二次根式知识点归纳总结

二次根式的知识点归纳总结

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是

二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意

义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即

0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0

的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若

，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则

等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即

；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的

平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，

而.

二次根式测试题（一）

1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）

A ．2--x

B ．x

C ．22+x

D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ）

A ．b>3

B ．b<3

C ．b ≥3

D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3

4．若x<0，则x

x x 2

-的结果是（ ）

A ．0

B ．—2

C ．0或—2

D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b

a

D ．44+a 6．如果)6(6-=

-⋅x x x x ，那么（ ）

A ．x ≥0

B ．x ≥6

C ．0≤x ≤6

D ．x 为一切实数

7．小明的作业本上有以下四题：①24416a a =；②a a a 25105=⨯； ③a a

a a a

=⋅=1

12；④a a a =-23。做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④

8．化简

6151+的结果为（ ）A ．3011 B ．33030 C ．30

330

D ．1130 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ）

A ．43-=a

B ．3

4

=a C ．a=1 D ．a= —1

10．化简)22(28+-得（ ）A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224-

11．①=-2

)3.0( ；②=-2

)52( 。 12．二次根式

3

1-x 有意义的条件是 。

13．若m<0，则332||m m m ++= 。

14．1112-=-⋅+x x x 成立的条件是 。

15．比较大小：

16．=⋅y xy 82 ，=⋅2712 。

17．计算3

393a

a a a

-

+= 。

18．

232

31+-与的关系是 。

19．若35-=

x ，则562++x x 的值为 。

20．化简⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+1083114515的结果是 。 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x

1

-

22．化简：

（1）)169()144(-⨯- （2）22531- （3）510242

1

⨯- （4）n m 218

23．计算：

（1）21437⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）2

25241⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-- （3）)459(43332-⨯

（4）⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-126312817 （5）2484554+-+ （6）2332326--

24．若x ，y 是实数，且2

1

11+

-+-<

x x y ，求1|1|--y y 的值。