高中数学第三章概率互斥事件教案北师大版必修3
高中数学 3.2.3 互斥事件教学设计 北师大版必修3
3.2.3 互斥事件一、教学目标：1、知识与技能：(1)理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。
（2）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（3）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（4）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。
通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。
3、情感、态度与价值观：通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。
重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。
难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。
二、教学过程:问题引入：一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球．从中任取 1个小球.求:(1)得到红球的概率;(2)得到绿球的概率;(3)得到红球或绿球的概率.设问：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系,可以同时发生吗?事件得到“红球或绿球”与上两个事件又有什么关系?它们的概率间的关系如何?我们把“从中摸出 1个球，得到红球”叫做事件A，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C．三、新课讲解1.互斥事件的定义如果从盒中摸出的1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出的1个球是绿球，即事件B发生，那么事件A就不发生．就是说，事件A与B不可能同时发生。
3.2.3互斥事件 教案(北师大版必修3)
2．3互斥事件●三维目标1．知识与技能使学生理解互斥事件和对立事件的概念；能利用公式解决简单的概率问题．2．过程与方法通过知识迁移，与集合中相关概念的对比；培养学生用对立统一思想分析问题并解决问题．3．情感、态度与价值观通过学生独立思考、分组讨论，培养学生自主学习的习惯、与人合作的团队精神．●重点难点重点：理解互斥事件和对立事件概念的区别和联系．难点：灵活运用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)和P(A)＝1－P(A)两个公式来解决问题．●教学建议以问题为主线，引导发现法，教师可以从学生生活掷骰子事件出发，逐步导出互斥事件，使学生既有兴趣又很轻松的理解互斥事件，为下面的学习打好理论基础．●教学流程创设情境，引入新课，以课本上的掷骰子为例探究各事件间的关系⇒总结出互斥和对立事件的概念并展现它们之间的区别与联系，给出概率加法公式⇒通过例1及变式训练，使学生明确，互斥和对立事件的关系掌握判断事件的方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握互斥事件概率的运算⇒通过对互斥事件和对立事件的理解完成例3及变式训练进一步体会概率加法公式⇒归纳总结，知识升华，使学生从整体上把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．1．事件D3与事件F能同时发生吗？【提示】不能．2．如果事件“C2发生或C4发生或C6发生”，就意味着哪个事件发生？【提示】意味着事件G发生．3．事件D2与事件H同时发生，意味着哪个事件发生？【提示】C5发生．1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验中不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．在知识1的问题导思中，事件G与事件H能同时发生吗？这两个事件有什么关系？【提示】事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．1．定义在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.2．性质P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A).判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球．”【思路探究】根据对立事件和互斥事件的定义来判断．【自主解答】从袋中任意取出3只球有4种结果：3只白球；2只白球1只红球；1只白球2只红球；3只红球．(1)因为“取出2只红球1只白球”与“取出1只红球2只白球”不能同时发生，所以它们是互斥事件．当“取出3只白球”时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)“取出3只球中至少有1只白球”包括三种结果：1只白球2只红球，2只白球1只红球，3只白球．因此它与“取出3只红球”不能同时发生，它们是互斥事件，且它们中必有一个发生，所以又是对立事件．(3)当取出的3只球都是红球时，它们同时发生，所以它们不是互斥事件，也不是对立事件．1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，若不能同时发生，则为互斥事件，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．2．判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件在求概率时非常重要，它直接决定了求解是否正确．应注意互斥事件不能同时发生，对立事件除不能同时发生外，其和事件为必然事件，这些也可类比集合进行理解．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数为1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们是对立事件，(3)不是互斥事件，也不是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112. 求(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．【思路探究】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．【自主解答】 法一 (1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34. (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112. 法二 (1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A ＋B 的对立事件为C ＋D ，故“取出1球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－(P (C )＋P (D ))＝1－(16＋112)＝34. (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112.1．解决本题的关键是明确取到不同颜色球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也有上述规律．在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)求小明考试及格的概率．【解】分别记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中7环以下的概率．【思路探究】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．【自主解答】(1)记“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B.由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.(2)记“射中7环以下”为事件E，E的对立事件为E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”．由“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥事件，故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.所以射中10环或7环的概率为0.49，射中7环以下的概率为0.03.1．必须分析清楚事件A，B是否互斥，只有互斥事件才可以用概率的加法公式．2．当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：(1)(2)至少1人排队等候的概率是多少？【解】记事件“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及以上”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则它们彼此互斥．(1)至多2人排队等候的概率是：法一P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.法二P(A＋B＋C)＝1－P(D＋E＋F)＝0.56.(2)至少1人排队等候的概率是：法一 P (B ＋C ＋D ＋E ＋F )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.16＋0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.9.法二P (B ＋C ＋D ＋E ＋F )＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.对互斥事件概念理解有误抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P (A ＋B )．【错解】 P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1.【错因分析】 误认为事件A 、B 是互斥事件，所以错误地得出P (A )＝12，P (B )＝12，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1. 【防范措施】 运用公式时，要明确公式所使用的范围，否则容易出错．【正解】 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1、A 2、A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．故P (A ＋B )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝23.1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式，如果事件不互斥，那么公式就不能使用！3．求复杂事件的概率通常有两种方法方法一：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；方法二：先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．1．事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.6，则P (B )等于( )A ．0.4B ．0.6C ．0.5D ．1【解析】 由对立事件的性质知P (A )＋P (B )＝1，∴P (B )＝1－0.6＝0.4.【答案】 A2．某产品分甲、乙、丙三级，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到甲级品的概率为( )A ．0.09B ．0.97C ．0.99D ．0.96【解析】 产品共分三个等级，出现乙级品和丙级品的概率分别为0.03和0.01，则出现甲级品的概率为1－0.03－0.01＝0.96.【答案】 D3．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]克的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【解析】 设“重量小于200克”为事件A ，“重量在[200,300]克之间”为事件B ，“重量超过300克”为事件C ，则P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.2－0.5＝0.3.故选B.【答案】 B4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．【解】 甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，“甲获胜”可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．于是，(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16，即甲获胜的概率是16. (2)法一 设事件A 为“甲不输”，它可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23.法二 设事件A 为“甲不输”，它可看做是“乙胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23，即甲不输的概率是23.一、选择题1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上答案都不对【解析】 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，但也不是必有一个发生，故选C.【答案】 C2．从一篮鸡蛋中取一个，如果其质量小于30克的概率为0.3，在[30,40]克的概率为0.5，则质量不小于30克的概率是( )A ．0.3B ．0.5C ．0.8D ．0.7【解析】 “不小于30克”与“小于30克”为对立事件，则概率为1－0.3＝0.7.【答案】 D3．(2013·南昌检测)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910【解析】 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为910，故选D. 法二 (间接法)：至少有一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球，共1种取法，故所求概率为1－110＝910，故选D. 【答案】 D4．掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为( ) A.58 B.18C.14D.12【解析】 有三种可能：①连续3次都掷得正面概率为18；②第一次掷得正面，第二次掷得反面，其概率为14；③第一次掷得反面，第二次掷得正面，其概率为14.因而恰好得3分的概率为18＋14＋14＝58. 【答案】 A5．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数；上述事件中，对立事件是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③【解析】 互为对立事件的两个事件既不能同时发生又必有一个发生．故③是符合要求的．【答案】 C二、解答题6．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P (A ＋B )＝________.【解析】 一副扑克牌中有1张红桃K,13张黑桃，事件A 与事件B 互斥，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝726. 【答案】 726图3－2－27．如图3－2－2所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．【解析】 1－0.35－0.30－0.25＝0.1.【答案】 0.18．(2013·沈阳高一检测)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，摸出红球的概率为________．【解析】 由题意知A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，又P (A )＝0.58，∴P (B )＝1－P (A )＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”为对立事件，P (C )＝0.62，∴P (D )＝0.38.设事件E ＝“摸出红球”，则P (E )＝1－P (B ∪D )＝1－P (B )－P (D )＝1－0.42－0.38＝0.2.【答案】 0.2三、解答题9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．(1)求所选3人中恰有1名女生的概率；(2)求所选3人中至少有1名女生的概率．【解】 4名男生记为1,2,3,4，两名女生记为5,6，从这6个人中选3个人的方法有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(4,5,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,5,6)共20种方法．(1)所选3人中恰好有1名女生的情况有(1,2,5)，(1,2,6)，(2,3,5)，(2,3,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(2,4,5)，(2,4,6)共12种方法．故所选3人中恰好有1名女生的概率为1220＝35. (2)所选3人中恰好有2名女生的情况有(1,5,6)，(2,5,6)，(3,5,6)，(4,5,6)，共4种情况，则所选3人中至少有1名女生的情况共有12＋4＝16种．所以，所选3人中至少有1名女生的概率为1620＝45(1－15＝45)． 10．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．【解】 设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两球有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)(3,0)，有7种结果，则中三等奖的概率为P (A )＝716. (2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．则中奖的概率为P (B )＝7＋2＋116＝58. 11．(2013·湖南高考)图3－2－3某人在如图3－2－3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)1米．(1)(2)【解】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：51×2＋48×4＋45×6＋42×315 ＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46. (2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.(教师用书独具)假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个的概率各为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．【自主解答】 设A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，则P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.又设D 表示军火库发生爆炸这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，其中A 、B 、C 彼此互斥，所以P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，则军火库发生爆炸的概率为0.225.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取1球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？【解】 从袋中任取1球，记事件A ＝{摸得红球}，事件B ＝{摸得黑球}，事件C ＝{摸得黄球}，事件D ＝{摸得绿球}，则有错误!解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14. 所以，得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14.。
高中数学 第三章 概率 2.3 互斥事件学案 北师大版必修3(1)
2．3 互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一集合间的基本关系知识点二集合的基本运算给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？答因为1为奇数，所以A⊆B.(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．知识点四概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A ＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B)．题型一互斥事件、对立事件的概念例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球答案 D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．题型二和事件的概念例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4＋C5＋C6.同理可得，D 3＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4，E ＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋C 5＋C 6，F ＝C 2＋C 4＋C 6，G ＝C 1＋C 3＋C 5. 反思与感悟 事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn 图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 跟踪训练2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B ＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C ＝{3个球中至少有一个红球}，事件D ＝{3个球中既有红球又有白球}．则： (1)事件D 与事件A 、B 是什么样的运算关系？ (2)事件C 与事件A 的交事件是什么事件？解 (1)对于事件D ，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D ＝A ＋B . (2)对于事件C ，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C ∩A ＝A .题型三 对立事件、互斥事件的概率例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．解 方法一 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：所以P (A )＝2036＝59.方法二 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”，记为A .如上表，“既没有5点又没有6点”的结果共有16个， 则“既没有5点又没有6点”的概率为P (A )＝1636＝49. 所以“至少有一个5点或6点”的概率为P (A )＝1－P A )＝1－49＝59.反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练 3 某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．解设“低于7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”，而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝512，P(B)＝13，P(C)＝16，P(D)＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．分析事件A，B，C，D为互斥事件，A＋B与C＋D为对立事件，A＋B＋C与D为对立事件，因此可用两种方法求解．解方法一(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋13＋16＝1112.方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A＋B 的对立事件为C ＋D ，所以P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－P (C )－P (D )＝1－16－112＝34，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112，即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112.解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A ＋B ＝A 时，P (A ＋B )＝P (A )，∴④错；只有事件A 与B 为对立事件时，才有P (A )＝1－P (B )，∴⑤错．2．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．不互斥、不对立 答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立．3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝D D ．A ∪C ＝B ∪D 答案 D解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A ∪C ＝D ＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B ∪D 为必然事件，所以A ∪C ≠B ∪D .4．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( )A.35B.25 C.14 D.18答案 C解析 该子集恰是{a ，b ，c }的子集的概率为P ＝1－34＝14.5．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________． 答案 0.2解析 设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ＋C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2.1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．一、选择题1．已知P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ＋B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1 D ．不确定答案 D解析 由于不能确定A 与B 是否互斥，所以P (A ∪B )的值不能确定． 2．若A 、B 是互斥事件，则( )A．P(A＋B)<1 B．P(A＋B)＝1C．P(A＋B)>1 D．P(A＋B)≤1答案 D解析∵A、B是互斥事件，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B是对立事件时，P(A＋B)＝1)．3．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( )A．0.09 B．0.97C．0.99 D．0.96答案 C解析因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99.4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”答案 C解析该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③答案 C解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析对立事件首先是互斥事件，故①正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式，故②不正确；概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故③不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确．比如在掷骰子试验中，设事件A ＝{正面为奇数}，B ＝{正面为1,2,3}，则P (A )＋P (B )＝1.而A ，B 不互斥，故④不正确． 7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56答案 C解析 由题意知，B 表示“大于或等于5的点数出现”，事件A 与事件B 互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝26＋26＝46＝23.二、填空题8．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ＋B )＝0.7，则P (B )＝________. 答案 0.3解析 因为A ，B 为互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．所以P (B )＝P (A ＋B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．答案 120解析 可设参加联欢会的教师共有n 人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－920＝1120.再由题意，知1120n －920n ＝12，解得n ＝120.10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．答案 0.45解析 由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.11．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________． 答案 59解析 记“既不出现5点也不出现6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“5点或6点至少出现一个”的事件为B .因为A ∩B ＝∅，A ＋B 为必然事件，所以A 与B 是对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.故5点或6点至少出现一个的概率为59.三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的． 由题意，得⎩⎨⎧P A ＝13，P B ＋C ＝512，P C ＋D ＝512，P A ＋B ＋C ＋D ＝1，即⎩⎨⎧PB ＋PC ＝512，P C ＋PD ＝512，13＋P B ＋P C ＋P D ＝1，解得⎩⎨⎧PB ＝14，P C ＝16，P D ＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一 几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰． 故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －ra.题型二 与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}，则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 答案31 000解析由几何概型知，P＝31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.。
2024-2025学年高中数学第3章概率§11.11.2随机事件的概率(教师用书)教案北师大版必修3
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
6.课堂小结（5分钟）
目标：回顾本节课的主要内容，强调概率的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括概率的基本概念、组成部分、案例分析等。
强调概率在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用概率。
10.提高合作能力和解决问题的能力：通过小组讨论和案例分析，学生能够与他人合作，共同解决问题，提高合作能力和解决问题的能力。
内容逻辑关系
①随机事件的定义和分类：必然事件、不可能事件、随机事件
②概率的定义和性质：概率的计算方法，包括古典概率、几何概率和条件概率；概率的基本性质，如互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘积公式等。
-互斥事件的概率加法公式：P(A+B) = P(A) + P(B)
-独立事件的乘积公式：P(AB) = P(A) * P(B)
③概率的运用
-抽奖问题：计算获奖的概率
-概率论的基本问题：计算某个事件发生的概率
教学评价与反馈
1.课堂表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的积极性，以及学生的反应和理解程度，评价学生对概率知识的掌握情况。
布置课后作业：让学生撰写一篇关于概率的短文或报告，以巩固学习效果。
学生学习效果
1.理解概率的基本概念：学生能够理解概率的定义，掌握概率的基本计算方法和性质，如互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘积公式等。
2.掌握随机事件的分类：学生能够区分必然事件、不可能事件和随机事件，并能够运用这些概念解决实际问题。
2.数据分析：通过讲解概率的定义和性质，培养学生收集、整理、分析和处理数据的能力，使学生能够运用几何概率和条件概率的方法解决实际问题。
高中数学 第三章 概率本章知识体系学案(含解析)北师大版必修3-北师大版高一必修3数学学案
第三章概率本章知识体系专题一互斥事件与对立事件【例1】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【思路探究】用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．【解答】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.总的事件数为20.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝3 10，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝9 10.【规律方法】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算．求“至多”“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事件包含哪些事件，再利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式解决．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：(1)设事件“电话响第k 声时被接”为A k (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A －.根据对立事件的概率公式，得P (A －)＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.专题二 古典概型【例2】 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？【思路探究】 可用枚举法找出所有的等可能基本事件．【解答】 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)． 因此，共有10个基本事件．(2)如下图所示上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件A )，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P (A )＝310.【规律方法】 解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n 与事件A 所含的基本事件数m ，因此要注意以下几个方面：①明确基本事件是什么；②试验是否是等可能性的试验；③基本事件总数是多少；④事件A 包含多少个基本事件．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个，若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16.(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率．解：(1)设红色球有x 个，依题意得x 24＝16，解得x ＝4，∴红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A 包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P (A )＝512.专题三 几何概型【例3】 设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．【思路探究】 当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．【解答】设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P(A )＝34(23)234(43)2＝14.【规律方法】几何概型有两大特征：基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性．求解此类问题时，常把概率问题等价转化为相应问题的测度比问题．常见的测度比有：长度之比、面积之比、体积之比等等，正确区分几何概型与古典概型是本章学习的一个难点．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？解：设事件A“父亲离开家前能得到报纸”．在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x ≤y ，而(x ，y )的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由右图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，μA ＝12－12×12×12＝78，μΩ＝1，所以P (A )＝μA μΩ＝78.专题四 概率与统计的综合问题【例4】 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 【思路探究】 (1)根据已知条件分别列出甲、乙两个小组的研发成绩，利用平均数、方差公式求解；(2)用古典概型概率公式求恰有一组研发成功的概率．【解答】 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝1015＝23； 方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为x 乙＝915＝35； 方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625. 因为x甲>x乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个．故事件E发生的频率为715，将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝715.【规律方法】概率与统计相结合，是新课标数学试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55)岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45) a 0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55)150.3(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06，频率分布直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1 000.由上面可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030＝21，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人为a ，b ，c ，d ，[45,50)岁中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的选法有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815.专题五 数形结合思想【例5】 设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，试求方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率．【思路探究】 试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部．【解答】 基本事件总体的区域D 的度量为正方形面积， 即D 的度量为S 正方形＝62＝36，由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数，得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0， ∴p 2＋q 2≥1.∴当点(p ，q )落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d 的度量为S 正方形－S 圆＝36－π，∴原方程的两根都是实数的概率为P ＝36－π36.【规律方法】 数形结合的思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用．在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数．在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比．三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？解：记三人为A 、B 、C ，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图：每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A 手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.。
【教学设计】《互斥事件》(数学北师大必修3)
《互斥事件》互斥事件与对立事件是北师大版数学必修3第三章第2节的内容，新课标的要求是：理解互斥事件概念，掌握互斥事件和对立事件的区别和联系，为以后学习相互独立事件和次独立重复试验做好铺垫，因此这节课有着深化知识层面，拓展能力范围的作用，是本章的重要内容。
之 【知识与能力目标】理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。
【过程与方法目标】通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。
通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。
【情感与态度目标】通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。
◆ 教材分析◆教学目标【教学重点】：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。
【教学难点】：互斥事件与对立事件的区别与联系。
多媒体课件一、互斥事件1．互斥事件的定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件例如，在一个盒子里放有大小相同的10个小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球.从盒中摸出1个小球得到的结果可能是红球，也可能是绿球或黄球，并且只能是其中一种情况.我们把“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A ，“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B ，“从盒中摸出1个小球，得到黄球”叫做事件C ，那么这里的事件A 、事件B 、事件C 中的任何两个是不可能同时发生的.事件A 与事件B 、事件B 与事件C 都是互斥事件.从集合的角度来看，事件A 与事件B 是互斥事件，则事件A 所包含的基本事件构成的集合与事件B 所包含的基本事件构成的集合的交集是空集.2．互斥事件有一个发生的概率设A 、B 为互斥事件，当事件A 、B 有一个发生时，我们把这个事件记作A+B ．事件A+B 发生的概率等于事件A 、B 分别发生的概率的和,即P （A+B ）=P （A ）+P （B ），此公式也称概率和公式.例如上例中“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A ，则P （A ）=0.7；“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B ，则P （B ）=0.2．若记“从盒中摸出1个小球，得到红球或绿球”为事件D ，则D=A+B ，此时P （D ）=P （A +P （B ）=0.7+0.2=0.9.3．一般地，如果事件A1，A2，…，An 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An 彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，则P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）◆ 教学重难点 ◆ ◆ 课前准备◆◆ 教学过程+…+P （A n ）.二、对立事件对立事件的定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A ．从集合的角度看，由事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.此时，事件A 和它对立事件的交集为空集，而并集为全集.若对立事件A 与必有一个发生，则A+是必然事件，从而P （A ）+P （）= P （A+）=1 .由此我们可以得到一个重要公式： P （）= 1- P （A ）.由此可知，当从正面求一个事件的概率比较困难时，可以通过求其对立事件的概率来求解.例如，一枚硬币连掷3次，则出现正面的概率是多少？此题若从正面分析则有以下三种情况：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面二次反面.虽然它们是互斥事件，可以利用互斥事件有一个发生的概率公式来求解，但解题比较复杂.如果考虑其反面利用对立事件的概率来求解，则简单得多.解：出现正面的对立事件是出现的三次都是反面，由于三次都是反面的概率为 ，则出现正面的概率为1- =.三、互斥事件和对立事件的区别与联系两个事件若对立则必然互斥，且必有一个事件发生.因此，两个事件是对立事件需满足两个条件：①互斥，②两个事件中必有一个发生.两个事件若是对立事件则一定是互斥事件，但若是互斥事件则不一定是对立事件.四、互斥事件有一个发生的概率的求解步骤（1）确定这些事件是互斥事件；（2）这些事件有一个发生；（3）分别求每一个事件的概率，再相加.前两条是使用互斥事件有一个发生的概率的概率和公式的前提条件，如果不符合这一点就不能用概率和公式.三、布置作业 A A A A AP143【练习1】，P147【练习2】◆教学反思略。
高中数学第三章概率随机事件的概率教案北师大必修3
随机事件的概率教学方针：通过试验，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，由此给出概率的统计定义。
教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性。
教学难点：理解频率与概率的关系。
教学过程：[设置情景]1名数学家＝10个师在第二次世界大战中，美国曾经颁布颁布：一名优秀数学家的感化超过10个师的军力。
这句话有一个非同寻常的来历。
1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。
为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后得出，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有必然的规律性。
必然数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大。
美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再团队通过危险海域，然后各自驶向预定港口。
结果奇迹泛起了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由本来的25％降为1％，大大减少了损失，包管了物资的及时供应。
在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象。
如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在必然的条件下，它所泛起的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在必然的条件下，泛起那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象。
确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比力容易掌握它。
而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点。
随机现象在必然条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件。
[探索研究] 1．随机事件下列哪些是随机事件？ （1）导体通电时发热； （2）或人射击一次，中靶； （3）抛一石块，下落； （4）在常温下，铁熔化； （5）抛一枚硬币，正面朝上；（6）在标准大气压下且温度低于c 0时，冰融化。
高中数学第三章概率2.3互斥事件教学案北师大版必修3
A2＋ … ＋ An) ＝P( A1) ＋ P( A2) ＋ … ＋ P( An) ．
[ 点睛 ] (1) 如果事件 A与 B 是互斥事件，那么 A 与 B两事件同时发生的概率为 0.
(2)
从集合的角度看，记事件 A 所含结果组成的集合为集合 A，事件 B 所含结果组成的集 合为集合 B，事件 A与事件 B互斥，则集合 A 与集合 B 的交集是空集，如图所示． 2．对立事件 (1) 定义：
次中靶，第二次没有中靶；
④第一次没有中靶，第二次中靶．“至少有一次中靶”包含①③④三种结果，因此互
斥事件是② .
3．抽查 10 件产品，记事件 A 为“至少有 2 件次品”，则 A 的对立事件为 (
)
B．至多有 1 件次品
A．至多有 2 件次品
D．至少有 2 件正品
C．至多有 2 件正品
解析：选 B 至少有 2 件次品包含 2,3,4,5,6,7,8,9,10
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1) 确定各事件彼此互斥；
(2) 求各事件分别发生的概率，再求其和． 值得注意的是： (1) 是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率
加法公式的． [ 活学活用 ] 在数学考试中，小明的成绩在 90 分及 90 分以上的概率是 0.18 ，在 80～ 89 分 ( 包括 80 分与 89 分，下同 ) 的概率是 0.51 ，在 70～79 分的概率是 0.15 ，在 60～69 分的概率是 0.09,60 分以下的概率是 0.07. 计算下列事件的概率： (1) 小明在数学考试中取得 80 分及 80 分以上的成绩； (2) 小明考试及格． 解：分别记小明的成绩在“ 90 分及 90 分以上”，在“ 80～ 89 分”，在“ 70～ 79 分”，在“ 60～ 69 分”为事件 B， C，D， E，显然这四个事件彼此互斥． (1) 小明的成绩在 80 分及 80 分以上的概率是
高中数学第三章概率2_3互斥事件教案北师大版必修3
互斥事件整体设计教学分析教科书通过实例定义了互斥事件、对立事件的概念.教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述,没有给出严格的定义,严格的定义,要到大学里的概率统计课程中才能给出.三维目标(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.(2)概率的几个基本性质：①必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1；②当事件A 与B 互斥时,满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；③若事件A 与B 为对立事件,则A∪B 为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).(3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣.重点难点教学重点：概率的加法公式及其应用.教学难点：事件的关系与运算.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考优85分及以上 9人 良75—84分 15人 中60—74分 21人 不及格 60分以下 5人在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”(优或良)的概率是多少？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题.思路2.(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4} {2,3,4,5}等；(2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C 1={出现1点},C 2={出现2点},C 3={出现1点或2点},C 4={出现的点数为偶数},….师生共同讨论：观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质.思路 3.全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是72和51,则该省夺取该次冠军的概率是72+51,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质.推进新课新知探究提出问题在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},….类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？(4)事件D3与事件F能同时发生吗？(5)事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案.讨论结果：(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.(4)事件D3与事件F不能同时发生.(5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.由此我们得到事件A,B的关系和运算如下：①如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A(或事件A包含于事件B),记为B⊇A(或A⊆B),不可能事件记为∅,任何事件都包含不可能事件.②如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,(若B⊇A同时B⊆A),我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件(或和事件),记为A∪B或A+B.④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件),记为A∩B或AB.⑤如果A∩B为不可能事件(A∩B=∅),那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A 与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.继续依次提出以下问题：(1)概率的取值范围是多少?(2)必然事件的概率是多少?(3)不可能事件的概率是多少?(4)互斥事件的概率应怎样计算?(5)对立事件的概率应怎样计算?活动：学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义：(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0—1之间,因而概率的取值范围也在0—1之间.(2)必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.(3)不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.(4)当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和.(5)事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率是1,由(4)可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差.讨论结果：(1)概率的取值范围是0—1之间,即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P(E)=1.(3)不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P(F)=0.(4)当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式,也称互斥事件的概率的加法公式.(5)事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它们的应用. 应用示例思路1例1 在课本§2古典概型的例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,下面的事件A和事件B是否是互斥事件?(1)事件A=“总质量为20 kg”,事件B=“总质量为30 kg”;(2)事件A=“总质量为7.5 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”;(3)事件A=“总质量不超过10 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”;(4)事件A=“总质量为20 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”.解：在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不能同时发生,因此事件A与事件B是互斥事件.对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,当总质量为20 kg时,事件A与事件B同时发生,因此,事件A与事件B不是互斥事件.点评：判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.变式训练1.一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.活动：教师指导学生,要判断所给事件是对立事件还是互斥事件,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.解：A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件(至少一个发生).2.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品；(4)至少有1件次品和全是正品.解：依据互斥事件的定义,即事件A 与事件B 在一定试验中不会同时发生,知(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们的并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断：(2)中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件;(3)中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件;(4)中的2个事件既互斥又对立.例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C =“抽到的是三等品”,且已知P(A)=,P(B)=,P(C)=.求下列事件的概率：(1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”;(2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”.解：(1)事件D 即事件A+C,因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,得P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=+=.(2)事件E 即事件B+C,因为事件B=“抽到的是二等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,得P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.点评：容易看出,事件D+E 表示“抽到的产品是一等品或二等品或三等品”.事件D 和事件E 不是互斥事件,因此不满足互斥事件的概率加法公式.事实上,P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C)=,而P(D)+P(E)=［P(A)+P(C)］+［P(B)+P(C)］=,“抽到的是三等品”的概率P(C)在P(D)和P(E)中各算了一次,因此,事件D+E 的概率P(D+E)不等于P(D)+P(E).例3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整,为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查,他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如下表所示：男 女 总计 赞成 18 9 27 反对12 25 37 不发表看法20 16 36 总计 50 50 100解：用A 表示事件“对这次调整表示反对”,B 表示事件“对这次调整不发表看法”,则A 和B 是互斥事件,并且A+B 就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”,由互斥事件的概率加法公式,得P(A+B)=P(A)+P(B)=100731003610037=+=, 因此,随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是.点评：若事件C=“对这次调整表示赞成”,则其对立事件C=“对这次调整表示反对或不发表看法”,因此,随机选取一个被调查者,他对这次调整表示反对或不发表看法的概率还可以按如下方法计算：P(C )=1-P(C)=11007310027=-=. 变式训练1.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图1所示.随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少?(2)他参加不超过2个小组的概率是多少?图1 解：(1)从图1中可以看出,3个课外兴趣小组总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”,则A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”,于是,P(A )=1-P(A)=153601086=++-=. 因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是.(2)用B 表示事件“选取的成员参加3个小组”,则B 就表示“选取的成员参加不超过2个小组”,于是,P(B )=1-P(B)=15136081=-≈. 所以,随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率约等于.2.小明的自行车用的是密码锁,密码锁的四位数密码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成.小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序,试问：随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不能打开锁的概率是多少?解：用A 表示事件“输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不是密码”,A 比较复杂,可考虑它的对立事件,即“输入由2,4,6,8组成的一个四位数,恰是密码”,它只有一种结果.利用树状图可以列出输入由2,4,6,8组成的一个四位数的所有可能结果(如图2).从图中可以看出,所有可能结果数为24,并且每一种结果出现的可能性是相同的,这是一个古典概型.P(A )=241,因此,图2P(A)=1-P(A )=2423≈, 即小明随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不能打开锁的概率约为.思路2例1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”,B 为“出现偶数点”,已知P(A)= 21,P(B)= 21,求出“出现奇数点或偶数点”的概率. 活动：学生思考或讨论,教师引导,抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,并且是相互独立事件,可以运用概率的加法公式求解.解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A 、B 是互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=21+21=1. 出现奇数点或偶数点的概率为1.变式训练抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A 为出现奇数,事件B 为出现2点,已知P(A)= 21,P(B)=61,求出现奇数点或2点的概率之和. 解：“出现奇数点”的概率是事件A,“出现2点”的概率是事件B,“出现奇数点或2点”的概率之和为P(C)=P(A)+P(B)=326121=+. 例2 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为31,得到黑球或黄球的概率是125,得到黄球或绿球的概率也是125,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？活动：学生阅读题目,交流讨论,教师点拨,利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.解：从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A 、B 、C 、D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=125,P(C∪D)=P(C)+P(D)=125,P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-31=32,解得P(B)=41,P(C)=61,P(D)= 41, 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是41、61、41. 变式训练已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是71,从中取出2粒都是白子的概率是3512,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？答案：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为3517351271=+. 知能训练1.下列说法中正确的是( )A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案：D2.课本练习1—4.拓展提升1.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21,求男女生相差几名? 解：设男生有x 名,则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(⨯-x x , 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(⨯--x x . 以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于21, 得3536)35)(36(3536)1(⨯--+⨯-x x x x =21. 解得x=15或x=21,即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.总之,男女生相差6名. 血型A B AB O 该血型的人所占比/% 28 29 8 35AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血,若小明因病需要输血,问：(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O 型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的. 由已知,有P(A′)=,P(B′)=,P(C′)=,P(D′)=.因为B,O 型血可以输给B 型血的人,故“可以输给B 型血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的加法公式,有P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=+=.(2)由于A,AB 型血不能输给B 型血的人,故“不能输给B 型血的人”为事件A′+C′,且P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=+=,即任找一人,其血可以输给小明的概率为,其血不能输给小明的概率为.注：第(2)问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件,故由对立事件的概率公式,有P(''D B +)=1-P(B′+D′)==. 课堂小结1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A 与事件B 互斥时,A∪B 发生的概率等于A 发生的概率与B 发生的概率的和,从而有公式P(A∪B)=P(A)+P(B)；对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生.2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：(1)事件A 发生且事件B 不发生；(2)事件A 不发生且事件B 发生；(3)事件A 与事件B 同时不发生.而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生,其包括两种情形：(1)事件A 发生B 不发生；(2)事件B 发生事件A 不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.作业习题3—2 A 组 3.设计感想本堂课通过掷骰子试验,定义了许多事件,并根据集合的运算定义了事件的运算,给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式,在运用时要切实注意它们的使用条件,不可模棱两可,搞清互斥事件和对立事件的关系,思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练,对刚学的知识是一个巩固和加强,同学们要反复训练,安排的题目既有层次性,又有趣味性,适合不同基础的学生,因此本节课授完后,同学们肯定受益匪浅.。
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互斥事件
一、教学目标：
1、知识与技能：通过实例,理解互斥事件和对立事件的概念,了解互斥事件的概率加法公式,并能简单应用.
2、过程与方法：发现法教学，学生通过在抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，得到互斥事件的概率加法公式。
通过正确的理解，准确利用公式求概率。
3、情感态度与价值观：通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；体会数学思维的严密性，发展条理清晰的思考表达能力、提高分析能力、解决问题的能力。
二、重点与难点：互斥事件 概率的加法公式及其应用
三、教学用具：计算机及多媒体教学．
四、教学过程：
1、温故知新：古典概型相关知识，并完成练习
2、新课引入：（1）日常生活中，我们总有些事件不同时进行。
（互斥事件）
（2）从字面上理解“互斥事件”
基本概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。
A 、
B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生（学生自己举例理解）
3、实例分析：抛掷一枚骰子一次,下面的事件A 与事件B 是互斥事件吗？
(1)事件A=“点数为2”,事件B=“点数3”
(2)事件A=“点数为奇数”,事件B=“点数为4”
(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”
(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”
解：互斥事件: (1) (2) (3)
但(4)不是互斥事件,当点为5时,事件A 和事件B 同时发生
进一步利用集合意义理解互斥事件；
从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B
这两个事件所含结果组成的集
合的交集是空集。
A与B有相交，则A与B不互斥。
4、事件和的意义:事件A、B的和记作B
A+，表示事件A、B至少有一个发生。
当A、B为互斥事件时，事件B
A+是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A 不发生”构成的，
5、事件B
A+的概率满足加法公式：对例题 (1),(2)和(3)中每一对事件,完成下表
学生自己完成表，自己发现Array P(A+B)与P(A)+P(B)有什么
样大小关系.得到概率加法公
式：A、B互斥时
()()()B
P+
A
+
=
P
B
A
P
(4)事件A=“点数为5”,事件B=“点数超过3”，是否也有P（A+B）=P（A）+P（B）？
概率加法公式：A、B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）
拓展推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即
P（A1＋A2＋…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
例如：事件A表示“点数为奇数”，事件A1表示“点数为1”,A2表示“点数为3”,A3表示“点数5”， A1，A2，A3中任意两个是互斥事件P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 6、自主学习：（要求学生自己阅读）
从一箱产品中随机地抽取一件产品,设A=：“抽到的是一等品”,B=“抽到的是二等品”,C=“抽到的是三等品”.且(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05 . 求下列事件的概率:⑴事件D=“抽到的是一等品或三等品”⑵事件E=“抽到的是二等品或三等品”
思考交流：事件D+E表示什么事件?P(D+E)=P(D+E)?为什么?（学生自己思考得出结论）
用概率加法公式的前提：A与B是互斥事件
8、对立事件的概念：1、由实例中(3)事件A=“点数不超过3”,事件B=“点数超过3”
P（A）+P（B）=1 分析引入
2、从集合的意义来理解。
7、例题讲解：课本第142页例6
本例题目的：利用对立事件求概率，强调学生做题书写表达要清晰准确。
三、课堂练习：
（一）、课本第143页练习1
（二）、补充练习
１. 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,记事件A:两次都击中飞机.事件B:两次都没有击中飞机. 事件C:恰有一次击中飞机.事件D:至少有一次击中飞机.其中互斥事件
是．
2、已知A、B为互斥事件，P（A）=0.4，P(A+B)=0.7,P(B)=
3、经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数为及相应概率如下：
(1)至少1人排队等候的概率是多少?(2)有排队等候的概率是多少?
四小结
五、课外作业
课本第148页第8、9题。