第十六章二次根式知识点总结大全

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人教版八年级下册数学知识点汇总

八年级下册第十六章：二次根式（1）)0a ≥号，a 叫做被开方数.2，即：2可以省略 .（2）二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即：被开方数大于或等于0.在实数范围内有意义的条件为： . 由20x -≥，可以得出：2x ≥.20x ≥，x 属于任意实数.在实数范围内有意义的条件：30x ≥，0x ⇒≥.在实数范围内有意义的条件：10121202x x x x x -≥≤⎧⎧⇒⇒-<≤⎨⎨+>>-⎩⎩. (分析：分子、分母都要有意义，分式有意义：分母不为0)（3）负数没有平方根也没有算术平方根，0的平方根是0，0的算术平方根是0.（4）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.（5）一个正数有两个平方根，互为相反数. 一个正数有一个算术平方根方根，且为正根. （6）二次根式的双重非负性：0a ≥0≥.21a =-，则a 的取值范围是： .根据二次根式的双重非负性，()2120a -≥，则210a -≥，所以：12a ≥. （7）()20a a=≥.例如：21.5=；(22224520=⨯=⨯=.提示：2=2倍根号5”.（8()()()0000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩.4==5== .11=-=；14==；π==-；110==. （9）代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.例如：3，x ，x y +)0x ≥，ab -，()0st t≠，3x 都是代数式.（10）二次根式的乘法法则：一般地，=()0,0a b ≥≥，=.=； 3=== ；2612==⨯=；33===；14===== ；⑥((32-=⨯-=-=-=-=-；====；（11=()0,0a b ≥>，=()0,0a b ≥>利用它可以进行二次根式的化简 .====；=====；==； 53=== ；⑤===；（12）最简二次根式：最简二次根式是指满足下列两个条件的二次根式①被开方数不含分母；②被开方数中不含开的尽方的因数或因式..（13）化简最简二次根式的一般方法：①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.====.②化去根号下的分母，即：分母有理化.====；=====；====；==.（14）二次根式的加减:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并.例：==；==；==；-==；同类二次根式：根指数相同、化简后被开方数相同的二次根式；=.注：合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将它们的“系数”相加减，最简结果，不能合并.（15）二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面的，同级运算从左往右依次计算； ②在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用 .例： ① ⎛÷ ⎝解原式(=÷(2=+2==②)23-解原式22223⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦()5329=---229=-+9=注：运算结果是根式的，应表示为最简二次根式 .（16 解：2150126=+ ；令：12a =，6b =；61212.25224b a a ≈+=+≈第十七章：勾股定理（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c =＋ . 勾股定理的证明方法：全世界共有370多种证明方法.其中赵爽正弦图、毕达哥拉斯证法、美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法比较出名；勾股定理的变式：① 222c a b =＋；②()()222a cbc b c b =-=+- ；③ ()()222b c a c a c a =-=+-；④c =⑤a =⑥b =（2）勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c =＋，那么这个三角形是直角三角形 .（3）定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理 .（4）我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题 .（例如：勾股定理与勾股定理逆定理）（5）常见的勾股数（勾股数是正整数）：①3、4、5，222345⇒+= ； ②5、12、13，22251213⇒+=； ③6、8、10，2226810⇒+=； ④7、24、25，22272425⇒+=；注：只要三角形的三边长都是勾股数的k （k 为正整数）倍时，构成的三角形仍然是直角三角形.（6）蚂蚁吃食物最短路径问题：①如下图，是一个边长为2的正方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一：情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为AB = 42 + 22 =20 =25AbacCBAAAB = 42 + 22 =20 =25AAB = 42 + 22 =20 =25②如下图，是一个长为2，宽为4，高为8的长方体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程. （注：表面爬行）情况一：情况二: 情况三：把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为10.③如下图，是一个底面半径为2，高为8的圆柱体，一只蚂蚁从A 点出发到达B 点吃食物，求蚂蚁走过的最短路程.（注：表面爬行）情况一：情况二:把蚂蚁经过的表面路径转化为平面图形，根据勾股定理可以得到蚂蚁的最短路径为（7）如图：直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边为c .以两直角边为边长的正方形的面积等于以斜边为边长的正方形的面积.即：123S S S +=，或222a b c +=.AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2AB =82+4π()2 =64+16π2 =44+π2A8AB = 62 + 82 =100 =10AB AB = 122 + 22 =148AAB = 62 + 82 =100 =10bac S 3S 2S 1（8）三角形面积的计算方法：海伦秦九韶公式（知道三角形的三边长可以直接求面积）.2a b cP ++=（其中,,a b c 为三角形的三边长）；S =.例：在下列ABC ∆中，边长如图所示，计算其面积. 解：由海伦秦九韶公式得：6810122P ++==ABC S ∆∴==24==（9）如图，AB BC ⊥，3,4,12,13,AB BC CD AD ====求四边形ABCD 的面积. 解：（法一）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===22222251216913AC CD AD +=+===∴根据勾股定理得逆定理得：ACD ∆是直角三角形. AC CD ∴⊥，即：90ACD ∠=︒. ∴S 四边形ABC ACD S S ∆∆=+ 111134512362222AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=.解：（法二）连接AC在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得：5AC ===在ACD ∆中，由海伦秦九韶公式得：51213152P ++==A C D S ∆∴=30== ∴S 四边形113034306303622ABC ACD S S AB BC ∆∆=+=⋅+=⨯⨯+=+=. 6108CBA341213DCBA第十八章：平行四边形（1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“”表示，如平行四边形ABCD 记作“ABCD ”.即：若AB ∥CD ，AD ∥BC ，则四边形ABCD 是平行四边形. （2）平行四边形的性质：①平行四边形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC .AB =CD ，AD =BC .②平行四边形的两组对角相等.即：BAD BCD ∠=∠，ABC ADC ∠=∠.平行四边形的邻角互补.即：180BAD ABC ∠+∠=︒，180BCD ABC ∠+∠=︒. ③平行四边形的对角线互相平分.即：OA OC =，OB OD =.（3）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形.即：14AOBBOCCODAODABCDSSSSS ====.4444ABCDAOBBOCCODAODSSS SS====.（4）两平行线间的距离处处相等. （5）平行四边形的面积：底⨯高.（6）平行四边形的判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ③对角线互相平分的四边形是平行四边形. ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ⑤两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （7）三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 在ABC ∆中，点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，所以DE 是ABC ∆的中位线.即：12DE BC =，DE ∥BC .（8）梯形中位线定理：梯形的中位线平行且等于上底与下底和的一半. 在梯形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，所以EF 是梯形ABCD 的中位线.即：2AD BCEF +=，EF ∥AD ∥BC .（9）矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （10）矩形的性质：①矩形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②矩形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒. ③矩形的对角线相等且互相平分.即：AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==.ODCB AED CBAFEDCBAODCBAA OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是等腰三角形. （11）矩形的面积：长⨯宽.即：S AB BC =⋅.（12）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.如：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 是斜边AC 的中线，则12BD AD DC AC ===.（13）矩形的判定：①对角线相等的平行四边形是矩形. ②有三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等且互相平分的四边形是矩形. ④有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （14）菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （15）菱形的性质：①菱形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②菱形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===. ③菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即：AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. 1122ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠.1122BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 菱形ABCD .（16）菱形的面积：两条对角线乘积的12.即：12S AC BD =⋅.（17）菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.②四条边都相等的四边形是菱形.③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（18）正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形. （19）正方形的性质：①正方形的两组对边平行且相等.即：AB ∥CD ，AD ∥BC . AB =CD ，AD =BC . ②正方形的四条边都相等.即：AB BC CD AD ===.正方形的四个角都是直角.即：90BAD BCD ABC ADC ∠=∠=∠=∠=︒ ③正方形的对角线相等且互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角.即： A C B D ⊥，AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==. DCBAODCB AODCB A114522ABD CBD ADB CDB ABC ADC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.114522BAC DAC BCA DCA BAD BCD ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒.A OB ∆，BOC ∆，COD ∆，AOD ∆都是全等的三角形. 即：AOB ∆≌BOC ∆≌COD ∆≌AOD ∆AOB BOC COD AOD S S S S ====14S 正方形ABCD .（20）正方形的面积：边长⨯边长或对角线乘积的一半.即：S AB BC =⋅或12S AC BD =⋅. （21）正方形的判定：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③有一个角是直角的菱形是正方形.④对角线相等且互相垂直平分的四边形是菱形. ⑤对角线相等的菱形是正方形. ⑥对角线互相垂直的矩形是正方形.（22）平行四边形的中点四边形是平行四边形；菱形的中点四边形是矩形；矩形的中点四边形是菱形；正方形的中点四边形是正方形. （23）平行四边形不是轴对称图形；矩形是轴对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，有2条对称轴；正方形是轴对称图形，有4条对称轴.第十九章：一次函数（1）常量与变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.（2）函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y 是x 的函数，x 是自变量. （3）函数值：函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值.如果当x a =时，y b =，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.（4）解析式：像23y x =-+这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.（5）函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. （6）描点法画函数图象的步骤：①列表； ②描点； ③连线；（7）判断分析函数图象的突破点：①明确两坐标轴所表示的意义；②明确图象上的点所表示的意义；③弄清图象上的转折点、最高（低）点所表示的意义；④弄清上升线和下降线所表示的意义.（8）函数的表示方法：解析式法；列表法；图象法.例1：小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.如图反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系. 第（1）段：小明从家到食堂，相距0.6km ，用时8min . 第（2）段：小明在食堂用餐，用时()25817min -=. 第（3）段：小明从食堂到图书馆，食堂与图书馆相距()0.80.60.2km -=，用时()28253min -=.食堂与家相距()0.800.8km -=.第（4）段：小明在图书馆看书，用时()582830min -=. 第（5）段：小明从图书馆到家，用时()685810min -=，速度()0.8100.08/min v km =÷=.例2：画出函数21y x =+的图象.第三步：连线（9）正比例函数：一般地，形如()0y kx k =≠（k 是常数）的函数，叫做正比例函数，其/miny /中k 叫做比例系数或斜率.例：①0.2y x =-； ②2xy =； ③22y x =； ④24y x =. 在上面式子中： ①②是正比例函数；③④不是正比例函数.（10）正比例函数()0y kx k =≠的图象性质：①正比例函数()0y kx k =≠的图象是一条经过原点的直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数），函数图象经过第一、三象限.③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数），函数图象经过第二、四象限.④k 越大，直线越倾斜（越陡）.⑤正比例函数()0y kx k =≠的图象经过点()0,0和()1,k .（11）一次函数：一般地，形如()0y kx b k =+≠（,k b 是常数）的函数，叫做一次函数.当0b =时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. （12）一次函数()0y kx b k =+≠的图象性质： ①一次函数()0y kx b k =+≠的图象是一条直线.②当0k >时，函数图象从左往右上升，y 随x 的增大而增大（增函数）. ③当0k <时，函数图象从左往右下降，y 随x 的增大而减小（减函数）. ④当0b >时，函数图象交y 轴的正半轴. ⑤当0b =时，函数图象经过原点. ⑥当0b <时，函数图象交y 轴的负半轴.⑦k 越大，直线越倾斜（越陡）.正比例函数和一次函数的图象都是直线，画函数图象时只需要找两个点，即两点作图法.（13）函数的平移：x ：左+右-；y ：上+下-.例：6y x =-向上平移5个单位长度得到：65y x =-+. 6y x =-向下平移3个单位长度得到：63y x =--.2y x =-向左平移3个单位长度得到：()2326y x x =-+=--.2y x =-向右平移2个单位长度得到：()2224y x x =--=-+.22y x =--向左平移2个单位，向下平移3个单位得到：()222329y x x =-+--=--. 32y x =-+向右平移2个单位，向上平移3个单位得到：()3223311y x x =--++=-+.（14）在一次函数()11110y k x b k =+≠和()22220y k x b k =+≠中：①当12k k =时，1y ∥2y . ②当121k k =-时，12y y ⊥.例：直线21y x =--与26y x =-+互相平行；直线21y x =--与162y x =+互相垂直. （15）直线与x 轴相交0y =；直线与y 轴相交0x =（16）待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.例：已知一次函数的图象过点()3,5和()4,9--，求这个一次函数的解析式.解：设这个一次函数的解析式为()0y kx b k =+≠.函数图象经过点()3,5和()4,9--∴3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：21k b =⎧⎨=-⎩∴这个一次函数的解析式为21y x =-.（17）一次函数与方程、不等式：①一次函数与方程的关系：函数值y 为某一特定值时，求自变量x 的值. ②一次函数与不等式的关系：函数值y 为某一范围时，求自变量x 的取值范围.（18）两个一次函数图象相交时，它们有相同的横坐标，相同的纵坐标.例：求函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标. 解：50.525x x +=+ 20x =把20x =代入5y x =+中得20525y =+=.∴函数5y x =+与0.525y x =+的交点坐标为()20,25. （19）一次函数的实际应用：①方案选择问题 ②租车问题. 两个问题的考察实则是考察自变量的取值范围例题：重点掌握人教版教材109页的第15题.第二十章：数据的分析（1）算术平均数：一般地，我们把n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，的和与n 的比值，叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作“__x ”.即__12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.（2）加权平均数：一般地，若n 个数12,,,n x x x ⋅⋅⋅的权分别是12,,,n w w w ⋅⋅⋅，则__112212n nnx w x w x w x w w w ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+叫做这n 个数的加权平均数.（3）在求n 个数的平均数时，如果1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次，（这里12k f f f n ++⋅⋅⋅+=），那么这n 个数的平均数为__1122k kx f x f x f x n++⋅⋅⋅+=.也叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅这k 个数的加权平均数，其中12,,,k f f f ⋅⋅⋅分别叫做12,,,k x x x ⋅⋅⋅的权.（4）中位数：将-组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.（5）众数：把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.注：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.（6）平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点.平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用.但它受极值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大.当一组数据中某些数据多次重复出时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响.中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响.（7）方差：设__x 是n 个数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数，各个数据与平均数只差的平方的平均数，叫做这n 个数据的方差.用“2s ”表示，即：222______2121n s x x x x x x n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.（8）标准差：方差的算术平方根称为标准差.s =（9）极差：一组数据中的最大值与最小值的差称为极差.。

第十六章二次根式复习知识讲解_2023年学习资料

养-怎样化去被开方数中的分母呢？-q-a-a.b-ab-~al-√ab-1b.b-/b2-a20,b>0母有理化
二次根式计算、化简的结果符合什-么要求？最简二次根式-1被开方数不含分母；-分母不含根号；-根号内不含小数 2被开方数中不含能开得尽方的因数-或因式.
x2=ax为正数-X=-算术平方根的双重非负性：-1被开方数≥0-即：a≥0-即：√a≥0
5.已知：Vx-4+V2x+y=0,求x-y的值-解：由题意得：-x-4=0且2x+=0-解得x=4,J= 8-x-Jy=4--8=4+8=12
6.已知x,y为实数，且-Vx-1+3y-22=0,则x-y的值为D-A.3-B.-3-C.1-D.-1
0①-+v27-v店
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二次根式的性质：-l.√a2=a-a≥0-a>0-2.va2 =a=-a<0-3.√ab=Vax/b-b≥ -b>0
果前热身-2、二次根式V-32的值是-D-A、-3-B、3或-3-C、-9-D、3
2-9x2-3-4-0-2-13v2
二次根式的除法公式：-a≥0，b>0-把公式逆运，-Vg-aa-利用这个等式也可以化简一些二次根式。
知x=2-5,y=2+5,-求x2-xy+y2的值
比较大小，并说明理由.-W4+V6与√2×/5-解：：v4+V62=10+4vV6-2×V52-V2XN5 10-且V4+V6>0，-V2×V5>-·0-.4+V6>V2xV5
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(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全

二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：222()a b a b ---4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

人教版八年级下册数学知识点归纳：第十六章二次根式

人教版八年级下册数学知识点归纳第十六章二次根式1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式；（2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0.2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. (3)积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (ba b a>≥=；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.。

第十六章二次根式知识点归纳

二次根式知识点归纳家长签字：学生：陈爱枝时间：2017、9、24 指导老师：王老师一、形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．三、二次根式（）的双重非负性：1、被开方数非负。

2、a的值非负。

四、二次根式的化简。

1、化简2a时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0.2a=∣a∣①若a是正数，则∣a∣等于a本身；②若a是负数，则∣a∣等于a的相反数-a,③若a是0，则∣a∣等于0.2、()2a=a (a≥0).3、被开方数是乘积用ab =a ·b（a≥0，b≥0）化，4、被开方数是商的形式用ab=ba（a≥0，b>0）或ba=b1ab5、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中的因数或因式不能再开方。

（五）二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

（六）二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（七）分母有理化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。

构成()2a化去分母中的根号。

分母有理化有两种方法I.分母是单项式 II.分母是多项式要利用平方差公式注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

第十七章勾股定理知识总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

第十六章二次根式知识点归纳及应用(精品)

第十六章二次根式出处何海平名师工作室 QQ：1322798146（欢迎加入交流）一、知识梳理1．二次根式：式子)0(≥aa叫做二次根式。

2．最简二次根式若二次根式满足：被开方数不含分母；分母不含根号；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

3. 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果分母含根号，利用分母有理化进行化简。

（3）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

5. 二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）6. 函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（2）二次根式根号下被开方数≥07.【公式】：（1）√a·b=√a×√b；√a×√b=√a·b（2）√ab=√a√b√a√b=√ab（3）(√a)2=a （４）√a²=|a|={a (a≥0)–a (a≤0)被开方数是乘除关系根号可以拆开，被开方数是加减关系根号不可以拆开。

比如：91691675734916525916916916+≠+∴≠=+=+==++≠+1625162513145162539162516251625-≠-∴≠=-=-==--≠-分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数。

比如：413√2（×）；133√2（√）1.填空（1）√8=________；（2）√18=________；（3）√32=________；（4）√50=________；（5）√12=________；（6）√27=________；（7）√48=________；（8）√75=________；（9）√20=________；（10）√45=________；（11）√80=________；（12）√125=________；2.填空；（1）√4x=________；（2）√9x=________；（3）√16x=________；3.填空；（1）√2x²=________；（2）√3x²=________；（3）√4x2=________；（4）√8x2=________；（5）√2x³=________；（6）√3x3=________；（7）√4x3=________；（8）√8x3=________；4.填空（1）√12=________；（2）√13=________；（3）√18=________；（4）√19=________；（5）√23=________；（6）√25=________；（7）√35=________5.填空（1）√1x=________；（2）√12x=________；（3）√1x²=________；（4）√12x²=_______；（5）√1x³=________；（6）√12x³=_______6、计算:(1)√16x+√9x (2)√80−√45(3) 5√2+√8−7√18 (4)√80+√8−√45−7√18 (5)√32−√12−2(√18+√27) (6) 2√8+12√18−14√32(7)√12−(√13−√127) (8) 3√40−√25−2√110(9) 2√12−4√127+3√48 (10)√24−√12+2√23−√18−√6 7．计算：（1）(√8+√3)×√6（2）(5√8+3√3)×2√3（3）(4√2−3√6)÷2√2（4）2√3(4√2−3√6＋5√12−√8)（5）(7√2+2√6)(2√6−7√2)（6）(√7−7√3)²（7）已知x=√3+2，y=√3−2，求x2-y2的值二、函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（∵分母为零没有意义）（2）二次根式根号下被开方数≥0（∵负数没有平方根）例1 求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x﹣2 （2）y=1x﹣2（3）y=5x﹣2-1x+3（4）y =x﹣2（5）y=1x﹣2（6）y=1√x−2（7）y =x+5x﹣2（8）y=x﹣2+2﹣x解：（1）x取任意实数【∵题目中没有分母也没有根号∴x取任意实数】（2）x≠2【∵由分母x-2≠0得x≠2】（3）x≠2并且x≠﹣3 【由{分母x−2≠0分母x+3≠0解之得{x≠2x≠−3即x≠2并且x≠﹣3】（4）x≥2【∵由被开方数x-2≥0得x≥2】（5）x＞2【由{被开方数x−2≥0分母√x−2≠0解之得{x≥2x≠2∴x＞2】（6）x≥0并且x≠4【由{被开方数x≥0分母√x−2≠0解之得{x≥0x≠4∴x≥0并且x≠4】（7）x≥﹣5并且x≠2【由{被开方数x+5≥0分母x−2≠0解之得{x≥−5x≠2∴x≥﹣5并且x≠2】（8）x=2【由{被开方数x−2≥0被开方数2−x≥0解之得{x≥2x≤2∴x=2】二、函数中自变量的取值范围1.求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x+3（2）y=1x+3（3）y=1x﹣2﹣1x+3（4）y=x+3（5）y=1x+3（6）y=√x−3（7）y=x+3x﹣2（8）y=x-3 +3-x11. (武汉)式子x-1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．x <1 B ． x ≥1 C ． x ≤－1 D ．x <－111.（鞍山）要使式子2-x 有意义，则x 的取值范围是（） A ．x ＞0B ．x ≥﹣2C ．x ≥2D ．x ≤211.（江苏盐城）有意义，则x 的取值范围是 .11.（湖北随州）函数x 的取值范围是_________。

八年级上下册数学知识点整理

⎧ ④ a 把第十六章二次根式第一节二次根式的概念和性质16.1 二次根式1．二次根式的概念: 式子 a (a ≥ 0) 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或 0。

2．二次根式的性质① a 2 = a =⎨a(a ≥ 0) ⎩ - a(a ≤ 0)；② ( a ) 2 = a(a ≥ 0)③ ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0) ；a = (a ≥ 0,b > 0)bb 16.2 最简二次根式与同类二次根式1. （1）被开方数中因式的指数都为 1；（2）被开方数不含有分母。

被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式。

2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．2.二次根式的乘法:两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。

即a ⋅b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0).3.二次根式的除法:两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。

4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：a c +bc =(a+b)c (c ≥ 0)a ⋅b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0).aa =b b （a ≥ 0,b>0）( a )n = a n ( a ≥ 0)5.混合运算：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。

2a 2a 2a第十七章一元二次方程 17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

2．一般形式 y=ax ²+b x +c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 2叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法-b ± b 2 - 4ac -b + b 2 - 4ac -b - b 2 - 4ac 3．求根公式 x = ： x = , x = ； 1 2△= b 2 - 4ac ≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ：△＞0 时，方程有两个不相等的实数根△＝0 时，方程有两个相等的实数根△＜0 时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1 ．一般来说，如果二次三项式 ax2 + bx + c （ a ≠ 0 ）通过因式分解得ax 2 + bx + c = a( x - x )( x - x ) ； x 、 x 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根 1 2 1 2 2．把二次三项式分解因式时；如果 b 2 - 4ac ≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果 b 2 - 4ac ＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3．实际问题：设，列，解，答第十八章正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y ，如果在变量 x 的允许取之范围内，变量 y 随变量 x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式 y = f ( x )4．函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量 y 是自变量 x 的函数，那么对于 x 在定义域内取定的一个值 a ，变量 y 的对应值叫做当 x=a 时的函数值。

2020年春季人教版八年级下数学第16章二次根式(知识点总结+例题+练习+答案)(含答案)

第16章二次根式一、二次根式的概念核心提要1．二次根式的定义：形如________(其中a≥0)的式子叫做二次根式．2．与二次根式相关的概念：(1)若x2＝a，则________是________的平方根；(2)a(a≥0)表示________的算术平方根．知识点1：平方根与算术平方根1．填空：(1)9的平方根是________；(2)25的算术平方根是________；(3)0的算术平方根是________；(4)a(a≥0)的算术平方根是________．知识点2：二次根式的定义2．下列式子中是二次根式的是()A．7B．3 7C．x D．－7知识点3：二次根式有意义的条件3．式子1x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x＜1B．x≤1 C．x＞1D．x≥1 4．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)x＋1；(2)2x；变式1填空：(1)5的平方根是________；(2)11的算术平方根是________；(3)－3________平方根是(填“有”或“没有”)；(4)a(a≥0)的平方根是________．变式2下列式子：①12；②－3；③－x2＋1；④327；⑤（－3）2是二次根式的有()A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤变式3式子x－1 x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥1B．x≥1且x≠2 C．x＞1D．x≤1且x≠2变式4当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)3－x；(2)－4x；基础巩固1.下列各式①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3的是()A．2x－3B．1x－3C．x－3D．x－3 3．若使二次根式2x－6有意义，则x的取值范围是________ 4．若|3－a|＋2＋b＝0，则a＋b的值是________．5．若式子4－x－x－3有意义，求x的取值范围．6．若式子11－3a有意义，求a的取值范围．能力提升7．下列式子没有意义的是()A．－3B．0C．2D．（－1）28．若代数式11－x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥0B．x≥1C．x≠1D．x≥0 且x≠1 9．若a为实数，则下列各式中一定有意义的是()A.a＋3B．a2＋3C.a2－3D．a a2＋310．一个面积为18 cm2的矩形，它的长与宽之比为3∶2，求它的长与宽各是多少？培优训练11．若y＝x－3＋3－x3，求(x＋y)y的值．二、二次根式的性质核心提要二次根式的性质：1．(a)2＝________(a≥0)．2．a2＝________．知识点1：(a)2＝a(a≥0)1．计算：(1)(3)2＝________；(2)(7)2＝________；(3)(4)2＝________；(4)(0.3)2＝________；(5)(13)2＝________；(6)(23)2＝________．知识点2：a2＝a(a≥0)(一般地a2＝|a|)2．计算：(1)42＝________；(2)（－3）2＝________；(3)（13）2＝________；(4)（－0.2）2＝________．知识点3：双非负性a≥0(a≥0)3．已知实数x、y满足(5－x)2＋y＋6＝0，求代数式(x＋y)2 001的值．变式1计算：(1)(5)2＝________；(2)(8)2＝________；(3)(34)2＝________；(4)(0.6)2＝________；(5)(24)2＝________；(6)(－32)2＝________.变式2计算：(1)112＝________；(2)（－7）2＝________；(3)（－1.2）2＝________；(4)（－13）2＝________．变式3已知1＋a＋||b－7＝0，求a＋b的值．基础巩固1.计算（－4）2的结果是()A．－4B．4C．±4D．162．二次根式（3－2）2的值等于()A．3－2B．2－3C．±(3－2)D．2＋3 3．当x＜5时， (x－5)2的值是()A．x－5B．5－x C．5＋x D．－5－x 4．计算：(1)(9)2＝________；(2)－(5)2＝________；(3)32＝________；(4)－（－34）2＝________；5．若a、b、c分别是三角形的三边长，化简： (a＋b－c)2＋ (b－c－a)2＋ (b＋c－a)26．若(m＋1)2＋n－2＝0，求代数式m＋n的值．能力提升7.计算：(1－2)(1＋2)＝________．8．若（x－1）2＝1－x，则x的取值范围是________．9．在实数范围内分解因式：x2－2＝_____________．10．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（a－1）2＋a.培优训练11．已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．三、二次根式的乘法核心提要二次根式的乘法公式a·b＝________(a≥0，b≥0)．知识点：a×b＝ab(a≥0，b≥0)1．计算：(1)5×6；(2)12×8.2．计算：(1)32×23；(2)212×(－3)；(3)a3·a；(4)x3·2 x.3.计算：ab·bc·cd·da.变式1计算：(1)3×5； (2)13×27.变式2 计算： (1)23×276； (2)2a7×(－14a )；(3)(5＋3)(5－3)； (4)()2－32. 变式3 计算：115×23×(－1210).巩固练习1．计算3×2的结果( )． A ．5 B ．6 C ．23D ．322．一个矩形的长和宽分别是36、23，则它的面积是( ) A ．203B ．182C．172D．1623．化简x－1x，正确的是()A．－x B．xC．－－x D．－x4．已知7·a的积是一个整数，则正整数a的最小值是()A．7B．2C．19D．55．若一个长方体的长为3 6 cm，宽为2 3 cm，高为 2 cm，则它的体积为________ cm3.6．计算：(1)2a·8a(a≥0)＝________；(2)43×(－12)＝________．(3)54×64125＝________．(4)－8x3×63x＝________．7．如图，在△ABC中，AD△BC于点D，BC＝42，AD＝2，求△ABC的面积．8．把代数式(a－1)11－a中的a－1移到根号内，则这个代数式等于()A．－1－a B．a－1C．1－a D．－a－1 9．化简：(1)0.4×(－ 3.6)＝________；(2)(3＋22)99(3－22)100＝________．10．计算：ab·5ab·(－ba)·(－1ab)．培优训练11．已知x＝3－2，求代数式(x＋1)2＋2(x＋1)＋1的值．四、积的算术平方根核心提要积的算术平方根ab＝________(a≥0，b≥0)．(此公式用于化简二次根式)知识点：ab＝a·b(a≥0，b≥0)1．化简：(1)4＝________；25＝________；81＝________；(2)9×16＝________；32×72＝________；(3)4×5＝________；16×3＝________；(4)8＝________；24＝________；32＝________；4a＝________．2．化简：(1) 1 000＝________；(2)9a3＝________；(3)5×15＝________；(4)4a2b＝________；(5)3a·6a＝________；(6)2y 3·8y＝________． 3．设正方形的边长为a ，面积为S . (1)如果a ＝2 5 cm ，则S ＝________cm 2； (2)如果S ＝32 cm 2，则a ＝________cm ； (3)如果S ＝50 cm 2，则a ＝________cm. 变式1化简：(1)9＝________；16＝________； 64＝________；(2) 32×52＝________；36×4＝________；(3)4×16＝________；3×49＝________； (4)12＝________；18＝________； 60＝________；36b ＝________．变式2化简：(1)25b 3＝________； (2)10a ·5a ＝________； (3)28×(－36)＝________； (4)－16a 2b 3c ＝________； (5)2×23×12＝________； (6)133x 2y 3·12x 2y＝________.变式3已知非负实数a、b、c满足a2＋b2＝c2.(1)如果a＝3，b＝5，则c＝________；(2)如果c＝12，b＝10，则a＝________；(3)如果a＝32，b＝3，则c＝________．基础巩固－32×3的计算结果是()1．二次根式()A．33B．－33C．3D．92．若a＜0，b＞0，则－a3b化简得()A．－a－ab B．－a abC．a－ab D．a ab3．化简：(1)24＝________；(2)28＝________；(3)45＝________；(4)72＝________；(5)25a2(a>0)＝________；(6)80ab3(a>0，b>0)＝________．4．已知x>0，y>0，则xy2·x2y＝________．5．化简：（a2－b2）（a4－b4）(b＜a＜0)得_______________．6．计算：(1)32×224；(2)214x·4xy.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，BC＝12，AC＝18.求△ABC 的面积．能力提升8.已知12n是正整数，则满足条件的最小正整数n为()A．2B．3C．4D．59．计算：(1)62＋82＝________；(2)132－52＝________；(3)4－2＝________．10．先化简，再求值：x＋2x－1÷(x＋1－3x－1)，其中x＝3＋2.培优训练11．先化简，再求值：(a2－b2a2－2ab＋b2＋ab－a)÷b2a2－ab，其中a、b满足1＋a＋||b－3＝0.五、二次根式的除法核心提要1．二次根式的除法法则为：ab＝________(a≥0，b>0)．2．最简二次根式同时满足下列条件：(1)________________________________________；(2)________________________________________．知识点1：二次根式的除法1．计算：(1)186；(2)8a÷2a.知识点2：化成最简二次根式2．将下列式子化成最简二次根式：(1)3100；(2)11336；(3)13； (4)35.知识点3：二次根式的乘除混合运算 3．计算：34÷112×24. 变式1 计算：(1)455； (2)243.变式2 将下列式子化成最简二次根式：(1)225； (2)112；(3)123； (4)a 1a变式3 计算：20×3515÷(－6)．基础巩固1．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12B ．0.2C ．2D ．202．化简－32×27的结果是( )A ．－23B ．－23C ．－66D ．－23．能使等式x x －2＝x x －2成立的x 的取值范围是( ) A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x ＞2D ．x ≥24．若长方形的宽为 2 cm ，面积为2 6 cm 2，则长方形的长为________．5．计算： (1)(－113)÷554；(2)512×34÷52；(3)12÷227×18.能力提升6．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：△ab＝ab，△ab·ba＝1，△ab÷ab＝－b，其中正确的是()A．△△B．△△C．△△D．△△△7．计算：(1)6－33＝________；(2)233－1＝________．8．先化简，再求值：a2＋3aa2＋4a＋4÷a＋3a＋2－2a＋2，其中a＝2－2.培优训练9．小芳在学习了ab＝ab后，认为ab＝ab也成立，因此她认为一个化简过程：－20－5＝－20－5＝－5×4－5＝－5×4－5＝4＝2是正确的．△你认为她的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；△说明ab＝ab成立的条件．六、二次根式的加减法核心提要1．同类二次根式：把几个二次根式化成____________后，如果被开方数(即根号下的数或式)________，则这几个二次根式叫做同类二次根式．2．二次根式加减时，先将二次根式化为_______________，再将______________的二次根式进行合并．知识点：二次根式的加减1．计算：(1)4a－3a＝________；(2)5a＋6ab－a＋2ab＝________；(3)32－22＝________；(4)5ab－3ab＝________．2．计算：(1)35＋2－25－32；(2)3－12＋18.3．计算：22－23＋12.变式1计算：(1)5xy＋6xy＝________；(2)3x＋5xy－4x－xy＝________；(3)66－6＋26＝________；(4)7x－x＝________．变式2计算：(1)37－28＋7；(2)36－2＋24＋8.变式3计算：a＋a4－2a1a.基础巩固1．计算27－3的结果是()A．24B．26C．3D．232．下列根式中，与18为同类二次根式的是()A．2B．3C．5D．63．如果等腰三角形的底边长为8，腰长为18，则其周长为________．4．计算：(1)3－32＋33＋2；(2)16b－25b；(3) (48＋20)＋(12－5)；(4)28＋1417－700.能力提升5．已知2a －3＋5＝25，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．56．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x －y 的值是( ) A ．33－3 B ．3 C ．1D ．37．若x ＝12(a ＋b )，y ＝12(a －b )，则x ＋y 的值为________．8．若对实数a ，b ，c ，d 规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－38＝________．9．计算：(48－418)－(313－20.5)．培优训练10．已知x＝1＋3，求x2－x＋1的值．七、二次根式的混合运算核心提要二次根式的混合运算顺序：先算________，再算________，最后算________，有括号先算括号里面的．知识点1：化成最简二次根式1．化简：(1)8＝________；(2)32＝________；4(5)35＝________；(6)2a＝________．知识点2：二次根式的混合运算2．计算：(1)3×15＝________；(2)363＝________；(3)12＋3＝________；(4)28－63＝________．3．计算：13×(212－75).4．若x＝2＋1，求x2－2x＋1的值．变式1化简：(1)27＝________；(2)40＝________；(3)18a2＝________；(4)17＝________；168变式2计算：(1)2×98＝________；(2)40÷5＝________；(3)2＋18＝________；(4)27－75＝________．变式3计算：(248－327)÷ 3.变式4若m＝2＋3，n＝2－3，求mn2＋m2n的值．巩固练习1．下列运算错误的是()A．2＋3＝5B．2×3＝6C．8÷2＝2D．(－2)2＝22．估计32×12＋20的运算结果应在( ) A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间3．计算5×153的结果是________．4．一个矩形的长和宽分别为12 cm 和27 cm ，则这个矩形的周长为___________．5．计算：(1)(12＋58)×3；(2)(48＋36)÷27；(3)3＋33；(4)(3＋2)2－(3＋22)(3－22).能力提升6．计算：(2＋1)2 018×(2－1)2 019.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，CD△AB于D.AC＝3＋1，BC＝3－1，AB＝22，求CD的长．8．如图所示，在Rt△ABC中，△B＝90°，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为24平方厘米？(结果用最简二次根式表示)第十六章二次根式第1课时二次根式的概念【核心提要】1.a2．(1)x a (2)a【典例精讲】1．±3 5 0a2．A 3.C4．(1)x ≥－1 (2)x ≥0【变式训练】1．±511 没有 ±a 2．B 3.B4．(1)x ≤3 (2)x ≤0【基础巩固】1．B 2.D3．x ≥3 4.1 5.3≤x ≤4 6.a <13【能力提升】7．A 8.D 9.B10．长3 3 cm 宽2 3 cm【培优训练】11．1第2课时二次根式的性质【核心提要】1．a 2.|a |【典例精讲】1．(1)3 (2)7 (3)4 (4)0.3 (5)13(6)12 2．(1)4 (2)3 (3)13(4)0.2 3.－1 【变式训练】1．(1)5 (2)8 (3)34(4)0.6 (5)16 (6)18 2．(1)11 (2)7 (3)1.2 (4)133.6 【基础巩固】1．B 2.B 3.B4．(1)9 (2)－5 (3)3 (4)－345．a ＋b ＋c 6.1【能力提升】7．－18．x ≤1 9.(x ＋2)(x －2) 10.1【培优训练】11．7＋42第3课时二次根式的乘法【核心提要】ab【典例精讲】1．(1)30 (2)2 2.(1)66 (2)－12(3)a 2 (4)2x 3.1【变式训练】1．(1)15 (2)32．(1)3 (2)－2a(3)－4 (4)5－263．－6【基础巩固】1．B 2.B 3.C 4.A5．366．(1)4a (2)－4 (3)45 (4)－4x7．4【能力提升】8．A 9.(1)－1.2 (2)3－22 10.5【培优训练】11．3第4课时积的算术平方根【核心提要】a ·b【典例精讲】1．(1)2 5 9 (2)12 21 (3)25 43 (4)22 26 42 2a2．(1)1010 (2)3a a (3)53(4)2a b (5)3a 2 (6)4y3．(1)20 (2)42 (3)52【变式训练】1．(1)3 4 8 (2)15 12 (3)8 73(4)23 32 215 6b 2．(1)5b b (2)5a 2 (3)－243(4)－4ab bc (5)122 (6)2x 2y3．(1)34 (2)211 (3)33【基础巩固】1．A 2.A3．(1)26 (2)27 (3)35 (4)62 (5)5a (6)4b 5ab4．xy xy5．(b 2－a 2)a 2＋b 26．(1)243 (2)2x y7．36【能力提升】8．B9．(1)10 (2)12 (3)1410.1x －2 33【培优训练】11.a b －33第5课时二次根式的除法【核心提要】 1.a b2．(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式(2)被开方数中不含分母【典例精讲】1．(1)3 (2)22．(1)310 (2)76 (3)33 (4)1553．66【变式训练】1．(1)3 (2)222．(1)25 (2)62 (3)36 (4)a 3．－32【基础巩固】1．C 2.C 3.C4．2 3 cm5．(1)－6105 (2)324(3)2 【能力提升】6．解析：∵ab ＞0，a ＋b ＜0，∴a ＜0，b ＜0.①a b ＝a b，被开方数应≥0，a ，b 不能作被开方数，(故①错误)， ②a b ·b a ＝1，a b ·b a ＝ab ＝a b ×b a ＝1＝1，(故②正确)， ③ab ÷a b ＝－b ，ab ÷a b ＝ab ÷ab －b ＝ab ×－b ab＝－b ，(故③正确)．故选：B. 7．(1)2－1 (2)3＋3 8.1－22【培优训练】9．解：①化简不对，正确过程为－20－5＝205＝5×45＝4＝2； ②∵0作除数无意义，∴a b ＝a b 成立的条件：a ≥0，b ＞0. 第6课时二次根式的加减法【核心提要】1．最简二次根式，相同2．最简二次根式，被开方数相同【典例精讲】1．(1)a (2)4a ＋8ab (3)2 (4)2ab 2．(1)5－22 (2)－3＋323.223【变式训练】1．(1)11xy (2)－x ＋4xy (3)76(4)6x2．(1)27(2)56＋23．－a 2【基础巩固】1．D 2.A3．824．(1)43－22(2)－b(3)63＋5(4)－67【能力提升】5．C 6.C7.a8.529.33【培优训练】10．解：∵x＝1＋3，∴x2－x＋1＝(1＋3)2－(1＋3)＋1＝1＋23＋3－1－3＋1＝3＋4；第7课时二次根式的混合运算【核心提要】乘方乘除加减【典例精讲】1．(1)22(2)42(3)2a6(4)3 2(5)155(6)2aa2．(1)35(2)23(3)33(4)－7 3．－1 4.2【变式训练】1．(1)33(2)210(3)3a2(4)7 7(5)22 (6)324 2．(1)32(2)22 (3)42 (4)－233．－1 4.4【基础巩固】1．A 2.C 3．5 4.10 3 cm 5．(1)6＋106 (2)43＋2 (3)3＋1 (4)4＋26 【能力提升】6.2－17.22【培优训练】8．解：设t 秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米，根据题意得： 12×2t ×t ＝24，解得：t 1＝－26(不合题意舍去)，t 2＝2 6.答：26秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米．。

(完整word)第十六章二次根式知识点归纳,推荐文档

第十六章二次根式知识点归纳一、形如▼（:工：）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是•二为二次根式的前提条件,二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“J ”；第二，被开方数是正数或0.三、二次根式「■'（二兰「）的双重非负性：1被开方数卫⑺非负2、,a的值非负。

四、二次根式的化简。

1化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0.\ a2= I a I①若a是正数，贝UI a I等于a本身；②若a是负数，贝UI a I等于a的相反数-a,③若a是0,贝UI a I等于0.2、V a =a （a > 0）.3、被开方数是乘积用• ab = a• '、b（a》0，b>0）化，4、被开方数是商的形式用£ =芈（a》0，b>0）或i医=丄JabVb v b b5、最简二次根式应满足的条件：（五）二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

（六）二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（七）分母有理化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式第十七章勾股定理知识总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c,那么a2+ b2=c2。

或者：直角三角形的两条直角的平方和等于斜边的平方勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C 90，则c . a2 b2， b C_a2,a ..c2~b2)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+ b2=c2。

二次根式知识点及例题

第十六章二次根式知识点一、二次根式1.定义0)a ≥二次根号下的a 叫做被开方数．注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号．(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0． (3)根指数是2，这里的2可以省略不写．(4)形如0)a ≥的式子也是二次根式，它表示b例题：!1.下列各式中，一定是二次根式的是．12x ⎫<⎪⎭练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是．0,0)x y ≥≥知识点二、二次根式有意义的条件1.0a ≥0a <2.从具体的情况总结，如下：(1)0A ≥；(2)⋅⋅⋅有意义的条件：000A B N ≥⎧⎪≥⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩；?(3)0A >；(4)二次根式作为分式的分子如B A有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩．例题：1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义．11x +练习：知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质10)a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根，具体描述为：0；a 是非负数．注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0．、例题：@练习：则2015)(yx 的值为________．3.已知a ,b 4b +，求a ，b 的值．·2210b b -+=，求221a b a +-的值．性质2：2(0)a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．注意：不能忽略0a≥这一限制条件，导致类似24=-的错误．性质3(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，(0)a a=≥；(0)a a-<．&注意：不要认为a2-的错误．2的区别与联系：例题：1.计算：(1) 2(2)2(3) 2(-(4)22.计算：'(1)23()5(2)23()5- (3)2(6)- (4)2(3.14)π-3.当m <3时，2(3)m -=_______．4.设三角形的三边长为a ，b ，c ，试化简：2222()()()()a b c a b c b a c c b a +++--+-----．、练习： 1.计算：(1) 2( 3.4) (2) 2( 3.4)- (3)2(3)π- (4) 2(4)π-2.若23a <<，则22(2)(3)a a ---等于（）~A . 52a -B . 12a -C . 25a -D . 21a - 3.已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，化简：222+()a b a b +-．4.已知a 2224a a a +--的值．$知识点四、二次根式的乘除1.二次根式的乘法法则0,0)a b ab a b =≥≥．提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2),a b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．推广a b cd abcd =()0,0,0,0a b c d ≥≥≥≥．2.ab ab =a b （0,0a b ≥≥）．#例题： 1.计算：(1)62⨯ (2) )32(276-⨯ (3))196()121(-⨯-(4))33)(31(+- (5) 38xy y 8y y！2.化简：(1)1259⨯ (2) 24323.(1)比较的大小__________， (2)比较3655与的大小__________．练习： 1.计算： (1) )196()121(-⨯- (2) )33)(31(+- (3) 329y (4) 9y xy@2.化简：(1)12116⨯ (2) 96323.比较6456与的大小__________，(2)比较8338与的大小__________． 3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结

2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a为被开方数，√为根号符号。

2.二次根式的双重非负性：对于任何实数a，有√a≥0，且（√a）²=a。

3.二次根式的有理化：将二次根式的分母中含有根号的有理数化为分母中不含根号的有理数。

4.积的算术平方根的性质：√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）。

5.商的算术平方根的性质：√(a/b)=（√a）/（√b）（b>0）。

6.若a≥0，则√a²=a。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算：1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：（a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算：1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A、3；B、x；C、x²+1；D、x-12.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）√(2x-1)；（2）√(x+4)/(2x+1)；（3）1/(x+1)；（4）√(3-x)+1；（5）3-x+√(1/x)；（6）2x-1.7）若x(x-1)=1，则x的取值范围是（）。

8）若(x+3)/(x-3)=(x+3)/(x+3)，则x的取值范围是。

3.若3m-1有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________。

第十六章二次根式章节知识点总结

二次根式复习卷知识点一：二次根式的概念形如（0≥a ）的式子叫做二次根式考点一、二次根式的识别（外形特征有“”，内部的0≥a ）下列式子一定是二次根式的是①1-x ； ②5-； ③12+x ； ④1+a ； ⑤35； ⑥5- 考点二、二次根式什么时候有意义（根号下的数或式子大于等于0） 1. 当x 是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？（1 （2）412--x x ；（3）12+x ；（4）12+x2.若式子31-+x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围考点三、二次根式的非负性（0≥a ）1. 1a b ++互为相反数，求b a -的算术平方根是多少？2.已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足.09622=+-+-b b a 试求 △ABC 的c 边的长．3.已知：（1）式子322+-+-=x x y 有意义，则求x y （2）式子2362+-+-=x x y 有意义，求y x +的值知识点二：二次根式的性质公式：()=2a ；=2a考点、化简计算 1.计算下列各式：（1）2；（2）(2；（3（4）（5 （6)13x ≤≤2. 已知2<x<5=3. 已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简1a -的结果是 .4. 已知,21)12(2a a -=-那么a 的取值范围是知识点三、二次根式的运算二次根式运算分为：加、减、乘、除、乘方运算，在运算时合理利用公式进行化简及运算，结果必须为最简二次根式。

最简二次根式有两个要求：1. ；2. 考点一、化简计算1. 将下列二次根式化为最简（1）27 （2）31 （3）217 （4）125.0 （5）232 （6）)0(2≤x y x （7）ac ab （字母均大于0）（8）121- 2.计算：（1；（2⎛- ⎝.3.计算下列各题：（1）⋅-121).2218( （2）).4818)(122(+-（3）.6)1242764810(÷+- （4）⋅+⋅-221221 （5）()()202020212323+- （6）()()625232+-考点二、根据乘除公式求解未知数的取值范围（只看分开的那一边） 1. 已知()()x x x x -⋅-=-⋅-3232，求x 的取值范围2..已知312312--=--x x x x ，求x 的取值范围考点三、同类二次根式（二次根式化为最简后，根号下的数完全相同） 1. 当a =______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并2. cm, 则此三角形的周长为考点四、先化简再计算 1. 已知：31425xy yy x y x y x xy --+，其中9,71==y x2. 先化简再计算11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x xx ，其中12+=x勾股定理复习卷知训点一、勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2. 公式变形： 222222--.a c b b c a c a b ===+, ，推导公式时用的是等面积法，其中毕达哥拉斯证明法，赵爽弦图，总统证法比较常见学会数形结合。

二次根式的知识点、典型例题、练习

第十六章二次根式的知识点、典型例题及相应的练习1、二次根式的概念:1、定义：一般地，形如 Va (a >0的代数式叫做二次根式。

当时， .a 表示a 的算术平方根，当a 小于0时，非二次根式(在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根)概念：式子-a (a >0叫二次根式。

.a (a >0是一个非负数。

题型一：判断二次根式(1)下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、2、3 3、-、、、x (x>0)、x中，二次根式有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 (3)下列各式一定是二次根式的是( )2、二次根式有意义的条件题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件(1) 3x 4(2) 1 8a (3) . m 2 4V32、 ---- 有意乂，贝U ____________________ ;J x 1 2、当x 是多少时， 2x 3+x 2在实数范围内有意义?x3 若、J x 2 * 2成立，贝q x 满足 ___________________ 。

V 3 x v 3 x 典型练习题：.0、42、- .2、---- 、__y (X >Q y >0.x y '(2)在式子 J x x f 0 , V2,—1 y2 , , 2x x p 0 ,3 3^. x 2 1,x yA.B. 3 2mC. -a 2 1(4)3、_____________ 当时，VT~2 J i 2x有意义。

4、使式子(x 5)2有意义的未知数x有()个.A. 0 B . 1 C . 2 D .无数5、已知y= 厂x + •一厂2+5，求-的值.y6若・、3 x + , x 3有意义，则厂= ____________ .7、若."m 有意义，则m的取值范围是____________________ 。

m 18、已知' x 2 2 2 x，则x的取值范围是_________________________9、使等式x 1 x 1 •. x 1、、x 1成立的条件是______________ 。

第十六章二次根式章节复习知识点

4、二次根式合并只与被开方数有关，与根号前面的系数无关。
5、
5、二次根式相关运算的结果必须化成最简形式。
6、二次根式的化简求值常把二次根式的运算与分式运算联系起来，一般先将分式进行化简，
再代入所给字母的值，最后进行二次根式的运算。
7、两个二次根式比较大小：将根号外的系数进行平方在与被开方数相乘，例如：与
逆运算： = （a≥0，b＞0），商的算术平方根等于被除数的“算”除以除数的“算”。
7、分母有理化：把分母中的根号化去的过程。两种方法，如下所示：
① = （a≥0，b＞0）；② = = （平方差公式）
8、最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不能含开方开得尽的因数或因式。
二次根式运算中，最后结果为最简二次根式。利用二次根式乘除法法则逆运算进行化简。
在运算过程中，每个根式可以看做一个单项式。分母中含有根式的，要先进行分母有理化。
类型题总结：1、判断二次根式；二次根式有意义的条件；二次根式性质的两种用法：已知
取值再化简、给你化简过程，判断未知数的取值范围。2、几个非负数之和为0，则每个非
负数都得0（平方、绝对值、二次根式）。3、判断最简二次根式必须满足两个基本条件。
来的式子叫做代数式。例如：3；x；x+y；（x≥0）；-ab；x 都是代数式。
5、二次根式乘法法则： · = （a≥0，b≥0），把被开方数相乘，根指数不变。
逆运算： = · （a≥0，b≥0），积的算术平方根等于积中各因式的算数平方根的积。
6、二次根式除法法则： = （a≥0，b＞0），把被开方数相除，根指数不变。带先化假。
被开方数：是带分数要化成假分数、是小数要化成分数、是多项式要先进行因式分解。
9、二次根式加减：将几个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。

八下数学第十六章知识点总结

八下数学第十六章知识点总结一、二次根式的概念。

1. 二次根式的定义。

- 形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。

例如√(4)，√(x + 1)(x≥ - 1)都是二次根式。

- 注意：被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。

当a < 0时，√(a)在实数范围内无意义。

2. 二次根式的性质。

- (√(a))^2=a(a≥0)。

例如(√(3))^2 = 3。

- √(a^2)=| a|=a(a≥0) - a(a < 0)。

例如√((-2)^2)=| - 2|=2。

二、二次根式的乘除。

1. 二次根式的乘法法则。

- √(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。

例如√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。

- 可以推广到多个二次根式相乘：√(a_1)·√(a_2)·s√(a_n)=√(a_1)a_{2·sa_n}(a_1≥0,a_2≥0,·s,a_n≥0)。

2. 二次根式的除法法则。

- (√(a))/(√(b))=√((a/b))(a≥0,b > 0)。

例如(√(8))/(√(2))=√((8/2))=√(4) = 2。

三、二次根式的加减。

1. 最简二次根式。

- 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：- 被开方数不含分母；例如√((1/3))不是最简二次根式，化为(√(3))/(3)才是最简形式。

- 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例如√(8)不是最简二次根式，因为8 = 2^3，√(8)=2√(2)，2√(2)是最简二次根式。

2. 同类二次根式。

- 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

例如√(12)=2√(3)和√(27) = 3√(3)是同类二次根式。

3. 二次根式的加减法则。

- 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。

八年级下册数学第十六章知识点

八年级下册数学第十六章知识点八年级下册数学第十六章的知识点主要包括：
1.二次根式的概念：二次根式是一种特殊的数学表达式，它表示一个数的平方根。

例如，√4表示4的平方根，即2。

2.二次根式的性质：二次根式具有一些基本的性质，如非负性、唯一性等。

这些性质在解题过程中非常重要。

3.二次根式的运算：二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法。

在进行这些运算时，需要遵循一些基本的运算法则和步骤。

4.最简二次根式：最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母。

化简二次根式时，需要将其化为最简形式。

5.二次根式的乘法和除法：二次根式的乘法和除法运算有一定的法则和步骤。

例如，在进行乘法运算时，需要将被开方数相乘，并将根指数相加；在进行除法运算时，需要将被开方数相除，并将根指数相减。

6.二次根式的加减法：对于同类二次根式，可以直接进行加减运算。

但对于不同类的二次根式，需要先进行通分或化简，然后再进行加减运算。

以上是八年级下册数学第十六章的主要知识点。

在学习过程中，需要充分理解这些概念和性质，掌握基本的运算法则和步骤，并通过大量的练习来巩固和提高自己的数学能力。