第二章 插值b

L1*(x)在每个小区间是上 在每个小区间是上f(x)的插值一次式，因此称为分段线 的插值一次式， 在每个小区间是上 的插值一次式 因此称为分段线 性插值。 性插值。
失去了原函数的光滑性。 失去了原函数的光滑性。 光滑性
同理，可以进行分段抛物线插值 (分段二次插值 同理，可以进行分段抛物线插值 分段二次插值) 分段二次插值
f [ xi , x j ] − f [ x j , xk ] f [ xi , x j , xk ] = (i ≠ k ) xi − xk
2阶差商 阶差商
§2 Newton’s Interpolation
(k+1)阶差商： 阶差商： 阶差商 f [ x0 , x1 , ... , xk ] − f [ x1 , ... , xk , xk +1 ] f [ x0 , ... , xk +1 ] = x 0 − x k +1 f [ x0 , ... , xk −1 , xk ] − f [ x0 , ... , xk −1 , xk +1 ] = x k − x k +1
§2 Newton’s Interpolation
牛顿公式
Nn ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1](x − x0 ) + ...+ f [ x0 , ... , xn ](x − x0 )...(x − xn−1 )
牛顿前差公式 /* Newton’s forward-difference formula */ 设 x = x 0 + t h ，则 N n ( x ) = N n ( x 0 + t h ) = Σ t ∆k f ( x 0 )
f [x0, x1 , x2] …… …… f [xn−2, xn−1, xn] − − f [xn−1, xn, xn+1] −
f [x0, …, xn] f [x1, …, xn+1] f [x0, …, xn+1]
§2 Newton’s Interpolation
等距节点公式 /* Formulae with Equal Spacing */ 等距分布时 当节点等距分布时: 当节点等距分布时 x i = x 0 + i h ( i = 0 , ... , n ) 向前差分
§2 Newton’s Interpolation
牛顿插值 /* Newton’s Interpolation */
Nn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )(x − x1 ) + ... + an ( x − x0 )...(x − xn−1 )
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x, x0 ]
向后差分
/* backward difference */
中心差分
/* centered difference */
δ k f i = δ k −1 f i + − δ k − 1 f i −
1 2
1 2
h 其中 f i ± = f ( x i ± 2 )
1 2
§2 Newton’s Interpolation
∇ k f ( xn )
时用前插， 时用后插， 注：一般当 x 靠近 x0 时用前插，靠近 xn 时用后插，故两 种公式亦称为表初公式 表末公式。 表初公式和 种公式亦称为表初公式和表末公式。
§4 分段低次插值
/* piecewise polynomial approximation */
1 1 + x2
1 + (x − x0) × 2 + … … + (x − x0)…(x − xn−1) × −
n−1 −
f ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + ...
+ f [ x 0 , ... , x n ]( x − x 0 )...( x − x n −1 )
Nn( x) = f ( xn ) + f [xn , xn−1](x − xn ) + ...+ f [xn , ..., x0 ](x − xn )...(x − x1 )
设 x = x n + t h ，则 N n ( x ) = N n ( xn + t h) = Σ (−1)k
k =0
n
−t k
函数值可由差分值算出： 函数值可由差分值算出：
f [ x0 , ... , x k ] = ∆k f 0 k! hk
f n+k = Σ n ∆ j f k j j =0
n
由 Rn 表达式
f
(k )
∇k f n f [ xn , xn −1 , ... , xn − k ] = k ! hk
∆k f 0 (ξ ) = k h
差分的重要性质： 差分的重要性质： 线性： 线性：例如 ∆ ( a f ( x ) + b g ( x )) = a ∆ f + b ∆ g 若 f (x)是 m 次多项式，则 ∆k f ( x) (0 ≤ k ≤ m) 是 m − k 次多项 是 次多项式， k 式，而 ∆ f ( x ) = 0 ( k > m ) 差分值可由函数值算出： 差分值可由函数值算出：
只附加一项上去即可。 只附加一项上去即可。 上去即可 差商( 差商(亦称均差) /* divided difference */
f ( xi ) − f ( x j ) f [ xi , x j ] = xi − x j (i ≠ j, xi ≠ x j )
1阶差商 /* the 1st 阶差商
divided difference of f w.r.t. xi and xj */
f ( xi ) 事实上 f [ x0 , ... , xk ] = ∑ ′ i = 0 ω k +1 ( x i )
′ 其中 ω k +1 ( x ) = ∏ ( x − xi ) , ω k + 1 ( x i ) = ∏ ( x i − x j )
i =0
j=0 j≠i
k
k
k
Warning: my head is exploding… 差商的值与 of的顺序无关！ What is the pointxi 的顺序无关！ this formula?
f ( k ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x k ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) k!
实际计算过程为
f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn−1) − f (xn) f (xn+1) f [x0, x1] f [x1, x2] …… …… f [xn−1, xn] − f [xn, xn+1]
+ f [ x , x0 , ... , xn ]( x − x0 )...( x − xn−1 )( x − xn )
Nn(x)
ai = f [ x0, …, xi ]
Rn(x)
§2 Newton’s Interpolation
注：
由唯一性可知 Nn(x) ≡ Ln(x)， 只是算法不同，故其 ， 只是算法不同， 余项也相同， 余项也相同，即 f ( n +1 ) (ξ x ) f [ x , x 0 , ... , x n ]ω k +1 ( x ) = ω k +1 ( x ) ( n + 1) !
/* forward difference */
∆ f i = f i +1 − f i ∆k f i = ∆k − 1 ( ∆ f i ) = ∆k − 1 f i + 1 − ∆k − 1 f i ∇f i = f i − f i−1 − ∇ k fi = ∇ k −1 f i − ∇ k −1 f i −1
n ∆ f k = Σ ( − 1) f n+ k − j j j=0
n j n
∇ f k = Σ (−1)n− j
n j =0
n
n f k + j −n j
其中
n n ( n − 1 )...( n − j + 1 ) = j j!
/* binomial coefficients */
f ( n+1) (ξ ) Rn ( x ) = t ( t − 1)...( t − n)hn+1 , ξ ∈ ( x0 , x n ) ( n + 1)!
k =0 n
k
牛顿后差公式 /* Newton’s backward-difference formula */ 将节点顺序倒置： 将节点顺序倒置：
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + ( x − x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
1 2
n−1 −
…………
f [ x, x0 , ... , xn−1 ] = f [ x0 , ... , xn ] + ( x − xn ) f [ x, x0 , ... , xn ] n−
§3 牛顿插值
/* Newton’s Interpolation */
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 都需重新算过。 全部基函数 li(x) 都需重新算过。
? ? 将 Ln(x) 改写成 a0?+ a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )(x − x1 ) + ... + a? ( x − x0 )...(x − xn−1 ) 的形式，希望每加一个节点时， 的形式，希望每加一个节点时， n