二次根式取值范围
二次根式取值范围
二次根式的取值范围10=，则m a 为23a =-，则a 与3的大小关系是3x 的取值范围是4x 可以取的最小整数为5=x 的取值范围是6n 的最小值为A ．1B ．0C ．x≥0D ．x≤07a -，则a 的取值范围是8、已知a ＜b 的正确结果是A ．-B ．-C ．D ．9、把2a -(根号外的因式移入根号内化简，得到的结果是A B C 、 D 、10a=，则a 的取值范围是 A.a≤0 B.a ＜0 C.0＜a≤1 D.a ＞011、把-中根号外面的因式移到根号内的结果是A B ． C ． D12、若a ＜22的结果是13、定义运算“@”的运算法则为：@x y =2@6= 。
A.1 B.-1 C.2 D.-214、函数y =x 的取值范围是 A ．x≥2 B ．x≤2 C ．x ＞2 D ．x ＜215、函数y 13x -中自变量x 的取值范围是16、已知1＜a ＜4，化简：5a--=17、如果x≤0，则化简1x -的结果为A 、1-2xB 、2x-1C 、-1D 、118（y+3）2=0，则x+y=19、若x ，y 为实数，且=0，则()2011xy 的值为20、已知x ．y 满足关系3y =，y x 的平方根是21、201320141)1)= ,20132014=22、已知2a b ==，则a 与b 的关系是 A.a=b B.a=-b C. 1a b= D.ab=-123、已知11a ==，b ，求（1）代数式a 2b ﹣ab 2的值（2）求a 2﹣b 2的值。
（3）求a 2﹣3ab + b 224. 有意义的条件是 。
25. 当__________有意义。
26. 若11m +有意义，则m 的取值范围是 。
27. 当__________x 是二次根式。
28. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。
29. 2x =，则x 的取值范围是 。
二次根式
二次根式基础知识1.二次根式的相关概念：一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根 式，“ ”称为二次根号。
二次根式a 的特点：（1）在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。
（2）被开方数 a ≥0，即必须是非负数。
（3）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。
2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。
(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。
3.二次根式的相关等式：a a =2(a ≥0) ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 4.二次根式的乘法 )0,0(≥≥=⋅b a ab b a),0(o b a b a ab ≥≥⋅=5.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：)0,0(>≥=b a ba b a )0,0(>≥=b a ba b a （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
6.最简二次根式（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不能含有开的进方的因式或因数（指数都为1）7.化简二次根式的步骤：（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。
（2）应用b a ab ⋅= 和 )0,0(>≥=b a ba b a （3）将平方式（或平方数）应用 )0(2≥=a a a 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。
8.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二次根式。
9.二次根式加减运算的步骤： (一化，二找，三合并 )（1）将每个二次根式化为最简二次根式。
（2）找出其中的同类二次根式。
（3）合并同类二次根式。
10.二次根式的运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用。
例题解析1.二次根式的概念例题一： 下列各式中144,20,,1,3,152222-++-m b a b a ， 二次根式的 个数是（ ）变式一:下列各式中①，a ②，z y +③，6a ④，32+a ⑤，962++x x ⑥，12-x 一定是二次根式的有( )个。
二次根式的求有关字母的取值范围问题
二次根式的求相关字母的取值范围问题学习目标：①研究用解不等式（组）的方法求相关字母的取值范围的方法②研究怎样利用二次根式的意义、平方数的算术根、根式的性质等知识列不等式的方法③会求与二次根式相关的题目中字母的取值范围学习方法：自主学习加合作研究学习指导：特别注意各题目中需要列几个不等及依据学习过程：一、知识回首1、学习二次根式时，要注意：被开方数是数（或许不可以开平方）2、若a2 a 则a 0，若 a 2 a 则a 03、若ab a ? b 则a a ，若则b b二、联合相关知识点，达成以下各题目的解答，并试着总结求取值范围的方法。
1、式子x 1存心义，求 x 的取值范围2 xx 1 0 1解：由题意得：x 0 22解得：∴ x 的取值范围是。
想想：①此题中列出了两个不等式，是由于题目中存在几个被开方数？它们都是谁？②第二个不等式改为 2 x 0 能够吗？由此，我们应该注意的是分母不可以为。
2、二次根式a3 3a 2 的化简过程以下：a3 3a2 ＝ a2 (a 3) ＝ a 2 ? a 3 ＝ a a 3求 a 的取值范围解：由题意知： a 2 ＝， a 3 存心义a 0∴3 0a解得：∴ a 的取值范围是。
想想：解答这个题目用到了二次根式的哪些性质？它们在列等到式组时各自起到了什么作用？3、若：x x，试求 x 的取值范围3 x 3 x第三题请同学们自行达成解答总结：①若含“”式子存心义时，求相关取值范围，要抓好着为非负数。
需要列几个不等式，要看式子中有几个。
还要特别注意，式子中有分母时，。
②利用化简过程来确立相关字母的取值范围时，要注意根式的以下性质及条件：（ 1）a2＝，（）； a 2＝，（）（ 2）ab ，（）；a，（）b三、应用练习：1、化简x 3 2x 2＝x x 2 ，则 x 不行能等于（）A、－ 2B、－ 1C、 0D、 12、若：(m 1)(m 1) m 1 ? m 1 ，则的取值范围是。
21.1二次根式定义,取值范围,性质
检测：指出下列哪些是二次根式？
1 5 2 3 4 b b 0 5 a 2a 2
3
3
21
6 7
3
a b ab 2 2 8 x 1 5m
检测：2 要使下列式子有意义，x需要满 足什么条件？
(1) 3 x
1 (3) 2x 5
0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
创设情境
50米
?米
20米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边 长为______________米。 2900
2 2
2 2
10 (3) ( 3 ) 10 27 17
探究
2 2
2
0.1 0.1
2
2 2 3 3
2
0 0
2
一般地，根据算术平方根的意义，
a a
2
a (a≥0)
-a (a≤0)
例题讲解
化简：
(1) 8
解： (1)
( 2 ) ( 5)
1 p (2 p) p 1 2 p 1
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
( x 4) 2 ( x 1) 2 的结果是＿＿＿＿＿ 3
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c) (b a c) (c b a) 2a+2b+2c
2
a≥0
a2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
二次根式经典总结
1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如)0a(,a≥的式子，叫做二次根式（1）二次根式a中，被开方数必须是非负数。
2.5二次根式定义_取值范围_性质
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
1:从运算顺序来看,
a 先开方,后平方
2
2
a 先平方,后开方
a取任何实数
2
2.从取值范围来看,
a
2
a≥0
a2
3.从运算结果来看:
a =a
a
2
a (a≥ 0)
=∣ a ∣ = -a (a≤0)
化简下列各式:
(1)(3 2 ) (2 3 )
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
50米
?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
2 斜边长为______________ a 2500 米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S， 则半径为____________.
2
探究
2 2 4 4 17 17
2
2
2
1 1 3 3
2
0 0
2
2是 2的 算 术 平 方 根 ， 根 据 术 算平方根的意义，
2 2是 一 个 平 方 等 于 2的 非 负 数 ， 因 此 有 （ 2 ） 2
例题讲解
计算：
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
( x 4) 2 ( x 1) 2 的结果是＿＿＿＿＿ 3
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c) (b a c) (c b a) 2a+2b+2c
2 2 2
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a 叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是:a m a m ⋅=（a ≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性:()a a =2（a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A ,A ≥0,2B ≥0,C ≥0∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2）()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简.（3）()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）()B A BA ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子11-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2111+-+-=x x y ,化简:11--y y .分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴1212100<=++=y ∴11111-=--=--y yy y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数xxy 21-=,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:∵04412=+-+-b b a ∴()0212=-+-b a∵1-a ≥0,()22-b ≥0∴02,01=-=-b a ∴2,1==b a∴221=⨯=ab .选择【 D 】.例4. 无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是__________. 分析:无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义,即被开方数m x x +-62≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:m x x +-62≥0 ∵()93622-+-=+-m x m x x ≥0∴()23-x ≥m -9∵()23-x ≥0∴m -9≤0,∴m ≥9. 解法二:设m x x y +-=62∵无论x 取任何实数,代数式m x x +-62都有意义 ∴m x x y +-=62≥0恒成立即抛物线m x x y +-=62与x 轴最多有一个交点 ∴()m m 436462-=--=∆≤0解之得:m ≥9.例 5. 已知c b a ,,是△ABC 的三边长,并且满足c c b a 20100862=++-+-,试判断△ABC 的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:∵c c b a 20100862=++-+- ∴010020862=+-+-+-c c b a ∴()010862=-+-+-c b a∵6-a ≥0,8-b ≥0,()210-c ≥0∴010,08,06=-=-=-c b a ∴10,8,6===c b a∵10010,10086222222===+=+c b a ∴222c b a =+ ∴△ABC 为直角三角形.习题 6. 已知实数y x ,满足084=-+-y x ,则以y x ,的值为两边长的等腰三角形的周长为 【 】 （A ）20或16 （B ）20（C ）16 （D ）以上答案均不对习题7. 当=x _________时,119++x 取得最小值,这个最小值为_________.习题8. 已知24422--+-=x x x y ,则y x 的值为_________.习题9. 已知非零实数b a ,满足()()a b a b a a =++-+-++-415316822,求1-b a 的值.提示:由()()152+-b a ≥0,且012>+b 可得:5-a ≥0,∴a ≥5.例6. 计算:（1）()26; （2）()232+x ; （3）2323⎪⎪⎭⎫⎝⎛-. 分析:本题考查二次根式的性质: ()a a =2（a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）()662=;（2）()32322+=+x x ;（3）()6329323323222=⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 注意:()B A B A ⋅=22,其中B ≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7. 化简:（1）225; （2）2710⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）962+-x x ()3<x .分析:本题考查二次根式的性质:⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a .该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252==;（2）7107107102=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-; （3）()339622-=-=+-x x x x∵3<x ∴原式x -=3.注意: 结论:()()()⎩⎨⎧≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8. 当3-x 有意义时,化简:()()22125x x x -+-++.解:∵二次根式3-x 有意义 ∴3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()22125x x x -+-++图（1）23125125+=-+-++=-+-++=x x x x x x x例9. 化简:()()2223-+-x x .分析:()222-=-x x ,继续化简需要x 的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:3-x 的被开方数3-x 为非负数. 解:由二次根式有意义的条件可知:3-x ≥0 ∴x ≥3 ∴()()2223-+-x x522323-=-+-=-+-=x x x x x 例10. 已知10<<a ,化简=-+-++2121aa a a __________. 解:∵10<<a ∴aa 1<∴2121-+-++aa a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 21111111122=+-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 例11. 已知直线()23-+-=n x m y （n m ,是常数）, 如图（1）,化简1442--+---m n n n m . 解:由函数()23-+-=n x m y 的图象可知:02,03<->-n m∴2,3<>n m∴1442--+---m n n n m()()()1121212122-=+-+--=-----=-----=-----=m n n m m n n m m n n m m n n m例12. 已知c b a ,,在数轴上的位置如图（2）所示,化简:()()222b a c c a a --++-.解:由数轴可知:b a c <<<0 ∴0<+c a ∴()()222b a c c a a --++-ba b c a c a a b a c c a a -=--+++-=--++--=习题10. 要使()()2222-=-x x ,x 的取值范围是__________.习题11. 若02=+a a ,则a 的取值范围是__________.习题12. 计算:=⎪⎪⎭⎫⎝⎛243_________. 习题13. 计算:=⎪⎭⎫⎝⎛-2221_________. 习题14. 若()332-=-x x 成立,则x 的取值范围是__________.习题15. 下列等式正确的是 【 】 （A ）()332= （B ）()332-=-（C ）333= （D ）()332-=-习题16. 下列各式成立的是 【 】图（2）（A ）21212-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- （B ）()ππ-=-332（C ）21212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （D ）74322=+ 习题17. 计算:()=-272_________.习题18. 化简:()=+-22x x_________.习题19. 若=-+=++++-b a a b b a a 22221,01213则________. 习题20. 已知01<<-a ,化简414122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a 得__________. 习题21. 实数c b a ,,在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:222212b ab a c b a a +---++-的结果为 【 】 （A ）12--c b （B ）1- （C ）12--c a （D ）1+-c b习题22. 化简:()2232144--+-x x x .例13. 把aa 1-中根号外的因式移到根号内,结果是 【 】 （A ）a - （B ）a - （C ）a （D ）a --分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:()()⎪⎩⎪⎨⎧<⋅->⋅=0022A B A A B A B A ,其中B ≥0. 图（3）解:由二次根式有意义的条件可知:01>-a∴0<a ∴a a a a a --=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=-112.选择【 D 】. 习题23. 化简()212--a a 得__________. 三、二次根式的乘法 一般地,有:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:a ≥0,b ≥0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:ab mn b n a m =⋅（a ≥0,b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例14. 若()66-=-⋅x x x x 成立,则 【 】 （A ）x ≥6 （B ）0≤x ≤6 （C ）x ≥0 （D ）x 为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:ab b a =⋅（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥060x x解之得:x ≥6. 选择【 A 】.例15. 若1112-⋅+=-x x x 成立,则x 的取值范围是__________.分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:b a ab ⋅=（a ≥0,b ≥0）解:由题意可得:⎩⎨⎧≥-≥+0101x x解之得:x ≥1. 例16. 计算:a a 812⋅（a ≥0）. 解:a a a a a a a 21214181281222=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅=⋅（a ≥0）. 习题24. 计算:=⨯2731_________. 习题25. 已知()21233-⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m ,则有 【 】 （A ）65<<m （B ）54<<m （C ）45-<<-m （D ）56-<<-m 习题26. 化简12的结果是_________. 四、二次根式的除法 一般地,有:baba =（a ≥0,0>b ） （1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件; （2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为:b a b a ÷=÷ （a ≥0,0>b ）; （4）二次根式的除法公式可逆用,即有:ba b a =（a ≥0,0>b ） 公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式: （1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式; （2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化. 如对21进行分母有理化,过程为:2222221=⨯=;对321+进行分母有理化,过程为:()()723232323321-=-+-=+. 由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17. 计算:（1）654; （2）3223238÷; （3）()22728y xy -÷. 解:（1）39654654===; （2）24338169388323383823383832383223238=⨯==⨯⨯=÷⨯=÷=÷; （3）()x x y xy y xy 247287282222-=-=÷-=-÷.例18. 化简: （1）65; （2）4.0; （3）a a a 9623+-（3>a ）. 解:（1）63066656565=⨯⨯==; （2）51052524.0===; （3）∵3>a ∴()()()a a a a a a a a a a 3396962223-=-=+-=+- 注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算. 例19. 式子2121-+=-+x x x x 成立的条件是__________.分析:本题求解的是x 的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:ba b a = （a ≥0,0>b ）. 解:由题意可得:⎩⎨⎧>-≥+0201x x 解之得:2>x .例20. 计算:（1）7523⨯; （2）5120-; （3）2832-. 解:（1）5225275237523==⨯=⨯; （2）552515205120-=-=-; （3）解法1:224416282322832=-=-=-=-. 解法2:()2248216642228322832=-=-=⨯⨯-=-. 二次根式的乘除混合运算例21. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯21223222330; （2）182712⨯÷. 解:（1）原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⨯=252382330 232443216435238302123-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=（2）原式228324182712===⨯=.习题27. 下列计算正确的是 【 】（A ）3212= （B ） （C ） （D ）x x =2习题28. 计算:=÷⨯213827_________. 习题29. 计算:=÷32643x x _________. 习题30. 直线13-=x y 与x 轴的交点坐标是_________.习题31. 如果0,0<+>b a ab ,那么下面各式:①ba b a =; ②1=⋅a b b a ; ③b b a ab -=÷. 其中正确的是_________（填序号）.习题32. 若0<ab ,则化简2ab 的结果是_________.习题33. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212; （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯2143236181841.例22. 先化简,再求值:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ,其中22-=x . 解:1441132+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ()()()()()()2221122211111322+--=++⋅+-+-=++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=x x x x x x x x x x x x x 2323=x x x -=-3当22-=x 时 原式122242222222-=--=+----=.习题34. 先化简,再求值:11121122-+÷+-+--a a a a a a ,其中12+=a .习题35. 先化简,再求值:2222221y xy x y x x x yx +--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---,其中6,2==y x .习题36. 下列根式中是最简二次根式的是【】 （A ）32（B ）3 （C ）9 （D ）12例23. 观察下列各式: ()()()()()().;34434343431;23323232321;12212121211 -=-+-=+-=-+-=+-=-+-=+ （1）请利用上面的规律直接写出100991+的结果;（2）请用含n （n 为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）计算:()20171201720161431321211+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++ . 分析:本题考查分母有理化.解:（1）1131099100100991-=-=+; （2）n n n n -+=++111; （3）原式()()2017120162017342312+⨯-++-+-+-= ()()2016120171201712017=-=+-= 习题37. 化简:891231121++++++ .七、同类二次根式 如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式. 同类二次根式的判断方法:（1）先化简二次根式;（2）看被开方数是否相同;（3）定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是.同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变.八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根式.二次根式加减运算的步骤:（1）化简参与运算的二次根式;（2）合并同类二次根式;（3）检查结果.例24. 计算:（1）12188++; （2）451227+-. 解:（1）原式3225322322+=++=;（2）原式533533233+=+-=.注意:不是同类二次根式不能合并.例25. 计算:1832225-+.解:原式232425-+=2272225=+=例26. 计算:（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+32233223;（2）()()()23225775-++-.解:（1）原式223223⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=36199243=-=（2）原式364875+-+-=649-=.。
二次根式经典总结
1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 不是二次根式；(2）是一个重要的非负数,即；≥0.2．重要公式：(1))0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=。
3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。
4．二次根式的乘法法则：)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：(1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。
8．常用分母有理化因式:a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式。
9．最简二次根式:（1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2，且不含分母；(3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
10．二次根式化简题的几种类型：(1)明显条件题；（2）隐含条件题；（3)讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算:（1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如:化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如)0a (,a ≥的式子,叫做二次根式（1)二次根式中，被开方数必须是非负数。
21.1二次根式定义,取值范围,性质[1]
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二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a＜0)
∴
x≥-3 x＜0
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
∴x=2, y=5
?
12 n为一个整数, 求自然数n的值.
实数p在数轴上的位置如图所示，化
简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1
化简下列各式:
练习4：在实数范围内因式分解 （1）a2-5 （2）16b2 –17
例5：化简 a 4b
a 2 b
解:
a 4b ( a )2 (2 b )2
a 2 b
a 2 b
( a 2 b)( a 2 b) a2 b
a2 b
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
试一试
下列式子中，哪些一定是二次根式？
x0
1.若 a 2 2b 7 =0，则 a 2b =__3___。
2.已知a.b为实数，且满足
二次根式——教师版(带完整答案)
1 根号外的因式移到根号内，得（ c ） m B． m C． m
D． m
3 6. 如果 a 1 ，那么化简 (1 a ) （ d ）
A. (a 1) 1 a
B. (1 a) a 1
C. (a 1) a 1
D. (1 a) 1 a ）
7. （上海市）在下列二次根式中，与 a 是同类二次根式的是（ c A． 2a B． 3a2 C． a 3 D． a4 b ）
x
1 1 x 8, 求代数式 x y的值。 2 2
解 X=1/2 y=8 原式等于2 2
17. 当 x__≥-5/2 且≠0_____时，式子 2 x 5 +
1 有意义 x
1
18． 二次根式
x 3 有意义的条件是 x ≥0 且≠9
2 2
19. 若 x 1 2x y 0 ，则 x y __5_____ 20．当 x= -1 时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值为 0
2 22. 当 x 1 时， x 2x 1
1-x
2
，当 1 x 5 时， ( x 1) 2 x 5
2
4
23.若 2 a 2 ，化简 原式等于 3-3a
5 2a
－
a 2
5 / 10
24. 已知 a 10 且 a 是自然数 （1）若 x 2 + 2ax + a2 + x − a ≤0，试求 a 的值 （2）是否存在满足条件的自然数 a ，使得
2.（山东济宁）9 的平方根是（ c ） A、3 B、－3 C、±3 D、81 3.（湖南怀化）下列计算正确的是（ c ） A． (2)0 0 B． 3
21.1二次根式定义,取值范围,性质(精品)
化简下列各式:
(1)(3 2 ) (2 3 )
2
2
(2) (5) ( 5 )
2 2
2
(3) m 16m 64(m 8) (4) a b (a 0, b 0)
2 2
(河南省)实数p在数轴上的位置如图
所示，化简
(1 p)
2
2 p
2
1 p (2
a 2 2b 7
3 =_____。 =0，则 a 2b
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1
你能求出a+b 的值吗？
3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 第二 象限. a 2 3 4、2+√3-x的最小值为＿＿，此时x的值为＿＿。
0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
50米
?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
2 斜边长为______________米。 a 2500
x 1
2
2
3
x 2 xy y x y (x﹤y) yx
2
x＜0，化简： 16x2 已知：
解： 16x2 = （4x）2 =|4x|
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = - 4x
( a ) 与 a 有区别吗?
2 2
1:从运算顺序来看,
a 先开方,后平方
2
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S， 则半径为____________.
二次根式七个注意点
二次根式七个注意点一 .注意二次根式的运算(1)进行二次根式的乘法运算时，应尽量把被开方数进行因数分解或因式分解，不可机械地=(a ≥0，b ≥0)，盲目地把被开方数相乘．×3×3=．(2)进行二次根式的乘法运算时，不一定非得把二次根式先化成最简二次根式，然后再相乘，但最后结果必须是最简二次根式．例如，最好先把二次根式化成最简二次根式，再进行乘法计算，=153⨯=用乘法法则运算来得简便．23=12 (3)如果被开方数中含有小数，应把小数化成分数，然后再进行乘法运算，切不可直接就进行小数的乘法运算．(4)进行二次根式的乘法运算时，对于类似于多项式与多项式相乘的题型，要认真观察题目的结构特点，充分利用乘法公式简化计算过程．二 注意二次根式隐含条件一、应用隐含条件确定字母的取值范围：1．=，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤B ．0a <C ．01a <≤D ．0a >二0)a ≥非负性的应用2．若20x y -=，则2()xy -的值为（ ） A ．64 B ．64- C ．16 D ．16-3．已知x 、y 为实数，且满足12y =求521x y +-4．已知a三．移进（出）根式时，注意正负1. 已知a ＜0的值为（ ）A. 1B. -1C. 1±D. 以上答案都不对2 .把(2x -根号外的因式移到根号内，得（ ）A. B.C. D. 3．若a>0，则－4a b可化简为（ ） A ．2b －2b B ．2b －ab C ．－2b ab D ．－2b－ab4 . 若1a ≤ ）A. (1a -B. (1a -C. (1a -D. (1a -四 注意确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围1已知3y =，则___________y x =2的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a -2x =，则x 的取值范围是 。
解答二次根式问题的几点注意
学习二次根式概念“四注意”一、注意：二次根式的定义（a≥0）叫做二次根式，理解这个概念时，要抓住三个要点：（1）从形式上看而次根式必须有二次根号3=，3显然就不是二次根式，因此，二次根式是指某种式子的“外在形态”．（2）被开方数a可以是数，也可以是但是，若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代没有意义，故a≥0要抓住两个非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；≥0．（3）二次根式是一种代数式，二次根式是由于开平方运算得到的，当被开方数为常数时，它是一个实数，能开得尽方的为有理数，不能开得尽方的为无理数。
当被开方数中含有字母时，它就是我们以后将要接触到的无理式，因此，虽说二次根式为代数式，但其可能为有理式，也可能为无理式，它是代数式中的一部分．二、注意：定义是判断一个式子是否为二次根式的依据，判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号；（2）被开方数大于等于0，只要同时民主这两个7，它就是二次根x≥1）（x＜0＝就不是二次根式．三、注意：怎么确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围由二次根式的定义可知，当a≥0a＜0方数中字母的取值范围问题，的式子有意义，或无意义的条件，列出不等式，在实数范围内有意义，必须使3x-1≥0，即x≥13．确定自变量的取值范围是本节的重点也是难点，所以一定要高度重视，我们学过的内容不外乎以下几种类型：根据函数解析式确定自变量取值范围应从以下几个方面考虑：① 整式型：若函数解析式是整式时，则自变量取值范围为一切实数；② 分式型：若函数解析式是分式时，则分母不为零；③ 二次根式型：若函数解析式是二次根式时，则被开方数为非负数；④ 指数型：若函数解析式用零次幂表示时，则应考虑底数不为零；⑤ 综合型：若函数解析式是整式型、分式型、二次根式型、指数型的综合，则自变量取值范围是它们各自取值范围的公共部分．四、注意：二次根式的简单性质a ≥0）是一个非负数，又因为开平方运算与平方运算是互逆运算，因而有：2a =（a ≥0），由此可得二次根式的两个简单性质：（1a ≥0）是一个非负数；（2）2a =（a ≥0）．是3的算术平方根，3的平方根，而222,(3==．二次根式的乘法运算应注意的问题(1)进行二次根式的乘法运算时，应尽量把被开方数进行因数分解或因式分解，不可机=a ≥0，b ≥0)，盲目地把被开方数相乘．×3×3=．(2)进行二次根式的乘法运算时，不一定非得把二次根式先化成最简二次根式，然后再相乘，但最后结果必须是最简二次根式．例如，最好先把二次根式化成最简二次根式，再进行乘法计算，=153⨯=用乘法法则运算来得简便．2312(3)如果被开方数中含有小数，应把小数化成分数，然后再进行乘法运算，切不可直接就进行小数的乘法运算．(4)进行二次根式的乘法运算时，对于类似于多项式与多项式相乘的题型，要认真观察题目的结构特点，充分利用乘法公式简化计算过程．学习二次根式注意挖掘隐含条件0)a≥的式子叫二次根式，这里a≥0是二次根式的隐含条件，不可忽视．一、应用隐含条件确定字母的取值范围：例1．=，则a的取值范围是（）A．0a≤B．0a<C．01a<≤D．0a>解析：，成立的条件是：0,0a b>≥，而且当0a≥a=；所以==10aa-⎧⎨⎩≥＞，即01a<≤，故此应选C．温馨提示：在二次根式化简时一定要注意法则成立的条件，再有要注意分母不为0的条件制约．二0)a ≥非负性的应用例2．若20x y -=，则2()xy -的值为（ ） A ．64 B ．64- C ．16 D ．16-解析：0)a ≥可以认为表示的是a2x y -表示绝对值，也是非负数，那么两个非负数的和为0，则么每个数应都是0，即2x y -＝00=，所以2y =，24x y ==，因此2()xy -＝2(42)-⨯＝64，故选A ．温馨提示0≥、a 0≥、2a 0≥，当这三者中两个或三个相加和为0时，应每个都等于0．0)a ≥，隐含条件a ≥0的应用．例3．已知x 、y为实数，且满足12y =求521x y +-解析：因为x 为实数，所以隐含着两个算术根都有意义，即被开方数均为非负数． 依题意得10210.2x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥，≥解得：12x =，所以110022y =++=，又因为22211y y y -+-＝（）所以521x y +-＝1152122⨯+⨯- 2 温馨提示a ＝0．例4．已知a解析： 由于a 为实数，被开方数均为非负数，所以2208400a a a ⎧+⎪-⎨⎪-⎩≥≥≥，由20a -≥可得a ＝0，．温馨提示：因为20a ≥，若要20a -≥，则a ＝0．在解这类问题时一定要深入的挖掘题目中字母的内在含义．二次根式的运算“四注意”二次根式的运算可以说是前面学过的二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用，也是本章内容的落脚点，是前面几节内容的总结，在进行二次根式的运算时，请同学们还要注意以下几点：一、注意运算顺序问题二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．例1(2+．解：原式==33=．说明：计算时注意运算顺序，另外，除法没有分配律，(21+=就错了．二、注意运算法则问题在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式可以看作“多项式”，因此实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式等）在二次根式的运算中仍然适用．例2． 计算：（2+3―6）（2―3―6）．解：原式=〔（2―6）＋3〕〔（2―6）―3〕=（2―6）2―（3）2=8―23―3=5―23．三、注意熟练进行二次根式计算和化简在理解二次根式基本概念基础上，掌握好二次根式的重要性质多做一些练习，就能达到熟练计算和化简二次根式的目的，除此之外还要掌握一些方法技巧．１．因式分解法例４．化简：y y++χχ+χχχy y y+2解：原式=y y ++χχ+()y y y +χχχ2=y y y +++χχχ2=y y ++χχ2)(=χ+y２．观察法 例５． 设等式y a a x a y a a x a -+-=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ,x ,y 实数，则22223y xy x y xy x +--+的值为（ ）． 解：由二次根式定义知：a －y ≥0,x －a ≥0,a (x －a )≥0,a (y －a )≥0, ∴a ≥0且a ≤0∴a =0∴已知等式可化为o y x =-，∴x = -y . ∴222222)()(3y y y y y y ++----=223y y =31． ３．凑零法例６． 已知χ=132- 求2χ+1+χ的值． 解：由χ=132-=13+，得31=-χ，两边平方后整理得0222=--χχ,∴原式=34313003)22(2=+++==-+--χχχ．４．倒数法例７． 当32-=χ时，求代数式3)32()347(2++++χχ的值． 解：由32-=χ，得321+=χ，∴原式=323113113)32()32(2222+=++=+⋅+⋅=+++⋅+χχχχχχ．５．整体代入法例８． 已知2323-+=χ，2323+-=y ，求代数式22)()(y y y y +-++χχχχ的值． 解：由已知得625+=χ，625-=y ，∴10=+y χ，1=y χ， ∴原式=9910110110122-=-+． ６．换元法 例９．已知11122=-+-a b b a ，求22b a +的值． 解：设=-21a χ＞0，则122χ=-a ，由已知得χb b a -=-112两边平方得222221χχb b b a a +-=-，)(212222χχ++--a b b a =0，0222=+-∴b b χχ，0)(2=-χb ，b =χ,b a =-∴21,122=+∴b a ．四、探索与思考：１．（1）判断下列各式是否正确．你认为成立的，请在括号内打“∨”，不成立的打“×”． ①322322=+（ ） ②833833=+（ ） ③15441544=+（ ） ④24552455=+（ ） （2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n 的式子将其规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．２．如图１，所示的集合中有5个实数，请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．３．细心观察如图２，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2=+ S 1=21； A 2 A 4 A 3 A 51 S 3 1 图１31)2(2=+ S 2=22； 41)3(2=+ S 3=23…… （1）请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长．（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．４．先将23222xx x x x -÷--化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值． 答案与提示：１．答案为①∨②∨③∨④×．（2）、（3）略。
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如$a\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。
其中$\sqrt{a}$叫做二次根号，$a$叫做被开方数。
1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
据此可以确定字母的取值范围。
2) 判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：①是否含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数是否为非负数。
若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。
3) 形如$m\sqrt{a}$的式子也是二次根式，其中$m$叫做二次根式的系数，它表示的是：$m\sqrt{a}=m\cdot\sqrt{a}$。
4) 根据二次根式有意义的条件，若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。
二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：1) 双重非负性：$a\geq0$，$\sqrt{a}\geq0$。
（主要用于字母的求值）2) 回归性：$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。
（主要用于二次根式的计算）begin{cases}sqrt{a}(a\geq0)\\sqrt{a}(a\leq0)end{cases}$（主要用于二次根式的化简）重要结论：1) 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0.若$A+B^2+C=0$，则$A=0$，$B=0$，$C=0$。
应用与书写规范：$\because A+B^2+C=0$，$A\geq0$，$B^2\geq0$，$C\geq0$，$\therefore A=0$，$B=0$，$C=0$。
该性质常与配方法结合求字母的值。
2) $\begin{cases}A-B(A\geq B)\\frac{(A-B)^2}{A+B}\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）3) $AB=\begin{cases}A\cdot B(A>0)\\A\cdot B(A<0)\end{cases}$，其中$B\geq0$。
二次根式有意义的取值范围
二次根式有意义的取值范围
二次根式是指形如 $\sqrt{x}$ 的算式，其中 $x$ 是非负实数。
在数学中，二次根式代表的是一个正实数。
因为二次根式是非负实数，所以必然存在一个有意义的取值范围。
以下是二次根式有意义的取值范围的详细解析：
1. 当 $x$ 等于 0 时，$\sqrt{x}$ 的值为 0。
所以当 $x$ 为 0 时，二次根式的值为 0。
2. 当 $x$ 大于 0 时，$\sqrt{x}$ 的值为正实数。
也就是说，当 $x$ 大于0 时，二次根式的值为一个大于 0 的正实数。
3. 当 $x$ 小于等于 0 时，$\sqrt{x}$ 没有实数解。
因此，当 $x$ 小于等于 0 时，二次根式没有实数解，也就说没有意义。
综上所述，二次根式的有意义取值范围为 $x > 0$，即：当 $x$ 大于 0 时，二次根式的取值有意义，为一个大于 0 的正实数。
当 $x$ 小于等于 0 时，二次根式没有实数解，所以没有意义。
总结：
有意义取值范围：$x > 0$。
无意义取值范围：$x \le 0$。
21.1二次根式定义,取值范围,性质
归纳
一般地， （a≥0） ( a) = a
2
例题讲解
计算：
(1)( 1.5 )
解：(1)(
2
2
(2)(2 5 )
2 2 2
2
1.5 ) = 1.5
( 2)(2 5 ) = 2 ( 5 )
5 = 20 =4
练习
计算：(- 10) + (-3 3) 2
2
解：- (-
10) + (-3 3 )
已知
：a - b + 6与 a + b - 8
互为相反数， 求： a, b的值。
第二课时
（
3）二次根式的性质
2
探究一
2
1 3
=2
2
4
2
=4
2
17
2
=
17
1 = 3
0
=0
2是 2的 算 术 平 方 根 ， 根 据 术 平 方 根 的 意 义 ， 算 2是 一 个 平 方 等 于 非 负 数 ， 因 此 有 （） = 2 2的 2 2
（3）二次根式的性质
2 2
2 2
= -10 + (-3) ( 3 ) = -10 + 27 = 17
探究二
2 =2
2
0.1 = 0.1
2
2 2 = 3 3
2
0 =0
2
一般地，根据算术平方根的意义，
a =a=
2
a (a≥0)
-a (a≤0)
所以有 （a≥0） ( a) = a
2
a =a=
2
a (a≥0)
二次根式定义_取值范围_性质
练习2
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
探究
22 2
02 0
0.12 0.1
2 2
2
3 3
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
例题讲解
化简：
（1）16
你能求出a、b的值吗？ 解：由题意得 b-1≥0 ，
1-b≥0 ∴ b≥1 ，
b≤1
∴b=1， ∴a=1.
已知 2 a | 3b 1| 0,求a 、b 的值.
解：Q 2 a 0，| 3b 1| 0,
且 2 a | 3b 1| 0, ∴ 2-a=0 3b-1=0
a 2, b 1 . 3
解：由题意得
2x 3 ∴x 1
x
0
0， ∴
3 ，且x
XX≥≠-123
1.
2
方法构想
一个式子中： 若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
面积为3的正方形的边长是
3，面积为b-3的正方形的边长
是 b3 你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
s
3
b3
表示一些正数的算术平方根．
二次根式
一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二
次根号。
二次根式
被开方数a≥0；
a ≥0
( 双重非负性)
根指数为2.
二次根式经典总结
1．二次根式:一般地，式子叫做二次根式.注意：（1）若这个条件不成立,则不是二次根式；（2）是一个重要的非负数，即；≥0.2．重要公式:（1）,(2）；注意使用。
3．积的算术平方根:，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。
4．二次根式的乘法法则:。
5．二次根式比较大小的方法：（1)利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根:，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则：（1）；（2）;（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：,，，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式:(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式,①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式;（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母; （3）化简二次根式时,往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
12．二次根式的混合运算：（1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算,以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;使用乘法公式等.形如的式子，叫做二次根式（1）二次根式中，被开方数必须是非负数.即（2）二次根式是一个非负数，即；≥0。
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二次根式取值范围
1. x 的取值范围是（ ）
A ．1x ≥
B ．1x >
C ．1x ≤
D ．1x ≠ 2. 函数2-=x y 中，自变量x 的取值范围是 （ ）
A ．x < 2
B ．x ≤2
C ．x > 2
D ．x ≥2
3.函数y =x 的取值范围是（ ）
A ．1x ≥-
B ．1x ≤-
C ．1x >-
D ．1x <- 4. 使函数2+=x y 有意义的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－2
B ．x ＞－2
C ．x ≥2
D ．x ＞2 5. 函数x y -=1中自变量的取值范围是（ ）
A.1≥x
B. 1≤x
C.1<x
D. 1>x
6. 函数21
-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2>x B ．2≥x C ．2≠x D ．2≤x
7. (2009 青海省) 在函数y =中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x -≥且0x ≠ B ．3x ≤且0x ≠ C ．0x ≠ D ．3x -≥
8. 函数y x
=中，自变量x 的取值范围是（ ） A.1x -≥ B. 1x >- C. 1x -≥且0x ≠ D. 1x >-且0x ≠
9. 在函数1
21-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A.1-≥x B.211≠->x x 且 C.211≠-≥x x 且 D.1->x
10. 函数y =13
x -中自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤ B ．3x = C ．2x <且3x ≠ D ．2x ≤且3x ≠
11. 下列函数中，自变量x 的取值范围是3x ≥的是（ ）
A ．1
3y x =- B ．y = C ．3y x =- D ．y =12. 下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（ ）
A ．2y x =-
B ．2y x =-
C ．21y x =-
D ．21y x =- 2、要使
有意义，则x 应该满足（ ） A 、0≤x≤3 B 、0＜x≤3且x≠1 C 、1＜x≤3 D 、0≤x≤3且x≠1
3、已知函数，则自变量x 的取值范围是（ ）
A 、x≠2
B 、x ＞2
C 、
D 、且x≠2 4、下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＜1的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
5、函数的自变量x 的取值范围在数轴上表示为（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
6、函数
的自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ＞1 B 、x≤﹣1 C 、x≥﹣1 D 、x ＞﹣1
7、函数y=的自变量x 的取值范围是（ ）
A 、x≥﹣2且x≠2
B 、x≥﹣2且x≠±
C 、x=±2
D 、全体实数
8、下列函数中，自变量x 的取值范围是x ＞2的函数是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、
15、函数y=
自变量的取值范围是（ ） A 、x ＞0 B 、x ＜0 C 、x≥0 D 、x≤0
15. 函数24y x =-x 的取值范围是 ．
16. 函数x y =x 的取值范围是___________． 17. 函数3y x =+自变量x 的取值范围是 ．。