(完整版)2017新湘教版九年级数学上知识点,推荐文档

（一）反比例函数湘教版九年级数学上册第一章反比例函数

1.（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变

量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2.（）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k，从而

得到反比例函数的解析式；

（二）反比例函数的图象与性质

1.函数解析式：（）

2.自变量的取值范围：

3.图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为0，

且x 应对称取点（关于原点对称）．

（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x 轴、y 轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

4．k 的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A 点，PB⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC 的面积为．

图1 图2

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概

而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，

两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（三）反比例函数的应用

1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

2、反比例函数与一次函数的联系．

3、充分利用数形结合的思想解决问题．

第二章一元二次方程

（一）一元二次方程

1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为ax2 +bx +c = 0 （a、b、c 为常

数，

a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

2、把ax2 +bx +c = 0 （a、b、c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a 为二次项系数；b 为一

次项系数；c 为常数项（包括符号）。

（二）一元二次方程的解法

1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；

如果方程能化成(p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。

2、配方法：配方式

基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成 1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成左边为一个完全平方式，

右边化为一个常数；两边开方求其根。

3、公式法x =-b ±b2 - 4ac

（注意在找 a、b、c 时须先把方程化为一般形式）

2a

4、分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”

(x

1

+x )

22 - 4x x

1 2

x

和“十字相乘”）

（3）一元二次方程根的判别式

判别式⊿=b2-4ac 与根的关系：

当 b2-4ac>0 时，则方程有两个不等的实数根；

当 b2-4ac=0 时，则方程有两个相等的实数根；

当b2-4ac≥0时，则方程有两个实数根；

当 b2-4ac<0 时，则方程无实数根

（，上述结论反之也成立，但注意都同时要满足二次项系数 a≠0）

（四）一元二次方程根与系数的关系：

1、根与系数关系：如果一元二次方程ax2 +bx +c = 0 的两根分别为 x1、x2，则有：

x +x =-b

, x ⋅x =

c

.（韦达定理）

1 2 a 1 2 a

2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根 x1、x2的对称代数式的值，特别注意以下公式：

① x2+x2= (x +x )2-2x x ② 1 +1 =x1 +x2 ③(x -x )2= (x +x )2- 4x x

1 2 1 2 1 2

1 2x

1

x

2

1 2 1 2 1 2

④ | x -x |=⑤(| x | + | x |)2 = (x +x )2 - 2x x + 2 | x x |

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

⑥ x3+x3= (x +x )3- 3x x (x +x ) ⑦其他能用x +x 或x x 表达的代数式。

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

（3）已知方程的两根 x 、x ，可以构造一元二次方程：x2 - (x +x )x +x x = 0 ，

1 2 1 2 1 2

（4）已知两数 x 、x 的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程x2 - (x +x )x +x x = 0

1 2 1 2 1 2

的两根。

（五）一元二次方程的应用

1、配方法作用：一元二次方程配方可以解该方程：ax 2 +bx +c = 0

（a≠0）（两边同时除以 a 得）

x2 +b

x +

c

= 0 （一次项系数

b

除以2 并写成完全平方式得）（可作为公式记a a a

忆）

。。。。。。

2、二次代数式配方可以求最值（应用题常考）：二次代数式ax2 +bx +c

提取二次项系数 a 得=a(x2 +b

x) +c

a

（不能同时除以二次项系数 a）

合并常数项得=a(x +b 2

) +

4ac -b2

2a 4a

（作为公式记忆，一步化到位）x