【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第七节 空间角与距离的求解课件 理

【解题思路】先找到三条两两垂直的直线,建立空间直线坐标系,利用两直线方向向量 的数量积为0证明直线垂直.
空间向量在平行、垂直问题证明中的应用 应用向量法可以证明线线、线面、面面平行与垂直,解决方法是转化为直线的方向向量、平面的法向量的垂 直与平行,利用向量知识建立方程求解.
考点 2 向量法在异面直线所成角中的应用
直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a垂直于平面α,记为a⊥α,称向量a叫做平面α的法向量.
2.空间线线、线面、面面平行与垂直的向量语言表示
设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为a,b,两个平面α1,α2的法向量分别为u,v,则有下表:
平行 l1 与 l2 l1 与 α1 α1 与 α2 a∥b a⊥u u∥v 垂直 a⊥b a∥u u⊥v
【解题思路】建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线垂直及线
面角问题.
【参考答案】由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD, AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相 关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中 m=BQ,0≤m≤6.
典例2 (2015· 新课标全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的 两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(1)证明:平面AEC⊥平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 【解题思路】(1)连接BD,与菱形对角线AC相交于点G,通过证明GE与平面ACF内的两条相交
1 ������������ , 又������������ 2
������1������1, 且������1������ = A1C1,
1 2
则 DF A1E,故四边形 A1FDE 是平行四边形, 所以 DE∥A1F,又 A1F⊂平面 A1CF,DE⊄平面 A1CF, 所以 DE∥平面 A1CF.
因为∠CBB1=60°,所以△CBB1 为等边三角形,又 AB=BC,则 A 0,0,
3 ,0 3 3 3
,B(1,0,0),B1 0,
3 ,0 3
,C 0,-
3 ,0 3
. ������������1 = 0,
3 3 ,3 3
, ������1 ������1 = ������������ = 1,0,-
������1 · ������2 |������1 ||������2 | 6 , 3
∴
∴n2=(1,-1,0),
由题知|cos<n1,n2>|= =
∴
������ ������2 +2
=
6 , 3
则 a=2,即 PC=2, 又∵点 E 是 PB 的中点,∴点 E 到平面 ABCD 的距离为 1.
π
= , < ������������, ������������ >∈ [0, π], 所以 <
1 2
2.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1D1,CD1 的中点,则直线 MN 与平面 ABCD 所成的角 的余弦值为 ( ) A.
6 3
B.
3 3
C.
1 3
D.
命题角度1:求二面角的大小
典例4 (2015· 北京高考)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,
平面AEF⊥平面EFCB, EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点. (1)求证:AO⊥BE; (2)求二面角F-AE-B的余弦值; (3)若BE⊥平面AOC,求a的值.
已知二面角,解决其他问题的策略 二面角已知时,解决步骤与求解二面角的步骤相同,也是求解平面角的法向量,利用夹角公式求解法向量的夹 角,再确定二面角与法向量夹角的关系建立方程.
考点 5 向量法在空间距离中的应用
取 x=a,则 y=-a,z=-2, ∴n1=(a,-a,-2), 又������������=(0,0,a),设 n2=(x,y,z)为面 PAC 的法向量, 则 ������2 · ������������ = 0, ������2 · ������������ = 0, ������ + ������ = 0, 令 x=1,则 y=-1,z=0, ������������ = 0,
3 3
, ������1 ������1 = ������������ = -1,-
.设 n=(x,y,z)是平面 AA1B1 的法向量, 即
3 3 ������ ������ = 3 3 3 ������- 3 ������ = 0,
则
������· ������������1 = 0, ������· ������1 ������1 = 0,
说明:向量法是证明空间线线、线面、面面垂直的重要方法,利用向量法证明,实质上是将几何问题代数化, 以算代证.
3.利用向量求空间角
空间角 利用向量法转化 设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 a,b,l1,l2 所成角为 θ,a,b 所成角为 φ, 异面直线所成的角 则 cos θ=|cos φ|=
2 3
3.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=1,CB= 2,侧棱 AA1=1, 侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D,则平面 B1BD 与平面 CBD 所成二面角的 余弦值等于 ( ) A.3 3
B.-
6 3
C.
3 3
D.
6 3
考点 1 利用空间向量证明平行与垂直关系
典例1 (1)(2015· 江西师大附中期中考试)如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA⊥底面
ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.求证:AM∥面SCD.
【解题思路】建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,证明直线的方向向量和平面的 法向量垂直.
(2)(2015· 银川一中四模)在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC, BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点. 求证:BD⊥EG.
0,
所以可取 n= 1, 3, 3 . 设 m 是平面 A1B1C1 的法向量,则 同理可取 m= 1,- 3, 3 . 则 cos<n,m>=|������||������| = 7, 所以二面角 A-A1B1-C1 的余弦值为 .
1 7 ������· ������ 1
������· ������1 ������1 = 0, ������· ������1 ������1 = 0,
第七节 空间角与距离的求解
考纲概述
考查热点
考查频次 ★★★
备考指导
(1)能用向量方法证明立体几何中有关线面位 直线与直线的 置关系的一些简单定理(包括三垂线定理). 夹角 (2)能用向量方法解决直线与直线、直线与平 直线与平面的 面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量 夹角 方法在研究立体几何问题中的应用. (3)理解直线的方向向量及平面的法向量. 行和垂直关系. 平面与平面的 (4)能用向量语言表述线线、线面、面面的平 夹角
【变式训练】
(2013· 上海高考)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1.证明直线BC'平行于平面D'AC,并求直线 BC'到平面D'AC的距离. 新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C. (1)证明:AC=AB1; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值. 【解题思路】连接A与菱形对角线的交点O,利用菱形的对角线互 相垂直以及AB⊥B1C证明B1C垂直于平面ABO,得到AO⊥CB1即可
|������ · ������ | |������ ||������ |
.
设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,直线 l 与平面 α 所成角 空间直线与平面所成的角 为 θ,a,n 所成角为 φ,则 sin θ=|cos φ|=
|������ · ������ | |������ ||������ |
证明线段相等;利用空间向量法求二面角的余弦值.
【参考答案】(1)连接BC1,交B1C于点O,连接AO. 因为侧面BB1C1C为菱形, 所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点. 又AB⊥B1C, 所以B1C⊥平面ABO. 由于AO⊂平面ABO,故B1C⊥AO. 又B1O=CO,故AC=AB1.
.
二面角
设 n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的面 α,β 的法向量,则<n1,n2>就是所求二面 角的平面角或其补角的大小.
1.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量������������与������������ 的夹角为 A.
π 6
(
)
B.
π 3
C.
【参考答案】(1)交线围成的正方形EHGF如图:
向量法求直线和平面所成角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量 e 和平面的法向量 n; (3)求 e 和 n 的夹角 θ 的余弦值 cos θ; (4)得到直线与平面的夹角 α 的正弦值 sin α=|cos θ|.
考点 4 向量法在二面角中的应用
直线垂直即可证明;(2)根据(1),利用向量法求解即可.
向量法求异面直线所成角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)求两方向向量的夹角 θ 的余弦值; (4)得到两异面直线的夹角 α 的余弦值 cos α=|cos θ|.