最新2019-2020年度湘教版九年级数学上学期期中考试模拟试题及答案解析-精编试题

湘教版九年级数学上册期中模拟考试试卷与解析一．选择题（共8小题）1．把一元二次方程（1﹣x ）（2﹣x ）=3﹣x 2化成一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中a 、b 、c 分别为（ ） A ．2、3、﹣1B ．2、﹣3、﹣1C ．2、﹣3、1D ．2、3、12．如图，反比例函数y kx=的图象经过点A （2，1），若y ≤1，则x 的范围为（ ）A ．x ≥1B ．x ≥2C ．x ＜0或0＜x ≤1D ．x ＜0或x ≥2 3．（2016•临沂模拟）若35a b a -=，则a ba+=（ ） A ．1B ．57C ．75D ．744．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252- B ．25- C ．251- D ．5-25．如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A ，B ，线段AB 与网格线的交点为M 、N ，则AM ：MN ：NB 为（ ）A ．3：5：4B ．1：3：2C ．1：4：2D ．3：6：56．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD 的面积为（）A．30 B．27 C．14 D．327．y=k-1x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根8．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为（）A．1 B．2 C．34D．54二．填空题（共8小题）9．己知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）= ．10．已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016= ．11．设有反比例函数，（x1，y1）（x2，y2）为其图象上两点，若x1＜0＜x2，y1＞y2，则k的取值范围是．12．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点A，若S△ABO=3，则k的值为．13．已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为．14．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．15．如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为．16．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为．三．解答题（共10小题）17．（1）解方程：x2=3（x+1）．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．18．已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a﹣2b+3c的值．19．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG=AF•AB．20．如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）和反比例函数y2=m（m≠0）的图象交于点A（﹣1，6），xB（a，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．21．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣1）=02（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．22．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：售价x（元/千克）…50 60 70 80 …销售量y（千克）…100 90 80 70 …（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？23．如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．24．如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OE•OF．25．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3如图2，△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．26．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q做QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC﹣CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动，设移动时间为t秒（如图2）．（1）求△BCQ的面积S与t的函数关系式．（2）t为何值时，QP∥AC？（3）t为何值时，直线QR经过点P？（4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围．湘教版九年级数学上册期中模拟考试试卷与解析一．选择题（共8小题）1．（2016春•萧山区期中）把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a ≠0）其中a、b、c分别为（）A．2、3、﹣1 B．2、﹣3、﹣1 C．2、﹣3、1 D．2、3、1【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值．【解答】解：原方程可整理为：2x2﹣3x﹣1=0，∴a=2，b=﹣3，c=﹣1；故选B．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．当所给方程不是一般形式时，一定要化为一般形式，再确定各项系数的值．2．（2016•丹东模拟）如图，反比例函数y k的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为x（）A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥2【分析】找到纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为x≥2；在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为x＜0．故选D．【点评】本题考查的是给定函数的取值范围确定自变量的取值，可直接由函数图象得出．3．（2016•临沂模拟）若35a b a -=，则a ba+=（ ） A ．1B ．57C ．75D ．74【分析】根据两内项之积等于两外项之积整理并用a 表示出b ，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：∵35a b a -=， ∴5（a ﹣b ）=3a ， 整理得，b=25a ， 所以，a ba +==75． 故选C ．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．4．（2016•闸北区一模）已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252- B ．25- C ．251- D ．5-2【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP=5-12AB ，代入数据即可得出AP 的长．【解答】解：由于P 为线段AB=4的黄金分割点， 且AP 是较长线段； 则AP=4×5-12=25﹣2． 故选A ．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（5-12）叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-52，较长的线段=原线段的5-12是解题的关键．5．（2016•路北区三模）如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，则AM：MN：NB为（）A．3：5：4 B．1：3：2 C．1：4：2 D．3：6：5【分析】过A点作AE⊥BE，交于点E，连接MC、ND、BE，根据已知条件得出MC∥ND∥BE，再根据平行线分线段成比例即可得出答案．【解答】解：过A点作AE⊥BE，交于点E，连接MC、ND、BE，∵是一个正方形，∴MC∥ND∥BE，∴AM：MN：NB=AC：CD：DE=1：3：2，∴AM：MN：NB=1：3：2．故选：B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例，作出辅助线，找准对应关系是解决本题的关键．6．（2016•内蒙古）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（）A．30 B．27 C．14 D．32【分析】用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，CD∥AB，BC∥AB，∴△BEF∽△AED，∵，∴，∴，∵△BEF的面积为4，∴S△AED=25，∴S四边形ABFD=S△AED﹣S△BEF=21，∵AB=CD，，∴，∵AB∥CD，∴△BEF∽△CDF，∴，∴S△CDF=9，∴S平行四边形ABCD=S四边形ABFD+S△CDF=21+9=30，故选A．【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．7．（2016•黔南州）y=k-1x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【分析】由一次函数的定义可求得k 的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．【解答】解：∵y=k-1x+1是关于x 的一次函数， ∴k-1≠0，∴k ﹣1＞0，解得k ＞1，又一元二次方程kx 2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k ，∴△＜0，∴一元二次方程kx 2+2x+1=0无实数根，故选A ．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即①△＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＜0⇔一元二次方程无实数根．8．（2016•汕头校级自主招生）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．34D ．54【分析】根据判别式的意义得到m ≤23，再利用根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=m 2+3m ﹣2，所以x 1（x 2+x 1）+22x =（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=3m 2﹣3m+2，利用配方法得到原式=3（m ﹣12）2+54，然后利用非负数的性质可判断x 1（x 2+x 1）+22x 的最小值为54． 【解答】解：根据题意得△=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）≥0，解得m ≤23 x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=m 2+3m ﹣2，x 1（x 2+x 1）+22x =（x 2+x 1）2﹣x 1x 2 =4m 2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m﹣12）2+54，所以m=12时，x1（x2+x1）+22x有最小值，最小值为54．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=﹣ba，x1x2=ca．也可考查了非负数的性质．二．填空题（共8小题）9．（2016•薛城区一模）己知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）= 14 ．【分析】把x=m代入已知方程来求（m2﹣2m）的值．【解答】解：把x=m代入关于x的方程x2﹣2x﹣7=0，得m2﹣2m﹣7=0，则m2﹣2m=7，所以2（m2﹣2m）=2×7=14．故答案是：14．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．10．（2016春•当涂县期末）已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016= 1 ．【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．【解答】解：由（x+m）2=3，得：x2+2mx+m2﹣3=0，∴2m=4，m2﹣3=n，∴m=2，n=1，∴（m﹣n）2016=1，故答案为1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．（2016•新县校级模拟）设有反比例函数，（x1，y1）（x2，y2）为其图象上两点，若x1＜0＜x2，y1＞y2，则k的取值范围是k＜﹣2 ．【分析】先根据x1＜0＜x2，y1＞y2判断出k+2的符号，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵（x1，y1）（x2，y2）为反比例函数图象上两点，x1＜0＜x2，y1＞y2，∴k+2＜0，解得k＜﹣2．故答案为：k＜﹣2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．12．（2016•包头）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点A，若S△ABO=3，则k的值为﹣33．【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，由∠AOB=30°可得出ODAD=3，再根据BA=BO可得出∠ABD=60°，由此可得出BDAD =33，根据线段间的关系即可得出线段OB、OD间的比例，结合反比例函数系数k的几何意义以及S△ABO=3即可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．∵∠AOB=30°，AD⊥OD，∴ODAD=cot∠AOB=3，∵∠AOB=30°，AB=BO，∴∠AOB=∠BAO=30°，∴∠ABD=60°，∴BDAD =cot∠ABD=33，∵OB=OD﹣BD，∴=23，∴=23，∵S△ABO=3，∴S△ADO=12|k|=332，∵反比例函数图象在第二象限，∴k=﹣33故答案为：﹣33．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、特殊角的三角函数值以及比例的计算，解题的关键是根据线段间的关系找出OB、OD间的比例．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据特殊角的三角函数值找出线段间的关系是关键．13．（2016•朝阳）已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2）．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．【解答】解：∵点B的坐标为（﹣2，﹣4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．14．（2016春•莱芜期末）如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= 4或6 ．【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM=∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故AM AN MNAB AC BC==，则3 9=12 MN，解得：MN=4，如图2所示：当∠ANM=∠B时，又∵∠A=∠A，∴△ANM∽△ABC，∴AM MNAC BC=，即36=12 MN，解得：MN=6，故答案为：4或6．【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．15．（2016•虹口区一模）如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4 ．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4，故答案为：1：4．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．16．（2016•甘孜州）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为（8，0）．【分析】根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案．【解答】解：∵点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），∴OP1=1，OP2=2，∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3，∴=，即1=，2解得，OP3=4，∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，=，∴=，即24解得，OP4=8，则点P4的坐标为（8，0），故答案为：（8，0）．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．三．解答题（共10小题）17．（2016春•绍兴期末）（1）解方程：x2=3（x+1）．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【分析】（1）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）整理得：x2﹣3x﹣3=0，∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）=21，x=，∴x1=3+212，x2=3-212；（2）x2﹣2x﹣24=0，x2﹣2x=24x2﹣2x+1=24+1，（x﹣1）2=25，x﹣1=±5，x1=6，x2=﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．18．（2015秋•瑶海区期中）已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a﹣2b+3c的值．【分析】根据比例的性质可设a=2k，b=3k，c=4k，则利用2a+3b﹣2c=10得到4k+9k﹣8k=10，解得k=2，于是可求出a、b、c的值，然后计算a﹣2b+3c的值．【解答】解：∵a：b：c=2：3：4，∴设a=2k，b=3k，c=4k，而2a+3b﹣2c=10，∴4k+9k﹣8k=10，解得k=2，∴a=4，b=6，c=8，∴a﹣2b+3c=4﹣12+24=16．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．19．（2015秋•莲湖区期中）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG=AF•AB．【分析】（1）由平行可得AD AE AB AC=，可求得AC ，且EC=AC ﹣AE ，可求得EC ； （2）由平行可知AD AE AF AB AC AG ==，可得出结论． 【解答】（1）解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE AB AC=， 又13AD AB =，AE=3， ∴313AC =， 解得AC=9，∴EC=AC ﹣AE=9﹣3=6；（2）证明：∵DE ∥BC ，EF ∥CG ， ∴AD AE AF AB AC AG==， ∴AD•AG=AF•AB．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．20．（2016•广安）如图，一次函数y 1=kx+b （k ≠0）和反比例函数y 2=m x（m ≠0）的图象交于点A （﹣1，6），B （a ，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出y 1＞y 2时，x 的取值范围．【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）找出直线在一次函数图形的上方的自变量x的取值即可．【解答】解：（1）把点A（﹣1，6）代入反比例函数y2=m（m≠0）得：xm=﹣1×6=﹣6，∴．将B（a，﹣2）代入得：﹣2=，a=3，∴B（3，﹣2），将A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入一次函数y1=kx+b得：∴∴y1=﹣2x+4．（2）由函数图象可得：x＜﹣1或0＜x＜3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式，难度中等．21．（2016•蓝山县校级自主招生）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）先计算判别式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k﹣3）2=0，解得k=32，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k=52，则方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC 的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）=4k2+4k+1﹣16k+8，=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2，∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k=32，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣12）=0，解得k=52，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，所以△ABC的周长=4+4+2=10．【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．22．（2016•宁津县二模）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y （千克）与售价x （元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表： 售价x （元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y （千克）…100908070…（1）求y 与x 的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？【分析】（1）根据图表中的各数可得出y 与x 成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y 与x 的关系式．（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b （k ≠0），根据题意得501006090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1150k b =-⎧⎨=⎩． 故y 与x 的函数关系式为y=﹣x+150（0≤x ≤90）；（2）根据题意得（﹣x+150）（x ﹣20）=4000，解得x 1=70，x 2=100＞90（不合题意，舍去）．答：该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用待定系数法求出一次函数的解析式与列出方程．23．（2016•玉林）如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC 进行位似变换得到△A 1B 1C 1． （1）△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比是 2：1 ； （2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2；（3）设点P （a ，b ）为△ABC 内一点，则依上述两次变换后，点P 在△A 2B 2C 2内的对应点P 2的坐标是 （﹣2a ，2b ） ．【分析】（1）根据位似图形可得位似比即可；（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；（3）根据三次变换规律得出坐标即可．【解答】解：（1））△A1B1C1与△ABC的位似比等于==2；（2）如图所示（3）点P（a，b）为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（﹣2a，2b）．故答案为：1，（﹣2a，2b）．2【点评】此题考查作图问题，关键是根据轴对称图形的画法和位似图形的性质分析．24．（2016•临夏州）如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OE•OF．【分析】（1）由EC∥AB，∠EDA=∠ABF，可证得∠DAB=∠ABF，即可证得AD∥BC，则得四边形ABCD为平行四边形；（2）由EC∥AB，可得OAOE =OBOD，由AD∥BC，可得OBOD=OFOA，等量代换得出OAOE=OFOA，即OA2=OE•OF．【解答】证明：（1）∵EC∥AB，∴∠EDA=∠DAB，∵∠EDA=∠ABF，∴∠DAB=∠ABF，∴AD∥BC，∵DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∴OAOE =OB OD，∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴OBOD =OF OA，∴OAOE =OF OA，∴OA2=OE•OF．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．25．（2016•宁波）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得BCBA =DBBC，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =DBBC，设BD=x，∴（2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=3﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC =DBBC=，∴CD=×2=6﹣2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．26．（2016•淮阴区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q做QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC﹣CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动，设移动时间为t秒（如图2）．（1）求△BCQ的面积S与t的函数关系式．（2）t为何值时，QP∥AC？（3）t为何值时，直线QR经过点P？（4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围．【分析】（1）过C作CD垂直于AB于D点，由AB及AQ的长，利用AB﹣AQ表示出QB的长，直角三角形ABC的面积有两种求法，两直角边乘积的一半，或斜边乘以斜边上的高的一半，两种求法表示的面积相等可得出CD的长，三角形BQC以QB为底边，CD为高，利用三角形的面积公式即可求出；（2）当PQ∥AC时，利用两直线平行得到两对同位角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到△BPQ∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值；（3）分三种情况讨论即可：①当Q、P均在AB上时，可得出AP=6t，AQ=2+2t，令AP=AQ列出关于t的方程，求出方程的解得到此时t的值；②当P在BC上时，如图所示，由一对直角相等及一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形BPQ与三角形ABC相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解得到此时t的值；③当P在AC上不存在QR经过点P，综上，得到所有满足题意的t的值；（4）抓住两种临界情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+2t﹣6t=2﹣4t，由△APN∽△ACB得PNBC =APAC，求出此时的t值；当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得BPBC =PNAC，进而求出此时的t值，综上两种情况，可得出以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部时t的取值范围．【解答】解：（1）过C作CD⊥AB于D点，如图所示：∵AB=10，AQ=2+2t，∴QB=AB﹣AQ=10﹣（2+2t）=8﹣2t，在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，根据勾股定理得：BC=6，∵12AC•BC=12AB•CD，即12×6×8=12×10×CD，∴CD=245，则S△BCQ=12QB•CD=125（8﹣2t）=﹣245t+965（0≤t≤4）；（2）当PQ∥AC时，可得∠BPQ=∠C，∠BQP=∠A，∴△BPQ∽△BCA，又BQ=8﹣2t，BP=6t﹣10，∴BQBA =BPBC，即=，整理得：6（8﹣2t）=10（6t﹣10），解得：t=3718，则t=3718时，QP∥AC；（3）①当Q、P均在AB上时，AP=6t，AQ=2+2t，可得：AP=AQ，即6t=2+2t，解得：t=0.5s；②当P在BC上时，P与R重合，如图所示：∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BPQ∽△BAC，∴BPAB =BQBC，又BP=6t﹣10，AB=10，BQ=8﹣2t，BC=6，∴=，即6（6t﹣10）=10（8﹣2t），解得：t=2.5s；③当P在AC上不存在QR经过点P，综上，当t=0.5s或2.5s时直线QR经过点P；（4）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，如图所示：∵AP=6t，AQ=2+2t，∴PQ=AQ﹣AP=2+2t﹣6t=2﹣4t，∵四边形PQMN是正方形，∴PN=PQ=2﹣4t，∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△APN∽△ACB，∴PNBC =APAC，即=，解得：t=417，当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，如图所示：由题意得：BP=10﹣6t，PN=PQ=4t﹣2，∵∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B，∴△BPN∽△BCA，∴BPBC =PNAC，即=，整理得：8（10﹣6t）=6（4t﹣2），解得：t=2318，∵t=0.5时点P与点Q重合，∴4 17≤t≤2318且t≠0.5时正方形PQMN在Rt△ABC内部．【点评】本题是一道综合性较强的题目，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及正方形的性质，是中考压轴题，难度较大．。