2019-2020学年天津市静海区第一中学高一下学期期中考试数学试题解析
2019-2020学年天津市静海一中高三(下)期中数学试卷
2019-2020学年天津市静海一中高三（下)期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知2{*|30}A x N x x =∈-+…，12{|log 0}B x x =„，则A B =I ( )A ．[3，)+∞B ．[0，1]C ．[1，3]D ．{1，2，3}2．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．11164．函数()()cos x x f x e e x -=-⋅在[2-，2]上的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．已知函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩…，113212111(()),(log ),(())233a f b c f ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4，则22a b +的最小值是( ) A ．3B ．2CD ．17．关于函数()sin cos ||f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在5[0,]4π上单调递增；③函数()1y f x =-在[π-，]π上有3个零点；④函数()f x 的最小值为.其中所有正确结论的编号为( ) A ．①④B ．②③C ．①③④D ．②④8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线，垂足为M ，若△12MF F 的面积为24a ，则C 的渐近线方程为( ) A ．y x =±B．y =C ．2y x =±D ．4y x =±9．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩„的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-10．若4212iz i i--=+，则复数z 的虚部为__. 11．二项式12(2x ，则该展开式中的常数项是__.12．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰三角形，其中2AB BC ==，120ABC ∠=︒，4PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__.13．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则当a =__时，代数式2212a ab+-的最小值为__.14．在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点.若BE AD ⊥，垂足为E ，则BE AC ⋅u u u r u u u r的值为__.15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-. （1）求sinB 的值； （2）求cos(2)6A π+的值.16．某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A 到过疫区. （1）如果B 、C 、D 受到A 感染的概率分别为12，那么B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若B 肯定受A 感染，对于C ，因为难以判断他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 为一个随机变量，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）.17．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ； （2）求二面角B EF D --的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为6，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A 的任意一点，APF ∆.（1）求椭圆C 的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.19．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是单调递增的等比数列，且235a a a +=，4124a b b =-，335b a a =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2222(1)(1)nn n n b c b b +=--，数列{}n c 的前n 项和n S ，求n S ；（3）若数列1{}n nna b a +的前n 项积为n T ，求n T . （4）数列{}n d 满足11d =，11,22,2k k n kk n d b n +⎧<<=⎨=⎩，其中*k N ∈，*n N ∈，求21ni i i a d =∑. （5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）（4）问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个. 20．设函数21(),()xef x ax a lnxg x x e =--=-，其中a R ∈， 2.71828e =⋯为自然对数的底数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，证明：函数()g x 无零点；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立.（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2019-2020学年天津市静海一中高三(下)期中数学试卷含答案
2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确选项.）1.已知2{*|30}A x N x x =∈-+，12{|log 0}B x x =，则AB =( )A. [3，)+∞B. [0，1]C. [1，3]D. {1，2，3}2.设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.11164.函数()()cos x x f x e e x -=-⋅在[2-，2]上的图象大致为( )A. B.C. D..5.已知函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩，113212111(()),(log ),(())233a f b c f ===，则a ，b ，c 大小关系是( )A. a b c <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<6.直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4，则22a b +的最小值是( ) A. 3B. 2C.D. 17.关于函数()sin cos ||f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在5[0,]4π上单调递增；③函数()1y f x =-在[π-，]π上有3个零点；④函数()f x的最小值为.其中所有正确结论的编号为( ) A. ①④B. ②③C. ①③④D. ②④8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线，垂足为M ，若△12MF F 的面积为24a ，则C 的渐近线方程为( ) A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. 4y x =±9.已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A. 1(,1)2B. 1(2，2)C. (1,2)-D. (1,3)-二、填空题（每小题5分，共25分）10.若4212iz i i--=+，则复数z 的虚部为__. 11.二项式12(2x ，则该展开式中的常数项是__.12.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰三角形，其中2AB BC ==，120ABC ∠=︒，4PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__.13.已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则当a =__时，代数式2212a ab+-的最小值为__. 14.在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点.若BE AD ⊥，垂足为E ，则BE AC ⋅的值为__.的三、解答题（共50分）15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-.（1）求sin B值；（2）求cos(2)6A π+的值.16.某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A 到过疫区 （1）如果B 、C 、D 受到A 感染的概率分别为12，那么B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若B 肯定受A 感染，对于C ，因为难以判断他是受A 还是受B 感染，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 为一个随机变量，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）.17.如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ； （2）求二面角B EF D --的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为6若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A 的任意一点，APF ∆. （1）求椭圆C 的离心率；的.的（2）设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.19.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是单调递增的等比数列，且235a a a +=，4124a b b =-，335b a a =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2222(1)(1)nn n n b c b b +=--，数列{}n c 的前n 项和n S ，求n S ；（3）若数列1{}n nna b a +的前n 项积为n T ，求n T . （4）数列{}n d 满足11d =，11,22,2k k n kk n d b n +⎧<<=⎨=⎩，其中*k N ∈，*n N ∈，求21ni i i a d =∑. （5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）（4）问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个. 20.设函数21(),()x ef x ax a lnxg x x e=--=-，其中a R ∈， 2.71828e =⋯为自然对数的底数. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，证明：函数()g x 无零点；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立.（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确选项.）1. D2. B3. A4. C5. C6. B7. A8. D9. C二、填空题（每小题5分，共25分）10.【答案】1- 11.【答案】 12.【答案】32π13.【答案】 (1). (2). 14.【答案】三、解答题（共50分）15. （1）由1cos 4A =-，∴可得sin A =8a =，2b c -=，1cos 4A =-，∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=，可得：sin B =.（2）27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==∴71cos(2)cos2cos sin 2sin ()(66682A A A πππ+=-=-⨯16.（1）B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是1123113()()228P C =⋅⋅=.（2）B 一定被感染，∴主要考虑C 和D 的感染情况，∴随机变量X 的可能取值为1，2，3，111(1)(1)(1)233P X ==-⨯-=，11111(2)(1)(1)23232P X ==⨯-+-⨯=，111(3)236P X ==⨯=， X ∴的分布列为∴数学期望11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=.17. （1）证明：四边形EDCF矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD .取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)， 设平面ABE 的法向量(m x =，y ，)z ， (1BE =-，2-，2)，(0AB =，2，0)，由22020m BE x y z m AB y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩，取1z =，得(2m =，0，1)，又(1DF =-，2，2)，∴0DF m =，∴DF m ⊥， 又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）(0D ，0，0)，(0DE =，0，2)，(1DF =-，2，2)，(1BE =-，2-，2)，(2BF =-，0，2)， 设平面BEF 的法向量(n a =，b ，)c ，则220220n BE a b c n BF a c ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，取1a =，得(1n =，12，1)，设平面DEF 的法向量(p m =，n ，)t ， 则20220p DE t p DF m n t ⎧⋅==⎨⋅=-++=⎩，取1n =，得(2p =，1，0)，设二面角B EF D --的平面角为θ，则5||2cos ||||954n p n p θ⋅===⋅ ∴二面角B EF D --的正弦值2sin3θ=.（3）假设在线段BE 上存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 设1(P x ，1y ，1)z ，BP BE λ=，则1(1x -，12y -，1)(1z λ=-，2-，2)， 解得11x λ=-，122y λ=-，12z λ=，(1P λ∴-，22λ-，2)λ， 平面BEF 的法向量(1n =，12，1)，(AP λ=-，22λ-，2)λ， 直线AP 与平面BEF∴||||||9n AP n AP ⋅==⋅，解得29λ=或23λ=， 3BE =，23BP ∴=或2BP =.18.（1）当点P 位于椭圆的上或下顶点时，APF ∆的面积最大，此时有1()2APFS b a c ∆=-=，即)b a c =-，222b a c =-，2223()a c a c ∴-=-，得2a c =或a c =（舍)，∴离心率12c e a ==. 故椭圆C 的离心率为12. （2）由题可知，直线l 的方程为3()4y x c =--，椭圆的方程为2222143x y c c+=，联立22223()4143y x c x y c c ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2276130x cx c --=，解得x c =-或137c ， 当x c =-时，32y c =；当137x c =时，9014cy =-<，∴点Q 的坐标为3(,)2c c -.点B 在直线4x =-上，∴可设点B 为(4,)m -， 又//OB AQ ，(,0)A a ，OBAQ k k ∴=即33122422c c m c a c c -===-----，2m ∴=，点(4,2)B -. 圆B 同时与x 轴和直线l 相切，2d ∴=3|(4)2|2c ----=，解得24c =，故椭圆C 的方程为2211612x y +=.19.（1）235a a a +=，则11234a a +=+，解得11a =，故n a n =，4124a b b =-，即1144b q b =-，335218b b q a a =+==，解得2q 或4q =-（舍去），12b =，故2n n b =.（2）222222222222111()(1)(1)(21)(21)32121n n n n n n n n n b c b b +++===------- 故222221*********()()3315156321213321n nn n S ++=-+-+⋯+-=----. （3）1(1)2nn n n a b n a n++=， 故(1)22231222(1)212n n nn n T n n++=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=+；（4）222111111(12)21412(21)2424221412n n nn n n nnnniiiii i i i i i i i a d i i ======+--=+-=+-=+---∑∑∑∑∑∑， 即21113242623nn n i i i a d ==⋅-⋅+∑. 20.（1）2()f x ax a lnx =--，(0,)x∈+∞.2121()2ax f x ax x x-'=-=. 当0a 时，()0f x '<，∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，由()f x '=∴函数()f x 在x ∈上单调递减，)+∞上单调递增.综上可得：当0a 时，函数()f x (0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在x ∈上单调递减，，)+∞上单调递增. （2）证明：当1x >时，要证明：函数()g x 无零点.即可证明：()0>g x ，即证明xe e x>.令()xe h x x=，(1,)x ∈+∞.2(1)()0x e x h x x -'=>，∴函数()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，()h x h ∴>（1）e =.∴当1x >时，()0>g x ，因此当1x >时，函数()g x 无零点.（3）解：()()f x g x >化为：2110xax a lnx e x----+>. 令211()xu x ax a lnx e x-=---+，(1,)x ∈+∞.可得0a >. u （1）0=，1122111()220x x x u x ax e ax e xxx---∴'=-+-=+-在(1,)x ∈+∞恒成立.令121()2xx v x ax e x --=+-， 11233122()22xx x v x a e a e x x x ---'=+-+=++， 当2x 时，()0v x '>. 令32()x x x ϕ-=，426()x x x ϕ-+'=. 函数()x ϕ在[1，2)上单调递增. ()v x ∴的最小值为v （1）21a =-. 10x e ->.12x ∴<<时，()0v x '>.综上可得：1x >时，()0v x '>.()v x 在(1,)x ∈+∞上单调递增. ()u x u ∴'>'（1）0，即()u x 在(1,)x ∈+∞上单调递增.210a ∴-，解得12a. （4）变化①：12a时，证明()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立. 变化②：()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围.。
2019-2020学年天津市静海区第一中学高一下学期周测数学试题
静海区第一中学2019-2020学年高一下学期周测数学试题1.已知a ，b R ，i 是虚数单位，若(2+2i)(1﹣bi)＝a ，则|a+bi|＝（ ）A.17B.17C.D.5 2. 如图所示，已知点M 是ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC AE 2=，则向量( ) A. AC AB 2131+ B. AC AB 6131+ C. AC AB 2161+ D.AC AB 6131-3.已知m 、n 是不重合的直线，、是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）A.若m ，n ∥，则m ∥nB.若m ∥，m ∥，则∥C.若＝n ，m ∥n ，则m ∥D.若m ，m ，则∥4. 已知圆锥的底面直径为r ，且它的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积π3，则r=（ ）A.1B.2C.3D.45.如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离(单位：百米)，已测得隧道两端点A ，B 到某一点C 的距离分别为6和8，ACB=，则A ，B 之间的距离为( )A.7B. 12910C.132D.66.在空间四边形ABCD 中，AD=2，BC=，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF=，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为( )A. B. C. D. 7.已知三棱锥P ﹣ABC ，过点P 作PO 面ABC ，O 为ABC 中的一点，且PA PB ，PB PC ，PC PA ，则点O 为ABC 的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心8.水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若A 1C 1=4，ABC 的面积为28，则A1B1的长为______．9.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c＝2a ，3sinA＝5sinB，则角C＝_____．10.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，＝（，﹣1），＝（cosA，sinA）．若，且acosB+bcosA＝csinC ，则角B＝____．11.ABC 中，AB＝，AC＝1，B＝，则ABC的面积等于____12.在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，，AP=3，，Q是边BC 上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为____13.已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcosA=acosC+ccosA．(1) 求角A的大小；(2) 若b=3，c=4，=，求AD的长.14.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，PA⊥平面PCD，CD＝2，AD＝3．(1) 设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；(2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．15.如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，，为的中点，在棱上，且．求三棱锥的体积；求证：平面；若为中点，在棱上，且，求证：平面．1.A2. D3. D4. A5. C6. A7. D8. 29.10.11.由，AC＝1，cosB＝cos30°＝，根据余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1＝3+BC2﹣3BC，即(BC﹣1)(BC﹣2)＝0，解得：BC＝1或BC＝2，当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB•BCsinB＝；当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB•BCsinB＝，所以△ABC的面积等于或．12.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示：则，且sinθ的最大值是，∴，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，∴AQ⊥BC，∵AB=，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，∴，解得；∴，取H为PA的中点，∴，，由勾股定理得，∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积是13（1）解：因为2bcosA=acosC+ccosA，所以由正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，因为sinB≠0，所以2cosA=1，，∵A∈(0，π)，故；解：因为2bcosA=acosC+ccosA，所以由正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，因为sinB≠0，所以2cosA=1，，∵A∈(0，π)，故；(2)解：由，得，所以，所以．解：由，得，所以，所以．14（1）证明：连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，得GH∥PD，∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴GH∥平面PAD．（2）法1：解：取棱PC中点N，连结DN，DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，∴DN=，又DN⊥AN，在Rt△AND中，．∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．法2：解：连结AN，由(Ⅱ)中DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，∴DN=，又DN⊥AN，在Rt△AND中，．∴直线AD与平面PAC 所成角的正弦值为．15.解：∵是正三角形，平面，，∴三棱锥的体积．证明：取的中点，连结.如图∵，∴．∵，∴为的中点．∵为的中点，∴.则．∵是正三角形，∴．∵平面，∴．∵，∴平面．∴．∵，∴平面．连结，设，连结．由条件知，为的重心，则．当时，，∴．∵平面，平面，∴平面．。
天津市静海区2019-2020学年高一数学11月月考试题【含答案】
天津市静海区2019-2020学年高一数学11月月考试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页。
试卷满分120分。
考试时间100分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（共12题；每题3分，共36分）1. 已知集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.2. 下列四个函数中，在上为增函数的是A. B.C. D.3. 如果，那么下列不等式成立的是A. B. C. D.4. 如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为A. B. C. D.5. 若，则等于A. B. C.6 .函数的定义域是7 .已知函数，则的值为A. B. C. D.8 .设命题，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，9 .已知集合的子集有个，则实数的取值范围为A. B. C. D.10. 已知，，且，则的最大值是A. B. C. D.11 .设函数是（）上的减函数，又若，则A. B.C. D.12. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是A. B.C. D.第Ⅱ卷二、非选择题（共13题；其中填空题8×3=24分，解答题5×12=60分……共84分）13. 已知全集，集合，，则．14. 已知，，若，则实数的取值范围是．15. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是．16. 已知，，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则的取值范围是．17. 不等式的解集为．18. 若定义在上的减函数满足，则实数的取值范围是．19. 已知函数的定义域为的奇函数，且在上有两个零点，则的零点个数为．20. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是．21..求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）．22. 已知不等式的解是，设，．（1）求，的值；（2）求和．23. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?24. 已知不等式的解集为，不等式的解集为．（1）求集合与；（2）若，求实数的取值范围．25.判断函数在区间上的单调性，并给出证明．数学答案一、选择题1—5 CCBDB 6—10 DCCCB 11—12 BA二、填空题13、{x|−1<x<1} 14、[2,+∞) 15、 16、17、18、 19、5 20、三、解答题21、（1）．（2）．（3）．（4）．22、（1）根据题意知，是方程的两实数根；所以由韦达定理得，解得，．（2）由上面，，；所以，且；所以，；所以．23、设房屋地面相邻两边边长分别为，，总造价为元．因为，所以当时，上式取等号．所以当房屋地面相邻两边边长分别建成和时，造价最低，最低总造价为元．24、（1）由，得，即，解得，所以．由，得．①若，则；②若，则；③若，则．（2）要使，则，且，所以当时，．25、。
天津市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案
天津市第一中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分 钟。
第 I 卷 1 页，第 II 卷 至 2 页。
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无 效。
一．选择题1.以下说法正确的有几个（ ）① 四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A ． 0 个B ．1 个C ． 2 个D ． 3 个2.在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 a cos 2c - b ) cos A ，则角 A 的大小为（）π π π π A ．B ．C ．D ．6 4 323.在 ∆ABC 中，若 AB ⋅ AC = 2 且 ∠BAC = 30 ，则∆ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ． 3D ． 34.设 α、β、γ 为平面，为 m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（ ）A ．若 α ⊥ β ,α ⋂ β = l , m ⊥ l ，则 m ⊥ βB ．若 α ⋂ γ = m ,α ⊥ γ , β ⊥ γ ，则 m ⊥ βC ．若 α ⊥ γ , β ⊥ γ , m ⊥ α ，则 m ⊥ βD ．若 n ⊥ α , n ⊥ β , m ⊥ α ，则 m ⊥ βB．C．D．52 3 4 151 1 1 1 1 1A．13B．23C．43D．26．点G 为∆ABC 的重心，AB = 2, BC =1, ∠ABC = 60 ，则AG ⋅CG =（）A．-59B．-98C．59D．197.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点O 是正方形ABCD 的中心，关于直线A1O 下列说法正确的（）A．A1O / / D1C B．A1O / / 平面B1CD1C．A1O ⊥BC D．A1O ⊥平面AB1D18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等, 则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A．39.平行六面体ABCD -A B C D 的底面ABCD 是菱形，且∠C CB =∠C CD =∠BCD = 60 ，CD = 2, C C =3，则二面角C-BD -C 的平面角的余弦值为（）1 2 1A．12B．13C．3D．310．如图，在 ∆ABC 的边 AB 、AC 上分别取点 M 、N ，使AM = 1 AB , AN = 1AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = λ PN , PM = μCP ，3 2则 λ的值为（ ） μA ． 83B ． 38C ． 16D ． 6二．填空题11．已知向量 a , b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a b |=，则 | 2a - b |= ．12 如图， PA ⊥ 平面ABC ， ∠ACB = 90 且PA = AC ，AC = 2BC ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于．13.如图,在直棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = AA 1 = 2 , 则二面角A 1 - BC 1 - C 的平面角的正弦值为．14.在 △ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 2b (2b - c ) cos A = a 2 + b 2 - c 2 ，则内角 A 的值为 ．15.已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB 1 的中点，则点 B 1 到平面 ADE 的距离为．16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠BAD =π， AB = AD = 2 ，若 M 、N 3分别是边 AD 、BC 上的动点，满足 AM = λ AD ， BN = (1 - λ )BC ，其中λ ∈ (0,1) ，若 AN ⋅ BM = -2 ，则 λ 的值为 ．Nα 1 αα17. 设 f (α) =m ⋅n ,其中向量m os , ), n =(2 sin , cos2 4 2 4 2-1) .（1）若 f (α) =-1 ,求cos( π-α) 的值；3 2（2）在△ABC 中,角A, B, C 的对边分别是a, b, c ,若a cos B +b cos A + 2c ⋅cos C = 0 ,求函数 f ( A) 的取值范围.18. 如图，在几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD , E 为AB 中点.（1）求证：AN / / 平面MEC ；（2）求证：AC ⊥BN .19．如图 1 所示，在矩形ABCD 中，AB = 2 AD = 4 ，E 为CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，如图2 所示，O、H、M 分别为AE、BD、AB 的中点，且DM = 2 .（1）求证：OH / / 平面DEC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面ABCE .20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O、E 分别是AD、AB 的中点，AB = 6, AP =5，∠BAD = 60 . （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的正切值。
2022~2023年高一下册期中考试化学试卷(天津市静海区第一中学)
选择题作为全球最大的电子产品制造国，中国却有着“芯”病。
我国国产芯片自给率不到30%，产值不足全球的7%，市场份额不到10%。
下列说法正确的是（）A.CPU半导体芯片与光导纤维是同种材料B.水泥和玻璃属于新型硅酸盐材料C.水晶和陶瓷都是硅酸盐制品D.粗硅制备单晶硅涉及氧化还原反应【答案】D【解析】A. CPU半导体芯片用的是晶体硅，光导纤维用的是二氧化硅，两者所用的材料不同，A不正确；B. 水泥和玻璃的主要成分都是硅酸盐，故其均属于硅酸盐材料，但不属于新型硅酸盐材料，B不正确C. 水晶的成分是二氧化硅，陶瓷的主要成分是硅酸盐，C不正确；D. 粗硅制备单晶硅的过程中，先用氯气把硅氧化为四氯化硅，再用氢气把四氯化硅还原为硅，故该过程涉及氧化还原反应，D正确。
故选D。
选择题下列化学用语中错误的是A.CH4分子的空间充填模型：B.新戊烷结构简式：C.乙烷的结构简式：CH3 CH3D.丙烷的结构式：【答案】B【解析】A．CH4分子的空间充填模型，又叫比例模型，为：，A正确；B．新戊烷的结构简式为：，B错误；C．乙烷的结构简式：CH3 CH3，C正确；D．丙烷的结构式：，D正确。
答案选B。
选择题下列说法正确的是A.食品中添加适量的SO2可以起到漂白、防腐和抗氧化等作用B.硝酸盐在某些细菌作用下转化成氮气为自然固氮C.2mol N2 可与6mol H2 完全反应生成4molNH3D.氨水中含有NH3·H2O 和H2O 两种分子【答案】A【解析】A．SO2具有漂白性、还原性，食品中添加适量的SO2可以起到漂白、防腐和抗氧化等作用，A正确；B．固氮是指游离态N转换成化合态N的过程，硝酸盐转化成氮气不属于氮的固定，B错误；C．氮气与氢气的反应为可逆反应，2mol N2 与6mol H2不可能完全转换成3molNH3，C错误；D．氨水中存在NH3+H2O⇌NH3⇌H2O⇌NH4++OH−，所以，氨水中含有NH3·H2O 、H2O 和NH3三种分子，D错误。
2019-2020学年天津市静海一中高三(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知，，则A. B. C. D. 2，2.设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.4.函数在上的图象大致为A.B.C.D.5.已知函数，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.6.直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是A. 3B. 2C.D. 17.关于函数有下述四个结论：的周期为；在上单调递增；函数在上有3个零点；函数的最小值为其中所有正确结论的编号为A. B. C. D.8.已知双曲线的左右焦点分别为、，过作C的一条渐近线l的垂线，垂足为M，若的面积为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.9.已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）10.若，则复数z的虚部为______．11.二项式，则该展开式中的常数项是______．12.在三棱锥中，平面ABC，是等腰三角形，其中，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．13.已知a，b均为正数，且，则当______时，代数式的最小值为______．14.在中，已知，，，D为边BC的中点．若，垂足为E，则的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．求sin B的值；求的值．16.某地有A、B、C、D四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A到过疫区．如果B、C、D受到A感染的概率分别为，那么B、C、D三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？若B肯定受A感染，对于C，因为难以判断他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是，在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量，求随机变量X的分布列和均值数学期望．17.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．求证：平面ABE；求二面角的正弦值；在线段BE上是否存在点P，使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．18.已知椭圆的右焦点，右顶点为A，点P是椭圆上异于点A的任意一点，的面积的最大值为．求椭圆C的离心率；设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为Q，圆B同时与x轴和直线l 相切，圆心B在直线上，且，求椭圆C的方程．19.已知数列是公差为1的等差数列，是单调递增的等比数列，且，，．求和的通项公式；设，数列的前n项和，求；若数列的前n项积为，求．数列满足，，其中，，求．解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决．通过对上面问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个．20.设函数，其中，为自然对数的底数．讨论的单调性；当时，证明：函数无零点；确定a的所有可能取值，使得在区间内恒成立．数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决．因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一．下面你将问题中的条件“在区间内恒成立”变化为两种新形式不作解答．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：2，，，2，．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：设公比为q，若，则，即，则或，当时，数列为摆动数列，则“数列为递增数列”不成立，即充分性不成立，若“数列为递增数列”，则，，，则“”成立，即必要性成立，则“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件，故选：B．根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义和性质是解决本题的关键．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有3个阳爻的概率．故选A．4.答案：C解析：解：，故函数为奇函数，可排除BD；又，可排除A．故选：C．先判断函数的奇偶性，利用奇偶性的对称性可排除BD；再由可排除A，进而得到正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．解析：解：根据题意，函数，区间上，为减函数，且，区间上，，为减函数，且，故在R上为减函数；又由，则有；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得在R上为减函数，由指数、对数的运算性质可得，分析可得答案．本题考查函数单调性的判断以及应用，注意分析函数的单调性，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，圆即，圆心为，半径；若l：被圆所截弦长为4，则直线l经过圆心，则有，即，则，即的最小值是2；故选：B．根据题意，由圆的方程分析圆心坐标以及半径，进而可得直线l经过圆心，则有，即，据此可得，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，注意分析直线经过圆心，属于基础题．7.答案：A解析：解：函数，所以函数的周期为：，所以正确；函数的单调增区间为：，所以不正确；化为函数的周期是，最大值为，所以函数在上有2个零点，所以不正确；函数的最小值为所以正确；化简函数的解析式，然后求解函数的周期，单调区间，判断函数的零点，以及求解函数的最值即可得到结论．本题考查命题的真假的判断，三角函数的图象与性质的判断，是基本知识的考查，基础题．8.答案：D解析：解：由题得，不妨设l：，则也可记住结论，，，，，双曲线的渐近线方程为：．故选：D．求出焦点坐标，设出直线方程转化求解三角形的面积，推出a，b的关系，然后求解双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9.答案：C解析：解：设函数任意一点关于直线对称的点为，则，，所以，而P在函数上，所以，即，所以函数关于直线对称的函数为，因为直线恒过定点，当时，设直线与相切于，，整理可得，解得，所以；当时，，设直线与函数相切于B点，，整理可得，，解得，所以，故，即时，在时，函数与的图象相交有两个交点，在时，函数与有两个交点，故函数与有4个交点时的k的范围为．故选：C．先求出直线关于对称的直线方程，然后求函数在，时的单调性及极值，求出与直线相切时的斜率的范围，进而求出k的取值范围．本题考查直线关于直线的对称直线，及直线与曲线相切的斜率，函数与方程的关系，属于中档题．10.答案：解析：解：由，得．复数z的虚部为．故答案为：．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11.答案：解析：解：由题意得：，，1，2，，12．令，得．所以常数项为．故答案为：．先求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0即可．本题考查二项式定理及其应用，同时考查学生的运算能力，属于基础题．12.答案：解析：解：将此三棱锥放在直三棱柱中，三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，设底面外接圆的半径为r，则，而是等腰三角形，其中，，所以，所以，所以，设外接球的半径R，则，所以三棱锥的外接球的表面积，故答案为：．将此三棱锥放在直三棱柱中，三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，由题意可得底面外接圆的半径，再由外接球的半径与底面外接圆的半径和高的一半构成直角三角形可得外接球的半径，进而求出外接圆的表面积．本题考查将三棱锥放在直三棱柱中，三棱柱的外接球等于三棱锥的外接球，由两边及夹角求外接圆的半径，及球的表面积公式，属于中档题．13.答案：解析：解：a，b均为正数，且，代数式，当且仅当，即，时取等号．故答案为：，．把1代入代数式，变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：在中，由余弦定理可得，则，则，再由余弦定理，，在中，，则所以，则在中，，，，则，故答案为：．在中，由余弦定理即可求出，从而得出，并求出，这样在中，由余弦定理即可求出AD的值，从而求出，这样在中即可求出DE、BE、的值，而，从而可求出数量积的的值．本题考查余弦定理的应用，直角三角形的边角关系，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及数量积的运算．15.答案：解：由，可得，，，，由，可得：，由，可得：．，．解析：由，利用同角三角函数基本关系式可得，进而根据余弦定理及已知可求b，c的值，根据正弦定理即可解得sin B的值．由利用二倍角公式可求cos2A，sin2A的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.答案：解：、C、D三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是．一定被感染，主要考虑C和D的感染情况，随机变量X的可能取值为1，2，3，，，，的分布列为X 1 2 3P数学期望．解析：根据独立重复事件求概率的方式进行运算即可；随机变量X的可能取值为1，2，3，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．17.答案：解：证明：四边形EDCF为矩形，，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD．取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则0，，2，，2，，0，，2，，设平面ABE的法向量y，，，2，，由，取，得0，，又2，，，，又平面ABE，平面ABE；0，，0，，2，，，0，，设平面BEF的法向量b，，则，取，得，设平面DEF的法向量n，，则，取，得1，，设二面角的平面角为，则，二面角的正弦值．假设在线段BE上存在点P，使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，设，，则，解得，，，，平面BEF的法向量，，直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，，解得或，，或．解析：由四边形EDCF为矩形，可得，由面面垂直的性质可得平面取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ABE；求出平面BEF的法向量和平面DEF的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值．设，，则，求出平面BEF的法向量，由直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值、满足线面角的正弦值的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：当点P位于椭圆的上或下顶点时，的面积最大，此时有，即，，，得或舍，离心率．故椭圆C的离心率为．由题可知，直线l的方程为，椭圆的方程为，联立，得，解得或，当时，；当时，，点Q的坐标为．点B在直线上，可设点B为，又，，即，，点．圆B同时与x轴和直线l相切，即，解得，故椭圆C的方程为．解析：分析易知，当点P位于椭圆的上或下顶点时，的面积最大，然后用含a、b、c的代数式表示其面积，并与已知条件建立等式关系，再结合和即可得解；先用只含c的式子表示直线l和椭圆的方程，再联立这两个方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，解之可得点Q的坐标，然后设点B为，通过，两直线的斜率相等可求出，最后利用圆B同时与x轴和直线l相切，并结合点到直线的距离公式即可求出c的值，从而得解．本题考查求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，还涉及点到直线的距离公式，考查学生转化与回归的能力和运算能力，属于中档题．19.答案：解：，则，解得，故，，即，，解得或舍去，，故．故，故，，即．根据题意：中应用了裂项相消求和法，裂项相消求和法是将数列分解为一个数列的前后项，方便计算；中应用了分组求和法，分组求和法是将有规律的某一部分集中起来计算，易于计算．解析：直接利用等差数列等比数列公式计算得出答案．，用裂项求和法计算得出答案．，利用累乘法得到答案．，代入公式计算得到答案．介绍裂项求和分组求和法，根据方法特点得到答案．本题考查数列求和常见的方法，属于中档题．20.答案：解：，．当时，，函数在上单调递减．当时，由，函数在上单调递减，上单调递增．综上可得：当时，函数在上单调递减．当时，函数在上单调递减，上单调递增．证明：当时，要证明：函数无零点．即可证明：，即证明．令，．，函数在上单调递增，．当时，，因此当时，函数无零点．解：化为：．令，可得．，在恒成立．令，，当时，．令，．函数在上单调递增．的最小值为．．时，．综上可得：时，在上单调递增．，即在上单调递增．，解得．变化：时，证明在区间内恒成立．变化：在区间内恒成立，求实数a的取值范围．解析：，对a分类讨论即可得出函数的单调性．当时，要证明：函数无零点．即可证明：，即证明令，利用导数研究函数的单调性即可得出．化为：令，，可得在恒成立．令，利用导数研究函数的单调性即可得出．根据，可以得出变化的两种新形式．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019-2020学年天津市静海一中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年天津市静海一中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.用一个边长为2√2的正方形硬纸板，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为2的鸡蛋(视为球体)放入其中，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. √3+1B. 1C. √2+1D.32.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=2√2,b=2,A=π4.则△ABC的面积为()A. √3+1B. √3−1C. 2√3+2D. 2√3−23.设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是()A. π9B. 9−π9C. π6D. 6−π64.设、是两个不同的平面，、为两条不同的直线，命题：若平面//，，，则//；命题：//，⊥，，则⊥，则下列命题为真命题的是()A. 或B. 且C. 或D. 且5.过点P(2,3)做圆C：(x−1)2+(y−1)2=1的切线，设T为切点，则切线长|PT|=()A. √5B. 5C. 1D. 26.如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是()A. 1B. √2C.√2D. 127.菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2√3，则线段AP的长为()A. 2√3B. 2√2C. 2√2或4√2D. 2√3或4√38.直线为参数)的倾斜角等于A. B. C. D.9.过圆O；x2−2x+y2−15=0内一点M(−1,3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB=CD，则四边形ACBD的面积为()A. 16B. 17C. 18D. 1910.两圆x2+y2−8x+6y−11=0和x2+y2=100的位置关系()A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）11.在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干个组，［a，b］是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高度为h，则|a−b|=________．12.如果直线ax+y+1=0与直线3x−y−2=0垂直，则系数a=______．13.已知正三角形内切圆的半径是高的1，若把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体的内切球3的半径是高的______ ．14.在△ABC中，AC=2AB=2，BC=√3，P是△ABC内部的一点，若∠APB=∠BPC=∠CPA，则PA+PB+PC=______ ．15.在平面直角坐标系xOy中，过点P(−3,a)作圆x2+y2−2x=0的两条切线，切点分别为M(x1,y1)，N(x2,y2).若(x2−x1)(x2+x1)+(y2−y1)(y2+y1−2)=0，则实数a的值等于______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.某中学在一次校园开放日活动中聘用了10名志愿者，他们分別来自高一、高二、高三年级，其中高一年级5人，高二年级3人，高三年级2人，现从这10人中任意选取3人参加一个宣传片的录制．(Ⅰ)求3个人来自两个不同年级的概率；(Ⅱ)求3个人来自三个不同年级，且高一年級的甲和高二年级的乙不能同时参加的概率．17.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．(1)求角B 的大小；(2)若BD 为AC 边上的中线，cosA =17，BD =√1292，求△ABC 的面积．18. 点P 到A(−2,0)的距离是点P 到B(1,0)的距离的2倍．(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)点P 与点Q 关于点(2,1)对称，点C(3,0)，求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值．(Ⅲ)若过A 的直线从左向右依次交第(II)问中Q 的轨迹于不同两点E ，F ，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λEA⃗⃗⃗⃗⃗ ，判断λ的取值范围并证明．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD//BC ，∠DAB =π2，AP =AB =BC =12AD ，E为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O ． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值．20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：2x −y −4=0，设圆C 的半径为1，圆心在直线l上．(1)若圆心C也在直线2x−3y=0上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C与圆D：x 2+y 2+2y−3=0有公共点，求圆心C的横坐标a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为2，蛋槽立起来的小三角形部分高度是1，鸡蛋的半径为2，直径为4，大于折好的蛋巢边长2，四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长2，根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=√3，AE=AB+BE=√3+1，∴鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为√3+1．故选：A．蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为2，蛋槽立起来的小三角形部分高度是1，鸡蛋的半径为2，直径为4，大于折好的蛋巢边长2，由此能求出鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离．本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用．2.答案：A解析：解：∵a=2√2,b=2,A=π4．∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得8=4+c2−2×2×c×√22，可得c2−2√2c−4=0，∴解得c=√2+√6，(负值舍去)，∴S△ABC=12bcsinA=12×2×(√2+√6)×√22=√3+1．故选：A．由已知利用余弦定理可得c2−2√2c−4=0，解方程可求c，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．3.答案：C解析：略4.答案：C解析：试题分析：在长方体中，命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α//β，l α，mβ，，而m与l异面，故命题p不正确；正确；命题q：平面AC为平面α，平面为平面β，直线A 1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l//α，m⊥l，mβ，而α//β，故命题q不正确；正确；故选C．考点：平面与平面之间的位置关系．5.答案：D解析：解：∵圆C：(x−1)2+(y−1)2=1，∴圆心C为(1,1)，半径r=1；∴点P到圆心的距离为|PC|，则|PC|2=(2−1)2+(3−1)2=5，∵圆的切线垂直于过切点的直径，∴切线长|PT|=√|PC|2−r2=√5−1=2．故选：D．由圆的标准方程知圆心和半径，求出点P到圆心的距离，即可求出切线长．本题考查了圆的标准方程以及两点间的距离公式的应用问题，是中档题．6.答案：C解析：本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角，属于中档题．先将三视图转化成空间图形，取AD的中点E，连接BE，PE，CE，将CD平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知∠PBE为异面直线PB与CD所成角，在Rt△PBE中，求出此角的正切值即可．解：取AD的中点E，连接BE，PE，CE，根据题意可知BE//CD，∴∠PBE为异面直线PB与CD所成角根据条件知，PE=1，BE=√2，PE⊥BE∴tan∠PBE=√2故选C．7.答案：D解析：解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD(到线段两端距离相等的点在垂直平分线上)，在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB⋅cos30°=3√3，BM=AB⋅sin30°=3，∴PM=√PB2−BM2=√3，∴AP=AM+PM=4√3；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM−PM=2√3；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2√3矛盾，舍去．AP的长为4√3或2√3．故选：D．根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键，属于中档题．8.答案：A解析：解析：试题分析：根据题意，由于直线为参数)，那么可知消去参数t，得到的为，可知斜率为−1，因此可知倾斜角为，故选A．考点：直线的参数方程点评：主要是考查了直线的参数方程的简单运用，属于基础题。
天津市静海区第一中学2019-2020学年高一12月学生学业能力调研数学试卷
数学试题考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（100分）和第Ⅱ卷提高题（ 20分）两部分，共120分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷 基础题（共100分）一、选择题: （每小题4分，共36分）1．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则=B A A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}2.．命题“20,11x x ∀≥-≥-”的否定是（ ） A.20,11x x ∀≥-<- B.20,11x x ∀<-<- C.20,1x x ∃≥-<-1 D.20,11x x ∃<-<- 3.已知2.01.1=a ，1.1log 2.0=b ，1.12.0=c ，则 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>4.函数log (21)3a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象必过点（ ） A.1(,4)2B.(1,3)C.1(,3)2D.(1,4)5.在下列个区间中，存在着函数932)(3--=x x x f 的零点的区间是（ ） A ．)0,1(- B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)3,2(6.()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，1()()22xf x x b =++（b 为实数），则(1)f 的值为( ) A.3-B.1-C.1D.37.已知2:log (1)1p x -<，2:230q x x --<，则p 是q 的（ ）条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要8.()()2ln 1xf x xe=++，则使得()()21f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ）A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U9. (21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，实数a 的取值范围是( ) A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：（每小题4分，共20分）10已知扇形OAB 的圆心角为4rad ，其面积是22cm 则该扇形的周长是______cm 11.若0a >，0b >，21a b +=，则11a a b++的最小值为______. 12.函数2()42xx f x +=- (12)x -≤≤的最小值为______ ．13.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______ 14.函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为奇函数，则实数m 的值是_____三、解答题（64分） 16.化简求值：（12分） （1）(6分)1363470.001168- ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（2）（6分）3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭.17．（12分）函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）（5分）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）（7分）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 18．易错易混辨析题（20分）（1）（4分）若()22f x x ax =-+与()1ag x x =+，在区间[]1,2是减函数，则a 的取值范围为（2）（4分）若函数()212()log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则a 的取值范围为(3（4分）)54(log )(221++-=x x x f 在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m 的取值范围为 （4）（4分）已知函数()()a x x x f --=2lg 2,若()x f 的定义域为R ，求a 的取值范围（只写出关系式不需要计算）（5）（4分）已知函数()()a x x x f --=2lg 2若()x f 的值域为R ，求a 的取值范围;（只写出关系式不需要计算）通过解答上述习题，请归纳解此类题注意什么问题?（至少写出两点）第Ⅱ卷 提高题（共20分）19．（20分）已知函数()121xaf x =++为奇函数． （1）（8分）求a 的值，并证明()f x 是R 上的增函数；（2）（12分）若关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0的解集非空，求实数k 的取值范围．数学1． C ．2.C. 3.C 4. B. 5.C 6. C 7.A 8.A 9. C 10.6 11.7 12.-4 13.-3/4 14.-2 16.（1）86π+；（2）12-. 17．(1)(2,4] (2)方法一：对称轴分三种情况讨论方法二：参变分离18．（1）(]0,1 （2）[-4,4] (3)[34，2] （4）a<-1 （5）a>=-1第Ⅱ卷 提高题（共20分） 19．（1）2a =-（2）13k >-。
2019-2020学年天津市静海区第一中学高一(3月)学生学业能力调研考试数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市静海区第一中学高一（3月）学生学业能力调研考试数学试题一、单选题1．下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量a r 与b r平行，则a r与b r的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a r 与b r 同向，且||||a b >r r ，则a b >r r .其中正确的序号为（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（4）D ．（3）【答案】D【解析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】解：零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；当向量a r 为零向量时，其方向是任意的，不能说a r 与b r的方向相同或相反，故（2）错误；相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的概念，是基础题.2．若(7,4)OA =u u u r ，(4,0)OB =u u u r ，则与向量BA u u u r同向的单位向量是（ ）A ．34(,)55B ．43(,)55-C ．34(,)55--D ．43(,)55【答案】A【解析】容易求出BA u u u r ，BA u u u r ，从而可求出与向量BA u u u r同向的单位向量.【详解】解：由已知得(7,4)(4,0)(3,4)BA OA OB -==-=u u u r u u u ru u u r ，则5BA =u u u r ， ∴与向量BA u u u r 同向的单位向量是：34,55||BA BA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u ru uu r . 故选：A. 【点睛】考查向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及单位向量的定义及求法，是基础题.3．已知2,6,()10a b a b a ==⋅-=-r r r r r ，则向量a r 与b r向量的夹角是（ ）A ．23π B ．3π C ．56π D ．6π 【答案】A【解析】设向量a r与b r向量的夹角为θ，2()10a b a a b a ⋅-=⋅-=-rrrrr r，代入条件计算即可. 【详解】解：设向量a r 与b r向量的夹角为θ，则由已知22()26cos 210a b a a b a θ⋅-=⋅-=⨯⨯-=-rrrrr r， 解得1cos 2θ=-，因为0θπ≤≤， 则23πθ=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，及向量夹角的求解，是基础题.4．在ABC ∆中，1,2BD DA CE EA ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则DE u u u r为（ ）A ．7263BA BC -u u u r u u u rB ．1263BA BC --u uu r u u u rC ．7263BA BC +u u u r u u u rD ．1263BA BC -+u uu r u u u r【答案】D【解析】根据向量的加法、减法和数乘运算进行运算即可. 【详解】 解：如图：()121212232363DE DA AE BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r .故选：D. 【点睛】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，属于基础题.5．设a r ，b r 是不共线的两个平面向量，已知2,.a kb Q Q a b P R =+=-u u u u r r r rr u u r 若P ，Q ，R三点共线，则实数k 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【解析】由P ，Q ，R 三点共线，从而得出PQ uuu r 与QR uuu r共线，从而存在实数λ，使得PQ QR λ=u u u r u u u r ，从而得出2a kb a b λλ+=-r r r r ，这便得出2k λλ=⎧⎨=-⎩，解出k 即可. 【详解】解：∵a r ，b r是不共线的两个平面向量； 0a b ∴-≠r r r ， 即0QR ≠u u u r r ，∵P ，Q ，R 三点共线； ∴PQ uuu r 与QR uuu r共线；∴存在λ，使PQ QR λ=u u u r u u u r ，∴2a kb a b λλ+=-rrrr， ∴根据平面向量基本定理得2k λλ=⎧⎨=-⎩，解得2k =-. 故选：B. 【点睛】考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理.6．在ABC ∆中，已知60A =︒，6,3a b ==，则B =（ ） A ．30° B ．60︒ C ．30°或150︒ D ．60︒或120︒【答案】A【解析】根据正弦定理算出sin B ，再由角B 是三角形内角，结合特殊三角函数的值即可得到角B 的大小. 【详解】解：因为60A =︒，6,3a b ==，sin 23sin 601s in sin sin 2a b b A B A B a ︒⨯∴=⇒===， 可得30B ︒=或150︒， ∵a b >，可得A B >， ∴150B ︒=不符合题意，舍去， 可得30B ︒=. 故选：A. 【点睛】本题给出ABC V 两边之值和其中一边的对角，求另一边的对角，着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形大边对大角等知识点，属于基础题.7．已知向量a v ，b v 满足||||2a b a b ==+=v vv v ，则2a b +=v v （ ）．A ．7B ．2C ．23D ．5【答案】C【解析】根据||||2a b a b ==+=r r r r ，平方得到2a b ⋅=-r r，再计算()2212a b+=r r ，得到答案. 【详解】()222||||228242a b a b a ba b a b a b a b ==+=∴+=++⋅=+⋅=∴⋅=-r r r r r r r r r r r r r r，()222244164812223a ba b a b a b +=++⋅=+-=∴+=r r r r r r r r故选：C 【点睛】本题考查了向量模的计算，先计算出2a b ⋅=-r r是解题的关键.8．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，DE DC λ=u u u r u u u r，29AE DB ⋅=u u u r u u u r，则λ=（ ）A ．34B ．38C ．47D ．54【答案】B【解析】利用平面向量的线性运算以及向量的数量积直接代入即可求解. 【详解】解：因为平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，DE DC λ=u u u r u u u r，29AE DB ⋅=u u u r u u u r，∴()()AE DB AD DE AB AD ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()AD AB AB AD λ=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22(1)AD AB AB AD λλ=-++-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 164(1)24cos 60λλ︒=-+-⨯⨯⨯9122λ==， 38λ∴=. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目.9．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u rcos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题10．向量(2,3)a =r与向量(1,)b x =-r 的夹角为钝角，则x 的取值集合为__.【答案】332(,)(,)223-∞-⋃-【解析】由题意可得0a b ⋅<rr ，且a r与 b r不共线，由此求得x 的取值集合. 【详解】解：∵向量(2,3)a =r ，(1,)b x =-r，若向量a r与向量b r夹角为钝角， ∴230a b x ⋅=-+<rr ，且a r与 b r不共线，即23x < 且312x-≠，即23x < 且32x ≠-. 故答案为：332(,)(,)223-∞-⋃-.【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题.11．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知8bc =，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为__.【答案】6【解析】将余弦定理变形为()222co 2s b c b a bc c A --+=，代入条件即可. 【详解】 解：由余弦定理得()222222cos 12228282424cos a b c bc bc A b c bc A ⎛⎫=-+=+⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭=+--，26a ∴=故答案为：26. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础题.12．如图，在ABC ∆中，,2,3AD AB DC BD AD ⊥==u u u v u u u v u u u v ，则AC AD ⋅u u u r u u u r的值为__________.【答案】27【解析】根据向量垂直以及向量加法和减法的运算法则进行转化求解即可. 【详解】解：,0AD AB AD AB ⊥∴⋅=u u u r u u u rQ ，则33()32AC AB BC AB BD AB AD AB AD AB =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则22(32)3233327AC AD AD AB AD AD AD AB AD AD ⋅=-⋅=⋅-⋅==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：27. 【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，结合向量垂直与向量的加减法的运算法则是解决本题的关键.13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若32,2134b c C π===，，则ABC ∆的面积为_______. 【答案】4【解析】由已知利用余弦定理可求a 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：∵32,2134b c C π===，， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：22524222a a ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，即222480a a +-=，∴解得2a =（负值舍去），113sin 422sin 4224ABC S ab C π∴==⨯⨯=V . 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.三、解答题14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin C a bB A b c+=--.（1）求角A ； （2）若3a =，6cos 3=B ，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）60o ；（2）3232. 【解析】（1）利用正弦定理将角化为边可得222b a bc c -=-，再结合余弦定理，可得cos A ，则角A 可求；（2）先求出sin B ，再利用正弦定理可求出b ，根据sin sin()C A B =+可得sin C ，则根据三角形面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=，可求出面积. 【详解】（1）由正弦定理，得sin sin sin C a b cB A b c b a+==---，所以222b a bc c -=-，所以222122b c a bc +-=.由余弦定理，得1cos 2A =. 又0180A <<︒︒， 所以角60A =︒；（2）由（1）得角60A =︒，由6cos 3=B ，可得3sin 3B =，由正弦定理，得sin sin b aB A=33=，可得2b =， 又180A B C ++=︒，故323sin sin[180()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B +=︒-+=+=+ 可得11323323sin 3222ABC S ab C ∆++==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-. （1）求sinB 的值； （2）求cos(2)6A π+的值.【答案】（1）31516；（2）157316-. 【解析】（1）由1cos 4A =-，可得sin A 的值，由余弦定理及已知即可解得,b c 的值，由正弦定理即可得解sin B 的值；（2）由倍角公式及（1）可求cos 2,sin 2A A 的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值. 【详解】（1）Q 由1cos 4A =-，可得15sin A =∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=得315sin B =；（2）Q 2715cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==73151cos(2)cos 2cos sin 2sin 66682A A A πππ⎛∴+=-=-⨯ ⎝⎭1573-=.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.16．已知向量3355(cos ,sin ),(cos ,sin ),[0,]44442x x x x a b x π==-∈r r . （1）用含x 的式子表示a b ⋅r r 及|a b +rr |；（2）设()||g x a b t a b =⋅++r rr r ，若关于x 的方程()20g x +=有两个不同的实数解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）cos2x ，2cos x ；（2）3[,2)2--.【解析】（1）根据向量的坐标运算及三角公式可得a b ⋅r r 及|a b +rr |；（2）由题可得22cos 2cos 10x t x ++=有两个不同的实数解，令cos [0,1]x μ=∈，转化为函数2()221F t μμμ=++在[0,1]上有两不等实根，利用二次函数根的分布问题求解． 【详解】解：（1）3355(cos ,sin ),(cos ,sin ),[0,]44442x x x x a b x π==-∈r r Q ， 355335cos cos sin sin cos cos 2444444a x x x x x x b x ⎛⎫-=+= ⎪⋅⎝⎭∴=r r ，22222cos 22cos a b a a b b x x +=+⋅+=+=r r r r r r ；（2）2()||cos 22cos 2cos 2cos 1g x a b t a b x t x x t x =⋅++=+=+-r rr r ，由()20g x +=得22cos 2cos 10x t x ++=， 令2cos [0,1],()221x F t μμμμ=∈=++，24802014(0)10(1)2210t t F F t ⎧∆=->⎪⎪<-<⎪∴⎨⎪=≥⎪=++≥⎪⎩， 解得3,22t ⎡∈-⎢⎣. 【点睛】本题考查向量的数量积和向量的模的求法，考查函数的值域的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意平面向量知识的合理运用.。
2019-2020学年天津市静海区第一中学高一下学期第第12周周测数学试题[推荐]
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A．
B．
C．
D．
解： asin Asin B b cos2 A 2 2a
，则 （ B ）
sin Asin Asin B sin B cos2 A 2 2 sin A
sin B 2 2 sin A b 2 2a
6． i 是虚数单位，复数 z i 2021 i 6 i 7 ，那么 z
A． 5
B． 3
C．1
（）
, l , 则（ ）
A．α∥β且 l ∥α C．α与β相交，且交线平行于 l
B．α⊥β且 l ⊥β D．α与β相交，且交线垂直于 l
9．已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 0 ，且 | AB | 2,| AC | 3 ，若 AP AB AC ，且 AP BC
则实数 的值为 __________ ．
7．在梯形 ABCD 中， ABC 90 ， AD / /D 绕
AB 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
A． 2 3
B ．7 3
C ．5 3
D． 2
8．m，n 为异面直线， m⊥平面α， n⊥平面β， 直线 l 满足 l ⊥ m，l ⊥ n，l
11
4
V A DBE VD ABD
2 22 32
. 3
2 ，点 F 为 CE 上一
（2） BC 平面 ABE且 AD // BC , AD 平面 ABE ,
AD BE,
由（1）知， AE BE ,
又 AD AE A， BE 平面 ADE BE DE
DEA 为二面角 D - BE - A的平面角 . DEA 450. 1３．如图，在三棱锥 P-ABC中， AP AC
10．如图所示， 半径为 2 的半圆内的阴影部分当以直径
【KS5U解析】天津市静海一中2020届高三下学期期中考试数学试卷 Word版含解析
14.在 中，已知 ， ， ， 为边 的中点.若 ，垂足为 ，则 的值为__.
【答案】
三、解答题（共50分）
15.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【详解】（1） 由 ，
可得 ，
， ， ，
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段 的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）存在， 或 .
【解析】
【详解】（1）证明： 四边形 矩形， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 .
取 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图，则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
， ， ， ，2， ，
由 ，取 ，得 ，0， ，
又 ，2， ， ， ，
又 平面 ， 平面 ；
（2） ，0， ， ，0， ， ，2， ， ， ， ， ，0， ，
又 ， ， 即 ， ，点 .
圆 同时与 轴和直线 相切，
即 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 .
19.已知数列 是公差为1的等差数列， 是单调递增的等比数列，且 ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和 ，求 ；
（3）若数列 的前 项积为 ，求 .
（4）数列 满足 ， ，其中 ， ，求 .
【详解】（1） ，则 ，解得 ，故 ，
2019-2020学年天津市静海一中高三(下)期中数学试卷(wd无答案)
2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知，，则( )A．，B．，C．，D．，2，(★★) 2. 设是首项大于零的等比数列，则“ ”是“数列为递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．B．C．D．(★★) 4. 函数在，上的图象大致为( )A．B．D．C．(★★★) 5. 已知函数，，则，，的大小关系是( )A．B．C．D．(★★★) 6. 直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是( )A．3B．2C．D．1(★★★) 7. 关于函数有下述四个结论：① 的周期为；② 在上单调递增；③函数在上有3个零点；④函数的最小值为.其中所有正确结论的编号为( )A．①④B．②③C．①③④D．②④(★★) 8. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为( )A．B．C．D．(★★★) 9. 已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是( )A．B．，C．D．二、填空题(★★) 10. 若，则复数的虚部为 __ .(★★) 11. 二项式，则该展开式中的常数项是 __ .(★★★) 12. 在三棱锥中，平面，是等腰三角形，其中，，，则三棱锥的外接球的表面积为 __ .(★★★) 13. 在中，已知，，，为边的中点.若，垂足为，则的值为 __ .三、双空题(★★★) 14. 已知，均为正数，且，则当 __ 时，代数式的最小值为__ .四、解答题(★★) 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，.（1）求的值；（2）求的值.(★★★) 16. 某地有四人先后感染了新冠状病毒，其中只有到过疫区.（1）如果受到感染的概率分别为，那么三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若肯定受感染，对于，因为难以判断他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是，同样也假设受和感染的概率都是，在这种假定之下，B、 C、 D中直接受感染的人数为一个随机变量，求随机变量的分布列和均值（数学期望）.(★★★) 17. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.(★★★) 18. 已知椭圆的右焦点，右顶点为，点是椭圆上异于点的任意一点，的面积的最大值为.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.(★★★★) 19. 已知数列是公差为1的等差数列，是单调递增的等比数列，且，，.（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和，求；（3）若数列的前项积为，求.（4）数列满足，，其中，，求.（5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）（4）问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个.(★★★★) 20. 设函数，其中，为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：函数无零点；（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立.（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“ 在区间内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.。
天津静海县第一中学2019-2020学年高一数学文测试题含解析
天津静海县第一中学2019-2020学年高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在区间上,不等式有解，则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：C2. 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且时，，时，，则在上单调递增，所以得：，解得，故选C。
3. 若平面向量b与向量a＝(－1,2)的夹角是180°，且|b|＝，则b等于( ) A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)参考答案：B由已知a与b方向相反，可设b＝(－λ，2λ)，(λ<0)．又|b|＝＝，解得λ＝－3或λ＝3(舍去)，∴b＝(3，－6)．4. 函数f（x）=a x﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( )A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0参考答案：D【考点】指数函数的图像变换．【专题】计算题．【分析】根据函数的图象，确定函数的单调性，求出a的范围，结合指数函数的图象，推出b的范围，确定选项．【解答】解：由图象得函数是减函数，∴0＜a＜1．又分析得，图象是由y=a x的图象向左平移所得，∴﹣b＞0，即b＜0．从而D正确．故选D【点评】本题是基础题，考查学生视图能力，指数函数的图象变换，掌握指数函数的性质，才能正确解题．5. 已知函数，为偶函数，且当时，．记．给出下列关于函数的说法：①当时，；②函数为奇函数；③函数在上为增函数；④函数的最小值为，无最大值．其中正确的是A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④参考答案：B6. 已知a>b,则下列不等式成立的是 ( )高考资源网w。
w-w*k&s%5￥uA. B.ac>bc C. D.参考答案：D略7. 设集合A={x|-l<x≤4}，B={x|0<x<5}，则A∩B= ( )A.{x|-l<x<0}B.{x|0<x≤4)C.{x|0<x<5}D.{x|0≤x≤4)参考答案：B8. 下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是（）A．= B. = C . = D参考答案：C解析：依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得C正确。
天津市静海区2019_2020学年高一数学11月月考试题
天津市静海区2019-2020学年高一数学11月月考试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页。
试卷满分120分。
考试时间100分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（共12题；每题3分，共36分）1. 已知集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.2. 下列四个函数中，在上为增函数的是A. B.C. D.3. 如果，那么下列不等式成立的是A. B. C. D.4. 如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为A. B. C. D.5. 若，则等于6 .函数的定义域是7 .已知函数，则的值为B. C. D.8 .设命题，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，9 .已知集合的子集有个，则实数的取值范围为B. D.10. 已知，，且，则的最大值是C. D.11 .设函数）上的减函数，又若，则A. B.C. D.12. 奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是B.第Ⅱ卷二、非选择题（共13题；其中填空题8×3=24分，解答题5×12=60分……共84分）13. 已知全集，集合，，则．14. 已知，，若，则实数的取值范围是．15. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是．16. 已知，，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则的取值范围是．17. 不等式的解集为．18. 若定义在上的减函数满足，则实数的取值范围是．19. 已知函数的定义域为的奇函数，且在上有两个零点，则的零点个数为．20. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是．21..求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）．22. 已知不等式的解是，设，．（1）求，的值；（2）求和．23. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?24. 已知不等式的解集为，不等式的解集为．（1）求集合与；（2）若，求实数的取值范围．25.判断函数在区间上的单调性，并给出证明．数学答案一、选择题1—5 CCBDB 6—10 DCCCB 11—12 BA二、填空题13、{x|−1<x<1} 14、[2,+∞) 15、 16、 17、18、 19、5 20、三、解答题21、（1）．（2）．（3）．（4）．22、（1）根据题意知，是方程的两实数根；所以由韦达定理得，解得，．（2）由上面，，；所以，且；所以，；所以．23、设房屋地面相邻两边边长分别为，，总造价为元．因为，所以当时，上式取等号．所以当房屋地面相邻两边边长分别建成和时，造价最低，最低总造价为元．24、（1）由，得，即，解得，所以．由，得．①若，则；②若，则；③若，则．（2）要使，则，且，所以当时，．25、。
2020年天津市静海区第一中学高三下学期期中考试数学试题及答案
2020届天津市静海区第一中学高三下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知2{*|30}A x N x x =∈-+≥，12{|log 0}B x x =≤，则A B I =（ ）A ．[)3+∞，B ．[0,1]C ．[1]3，D ．{1,2,3}【答案】D【解析】计算得到{}1,2,3A =，{}1B x x =≥，计算交集得到答案. 【详解】{}2{*|30}1,2,3A x N x x =∈-+≥=，{}12{|log 0}1B x x x x =≤=≥，故{1,2,3}A B ⋂=. 故选：D . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.2．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依次判断充分性和必要性，取11a =，22a =-，得到不充分，得到答案. 【详解】若数列{}n a 为递增数列，在210a a >>，故2212a a <，必要性； 若取11a =，22a =-，2212a a <，不满足21a a >，故不充分.故选：B . 【点睛】本题考查了充分性和必要性，意在考查学生的推断能力.3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．4．函数()()cos x x f x e e x -=-⋅在[2,2]-上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】确定函数为奇函数排除BD ，()11cos10f e e ⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，排除A ，得到答案. 【详解】()()cos x x f x e e x -=-⋅，则()()()cos x xf x e e x f x --=-⋅=-，函数为奇函数，排除BD ；()11cos10f e e ⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，排除A .故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的识图能力和综合应用能力.5．已知函数22,0 ()1,02x x xf xx x⎧--≥⎪=⎨-+<⎪⎩，113212111(()),(log),(())233a fb fc f===，则,,a b c的大小关系是（）A．a b c<<B．c a b<<C．b a c<<D．b c a<<【答案】C【解析】画出函数图像，确定函数单调递减，计算1321211311log32⎛⎫> ⎪⎝⎭⎛⎫> ⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】画出函数图像，根据图像知函数单调递减，1122131122111log log11122332⎛⎫>=> ⎪⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故b a c<<.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 6．直线240ax by++=与圆224210x y x y++++=截得的弦长为4，则22a b+的最小值是（）A ．3B ．2CD ．1【答案】B【解析】根据题意知直线过圆心得到2a b +=，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】224210x y x y ++++=，即()()22214x y +++=，圆心为()2,1--，半径为2.弦长为4，则直线过圆心，即2240a b --+=，即2a b +=.()()()22222222a b a b ab a a b b +=+-≥+-=+，当1a b ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，均值不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7．关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()1y f x =-在[],ππ-上有3个零点；④函数()f x 的最小值为. 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．②④【答案】A【解析】化简得到()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】()sin cos sin cos f x x x x x =+=+，则()()()(2)sin 2cos 2f x x x f x πππ+=+++=，①正确；()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②错误；()14f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即sin 42x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，共有2个解，故③错误；()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小值为④正确.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，最值，周期，零点，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线，垂足为M ，若12MF F ∆的面积为24a ，则C 的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B．y =C ．2y x =±D ．4y x =±【答案】D【解析】计算3244,a a M bc c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据2MF a k b =-得到4ba =，得到渐近线方程. 【详解】1221242MF F M S c y a ∆=⋅=，故24M a y c=，取渐近线方程为b y x a =， 取24M a y c =，则3244,a a M bc c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22344MF a a c k a bc bc==--，整理得到：2344b b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得4b a =，故渐近线为4y x =±. 故选：D . 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力. 9．已知函数2ln 3,0()3,0x x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,3-C ．()1,2-D ．()1,3【答案】C【解析】(),x y 关于1y =-对称的点为(),2x y --，得到直线方程1y kx =--，当1y kx =--与()f x 相切时，2k =，计算()230340k k +>⎧⎪⎨∆=+->⎪⎩，解得答案. 【详解】取()y f x =上一点(),x y ，则(),x y 关于1y =-对称的点为(),2x y --， 即21y kx --=-，即1y kx =--，直线过定点()0,1-. 当0x >时，()ln 3f x x x x =-，()'ln 2f x x =-， 函数在()20,e上单调递减，在)2,e ⎡+∞⎣上单调递减，当1y kx =--与()f x 相切时，设切点为()00,x y ，则0ln 2x k -=-，0000ln 31x x k x x ---=，解得2k =，故2k <. 当0x ≤时，231k x x x =--+，即()2103x k x ++=+，则()230340k k +>⎧⎪⎨∆=+->⎪⎩，解得1k >-. 综上所述：12k -<<. 故选：C .【点睛】本题考查了根据交点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题10．若4212iz i i--=+，则复数z 的虚部为__________. 【答案】1-【解析】化简得到z i =-，得到答案. 【详解】4212iz i i --=+，则()()()()42121012125i i i z i i i i i ---=+=+=-+-，故复数的虚部为1-.故答案为：1-； 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.11．二项式122x ⎛ ⎝，则该展开式中的常数项是______. 【答案】552-【解析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】 二项式122x ⎛⎝的展开式的通项为：()41231212112121221rrr r r rrr xx T C C --+-⎛=-⋅ ⎝⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取9r =得到常数项为()1299129152512C -⎛⎫⋅- =-⎪⎝⎭. 故答案为：552-. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，ABC ∆是等腰三角形，其中2AB BC ==，0120,ABC ∠=4,PA =则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_______. 【答案】32π【解析】计算ABC ∆外接圆半径为2r =，根据22282PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得到R =得到表面积. 【详解】2AB BC ==，120ABC ∠=︒，则AC =ABC ∆外接圆半径为r ，24sin ACr ABC==∠，即2r =，设外接球半径为R ，则22282PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故R =2432S R ππ==.故答案为：32π. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 13．在ABC ∆中，已知03,2,120,AB AC BAC ==∠=D 为边BC 的中点.若BE AD ⊥，垂足为E ，则BE AC ⋅u u u r u u u r的值为________.【答案】277【解析】过点C 作CF AD ⊥于F ，BE FC =u u u r u u u r ，2BE AC FC ⋅=u u u r u u u r u u u r，计算AD =u u u r ，根据等面积法得到FC =u u u r ，得到答案.【详解】如图所示：过点C 作CF AD ⊥于F ，易知BED CFD ∆≅∆，故BE FC =u u u r u u u r，2cos FC BE AC FC AC ACF FC AC FC AC ⋅=⋅∠=⋅⋅=u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故()221744AD AB AC=+=u u u r u u u r u u u r，故2AD =u u u r . 根据等面积法：111sin 222AD FC AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠u u ur u u u r u u u r u u u r，解得FC =u u u r . 故2277BE AC FC ⋅==u u u r u u u r u u u r . 故答案为：277.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、双空题14．已知,a b 均为正数，且1a b +=，则当a =_____时，代数式2212a ab+-的最小值为_______. 【答案】31223 【解析】变换()22222221322a a b a a b ab ab ab++++-=-=，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()222222213232223a a b a a b abab ab ab ++++-=-=≥= 当223a b =，即31a -=，33b -=.故答案为：312；3【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换()22222122a a b a abab+++-=-是解题的关键.四、解答题15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-.（1）求sin B 的值； （2）求cos(2)6A π+的值.【答案】（1）16；（2）16-. 【解析】（1）由1cos 4A =-，可得sin A 的值，由余弦定理及已知即可解得,b c 的值，由正弦定理即可得解sin B 的值；（2）由倍角公式及（1）可求cos 2,sin 2A A 的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值. 【详解】（1）Q 由1cos 4A =-，可得sin A =∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=得sin B =；（2）Q 27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==71cos(2)cos 2cos sin 2sin 6668282A A A πππ⎛⎫∴+=-=-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭16=.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.16．某地有A B C D 、、、四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A 到过疫区. （1）如果B C D 、、受到A 感染的概率分别为12，那么B C D 、、三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若B 肯定受A 感染，对于C ，因为难以判断他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A B 、和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 为一个随机变量，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）.【答案】（1）38；（2）分布列见解析，()116E X =【解析】（1）直接计算概率得到答案.（2）X 的可能取值为1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）2131131228p C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）根据题意：X 的可能取值为1,2,3. 则()1211233p X ==⨯=；()12111223232p X ==⨯+⨯=；()1113236p X ==⨯=. 故分布列为：X1 23 p131216()111111233266E X =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 17．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 6若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）23；（3）存在，3BP =或23BP = 【解析】（1）以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，DF AE AB =+u u u ru u u ru u u r，得到证明.（2）平面DEF 的一个法向量为()12,1,0n =u r ，平面BEF 的一个法向量为()12,1,2n =u r，计算夹角得到答案.（3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，22cos AP n AP n θ⋅=⋅u u u r u u ru u u r u u r ，解得答案.【详解】（1）取BC 中点G ，连接DG ，易知DA DG ⊥，平面EDCF ⊥ABCD ，四边形EDCF 为矩形，故ED ⊥平面ABCD . 以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,2,2F -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,2E .()1,2,2DF =-u u u r ，()1,0,2AE =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r ，故DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r ，故//DF 平面ABE .（2）设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v ，即20220z x y z =⎧⎨-++=⎩， 取1y =，则()12,1,0n =u r.设平面BEF 的一个法向量为()2,,n a b c =u u r ，则220n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v ，即20220x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩， 取1y =，则()12,1,2n =u r.则121212cos ,3n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，故二面角B EF D --二面角的正弦值为23. （3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r，则()1,22,2P λλλ--，(),22,2AP λλλ=--u u u r ，()12,1,2n =u r，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，则()()222226cos 3222AP n AP n θλλλ⋅===⋅+-+u u u r u u r u u u r u u r ，解得23λ=或29λ=. 故3BP BE λλ==u u u r u u u r ，故3BP =或23BP =.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A 的任意一点，APF ∆23b . （1）求椭圆C 的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.【答案】（1）12e =；（2）2211612x y +=【解析】（1）APF ∆面积的最大值为()21326b b ac -=，化简得到答案.（2）直线l ：()34y x c =--，设圆心为()4,B m -，0m >，根据相切得到43cm +=，联立直线方程得到()222123,545c c c c Q c c ⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭，代入椭圆方程解得答案.【详解】（1）APF ∆面积的最大值为()12b a c -=22230c ac a -+=，即22310e e -+=，解得12e =或1e =（舍去），故12e =. （2）直线l ：()34y x c =--，设圆心为()4,B m -，0m >， 则圆方程为()()2224x y m m ++-=. 圆B 与直线l 相切，则41235m c m --=，故43cm +=， 故412OB c k +=-，则直线AQ ：()()4421212c cy x a x c ++=--=--. 联立方程得到：()()344212y x c c y x c ⎧=--⎪⎪⎨+⎪=--⎪⎩，解得225c c x c -=-，()212345c cy c +=- 将()222123,545c c c c Q c c ⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得2c =.故椭圆方程为：2211612x y +=.【点睛】本题考查了椭圆离心率，椭圆方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是单调递增的等比数列，且235,a a a +=4124a b b =-，335b a a =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2222(1)(1)nn n n b c b b +=--，数列{}n c 的前n 项和n S ，求n S ；（3）若数列1n n n a b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项积为n T ，求n T .（4）数列{}n d 满足11d =，11,22,2k k n kkn d b n +⎧<<=⎨=⎩，其中**k N n N ∈∈，，求21ni i i a d =∑.（5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）(4)问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个. 【答案】（1）,2nn n a b n ==；（2）221132311n n S +⎛-=-⎫⎪⎝⎭；（3）(1)2(1)2n nn T n +=+；（4）21113242623nn n i i i a d ==⋅-⋅+∑.（5）见解析 【解析】（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案. （2）22211132121n n n c +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，利用裂项求和法计算得到答案.（3）()112nn n n n a b a n++=，利用累乘法计算得到答案.（4）21211142n nn niii i i i i i i a d =====+-∑∑∑∑，代入公式计算得到答案.（5）介绍裂项求和和分组求和法，根据方法特点得到答案. 【详解】（1）235a a a +=，则11234a a +=+，解得11a =，故n a n =.4124a b b =-，即1144b q b =-，335218b b q a a =+==，解得2q =或4q =-（舍去）. 12b =，故2n n b =.（2）()()222222222222111(1)(1)321212121n n n n n n n n n b c b b +++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭， 故2222211121211111111...331515633213n n n n S ++⎛⎫⎛⎫=-+----++= ⎪ ⎪⎝⎝-⎭⎭-. （3）()112nn n n n a b a n ++=，故()()12223122...21212n n nn n T n n++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+. （4）()()2211121111221412212424221412nnn nnn nnn niiiii i i i i i i ii a d i ======+--=+-=+-=+⋅-⋅--∑∑∑∑∑∑，即21113242623nn n i i i a d ==⋅-⋅+∑. （5）根据题意：（2）中应用了裂项相消求和法，裂项相消求和法是将数列分解为一个数列的前后项，方便计算；（4）中应用了分组求和法，分组求和法是将有规律的某一部分集中起来计算，易于计算. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项相消法，分组求和法，累乘法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20．设函数21()ln ,(),xef x ax a xg x x e =--=-其中, 2.71828a R e ∈=L 为自然对数的底数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，证明：函数()g x 无零点；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间()1+∞，内恒成立. 【答案】（1）0a ≤时，函数单调递减；0a >时，函数在⎛ ⎝⎭上单调递减，在2a ⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增；（2）证明见解析；（3）12a ≥ 【解析】（1）求导得到221'()ax f x x-=，讨论0a ≤和0a >两种情况，计算得到答案.（2）1()0x eg x x e=-=，即0x e ex -=，设()x h x e ex =-，证明()()10h x h >=，得到证明.（3）讨论0a ≤，102a <<，12a ≥三种情况，计算()()()2211'0x x x F x x-+->>，得到函数单调性，得到答案. 【详解】（1）2()ln f x ax a x =--，则2121'()2ax f x ax x x-=-=，当0a ≤时，'()0f x <恒成立，函数单调递减；当0a >时，取()221'0ax f x x -==，0x >，解得x =，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增.综上所述：0a ≤时，函数单调递减；0a >时，函数在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增. （2）1()0x eg x x e=-=，即0x e ex -=，设()x h x e ex =-， 则()'0xh x e e =->在()1+∞，上恒成立，故()()10h x h >=恒成立，故0x e ex -=无解.即1x >时，函数()g x 无零点.（3）()()f x g x >，即21ln x e ax a x x e-->- 当0a ≤时，函数()f x 单调递减，故()()10f x f <=，()0>g x 恒成立，故不成立；当102a <<时，12a >，故()(102f f a<=，()0>g x 恒成立，故不成立； 当12a ≥时，设()()()F x f x g x =-， 则()()()212222111111121'20x x x x F x ax e x x x x x x x x x x--+-=-+->-+-=-+=>， 故()()()()10F x f x g x F =->=恒成立. 综上所述：12a ≥. 【点睛】本题考查了函数单调性，函数零点问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
【精准解析】天津市静海区第一中学2020届高三下学期期中考试数学试题+Word版含解析
满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
4.函数 f (x) (ex ex ) cos x 在 [2, 2] 上的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
确定函数为奇函数排除
BD
，
f
1
e
1 e
cos1
0 ，排除
A ，得到答案.
【详解】 f (x) (ex ex ) cos x ，则 f (x) (ex ex ) cos x f x ，函数为奇函数，
【解析】
【分析】
计算得到 A 1, 2,3 ， B x x 1 ，计算交集得到答案. 【详解】 A {x N*| x2 3x 0} 1, 2,3 ， B {x | log1 x 0} x x 1 ，
2
故 A B {1, 2,3} .
故选： D .
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.
只要坚持 梦想终会实现
-9-
高中学习讲义
BE AC
FC
AC
cos ACF
FC
AC
FC
2 FC .
AC
AD
1
2
AB AC
，故
AD
2
1
4
AB AC
2
7
，故
4
AD
7. 2
1
根据等面积法：
AD
FC
k 2
4
0
，解得答案.
【详解】取 y f x 上一点 x, y ，则 x, y 关于 y 1对称的点为 x, 2 y ，
即 2 y kx 1 ，即 y kx 1 ，直线过定点 0, 1 .
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绝密★启用前2019-2020学年天津市静海区第一中学高一下学期期中考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．复数3423ii-+对应的点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C利用复数的运算法则化简复数，根据复数的几何意义即可求得对应点，即可判断. 解：因为3423i i -+()()()()342361723231313i i i i i --==--+-， 故其对应的点为617,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 容易知其位于第三象限. 故选：C. 点评：本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.2．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224a b c--，则角A 等于（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．135︒答案：D利用面积公式，借助余弦定理，即可容易求得结果. 解：因为2224a b c --12bcsinA =，且2222a b c bccosA =+-， 故可得sinA cosA =-，即1tanA =-， 又因为()0,A π∈，故可得34A π=. 故选：D. 点评：本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属综合基础题.3．已知正方体的8个顶点中，有4个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为（）A．1:3B．1:2C．2:2D．3:6答案：A所求的全面积之比为：()223244163⨯⨯=⨯，故选A.4．已知三棱锥S ABC-，ABCV是直角三角形，其斜边63AB=，SC⊥平面ABC，6SC=，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．144πB．72πC．100πD．64π答案：A根据题意，在长方体中找到满足题意的三棱锥，求得长方体外接球的表面积即为所求. 解：根据题意，可在长方体中找到满足题意的三棱锥，如下图所示：故该长方体的外接球与三棱锥S ABC -的外接球相同，又长方体的长宽高可以为，则外接球半径6R ==.故其表面积24144S R ππ=⨯=. 故选：A. 点评：本题考查三棱锥外接球的求解，属基础题.5．已知ABC ∆中，60,4,2,BAC AB AC E F ∠=︒==、为边BC 的两个三等分点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．54B ．203C ．158D ．53答案：B用基向量,AB AC u u u r u u u r表示出目标向量，利用向量的数量积运算，即可求得结果.解：根据题意，由平面向量的定比分点可得：2112,3333AE AB AC AF AB AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故可得21123333AE AF AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2222560999AB AC AB AC cos =++︒u u ur u u u r u u u r u u u r 2251164429992=⨯+⨯+⨯⨯⨯ 203=. 故选：B. 点评：本题考查用基向量表示平面向量，以及向量的数量积运算，属综合基础题. 6．复数()()234i i i ++-的虚部为（ ） A ．3i B ．7i -C ．3D ．-7答案：C先求得34i +，再利用复数运算法则，化简复数后，求其虚部即可.解：因为345i +=，故()()25113i i i +-=+， 故其虚部为3. 故选：C. 点评：本题考查复数的乘法运算，复数的模长求解，以及虚部的辨识，属综合基础题.7．在锐角三角形ABC cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C +=，则a c +的取值范围是（ ）A ．B ．(C ．(6, D ．(3,答案：C根据已知条件求得,b B ，构造a c +的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果. 解：cos 2B B +=，故可得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得60B =︒.因为cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，故可得332ccosB bcosC sinA a sinB bc sinc c +=⨯=⨯整理得b =24bR sinB==.故可得()()4444sin 6030a c sinA sinC sinA A A +=+=++︒=+︒， 因为0,,1200,22A A ππ⎛⎫⎛⎫∈︒-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可得()30,90A ∈︒︒.则()(30A +︒∈故可得(6,a c +∈. 故选：C. 点评：本题考查利用正余弦定理求解三角形中的范围问题，涉及正弦的和角公式，属综合困难题.二、填空题8．已知向量()()3,2,2,1a b ==-r r，若ma nb +r r 与2a b +r r 共线，则m n等于_______答案：12根据已知条件，即可求的ma nb +r r 与2a b +rr 的坐标，根据向量共线的坐标公式，即可求得结果. 解：因为()()3,2,2,1a b ==-r r，故可得ma nb +r r()32,2m n m n =+-，2a b +r r ()7,0=，因为ma nb +r r 与2a b +r r共线， 故可得1470m n -=，即可得12m n =. 故答案为：12. 点评：本题考查向量坐标的运算，以及由向量共线求参数值，属基础题.9．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋2i (i 是虚数单位)，则复数z 的模为_____.根据复数的运算，即可求得复数z ，则模长得解. 解：因为(z －2)i ＝1＋2i ，故可得1224iz i i+=+=-.故可得z ==点评：本题考查复数的运算，以及复数模长的求解，属综合基础题.10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B B -=，sin C B =，则A =______答案：6π 利用正弦定理将角化边，将,a c 用b 表示出来，用余弦定理，即可求得A .解：因为sin sin 3sin a A b B c B -=，故可得223a b bc -=；因为sin 23sin C B =，故可得23c b =； 综合即可求得7,23a b c b ==.由余弦定理可得22232b c a cosA bc +-==. 又因为()0,A π∈，故可得6A π=.故答案为：6π. 点评：本题考查利用正弦定理将角化边，以及用余弦定理解三角形，属综合中档题. 11．已知某圆锥体的底面半径2r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是___ 答案：16π利用弧长公式，即可求得圆锥的母线，利用圆锥表面积公式即可求得结果. 解：因为底面圆周长，也即扇形的弧长为4π， 设圆锥母线长为l ，则可得4π=23πl ⨯，解得6l =. 故可得圆锥的侧面积12S rl ππ==. 则表面积为21212416r πππππ+=+= 故答案为：16π. 点评：本题考查扇形的弧长公式，以及圆锥侧面积的求解，属综合基础题.12．如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,AB DC ==3AD BC ==，E 是DC 的中点，F 是线段BC 上的动点，则EF BF ⋅u u u r u u u r的最小值是_____答案：43-以AB 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，用解析法将目标式转化为函数，求得函数的值域，即可求得结果. 解：以AB 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：由题可知，()()()0,2,1,2,2,0E C B ，设CF CB λ=u u u r u u u r，[]0,1λ∈，故可得()1,22F λλ+-，则()()1,2,1,22EF BF λλλλ=+-=--u u u r u u u r，故可得[]2321,0,1EF BF λλλ⋅=--∈u u u r u u u r ，因2321y λλ=--的对称轴13λ=， 故可得EF BF ⋅u u u r u u u r的最小值为114321933⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：43-. 点评：本题考查用解析法求向量数量积的最值，涉及动点问题的处理，属综合中档题.三、解答题13．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =， 12,4,BC CC M ==为棱1CC 上—点.(1) 若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的大小； (2) 若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M . 答案：(1) arctan(2)证明详见解析. (1) 由1111//C D B A ,得11B A M ∠是异面直线1A M 和11C D 所成角,由此能示出异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值；(2) 12C M =时,由勾股定理逆定理得1B M BM ⊥,1A M BM ⊥,由此能证明BM ⊥平面11A B M . 解：(1)1111//C D B A Q ,11B A M ∴∠是异面直线1A M 和11C D 所成角,∵在长方体1111ABCD A B C D -中,11A B ⊥平面11BCC B ,111A B B M ∴⊥,2AB =Q ,2BC =,14CC =,M 为棱1CC 上一点,11C M =, 1B M ∴===11111tan B M B A M A B ∴∠==即异面直线1A M 和11C D所成角的大小为arctan (2) 12C M =时,1B M BM ===22211B M BM BB ∴+=,1B M BM ∴⊥.222111144412A M A C MC =+=++=Q ,2116420A B =+=, 22211A M BM A B ∴+=, 1A M BM ∴⊥,又11A M B M M ⋂=,BM ∴⊥平面11A B M . 点评：本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查直线与平面的证明,解题时要注意空间思维能力的培养.14．已知1a b ==r r ，a b rr 与的夹角为45°. （1）求a b rr 在方向上的投影；（2）求2a b +r r的值;（3）若向量()2-3a b a b λλ-r r r r与（的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.答案：（1）1；（2；（3）⋃.试题分析：（1）由射影定义可得a r 在b r 方向上的投影；（2）利用公式22a a =r r 可求得向量的模；（3）由(2)a b λ-rr与(3)a b λ-rr的夹角是锐角，可得(2)(3)0a b a b λλ-⋅->rrrr，且(2)a b λ-r r 与(3)a b λ-r r不能同向共线，即可解出实数λ的取值范围.试题解析：（1）∵a =r1b =r ，a r 与b r 的夹角为45︒∴cos 451a ︒==r∴a r在b r方向上的投影为1（2）∵2a b +====r r∴2a b +=r r（3）∵(2)a b λ-rr与(3)a b λ-rr的夹角是锐角∴(2)(3)0a b a b λλ-⋅->r r r r ，且(2)a b λ-r r 与(3)a b λ-r r不能同向共线 ∴2760λλ-+<，2(3)a b k a b λλ-≠-r r r r，0k >∴1λ<<6λ<<15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . （1）若2c =，3C π=，求ABC ∆面积的最大值；（2）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断ABC ∆的形状.（3）结合解答第（2）问请你总结一下在解三角形中判断三角形的形状的方法.答案：（1（2）直角三角形或等腰三角形. （3）见解析（1）利用余弦定理列出关系式，将2c =，3C π=代入，整理后利用基本不等式求出ab的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到sin sin()C A B =+，代入已知等式，展开化简合并，得sin sin sin cos B A A A =，最后讨论当cos 0A =时与cos 0A ≠时，分别对ABC ∆的形状加以判断，可以得到结论.（3）根据（2）中所求，结合解三角形的知识，即可容易总结. 解：（1）因为2c =，3C π=，所以由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即224a b ab =+-， 整理得224a b ab +=+，因为222a b ab +≥，所以42ab ab +≥，即4ab ≤，所以1sin 2S ab C ab ==≤ 当且仅当a b =时取等号，则S .（2）由sin sin()sin 2C B A A +-=，所以sin()sin()sin 2A B B A A ++-=， 化简得2sin sin 2sin cos B A A A =，即sin sin sin cos B A A A =， 所以cos 0A =或sin sin A B =， 因为A 与B 都为三角形内角， 所以2A π=或A B =，所以ABC ∆是直角三角形或等腰三角形.（3）根据（2）中所求，结合已知知识，总结如下：一、可利用正余弦定理，求得三角形中的角度，即可判断三角形形状； 二、可利用正余弦定理，求得三角形中的边长，由余弦定理判断三角形形状. 点评：本题考查利用正余弦定理求解三角形面积的最值，以及判断三角形的形状，属综合中档题.16．如图,四边形ABCD 为矩形,且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD , 1PA =,E 为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥；（2）求三棱锥C PDE -的体积；（3）探究在PA 上是否存在点G ,使得EG P 平面PCD ，并说明理由.答案：（1）见解析;（2）16;（3）见解析. (1)连结AE ,由几何体的空间结构可证得DE PAE ⊥平面,利用线面垂直的定义可知DE PE ⊥.(2)由(1)知DCE ∆为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得16C PDE P DCE V V --==. (3)在PA 上存在中点G ,使得//EG PCD 平面.取,PA PD 的中点,G H ,连结,,EG GH CH . 易证得四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH ,结合线面平行的判断定理可知EG //平面PCD .解：(1)连结AE ,∵E 为BC 的中点,1EC CD ==,∴DCE ∆为等腰直角三角形,则45DEC ∠=o ,同理可得45AEB ∠=o ,∴90AED ∠=o ,∴DE AE ⊥, 又PA ABCD 平面⊥,且DE ABCD ⊂平面, ∴PA DE ⊥,又∵AE PA A ⋂=,∴DE PAE ⊥平面,又PE PAE ⊂平面,∴DE PE ⊥.(2)由(1)知DCE ∆为腰长为1的等腰直角三角形, ∴111122DCE S ∆=⨯⨯=,而PA 是三棱锥P DCE -的高, ∴111113326C PDE P DCE DCE V V S PA --∆==⋅=⨯⨯=. (3)在PA 上存在中点G ,使得//EG PCD 平面.理由如下:取,PA PD 的中点,G H ,连结,,EG GH CH .∵,G H 是,PA PD 的中点, ∴//GH AD ,且12GH AD =, 又因为E 为BC 的中点,且四边形ABCD 为矩形,所以EC //AD ,且EC =12AD , 所以EC //GH ,且EC =GH ,所以四边形EGHC 是平行四边形,所以EG //CH ,又EG ⊄平面PCD ,CH ⊂平面PCD ,所以EG //平面PCD .点评：本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(),cos m a B =u r ，(),cos n b A =r 且//m n u r r ，m n ≠u r r（1）若sin sin A B +=2A ； （2）若ABC ∆的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围.答案：（1）12π或512π；（2）)+∞ 由已知条件，即可求得2A B π+=；（1）利用,A B 两角的关系，结合辅助角公式即可求得A ；（2）将目标式转化为,sinA sinB 的混合式，令sinA sinB t +=，利用其与sinAsinB 之间的关系，求得函数的值域，即可求得结果.解：因为(,cos ),(,cos )m a B n b A ==u r r 且//m n u r r ，所以cos cos a A b B =，由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =.又m n ≠u r r ，故A B ≠，因为()()()0,,0,,0,A B A B πππ∈∈+∈，所以22,A B π+=即2A B π+=.(1)sin sin A B +=sin sin()sin cos )24A A A A A ππ+-=+=+ 30,,2444A A ππππ<<∴<+<Qsin 44x A ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得12A π=，512π. (2)若,abx a b =+则a b x ab +=，由正弦定理，得sin sin 2sin sin A B x A B += 设sin cos A A +=t∈(，则212sin cos t A A =+， 所以21sin cos 2t A A -=即2111t x t t t==>-- 所以实数x的取值范围为)+∞. 点评： 本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及,sinA cosA sinAcosA +之间的关系以及换元法，属综合中档题.。