2021年高一下学期期中测试数学试题含答案
江苏省镇江市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案
江苏省镇江市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，且，那么实数的值是（ ）A.B. C. -2 D. 22. 若，则实数（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知，，则的值为（ ）A. -2B. C. 2D.4. 已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（）A. 2B.C. D.6. 在中，点在线段上，且，若，则（）()2,1a=- ()1,b m =a b ⊥ m 1212-231aii i+=++a =tan 3α=-tan 1β=()tan αβ-12-12a b 2a = 1b = 2a b +=a b 30︒60︒120︒150︒ABC △A B C a b c 30B =︒a =3c =sin sin a bA B+=+12ABC △P AB 4BA BP = 22cos sin CP CA CB θθ=⋅+⋅ cos2θ=A. B.C. D.7. 今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年.“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即则（ ）A.B.C.D.8.▲表示一个整数，该整数使得等式成立，这个整数▲为（）A. -1B. 1C. 2D. 3二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A. 在复平面内，对应的点在第四象限 B. C. 复数和满足方程 D. 12-1214-14C D AB AC BD AB AB ==cos DEC ∠=4cos 40+=︒▲3z i =+z z =z z 26100x x -+=2106z i=+10. 已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，则 D. 若，则11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 如果为锐角，为虚数单位，，，则D. 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，为边的中点，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若的周长为C.D. 若是中点，三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13. 已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则实数__________.14. 已知复数对应的点在复平面第三象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下（为虚a b c//a b a b a b ⋅=⋅ //a b //b c //a ca cbc ⋅=⋅ a b= a b a b +=-a b⊥ ABC △A B C a b c A B >a b>AB AC BA BC bc ac⋅⋅<A i 1cos sin z A iB =+2cos sin z B i A =+12z z <sin sin a b A B->-ABC △A B C a b c a =1sin sin 4B C =1tan tan 3B C =D AC 60A =︒ABC △4+BD M BD 34AM CM ⋅=a b 35OA a b =+ 47OB a b =+ OC a mb =+A B C m =z z i数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数__________.15. 已知正六边形的边长为1，当点满足__________时，.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）16. 窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为的小正方形拼接而成，则__________；的值为__________.四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.4z z +=-z z -=7z z ⋅=2zz=z =ABCDEF M 32BF BM ⋅= ABCD 50cm 10cm EFGH tan HAB ∠=AG DF ⋅αβ4sin 5α=()tan 2αβ+=-tan β()cos αβ-18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①为虚数单位），②的面积为，③，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，__________.（1）求；（2）在（1）的结论下，若点为线段的一点且，求长.19. 若是边长为2的正三角形.请在内画一条线段，端点，都在的边上，并将正分成面积相等的两部分.（1）请给出线段的一种画法，并证明；（2）如果此时线段是所有画法中最短的，求此时该线段的长度；（3）请提出一个类似（2）的问题（不需要解决你提出的问题）.20. 如图，正三角形的边长为6，，分别是边，上的点，且，，其中，为的中点.b ci +=i ABC △6AB AC ⋅=-ABC △A B C a b c 2b c -=1cos 4A =-a D BC 3BD DC =AD ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △EF EF ABC E F AB AC AE xAB =AF y AC =(),0,1x y ∈N BC（1）若，求；（2）设为线段的中点，若，求的最小值.21. 已知，，函数.（1）求函数的奇偶性；（2）是否存在常数，使得对任意实数，恒成立；如果存在，求出所有这样的；如果不存在，请说明理由.22. 如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，设.13y =BF AN ⋅ M EF 1x y +=MN0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x R ∈()()222()cos cos sin f x x x x αα=++-+()f x αx ()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭αO A B C AB AC BC ==AOB θ∠=（1）当，求四边形的面积；（2）当为何值时，线段最长并求出此时的最大值.参考答案一、单项选择题1-5：DCCBC 6-8：AAB二、多项选择题9. ABC 10. BD 11. ABC 12. BCD三、填空题13. 114.15. 为直线上任一点均可16.；0四、解答题：17. 解：（1）因为，为锐角，则，，，则，，而.（2）由，得：，则.3πθ=OACB θOC 2-M AD139αβcos 0α>sin 0β>cos 0β>3cos 5α==sin 4tan cos 3ααα==[]tan()tan tan tan ()21tan()tan αβαβαβααβα+-=+-==++sin tan 2cos βββ==22sin cos 1ββ+=sin β=cos β=34cos()cos cos sin sin 55αβαβαβ-=+=+=18. 解：（1）方案一：选择条件①由，解得，则，则.方案二：选择条件②∵，∴，又∵，∴，由，解得，∴，则.方案三：选择条件③∵，；∴，由，解得，∴，则.（2）在中，由余弦定理得：，因为，，则.在中，由余弦定理得：，22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =1cos 4A =-sin A =1sin 2ABC S bc A ===△24bc =242bc b c =⎧⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =cos 6b A AB AC c =-⋅= 1cos 4A =-24bc =242bc b c =⎧⎨-=⎩64b c =⎧⎨=⎩22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭8a =ABC △22211cos 216a cb B ac +-==8a =3BD DC =6BD =ABD △2222cos 19AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=则.19. 解：（1）当与重合，是中点时，线段将正分成面积相等的两部分.证明：易证，所以和的面积相等，此时线段将正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（2）线段的两端点都在的边上，不妨设点在线段上，点在线段上.设，，∴，由（1）知，由得.在中，由余弦定理得：，（当且仅当“”时取等号），故，综上，当点在线段上，点在线段上，且时，线段将正分成面积相等的两部分.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）（3）如：①在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成面积相等的两部分，求此时三角形的周长的最小值；在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成的一个三角形和一个四边形，若它们的周长相等，求此时三角形的面积的最大值.（此题答案不唯一，其它合理表述和解法类似给分）20. 解：【法一（基底法）】AD =E A F BC EF ABC △ABF ACF ≅△△ABF △ACF △EF ABC △EF ABC △E AB F AC AE m =AF n =1sin 602AEF S mn =︒=△ABC S =△12AEF ABC S S =△△2mn =AEF △222222cos 60EF AE AF AE AF m n mn mn =+-⋅︒=+-≥m n ==min EF =E AB F AC AE AF AB AC ==EF ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △ABC △EF E F ABC △ABC △（1）当时，，，.（2），，则，则.当时，的最小值为【法二（坐标法）】以所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，，（1）由，得，则，，.（2）∵，，13n =13BF AF AB AC AB =-=-1()2AN AB AC =+111223BF AN AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22111236AB AB AC AC=--⋅+18=-11()()22AM AE AF x AB y AC =+=+ 1()2AN AB AC =+ 1112222x y x x MN AN AM AB AC AB AC ---=-=+=+MN AN AM =-= =12x y ==MN BC x y ()0,0N ()3,0B -(A ()3,0C 13AF AC =(1,F (0,AN =- (4,BF =18AN BF ⋅=- AE xAB = AF y AC =∴，，为线段的中点，则，则当时，的最小值为21. 解：（法一）（1）定义域是，，∴函数是偶函数.（2）∵，∴，移项得：，展开得：，对于任意实数上式恒成立，只有.∵，∴.（法二）.（1）定义域是，(3)(3)E x x --=-(3)(3)F y y -=M EF 3(2M x y ⎛-+ ⎝MN == 12x y ==MN x R ∈222()cos ()cos ()sin ()f x x x x αα-=-++--+-222cos ()cos ()sin ()x x x f x αα=-+++=()f x ()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭222222cos ()cos ()sin sin ()sin ()cos x x x x x x αααα++-+=-+++cos(22)cos(22)cos 20x x x αα-++-=cos 2(2cos 21)0x α-=x 1cos 22α=02απ<<6πα=1cos(22)1cos(22)1cos 2()222x x xf x αα+++--=++3cos 2(2cos 21)2x α+-=x R ∈∵，∴该函数在定义域内是偶函数.（2）由恒成立得：，化简可得：对于任意实数上式恒成立，则，∵，∴.22. 解：（1）在中，由余弦定理得：，于是四边形的面积为（2）当时在中，由余弦定理得，∴在中，由正弦定理得，即3cos(2)(2cos 21)3cos 2(2cos 21)()()22x x f x f x αα+--+--===()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3cos 2(2cos 21)3cos 2(2cos 21)222x x παα⎛⎫+-- ⎪+-⎝⎭=3cos 2(2cos 21)2x α--=cos 2(2cos 21)0x α-=x 1cos 22α=02απ<<6πα=OAB △2222cos 14212cos 33AB OA OB OA OB πθ=+-⋅=+-⨯⨯=OACB 21sin 2AOB ABC S S S OA OB AB θ=+=⋅+△△1122=⨯⨯=0θπ<<OAB △2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-AB =AC =OAB △sin sin AB OBOAB θ=∠sin sin OB OAB AB θ∠==又，所以为锐角，∴，∴，在中，由余弦定理得：.则当时，的最大值为3.当时，由余弦定理得：，此时，，当时，，此时，，综上，当时，的最大值为3.OB OA <OAB ∠cos OAB ∠==cos cos cos cos sin sin 333OAC OAB OAB OAB πππ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭=OAC △2222cos OC OA AC OA CA OAC =+-⋅∠454cos 22θ=+--⨯52cos 54sin 6πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭23πθ=OC 0θ=22222cos 11211cos 33OC OB BC OB BC πθ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=3OC =<θπ=1233CO CA CB =+CO == 3OC =<23πθ=OC。
2021年高一(下)期中数学试卷含解析
2021年高一（下）期中数学试卷含解析一、选择题1．（5分）（xx春•济南校级期中）角﹣1120°是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：把角写成k×360°+α，0°≤α＜360°，k∈z 的形式，根据α的终边位置，做出判断．解答：解：∵﹣1120°=﹣4×360°+320°，故﹣1120°与320°终边相同，故角﹣1120°在第四象限．故选：D．点评：本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角、象限界角的定义，属于基础题．2．（5分）（xx春•济南校级期中）要从已编号（1到50）的50名学生中随机抽取5名学生参加问卷调查，用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．解答：解：样本间隔为50÷5=10，则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：B点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．3．（5分）（xx春•衡水校级期中）已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由tanA的值及A为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值即可．解答：解：∵在△ABC中，tanA=﹣，∴cosA=﹣=﹣．故选：C．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）（xx•长春模拟）如图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（）A．161cm B．162cm C．163cm D．164cm考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图可知10位学生身高数据，将它们一一从小到大排列，即可求出中位数．解答：解：由茎叶图可知10位学生身高数据：155，155，157，158，161，163，163，165，171，172．中间两个数的平均数是162．∴这10位同学身高的中位数是162cm．故选B．点评：本题考查读茎叶图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．5．（5分）（xx•山东）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数的平均值和方差分别为（）A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8考点：众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到；方差就是将数据代入方差公式s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x n﹣）2]即可求得．解答：解：由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为90+（3+4+3）=92；方差为（22×2+12×2+22）=2.8，故选B．点评：本题考查平均数与方差的求法，属基础题．6．（5分）（xx秋•常德校级期末）已知角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，则b的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D． 5考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义建立方程关系即可．解答：解：∵角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα=﹣，∴cosα==﹣，则b＞0，平方得，即b2=9，解得b=3或b=﹣3（舍），故选：A点评：本题主要考查三角函数的定义的应用，注意求出的b为正值．7．（5分）（xx春•济南校级期中）tan10°tan20°+=（）A．﹣1 B．C． 1 D．﹣考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：把题中的tan10°+tan20°换成tan30°（1﹣tan10°tan20°），化简可得所给式子的值．解答：解：tan10°tan20°+=tan10°tan20°+•tan30°（1﹣tan10°tan20°）=tan10°tan20°+1﹣tan10°tan20°=1，故选：C．点评：本题主要考查两家和的正切公式的应用，属于基础题．8．（5分）（xx春•济南校级期中）某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．则不低于60分的人数是（）A．800 B．900 C．950 D．990考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出不人数．解答：解：由频率分布直方图得，低于60分的频率=0.005×20=0.1，低于60分人数=0.1×1000=100．则不低于60分的人数是：900．故选：B．点评：本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率=纵坐标×组据；频数的公式：频数=频率×样本容量．9．（5分）（xx•陆丰市校级模拟）从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85）g范围内的概率是（）A．0.62 B．0.38 C．0.7 D．0.68考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：计算题．分析：本题是一个频率分布问题，根据所给的，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，写出质量在[4.8，4.85）g范围内的概率，用1去减已知的概率，得到结果．解答：解：设一个羽毛球的质量为ξg，则根据概率之和是1可以得到P（ξ＜4.8）+P（4.8≤ξ＜4.85）+P（ξ≥4.85）=1．∴P（4.8≤ξ＜4.85）=1﹣0.3﹣0.32=0.38．故选B．点评：本题是一个频率分布问题，主要应用在一个分布列中，所有的概率之和是1，这是经常出现的一个统计问题，常以选择和填空形式出现．10．（5分）（xx春•济南校级期中）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式和两角和的余弦函数公式化简，根据特殊角的三角函数值即可得解．解答：解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了诱导公式和两角和的余弦函数公式以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．11．（5分）（xx春•济南校级期中）如图所示的程序框图，若输出结果是990，则判断框内应填入的条件是（）A．i≥10 B．i＜10 C．i≥9 D．i＜9考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=11，S=1满足条件，S=11，i=10满足条件，S=110，i=9满足条件，S=990，i=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为990．故判断框内应填入的条件是i≥9．故选：C．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序运行的结果判断退出循环的条件是解决本题的关键，属于基础题．12．（5分）（xx•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．分析：根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．13．（5分）（xx•武汉模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．14．（5分）（xx春•济南校级期中）设，则sinβ的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据α、β的取值范围，利用同角三角函数的基本关系算出且cosα=，再进行配方sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的正弦公式加以计算，可得答案．解答：解：∵，∴α﹣β∈（﹣，0），又∵，∴．根据α∈（0，）且sinα=，可得cosα==．因此，sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×﹣×（﹣）=．故选：C点评：本题给出角α、β满足的条件，求sinβ的值．着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式等知识，属于中档题．15．（5分）（xx•江西）已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则（）A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=1 D．a﹣b=1考点：二倍角的余弦；对数的运算性质；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题；压轴题．分析：由题意，可先将函数f（x）=sin2（x+）化为f（x）=，再解出a=f（lg5），b=f（lg）两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案解答：解：f（x）=sin2（x+）==又a=f（lg5），b=f（lg）=f（﹣lg5），∴a+b=+=1，a﹣b=﹣=sin2lg5故C选项正确故选C点评：本题考查二倍角的余弦及对数的运算性质，解题的关键是对函数的解析式进行化简，数学形式的化简对解题很重要二、填空题16．（5分）（xx•封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是2．考点：扇形面积公式．专题：计算题．分析：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧度的定义求α即可．解答：解：S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．故答案为：2．点评：本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．17．（5分）（xx春•济南校级期中）已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为36．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：设样本容量为n，则，解得n=36，故答案为：36．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．18．（5分）（2011•江西）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．解答：解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=故答案为：点评：本题考查几何概型问题，属基础知识的考查．19．（5分）（xx秋•正定县校级期末）已知tanθ=2，则=﹣2．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，把tanθ的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tanθ=2，∴原式====﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．20．（5分）（xx春•济南校级期中）已知sin（α﹣）=，则cos（+α）=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式可得cos（+α）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣），结合已知可得．解答：解：∵sin（α﹣）=，∴cos（+α）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故答案为：．点评：本题考查诱导公式，涉及整体角的思想，属基础题．三、解答题21．（12分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=cos2﹣sincos﹣，若f（α）=，求sin2α的值．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用倍角公式化简已知可得f（x）=（cosx﹣sinx），可得cosα﹣sinα=，两边平方利用倍角公式即可得解．解答：解：∵f（x）=cos2﹣sincos﹣==（cosx﹣sinx），∴f（α）=（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴解得：sin2α=．点评：本题主要考查了二倍角的正弦公式，余弦函数公式的应用，属于基础题．22．（12分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=Acos（+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）设α，β∈[0，]，f（4α+π）=﹣，f（4β﹣π）=，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）直接利用条件求得A的值．（2）由条件根据f（4α+π）=﹣，求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值；由f（4β﹣π）=，求得cosβ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值；从而求得cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ的值．解答：解：（1）对于函数f（x）=Acos（+），x∈R，由f（）=Acos=A=，可得A=2．（2）由于α，β∈[0，]，f（4α+π）=2cos（+）=2cos（α+）=﹣2sinα=﹣，∴sinα=，∴cosα==．又f（4β﹣π）=2cos（+）=2cosβ=，∴cosβ=，∴sinβ==．∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．23．（13分）（xx春•济南校级期中）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，A1，A2，…A16（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率解答：解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6；（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==．点评：本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．24．（13分）（xx春•济南校级期中）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域；（2）若角α是第四象限角，且cosα=，求f（α）．考点：运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：（1）由函数的解析式可得sin（x+）≠0，可得x+≠kπ，k∈z，由此求得x的范围，可得函数的定义域．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2α和cos2α的值，再利用两角差的余弦公式求得f（α）的值．解答：解：（1）对于函数f（x）=，显然，sin（x+）≠0，∴x+≠kπ，k∈z，求得x≠kπ﹣，k∈z，故函数的定义域为[x|x≠kπ﹣，k∈z }．（2）∵角α是第四象限角，且cosα=，∴sinα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=﹣，则f（α）=====﹣．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，属于基础题．F 34677 8775 蝵22260 56F4 围26109 65FD 旽mHRc^23430 5B86 宆39589 9AA5 骥30212 7604 瘄。
2021学年高一下学期期中数学试卷含答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．ac2＞bc2C．D．a+c＞b+c2．（4分）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝（）A．sin（α+2β）B．sin αC．cos（α+2β）D．cosα3．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（）A．36B．72C．91D．1824．（4分）＝（）A．B．C．1﹣D．3﹣5．（4分）已知函数，当x＝a时，y取得最小值b，则a+b＝（）A．﹣3B．2C．3D．86．（4分）在△ABC中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形7．（4分）△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC，则sinB的值为（）A．B．C．D．8．（4分）若正数x，y满足4x2+9y2+3xy＝30，则xy的最大值是（）A．B．C．2D．9．（4分）下列四个等式：①tan25°+tan35°+；②＝1；③cos2；④＝4．其中正确的等式个数是（）A．1B．2C．3D．410．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an∈Z，且an+1﹣an﹣1＜3n+，an+2﹣an＞3n+1﹣，则a2021＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．（6分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则公比q＝；a3＝．12．（6分）若sinθ＝﹣，tanθ＞0，则cosθ＝，tan2θ＝．13．（6分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a2＝9，且a3是a1和a4的等比中项，则d＝，数列{an}的前n项和Sn的最大值为．14．（6分）已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则：（1）不等式f（x）≥5的解集为；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，则m的取值范围为15．（4分）若，则的值为．16．（4分）数列{an}中，当n为奇数时，an＝5n+1，当n为偶数时，an＝，则这个数列的前2n项的和S2n＝17．（4分）在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．三、解答题：本大题公5题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6．（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．19．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．20．（15分）已知递增等比数列{an}，a3a4＝32，a1+a6＝33，另一数列{bn}其前n项和Sn＝n2+n．（1）求{an}、{bn}通项公式；（2）设{}其前n项和为Tn，求Tn．21．（15分）在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且bcosA＝sinA（acosC+ccosA）（1）求角A的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求的最小值．22．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a（a≠3），an+1＝Sn+3n，n∈N*．（Ⅰ）设bn＝Sn﹣3n，求证：数列{bn}是等比数列，并写出数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1＞an对n∈N*任意都成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．ac2＞bc2C．D．a+c＞b+c【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．【解答】解：对于选项A：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a2＜b2，故选项A错误．对于选项B：当c＝0时，ac2＝bc2，故选项B错误．对于选项C：当a＝0或b＝0时，无意义，故选项C错误．对于选项D：a＞b，所以a+c＞b+c，故选项D正确．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．2．（4分）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝（）A．sin（α+2β）B．sin αC．cos（α+2β）D．cosα【分析】利用两角差的余弦函数公式cosAcosB+sinAcosB＝cos （A﹣B），把α+β即为角度A，β即为角度B，变形后可得化简结果．【解答】解：cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝cos[（α+β）﹣β]＝cosα．故选：D．【点评】此题考查了两角和与差得余弦函数公式，即cosαcosβ+sin αsinβ＝cos（α﹣β）及cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cos（α+β）．熟练掌握公式的特点是解本题的关键．3．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（）A．36B．72C．91D．182【分析】利用等差数列通项公式推导出a5+a7+a9＝3a7＝21，解得a7＝7，再由S13＝（a1+a13）＝13a7，能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a7+a9＝21，∴a5+a7+a9＝3a7＝21，解得a7＝7，∴S13＝（a1+a13）＝13a7＝91．故选：C．【点评】本题考查数列的前13项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（4分）＝（）A．B．C．1﹣D．3﹣【分析】根据分式的性质，有＝（1﹣），＝（﹣），…＝（﹣）成立，则可得原式＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），化简可得答案．【解答】解：原式＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（1﹣）＝；故选：A．【点评】本题考查数列的求和，常见方法有错位相减法、分组求和法、裂项相消法等，注意结合数列的特点选择对应的方法．5．（4分）已知函数，当x＝a时，y取得最小值b，则a+b＝（）A．﹣3B．2C．3D．8【分析】将，转化为y＝（x+1+）﹣5，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴＝（x+1）+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号．∴a＝2，b＝1，∴a+b＝3．故选：C．【点评】本题考查基本不等式，凑“积为定值”是关键，属于中档题．6．（4分）在△ABC中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】利用二倍角公式代入cos2＝求得cosB＝，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2＝c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．【解答】解：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，∴＝，∴a2+c2﹣b2＝2a2，即a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用．7．（4分）△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC，则sinB的值为（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理化简已知可得：b2﹣a2＝，又c＝2a，可解得a2+c2﹣b2＝3a2，利用余弦定理可得cosB，结合范围0＜B ＜π，即可解得sinB．【解答】解：∵bsinB﹣asinA＝asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2＝，又∵c＝2a，∴a2+c2﹣b2＝4a2﹣＝3a2，∴利用余弦定理可得：cosB＝＝＝，∴由于0＜B＜π，解得：sinB＝＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．8．（4分）若正数x，y满足4x2+9y2+3xy＝30，则xy的最大值是（）A．B．C．2D．【分析】在题目给出的等式中既含有x2，y2项，又含有xy项，求xy的最大值，可运用基本不等式先把等式中的x2，y2项替换掉，然后求解关于xy的一元二次不等式即可．【解答】解：由4x2+9y2+3xy＝30，得2•2x•3y+3xy≤4x2+9y2+3xy＝30，即15xy≤30，xy≤2，此时当且仅当，即x＝，时取得最大值．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把已知的等式运用基本不等式转化为不等式求解，是基础题．9．（4分）下列四个等式：①tan25°+tan35°+；②＝1；③cos2；④＝4．其中正确的等式个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由tan60°＝tan（25°+35°）展开两角和的正切判断①；由二倍角的正切判断②；由二倍角的余弦判断③；通分后利用两角和的余弦及诱导公式化简判断④．【解答】解：∵tan60°＝tan（25°+35°）＝，∴tan25°+tan35°+，故①正确；＝，故②错误；，故③错误；＝＝＝，故④正确．∴正确命题的个数为2．故选：B．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切与两角和的余弦，是基础题．10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an∈Z，且an+1﹣an﹣1＜3n+，an+2﹣an＞3n+1﹣，则a2021＝（）A．B．C．D．【分析】将an+1﹣an﹣1＜3n+其中的n换为n+1，结合an∈Z，可得an+2﹣an＝3n+1，应用累加法和等比数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：由an+1﹣an﹣1＜3n+，可得an+2﹣an＜3n+1+，又an+2﹣an＞3n+1﹣，a1＝1，an∈Z，可得an+2﹣an＝3n+1，则a3﹣a1＝32，a5﹣a3＝34，…，a2021﹣a12019＝32020，相加可得a2021﹣a1＝32+34+…+32020＝，则a2021＝，故选：A．【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查等比数列的求和公式和累加法的应用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．（6分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则公比q＝ 2 ；a3＝ 4 ．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1＝1，a4＝8，∴q3＝8，解得q＝2．∴a3＝1×22＝4．故答案为：2，4．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（6分）若sinθ＝﹣，tanθ＞0，则cosθ＝，tan2θ＝．【分析】根据同角三角函数关系式和二倍角公式计算即可．【解答】解：sinθ＝﹣＜0，tanθ＞0，可得：θ在第三象限．则cosθ＝﹣＝．tanθ＝＝．那么：tan2θ＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查了同角三角函数关系式和二倍角公式计算．比较基础．13．（6分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a2＝9，且a3是a1和a4的等比中项，则d＝﹣3 ，数列{an}的前n项和Sn的最大值为30 ．【分析】由已知列关于a1和d的方程组，求解得到a1＝12，d＝﹣3，进一步可知S4最大，再由等差数列的前n项和求解．【解答】解：在等差数列{an}中，由a2＝9，a3是a1和a4的等比中项，得，解得a1＝12，d＝﹣3．∴an＝a1+（n﹣1）d＝12﹣3（n﹣1）＝15﹣3n．可得a5＝0．∴数列{an}的前n项和Sn的最大值为．故答案为：﹣3；30．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．14．（6分）已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则：（1）不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3} ；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，则m的取值范围为m≤3 【分析】作出函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的图象．（1）由﹣2x+1＝5，得x＝﹣2，由2x﹣1＝5，得x＝3．再结合图象得答案；（2）直接数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝的图象如图：（1）由﹣2x+1＝5，得x＝﹣2，由2x﹣1＝5，得x＝3．结合图象可知，不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}；（2）由图可知，若不等式f（x）≥m的解集为R，则m的取值范围为m≤3．故答案为：（1）{x|x≤﹣2或x≥3}；（2）m≤3．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（4分）若，则的值为 6 ．【分析】利用两角差的正切函数公式化简已知等式可得tanθ的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵，∴＝3，可得tanθ＝﹣，∴＝＝＝＝＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（4分）数列{an}中，当n为奇数时，an＝5n+1，当n为偶数时，an＝，则这个数列的前2n项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{an}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．【解答】解：由题意知：数列{an}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{an}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．【点评】本题主要考查等差、等比数列的概念及分组求和在数列求和中的应用，属于基础题．17．（4分）在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8 ．【分析】结合三角形关系和式子sinA＝2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC＝2sinBsinC，进而得到tanB+tanC＝2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA＝sin（π﹣A）＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，sinA＝2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC＝2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC＝2tanBtanC，又tanA＝﹣tan（π﹣A）＝﹣tan（B+C）＝﹣②，则tanAtanBtanC＝﹣•tanBtanC，由tanB+tanC＝2tanBtanC可得tanAtanBtanC＝﹣，令tanBtanC＝t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC＝﹣＝﹣，＝（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA＝2sinBsinc，sin（B十C）＝2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC＝2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC＝2tanBtanC，∵﹣tanA＝tan（B十C）＝，∴tanAtanBtanC＝tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC＝tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC＝x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t＝2时取到等号，此时tanB+tanC＝4，tanBtanC＝2，解得tanB＝2+，tanC＝2﹣，tanA＝4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．三、解答题：本大题公5题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6．（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．【分析】（Ⅰ）f（1）＞0，即﹣3+a（6﹣a）+6＞0，即a2﹣6a ﹣3＜0，由此可得不等式的解集；（Ⅱ）不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），等价于﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），即﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b＝0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6，f（1）＞0 ∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0∴a2﹣6a﹣3＜0∴∴不等式的解集为（6分）（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b＝0的两个根∴∴（12分）【点评】本题考查不等式的解法，考查不等式的解集与方程解的关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．19．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB＝，可得cosB＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sinA＝．∴b＝，sinA＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA ＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．20．（15分）已知递增等比数列{an}，a3a4＝32，a1+a6＝33，另一数列{bn}其前n项和Sn＝n2+n．（1）求{an}、{bn}通项公式；（2）设{}其前n项和为Tn，求Tn．【分析】（1）首先利用已知条件求出数列额的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】解：（1）设公比为q的递增等比数列{an}，a3a4＝32，根据等比数列的性质a1•a6＝a3•a4＝32，由于a1+a6＝33，所以，解得a1＝1，a6＝32，进一步求出q＝2，所以，由于数列{bn}其前n项和Sn＝n2+n．当n≥2时，＝2n．当n＝1时，b1＝2（符合通项公式），故bn＝2n，（2）由（1）得：，所以①，所以②，①﹣②得，整理得：，所以＝8﹣（n+2）•（）n﹣2．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．21．（15分）在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且bcosA＝sinA（acosC+ccosA）（1）求角A的大小；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求的最小值．【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，根据特殊角的三角函数求出A的值；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理求得b+c的值，再利用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）△ABC中，bcosA＝sinA（acosC+ccosA），由正弦定理可得：＝sinAsin （A+C）＝sinAsinB，即＝sinAsinB，因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以tanA＝，又A∈（0，π），所以；（2）由，，△ABC的面积为，所以，解得bc＝5；由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即12＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣15，解得：，所以＝，当且仅当c＝2b时，即b＝，时取得最小值．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的问题，是中档题．22．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a（a≠3），an+1＝Sn+3n，n∈N*．（Ⅰ）设bn＝Sn﹣3n，求证：数列{bn}是等比数列，并写出数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1＞an对n∈N*任意都成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过Sn+1﹣Sn＝Sn+3n，可得Sn+1﹣3n+1＝2（Sn﹣3n），利用b1＝a﹣3≠0，可得数列{bn}是首项为a﹣3，公比为2的等比数列，计算即可；（Ⅱ）通过（I）知，（a﹣3）•2n﹣1+2•3n﹣[（a﹣3）•2n﹣2+2•3n﹣1]＞0对n∈N*任意都成立，计算即可．【解答】解：（Ⅰ）∵an+1＝Sn+3n，∴Sn+1﹣Sn＝Sn+3n，∴Sn+1＝2Sn+3n，∴Sn+1﹣3n+1＝2（Sn﹣3n），又∵bn＝Sn﹣3n，∴＝2，又∵b1＝S1﹣3＝a﹣3≠0，∴数列{bn}是首项为a﹣3，公比为2的等比数列，∴bn＝（a﹣3）•2n﹣1；（Ⅱ）由（I）知，Sn﹣3n＝bn＝（a﹣3）•2n﹣1，∴Sn＝（a﹣3）•2n﹣1+3n，∴an+1＝Sn+3n＝（a﹣3）•2n﹣1+2•3n，∴an＝（a﹣3）•2n﹣2+2•3n﹣1（n≥2），∵an+1＞an，即an+1﹣an＞0对n∈N*任意都成立，∴（a﹣3）•2n﹣1+2•3n﹣[（a﹣3）•2n﹣2+2•3n﹣1]＞0，化简得（n≥2），即，解得a＞﹣9，而当n＝1时，a2﹣a1＝3＞0，综上所述：a∈（﹣9，3）∪（3，+∞）．【点评】本题考查数列的递推公式、等比数列的通项公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2021年高一下学期期中考试数学试卷+答案
2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。
2021-2022年高一下学期期中测试数学试题 Word版含答案
2021-2022年高一下学期期中测试数学试题 Word版含答案本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷答在答题卡上，第Ⅱ卷答在答题纸上，答题纸一律用碳素笔书写，其他笔无效。
2.本试卷考试范围：必修二、必修三。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，共60分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.圆C1 :(x+1)2+(y+4)2=16与圆C2 : (x-2)2+(y+2)2=9的位置关系是( )．A．相交 B．外切C．内切D．相离2.与直线l : y＝2x＋3平行，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线方程是( )．A．x－y±＝0 B．2x－y＋＝0C．2x－y－＝0 D．2x－y±＝03.若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( )．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1) 2＋(y－2)2＝1( )4.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点N到点C的距离|CN|= A．B．C． D．5.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）A、100人B、80人C、60人D、20人6.下面有关抽样的描述中，错误的是（）A．在简单抽样中，某一个个体被抽中的可能性与第n次抽样有关，先抽到的可能性较大开始a=3n=1输出an=n+1 n>5a=0.5a+0.5B．系统抽样又称为等距抽样，每个个体入样的可能性相等C．分层抽样为了保证每个个体入样的可能性相等必须每层等可能性抽样D．抽样的原则是“搅拌均匀”且“等可能地抽到每个个体”7.从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是A. 1,2,3,4,5B. 5,15,25,35,45C. 2,4,6,8,10D. 4,13,22,31,408.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的最后一个数是( ).A．2 B.1.5 C．1.25 D．1.1259.阅读下图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为，则输入的实数x值为（）A． , - B.3,-3 C．,-3 D．-,3（8题图）10.个,则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为( ).A 5个B 15个C 10个D 8个11.从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,对立事件的是( )A.至少有一个白球;都是白球B.至少有一个白球;至少有一个红球C.恰好有一个白球;恰好有2个白球D.至少有1个白球;都是红球12.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为( )A.1/1000B.1/100C.1/10D.1/9二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上.13.如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一下学期期中数学试题(含详解)
杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.4.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++ ＝_____．5.已知1cos 3α=，3cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.7.已知向量a 、b，a = 2b =，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b 上的投影为___________.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．9.若函数()sin 2cos f x x x=+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.513.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈ ，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c22cos 02A CB +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC =.根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()f x x=为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：sin cos（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.杨浦高级中学2021学年度第二学期期中测试高一数学试卷一､填空题（本大题共有10小题，满分40分）考生必须在答题纸相应编号的空格内填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.教室里的挂钟时间从中午12点到当天下午3点，时针转了__________弧度.【答案】2π-【解析】【分析】由时钟的时针在钟面上每转动一个整点的大刻度所得的度数求出中午12点到当天下午3点所转弧的度数即可得解.【详解】因时钟的时针在钟面上为顺时针转动，则每转动一个整点的大刻度所转弧的度数为30- ，从中午12点到当天下午3点，时针转了3个这样的大刻度，则时针所转弧的度数为30390-⨯=- ，所以时针转了2π-弧度.故答案为：2π-2.若一扇形的圆心角为3π，弧长为2π，则该扇形的面积是________．【答案】6π【解析】【分析】利用扇形的弧长公式求扇形的半径，进而应用扇形面积公式求其面积即可.【详解】由题意，令扇形的半径为R ，则23Rππ=，即有6R =，∴该扇形的面积是12662ππ⨯⨯=．故答案为：6π.3.已知角α的终边过点P （5，a ），且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.【答案】－713【解析】【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由三角函数的定义得，tan α＝5a ＝－125，∴a ＝－12，∴P （5，－12）.这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.故答案为：－7134.已知正方形ABCD 的边长为2，,,AB a BC b AC c === ，则a b c ++＝_____．【答案】【解析】【分析】利用向量的加法计算即可.【详解】22a b c AB BC AC AC ++=++==⨯故答案为：5.已知1cos 3α=，cos()3αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______.【答案】9【解析】【分析】根据题意，可知02παβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为02πβα<<<，所以02παβ<-<，因为1cos 3α=，所以22sin 3α==，又cos()3αβ-=，所以sin()3αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦133339=⨯+⨯=.故答案为：539.6.已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________.【答案】－3【解析】【分析】由题设，结合诱导公式可得f (4)＝a sin α＋b cos β，再应用正余弦函数的周期性、诱导公式可得f (2017)＝－a sin α－b cos β即可求值.【详解】∵f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin (2017π＋α)＋b cos (2017π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.故答案为：－3.7.已知向量a 、b ，a = 2b = ，且()a b a +⊥r r r ，则a 在b上的投影为___________.【答案】32-## 1.5-【解析】【分析】由已知得出()0a b a +⋅=r r r ，结合平面向量数量积的几何意义可得出a 在b上的投影.【详解】由已知可得()20a b a a b a +⋅=⋅+= ，所以，3a b ⋅=-，所以，a 在b上的投影为3cos ,2a b a a b b⋅<>==-.故答案为：32-.8.在ABC 中，已知tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x m x +++=的两个实根，则C ∠=________．【答案】34π##135︒【解析】【分析】根据根与系数关系可得tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，再由三角形内角和的性质及和角正切公式求tan C ，即可得其大小.【详解】由题设，tan tan A B m +=-，tan tan 1A B m =+，又()()tan tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B A Bπ+⎡⎤=-+=-+=-=-⎣⎦-，且0C π<<，∴34C π=.故答案为：34π.9.若函数()sin 2cos f x x x =+取最小值时x θ=，则sin θ=___________.【答案】55-【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+，其中sin ϕϕ==x θ= 时取最小值，()22k k Z πθϕπ∴+=-+∈，()22k k Z πθϕπ∴=--+∈sin sin 2sin 225k cos ππθϕπϕϕ⎛⎫⎛⎫∴=--+=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：55-.10.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______．【答案】13【解析】【分析】根据()f x 的对称轴，以及其单调性，初步求得ω的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.【详解】由题意可得362k ωππππ+=+，Z k ∈，则31k ω=+，Z k ∈．因为()f x 在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以34162T ππ-≤，所以8T π≥，即28ππω≥，解得16ω≤，则3116k +≤，即5k ≤．当5k =时，()2sin 166f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以5k =，即16ω=不符合题意；当4k =，即13ω=时，()2sin 136f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以4k =，即13ω=符合题意，故ω的最大值是13．故答案为：13.【点睛】本题考察三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.二､选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号的空格内填写代表答案的序号，选对得3分，否则一律得零分.11.函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.12.已知向量()2,0a =，1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2a b += （）A.B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】先求2a b +的坐标，再用平面向量模长的坐标运算求解即可.【详解】()21,2a b += ，所以2a b +== .故选：A.13.已知点A,B,C,D 是直角坐标系中不同的四点，若()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，且112uλ+=，则下列说法正确的是,A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C 、D 可能同时在线段AB 上D.C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D 【解析】【分析】根据向量共线定理得到,,,A B C D 四点共线，再根据反证法求证，问题可逐一解决.【详解】解：由()AC AB R λλ=∈ ，()AD AB R μμ=∈，可得：,,,A B C D 四点共线，对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则12AC AB = ，则1,02λμ==，不满足112u λ+=，即选项A 错误；对于选项B ，若D 是线段AB 的中点，则12AD AB = ，则10,2λμ==，不满足112uλ+=，即选B 错误；对于选项C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01,01λμ<<<<，则112u λ+>，不满足112uλ+=，即选项C 错误；对于选项D ，假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1λμ>>，则112u λ+<，则不满足112uλ+=，即假设不成立，即C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，即选项D 正确；故选：D.【点睛】本题考查了向量共线定理，重点考查了反证法，属中档题.14.在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（）A.43310 B.43310+ C.33410- D.43310±【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义知x 0=cos α，因为cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以利用两角差的余弦公式可求.【详解】解：由题意，x 0=cos α.α∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，6πα+∈,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又cos(6πα+)=4532<，∴6πα+∈,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35-，∴x 0=cos α=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 6π+sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6π=43315252⨯-⨯=43310-.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是根据cos(6πα+)=452<，缩小角的范围，从而确定sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负.三､解答题（本大题共有5小题，满分48分）考生必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的解题步骤.15.已知函数()f x x =，()22sin 2x g x =.（1）若α是第一象限角，且()335f α=，求()g α的值；（2）求使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【答案】（1）15（2）11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈.【解析】【分析】（1）先求出3sin 5α=，结合α所在象限求得cos α，进而利用半角公式进行求解；（2）利用半角公式，辅助角公式求得π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求出使()()f x g x =成立的x 的取值集合.【小问1详解】()5f αα==，解得：3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α==()212sin 1cos 25g ααα==-=；【小问2详解】()()f x g x =，22sin 1cos 2x x x ==-，cos 1+=x x ，利用辅助角公式得：2πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 62x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以11ππ2π,66x k k Z +=+∈，或22π5π2π,66x k k Z +=+∈，解得：112π,x k k Z =∈，或222π2π,3x k k Z =+∈，故使()()f x g x =成立的x 的取值集合为11{2π,x x k k Z =∈或222π2π,}3x k k Z =+∈16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 22cos 02A C B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.【答案】（1）23B π=；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长．22cos (1cos())2A CB B AC +-=-++∵A B C π++=(1cos())(1cos )B AC B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π=解法2：∵A BC π++=，2222cos 2cos 2sin 222A CB B B B B π+--=-=-2cos 2sin 2sin sin 0222222B B B B B B ⎫=-=-=⎪⎭∵(0,)B π∈，∴sin02B ≠sin 022B B -=∴tan 2B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC 的面积为12sin 234ac ac π==16ac =因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，b =由余弦定理222222cos ()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-=∴2()3248a c ac +=+=，∴a c +=所以ABC 的周长为【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图像如图.（1）根据图像，求()f x 的表达式及严格增区间；（2）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，增区间为5πππ,π,1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[-1,2].【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解()f x 的单调递增区间．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得m 的范围．【小问1详解】根据函数()sin()(00||2f x A x A πωϕωϕ=+>>，， 的图象，可得1A =，124312πππω⋅=-，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=，故()sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-++ ，求得51212k x k ππππ-++ ，k ∈Z ，()f x 的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线:sin 26C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(21,26x π-∈-，所以m 的取值范围为[]1,2-．18.探究与实践告诉我们：平面上不共线的三个点O ､A ､B ，对平面上任意一点P ，都有实数λ与μ，使得OP OA OB λμ=+ ，且A ､B ､P 三点共线的充要条件是1λμ+=.已知ABC 中，过重心G 的直线交线段AB 于P ，交线段AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB = ，AQ qQC = .根据阅读材料的内容，解决以下问题：（1）求证：111p q+=；（2）求12S S 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）41[,)92．【解析】【分析】(1)将AG 表示为xAP y AQ + 形式，根据题意可知当P 、G 、Q 三点共线时，x ＋y ＝1，据此即可证明；(2)利用三角形面积公式及(2)中结论可得1221119()24S S p =--+，由p 的范围及二次函数的性质即可求得12S S 的取值范围．【小问1详解】AP pPB = ，AQ qQC = ，∴1p AB AP p += ，1q AC AQ q+= ，∵G 是△ABC 重心，∴()21113233p q AG AB AC AP AQ p q ++=⨯⨯+=+ 由材料可知，∵P 、G 、Q 三点共线，∴11133p q p q+++=，化简即为111p q +=；【小问2详解】由(1)1p AP AB p=+uu u ruu u r ，1q AQ AC q =+ ，∴121||||sin ||||2111||||||||sin 2AP AQ BAC S AP AQ p q S p q AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅===⋅++⋅⋅⋅∠ ， 111p q +=，1p q p =-，可知1p >，∴112111p q p p p q p p -==+-+-，∴212222111111911121212()24S p q p p p S p q p p p p p p p =⋅=⋅===+++-+--++--+，1p > ，∴101p<<，则当112p =时，12S S 取得最小值49，当11p =或0时，12S S 取得最大值12， 11p≠或0，故12S S 的取值范围是41[,)92．19.定义函数()()cos sin f x x =为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：()()()cos sin cos sin f x πx πx +=+=-=⎡⎤⎣⎦()cos sin x ()f x =.可得：π也为函数()()cos sin f x x =的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究()()cos sin f x x =的单调性：函数()()cos sin f x x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是严格减函数，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上严格增函数，再结合()()πf x f x +=，可以确定：()()cos sin f x x =的最小正周期为π.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数()()sin cos f x x =为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.【答案】（1）R（2）偶函数，理由见解析（3）()()sin cos f x x =在[]()2π,2ππZ k k k +∈是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上严格增函数；最小正周期为2π；理由见解析.值域为[]sin1,sin1-.【解析】【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得()()sin cos f x x =的定义域.（2）根据函数奇偶性的定义，求得()()sin cos f x x =的奇偶性.（3）结合题目所给的解题思路，求得()()sin cos f x x =的单调区间、最小正周期、值域.【小问1详解】()()sin cos f x x =的定义域为R .【小问2详解】对于函数()()sin cos f x x =，()()()()sin cos sin cos f x x x f x -=-==⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是偶函数.【小问3详解】()()()()2πsin cos 2πsin cos f x x x f x +=+==⎡⎤⎣⎦，cos y x =在区间[]0,π上递减，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递减.cos y x =在区间[]π,2π上递增，sin y x =在区间[]1,1-上递增，所以()()sin cos f x x =在[]0,π上递增.所以()f x 的最小正周期为2π，()f x 在[]()2π,2ππZ k k k +∈上是严格减函数，在[]()2ππ,2π2πZ k k k ++∈上是严格增函数.结合()()sin cos f x x =的单调性可知，()f x 的值域为[]sin1,sin1-.。
2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题含答案
一、单项选择（每小题5分，共计60分）1、某工厂质检员每隔10分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是A．分层抽样B．简单随机抽样C．系统抽样D．以上都不对2、执行如图所示的程序框图,若输入n=8,则输出的k=()3、10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )．A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a4、在0°～360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是() A ．30°B ．150°C ．210° D ．330°5、袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；红、黑球各一个6、设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。
黄金矩形常应用于工艺品设计中。
下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620a b b a 618.0215≈-根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（ ）A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定7、已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.48、样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6，10)内的频数为a ，样本数据落在[2，10)内的频率为b ，则a ，b 分别是()A ．32，0.4B ．8，0.1C ．32，0.1D ．8，0.49、如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆的内接正三角形(阴影部分)内的概 率是()．A.34B.334C.34πD.334π10、下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等11、如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是：（ ）3πA ．（） cm2B ．（ ）cm2C ．（）cm2D ．（）cm212、容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为 () A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65 二、填空题（每小题5分，共计20分）13、如图是2019年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的344-9π344-3π348-3π328-3π平均数和方差分别为______________14、与1991°终边相同的最小正角是______15、半径为πcm ，圆心角为120°的扇形的弧长为_______________16、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是_______ 评卷人 得分三、解答题（共计70分）17.(本小题10分) 27.某高中有高一新生500名，分成水平相同的A ，B 两类进行教学实验．为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A 、B 两类学生中分别抽取了40人、60人进行测试．（第16题）（Ⅰ）求该学校高一新生A、B两类学生各多少人？（Ⅱ）经过测试，得到以下三个数据图表：图一：75分以上A、B两类参加测试学生成绩的茎叶图(茎、叶分别是十位和个位上的数字)(如图)表一：100名测试学生成绩频率分布表；图二：100名测试学生成绩的频率分布直方图；①先填写频率分布表(表一)中的六个空格，然后将频率分布直方图(图二)补充完整18. (本小题12分)某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：,a b（1）求的值；（2）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率.19．(本小题12分) 某教研部门对本地区三所学校高三年级进行教学质量抽样调查，三所学校高三年级班级数量（单位：个）如下表所示，研究人员用分层抽样的方法从这三所学校中共抽取7个班级进行调查.（Ⅰ）求这7个班级中来自三所学校的数量；（Ⅱ）若在这7个班级中随机抽取2个班级做进一步调查.（i）列出所有可能的结果；（ii）求这2个班级至少有一个来自A学校的概率.20.（本小题12分）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数．(2)这50名学生的平均成绩21．(本小题12分)已知角α＝2005°．（1）将角α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出角α是第几象限的角；（2）在区间[-5π，0)上找出与角α终边相同的角．22. (本小题12分)2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】D4、【答案】A5、【答案】D6、【答案】A7、【答案】A8、【答案】A9、【答案】B10、【答案】C11、【答案】C12、【答案】B 二、填空题 13、【答案】14、【答案】 15、【答案】1,3,416、【答案】 三、解答题 17.答案及解析：（Ⅰ）由题知A 类学生有405002004060⨯=+（人）…则B 类学生有500200300-=（人） （Ⅱ）①表一： 组号 分组频数 频率 1 [55,60)5 0.05 2 [60,65) 20 0.20 3 [65,70) 25 0.25 4 [70,75) 35 0.35 5 [75,80) 10 0.106 [80,85)5 0.05 合计1001.0027()][(),31,23,-∞-⋃⋃+∞()(),32,-∞-⋃+∞图二:18、【答案】（1）；（2）；（2）【详解】（1）＝100－5－30－20－10＝35·＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30·（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，35a =0.30b =35a b 660660660所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人·设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下： (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝19、【答案】(1)(2,3),(2)a ∈(1,2]试题分析：（1）化简条件p,q ，根据p ∧q 为真,可求出； （2）化简命题，写成集合，由题意转化为(2,3](3a,a)即可求解.试题解析：(I)由,得q:2<x ≤3.当a=1时,由x2-4x+3<0,得p:1<x<3, 因为p ∧q 为真,所以p 真,q 真.由得所以实数x 的取值范围是(2,3). (II)由x2-4ax+3a2<0,得(x-a)(x-3a)<0.9153522x 60{ 280x x x --≤+->23{,13x x <≤<<23,x <<①当a>0时,p:a<x<3a,由题意,得(2,3](a,3a),所以即1<a≤2;②当a<0时,p:3a<x<a,由题意,得(2,3](3a,a),所以无解.综上,可得a∈(1,2].【解析】20、【答案】（1）；（2）.试题分析：(1)本小题主要考查分式不等式的解法，将代入到目标不等式中，然后化分式不等式为整式不等式，根据一元二次不等式来求；(2)由可得，利用集合的基本关系可以分析出正数的取值范围，当然也可辅以数轴来分析求解.试题解析：（1）由，得．4分（2）．由，得，8分又，所以，所以10分【考点】1.分式不等式；2.集合的基本关系．【解析】22.【详解】(1)记物理、历史分别为，思想政治、地理、化学、生物分别为， 由题意可知考生选择的情形有，，，，，，，，，，，，共12种他选到物理、地理两门功课的满情形有，共3种甲同学选到物理、地理两门功课的概率为(2)物理成绩的平均分为历史成绩的平均分为由茎叶图可知物理成绩的方差历史成绩的方差故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可)12,A A 1234,,,B B B B {}112,,A B B {}113,,A B B {}114,,A B B {}123,,A B B {}124,,A B B {}134,,A B B {}212,,A B B {}213,,A B B {}214,,A B B {}223,,A B B {}224,,A B B {}234,,A B B {}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ∴31124P ==76828285879093857x ++++++==物理69768082949698857x ++++++==历史2s <物理2s 物理。
2021年高一数学下学期期中试卷 理(含解析)
2021年高一数学下学期期中试卷理（含解析）一、选择题（每小题4分，共48分）1．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．an =n2﹣（n﹣1）B．an=n2﹣1 C．an= D．3．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A．﹣1 B． 1 C．﹣ D．4．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．35．已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．100 D．2006．等差数列{a n}中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＜0的最大正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．给出下列图形：①角；②三角形；③平行四边形；④梯形；⑤四边形．其中表示平面图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．58．若两个等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且满足=，则的值为（）A．B．C．D．9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（）A．1033 B．1034 C．2057 D．205810．在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S xx+S xx=（）A．4032 B．2 C．﹣2 D．﹣403011．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在12．已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a xx+a3=（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=．14．已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a5a9）的值为．15．若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=．16．数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n是{a n}的前n项和，则S242﹣10a6=．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．18．在△ABC中，，BC=1，．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值．19．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2（1）求∠A；（2）若，求b2+c2的取值范围．20．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+loga n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．21．数列{a n}的前n项和为S n， a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和W n．附加题（本小题满分10分，该题计入总分）22．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．吉林省长春十一中xx学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．解答：解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．点评：本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n= D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察数列1，3，6，10，15…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式．解答：解：设此数列为{ a n}，则由题意可得 a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…∴第n项为1+2+3+4+…+n=，∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为a n=，故选C．点评：本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．3．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用勾股定理的逆定理，可得可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，再由向量的数量积的定义计算即可得到．解答：解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，即有||2+||2=||2，可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，即有•=||•||•cos45°=1××=1．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．4．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．3考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用|+2|22+4•+42=12，根据向量数量积的运算，化简得出关于||的方程，求解即可．解答：解：∵|+2|=2，∴|+2|2=12，即2+4•+42=12，∴||2+4||×1×cos60°+4×12=12，化简得||2+2||﹣8=0，解得||=2，故选：C．点评：本题考查向量模的计算，向量数量积的计算，属于基础题．5．已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．100 D．200考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，∴a7（a1+2a3）+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9===102=100，故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质，属于基础题．6．等差数列{a n}中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＜0的最大正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，由于a1=﹣12，S13=0，利用等差数列的前n项和公式可得，解得a13=12．利用通项公式解得d．进而得到a n，解出a n≤0即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=﹣12，S13=0，∴，解得a13=12．∴12=a13=a1+12d=﹣12+12d，解得d=2．∴a n=﹣12+2（n﹣1）=2n﹣14，令a n=0，解得n=7．∴使得a n＜0的最大正整数n=6．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．7．给出下列图形：①角；②三角形；③平行四边形；④梯形；⑤四边形．其中表示平面图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据平面图形的定义，图形的所有部分都在同一平面内，由此得出正确的结论．解答：解：根据平面图形的定义，知①角，②三角形，③平行四边形，④梯形，都是平面图形；⑤四边形，不一定是平面图形．所以，以上表示平面图形的个数为4．故选：C．点评：本题考查了平面图形的概念与应用问题，是基础题目．8．若两个等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且满足=，则的值为（）A．B．C．D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：把转化为，然后借助于已知得答案．解答：解：等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且=，得=．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，考查数学转化思想方法，是中档题．9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（）A．1033 B．1034 C．2057 D．2058考点：数列的求和．专题：计算题．分析：首先根据数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据=1+2+23+25+…+29+10进行求和．解答：解：∵数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1，∵{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n=1×2n﹣1，依题意有：=1+2+23+25+…+29+10=1033，故选A．点评：本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是要求出数列{a n}和{b n}的通项公式，熟练掌握等比数列求和公式．10．在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S xx+S xx=（）A．4032 B．2 C．﹣2 D．﹣4030考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得公比q=﹣1，可得S xx=2，S xx=0，相加可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，a2+a5=0，∴2q（1+q3）=0，解得q=﹣1，∴S xx=2，S xx=0∴S xx+S xx=2故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在考点：等比数列的通项公式；基本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，利用等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出公比q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，再利用“1”的代换和基本不等式求出式子的最大值．解答：解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所以=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，所以=（m+n）（）=（10+）≥=，当且仅当时取等号，所以的最小值是，故选：B．点评：本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简、计算能力．12．已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a xx+a3=（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列递推式求出a3，结合a100=a96求得a96，然后由a n+2=可得a xx=a96，则答案可求．解答：解：∵a1=1，a n+2=，∴，由a100=a96，得，即，解得（a n＞0）．∴．则a xx+a3=．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，解答此题的关键是对数列规律性的发现，是中档题．二、填空题（每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=3n﹣2m．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答：解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评：本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．14．已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a5a9）的值为．考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：根据等比数列的性质进行求解即可．解答：解：∵a1a13+2a72=5π，∴a72+2a72=5π，即3a72=5π，则a72=，则cos（a5a9）=cos（a72）=cos=cos（2π）=cos=，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用等比数列的运算性质是解决本题的关键．15．若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=3．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故答案为：3点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意“一正、二定、三相等”，属于基础题．16．数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n是{a n}的前n项和，则S242﹣10a6=909．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过题意可得a1a2=14、a3=4，同理可得：a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N*，k≥3），进而可得结论．解答：解：∵a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，∴a1a2=14，∴a3=4．∴a2a3=28，∴a4=8，a3a4=32，∴a5=2，a4a5=16，∴a6=6，a5a6=12，∴a7=2，a6a7=12，∴a8=2，a7a8=4，∴a9=4，a8a9=8，∴a10=8，…以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N*，k≥3）．∴S242=a1+a2+40（a3+a4+a5+a6+a7+a8）=2+7+40×（4+8+2+6+2+2）=969，∴S242﹣10a6=969﹣10×6=909．故答案为：909．点评：本题考查数列的周期性，考查推理能力与计算能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得（2﹣）•（+）的值．（2）由条件利用两个向量垂直的性质，可得，由此求得λ的值．解答：解：（1）由题意得，∴．（2）∵，∴，∴，∴λ+2（λ﹣2）﹣32=0，∴λ=12．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．18．在△ABC中，，BC=1，．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数基本关系，根据cosC，求得sinC，进而利用正弦定理求得sinA．（2）先根据余弦定理求得b，进而根据=BC•CA•cos（π﹣C）求得答案．解答：解：（1）在△ABC中，由，得，又由正弦定理：得：．（2）由余弦定理：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC得：，即，解得b=2或（舍去），所以AC=2．所以，=BC•CA•cos（π﹣C）=即．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，平面向量数量积的计算．考查了学生综合运用所学知识的能力．19．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2（1）求∠A；（2）若，求b2+c2的取值范围．考点：解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由a和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函数公式及两角差的余弦函数公式化简，去括号合并后再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据角度的范围求出正弦函数的值域，进而得到所求式子的范围．解答：解：（1）由余弦定理知：cosA==，又A∈（0，π）∴∠A=（2）由正弦定理得：∴b=2sinB，c=2sinC∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=2（1﹣cos2B+1﹣cos2C）=4﹣2cos2B﹣2cos2（﹣B）=4﹣2cos2B﹣2cos（﹣2B）=4﹣2cos2B﹣2（﹣cos2B﹣sin2B）=4﹣cos2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），又∵0＜∠B＜，∴＜2B﹣＜∴﹣1＜2sin（2B﹣）≤2∴3＜b2+c2≤6．点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．20．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+loga n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后分组求和，即可得出结论．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20解得或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n，∴b n=a n+loga n=a n﹣n，∴S n=﹣=2n+1﹣2﹣，点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于中档题．21．数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和W n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n是S n和1的等差中项，可得S n=2a n﹣1，再写一式，可得数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，可求数列{a n}的通项公式，求出等差数列{b n}的首项与公差，可得{b n}的通项公式；（2）利用裂项求和，可得数列{c n}的前n项和W n．解答：解：（1）∵a n是S n和1的等差中项，∴S n=2a n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，当n=1时，a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1∴S n=2n﹣1；设{b n}的公差为d，b1=﹣S4=﹣15，b9=a1=﹣15+8d=1，∴d=2，∴b n=2n﹣17；（2）c n==（﹣），∴W n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．附加题（本小题满分10分，该题计入总分）22．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）直接利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．（2）先利用（1）的结论求出数列{b n}的通项，再求出b k b k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．解答：解：（1）当n≥2时，，即（n≥2）．所以数列是首项为的常数列．所以，即a n=n（n∈N*）．所以数列{a n}的通项公式为a n=n（n∈N*）．（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列，则b k b k+2=b k+12．因为b n=lna n=lnn（n≥2），所以．这与b k b k+2=b k+12矛盾．故不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．点评：本题考查了已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，根据a n和S n的关系：a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a n=S n﹣S n﹣1（n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．35025 88D1 裑20290 4F42 佂9?%39936 9C00 鰀28243 6E53 湓lH33601 8341 荁27072 69C0 槀22523 57FB 埻22076 563C 嘼。
2021年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2021年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin（﹣1920°）的值为（）A．B．C．D．2．在空间直角坐标系中，点A（1，2，﹣3）关于x轴的对称点为（）A．（1，﹣2，﹣3）B．（1，﹣2，3）C．（1，2，3）D．（﹣1，2，﹣3）3．已知向量=（1，﹣2），=（x，2），若⊥，则=（）A．B．C．5 D．204．已知sin（π+α）=，则cos（α﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣5．方程|y|﹣1=表示的曲线是（）A．两个半圆B．两个圆C．抛物线D．一个圆6．在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．67．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．已知在函数f（x）图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=R2上，则f（x）的最小正周期为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知直线l：ax﹣y+2=0与圆M：x2+y2﹣4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一动点，设点P（0，﹣1），的最大值为（）A．12 B．10 C．9 D．8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=．12．已知圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0与圆C2：x2+y2﹣6y﹣27=0相交于A、B两点，则线段AB 的中垂线方程为．13．函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得到函数图象关于原点对称，则φ=．14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．15．将函数f（x）=sin（2x﹣）+1的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有的性质．（填入所有正确的序号）①最大值为，图象关于直线x=对称；②在（﹣，0）上单调递增，且为偶函数；③最小正周期为π；④图象关于点（，0）对称，⑤在（0，）上单调递增，且为奇函数．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，以向量为邻边作平行四边形OADB，，用表示．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．18．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．19．设x∈R，函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（Ⅲ）若的取值范围．20．已知某海滨浴场的海浪高度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t），如表是某日各时的浪高数据：t/时0 3 6 9 12 15 18 21 24y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b．（1）求函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式．（2）依据规定：当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动．21．已知=（2+sinx，1），=（2，﹣2），=（sinx﹣3，1），=（1，k）（x，k∈R）（1）若x∈[﹣，]，且∥（+），求x的值；（2）若函数f（x）=•，求f（x）的最小值；（3）是否存在实数k，使得（+）⊥（+）？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．xx学年山东省济宁市泗水中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin（﹣1920°）的值为（）A． B． C． D．【考点】诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】直接利用诱导公式，通过特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：sin（﹣1920°）=sin（240°﹣6×360°）=sin（180°+60°），即原式=﹣sin60°=，故选A．【点评】本题考查诱导公式的应用，负角化正角，大角化小角，是解此类题目的一般规律．2．在空间直角坐标系中，点A（1，2，﹣3）关于x轴的对称点为（）A．（1，﹣2，﹣3）B．（1，﹣2，3）C．（1，2，3）D．（﹣1，2，﹣3）【考点】空间中的点的坐标．【专题】计算题；转化思想；分析法；空间向量及应用．【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），∴点（1，2，﹣3）关于x轴的对称点的坐标为：（1，﹣2，3）．故选：B．【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．3．已知向量=（1，﹣2），=（x，2），若⊥，则=（）A． B． C．5 D．20【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】计算题．【分析】由题意可得=0，求得x的值，可得的坐标，根据向量的模的定义求出．【解答】解：由题意可得=（1，﹣2）•（x，2）=x﹣4=0，解得x=4．故==2，故选B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4．已知sin（π+α）=，则cos（α﹣）的值是（）A． B．﹣C． D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，求得cos（α﹣）的值．【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，∴sinα=﹣，则cos（α﹣）=sinα=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．5．方程|y|﹣1=表示的曲线是（）A．两个半圆 B．两个圆C．抛物线D．一个圆【考点】曲线与方程．【专题】综合题；直线与圆．【分析】方程|y|﹣1=可化为（x﹣1）2+（|y|﹣1）2=1（|y|≥1），即可得出结论．【解答】解：方程|y|﹣1=可化为（x﹣1）2+（|y|﹣1）2=1（|y|≥1），y≤﹣1时，（x﹣1）2+（y+1）2=1；y≥1时，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；∴方程|y|﹣1=表示的曲线是两个半圆．故选：A．【点评】本题考查曲线与方程，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6．在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．【解答】解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．7．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，属于基础题．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x 的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式，进一步利用平移变换求出结果．【解答】解：根据函数的图象：A=1又解得：T=π则：ω=2当x=，f（）=sin（+φ）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．故选：A【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型9．已知在函数f（x）图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=R2上，则f（x）的最小正周期为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】先用R表示出周期，得到最大值点和最小值点的坐标后，代入到圆的方程可求出R的值，最后可得答案．【解答】解：∵x2+y2=R2，∴x∈[﹣R，R]．∵函数f（x）的最小正周期为2R，∴最大值点为（），相邻的最小值点为（），代入圆方程，得R=2，∴T=4．故选D．【点评】本题主要考查三角函数的性质﹣﹣周期性．属基础题．三角函数两相邻的最大值与最小值正好等于半个周期．10．已知直线l：ax﹣y+2=0与圆M：x2+y2﹣4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一动点，设点P（0，﹣1），的最大值为（）A．12 B．10 C．9 D．8【考点】平面向量数量积的性质及其运算律；直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆．【分析】由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3=0可化为x2+（y﹣2）2=1，利用=|2+|≤|2|+||，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3=0可化为x2+（y﹣2）2=1．=|2+|≤|2|+||=2×3+4=10，故选：B．【点评】本题考查圆的方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．12．已知圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0与圆C2：x2+y2﹣6y﹣27=0相交于A、B两点，则线段AB 的中垂线方程为x+y﹣3=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】由题意可知所求线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程，求出两个圆的圆心坐标，二行求解直线方程．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0圆心坐标（3，0）与圆C2：x2+y2﹣6y﹣27=0的圆心坐标（0，3），圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0与圆C2：x2+y2﹣6y﹣27=0相交于A、B两点，线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程，在AB的斜率为：﹣1，所求直线方程为：y=﹣（x﹣3）．即x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．【点评】本题考查两个圆的位置关系的应用，正确判断所求直线方程与圆的位置关系是解题的关键．13．函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，所得到函数图象关于原点对称，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】对应思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用图象平移规律得出平移后的函数解析式，根据新函数为奇函数和诱导公式列方程解出φ．【解答】解：函数y=3sin（2x+）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数解析式为y=3sin[2（x+φ）+]=3sin（2x+2φ+），∵新函数的图形关于原点对称，∴y=3sin（2x+2φ+）是奇函数，∴2φ+=π+2kπ，解得φ=，k∈Z．∵0＜φ＜，∴φ=．故答案为：．【点评】本题考查了正弦函数的性质，函数图象的变换，属于中档题．14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．15．将函数f（x）=sin（2x﹣）+1的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有的性质①③⑤．（填入所有正确的序号）①最大值为，图象关于直线x=对称；②在（﹣，0）上单调递增，且为偶函数；③最小正周期为π；④图象关于点（，0）对称，⑤在（0，）上单调递增，且为奇函数．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）=sin2x，利用正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）+1的图象向左平移个单位长度，得到函数y=sin[2（x+）﹣]+1=sin2x+1的图象；再向下平移1个单位长度后，得到函数g（x）=sin2x的图象，∵g（x）=sin2x的最大值为，令2x=kπ，k∈Z，可得解得函数的对称轴方程为：x=+，k∈Z，当k=1时，可得x=，即其图象关于直线x=对称，故①正确；∵g（x）=sin2x为奇函数，故②错误；∵最小正周期T==π，故③正确；∵sin（2×）=sin=，故④错误；∵令2k≤2x≤2kπ+，k∈Z，可解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数在（0，）上单调递增，又为奇函数，故⑤正确．故答案为：①③⑤．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，以向量为邻边作平行四边形OADB，，用表示．【考点】平面向量的基本定理及其意义；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，得=+，从而得到=（+）．由向量减法法则得=（﹣），从而得到==（﹣），进而算出=+=+，最后得到==﹣．【解答】解：∵四边形OADB是平行四边形，∴=+=+，==（﹣）=（﹣）可得==（﹣），由向量加法法则，得=+=+（﹣）=+∵=，==，∴=+=+×==（+）由向量减法法则，得==（+）﹣（+）=﹣综上，可得=+，=（+），=﹣【点评】本题在平行四边形中求向量的线性表示式，着重考查了平面向量的基本定理、向量的加法和减法法则等知识，属于基础题．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交，即要证直线l横过过圆C内一点，方法是把直线l的方程改写成m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0可知，直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点，联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AC之间的距离d，判断d小于半径5，得证；（2）根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径，最短的弦是过A垂直于直径的弦，所以连接AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D，弦BD为最短的弦，接下来求BD的长，根据垂径定理可得A是BD的中点，利用（1）圆心C到BD的距离其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长，根据勾股定理可求出|BD|的长，求得|BD|的长即为最短弦的长；根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1求出直线BD的斜率，又直线BD过A（3，1），根据斜率与A点坐标即可写出直线l 的方程．【解答】解：（1）直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改写为m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0，所以直线必经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点．由方程组解得即两直线的交点为A（3，1），又因为点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离，所以该点在C内，故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交．（2）连接AC，当直线l是AC的垂线时，此时的直线l与圆C相交于B、D．BD为直线l被圆所截得的最短弦长．此时，，所以．即最短弦长为．又直线AC的斜率，所以直线BD的斜率为2．此时直线方程为：y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．【点评】本题考查学生会求两直线的交点坐标，会利用点到圆心的距离与半径的大小比较来判断点与圆的位置关系，灵活运用圆的垂径定理解决实际问题，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据斜率与一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．18．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．【专题】开放型；直线与圆．【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由=1，解得：k1=，k2=．故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=•k2+k•+1=，由•=x1•x2+y1•y2==12，解得k=1，故直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．19．设x∈R，函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（Ⅲ）若的取值范围．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象；余弦函数的单调性．【分析】【解答】解：（I）周期，∴ω=2，∵，且，∴．（II）知，则列表如下：2x﹣﹣0 πx 0 ππf（x） 1 0 ﹣1 0图象如图：（III）∵，∴解得，∴x的范围是．【点评】本题考查三角函数中ω、φ的确定方法、五点法作图及三角函数的单调性．20．已知某海滨浴场的海浪高度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t），如表是某日各时的浪高数据：t/时0 3 6 9 12 15 18 21 24y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b．（1）求函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式．（2）依据规定：当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题．【分析】（1）由图表可知，函数的周期12，进而求出ω；根据最高和最低高度求得振幅A；根据当t=0时y=1.5代入解析式求出b，把A，b和ω代入函数，进而函数的解析式可得．（2）依题意，当y＞1时，根据余弦函数的单调性求出t的范围，可得答案．【解答】解：（1）由题意可得2T=24，∴，解得，而振幅A=（1.5﹣0.5）÷2=0.5，∴，又当t=0时，y=1.5，∴0.5cos0+b=1.5，得b=1，∴；（2）由，得，∴，解得12k﹣3＜t＜12k+3，k∈Z，而8＜t＜20，取k=1，得9＜t＜15，∴可供冲浪者进行运动的时间为上午9：00时至下午15：00，共6小时．【点评】本题主要考查了根据函数的图象特征确定函数y=Asin（ωx+φ）+b的解析式的问题．常利用函数的最大值和最小值，周期，f（0）等特殊值来求解解析式中的参数的值．21．已知=（2+sinx，1），=（2，﹣2），=（sinx﹣3，1），=（1，k）（x，k∈R）（1）若x∈[﹣，]，且∥（+），求x的值；（2）若函数f（x）=•，求f（x）的最小值；（3）是否存在实数k，使得（+）⊥（+）？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用．【分析】（1）根据向量关系的坐标公式进行化简求解即可．（2）根据向量数量积的公式进行化简，结合三角函数的性质进行求解即可．（3）利用向量垂直的等价条件进行化简求解．【解答】解：（1）若x∈[﹣，]，且∥（+），则+=（sinx﹣1，﹣1），则sinx﹣1﹣（﹣1）•（2+sinx）=0，即2sinx=﹣1，则sinx=﹣，则x=﹣；（2）若函数f（x）=•，则f（x）=（2+sinx，1）•（2，﹣2）=2（2+sinx）﹣2=2+2sinx，则当sinx=﹣1时，函数f（x）取得最大值，此时最小值为2﹣2=0．（3）若存在实数k，使得（+）⊥（+），则（+）•（+）=0，即（3+sinx，1+k）•（sinx﹣1，﹣1）=0，即（3+sinx）（sinx﹣1）﹣（1+k）=0即sin2x+2sinx﹣3﹣1﹣k=0即k=sin2x+2sinx﹣4=（sinx+1）2﹣5，∵﹣1≤sinx≤1，∴0≤（sinx+1）2≤4，则﹣5≤（sinx+1）2﹣5≤﹣1，即﹣5≤k≤﹣1即存在，此时出k的取值范围是[﹣5，﹣1]．【点评】本题主要考查向量数量积的应用以及向量与三角函数的综合，考查学生的运算和转化能力，利用向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．32208 7DD0 緐31762 7C12 簒}Y29891 74C3 瓃30507 772B 眫n39799 9B77 魷Nv38459 963B 阻A\Z\。
2021年高一下学期期中学段检测数学试题含答案
2021年高一下学期期中学段检测数学试题含答案本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)。
，第I卷（选择题共50分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有20 位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样的方法确定的编号可能是A.5,10,15,20B.2,6,10,14,C.2，4,6,8D.5,8,11,142.圆与圆的位置关系是A.相交B. 内切C. 相离D. 外切3. 样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本的标准差为A. B. C.2 D.4. 某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示，规定不低于90分为优秀等级，则该校学生优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是A.300B.30C.150D.155．若一口袋中装有4个白球3个红球，现在从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A. B. C. D.6.过点P(4,2)做圆的两条切线，切点分别为A,B，O为坐标原点，则的外接圆方程是A. B.C. D.7. 分别写上数字1,2,3,…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，两数之积为完全平方数的概率是（）A. B. C. D.8. 阅读下边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写A. B. C. D.9.一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为A. B. C. D.10. 已知直线l过点（0，-4），P是l上一动点，PA,PB是圆C：的两条切线，A,B为切点，若四边形PACB的最小面积为2,则直线的斜率为A. B. C. D.第II卷（非选择题共100分）注意事项：第II卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。
六安第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
故选：A.
6．C
【分析】连接 EF，FG，EG，根据异面直线所成角的意义，在 EFG 中分情况计算作答.
【详解】连接 EF，FG，EG，如图，
依题意， EF / / AC, FG / /BD ，且 EF 1 AC 1, FG 1 BD 1，
2
2
因 AC 与 BD 所成的角为 60°，则 EFG 60 或 EFG 120 ，
试卷第 3 页，共 5 页
幕式的时长（单位： min ）情况，样本数据按照40,50 ，50, 60 ，…，90,100 进行
分组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a 的值并估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为
代表）和中位数；
(2)已知样本中有
2 3
的男生观看开幕式时长小于
球的表面积公式可求得结果.
【详解】 AB AC 3 ， BAC 120 ，ABC 30 ，
3 2r （ r 是 ABC 的外接圆半径），解得： r 3 ； sin 30
2
R2
3 2
R
r2 3 R2 3 ，解得： R2 12 ， 4
球 O 的表面积 S 4 R2 48 .
安徽省六安第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中 数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i 是关于 x 的方程 ax2 bx 2 0a,b R 的一个根，则 a b （ ）
A．0
则这 20 位市民幸福感指数的方差为（ ）
A．1.75
B．1.85
C．1.95
D．2.05
2021年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案
2021年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案填写在答题．．纸．的相应位置上．)1．已知数列{}的通项公式为，那么是它的第_ __项．2．在等比数列{}中，若，，则．3．在中，，则___ ____．4．设变量满足约束条件：，则的最小值是．5．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，塔顶共有灯盏.6．在中，已知，则的大小为 .7．等差数列中，，那么．8．数列满足则．9．不等式的解集是．10．若数列中，（），那么此数列的最大项的值为______．11．数列的通项公式，则该数列的前_________项之和等于．12．若关于的不等式的解集，则的值为_________．13．在中，，则的最大值为 .14．已知的各项排成如右侧三角形状，记表示第行中第个数，则结论①=16；②；123456789 10111213141516aa a aa a a a aa a a a a a a③；④；其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．二.解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）．⑴若方程有两个相等实数根，求的解析式．⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围．19.（本小题满分16分）在等差数列中，，前项和满足条件，（1）求数列的通项公式和；（2）记，求数列的前项和.xx ——xx 学年度第二学期期中考试高一数学参考答案一、填空题答案二、解答题答案16.（本小题满分12分） 解：（1）， ………………………2分，得 ………………………3分由余弦定理得：360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a ， …5分 所以 ……………………………………6分 （2）由余弦定理得：，所以 ………9分在中，，所以 ………………………………11分所以是等腰直角三角形； ………………………………12分 17. （本题满分12分）解：⑴∵二次函数的二次项系数为，且不等式解集为（1，3）， ∴可设，且 ……………………2分 ∴由方程得， …………………………4分 ∵方程有两个相等的实根，∴或，而，∴从而 …………………………6分⑵由∴ ……………8分∴解得或 …………11分∴实数的取值范围是． ……………12分18. （本小题满分12分）解：ΔABC 中，∠ABC ＝155o －125o ＝30o，…………1分∠BCA ＝180o －155o ＋80o ＝105o ， ………… 3分∠BAC ＝180o －30o －105o ＝45o， ………… 5分 BC ＝， ………………7分由正弦定理，得 ………………9分∴AC＝=（海里）答：船与灯塔间的距离里． ………………………………12分 19.（本小题满分16分）解：（1）设等差数列的公差为,由 得：，所以，且， …………………3分 所以 …………………5分…………………………7分 （2）由，得 ………………8分 所以12113252(21)2n nT n -=+⋅+⋅++-⋅， ……① ………………9分231223252(23)2(21)2n n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅+-⋅， …… ② …………11分①-②得211222222(21)2n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅ ………13分212(1222)(21)21n n n -=++++--⋅-…………15分 所以 …………16分Ac22＝（q2＋b1p）2＝q4＋2q2b1p＋b12p2，...........①c1·c3＝(q＋b1)(q3＋b1p2)＝q4＋b12p2＋b1q(p2＋q2），….②②－①得c1c3－c22＝b1q(p2＋q2－2pq)由于p≠q时，p2＋q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，所以c1c3－c22≠0，即c22≠c1·c3. 故｛c n｝不是等比数列. ------------------------------------16分30357 7695 皕29911 74D7 瓗 25977 6579 敹28040 6D88 消28656 6FF0 濰 Z20172 4ECC 仌Z36608 8F00 輀W38756 9764 靤 21065 5249 剉。
2021年高一下学期期中数学试卷(普通班)含解析
2021年高一下学期期中数学试卷（普通班）含解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣300°化为弧度是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣2．下列各式的运算结果为向量的是（）（1）（2）（3）（4）||（5）．A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（2）（3）C．（3）（5）D．（1）（2）（3）（5）3．方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜﹣C．m≤﹣D．m≥﹣4．α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A． B． C． D．5．已知向量=（﹣1，3），=（1，k），若⊥，则实数k的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．6．函数y=﹣cos2x，x∈R是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数7．空间直角坐标系中，已知A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B两点间的距离为（）A．6 B． C． D．8．已知=（2，1），=（3，4），则在方向上的投影为（）A． B． C．2 D．109．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切10．将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A． B． C． D．11．P是△ABC所在平面内一点，若=λ+，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上12．当点P在圆x2+y2=1上变动时，它与定点Q（﹣3，0）的连结线段PQ的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=4 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（2x+3）2+4y2=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若tanα=﹣3，则的值为______．14．在如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知A1（a，0，c），C（0，b，0），则点B1的坐标为______．15．已知向量，若与共线，则m的值为______．16．设A为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上一动点，则A到直线x﹣y﹣5=0的最大距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）化简•sin（α﹣2π）•cos（2π﹣α）（2）求值sin+cos+tan（﹣）．18．已知=（3，2），=（﹣1，2），=（5，6）．（1）求+﹣2；（2）求满足=m+n的实数m，n．19．已知圆心为C的圆经过点A（1，﹣5）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．20．已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若||=3，且∥，求的坐标．（2）若||=，且2+与4垂直，求与的夹角．21．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；（1）当时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．22．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0且¦Ø＞0，0＜ϕ＜）的部分图象，如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）若方程f（x）=a在（0，）上有两个不同的实根，试求a的取值范围．xx学年山东省济宁市微山一中高一（下）期中数学试卷（普通班）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣300°化为弧度是（）A． B．﹣C．﹣D．﹣【考点】弧度与角度的互化．【分析】根据角度户弧度之间的关系进行转化即可．【解答】解：∵180°=πrad，∴1°=rad，∴﹣300°×=rad，故选B．2．下列各式的运算结果为向量的是（）（1）（2）（3）（4）||（5）．A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（3）（5） D．（1）（2）（3）（5）【考点】向量加减混合运算及其几何意义；平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的线性运算性质与数量积的运算性质即可判断出结论．【解答】解：利用向量的线性运算性质可得：（1）（2）（3）的运算结果为向量，利用数量积的运算性质可知：（4）（5）的运算结果为实数．故选：B．3．方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜﹣C．m≤﹣D．m≥﹣【考点】二元二次方程表示圆的条件．【分析】由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，解不等式即可得到结果．【解答】解：∵方程x2+y2+x+y﹣m=0表示一个圆，∴1+1+4m＞0，∴m＞﹣故选：A．4．α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A． B． C． D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．5．已知向量=（﹣1，3），=（1，k），若⊥，则实数k的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量垂直数量积为0，得到坐标的等量关系求得．【解答】解：因为向量=（﹣1，3），=（1，k），若⊥，则﹣1﹣3k=0，解得k=；故选：C．6．函数y=﹣cos2x，x∈R是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．【分析】利用余弦函数的周期公式与奇偶性即可得到选项．【解答】解：∵函数y=﹣cos2x为偶函数，且其周期T==π，∴函数y=﹣cos2x为最小正周期为π的偶函数，故选B．7．空间直角坐标系中，已知A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B两点间的距离为（）A．6 B． C． D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据所给的两个点的坐标，代入空间中两点之间的距离的公式，整理成最简结果，得到要求的A与B之间的距离，注意数字运算不要出错．【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|==，故选：B．8．已知=（2，1），=（3，4），则在方向上的投影为（）A． B． C．2 D．10【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】运用向量数量积的坐标表示和向量的模的公式，即可得到在方向上的投影．【解答】解：=（2，1），=（3，4）可得•=2×3+1×4=10，||==5，即有在方向上的投影为==2．故选：C．9．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B10．将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y=sin[（x+）﹣]，整理后答案可得．【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin[（x+）﹣]，即y=sin（x﹣），故选：C．11．P是△ABC所在平面内一点，若=λ+，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据，代入，根据共线定理可知与共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．【解答】解：∵，，∴=，则，∴∥，即与共线，∴P点一定在AC边所在直线上，故选B．12．当点P在圆x2+y2=1上变动时，它与定点Q（﹣3，0）的连结线段PQ的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=4 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（2x+3）2+4y2=1【考点】轨迹方程．【分析】设动点P（x0，y0），PQ的中点为B（x，y），由中点坐标公式解出x0=2x+3，y0=2y，将点P（2x+3，2y）代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程．【解答】解：设动点P（x0，y0），PQ的中点为B（x，y），可得x=（﹣3+x0），y=y0，解出x0=2x+3，y0=2y，∵点P（x0，y0）即P（2x+3，2y）在圆x2+y2=1上运动，∴（2x+3）2+（2y）2=1，化简得（2x+3）2+4y2=1，即为所求动点轨迹方程故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若tanα=﹣3，则的值为．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵tanα=﹣3，∴===．故答案为：．14．在如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知A1（a，0，c），C（0，b，0），则点B1的坐标为（a，b，c）．【考点】空间中的点的坐标．【分析】由如图所示所建立的空间直角坐标系，以及A1，C的坐标，可以得知该长方形的长，宽，高，进而可以得知B1的点坐标．【解答】解：∵在如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知A1（a，0，c），C（0，b，0），∴可以得知AD=a，DC=b，DD1=c，又∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴可以得知B1的坐标为（a，b，c）故答案为：（a，b，c）．15．已知向量，若与共线，则m的值为﹣2．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的坐标运算求出两个向量的坐标；利用向量共线的充要条件列出方程求出m的值．【解答】解：∵∴；∵∴4﹣2m=4（3m+8）解得m=﹣2故答案为：m=﹣216．设A为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1上一动点，则A到直线x﹣y﹣5=0的最大距离为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】要求A到直线x﹣y﹣5=0的最大距离只要求圆心C到直线x﹣y﹣5=0的距离的最大值d即可，然后求d+1（圆的半径r=1）即可【解答】解：由题意可设圆心C到直线x﹣y﹣5=0的距离的最大值d则根据可知d=A到直线x﹣y﹣5=0的最大距离为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）化简•sin（α﹣2π）•cos（2π﹣α）（2）求值sin+cos+tan（﹣）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可．（2）利用诱导公式化简，然后通过特殊角的三角函数求解即可．【解答】解：（1）原式=．（2）sin+cos+tan（﹣）=sin+cos﹣tan==0．18．已知=（3，2），=（﹣1，2），=（5，6）．（1）求+﹣2；（2）求满足=m+n的实数m，n．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）进行向量坐标的数乘和加法、减法运算即可；（2）进行向量坐标的数乘和加法运算得到，从而可建立关于m，n的方程组，解出m，n即可．【解答】解：（1）=3（3，2）+（﹣1，2）﹣2（5，6）=（﹣2，﹣4）；（2）∵；∴（5，6）=m（3，2）+n（﹣1，2）=（3m﹣n，2m+2n）；∴，∴．19．已知圆心为C的圆经过点A（1，﹣5）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．【考点】圆的标准方程．【分析】设所求的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，将点A（1，﹣5）和B（2，﹣2）代入，结合圆心C在直线l：x﹣y+1=0，联立方程组求得a、b、r的值，可得圆的标准方程．【解答】解：设所求的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，将点A（1，﹣5）和B（2，﹣2）代入得，又圆心在l：x﹣y+1=0上，所以a﹣b+1=0．联立方程组，解得a=﹣3，b=﹣2，r=5．所以所求的圆的标准方程为（x+3）2+（y+2）2=25．20．已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若||=3，且∥，求的坐标．（2）若||=，且2+与4垂直，求与的夹角．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据，从而可得到，进而，这样便可求出k的值，从而得出的坐标；（2）根据与垂直便可得出，根据条件进行数量积的运算即可求出的值，从而求出与的夹角．【解答】解：（1）∵；∴设，且，；∴；∴k=±3；∴，或；（2）∵，且；∴===0；∴；又；∴与的夹角为．21．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；（1）当时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的倾斜角；直线的一般式方程．【分析】（1）根据直线的倾斜角求出斜率．因为直线AB过P0（﹣1，2），可表示出直线AB 的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离，根据勾股定理求出弦的一半，乘以2得到弦AB的长；（2）因为弦AB被点P0平分，先求出OP0的斜率，然后根据垂径定理得到OP0⊥AB，由垂直得到两条直线斜率乘积为﹣1，求出直线AB的斜率，然后写出直线的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k=tan=﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d==∴弦长|AB|=2=2=．（2）∵P0为AB的中点，OA=OB=r，∴OP0⊥AB又==﹣2，∴k AB=∴直线AB的方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=022．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0且¦Ø＞0，0＜ϕ＜）的部分图象，如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）若方程f（x）=a在（0，）上有两个不同的实根，试求a的取值范围．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由图象得出函数f（x）的周期T，振幅A，计算ω的值，再求出φ的值即得f （x）；（2）由正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调递增区间；（3）把问题化为y=f（x）与y=a的图象在（0，）上有两个交点问题，利用函数的图象即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）由图象易知函数f（x）的周期为T=4×（﹣）=2π，A=1，所以ω=1；由图象知f（x）过点，则，∴，解得；又∵，∴ϕ=，∴；…4分（2）由，得，∴f（x）的单调递增区间为[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z；…8分（3）方程f（x）=a在（0，）上有两个不同的实根，等价于y=f（x）与y=a的图象在（0，）上有两个交点，在图中作y=a的图象，如图所示；由函数f（x）=sin（x+）在（0，）上的图象知，当x=0时，f（x）=，当x=时，f（x）=0，由图中可以看出有两个交点时，a∈（﹣1，0）∪（，1）．…12分xx年9月22日p20211 4EF3 仳38879 97DF 韟34137 8559 蕙24760 60B8 悸38155 950B 锋"031989 7CF5 糵22081 5641 噁t30203 75FB 痻26908 691C 検。
山东省聊城市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案
山东省聊城市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、单项选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项只有一项符合题目要求的。
1.已知是两条异面直线是两条垂直直线，那么的位置关系是（ ）A.平行或相交B.异面或平行C.异面或相交D.平行或异面或相交2.在中,则（ ）A. B.C.6D.53.已知三角形是边长为4的等边三角形；为的中点，点在边AC 上；且设与交于点，当变化时，，则下列说法正确的是（ ）A. 随的增大而增大B. 为定值C. 随的增大而减少D. 先随的增大而增大后随的增大而减少4如图，已知等腰三角形是一个平面图形的直观图，,斜边,则这个平面图形的面积是( ),a b ,b c ,a c ABC ∆60,28,sin 6sin C a b A B ︒∠=+==c =ABC D BC E ()01AE AC λλ=<< AD BE P λm BP BC =⋅ m λm m λm λλO A B '''O A A B ''''=2O B ''=A. B. 1D. 5.若则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6已知点为所在平面内一点；若动点满足则过的（ ）A. 外心B. 内心C.重心D.垂心7.下列说法正确的有（ ）两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；经过球面上不同的两点只能作一个大圆；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；圆锥的轴截面是等腰三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个8.在中,则为（ ）A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形C.等边三角形 D.等腰非等边三角形二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.已知复数),则（ ）()2121(4),33z m m m i z i =+++-=-1m =12z z =O ABC ∆P ()()0OP OA AB AC λλ=++≥ P ABC ∆ABC ∆10,2BA AC AC BC BC BA BC BCBC BA ⋅⋅⋅+==⋅ ABC ∆z (,)x yi x y R =+∈A.B.的虚部是C.若,则D.10.如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点,则下列结论正确的是（ ）A.三点共线：B.四点共面C.四点共面D.四点共面11.在中，分别为角的对边，已知且则（ ）A. B.C. D.12已知是平面上夹角为-的两个单位向量，向量在该平面上，且下列结论中正确的有（ ）A. B.C.D.c的夹角是钝角2z 0≥z yi 12z i =+1,2x y ==x =1111ABCD A B C D -O DB 1A C 1C BD M 1,,C M O 1,,,C M O C 1,,,C M O A 1,,,D D M O ABC ∆,,a b c ,,A B C cos ,cos 2ABC B b S C a c ∆==-3b =1cos 2B =cos B =a c +=a c +=,a b 23πc ()()0a c b c -⋅-= 1a b += a b -= c < ,a b c +三、填空题13.已知复数，则_________________;14.已知的面积为，则_____________;15.已知向量，若,则的最小值为___________;16.已知半径为的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个两两互相垂直的面都相切，若则球的体积是_____________________.四、解答题（本大题共6小题；共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分）在①,②,三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：(1)求;(2)若,则求18.(本小题满分12分）如图，圆锥的底面直径和高均是,过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，(1)求圆柱的表面积；(2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.12z i =+z z ⋅= ABC ∆2,3AB B π=∠=sin sin B C =()(),1,4,2,0,0a m b n m n ==->> //a b 18m n+R sin cos a C A =222b c a bc +-=cos 1A A -=A 2a =ABC ∆,b cPO a PO O '19.(本小题满分12分）已知三角形中，三边长为，满足.(1)若,求三个内角中最大角的度数；（2)若,且,求的面积20.本小题满分12分）已知的顶点坐标为,点的横坐标为4,且,是边上一点，且(1)求实数的值与点的坐标；(2)求点的横坐标与纵坐标之和.21.本小题满分12分）图，在扇形中，,半径为弧上一点.(1)若求的值;(2)求的最小值;22.(本小题满分12分）平面直角坐标素中，为坐标原点，已知向量,又点(1)若,且(2)若向量与向量共线，常数,求的值域.ABC ∆,,a b c 2b a c =+sin :sin 3:5A B =1b =22()BA BC b a c ⋅=-- ABC ∆OAB ∆()()()0,0,2,9,6,3O A B -P OP PB λ= Q ABOQ AP ⋅= λP Q OAB 120AOB ︒∠=1,OA OB P ==AB OA OB ⊥PA PB ⋅ PA PB ⋅ O ()1,2a =- ()()()8,0,,1,sin ,,A B n C k t Rθθ∈AB a ⊥ AB = OBAC a 0k >()sin f t θθ=参考答案一、单项选择题1.D2.B3.B4.A5.C6.C7.A 8 .D二、多项选择题9.CD 10.ABC 11.AD 12.ABC三填空题-四、解答题17.解：若选①(1).即(2)由余弦定理：即,解得94,23πsin cos a C A =sin sin cos A C C A∴=sin A A∴=tan A ∴=3A π∴=112,sin sin 223a S bc A bc π==== 4bc ∴=2222cos a b c bc A=+-228b c =+2b c ==若选②(1)由余弦定理，（2）由余弦定理： 解得：若选③(1)(2)由余弦定理：解得：18.解：(1)设圆锥底面半径为,圆柱底面半径为，因为过的中点作平行干底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱可得;且圆柱母线长圆锥母线长,所以圆柱的表面积为：222b c a bc+-= 1cos 23A A π=∴=12,sin 2a S bc A === 228b c +=2b c ==cos 1A A -=1sin 62A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭5,666A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3A π∴=112,sin sin 223a S bc A bc π==== 4bc ∴=228b c +=2b c ==r r 'PO O 'ar=,24ar '=2a l '=l ==2225222244296a a a S r r l a πππππ⎛⎫'''=+=⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭(2)剩下几何体的体积19.解：(1)因为满足又所以设,则最大角为,由得(2)又由,得，所以三角形的面积为20.解：(1)设,则,由得,解得,所以点22215396V r OP r OO a πππ'=⋅-⋅=,,a b c 2b a c=+sin :sin =3:5A B :3:5a b =3,5,7a k b k c k ===C 2221cos 22a b c C ab +-==-120C ︒=()22BA BC b a c ⋅=-- ()22cos ac B b a c =--2222cos b a c ac B=+- cos 2cos 2ac B ac B ac∴=-+2cos ,sin 3B B ∴==1,2b a c =+= ()22cos ac B b a c =--910ac ∴=1sin 2ac B =()4,P y ()4,OP y = ()2,3PB y =- OP PB λ=()()4,2,3y y λ=-2,2y λ==-()4,2P -(2)设;则由（1)得,①点在边上，所以又即.②.联立①②，解得21.解：(1)当时，如图所示.因为,所以,所以在中，由余弦定理，得因为所以又所以(),Qa b (),OQa b = ()2,11AP =- 0OQ AP ⋅=2110ab ∴-=Q AB//AQ AB()()4,12,2,9AB AQ a b =-=-- ()4912(2)0b a ∴-+-=3150a b +-=33639,,777a b a b ==+=OA OP ⊥120AOB ︒∠=30POB ︒∠=180301202OPB ︒︒︒-∠==7545120APB ︒︒︒∠=+=POB ∆2222cos PB OB PO OP OB POB =+-⋅∠1122=+-=22PB =PB = PA = cos PA PB PA PB APB APB ⋅=⋅∠=∠=（2）以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系；则因为,所以设,其中则，，所以当时，即时取得最小值;22.解：(1) ,且O OA x ()1,0A 120,1AOB OB ︒∠==12B ⎛-⎝()cos ,sin P αα2[0,]3πα∈()11cos ,sin cos 2PA PB αααα⎛⎫⋅=--⋅-⎪ ⎪⎝⎭221cos cos sin 2αααα=-++()1sin 302α︒=+2[0,]3πα∈ 5[,]666πππα∴+∈1sin [,1]62πα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭62ππα+=3πα=12-()8,AB n t =- AB a ⊥ AB =11解得当时，;当时，所以向量)或(2) ,向量与向量共线，常数①当即时，当时取得最大值时，取得最小值,此时函数的值域为,②当即时，当时，取得最大值,此时函数的值域是综上所述，当时f(8)的值域为当时值域为.()82n t ∴--+==8t =±8t =24n =8t =-8n =-()24,8OB = ()8,8OB =-- ()sin 8,AC k t θ=- AC a 0k >2sin 16t k θ∴=-+()22432sin 2sin 16sin 2sin f t k k k kθθθθθ⎛⎫==-+=--+ ⎪⎝⎭401k <<4k >4sin k θ=()sin f t θθ=32ksin 1θ=-()sin f t θθ=216k --()sin f t θθ=32[216,k k --41k ≥04k <≤sin 1θ=()sin f t θθ=216k --()sin f t θθ=[216,216]k k ----4k >32[216,]k k --04k <≤[216,216]k k ----。
2021-2022学年浙江省金华市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年浙江省金华市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复平面内，()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，然后对()2i z -化简，结合()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上可求出,a b 的范围，从而可求出复数z 对应的点所在的象限【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，所以()()()2i i 22i a b a b b a -+=++-，则2020a b b a +=⎧⎨->⎩，即22b a a b =-⎧⎨<⎩，所以a<0，0b >，故该点在第二象限， 故选：B ．2．平行四边形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近B ），则EF =（ ） A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB AD +D ．1223AB AD -．【答案】D【分析】用向量的加法和数乘法则运算.【详解】由题意：点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，∴11122323EF ED DA AB BF AB AD AB AD AB AD =+++=--++=-.故选：D.【点睛】方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得.3．已知向量()63,9a t =+，()42,8b t =+，若//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，则t =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t 的值． 【详解】向量()63,9a t =+，()42,8b t =+， 所以()63,1113a b t =++， ()1242,5a b t =+-，又//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，所以()()56311420t t +-+=，解得12t =-．故选：B ．4．已知矩形ABCD 的一边AB 的长为4，点M ，N 分别在边BC ，DC 上，当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()0AM AN BD +⋅=.若AM AN x AB y AD +=+，x +y ＝3，则线段MN 的最短长度为（ ） A ．3 B ．2C ．23D ．22【答案】D【分析】先根据M ，N 满足的条件，将()0AM AN BD +⋅=化成,AD AB 的表达式，从而判断出矩形ABCD 为正方形；再将AM AN x AB y AD +=+，左边用,AD AB 表示出来，结合x +y ＝3，即可得NC +MC ＝4，最后借助于基本不等式求出MN 的最小值.【详解】当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()1122AM AN BD AD AB BD AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()2233022AD AB AB AD AD AB =+⋅-=-= 所以AD ＝AB ，则矩形ABCD 为正方形，设,NC AB MC AD λμ==，则()()11AM AN AB AD AB AD xAB yAD μλ+=+-+-+=+则2,2x y λμ=-=-，又x +y ＝3，所以λ+μ＝1.故NC +MC ＝4，则MN =（当且仅当MC ＝NC ＝2时取等号）.故线段MN 的最短长度为故选：D.5．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．9【答案】B【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -，故4M m -=. 故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.6．已知球的半径为R ，一等边圆锥.(圆锥母线长与圆锥底面直径相等)位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（ ）A ．234R π B ．294R π C 2 D 2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r ，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r ，由圆锥的表面积公式可得所求．【详解】如图，设圆锥的底面半径为r ， 则圆锥的高为3r ， 则222(3)R r r R =+-， 解得32r R =， 则圆锥的表面积为2223S r r r r πππ=+⋅=22393()24R R ππ==， 故选：B ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是通过建立等式得到32r R =. 7．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）．A 162B 326C 1282D 5126【答案】D【分析】考虑当丸子与六面体各个面都相切时的情况，利用等体积的方法求解出此时丸子的半径，则最大体积可求解出.【详解】六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积142S =⨯⨯=，所以四面体的体积为13⨯=2， 根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切，连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为R ，所以163R ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以R =，所以丸子的体积为343π⨯=⎝⎭， 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析丸子与六面体的位置关系以及采用等体积法求解丸子的半径，本例中六面体是规则对称图形，其体积的计算方式有两种：（1）13⨯底面积⨯高，求解体积；（2）利用丸子的半径作为高，六面体的每个面作为底面，求六个三棱锥的体积之和即为六面体体积.8．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据题意画出图形，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则由圆的相交弦定理可得((211r =⋅，从而可求得212x r =-，进而可表示出圆台的侧面积，求出其最大值，从而可得,x r 的值，然后在Rt CFB △求出圆台母线与底面所成角的余弦值即可【详解】如图1所示，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则1BF r =-，OO CF '===2得CO O D ''⋅=()()11O E O H OO OO ''''⋅=+⋅-，即((211r =⋅，解得212x r =-，则圆台侧面积()2π11022x S x x ⎛⎫=⋅+-⋅<< ⎪⎝⎭，则'2322S x ππ=-，令'0S =，则233x =或233x =-（舍去），当2303x <<时，'0S >，当2323x <<时，'0S <，所以函数2π112x S x ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭在230,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，在23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递减， 所以当233x =时，S 取得最大值． 当233x BC ==时，21123x r =-=，则213BF r =-=．在轴截面中，OBC ∠为圆台母线与底面所成的角，在Rt CFB △中可得3cos 3BF OBC BC ∠==， 故选：D ．【点睛】方法点睛：本题是立体几何中最值的综合性问题．旋转体的问题常需正确做出轴截面图进行分析，最值问题要注意“选元”“列式”“讨论最值”三个环节，考查线面角的余弦值，属于较难题二、多选题9．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b bc =+，则角A 可为（ ） A ．34πB ．4π C ．712π D ．23π 【答案】BC【分析】利用余弦定理化简可得cos 2c bA b；分别验证各个选项中的A 的取值，根据0c >可确定正确选项.【详解】由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，又22a b bc =+，2222cos b bc b c bc A ∴+=+-，整理可得：cos 2c bA b； 对于A ，2cos 2c b A b -==(120c b =<，A 错误；对于B ，2cos 22c b A b -==，则()12c b =+，B 正确； 对于C ，26cos 24c b A b --==，则22602c b +-=>，C 正确；对于D ，1cos 22c b A b -==-，则0c ，D 错误. 故选：BC.10．如图，四边形ABCD 为直角梯形，∠D ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．12AC AD AB =+ B ．1122MC AC BC =+ C ．12BC AD AB =- D ．14MN AD AB =+【答案】ABC【分析】直接由向量的加减法法则、平面向量基本定理即可解决问题. 【详解】由12AC AD DC AD AB =+=+，知A 正确； 由1()2CM CA CB =+，得()12MC AC BC =+知B 正确；由12BC MD AD AM AD AB ==-=-知C 正确； 由N 为线段DC 的中点知1124MN MA AD AD AB =+=-，知D 错误； 故选：ABC .11．下列说法正确的有（ ）A ．任意两个复数都不能比大小B ．若()i ,z a b a R b R =+∈∈，则当且仅当0a b 时，0z =C ．若12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==D ．若复数z 满足1z =，则2i z +的最大值为3 【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可. 【详解】解：对于A 选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A 不正确；对于B 选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B 正确；对于C 选项，当121,i z z ==，满足22120z z +=，但120z z ==，所以C 不正确；对于D 选项，复数z 满足1z =，则复数z 在复平面内的轨迹为单位圆，则2i z +的几何意义，是单位圆上的点到()0,2-的距离，它的最大值为3，所以D 正确； 故选：BD.12．如图，已知1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点，则（ ）A ．()11110AC A B A A ⋅-=B ．()2211116B A B B B CCD ++=C ．向量1A B 与向量1AD 的夹角是60︒ D ．异面直线EF 与1DD 所成的角为45︒【答案】ABD【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()10,2,2D所以()12,2,2AC =-，()11112,0,2B A A B A A -==， 因此()111111440AC A A B B A A A C ⋅-=⋅=-=；故A 正确；又()()()1111112,0,20,2,22,2,4B A B B B C B A B C ++=+=--+-=--，()2,0,0CD =-， 所以()21111441624B A B B B C++=++=，2246CD =，因此()2211116B A B B B CCD ++=，即B 正确；因为()12,0,2A B =-，()10,2,2AD =， 所以1111111cos ,24A AD A AD A AD B B B ⋅<>===-，因此向量1A B 与向量1AD 的夹角是120︒；故C 错；因为E ，F 分别是BC ，1A C 的中点，所以()2,1,0E ，()1,1,1F ，则()1,0,1EF =-，又()10,0,2DD =， 所以111cos ,1EF DD EF DD EF DD ⋅<>===+ 又异面直角的夹角大于0︒且小于等于90︒，所以异面直线EF 与1DD 所成的角为45︒；即D 正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.三、填空题13．已知向量()1,2a =-，()21,1b m =-，且a b ⊥，则2a b -=__________. 【答案】5【分析】由已知可得32m =，()2,1b =，代入即可求出答案.【详解】由a b ⊥可得，0a b ⋅=，即()2120m --+=，解得32m =，()2,1b =， 所以()()()21,24,25,0a b -=--=-， 所以()2255a b -=-.故答案为：5.14．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________【答案】72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤,1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影.故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.15．正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A ，B ，C ，D ，E 是正五边形的五个顶点，且512MN AM -=，若QN a =，则N C M P +=__________（用a 表示）.51+ 【分析】使用平面向量线性运算知识进行求解即可.【详解】由已知，结合正五角星的图形，有 M NM CP A NM NM MA NA +=+=+=，∵NA 与QN 方向相同，5151NANA AM QN MN QN +====- ∴515122CP NA QN N a M +++===. 51+. 16．如图，平面ABC ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为矩形，BE ＝2，BC ＝4，ABC 的面积为3点P 为线段DE 上一点，当三棱锥P ﹣ACE 的体积为33时，DP DE ＝__． 【答案】34 【分析】过A 作AF ⊥BC 的延长线，垂足为F ，证明AF ⊥平面BCDE ，再由已知求得AF ，进一步求出三棱锥D ﹣ACE 的体积，利用P ACE D ACE V PE DE V --=求得PE DE，进一步得到答案. 【详解】解：如图，过A 作AF ⊥BC 的延长线，垂足为F ，∵平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ∩平面BCDE ＝BC ，∴AF ⊥平面BCDE ，由BE ＝2，BC ＝4，ABC 的面积为23，得1232BC AF ⋅=， ∴AF ＝3，则1132D ACE A CDE V V DE BE AF --==⨯⨯⨯⨯ ＝1132⨯⨯4×2×4333=； ∵1132P ACE A PCE V V PE BE AF --==⨯⨯⨯⨯＝33． ∴3134433P ACE D ACE V PE DE V --===，则34DP DE =．故答案为：34．四、解答题17．已知向量()2sin ,1m A =，()sin ,3n A A =-，m n ⊥，其中A 是ABC 的内角.（1）求角A 的大小；（2）若角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a =0AB BC ⋅>，求b c +的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）32b c ⎫+∈⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）由m n ⊥和三角恒等变换可得答案；（2）由0AB BC ⋅>和3A π=可得223B ππ<<，然后由正弦定理可得2sin sin 36b c B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角函数的知识可得答案. 【详解】（1）因为()22sin sin 32sin cos 31cos 223m n A A A A A A A A ⋅=-=+-=--2sin 2206A π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 即有2262A k πππ-=+，（Z k ∈），3A k ππ=+，（Z k ∈）， 又A 为ABC 的内角，所以3A π=；（2）由0AB BC ⋅>，得B ∠为钝角，从而223B ππ<<由正弦定理，得21sin sin sin 3b c B C π=== 所以sin b B =，2sin sin 3c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则2sin sin 36b c B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又223B ππ<<，所以25366B πππ<+<，则32b c ⎫+∈⎪⎪⎝⎭18．如图，在OAB 中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足13AP AB =，Q 是OB 中点.（Ⅰ）若()0,0O ，()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且13ON OA =，求NQ 的坐标和模 （Ⅱ）若AQ 与OP 的交点为M ，又OM tOP =，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）()1,1ON =-，2NQ =；（Ⅱ）3t 4=. 【分析】（Ⅰ）由12OQ OB =，根据13ON OA =，求得4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,13ON ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而求得向量NQ 坐标，进而求得向量NQ 的模；（Ⅱ）因为13AP AB =，得到2133OP OA OB =+，进而得到233t t OM OA OB =+和()12OM OA OB μμ=-+，即可求解.【详解】（Ⅰ）由Q 是OB 中点，可得12OQ OB =， 又由13ON OA =，且()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,13ON ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1NQ OQ ON =-=-且()22112NQ =+-=. （Ⅱ）如图所示，因为13AP AB =，所以()13OP OA OB OA -=-， 可以化简为：2133OP OA OB =+， 又OM tOP =，所以2123333t t OM tOP t OA OB OA OB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ① 不妨再设AM AQ μ=，即()()1OM OA OQ OA OM OA OQ μμμ-=-⇒=-+， 由Q 是OB 的中点，所以12OQ OB =，即()12OM OA OB μμ=-+ ② 由①②，可得213t μ-=且23t μ=，解得3t 4=.19．已知复数()()21211i,221i(R,i 2z a z a a a =+-=++∈+是虚数单位). (1)若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；(2)若虚数1z 是实系数一元二次方程2440x x m -+=的根，求实数m 值.【答案】(1)322a -<<- (2)5m =【分析】（1）求出12z z -，由其对应点的坐标列不等式求解；（2）1z 也是方程的根，根据韦达定理先求得a ，再求得m ．【详解】（1）由已知得到()2121223i 2z z a a a -=-+--+，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以21202230a a a ⎧->⎪+⎨⎪-->⎩，解得32231a a a ⎧-<<-⎪⎨⎪><-⎩或，所以32;2a -<<- （2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程2440x x m -+=的根，所以1z 是方程的另一个根，所以11212z z a +==+，所以0a =， 所以1111i,i 22z z =-=+， 所以11544m z z ⋅==，所以5m =. 20．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AD =DC =AC ，且CP ⊥平面P AD ，E 为AD 的中点.(1)证明：AD ⊥平面PCE ；(2)若3PA AD =，求二面角A ﹣PC ﹣E 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由题意证得AD ⊥CE ，AD ⊥CP ，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以点E 为坐标原点，EA 为x 轴，EC 为y 轴，过点E 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PCE 和平面PAC 的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：如图，连接AC ，∵AD =DC =AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵点E 为AD 的中点，∴AD ⊥CE ，∵CP ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴AD ⊥CP ，∵CP ∩CE =C ，CP ，CE ⊂平面PCE ，∴AD ⊥平面PCE .（2）如图，以点F 为坐标原点，EA 为x 轴，EC 为y 轴，过点E 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则E （0，0，0），设点A （1，0，0），则C （00），由（1）知AD ⊥平面PCE ，设P （0，y ，z ），（y >0，z >0），3,12PA ADPA PC =∴==， )2222131y z y z ⎧++=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得y z P ⎛=∴ ⎝⎭，()360,,,1,33PC AC ⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PAC的法向量(),,m x y z =，则3030m PC y m AC x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取1y =，得3,1,m ⎛= ⎝⎭， 由（1）知，平面PCE 的一个法向量()1,0,0EA =，设二面角A PC E --的平面角为θ，则二面角A PC E --的余弦值为：cos 1m EAm EA θ⋅===⋅⨯21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求直线AB与平面DCC1所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）连接AC1，交A1C于E，连接DE，由中位线的性质知DE∥BC1，再由线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，计算平面DCC1的法向量，利用线面角的向量公式，即得解【详解】（1）证明：连接AC1，交A1C于E，连接DE，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是AC1的中点，∵D是AB的中点，∴DE∥BC1，∵DE⊂平面A1DC，BC1 平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.（2）取AC的中点O，连接A1O，BO，∵△ABC 和△A 1AC 都是正三角形，∴A 1O ⊥AC ，BO ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，∴A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥BO ，以O 为原点，OB 、OC 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ＝2，则A （0，﹣1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （32，12-，0），C 1（0，2，3）， ∴AB ＝（3，1，0），CD ＝（32，32-，0），1DC ＝（32-，52，3）， 设平面DCC 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则100n CD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33022353022x y x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩， 令x ＝3，则y ＝3，z ＝﹣1，∴n ＝（3，3，﹣1），设直线AB 与平面DCC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜AB ，n ＞|＝|||||AB n AB n ⋅⋅|＝|3332931+⨯++|＝2313， 21cos 1sin 13θθ=-=∴tan θ＝23，故直线AB 与平面DCC 1所成角的正切值为23.22．如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ；（Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）线段EF 上是存在一点N ，||1EN =，使直线CN与平面BCF 【分析】（Ⅰ）取AC 中点P ，连结MP 、FP ，推导出四边形EFPM 是平行四边形，从而//FP EM ，由此能证明//EM 平面ACF ;（Ⅱ）取AB 中点O ，连结CO ，FO ，推导出FO ⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦EN t =．利用向量法能求出结果． 【详解】（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点， //EF MP =∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴， EM ⊂/平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，//EM ∴平面ACF ．（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0B ，1，0)，C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)， (3BC =1-，0)，(0BE =，0，1)，(0BF =，1-，1)，设平面BCE 的法向量(n x =，y ，)z ， 则·30·0n BC x y n BE z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n =0)， 设平面BCF 的法向量(m a =，b ，)c ，则·30·0m BC a b m BF b c ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1a =，得(1,3,m =，设二面角E BC F --的平面角为θ， 则||427cos ||||747m n m n θ===． ∴二面角E BC F --的余弦值为277． （Ⅲ）解：假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121，设||EN t =． 则(0N ，1t -，1)，(3CN =-，1t -，1)，平面BCF 的法向量(1,3,3)m =，2|||33|21|cos ,|21||||4(1)7CN m t CN m CN m t -∴<>===+-，解得212t =-， ∴线段EF 上是存在一点N ，2||12EN =-，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2021学年高一下学期期中数学试卷 (解析版)
一、选择题（共10小题）.1．已知角α终边上有一点P（3，﹣4），则sinα的值是（）A．B．C．D．2．的化简结果是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，AC，BC＝2，B＝60°，则角A的值为（）A．75°B．45°C．45°或135°D．135°4．已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）最小正周期为2πB．函数f（x）在区间（0，π）上是减函数C．函数f（x）的图象关于（kπ，0）（k∈Z）对称D．函数f（x）是偶函数5．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝27，则a2+a4+a6+…+a2020值为（）A．B．C．D．6．对于实数a，b，c，有下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a＞b，且a+c＞b+d，则c＞d；③若a＞b，且，则a＞0，b＜0；④若c＞a＞b＞0，则．其中真命题的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④7．已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，且α，β∈（0，π），则α+β的值为（）A．B．C．D．8．在等差数列{an}中，am+an＝a4+a5，则的最小值为（）A．B．C．D．19．已知向量，满足|，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为θ，则tanθ的值为（）A．﹣2B．2C．D．10．数列{an}为递增的等差数列，数列{bn}满足bn＝anan+1an+2（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，若a2，则当Sn取得最小值时n的值为（）A．14B．13C．12D．11二、填空题（本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．已知向量（1，2），（2，﹣2），|2|＝，在方向上的投影为．12．求值：，cos275°+cos215°+cos75°cos15°＝．13．在△ABC中，三边长分别为a﹣2，a，a+2，最大角的余弦值为，则a＝，S△ABC＝．14．已知，则sin2x＝，．15．等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，若满足条件：a1＞1，a99•a100﹣1＞0，，当Tn取得最大时，n＝．16．已知函数f（x）＝﹣x2﹣2mx+4，若对于任意x∈[m，m+2]，都有f（x）＞0成立，则实数m的取值范围为．17．不共线的向量，的夹角为θ，若向量与的夹角也为θ，则cosθ的最小值为．三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），（0＜φ＜π），它的图象的一条对称轴是直线x．（1）求φ的值及函数f（x）的递增区间；（2）若f（α），且α∈（，），求sin2α．19．已知平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠DAB＝60°，点E是线段BC的中点．（1）求的值；（2）若，且BD⊥AF，求λ的值．20．数列{an}前n项和为Sn，满足Sn＝2n﹣3，数列{bn}为等差数列且b2＝S3，b4﹣b2＝4S2．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若cn，求数列{cn}的前n项和Tn．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）设BC的中点为D，且AD，求a+2c的取值范围．22．已知数列{an}满足a1＝3，a2，且2an+1＝3an﹣an﹣1．（1）求证：数列{an+1﹣an}是等比数列，并求数列{an}通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和为Tn，若Tn＞12对任意的正整数n恒成立，求k的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知角α终边上有一点P（3，﹣4），则sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求出sinα的值．解：由角α终边上有一点P（3，﹣4），可得x＝3、y＝﹣4、r ＝|OP|＝5，sinα，故选：A．2．的化简结果是（）A．B．C．D．【分析】利用向量加减的几何意义，直接计算即可．解：∵（）；故选：A．3．在△ABC中，AC，BC＝2，B＝60°，则角A的值为（）A．75°B．45°C．45°或135°D．135°【分析】由已知及正弦定理可得sinA，结合AC＞BC，由大边对大角可得：B＞A，A为锐角，从而解得A．解：∵在△ABC中．AC，BC＝2，B＝60°，∴由正弦定理可得：sinA，∵AC＞BC，可得：B＞A，A为锐角，∴解得A＝45°，故选：B．4．已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）最小正周期为2πB．函数f（x）在区间（0，π）上是减函数C．函数f（x）的图象关于（kπ，0）（k∈Z）对称D．函数f（x）是偶函数【分析】先根据诱导公式可知，，再根据余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项即可．解：，由余弦函数的图象可知，函数的最小正周期，即A正确；在区间（0，π）上是减函数，即B正确；关于（，0）（k∈Z）对称，即C错误；是偶函数，即D正确．故选：C．5．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝27，则a2+a4+a6+…+a2020值为（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1，a4＝27，可得q3＝27，解得q．可得an，a2n．利用等比数列的求和公式即可得出．解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a4＝27，∴q3＝27，解得q＝3．∴an＝3n﹣1，∴a2＝3，q2＝9．∴a2n＝3•9n﹣1．则a2+a4+a6+…+a2020＝3（32020﹣1）．故选：A．6．对于实数a，b，c，有下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a＞b，且a+c＞b+d，则c＞d；③若a＞b，且，则a＞0，b＜0；④若c＞a＞b＞0，则．其中真命题的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【分析】①取c＝0即可作出判断；②举反例，如a＝1，b＝﹣1，c＝2，d＝3；③④均结合作差法和不等式的性质即可判断．解：若c＝0，则ac＝bc，即①错误；例如a＝1，b＝﹣1，c＝2，d＝3，则有1+2＞﹣1+3，即满足a+c＞b+d，但c＜d，故②错误；∵，∴，∵a＞b，∴b﹣a＜0，∴ab＜0，由于a ＞b，因此a＞0，b＜0，即③正确；，∵c＞a＞b＞0，∴a﹣b＞0，c﹣a＞0，c﹣b＞0，∴．即，故④正确．∴真命题有③和④，故选：D．7．已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，且α，β∈（0，π），则α+β的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得，，然后结合两角和的正切公式及角的范围可求．解：由题意可得，，故tanα＜0，tanβ＜0，因为α，β∈（0，π），故α，β∈（，π），π＜α+β＜2π，故tan（α+β）1，所以α+β．故选：C．8．在等差数列{an}中，am+an＝a4+a5，则的最小值为（）A．B．C．D．1【分析】等差数列{an}中，由am+an＝a4+a5，可得：m+n ＝4+5＝9．再利用“乘1法”、基本不等式的性质即可得出．解：等差数列{an}中，由am+an＝a4+a5，可得：m+n＝4+5＝9．则（m+n）（）（5）（5+2）≥1，当且仅当n＝2m，解得m＝3，n＝6．故选：D．9．已知向量，满足|，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为θ，则tanθ的值为（）A．﹣2B．2C．D．【分析】根据题意，分析可得（）与垂直，据此可得有（）••2cosθ+1＝0，变形可得cosθ的值，解可得sin θ的值，进而计算可得答案．解：根据题意，对任意的实数x，不等式恒成立，则（）与垂直，则有（）••2cosθ+1＝0，解可得cosθ，又由0≤θ≤π，则sinθ，则tanθ；故选：C．10．数列{an}为递增的等差数列，数列{bn}满足bn＝anan+1an+2（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，若a2，则当Sn取得最小值时n的值为（）A．14B．13C．12D．11【分析】先根据条件求得数列{an}的通项，得到何时值为正，何时为负，进而得到数列{bn}正负的分界线即可求得结论．解：因为数列{an}为递增的等差数列，设其公差为d，则d＞0；因为a2，∴a1+d（a1+6d）⇒a1d；∴an＝a1+（n﹣1）d＝（n）d；当n≥14时，an＞0；当n≤13时，an＜0；∵数列{bn}满足bn＝anan+1an+2（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，故数列{bn}前13项为负值；故当n＝13时，Sn取得最小值；故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11．已知向量（1，2），（2，﹣2），|2|＝，在方向上的投影为．【分析】先根据线性坐标运算求出2，即可求得其模长；再由平面向量数量积的定义可知，在方向上的投影为，然后结合数量积的坐标运算即可得解．解：∵（1，2），（2，﹣2），∴2（4，2），∴|2|；在方向上的投影为．故答案为：；．12．求值：，cos275°+cos215°+cos75°cos15°＝．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角恒等式的应用求出结果．解：①cos tan（）．②cos275°+cos215°+cos75°cos15°1．故答案为：13．在△ABC中，三边长分别为a﹣2，a，a+2，最大角的余弦值为，则a＝ 5 ，S△ABC＝．【分析】直接利用余弦定理的应用求出a的值，进一步利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：在△ABC中，三边长分别为a﹣2，a，a+2，所以：最大边长为a+2，最大角的余弦值为，则，解得a＝5．故sinC故：三角形的三边长为3，5，7．所以．故答案为：5，14．已知，则sin2x＝，．【分析】利用三角函数的恒等变换，化简得sin2x •tan（x），依题意，分别求得sin2x与tan（x）的值，即可求得答案．解：si n2x•tan（x）．∵x，∴x2π，又∵cos（x），∴sin（x）．∴tan（x）．∴cosx＝cos[（x）]＝cos（x）cos sin（x）sin（）．∴sinx＝sin[（x）]＝sin（x）cos sin cos（x）＝（），可得sin2x＝2sinxcosx＝2×（）×（）．∴（）．故答案为：，．15．等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，若满足条件：a1＞1，a99•a100﹣1＞0，，当Tn取得最大时，n＝99 ．【分析】由已知结合等比数列的性质可得a99＞1＞a100，进而可求．解：由a1＞1，a99•a100﹣1＞0，，可得a99＞1＞a100，所以当n＝99时，Tn最大．故答案为：9916．已知函数f（x）＝﹣x2﹣2mx+4，若对于任意x∈[m，m+2]，都有f（x）＞0成立，则实数m的取值范围为（0，）．【分析】直接利用不等式的性质和不等式组的解法的应用求出结果．解：函数f（x）＝﹣x2﹣2mx+4，若对于任意x∈[m，m+2]，都有f（x）＞0成立，只需满足：即可，整理得：，解得，即．故m的取值范围是（0，）．故答案为：（）17．不共线的向量，的夹角为θ，若向量与的夹角也为θ，则cosθ的最小值为．【分析】可根据向量的加减法的几何意义，作出图形，可得三角形相似，利用余弦定理、三角形相似列出方程，表示出cos θ，然后求其最小值．解：如图，不妨令，，则，，∴∠A＝∠BDC＝θ，∠C是公共角，∴△ADC∽△DBC．则①．在△ADC中，DC2＝AD2+AC2﹣2×AD×AC×cosθ＝x2+4﹣4xcosθ．在△DBA中，DB2＝x2+1﹣2xcosθ，结合①可得：，整理得，即，所以，即，所以．或，2cosθ≤2，故舍去．故．故答案为：．三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）＝sin（2x+φ），（0＜φ＜π），它的图象的一条对称轴是直线x．（1）求φ的值及函数f（x）的递增区间；（2）若f（α），且α∈（，），求sin2α．【分析】（1）由已知结合正弦函数的对称性可求φ，代入已知函数解析式后，结合正弦函数的单调性即可求解；（2）由已知结合同角平方关系及和差角公式即可求解．解：（1）直线是函数图象的一条对称轴，∴，∴，∴，，∴，∴，单调增区间为，（2）由题意，∵，∴，∴，∴19．已知平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠DAB＝60°，点E是线段BC的中点．（1）求的值；（2）若，且BD⊥AF，求λ的值．【分析】（1）根据条件，可以点A为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，从而可得出的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；（2）可以得出，然后根据BD ⊥AF即可得出，进行向量数量积的坐标运算即可求出λ的值．解：（1）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则：A（0，0），C（4，），E（3，）B（2，0）D（2，），∴，∴；（2），，∵BD⊥AF，∴，∴．20．数列{an}前n项和为Sn，满足Sn＝2n﹣3，数列{bn}为等差数列且b2＝S3，b4﹣b2＝4S2．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若cn，求数列{cn}的前n项和Tn．【分析】（1）先利用an＝Sn﹣Sn﹣1求得an，然后设等差数列{bn}的公差为d，列出含d的方程组，求出d与首项b1，即可求得bn；（2）先求b1+b2+b3+…bn，再求cn，然后利用裂项相消法求出Tn．解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝﹣1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，综上an；∵b2＝S3，b4﹣b2＝4S2，∴，解得：d＝2，b1＝3，∴bn＝b1+（n﹣1）d＝2n+1．（2）∵b1+b2+b3+…bn n（n+2），∴cn，∴Tn[（）+（）+（）+…+（）]．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求角B的大小；（2）设BC的中点为D，且AD，求a+2c的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换出结果．（2）利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由题意得，化简得．∵sinA≠0，∴．∴，∴．（2）设∠BAD＝θ，则△ABD中，由可知，由正弦定理及，可得，所以∴．由，可知，，∴，∴22．已知数列{an}满足a1＝3，a2，且2an+1＝3an﹣an﹣1．（1）求证：数列{an+1﹣an}是等比数列，并求数列{an}通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和为Tn，若Tn＞12对任意的正整数n恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）由2an+1＝3an﹣an﹣1⇒，又a2﹣a1，则数列{an+1﹣an}是等比数列，进而求出其通项公式；（2）根据（1）中求得的结果，先求出nan，再利用错位相减法求前n项和Tn，然后求出k的取值范围．解：（1）证明：∵2an+1＝3an﹣an﹣1，∴，又a2﹣a1，∴数列{an+1﹣an}是首项为，公比为的等比数列，∴，即a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an﹣1（n≥2）．等式两边同时相加得an﹣a1（n≥2），则，（n≥2）又n＝1也适合上式，∴；（2）解：∵①，∴②，由①﹣②得∴，又，∴k，令cn＝n（6n+12）•（）n，由cn+1﹣cn＝（n+1）（6n+18）（）n+1﹣n（6n+12）•（）n＝3•（）n（3﹣n2），∴当n＝1时，cn+1＞cn；当n≥2时，cn+1＜cn，∴（∁n）max＝C2＝12，∴k＞12．。
苏州市吴江区2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案
苏州市吴江区2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、单选题1. 下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角.其中正确命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 3.已知函数，为其图像的对称中心，，是该图像上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是（）A.，B. ，C. ，D. ，4.欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单90︒60︒5α=αiz 11z i ≤++≤1z i --11())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭B C4BC =()f x 32,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭k Z∈132,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k Z∈34,422k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭k Z∈134,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k Z∈cos sin i e i θθθ=+e i位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（ ）A. 1B. 0C. -1D. 5.甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶半小时，两船的距离是（ ）A. B. C. D. 6.已知，且，，则的值是（）A.B.C.D.7.在中，角A ，B ，C 所以对的边分别为a 、b 、c ，若，的，（ ）A. B. C.D.或38.已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）A. -4B. -1C. 1D. 4i e π-=1i+B A 12km AB =8km/h B 8km/h 60︒(),0,αβπ∈()1tan 3αβ-=1tan 7β=2αβ-4π34π54π74πABC △sin sin B C A =ABC △a b +=c =ABC △2AB =1AC =1AB AC ⋅=O ABC △230OA OB OC ++= AO BC ⋅9.已知复数的实部与虚部之和为-2，则的取值可能为（ ）A.B.C. D.10.在中，.若，则的值可以等于（ ）A. B.C. 2D. 311.甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有（ ）A. 甲楼的高度为B. 甲楼的高度为C.D. 乙楼的高度为12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 最小正周期是B. 是偶函数C. 在上递增D. 是图象的一条对称轴()3cos cos 202z i αααπ=+<<α3π23ππ53πABC △()sin sin 3sin 2C A B B +-=3C π=ab121320m 60︒30︒42()sin cos f x x x =+2π()f x ()f x ,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭8x π=()f x13.定义运算，则符合条件的复数对应的点在第________象限.14.在中，，，若，则的取值范围为________.15.若函数的图象关于点对称，则实数__________.16.在中，角，，的对边，，为三个连续偶数，且，则__________，最大角的余弦值为__________.四、解答题（共6题；共70分）17.已知，向量，.（1）若向量与平行，求的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.18.已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求的值.19.在中，角，，的对边分别是，，，且.（1）若，，求的值；ab ad bc cd =-102z i i i+=-z ABC △1OA OB ==23AOB π∠=OC OA OB λμ=+ OC = λμ+()sin 23cos 2f x m x x =+3,08π⎛⎫⎪⎝⎭m =ABC △A B C a b c 2C A =a =k R ∈()1,1a k =+ (),2b k =2a b - bk 2a b - bk ())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭3x π=πωϕ2263f αππα⎛⎫⎫=<< ⎪⎪⎝⎭⎭cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC △A B C a b c 3B π=32BA BC ⋅= b =a c +（2）求的取值范围.20.在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，，求；（2）求的取值范围.21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、三点满足.（1）求证：、、三点共线；（2）已知、，，的最小值为5，求实数的值.22.如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的后到达到达山顶.（1）求山的高度；（2）现山顶处有一塔从到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为（）若点处高度，则为何值时，视角最大？2sin sin A C -ABC △A B C a b c sin 2sin a B b A =3a =b =c cos cos a C c Ab-O A B C 1233OC OA OB =+A B C ()1,cos A x ()1sin ,cos B x x +0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦21()23f x OA OC m AB m ⎛⎫=⋅+++ ⎪⎝⎭ m A B 45︒α1tan 3α=D B BE 1km 4CB =A D P θCPB θ∠=P km PF x =x θ参考答案一、单选题1. B2. D3. D4. C5. C6. A7. D8. B 二、多选题9.BC10.AD 11.AC 12.ABC 三、填空题13. 二 14. 15. 3 16.8；四、解答题17.（1）由向量，，所以，又与平行，所以，解得或.（2）若向量与的夹角为锐角，则，解得；由（1）知，当时，与平行，所以的取值范围是.18.（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期为，所以，又解得：.因为的图象关于直线对称，所以，又，解得：.⎡-⎣18()1,1a k =+ (),2b k = ()22,2a b k k -=-2a b - b()22220k k --=2k =-1k =2a b - b()240k k k -+>06k <<1k =2a b - bk ()()0,11,6 ()y f x =π()y f x =π2ππω=0ω>2ω=()y f x =3x π=232k ππϕπ⨯+=+22ππϕ-≤<6πϕ=-（2）由（1）知，，所以，所以.因为，所以，所以，所以19.（1）因为，，所以，即.又，所以，配方得：，所以.（2）因为，所以，所以，所以，()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭26f απα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭263ππα<<062ππα<-<cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭cos cos 366πππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1142=+⨯32BA BC ⋅= b =3cos 2ac B =3ac =b =2222cos b a c ac B =+-223a c ac +-=()212a c +=a c +=3B π=23A C π+=23A C π=-22sin sin 2sin sin 3A C C Cπ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭222sincos 2cos sin sin 33C C C ππ=--C =因为，所以，所以的取值范围是.20.（1）由，得，得，得，在，所以，由余弦定理，得，即，解得或.当时，，，即为钝角（舍），故符合.（2）由（1）得 ，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos ,12C ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2sin sin A C -⎛ ⎝sin 2sin a B b A =sin sin 2sin sin A B B A =2sin sin cos sin sin A B A B A =1cos 2B =ABC △3B π=2222cos b c a ac B =+-27923cos3c c π=+-⨯2320c c -+=1c =2c =1c =22220b c a +-=-<cos 0A <A 2c =3B π=23C A π=-cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫===-⎪⎝⎭ABC △62A ππ<<22333A πππ-<-<所以，所以，故的取值范围是.21.（1）证明：因为，所以，又与有公共点，所以，，三点共线.（2）因为，，所以，，故，，从而，关于的二次函数的对称轴为，因为，所以，又区间的中点为.①当，即时，当时，，由得或，又，所以；②当，即时，当时，，2sin 23A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭cos cos 11a C c Ab--<<cos cos a C c Ab-()1,1-1222()3333AC OC OA OA OB OA OB OA AB =-=+-=-=//AC AB AC AB A A B C ()1,cos OA x =()1sin ,cos OB x x =+1221sin ,cos 333OC OA OB x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭(sin ,0)AB OB OA x =-=221sin cos 3OA OC x x ⋅=++sin AB x ==222121()21sin cos 2sin 333f x OA OC m AB m x x m x m ⎛⎫⎛⎫=⋅+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222cos (21)sin 1sin (21)sin 2x m x m x m x m =++++=-++++sin x 21sin 2m x +=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]sin 0,1x ∈[]0,11221122m +≤0m ≤sin 1x =2min ()22f x m m =++min ()5f x =3m =-1m =0m ≤3m =-21122m +>0m >sin 0x =2min ()2f x m =+由得，又，所以.综上所述：的值为-322.（1）因为，为锐角，所以，，所以在中，过作于，因为所以，在中，，所以山的高度为.（2）过作于，因为，所以，因为在上，，所以，min ()5f x =m =0m >m =m1tan 3α=αsin α=cos α=cos cos cos cos sin sin 444BAD πππααα⎛⎫∠=-=+ ⎪⎝⎭==ABD △D DM AB ⊥M AD BD ==22cos AB AM AD BAD ==⋅∠==Rt ABE △cos 454BE AB =︒==4km P PN BE ⊥N PF x =3AF x =P AD 1DG =[]0,1x ∈所以，，所以，，令，则，所以当且仅当，即，取得最大值，所以当时，视角最大.4tan43BN xBPNPN x-∠==-117444tan4343x xCNCPNPN x x-+-∠===--tan tantan tan()1tan tanCPN BPNCPN BPNCPN BPNθ∠-∠=∠-∠=+∠⋅∠17414434341717(4)4441(43)434343x xx xx x xxxx x x-----==⎛⎫---⎪-⎝⎭+⋅-+---[]0,1x∈[]()431,4y x t=-∈43tx-=2194tan70671740679936t t ttttθ==≤=⎛⎫++++⎪⎝⎭+7tt=t=x=tanθx=θ11。
2021年高一下学期中段考数学试题 含答案
2021年高一下学期中段考数学试题含答案考试时间：120分钟满分:150分黄京城贺启君一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列程序执行后输出的结果是 A．1 B．11 C．110 D．990i＝11S＝1DOS＝S*ii＝i－1LOOP UNTIL i<9PRINT SEND（第1题）（第2题）2．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为A．1B．－1 C．3 D．－35. 袋中共有5个球，除了颜色不同外，形状大小都相同。
其中红球3个，白球2个，从中摸出二个球，至少有一个白球的概率是A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.76．函数(0＜x＜π)的图像大致是A B C D7．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17<a<20的概率是A．B．C．D．8．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。
抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为A．7B．9C．10D．159．下列四个不等式，正确的是A．B．C．D．10．图2-1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为．图2-2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是A．8 B．9 C．10 D．11（第10题） （第14题）二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________. 12．函数的最大值为____13．小李晨练所花时间(单位：分钟)的样本数据分别为x ，y ，30，29，31；已知这组数据的平均数为30，方差为2，则|x －y |的值为14．按上面程序框图运算：若输入，则输出k= ；若输出k=3，则输入的取值范围是 ．三、解答题:本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：(1)甲中奖的概率P (A )．(2)甲、乙都中奖的概率P (B )．(3)只有乙中奖的概率P (C )．(4)乙中奖的概率P (D )．16．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f (α4＋π12)＝95，求sin α的值．17. (本小题满分14分)下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图．已知图中第一组的频数为4000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500))(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500，2 000)的这段应抽多少人？(3)试估计样本数据的中位数．18.（本小题满分14分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x(℃)101113128 6就诊人数y(人)222529261612性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：b＝∑ni＝1x i y i－nxy∑ni＝1x2i－n x2＝∑ni＝1(x i－x)(y i－y)∑ni＝1(x i－x)2，a＝y－b x.）19．（本小题满分14分）设集合A ＝{x |}，若p 、q ∈A ，求方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有实根的概率．20．（本小题满分14分）已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，求使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立的角α与β。
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2021年高一下学期期中测试数学试题含答案
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，
考试时间120分钟。
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷答在答题卡上，第Ⅱ卷答在答题纸上，答题纸一律用碳素笔书写，其他笔无效。
2.本试卷考试范围：必修二、必修三。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，共60分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.圆C1 :(x+1)2+(y+4)2=16与圆C2 : (x-2)2+(y+2)2=9的位置关系是( )．
A．相交 B．外切C．内切D．相离
2.与直线l : y＝2x＋3平行，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线方程是( )．
A．x－y±＝0 B．2x－y＋＝0
C．2x－y－＝0 D．2x－y±＝0
3.若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( )．
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1) 2＋(y－2)2＝1( )
4.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点N到点C的距离|CN|= A．B．C． D．
5.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）
A、100人
B、80人
C、60人
D、20人
6.下面有关抽样的描述中，错误的是（）
A．在简单抽样中，某一个个体被抽中的可能性与第n次抽样有关，先抽到的可能性较大
开始a=3
n=1输出a
n=n+1 n>5a=0.5a+0.5
B．系统抽样又称为等距抽样，每个个体入样的可能性相等
C．分层抽样为了保证每个个体入样的可能性相等必须每层等可能性抽样
D．抽样的原则是“搅拌均匀”且“等可能地抽到每个个体”
7.从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是
A. 1,2,3,4,5
B. 5,15,25,35,45
C. 2,4,6,8,10
D. 4,13,22,31,40
8.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的最后一个数是( ).
A．2 B.1.5 C．1.25 D．1.125
9.阅读下图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为，
则输入的实数x值为（）A． , - B.3,-3 C．,-3 D．-,3
（8题图）
10.从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5,已知袋中红球有3个,则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为( ).
A 5个
B 15个
C 10个
D 8个
11.从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,对立事件的是( )
A.至少有一个白球;都是白球
B.至少有一个白球;至少有一个红球
C.恰好有一个白球;恰好有2个白球
D.至少有1个白球;都是红球
12.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为( )
A.1/1000
B.1/100
C.1/10
D.1/9
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上.
13.如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是
正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
在这个图形上随机撒一粒黄豆，
它落在扇形外正方形内的概率为。
（用分数表示）
14.下列说法：
①设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件次品；
②抛100次硬币的试验,有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；
③抛掷骰子100次,得点数是1的结果是18次,则出现1点的频率是；
④抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大
⑤有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。
其中正确的有_____________。
15.从数字1,2,3,4中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于30的概率是。
16.若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程为____________________。
三、解答题：本大题共6小题,共74分.
17.求圆心在直线3x+y-5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程
18.已知直线L： x-2y-5=0与圆C：x2+y2=50.求：
（1）交点A,B的坐标；（2）△AOB的面积
19.求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为2的圆的方程．
20.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）求z的值
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.从这5辆车中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率。
21.一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y
（1）列出所有可能结果。
（2）求事件A=“取出球的号码之和小于4”的概率。
（3）求事件B=“编号X＜Y”的概率
22.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（1）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
（2）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
一、选择题：A D A C B A B D C B D C
二、填空题：13. 14. ③⑤
15. 16. (x+2)2+(y-)2 =
三、解答题：
(2)设直线L：x-2y-5=0与x轴的交点为E,则E(5,0)
S△AOB= S△AOE +S△EOB
=|y A||OE|+|y B||OE|
=(|y A|+|y B|)|OE|
=×6×5=15
（b,f）,（c,d）,（c,f）,（d,f）
共有10种
（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）6种P(B)=
（a,E）,（b,E）,（c,F）,（c,G）4种P(B)=29266 7252 牒20421 4FC5 俅35517 8ABD 誽27480 6B58 歘25248 62A0 抠
32030 7D1E 紞25694 645E 摞30075 757B 畻31945 7CC9 糉P229351 72A7 犧3。