恒定。
驻波特点
3
波形固定不动，节点和腹点位置固定；相邻节点 间距离等于半波长；能量在节点和腹点之间来回 传递。
15
孤立子定义和性质
孤立子定义
一种在非线性介质中传播的特殊波 动现象，具有粒子性和波动性双重
特性。
形状保持不变
在传播过程中，孤立子的形状和速 度保持恒定。
2024/1/30
相互作用不改变波形
多个孤立子相互作用后，各自保持 原有形状和速度继续传播。
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12
简谐运动的描述和特征
1）物体受线性回复力作用 Fkx平衡位置 x0
2）简谐运动的动力学描述 d2x 2x 0
dt2
3）简谐运动的运动学描述 xA co ts ()
v A si n t ()
4）加速度与位移成正比而方向相反 a 2x
弹簧振子 k m 单摆 g l
复摆 mgl I
13
三 描述简谐振动的物理量(三要素)
F浮
证明：以水面为原点建立坐标OX
x
d2x g x 0
b
dt2 b
mg X
d2x dt2
2
x
0
21
解决简谐运动方程问题的一般步骤: 1) 找到振动平衡位置,此时合力为零,选平衡位 置为原点,建立坐标系 2) 设振子离开原点x处,分析受力情况. 3) 应用牛顿定律. 4) 根据初始条件确定A和.
vdxAsin t()
dt
d2x 2x 0
dt2
ad2xA2cost ()
dt2
9
2 单摆 msginmta
mlmdl2m••l
d2t
••
g
s
in
0
l
5时 ,sin令
2
g
l
••
20
mcots ()
转动
A
正向
l
Fm
o
mg
10
3 复摆(物理摆)
( 5)
Mmg l mgl I d2
dt2
令 2 mgl
5) 写出振动表达式.
另外一个方法: 能量法
22
§4-2 谐振动的能量
以弹簧振子为例
Fkx xAco st() vAsin(t)
E k1 2m v21 2m 2A 2si2(n t)
Ep1 2k2 x1 2k2 A co 2( st) 2 k/m
EEkEp1 2kA 2A（2 振幅的动力学意义）
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒 23
月相: 新月, 娥眉月, 上弦月, 满月, 下弦月, 残月等
娥眉月
上弦月
满月
下弦月16
3 相位 (位相,周相) t xA co ts ()
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0~2π内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ(n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π或][0 2 π) ]
17
四 常数 A和 的确定
xAcots()
v A si n t ()
初始条件 t0xx0 vv0
A
x0 Acos
x02
v02
2
v0Asin
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质
决定，振幅和初相由初始条件决定.
第二篇 机械振动和机械波
1
2
教学基本要求
一 掌握描述简谐运动的各个物理量 （特别是相位）的物理意义及各量间的关系.
二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法， 并会用于简谐运动规律的讨论和分析.
三 掌握简谐运动的基本特征，能建立 一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始 条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其 物理意义.
3
四 理解同方向、同频率简谐运动的合 成规律，了解拍的特点.
五 了解阻尼振动、受迫振动和共振的发 生条件及规律.
4
本章重点
相位概念的理解及掌握简谐振动的基本规律。 同方向同频率简谐振动的合成。
本章难点
相位概念的理解。
5
引言
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为 振动.
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动. 其运动形式有直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以
x,v
简谐运动能量图
xt 0
o
t xA co ts
T vt v A si n t
能量
o T T 3T T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1kA2c 2
o2st
t Ek
1m2A2sin2t
2
24
推导
能量守恒
简谐振动方程
E1mv21kx2常量 22
d(1mv21kx2)0 dt 2 2 mvdvkxdx0
及晶体中原子的振动等.
周期和非周期振动
6
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐振动
合成 复杂振动
分解
谐振子 作简谐振动的物体.
7
§4-1 简谐振动
一 简谐振动的特征方程 1 弹簧振子
l0 k
A
平衡位置
m x0 F0
x
oA
8
Fm
ox
x
Fk xmaxA co ts ()
令 2 k
m
a2x
积分常数，根据初始条件确定
18
讨论
已知 t0,x0,v0求
0Acos
π
2
v 0 Asi n0
sin 0取 π A
x
2
xAcost(π)
o
A
2
v
x
o
Tt
T 2
19
例4-1 一轻弹簧,下挂质量为10g 的重物时,伸 长4.9cm.用它和质量80g小球构成弹簧振子. 将小球由平衡位置向下拉1.0cm 后,给向上初 速度v=5.0cm/s.求振动周期及振动表达式.
I
d2 2 0
dt2 动力学判据
mcots ()
运动学判据
o 转动正向
l
*C
P
（ C点为质心）
11
二 谐振动的速度和加速度
xAcots()
x xt图
A
o
t
T
取 0
A
v A si n t () Av vt图
o
T
t
Acost(π) A
2
a at图
a A 2co t s() A2
o
Tt
A 2cots(π)A2
dt dt
d2x k x 0 dt2 m
25
例4-3 质量为0.10kg 的物体，以振幅1.0102m
作简谐运动，其最大加速度为 4.0ms2，求：
解: 取向下为x轴正向.
5s1
振动方程为 x=0.0141cos(5t+ π/4) (SI)
20
例4-2 如图所示，一边长为L的立方体木块浮于静
水中，浸入水中部分的高度为b。今用手将木块压
下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的黏性
阻力，并且水面开阔，不因木块运动而使水面高度
变化，证明木块作谐振动。
关系.
o
v
T
v T
t
A
2
xAcots ()
v A si n t ()
3 相位 (位相,周相) t
1） t (x ,v ) 存在一一对应的关系; 15
3 相位 (位相,周相) t xA co ts ()
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
xAcots()
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
A co (ts [T)]
周期 T 2π
注意 弹簧振子周期
频率 1
T 2π m k
T 2π
圆频率 2π 2π
T
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
14
简谐运动中，x和 v x v xt曲线
之间不存在一一对应的 A