一元二次方程根地情况精彩试题练习题
(完整版)一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程的根的判别式1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。
2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。
3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。
4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。
5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。
6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。
7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。
8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。
9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况：(1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0)(2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=010、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根?11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0也无实根。
14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。
15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个实数根；(3)有两个相等的实数根；(4)无实数根。
16、当一元二次方程(2k －1)x2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。
根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok
一元二次方程专项练习60题1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当时，求m的值．2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0，（1）若方程的一根为0，求实数a的值；（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0．（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值．8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0．（1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+12m+x22=10，求m的值．11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12=11﹣x22，求k的值．12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根（1）求m的取值范围；（2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣2=0．（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根之积等于m2+9m﹣11，求的值．14．一元二次方程x2+kx﹣（k﹣1）=0的两根分别为x1，x2．且x12﹣x22=0，求k值．15．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．16．关于x的方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．17．已知关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，求n的整数值．18．关于的方程2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0有三个实数根分别为α、β、x0，其中根x0与m无关．（1）如（α+β）x0=﹣3，求实数m的值．（2）如α＜a＜b＜β，试比较：与的大小，并说明你的理由．19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．20．已知关于x的方程x2+（2m﹣3）x+m2+6=0的两根x1，x2的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以为两根的一元二次方程．21．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．问：（1）当k为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值．22．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．23．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根，求m的值．24．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．26．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．27．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当（x1+x2）•（x1﹣x2）=0时，求m的值．（友情提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则：，）28．关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．29．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．30．已知关于x的方程k有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两实根为x1和x2（x1≠x2），那么是否存在实数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．31．已知：关于x的方程x2+kx+k﹣1=0（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）=0，求k的值．32．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．33．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，（1）求a的取值范围；（2）若5x1+2x1x2=2a﹣5x2；求a的值．34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．35．一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0，（1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数？（2）m为何实数时，方程的一个根为零？（3）是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数？36．已知一元二次方程kx2+x+1=0（1）当它有两个实数根时，求k的取值范围；（2）问：k为何值时，原方程的两实数根的平方和为3？37．关于x的方程为x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）证明：方程有两个不相等的实数根．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．38．已知：关于的方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．39．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m为何值时，方程总有两个实数根？（2）设方程的两实根分别为x1、x2，当x12+x22﹣x1x2=78时，求m的值．40．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个实数根，且=1时求m的值．41．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程有一根为2，求m的值，并求出此时方程的另一根．42．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7．求（x1﹣x2）2的值．43．已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．44．若关于x的一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．45．已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是x=﹣2，求k的值以及方程的另一根．46．已知x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，且满足（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，求m的值．47．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）若两个实数根平方和等于5，求k的值．48．若关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和是2，求m的值．49．m为何值时，方程2x2+（m2﹣2m﹣15）x+m=0两根互为相反数？50．已知△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，第三边长为10，问k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这个等腰三角形的周长．51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0（1）当k取什么值时，原方程有实数根；（2）对k选取一个合适的数，使方程有两个实数根，并求出这两个实数根的平方和．52．已知x1，x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，（1）当a取何值时，方程两根互为倒数？（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求a的值．53．已知关于x的方程（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．54．已知一元二次方程8x2﹣（2m+1）x+m﹣7=0，根据下列条件，分别求出m的值：（1）两根互为倒数；（2）两根互为相反数；（3）有一根为零；（4）有一根为1．55．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值．56．已知一元二次方程8y2﹣（m+1）y+m﹣5=0．（1）m为何值时，方程的一个根为零？（2）m为何值时，方程的两个根互为相反数？（3）证明：是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数．57．已知一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，求m的值及方程的另一个根．58．若关于x的方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，求a的值．59．已知△ABC的一边为5，另外两边恰是方程x2﹣6x+m=0的两个根．（1）求实数m的取值范围．（2）当m取最大值时，求△ABC的面积．60．已知等腰三角形的一边长a=1，另两边b、c恰是方程x2﹣（k+2）x+2k=0的两根，求△ABC的周长．参考答案：1．解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m ≤；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2，∵，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=7，∴（2m﹣1）2﹣2m2=7，整理得m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，∵m ≤，∴m=﹣12．解：（1）把x=0代入原方程得﹣a+1=0，解得a=1；（2）设方程两个为x1，x2，根据题意得x1+x2==0，解得a=±2，当a=﹣2时，原方程化为2x2+3=0，此方程无实数解，∴a=23．解：由根与系数的关系可得：x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，又知x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（k+1）2﹣2（k+2）=6 解得：k=±3．∵△=b2﹣4ac=（k+1）2﹣4（k+2）=k2﹣2k﹣7≥0，∴k=﹣34．解：（1）比如：取k=3，原方程化为3x2+8x﹣3=0．…（1分）即：（3x﹣1）（x+3）=0，解得：x1=﹣3，x2=；…（2分）（2）由16+k＞0，解得k ＞﹣．…（3分）∵当k=0时，原方程化为2x﹣3=0；解得：x=，∴当k=0时，方程有一个实数根…（4分）∵当k ＞﹣且k≠0时，方程kx2+2（k+1）x﹣3=0为一元二次方程，∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（﹣3）=4k2+8k+4+12k=4k2+20k+4=[（2k）2+2×2k×1+1]+（16k+3）=（2k+1）2+16k+3，…（5分）∵（2k+1）2≥0，16k+3＞0，∴△=（2k+1）2+16k+3＞0．…（6分）∴当k ＞﹣且k≠0时，一元二次方程kx2+2（k+1）x﹣3=0有两个不等的实数根5．解：（1）∵△=16m2﹣8（m+1）（3m﹣2）=﹣8m2﹣8m+16，而方程有两个相等的实数根，∴△=0，即﹣8m2﹣8m+16=0，求得m1=﹣2，m2=1；（2）因为方程有两个相等的实数根，所以两根之和为0且△≥0，则﹣=0，求得m=0；（3）∵方程有一根为0，∴3m﹣2=0，∴m=．6．解：根据条件知：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴+==﹣1，∴=﹣1，即：m2﹣2m﹣3=0，解得：m=3或﹣1，当m=3时，方程为x2+9x+9=0，此方程有两个不相等的实数根，当m=﹣1时，方程为x2+x+1=0，此方程无实根，不合题意，舍去，∴m=37．解：根据题意得△=（2m+3）2﹣4m2＞0，解得m ＞﹣；根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，则2m+3=m2，整理得m2﹣2m﹣3=0，即（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1，则m=38．（1）证明：方程根的判别式△=[2（2﹣m）]2﹣4×1×（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2）﹣4（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2﹣3+6m）=4（1+2m+m2）=4（m+1）2（4分）∵无论m为何实数，4（m+1）2≥0恒成立，即△≥0恒成立．（5分）∴无论m取何实数，方程总有实数根；（6分）（2）解：由根与系数关系得x1+x2=﹣2（2﹣m）（7分）由题知x1+x2=m，∴m=﹣2（2﹣m）（8分）解得m=4．9．解：（1）∵△=（8+k）2﹣4×8k=（k﹣8）2，∵（k﹣8）2，≥0，∴△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解方程x2﹣（8+k）x+8k=0得x1=k，x2=8，①当腰长为5时，则k=5，∴周长=5+5+8=18；②当底边为5时，∴x1=x2，∴k=8，∴周长=8+8+5=2110．解：（1）△=[2（1﹣m）]2﹣4m2=4﹣8m，∵方程有两根，∴△≥0，即4﹣8m≥0，∴m ≤．（2）∵x1+x2=2（1﹣m），x1•x2=m2，且x12+12m+x22=10，∴m2+2m﹣3=0，解得 m1=﹣3，m2=1，又∵m ≤，∴m=﹣311．解：（1）∵方程有两个实数根，∴k≠0且△=（2k+1）2﹣4k（k﹣2）≥0，解得：k ≥﹣且k≠0，∴k的取值范围：k ≥﹣且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵x12=11﹣x22，∴x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，∴﹣2（）=11，解得：k=﹣或k=1，∵k ≥﹣且k≠0，∴k=112．解：（1）∵方程x2+5x﹣m=0有两个实数根，∴△=25+4m≥0，解得：m ≥﹣；（2）将x=﹣1代入方程得：1﹣5﹣m=0，即m=﹣4，∴方程为x2+5x+4=0，设另一根为a，∴﹣1+a=﹣5，即a=﹣4，则m的值为﹣4，方程另一根为﹣413．解：（1）由题意得：△=[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣2）=m2+12，∵无论m取何值时，m2≥0，∴m2+12≥12＞0即△＞0恒成立，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程两根为x1，x2，由韦达定理得：x1•x2=m﹣2，由题意得：m﹣2=m2+9m﹣11，解得：m1=﹣9，m2=1，∴14．解：∵x12﹣x22=0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则x1+x2=﹣k=0，解得k=0，原方程变形为x2+1=0，此方程没有实数根，当x1﹣x2=0，则△=k2﹣4（k﹣1）=0，解得k1=k2=2，∴k的值为215．解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k 的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣316．解：（1）由△=[4（k+2）]2﹣4×4k•k＞0，∴k＞﹣1又∵4k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k理由：设方程4kx2+4（k+2）x+k=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又==﹣=0，∴k=﹣2，由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解，∴不存在符合条件的k的值17．解：∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x∴a2x2+2ax+3x+1=0，∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，∴=1，∴a=±1，∵12a+9≥0，∴a=1∴关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n可化简为：x2+2（1+n）x+（1+2n）=0∴x1=﹣1，x2=﹣1﹣2n，∵关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，∴0＜﹣1﹣2n＜2，∴n的整数值为﹣118．解：（1）由2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0得（x+1）（2x2﹣mx﹣2）=0，∴x0=﹣1，（2分）α、β是方程2x2﹣mx﹣2=0的根∴，∵（α+β）x0=﹣3，所以m=6（4分）（2）设T=﹣=（5分）∵a＜b，∴b﹣a＞0，又a2+1＞0，b2+1＞0，∴＞0（6分）设f（x）=2x2mx﹣2，所以α、β是f（x）=2x2mx﹣2与x轴的两个交点，∵α＜a＜b＜β∴，即∴ma+mb＞2a2+2b2﹣4（8分）∴4﹣4ab+ma+mb＞2（a﹣b）2＞0（9分）∴T＞0，即＞19．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1）=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…（3分）∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，即3（x12+x22）﹣10x1x2=﹣80，∴3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3（3a﹣1）2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴（5a+33）（a﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣20．解：（1）∵原方程有两实根∴△=（2m﹣3）2﹣4（m2+6）=﹣12m﹣15≥0得①…（3分）∵x1+x2=﹣（2m﹣3）x1x2=m2+6…（4分）又∵x1x2=2（x1+x2），∴m2+6=﹣2（2m﹣3）整理得m2+4m=0解得m=0或m=﹣4…（6分）由①知m=﹣4…（7分）（2）∵…（9分），…（11分）由韦达定理得所求方程为…21．解：（1）若方程有实数根，则△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，∴k ≤，∴当k ≤，时，此方程有实数根；（2）∵此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，∴（|x1|+|x2|）2=9，∴x12+x22+2|x1x2|=9，∴（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，而x1+x2=2k﹣3，x1x2=k2+1，∴（2k﹣3）2﹣2（k2+1）+2（k2+1）=9，∴2k﹣3=3或﹣3，∴k=0或3，k=3不合题意，舍去；∴k=022．解：方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2=0，∵关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2，∴△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m ≥﹣；∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2，则△=0，所以m=﹣，当x1=﹣x2，即x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，而m≥﹣，所以m=﹣1舍去，∴m 的值为﹣23．解：∵a=1，b=﹣2（2m﹣3），c=4m2﹣14m+8，∴△=b2﹣4ac=4（2m﹣3）2﹣4（4m2﹣14m+8）=4（2m+1）．∵方程有两个整数根，∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数．∵4＜m＜40，∴9＜2m+1＜81，∴2m+1=16，25，36，49或64，∵m为整数，∴m=12或24．代入已知方程，得x=16，26或x=38，52．综上所述m为12，或2424．解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且△=﹣12k+13＞0，可解得且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2，∵x1+x2=0，∴，∴，又∵且k≠1∴k不存在25．解：设关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，则：x1+x2=m，x1•x2=2m﹣1，∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=m2﹣2（2m﹣1）=m2﹣4m+2=23，解得：m1=7，m2=﹣3，当m=7时，△=m2﹣4（2m﹣1）=﹣3＜0（舍去），当m=﹣3时，△=m2﹣4（2m﹣1）=37＞0，∴m=﹣326．解：设x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=2（2﹣m），x1x2=m2+4，∵这两根的平方和比两根的积大21，∴x12+x22﹣x1x2=21，即：（x1+x2）2﹣3x1x2=21，∴4（m﹣2）2﹣3（m2+4）=21，解得：m=17或m=﹣1，∵△=4（m﹣2）2﹣4（m2+4）≥0，解得：m≤0．故m=17舍去，∴m=﹣127．解：∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴△=（2m﹣1）2﹣4m2=1﹣4m≥0，解得：m ≤；（2）∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴x1+x2=1﹣2m，x1x2=m2，∴（x1+x2）•（x1﹣x2）=0，当1﹣2m=0时，1﹣2m=0，解得m=（不合题意）．当x1=x2时，（x1+x2）2﹣4x1x2=4m2﹣4m+1﹣4m2=0，解得：m=．故m 的值为：28．解：（1）依题意得△=（k+2）2﹣4k •＞0，解之得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=6，即（k+1）2﹣2（k+2）=6，解得：k=±3，当k=3时，△=16﹣4×5＜0，∴k=3（舍去）；当k=﹣3时，△=4﹣4×（﹣1）＞0，∴k=﹣329．解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=530．解：（1）由＞0，解得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k，理由如下：∵，，又，∴，解得经检验k=﹣是方程的解．由（1）知，当时，△＜0，故原方程无实根∴不存在符合条件的k的值31．（1）证明：△=k2﹣4（k﹣1）=k2﹣4k+4=（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程一定有两个实数根；（2）根据题意得x1+x2=﹣k，x1•x2=k﹣1，∵（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则﹣k=0，解得k=0，当x1﹣x2=0，则△=0，即（k﹣2）2=0，解得k=2，∴k的值为0或232．解：∵关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，∴①，②∵2x1x2=x1﹣3x2，∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2+4x1x2（x1+x2）=3（x1+x2）2﹣16x1x2，将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，当a=3时，原方程可化为10x2﹣12x+2=0，△=122﹣4×10×2=64＞0，原方程成立；当a=﹣1时，原方程可化为2x2+4x+2=0，△=42﹣4×2×2=0，原方程成立．∴a=3或a=﹣133．解：（1）根据题意得a﹣1≠0且△=4﹣4（a﹣1）＞0，解得a＜2且a≠1；（2）根据题意得x1+x2=，x1•x2=，∵5x1+2x1x2=2a﹣5x2，∴5（x1+x2）+2x1x2=2a，∴+=2a，整理得a2﹣a﹣6=0，解得a1=3，a2=﹣2，∵a＜2且a≠1，∴a=﹣234．解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k ﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．35．解：（1）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为相反数，∴x1+x2==0，解得m=1；（2）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的一个根为零，∴x1•x2==0，解得m=7；（3）设存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为倒数，则x1•x2==1，解得m=15；则原方程为4x2﹣7x+4=0，△=49﹣4×4×4=﹣15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m36．解：（1）∵方程有两个实数根，∴△=1﹣4k≥0且k≠0．故k ≤且k≠0．（2）设方程的两根分别是x1和x2，则：x1+x2=﹣，x1x2=，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，=﹣=3，整理得：3k2+2k﹣1=0，（3k﹣1）（k+1）=0，∴k1=，k2=﹣1．∵k ≤且k≠0，∴k=（舍去）．故k=﹣137．（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数．由题知：x1+x2=﹣（m+2）=0，解得：m=﹣2，将m=﹣2代入x2+（m+2）x+2m﹣1=0，解得：x=，∴m的值为﹣2，方程的根为x=38．解：（1）证明：由方程x2﹣kx﹣2=0知a=1，b=﹣k，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，∴无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程x2﹣kx﹣2=0．的两根为x1，x2，∴x1+x2=k，x1x2=﹣2，又∵2（x1+x2）＞x1x2，∴2k＞﹣2，即k＞﹣139．解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，△=[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）=8m+16≥0，m≥﹣2，所以m≥﹣2时，方程总有两个实数根．（2）∵x12+x22﹣x1x2=78，∴（x1+x2）2﹣3x1x2=78，∵x1+x2=﹣，x1•x2=，∴﹣[2（m+1）]2﹣3×1×（m2﹣3）=78，解得m=5或﹣13（舍去），故m的值是m=540．解：∵关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0有两个实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4m2≥0，解得：m ≥﹣，∵+=1，∴=1，∴2m+3=m2，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m1=3，m2=﹣1（舍去）．故可得m=341．（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：把x=2代入方程，得22+2（m+2）+2m﹣1=0 解得m=﹣，设方程的另一根为x1，则2x1=2×（﹣）﹣1，解得x1=﹣42．解：∵x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=m2﹣2（2m﹣1）=7；解可得m=﹣1或5；当m=5时，原方程即为x2﹣5x+9=0的△=﹣11＜0无实根，当m=﹣1时，原方程即为x2+x﹣3=0的△=1+12=13＞0，有两根，则有（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=13．答：（x1﹣x2）2的值为1343．解：∵方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，∴△=4（k﹣2）2﹣4（k2+4）≥0，∴k≤0，设方程的两根分别为x1、x2，∴x1+x2=﹣2（k﹣2）…①，x1•x2=k2+4…②，∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22=x1•x2+21，即（x1+x2）2﹣3x1•x2=21，把①、②代入得，4（k﹣2）2﹣3（k2+4）=21，∴k=17（舍去）或k=﹣1，∴k=﹣1，∴原方程可化为x2﹣6x+5=0，解得x1=1，x2=544．解：不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0．理由如下：设方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣∵一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，∴4k≠0且△=16（k+2）2﹣4×4k×k＞0，∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，当x1+x2=0，∴﹣=0，∴k=﹣2，而k＞﹣1且k≠0，∴不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0 45．解：把x=﹣2代入原方程得4﹣2（k+3）+k=0，解得k=﹣2，所以原方程为x2+x﹣2=0，设方程另一个根为t，则t+（﹣2）=﹣1，解得t=1，即k的值为﹣2，方程的另一根为146．解：∵x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，∴x1+x2=2m，x1x2=3m．又（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，∴x1x2+2（x1+x2）+4=22﹣m2，3m+4m+4=22﹣m2，m2+7m﹣18=0，（m﹣2）（m+9）=0，m=2或﹣9．当m=2时，原方程为x2﹣4x+6=0，此时方程无实数根，应舍去，取m=﹣947．（1）证明：△=（k+1）2﹣4（2k﹣2）=k2﹣6k+9=（k﹣3）2，∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）解：设方程两根为x1，x2，则x1+x2=k+1，x1•x2=2k﹣2，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴（k+1）2﹣2（2k﹣2）=5，∴k1=0，k2=248．解：设方程的两根为x1，x2，∴x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=m+4，而x12+x22=2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=2，∴（m+1）2﹣2（m+4）=2，解得m1=3，m2=﹣3，当m=3时，方程变形为x2+4x+7=0∵△=16﹣4×7＜0，∴此方程无实数根；当m=﹣3时，方程变形为x2﹣2x+1=0∵△=4﹣4×1=0，∴此方程有实数根，∴m=﹣349．解：若两根互为相反数，则△＞0，x1+x2=0，于是（m2﹣2m﹣15）2﹣4×2m≥0，又∵x1+x2=0，∴﹣=0，即m2﹣2m﹣15=0，解得，m=3，或m=5．当m=3时，（32﹣2×3﹣15）2﹣4×2×3=120＞0，符合题意；当m=5时，（52﹣2×5﹣15）2﹣4×2×5=﹣40＜0，不符合题意．故答案为：350．解：∵△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，则AB+AC=2k+2，AC×AB=k2+2k，分为三种情况：①若AB=AC时，则2AB=2k+2，AB2=k2+2k，AB=k+1，代入得：（k+1）2=k2+2k，此方程无解，即AB≠AC；②若AB=BC=10，则10+AC=2k+2，10AC=k2+2k，即AC=2k+2﹣10，代入得：10（2k+2﹣10）=k2+2k，解得：k1=10，k2=8，∴AC=12或8，③若AC=BC=10时，与②同法求出k=10或8，∴当AC=12，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=12+10+10=32，∴当AC=8，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=10+10+8=28，∴当k=10或k=8时，△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为32或2851．解：（1）△=4（k﹣1）2﹣4k2=4（k2﹣2k+1）﹣4k2=﹣8k+4≥0，∴k ≤，故当k ≤时，原方程有实数根；（2）选k=0，则原方程化为：x2+2x=0，设两实数根为：x1，x2，由根与系数的关系：x1+x2=﹣2，x1x2=0，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，=4﹣0=452．解：（1）方程两根互为倒数，根据根与系数的关系x1•x2=1，即a2=1，a=±1，当a为1或﹣1时，方程两根互为倒数；（2）∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2时△=0，即（2a﹣1）2﹣4a2=0﹣4a+1=0，a=﹣，当x1=﹣x2时，2a﹣1=0，a=．∴方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，a 的值是﹣或53．解：：（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣4m+4=0，∴m=1．原方程化为：x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去），又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．54．解：设原方程的两根为x1、x2（1）∵两根互为倒数，∴两根之积为1x1•x2==1，解得m=15，（2）∵两根互为相反数，∴x1+x2==0，∴m=﹣，（3）当有一根为零时，∴m﹣7=0，∴m=7，（4）当有一根为1时，∴8﹣2m﹣1+m﹣7=0，解得m=055．解：（1）当a﹣1=0即a=1时，方程不是一元二次方程；当a≠1时，由△=b2﹣4ac≥0，得（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）≥0，解得a ≤，∵a﹣1≠0，∴a≠1，则a的取值范围是a ≤且a≠1，（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，∴x1+x2=，x1x2=．又∵x12+x22=9，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=9．（）2﹣2×=9．整理，得7a2﹣8a=0，a（7a﹣8）=0．∴a1=0，a2=（舍去）．经检验0是方程的根．故a=056．解：（1）若方程的一个根为零，则m﹣5=0，解得m=5，（2）若方程的两个根互为相反数，则两根之和为0，故=0，解得m=﹣1，（3）若方程两根互为倒数，则=1，解得m=13，当m=13时，方程是8y2﹣14y+8=0，即4y2﹣7y+4=0，根的判别式△=﹣15＜0，故不存在实数m，使方程的两个根互为倒数57．解：设另一根为x，∵一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，∴m+1﹣1+m2﹣3m﹣3=0，解得m=3或﹣1（舍去），故m=3，∴x+1==，∴x=﹣，故另一根为﹣．58．解：设方程的两根为x1，x2，∵关于x的一元二次方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，∴a2﹣3≠0，x1•x2==1，∴a2=4，∴a=2或﹣2，当a=2时，原方程变形为x2+1=0，△=﹣4＜0，此方程无实数根，∴a=﹣2．即a的值是﹣259．解：（1）设另两边为x1，x2，且x1＞x2．∴由韦达定理，得x1+x2=6，x1•x2，=m；根据三边关系得：x1+x2=6＞5 ①；∴x1﹣x2==＜5；解得，m ＞；又∵△=36﹣4m≥0，解得，m≤9，∴m 的取值范围是：＜m≤9；（2）当m取最大值，即m=9时，由原方程得x2﹣6x+9=0，即（x﹣3）2=0，解得，x1=x2=3，过点A作AD⊥BC于点D．∴AD=∴S△ABC =．60．解：x2﹣（k+2）x+2k=0（x﹣2）（x﹣k）=0，∴x1=2，x2=k，∵当k=2时，b=c=2，周长为5，∴当k=1时，1+1=2，不能构成三角形，∴周长为5。
一元二次方程100道计算题练习(附答案)+一元二次方程经典练习题(6套)附带详细答案
一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、〔x+5〕2=166、2〔2x －1〕－x 〔1－2x 〕=07、x 2 =64 8、5x 2 -52=0 9、8〔3 -x 〕2–72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、〔1－3y 〕2+2〔3y －1〕=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=0 14、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=0 17、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =0 20、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=-23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0〔配方法〕 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋1427、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、〔2x-1〕2 +3〔2x-1〕+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3〔x-5〕2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x34、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-=38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解以下方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2-2 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解以下方程 51)12(212=-y 4〔x-3〕2=25 24)23(2=+x三、利用配方法解以下方程25220x x -+=012632=--x x 01072=+-x x四、利用公式法解以下方程－3x 2＋22x －24＝0 2x 〔x －3〕=x －3．3x 2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解以下方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=-2230x x --=21302x x ++=4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x--xx x〔x＋1〕－5x＝0. 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).23(=11)2)(应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，假设商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.3、如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上，假设矩形铁板的面积为5 m2，那么矩形的一边EF长为多少？4、如右图，某小在长32米，区规划宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余局部种草，假设使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售本钱为每千克40元的水产品，据市场分析，假设按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售本钱不超过1万元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998年初投资100万元生产某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？思考：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，那么a 的值为。
中考数学专项练习一元二次方程的根(含解析)
中考数学专项练习一元二次方程的根（含解析）【一】单项选择题1.假设方程x2-c=0的一个根为-3，那么方程的另一个根为〔〕A.3B.-3C.9D.-2.方程4x2﹣kx+6=0的一个根是2，那么k的值和方程的另一个根分别是〔〕A.5，B.11，C.11，﹣D.5，﹣3.1是关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+1=0的一个根，那么m的值是〔〕A.1B.－1C.0D.无法确定4.以下一元二次方程有两个相等实数根的是〔〕A.B.C.D.5.x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，那么a为〔〕A.1B.2C.3D.-2或16.关于x的方程x2+m2x﹣2=0的一个根是1，那么m的值是〔〕A.1B.2C.±1D.±27.假设方程x2-5x=0的一个根是a，那么a2-5a+2的值为〔〕A.-2B.0C.2D.48.一元二次方程的两根是，那么这个方程可以是()A.B.C.D.9.假设n〔〕是关于x的方程的根，那么m＋n的值为A.1B.2C.－1D.－210.关于的方程的一个根为，那么的值为〔〕A.B.C.D.11.x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，那么m的值是〔〕A.1B.0C.0或1D.0或-112.假设x=2是关于一元二次方程﹣x2++a2=0的一个根，那么a的值是〔〕A.1或4B.1或﹣4C.﹣1或﹣4D.﹣1或413.关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2+6x+m2﹣1=0有一个根是0，那么m取值为〔〕A.1B.﹣1C.±1D.014.假设x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根，那么a+b的值为〔〕A.3B.-3C.9D.-915.一元二次方程ax2+x+c=0，假设4a-2b+c=0，那么它的一个根是〔〕A.-2B.C.-4D.216.以下方程中解为x=0的是〔〕A.2x+3=2x+1 B.5x=3x C.+4=5 x D.x+1=017.假设c〔c≠0〕为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，那么c+ b的值为〔〕A.1B.﹣1C.2D.﹣218. ＝2是关于的方程的一个解，那么2a-1的值是〔〕A.3B.4C.5D.6【二】填空题19.x=1是方程x2+mx+3=0的一个实数根，那么m的值是________．20.假设a是关于方程x2﹣2019x+1=0的一个根，那么a+ =________．21.假设一元二次方程ax2﹣bx﹣2019=0有一根为x=﹣1，那么a+b=__ ______．22.一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，那么p的值________【三】计算题23.解方程x2+6x+1=0．24.解方程：2x2+3x﹣5=0．25.解方程组：．26.x=1是一元二次方程〔a﹣2〕x2+〔a2﹣3〕x﹣a+1=0的一个根，求a的值．27.关于x的一元二次方程x2﹣〔k+1〕x﹣6=0的一个根为2，求k的值及另一个根．28.解方程：x2﹣2〔x+4〕=0．【四】解答题29.一元二次方程〔m﹣1〕x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m 的值．30.关于x的方程x2﹣〔k+1〕x﹣6=0的一个根是2，求k的值和方程的另一根．31.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为〝友好方程〞．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+ 5与x2+x+m﹣1=0互为〝友好方程〞，求m的值．【五】综合题32.：x2+3x+1=0．求：〔1〕x+ ；〔2〕x2+ ．33.关于x的一元二次方程x2+2〔k﹣1〕x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕0可能是方程的一个根吗？假设是，请求出它的另一个根；假设不是，请说明理由．34.如图，抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C、〔1〕求点A，点B和点C的坐标；〔2〕在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；〔3〕假设点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【一】单项选择题1.假设方程x2-c=0的一个根为-3，那么方程的另一个根为〔〕A.3B.-3C.9D.-【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=-3代入方程x2-c=0，求得c的值；然后利用直接开平方法求得方程的另一根．【解答】∵方程x2-c=0的一个根为-3，∴x=-3满足方程x2-c=0，∴〔-3)2-c=0，解得，c=9；∴x2=9，∴x=±3，解得，x1=3，x2=-3；故方程的另一根是3；应选A、2.方程4x2﹣kx+6=0的一个根是2，那么k的值和方程的另一个根分别是〔〕A.5，B.11，C.11，﹣D.5，﹣【考点】一元二次方程的解【解析】【解答】解：把x=2代入方程4x2﹣kx+6=0，得4×22﹣2k+6 =0，解得k=11，再把k=11代入原方程，得4x2﹣11x+6=0，解得x=2或，那么k=11，另一个根是x=．应选B、【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到k的值，再计算另外一个根，即可求解．3.1是关于x的一元二次方程(m－1)x2+x+1=0的一个根，那么m的值是〔〕A.1B.－1C.0D.无法确定【考点】一元二次方程的解【解析】【分析】由题意把x=1代入方程(m－1)x2+x+1=0即可得到关于m的方程，解出即可。
一元二次方程根及系数的关系习题精选含答案解析
. .. .一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．〔2021•〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．43．〔2021•〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．〔2021•〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．55．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣16．〔2021•〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣17．〔2021•〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣18．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或29．〔2021•模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．010．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021 =0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．202111．〔2021•模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣312．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．1313．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=114．〔2021•〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．2715．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=216．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣317．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3C．3D．519．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1320．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．1221．〔2021•模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k= _________ ．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n= _________ ．25．〔2021•〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为_________ ．26．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是_________ ．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．数a的所有可能值．29．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕数k的取值围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．30．〔2001•〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2那么两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，应选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．〔2021•〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1•x2=1．应选：C．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．3．〔2021•〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，求出m=0，再用判别式进展检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．应选：A．点评：此题主要考察了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．〔2021•〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，那么将所求的代数式变形为〔α+β〕2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=22﹣2×〔﹣3〕=10．应选：A．点评：此题主要考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．应选：A．点评：此题考察根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．6．〔2021•〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，那么a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．应选：D．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考察了一元二次方程的根的判别式．7．〔2021•〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到〔α+β〕2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进展判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=〔﹣1〕2﹣2×〔﹣1〕=3；+===1．应选：D．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣〔m+6〕+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由一样的解解决问题．解答：解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=〔m+6〕2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．应选：C．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．9．〔2021•模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．应选C．点评：此题主要考察了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c 所表示的含义．10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021 =0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．2021考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2021 =0，即a2+a=2021 ，那么a2+2a+b变形为a+b+2021 ，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2021 =0的根，∴a2+a﹣2021 =0，即a2+a=2021 ，∴a2+2a+b=a+b+2021 ，∵a，b是方程x2+x﹣2021 =0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2021 =﹣1+2021 =2021．应选C．点评：此题考察了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考察了一元二次方程的解．11．〔2021•模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0和3x2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x1x2=﹣3，由一元二次方程3x2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x1x2=2∴﹣3×2=﹣6应选A．点评：此题考察了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+〔k2+3k+5〕=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即〔k﹣2〕2﹣4〔k2+3k+5〕≥0所以3k2+16k+16≤0，所以〔3k+4〕〔k+4〕≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2=〔k﹣2〕2﹣2〔k2+3k+5〕=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣〔k+5〕2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．应选：B．点评：此题考察了根与系数的关系，属于根底题，关键是根据△≥0先求出k的取值围再根据根与系数的关系进展求解．13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．应选D．点评：此题考察了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．〔2021•〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进展整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=〔α+β〕2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；应选D．点评：此题考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2=．15．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4〔a﹣1〕=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．应选：D．点评：此题考察了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．16．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，直接利用x1+x2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=4．应选A．点评：此题主要考察了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．应选D．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3C．3D．5考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．应选C．点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两根分别为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考察了二次根式的化简求值．19．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1x2=a，x1+x2=﹣4，∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=a﹣2×〔﹣4〕﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；应选B．点评：此题考察了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4=〔﹣2〕+2×3+4=8．应选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．〔2021•模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．应选A．点评：此题考察了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①假设b=c，那么b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②假设b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．应选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考察了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的两个实数根，那么x1+x2=﹣，x1x2=进展求解．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=〔5﹣2m〕﹣〔﹣5〕+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考察了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．25．〔2021•〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，那么△=b2﹣4ac=4m2﹣4〔m2+3m﹣2〕=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1〔x2+x1〕+x22=〔x2+x1〕2﹣x1x2=〔﹣2m〕2﹣〔m2+3m﹣2〕=3m2﹣3m+2=3〔m2﹣m+﹣〕+2=3〔m﹣〕2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：此题考察了一元二次方程根与系数关系，考察了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．26．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进展讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣〔2k+1〕，x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进展检验．解答：解：∵〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1x2=[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2﹣2〕=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=〔2k+1〕2﹣4〔k2﹣2〕≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：此题考察了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进展检验．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕利用〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，求得m的值即可；〔2〕分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：〔1〕∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2〔m+1〕，x1•x2=m2+5，∴〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；〔2〕①当7为底边时，此时方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4〔m+1〕2﹣4〔m2+5〕=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14〔m+1〕+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：此题考察了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，由〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80变形得到3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，于是有3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…〔3分〕∴x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，∵〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80，即3〔x12+x22〕﹣10x1x2=﹣80，∴3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，∴3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴〔5a+33〕〔a﹣3〕=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=〔﹣〕2﹣6×〔﹣〕+6=〔〕2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考察了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．〔2021•〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕数k的取值围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：〔1〕根据一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，通过解该不等式即可求得k的取值围；〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：〔1〕∵原方程有两个实数根，∴[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3〔k2+2k〕﹣〔2k+1〕2≥0，整理得：﹣〔k﹣1〕2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由〔1〕知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：此题综合考察了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．〔2001•〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：〔1〕要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；〔2〕欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：〔1〕关于x的一元二次方程，∴△=〔﹣2k〕2﹣4×〔k2﹣2〕=2k2+8，∵2k2+8＞0恒成立，∴不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根．〔2〕∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣2，∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣〔x1+x2〕x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
一元二次方程根与系数典型练习题
一元二次方程根与系数典型练习题1.已知关于x的一元二次方程x2+ mx +n+1=0的一根为2.（1）求n关于m的关系式；（2）试说明：关于y的一元二次方程y2+my+n=0总有两个不相等的实数根。
2.已知关于x的方程x2-kx+k-1=0.（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根（2）当k=3时，⊿ABC的每条边长恰好都是方程x2-kx+k-1=0的根，求它的周长．3.已知：关于mx２﹣2（m﹣1）x+m﹣2=0的一元二次方程（m＞0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）m取何整数值时，此方程的两个实数根都为整数？4.已知关于x的方程x２﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形周长．5.已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2-mx+m/2-1/4=0的两个实数根．（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？6．已知关于x的一元二次方程x２-（2k+1）x+k２+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k的值．7.关于x的一元二次方程x２-（m-3）x-m２=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x１，x２，且|x１|=|x２|-2，求m的值及方程的根．8．已知：关于x的方程kx２-（3k-1）x+2（k-1）=0（1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x１-x２|=2，求k的值．9．关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0有两个实数根分别为x1,x2.（1）求m的取值范围；（2）若2(x1+x2)+x1,x2+10=0，求m的值.10．关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。
一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中 ，没有实数根，故本选项错误；
一元二次方程判断根的情况中考题
一元二次方程判断根的情况选择一．选择题（共25小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．一元二次方程x2+5x+7=0解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．方程x2﹣4x+5=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0根的情况，下列判断正确的是（）A．方程没有实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个相等的实数根D．方程实数根的情况与k的取值有关6．下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x﹣1=0 C．x2+2x﹣3=0 D．4x2﹣4x+1=07．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根8．一元二次方程x2+2x﹣4=0的根的情况为（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定9．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m＞2且m≠110．若方程mx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜9且m≠0 B．m＞9 C．0＜m＜9 D．m＜911．已知一元二次方程x2+2x﹣1=0，下列判断正确的是（）A．该方程有两个不相等的实数根B．该方程有两个相等的实数根C．该方程没有实数根D．该方程的根的情况不确定12．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠013．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1且a≠5 B．a＞1且a≠5 C．a≥1 D．a≠514．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠015．下列方程中没有实数根的是（）A．x2+x﹣1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣1=0 D．x2+x=016．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣3x+1=0 C．2x2﹣x﹣1=0 D．4x2﹣4x+1=017．如果一元二次方程x2﹣2x+p=0总有实数根，那么p应满足的条件是（）A．p≤1 B．p＜1 C．p=1 D．p＞118．一元二次方程2x2=3x+2的根的情况是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有唯一实数根D．有两个相等的实数根19．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．﹣520．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0．21．若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．222．如果关于x的方程x2+2x+c=0没有实数根，那么c在2、1、0、﹣3中取值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣323．若关于x的方程x2﹣x﹣k=0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣ D．24．关于x的方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．325．下列方程没有实数根的是（）A．x2﹣2x=1 B．x2+2x=0 C．D．x2﹣2x+2=0一元二次方程判断根的情况选择参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．一元二次方程x2+5x+7=0解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=52﹣4×7=﹣3＜0，∴方程没有实数根．故选：C．4．方程x2﹣4x+5=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，∴方程无实数根．故选：D．5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0根的情况，下列判断正确的是（）A．方程没有实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个相等的实数根D．方程实数根的情况与k的取值有关【解答】解：由判别式可知：△=4﹣4k由于k可取全体实数，故△的符号与k的有关，故选：D．6．下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x﹣1=0 C．x2+2x﹣3=0 D．4x2﹣4x+1=0【解答】解：A、在方程x2+1=0中，△=02﹣4×1×1=﹣4＜0，∴此方程无解；B、在方程x2+x﹣1=0中，△=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；C、在方程x2+2x﹣3=0中，△=22﹣4×1×（﹣3）=16＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；D、在方程4x2﹣4x+1=0中，△=（﹣4）2﹣4×4×1=0，∴此方程有两个相等的实数根．故选：D．7．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：C．8．一元二次方程x2+2x﹣4=0的根的情况为（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣4=0，∴△=2﹣4（﹣4）=18＞0，∴方程有两不相等实数根，故选：C．9．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m＞2且m≠1【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴，解得：m＜2且m≠1．故选：C．10．若方程mx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜9且m≠0 B．m＞9 C．0＜m＜9 D．m＜9【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1=0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即62﹣4•m•1＞0，解得m＜9，∴m的取值范围为m＜9且m≠0．故选：A．11．已知一元二次方程x2+2x﹣1=0，下列判断正确的是（）A．该方程有两个不相等的实数根B．该方程有两个相等的实数根C．该方程没有实数根D．该方程的根的情况不确定【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣1）=8＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：A．12．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．故选：D．13．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1且a≠5 B．a＞1且a≠5 C．a≥1 D．a≠5【解答】解：当a=5时，原方程变形为﹣4x﹣1=0，解得x=﹣；当a≠5时，△=（﹣4）2﹣4（a﹣5）×（﹣1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．故选：C．14．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0【解答】解：根据题意得k≠0且△=22﹣4k×（﹣1）＞0，所以k＞﹣1且k≠0．故选：D．15．下列方程中没有实数根的是（）A．x2+x﹣1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣1=0 D．x2+x=0【解答】解：在x2+x﹣1=0中，△=12﹣4×（﹣1）=5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A不正确；在x2+x+1=0中，△=12﹣4×1=﹣3＜0，故该方程没有实数根，故B正确；在x2﹣1=0中，△=0﹣4×（﹣1）=4＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故C 不正确；在x2+x=0中，△=12﹣4×0=1＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故D不正确；故选：B．16．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣3x+1=0 C．2x2﹣x﹣1=0 D．4x2﹣4x+1=0【解答】解：A、△=b2﹣4ac=1﹣8=﹣7＜0，∴方程x2﹣x+2=0没有实数根；B、△=b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，∴方程x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根；C、△=b2﹣4ac=1+8=9＞0∴方程2x2﹣x﹣1=0有两个不相等的实数根；D、△=b2﹣4ac=16﹣16=0，∴方程x2+2x+3=0有两个相等的实数根．故选：A．17．如果一元二次方程x2﹣2x+p=0总有实数根，那么p应满足的条件是（）A．p≤1 B．p＜1 C．p=1 D．p＞1【解答】解：∵方程x2﹣2x+p=0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4p≥0，∴﹣4p≥﹣4，∴p≤1．故选：A．18．一元二次方程2x2=3x+2的根的情况是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有唯一实数根D．有两个相等的实数根【解答】解：∵原方程可化为2x2﹣3x﹣2=0，∴a=2，b=﹣3，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣2）=25＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．19．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．﹣5【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×m=16﹣4m＞0，解得m＜4，﹣5＜4，故选：D．20．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4k＞0，解得k＜1，故选：A．21．若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：由题意可知：△＞0，∴1﹣4（﹣a+）＞0，解得：a＞1故满足条件的最小整数a的值是2，故选：D．22．如果关于x的方程x2+2x+c=0没有实数根，那么c在2、1、0、﹣3中取值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣3【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0没有实数根，∴△＜0，即22﹣4c＜0，解得c＞1，∴c在2、1、0、﹣3中取值是2，故选：A．23．若关于x的方程x2﹣x﹣k=0（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣ D．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣k=0（k为常数）有两个相等的实数根，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣k）=0，解得：k=﹣．故选：C．24．关于x的方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据题意得1﹣m≠0且△=（﹣2）2﹣4（1﹣m）•（﹣1）＞0，所以m＜2且m≠1，所以整数m的最大值为0．故选：A．25．下列方程没有实数根的是（）A．x2﹣2x=1 B．x2+2x=0 C ．D．x2﹣2x+2=0【解答】解：A、x2﹣2x﹣1=0，△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、△=22﹣4×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、△=（﹣2）2﹣4×2=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选：D．第11页（共11页）。
一元二次方程经典练习试题(6套)附带详细答案---教师版
练习题一一、选择题：6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±157.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1 B.4x 2+4x+54=0; C. 20x --= D.(x+2)(x-3)==-5二、填空题：9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是______,它的一次项系数是______. 12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________. 14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是___ ___. 15.若一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______. 三、解答题(2分)17.用适当的方法解下列一元二次方程. (1)(x-a)2=1-2a+a 2(a 是常数)18.(7分)已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x 的解,你能求出m 和n 的值吗?19.(10分)已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值.四、列方程解应用题(每题10分,共20分)20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率. 答案一、DAABC,DBD二、 9.x 2+4x-4=0,4 10. 240b c -≥ 11.因式分解法12．1或23 13．2 14．18 15．115k >≠且k 16．30% 三、17．（1）3，25-；（2（3）1，2a-1 18.m=-6,n=819.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2) k =四、 20．20% 21．20%练习二一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
一元二次方程课堂练习题及答案
第二十二章一元二次方程练习题姓名________ 学号________一、填空题1、关于的一元二次方程2(2)0x mx m-+-=的根的情况是______________2、当a=______时，22410x x a++-=是关于x的完全平方式3、如果23100a a--=，则a b+的值为__________________若222(3)25a b+-=，则22a b+=____________4、已知实数x满足4x2-4x+l=0，则代数式2x+x21的值为_______．5、已知x1、x2为方程x2＋3x＋1＝0的两实根，则x12＋8x2＋20＝__________．6、已知方程2520x x-+=的两个解分别为1x、2x，则1212x x x x+-⋅的值为7、若关于x的方程(k＋1)x2－(k－2)x－5＋k=0只有唯一的一个解，则k=______，此方程的解为______．8、若分式187 2+--x xx的值是0，则x=______．9、若方程3x2＋bx＋c=0的解为x1=1，x2=－3，则整式3x2＋bx＋c可分解因式为__________二、选择题1、已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程22(1)2(1)0a x cxb x--++=的根的情况是————A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定2、小华同学在解关于x的方程x²-3x+c=0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x 1=1, x2=-4，则原方程的解为（）A 、x 1=-1, x 2=-4B 、x 1=1，x 2 =4C 、x 1=-1，x 2=4D 、x 1=2，x 2 =33、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，则y x 的值是 （ ）A 、-8 B. 8 C. -9 D.94、如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是 （ ）A 、 m ＜1B 、 0＜m ≤1C 、 0≤m ＜1D 、 m ＞05、形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确 的是( )．A ．a 是任意实数B ．与b ，c 的值有关C ．与a 的值有关D ．与a 的符号有关6、关于x 的一元二次方程(x －k )2＋k =0，当k ＞0时的解为( )．A ．kk +B ．kk -C ．kk -±D ．无实数解7、若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或68、4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．A ．14xyB ．－14xyC ．±28xyD ．0 9、若关于x 的方程(x ＋1)2=1－k 没有实根，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜1B ．k ＜－1C ．k ≥1D ．k ＞110、若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1=0有两个相等的实根，则k 的值为( )．A ．－4B ．3C ．－4或3D ．21或32-11、若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是( )． A ．23<mB ．23<m 且m ≠1 C ．23≤m 且m ≠1 D ．23>m12、如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx =c (1－x 2)有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c 为边长的三角形是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．任意三角形 13、关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0(ab ≠0)的根是( )．A ．ba x ab x 2,221==B ．ba x ab x ==21,C ．0,2221=+=x ab b a xD ．以上都不正确14、两个连续奇数中，设较大一个为x ，那么另一个为( )． A ．x ＋1 B ．x ＋2C ．2x ＋1D ．x －215、某厂一月份生产产品a 件，二月份比一月份增加2倍，三月份是二月份的2倍，则三个月的产品总件数是( )． A ．5a B ．7a C ．9a D ．10a三、解方程1、(5－2x )2=9(x ＋3)22、x 2－3x －28=0．3、x 2－bx －2b 2=0．4、2x 2－x －15=0．5、x 2－2mx ＋m 2－n 2=0． 5、.02322=+-x x四、解答题1、已知关于x的一元二次方程x2=2（1-m）x-m2的两实根为x1 ，x2 。
一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题及答案一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在实际生活和数学解题中都有着广泛的应用。
下面为大家准备了一些一元二次方程的练习题，并附上详细的答案解析，希望能帮助大家更好地掌握这部分知识。
一、选择题1、方程$x^2 4 ＝ 0$的解是（）A ＄x ＝ 2$B ＄x ＝－2$C ＄x_1 ＝ 2$，＄x_2 ＝－2$D ＄x_1＝＼sqrt{2}＄，＄x_2 ＝＼sqrt{2}＄答案：C解析：＄x^2 4 ＝ 0$，则$x^2 ＝ 4$，所以$x ＝ ± 2$，即$x_1 ＝ 2$，＄x_2 ＝－2$。
2、方程$x^2 2x 3 ＝ 0$的根的情况是（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法判断答案：A解析：在方程$x^2 2x 3 ＝ 0$中，＄a ＝ 1$，＄b ＝－2$，＄c ＝－3$，判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac ＝（－2)＾2 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
3、用配方法解方程$x^2 6x ＋ 4 ＝ 0$，下列配方正确的是（）A ＄（x 3)＾2 ＝ 5$B ＄（x 3)＾2 ＝－5$C ＄（x 3)＾2 ＝13$ D ＄（x ＋ 3)＾2 ＝ 5$答案：A解析：＄x^2 6x ＋ 4 ＝ 0$，＄x^2 6x ＝－4$，＄x^2 6x ＋ 9 ＝－4 ＋ 9$，＄（x 3)＾2 ＝ 5$。
二、填空题1、一元二次方程$x^2 ＋ 3x ＝ 0$的解是________。
答案：＄x_1 ＝ 0$，＄x_2 ＝－3$解析：＄x(x ＋ 3) ＝ 0$，则$x ＝ 0$或$x ＋ 3 ＝ 0$，所以$x_1 ＝0$，＄x_2 ＝－3$。
2、若关于$x$的一元二次方程$（k 1)x^2 ＋ 2x 2 ＝ 0$有实数根，则$k$的取值范围是________。
答案：＄k ≥ ＼frac{1}｛2}＄且$k ≠ 1$解析：因为是一元二次方程，所以$k 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$。
一元二次方程根的情况试题练习题
一元二次方程根的情况练习题（含答案）一．选择题1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为06．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根15．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况16．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根17．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根18．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定的19．关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根二．填空题21．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．22．关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为．23．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．24．关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k=．26．若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．27．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是．28．一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．29．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=．30．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k 的值等于．31．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．32．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．33．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．34．若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是．35．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．36．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是．37．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是．一．选择题（共20小题）1．（2017•河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．（2017•常德）一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．（2017•扬州）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2016•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．5．（2016•河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，∴ac＜0．在方程ax2+bx+c=0中，△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2﹣4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．6．（2016•邵阳）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】代入数据求出根的判别式△=b2﹣4ac的值，根据△的正负即可得出结论．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式△=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．7．（2016•舟山）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．（2016•黔南州）y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．【解答】解：∵y=x+1是关于x的一次函数，∴≠0，∴k﹣1＞0，解得k＞1，又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k，∴△＜0，∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根，故选A．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即①△＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＜0⇔一元二次方程无实数根．9．（2016•兰州）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．【解答】解：∵△=22﹣4×1×1=0，∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．（2016•怀化）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．11．（2015•锦州）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．（2015•滨州）一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．13．（2015•长春）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．14．（2015•重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．15．（2015•珠海）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况【分析】求出△的值即可判断．【解答】解：一元二次方程x2+x+=0中，∵△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（2014•自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．17．（2017•思茅区校级一模）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【分析】要判断方程x2﹣4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．（2017•静安区二模）关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定的【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac 的意义即可判断方程根的情况．【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．（2017•兴庆区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【分析】要判断一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况，就要求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【解答】解：∵△=a2﹣4×1×（a﹣1）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，∴此方程有两个实数根．故选D．【点评】结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A． B．2﹣C．2﹣D．4﹣【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B 是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S △B′O′B ﹣（S 扇形O′OB ﹣S △OO′B ）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣． 故选C ．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二．填空题（共19小题）21．（2016•河南）若关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k ＞﹣ ．【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×（﹣k）=9+4k＞0，解得：k＞﹣．故答案为：k＞﹣．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．22．（2017•大连）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为c＜1．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，解得：c＜1．故答案为：c＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．23．（2016•上海）如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．24．（2016•长春）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值是1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4m=0，∴m=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．25．（2016•淮安）若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k=9．【分析】根据判别式的意义得到△=62﹣4×1×k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，∴△=62﹣4×1×k=0，解得：k=9，故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．26．（2016•宿迁）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1．【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0进而求出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．27．（2014•上海）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．28．（2014•常德）一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．29．（2015•岳阳）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=．【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．30．（2015•新疆）已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于3．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，解得k=﹣4或3，∵k＞0，∴k=3．故答案为3．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．31．（2015•漳州）若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．32．（2017•罗平县一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0∴k≠0，∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．33．（2017•凉州区一模）若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤9，且k≠0．【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，即k≤9，且k≠0【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．34．（2017•绿园区二模）若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a 的值是1．【分析】根据已知条件“一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根”可知根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可以求得a的值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+a=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=a，且一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即△=（﹣2）2﹣4×1×a=0，解得a=1．故答案是：1．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．35．（2017•盘锦三模）已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＜1．【分析】关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．【解答】解：∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a＞0，解得：a＜1．∴a的取值范围是a＜1．故答案为：a＜1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．36．（2017•抚顺县一模）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是a≥1且a≠5．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=16+4（a﹣5）≥0，解之得a≥1．∵a﹣5≠0∴a≠5∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5故答案为a≥1且a≠5．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．37．（2017•河南模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是m≤3且m≠2．【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，∴△=22﹣4×（m﹣2）×1≥0，且m﹣2≠0，解得：m≤3且m≠2，故答案为：m≤3且m≠2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．38．（2016•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为﹣．【分析】连接OC、AC，根据题意得到△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，分别求出扇形COB的面积、△AOC的面积、扇形AOC的面积，计算即可．【解答】解：连接OC、AC，由题意得，OA=OC=AC=2，∴△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，∴扇形COB的面积为：=，△AOC的面积为：×2×=，扇形AOC的面积为：=，则阴影部分的面积为：+﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式S=是解题的关键．39．（2015•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为+．【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO 为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE==π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=﹣﹣（π﹣×1×）=π﹣π+=+．故答案为：+．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：。
九年级一元二次方程实数根专项训练题
一、引言在初中数学教学中，一元二次方程是一个重要的内容。
九年级学生通常在学完一元一次方程后，会接触到一元二次方程的内容。
其中，实数根是一元二次方程中的重要概念，也是学生较为薄弱的部分。
为了帮助学生更好地掌握一元二次方程实数根的相关知识，特进行专项训练，以便提升他们的学习兴趣和能力。
二、一元二次方程实数根相关知识1. 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
2. 一元二次方程实数根的判别式一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根存在条件是Δ=b²-4ac≥0。
其中，Δ称为判别式。
三、专项训练题以下是一些九年级一元二次方程实数根专项训练题，希望同学们认真思考，勇敢解答。
1. 解下列方程：（1）3x²-4x-1=0（2）x²-5x+6=0（3）2x²-7x+3=02. 某一元二次方程的判别式为16，求此方程的系数a、b、c的取值范围。
3. 如果一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，求证：4ac<b²。
4. 若一元二次方程x²+px+q=0 有两个不相等的实数根，则p²-4q>0。
5. 某一元二次方程的实数根之和为7，实数根之积为10，求此方程的一元二次方程。
6. 解下列一元二次方程：（1）x²-3x-10=0（2）2x²+5x-3=0（3）3x²-4x+1=07. 某一元二次方程实数根之和为9，实数根之积为20，求此方程。
8. 某一元二次方程的判别式为0，求证此方程有两个相等的实数根。
四、总结通过以上专项训练题的训练，相信同学们对一元二次方程实数根的相关知识有了更深入的理解。
掌握一元二次方程相关知识，不仅有助于提高数学成绩，也有助于锻炼逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
希望同学们能在学习中保持耐心和毅力，不断提升自己的数学水平。
一元二次方程根的情况试题练习题.doc
一元二次方程根的情况试题练习题一元二次方程根的情况练习题（含答案）一．选择题1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为06．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根15．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况16．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根17．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根18．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定的19．关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根二．填空题21．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．22．关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为．23．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．24．关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k= ．26．若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．27．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是．28．一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．29．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．30．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k 的值等于．31．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．32．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．33．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．34．若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是．35．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．36．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是．37．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是．一．选择题（共20小题）1．（2017•河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．（2017•常德）一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．（2017•扬州）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2016•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．5．（2016•河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，∴ac＜0．在方程ax2+bx+c=0中，△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2﹣4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．6．（2016•邵阳）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】代入数据求出根的判别式△=b2﹣4ac的值，根据△的正负即可得出结论．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式△=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．7．（2016•舟山）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．（2016•黔南州）y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．【解答】解：∵y=x+1是关于x的一次函数，∴≠0，∴k﹣1＞0，解得k＞1，又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k，∴△＜0，∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根，故选A．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即①△＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＜0⇔一元二次方程无实数根．9．（2016•兰州）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．【解答】解：∵△=22﹣4×1×1=0，∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．（2016•怀化）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．11．（2015•锦州）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．（2015•滨州）一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．13．（2015•长春）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．14．（2015•重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．15．（2015•珠海）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况【分析】求出△的值即可判断．【解答】解：一元二次方程x2+x+=0中，∵△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（2014•自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．17．（2017•思茅区校级一模）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【分析】要判断方程x2﹣4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．（2017•静安区二模）关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定的【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac 的意义即可判断方程根的情况．【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．（2017•兴庆区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【分析】要判断一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况，就要求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【解答】解：∵△=a2﹣4×1×（a﹣1）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，∴此方程有两个实数根．故选D．【点评】结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A．B．2﹣C．2﹣D．4﹣【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B ﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．故选C．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二．填空题（共19小题）21．（2016•河南）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣．【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×（﹣k）=9+4k＞0，解得：k＞﹣．故答案为：k＞﹣．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．22．（2017•大连）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为c＜1 ．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，解得：c＜1．故答案为：c＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．23．（2016•上海）如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．24．（2016•长春）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值是 1 ．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4m=0，∴m=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．25．（2016•淮安）若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k= 9 ．【分析】根据判别式的意义得到△=62﹣4×1×k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，∴△=62﹣4×1×k=0，解得：k=9，故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．26．（2016•宿迁）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1 ．【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0进而求出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．27．（2014•上海）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1 ．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．28．（2014•常德）一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．29．（2015•岳阳）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．30．（2015•新疆）已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于 3 ．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，解得k=﹣4或3，∵k＞0，∴k=3．故答案为3．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．31．（2015•漳州）若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0 ．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．32．（2017•罗平县一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0 ．【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0∴k≠0，∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．33．（2017•凉州区一模）若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤9，且k≠0 ．【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，即k≤9，且k≠0【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．34．（2017•绿园区二模）若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是 1 ．【分析】根据已知条件“一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根”可知根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可以求得a的值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+a=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=a，且一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即△=（﹣2）2﹣4×1×a=0，解得a=1．故答案是：1．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．35．（2017•盘锦三模）已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＜1 ．【分析】关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac ＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．【解答】解：∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a＞0，解得：a＜1．∴a的取值范围是a＜1．故答案为：a＜1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．36．（2017•抚顺县一模）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是a≥1且a≠5 ．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=16+4（a﹣5）≥0，解之得a≥1．∵a﹣5≠0∴a≠5∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5故答案为a≥1且a≠5．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．37．（2017•河南模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是m≤3且m≠2 ．【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，∴△=22﹣4×（m﹣2）×1≥0，且m﹣2≠0，解得：m≤3且m≠2，故答案为：m≤3且m≠2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．38．（2016•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为﹣．【分析】连接OC、AC，根据题意得到△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，分别求出扇形COB的面积、△AOC的面积、扇形AOC的面积，计算即可．【解答】解：连接OC、AC，由题意得，OA=OC=AC=2，∴△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，∴扇形COB的面积为：=，△AOC的面积为：×2×=，扇形AOC的面积为：=，则阴影部分的面积为：+﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式S=是解题的关键．39．（2015•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为+．。
一元二次方程的练习题
一、选择题1. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0），若b^24ac > 0，则该方程的根的情况是（）A. 两个实数根B. 两个虚数根C. 一个实数根D. 无实数根2. 下列哪个方程是一元二次方程？（）A. x^2 + 3x + 1 = 0B. 2x^2 4x + 3 = 2C. x^3 2x^2 + x = 0D. 3x 5 = 03. 解一元二次方程x^2 5x + 6 = 0，下列哪个选项是正确的？（）A. x1 = 2，x2 = 3B. x1 = 3，x2 = 2C. x1 = 2，x2 = 3D. x1 = 3，x2 = 2二、填空题1. 已知一元二次方程x^2 4x + 3 = 0，则方程的解为x1 =______，x2 = ______。
2. 一元二次方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0的解为x1 = ______，x2 = ______。
3. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的两根之差为6，则b^2 4ac = ______。
三、解答题1. 解一元二次方程2x^2 5x 3 = 0。
2. 已知一元二次方程x^2 (2a+3)x + 3a = 0，求a的取值范围，使得方程有实数根。
3. 设一元二次方程x^2 (a+2)x + a + 1 = 0的两根分别为x1和x2，求x1^2 + x2^2的值。
4. 已知一元二次方程x^2 4x + m = 0的两根之积为6，求m的值。
5. 解一元二次方程组：\[\begin{cases}x^2 + 3x 4 = 0 \\2x^2 5x + 3 = 0\end{cases}\]6. 已知一元二次方程x^2 (a+2)x + a^2 3a + 2 = 0的两根分别为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
四、应用题1. 一个矩形的长比宽多2米，且矩形的面积为24平方米，求矩形的长度和宽度。
直接开平方法求一元二次方程的根练习题及答案
直接开平方法求一元二次方程的根练习题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x 2＝16的解为（ ）A ．x ＝8B ．x ＝±8C ．x ＝4D ．x ＝±4 2．一元二次方程（x ﹣2）2＝0的解是（ ） A ．x ＝2 B ．x 1＝x 2＝2C ．x 1＝2，x 2＝﹣2D ．x ＝﹣23．如果关于x 的方程（x ﹣4）2＝m ﹣1可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1 B ．m ＞1 C ．m ＞﹣1 D ．m ≥﹣1 4．关于x 的方程（x ﹣2）2＝1﹣m 无实数根，那么m 满足的条件是（ ）A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＞1D ．m ＜1 5．若一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两根分别是m ﹣1和2m +3，则ba 的值为（ ）A ．16B ．259C ．25D ．259或256．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x ﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（ ） A ．17 B ．11C ．15D ．11或157．若x +1与x ﹣1互为倒数，则实数x 为（ ） A ．0 B ．√2C ．±1D ．±√28．关于x 的一元二次方程（x ﹣k ）2+k ＝0，当k ＞0时的解为（ ）A ．k +√kB ．k −√kC ．k ±√−kD ．无实数解9．一元二次方程（x ﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ） A ．10 B ．10或8 C ．9 D ．810．配方法解一元二次方程，方程（x ﹣1）2＝m 的一个解为x 1＝5，则另一个解x 2等于（ ）A ．﹣5B ．﹣4C ．﹣3D ．﹣2二．填空题（共4小题）11．若a 为方程（x −√17）2＝100的一根，b 为方程（y ﹣4）2＝17的一根，且a 、b 都是正数，则a ﹣b ＝ ．12．已知一元二次方程（x ﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为 ．13．（1）已知√5是一元二次方程x 2+c ＝0的一个根，则该方程的另一个根是 ； （2）关于x 的一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则ba = ．14．方程（x +1）2＝k ﹣2有实数根，则k 的取值范围是 ． 三．解答题（共2小题）15．用直接开平方法解一元二次方程（1）2y 2＝8． （2）2（x +3）2﹣4＝0．（3）14（x +1）2＝25 （4）（2x +1）2＝（x ﹣1）2．16．已知关于x 的方程（x ﹣1）2＝4m ﹣1有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．直接开平方法求一元二次方程的根练习题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：x2＝16，x＝±4，所以x1＝4，x2＝﹣4．故选：D．2．【解答】解：x﹣2＝0，所以x1＝x2＝2．故选：B．3．【解答】解：根据题意得m﹣1≥0，解得m≥1．故选：A．4．【解答】解：当1﹣m＜0时，方程无解．即m＞1．故选：C．5．【解答】解：∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13，且x=±√b a ，∴m﹣1+2m+3＝0，解得：m=−2 3，即方程的根是：x1=−53，x2=53，∴ba=(±√ba)2=259，故选：B．6．【解答】解：（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，解得x1＝5，x2＝1．若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．7．【解答】解：由题意得：（x+1）（x﹣1）＝1，去括号得：x2﹣1＝1，移项得：x2＝2，两边直接开平方得：x＝±√2，故选：D．8．【解答】解：（x﹣k）2+k＝0，移项得：（x﹣k）2＝﹣k，∵k＞0，∴﹣k＜0，∴无实数解，故选：D．9．【解答】解：∵（x﹣3）2＝1，∴x﹣3＝±1，解得，x1＝4，x2＝2，∵一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，∴△ABC的周长为：2+4+4＝10；故选：A．10．【解答】解：由题意得，（5﹣1）2＝m，解得m＝16．∴（x﹣1）2＝16，即x﹣1＝±4，∴x1＝5，x2＝﹣3．故选：C．二．填空题（共4小题）11．若a为方程（x−√17）2＝100的一根，b为方程（y ﹣4）2＝17的一根，且a、b都是正数，则a﹣b＝6．【解答】解：∵a为方程（x−√17）2＝100的一根，b为方程（y﹣4）2＝17的一根，∴（a−√17）2＝100，（b﹣4）2＝17，∴a＝±10+√17，b＝±√17+4，∵a＞0，b＞0，∴a＝10+√17，b=√17+4，∴a﹣b＝10+√17−√17−4＝6，故答案为6．12．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为10．【解答】解：∵（x﹣3）2＝1，∴x﹣3＝±1，解得：x1＝4，x2＝2，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形，②当底边长和腰长分别是2和4时，可以构成三角形，∴△ABC的周长为：2+4+4＝10．故答案为：10．13．（1）已知√5是一元二次方程x2+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是−√5；（2）关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则ba=4．【解答】解：（1）∵√5是一元二次方程x2+c＝0的一个根，∴（√5）2+c＝0，解得：c＝﹣5，解方程x2﹣5＝0，得x1=√5，x2=−√5，所以该方程的另一个根是−√5，故答案为：−√5；（2）∵m+1与2m﹣4是一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根，∴m+1+2m﹣4＝0，∴m＝1，∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是±2，∴ba=x2＝4，故答案为：4．14．方程（x+1）2＝k﹣2有实数根，则k的取值范围是k≥2．【解答】解：∵方程（x+1）2＝k﹣2有实数根，∴k﹣2≥0，∴k≥2，故答案为：k≥2．三．解答题（共2小题）15．用直接开平方法解一元二次方程（1）2y2＝8．（2）2（x+3）2﹣4＝0．（3）14（x+1）2＝25（4）（2x+1）2＝（x﹣1）2．【解答】解：（1）2y2＝8y2＝4y＝±2解得：y1＝2，y2＝﹣2．（2）2（x+3）2﹣4＝0（x+3）2＝2x+3＝±√2解得：x1＝﹣3+√2，x2＝﹣3−√2；（3）14（x+1）2＝25（x+1）2＝100x+1＝±10解得：x1＝﹣11，x2＝9．（4）（2x+1）2＝（x﹣1）22x+1＝x﹣1，2x+1＝﹣（x﹣1）解得：x1＝0，x2＝﹣2．16．已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．【解答】解：（1）根据题意得4m﹣1≥0，解得m≥1 4；（2）把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1得（2﹣1）2＝4m﹣1，解得m=12，∴方程化为（x﹣1）2＝1，∴x﹣1＝±1，解得x1＝2，x2＝0，∴方程的另一个根为0．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程根的情况练习题（含答案）一．选择题1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为06．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根15．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况16．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根17．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根18．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定的19．关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根二．填空题21．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．22．关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为．23．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．24．关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k= ．26．若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．27．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是．28．一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．29．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．30．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k 的值等于．31．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．32．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．33．若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．34．若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是．35．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．36．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是．37．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是．一．选择题（共20小题）1．（2017•河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．（2017•常德）一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．（2017•扬州）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2016•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．5．（2016•河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，∴ac＜0．在方程ax2+bx+c=0中，△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2﹣4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．6．（2016•邵阳）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】代入数据求出根的判别式△=b2﹣4ac的值，根据△的正负即可得出结论．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式△=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键．7．（2016•舟山）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．（2016•黔南州）y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（）A．没有实数根 B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】由一次函数的定义可求得k的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．【解答】解：∵y=x+1是关于x的一次函数，∴≠0，∴k﹣1＞0，解得k＞1，又一元二次方程kx2+2x+1=0的判别式△=4﹣4k，∴△＜0，∴一元二次方程kx2+2x+1=0无实数根，故选A．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即①△＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＜0⇔一元二次方程无实数根．9．（2016•兰州）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．【解答】解：∵△=22﹣4×1×1=0，∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．（2016•怀化）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．11．（2015•锦州）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．（2015•滨州）一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．13．（2015•长春）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．14．（2015•重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．15．（2015•珠海）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定根的情况【分析】求出△的值即可判断．【解答】解：一元二次方程x2+x+=0中，∵△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（2014•自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．17．（2017•思茅区校级一模）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【分析】要判断方程x2﹣4x+4=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴△=16﹣16=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．（2017•静安区二模）关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定的【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac 的意义即可判断方程根的情况．【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．（2017•兴庆区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【分析】要判断一元二次方程x2﹣ax+（a﹣1）=0的根的情况，就要求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【解答】解：∵△=a2﹣4×1×（a﹣1）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，∴此方程有两个实数根．故选D．【点评】结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A．B．2﹣C．2﹣D．4﹣【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B ﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．故选C．【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二．填空题（共19小题）21．（2016•河南）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣．【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×（﹣k）=9+4k＞0，解得：k＞﹣．故答案为：k＞﹣．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．22．（2017•大连）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为c＜1 ．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，解得：c＜1．故答案为：c＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．23．（2016•上海）如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．24．（2016•长春）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值是 1 ．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4m=0，∴m=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．25．（2016•淮安）若关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则k= 9 ．【分析】根据判别式的意义得到△=62﹣4×1×k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，∴△=62﹣4×1×k=0，解得：k=9，故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．26．（2016•宿迁）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1 ．【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0进而求出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．27．（2014•上海）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1 ．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．28．（2014•常德）一元二次方程2x2﹣3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4×2×k＞0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．29．（2015•岳阳）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．30．（2015•新疆）已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于 3 ．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，解得k=﹣4或3，∵k＞0，∴k=3．故答案为3．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．31．（2015•漳州）若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0 ．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．32．（2017•罗平县一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0 ．【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0，∴k＞﹣1，∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0∴k≠0，∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．33．（2017•凉州区一模）若方程kx2﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤9，且k≠0 ．【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4k≥0，即k≤9，且k≠0【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．34．（2017•绿园区二模）若一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是 1 ．【分析】根据已知条件“一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根”可知根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可以求得a的值．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+a=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=a，且一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即△=（﹣2）2﹣4×1×a=0，解得a=1．故答案是：1．【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．35．（2017•盘锦三模）已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＜1 ．【分析】关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．【解答】解：∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a＞0，解得：a＜1．∴a的取值范围是a＜1．故答案为：a＜1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．36．（2017•抚顺县一模）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则实数a的取值范围是a≥1且a≠5 ．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=16+4（a﹣5）≥0，解之得a≥1．∵a﹣5≠0∴a≠5∴实数a的取值范围是a≥1且a≠5故答案为a≥1且a≠5．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．37．（2017•河南模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是m≤3且m≠2 ．【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，∴△=22﹣4×（m﹣2）×1≥0，且m﹣2≠0，解得：m≤3且m≠2，故答案为：m≤3且m≠2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．38．（2016•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为﹣．【分析】连接OC、AC，根据题意得到△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，分别求出扇形COB的面积、△AOC的面积、扇形AOC的面积，计算即可．【解答】解：连接OC、AC，由题意得，OA=OC=AC=2，∴△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，∴扇形COB的面积为：=，△AOC的面积为：×2×=，扇形AOC的面积为：=，则阴影部分的面积为：+﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式S=是解题的关键．39．（2015•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE ⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为+．【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO 为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE==π，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=﹣﹣（π﹣×1×）=π﹣π+=+．故答案为：+．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：。