(R)数学·勾股定理
八年级数学勾股定理课件-证明、简单计算
B.13
C.9
D.不能确定
第2题图
数学
八年级 下册
人教版
第1课时勾股定理(一) —— 证明、简单计算
3.(人教八下P26改编)在平面直角坐标系中有两点A(0，3)， B(3，0)，则这两点之间的距离为 3 2 .
数学
八年级 下册
人教版
第1课时勾股定理(一) —— 证明、简单计算
知识点1 勾股定理的证明 【例题1】将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放， 使点A，E，D在同一条直线上.试用图形的面积表达式证明 勾股定理.
CQ＝1.5×(t－62)＝(1.5t－4.5)cm, ∴AQ＝10－(1.5t－4.5)＝(－1.5t＋14.5)cm, ∴BP＋BC＋CQ＝8－t＋6＋1.5t－4.5＝(0.5t＋9.5)cm,AP＋AQ ＝t＋(－1.5t＋14.5)＝(－0.5t＋14.5)cm,
数学
八年级 下册
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第1课时勾股定理(一) —— 证明、简单计算
(2)如果a＝12，c＝13，求b；
(3)如果b＝40，c＝41，求a. 解:(1)a＝6,b＝8,则c＝ a2＋b2＝10.
(2)a＝12,c＝13,则b＝ c2－a2＝5.
(3)b＝40,c＝41,则a＝ c2－b2＝9.
数学
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第1课时勾股定理(一) —— 证明、简单计算
【变式2】求出如图所示的直角三角形中，未知边AB的长度.
数学
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证明:由图形易得S△ACD＝12AC·DE＝12b2, S△ABC＝12BC·AC＝12ab, S△BCD＝12BC·(AC－AE)＝12a(b－a). 由△ABC≌△DAE,得
∠DAB＝∠DAE＋∠BAC＝90°.
勾股定理课件(共19张PPT)人教版初中数学八年级下册
1
+2·
2
ab =
即：在Rt△ABC 中，∠C=90 °
c2 = a2 + b2
1 2
c +ab
2
伽
菲
尔
德
证
法
归纳小结
“赵爽弦图”通过图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证实
了命题的正确性，命题与直角三角形的边有关，我国把它称为
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平
方和，等于斜边c的平方。
即：a2+b2 =c2
谢谢观看
哲学家、数学家、天文学家
新知探究
思考
图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系？等腰
直角三角形的三边之间有什么关系？
A
B
a
b
c
C
图17.1-2
三个正方形A、
B、C的面积有
什么关系？
新知探究
探究
等腰直角三角形有上述性质，其他
直角三角形是否也有这个性质？
C
A
B
C'
图1
A'
B'
图17.1-3
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
了解勾股定理文化背景，体验勾股定理的探究过
程。
理解不同勾股定理的证明方法，能够分析
它们的异同。
能够用勾股定理解决直角三角形的相关学习
3
和解决生活中的实际问题。
情景导入
图17.1-1
毕达哥拉斯（Pythagoras,约前
勾股定理详解
勾股定理详解勾股定理定义及公式勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组程a²+ b²= c²的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a²+b²=c²。
勾股定理逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。
如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。
如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。
勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。
下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。
【证法1】赵爽“勾股圆方图”第一种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形围在外面形成的。
因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。
第二种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。
因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。
这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。
【证法2】课本的证明做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab，整理得a²+b²=c²【证法3】1876年美国总统Garfield证明以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD ≌RtΔCBE,∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于1/2c².又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c².∴a²+b²=c².【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
《勾股定理》优秀说课稿（精选5篇）
《勾股定理》优秀说课稿（精选5篇）《勾股定理》优秀说课稿篇1一、说教材勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。
据此，制定教学目标如下：1、理解并掌握勾股定理及其证明。
2、能够灵活地运用勾股定理及其计算。
3、培养学生观察、比较、分析、推理的能力。
4、通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。
教学重点：勾股定理的证明和应用。
教学难点：勾股定理的证明。
二、说教法和学法教法和学法是体现在整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点：1、以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让同学们主动参与学习全过程。
2、切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。
3、通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。
三、教学程序本节内容的教学主要体现在学生动手、动脑方面，根据学生的认知规律和学习心理，教学程序设计如下：（一）创设情境以古引新1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。
这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。
2、是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。
3、板书课题，出示学习目标。
【培优奥数专题】五年级下册数学-勾股定理(解析版)
【培优奥数专题】五年级下册数学-勾股定理（解析版）一、知识点1、历史三千多年前，周朝数学家商高提出“勾三股四弦五”最早由公元前3世纪中我汉代数学家赵爽在《周髀算经》注解时给出相传，公元前550年，古希腊毕达哥拉斯首先发现，但其证明方法已失传2、概念直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方例如：两直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则a²＋b²＝c²3、勾股数组概念：指满足算式a²＋b²＝c²的三个正整数常见的勾股数组：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）变形的勾股数组：将上面四组勾股数组中任意一组的三个数同时扩大或缩小相同的倍数之后仍然是勾股数组4、勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形二、学习目标1.我能够了解勾股定理的概念。
2.我能够理解勾股定理的逆定理，并能准确判断一个三角形是否为直角三角形。
3.我能够运用勾股定理解决简单的实际问题。
三、课前练习1.计算下列各题，并牢牢记住答案。
11²＝12²＝13²＝14²＝15²＝16²＝17²＝18²＝19²＝20²＝21²＝22²＝23²＝24²＝25²＝【解答】1211441691962252562893243614004414845295766252.画出下面图形的对称轴，并说一说你有什么发现？【解答】略四、典型例题思路点拨如何判断三角形为直角三角形如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角。
例题11.下列各组数中能恰好作为直角三角形三边长的是。
A.（4，5，6）B.（16，12，10）C.（10，24，26）D.（5，14，17）【解答】根据两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形发现只有C符合10²＋24²＝26²。
人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)
这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为
人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》复习教案
第17章勾股定理全章复习教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。
教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。
教学过程：(一)知识结构图：见PPT(二)基础知识：1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2 + b2 = c2几何语言：在Rt △ABC 中, ∠C=90°∴a2+b2=c2练习：1.求出下列直角三角形中未知的边．2.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X=3. 三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC8A 15B 30° 2C B A 2 45° A CB2 .勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 在△ABC 中,∵a2+b2=c2∴ △ABC 是直角三角形，∠C=90°互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.基础练习二：1．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )A 5，12，13B 2，3，3C 4，7，5D 1， 2 ， 52.若△ABC 中 ,AB=5 ,BC=12 ,AC=13 ,求AC 边上的高.三、典例分析：例1、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积变式 有一块田地的形状和尺寸如图所示，试求它的面积。
121334归纳： 转化思想例2、下图是学校的旗杆,小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他D BA C归纳： 方程思想 例3、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。
沪科版八年级数学下册课件.1勾股定理(24张)
c
2
a
=2ab+b2-2ab+a2
c a
b
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
新知探究
方法二 大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ; 也可以表示为c2 + 2ab.
∵ (a+b)2 = c2 + 2ab
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
论中正确的是( A )
A.c2=a2+b2
B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
解析: 由题意得到四个完全一样的直角 三角板围成的四边形为正方形, 其边长为c, 里面的小四边形也为正方形, 边长为b-a, 则 有c2=ab×2+(b-a)2, 整理得c2=a2+b2. 故选A.
解析: 如图所示, 大正方形的面积是 (a+b)2, 另一种计算方法是4× 1 ab+c2,
2
即(a+b)2=4× 1 ab+c2, 化简得 a2+b2=c2.
2
课堂小测
2. 操作: 剪若干个大小形状完全相同的直角三角形, 三边长分别记为a, b, c. 如图(1)所示, 分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的 形状, 图(2)中的两个小正方形的面积S2, S3与图(3)中小正方形的面积S1有 什么关系? 你能得到a, b, c之间有什么关系?
八下数学勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，它指出直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的直角边长度分别为a 和b，斜边长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。
勾股定理的应用非常广泛，它可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。
例如，如果已知直角三角形的一边和另两边的关系，可以使用勾股定理来求出其他两边。
勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
这个逆定理常常用于判断一个三角形是否为直角三角形。
勾股定理和勾股定理的逆定理都是非常重要的数学定理，它们在几何学、三角学、代数学等领域都有广泛的应用。
在中国，勾股定理也被称作商高定理，并且早在周朝时期就已被提出。
在世界范围内，勾股定理也是被广泛接受和应用的数学定理之一，至今已有500多种证明方法。
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
(word完整版)初二数学--勾股定理讲义(经典)
第一章 勾股定理【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证abcab cab cabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
17.1 勾股定理 (教学课件)- 人教版八年级数学下册
知识点 1、2 认识勾股定理及其简单应用 定义：直角三角形两直角边的 平平方方和和 等于 斜斜边边 的平方．如果 用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 aa22＋＋bb22＝＝cc22 ．
7．(知识点 2)(7 分)在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边 分别是 a，b，c，若 a∶b＝3∶4，c＝25，求 a，b.
解：设 a＝3k，b＝4k.因为在△ABC 中，∠C＝90°，c＝25，所以由勾 股定理，得(3k)2＋(4k)2＝252.因为 k＞0，所以 k＝5.所以 a＝3×5＝15，b＝ 4×5＝20.
B．14
C．15
D．16
2．(知识点 1)(3 分)在△ABC 中，∠A＝90°，则下列式子中，错误的
是( C )
A．∠B＋∠C＝90°
B．AB2＋AC2＝BC2
C．BC2＝AC2－AB2
D．AC2＝BC2－AB2
3．(知识点 2)(3 分)如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°， AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
• 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者 把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的 直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾2+股2=弦2
(总分 30 分)
1．(知识点 1)(3 分)已知直角三角边长为( C ) A．13
17.1 勾股定理 第1课时 勾股定理股定理
学习目标
• 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一 • 些文化历史背景，体会数形结合的思想.（重点） • 2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
第04讲 勾股定理(解析版)-【寒假自学课】2023年八年级数学寒假精品课(人教版)
第04讲 勾股定理【学习目标】1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，初步感知实数与数轴上的点的一一对应的关系．3．能运用勾股定理进行有关的计算和解决实际问题．【基础知识】1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=． 2．勾股定理的证明 方法图形证明赵爽“勾股圆方图”因为大正方形的边长为c ，所以大正方形的面积为2c ．又大正方形的面积=()2142ab a b ⨯+-，所以222a b c +=bca伽菲尔德总统拼图设梯形面积为S ，则()()12S a b a b =++， 又2111222S ab ab c =++， 所以222a b c +=毕达哥拉斯拼图由图（1）得大正方形面积=2142c ab +⨯，由图（2）得大正方形面积=22142a b ab ++⨯，比较两式易得222a b c +=总结 以上证法都是通过拼摆图形，运用图形面积与代数恒等式的关系互相转化证明勾股定理3．勾股定理的应用 勾股定理的主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．【考点剖析】ccb baa（2）（1）ccbb a a考点一：运用勾股定理进行计算例1．在Rt ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，90C ∠=︒．（1）已知3a =，4b =，求c ； （2）已知13c =，5a =，求b ； （3）已知:3:4a b =，10c =，求b ． 【答案】（1）5；（2）12；（3）8 【解析】解：（1）因为90C ∠=︒，3a =，4b =， 所以222223425c a b =+=+=， 所以5c =．（2）因为90C ∠=︒，13c =，5a =， 所以22222135144b c a =-=-=， 所以12b =．（3）因为90C ∠=︒，:3:4a b =， 所以43b a =． 因为90C ∠=︒，10c =，43b a =， 所以2224103a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得6a =（负值舍去），所以8b =．考点二：运用勾股定理求面积例2．如图，已知直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个 图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作1S 、2S 、3S ． 结论Ⅰ：1S 、2S 、3S 满足123S S S +=只有（4）； 结论Ⅱ：∵a b c +＞，∴123S S S +＞的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（ ）A ．Ⅰ对Ⅱ不对B ．Ⅰ不对Ⅱ对C ．Ⅰ和Ⅱ都对D ．Ⅰ和Ⅱ都不对【答案】D 【解析】解：∵直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ， ∴222a b c +=，图1中，21133224S a a a =⨯⨯=，2234S b =，2334S =， 则)22123S S a b +=+，233S =， ∴123S S S +=，同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：123S S S +=， 故选：D ．考点三：勾股定理的简单应用例3．如图，为测量河宽BC ，某人选择从点C 处横渡，由于受水流的影响，实际上岸地点A 与欲到达地点B 相距50米，结果发现AC 比河宽BC 多10米，求该河的宽度BC ．（两岸可近似看作平行）【答案】120米 【解析】解：根据题意可知50AB =米，10AC BC =+米， 设BC x =cm ，由勾股定理得222AC AB BC =+，即()2221050x x +=+，解得120x =．答：该河的宽度BC 为120米． 考点四：运用勾股定理解决折叠问题例4．如图，在长方形ABCD 中，点E 在DC 上，将长方形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若3AB =，5BC =，求EC 的长．【答案】43【解析】解：∵四边形ABCD 为长方形， ∴5AD BC ==，3AB CD ==，∵长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处， ∴5AF AD ==，EF DE =， 在Rt ABF 中，2222534BF AF AB -=-=，∴541CF BC BF =-=-=，设CE x =，则3DE EF x ==-， 在Rt ECF 中，∵222CE FC EF +=， ∴()22213x x +=-，解得43x =， 故EC 的长为43． 考点五：会画长度为无理数的线段例5. 如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A 所表示的数为 ．51 【解析】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：22125+=即点A 到表示15 那么点A 到原点的距离为)51个单位，∵点A 在原点的右侧，∴点A 51， 51．考点六：运用勾股定理求最短路径例6. 如图，圆柱的底面周长为24cm ，AC 是底面圆的直径，高6BC =cm ，点P 是BC 上一点，且5PC BP =，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是___________．【答案】13cm 【解析】解：如图展开，连接AP ，则线段AP 的长是从A 点出发沿着圆柱的表面爬行到点P 的最短距离，∵6cm BC =，56PC BC =， ∴5cm PC =，∵圆柱的底面周长为24cm ， ∴12cm AC =，在Rt ACP 中，由勾股定理得：222212513cm AP AC PC =+=+=【真题演练】1．如图，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，AD 是ABC 的中线，则AD 长为（ ）A ．22B ．6C ．8D ．261【答案】C 【解析】解：∵12BC =，AD 是ABC 的中线， ∴6BD CD ==， ∵10AB AC ==， ∴AD BC ⊥， ∴22221068AD AB BD =-=-=．故选：C ．2．线段AB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，()1,4A -，()5,1B -，线段AB 的长为（ ）A ．5B ．42C ．4D ．3【答案】A 【解析】解：由勾股定理得，22435AB +=， 故选：A ．3．如图，在长方形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角 线AC 长为半在作弧交数轴正半轴于点M ，则点M 所表示的数为（ ）A 10B 101C 101D ．2【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD 是长方形，1AD =，∴1BC AD ==，90ABC ∠=︒．∵90ABC ∠=︒，1BC =，3AB =， ∴223110AC =+= ∴10AM AC ==∴点M 101．故选：B ．4．如图，在ABC 中，20AB =，15AC =，7BC =，则点A 到BC 的距离是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】解：如图，过点A 作AD BC ⊥交BC 的延长线于点D ，在Rt ABD 与Rt ACD 中，由勾股定理得，22222AB BD AD AC CD -==-，即()222220715CD CD -+=-，∴9CD =， ∴2212AD AC CD -=，即点A 到BC 的距离是12，故选：C ．5．一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，则它所爬行的最 短路线的长是（ ）A ．10B ．14C 130D ．8【答案】A【解析】解：将长方体展开，分两种情况，第一种展开方式如下图：∴226810AB +=，第二种展开方式如下图： ∴22311130AB +=∵10130＜∴A 点沿纸箱爬到B 点，所爬行的最短路线的长是10，故选：A ．6．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ．若 10cm AB =，6cm AC =，则BE 的长为 cm ．【答案】4cm【解析】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，90C ∠=︒，即AC CD ⊥，∴CD DE =．在Rt ACD 与Rt AED 中，CD ED AD AD =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ACD Rt AED HL ≌．∴AC AE =．又10cm AB =，6cm AC =，∴()4cm BE AB AE AB AC =-=-=．故答案是：4cm ．7．已知x ，y 分别为直角三角形的两边长，并且满足()()()22230x y y ---=，则第三边长度为 ．【答案】2或135【解析】解：∵()()()22230x y y -+--=，∴20x -=，()()230y y --=，∴2x =，2y =或3y =；（1）当2x =，2y =时，x 、y 为直角边长，斜边长222222+=；（2）当2x =，3y =时，分两种情况：①y 为直角边长时，斜边长222313+=②y 为斜边时，第三边长22325-=综上所述：第三边的长为22135故答案为：21358．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、 D 的面积依次为4、6、20，则正方形B 的面积为 ．【答案】10【解析】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，∴A B D C S S S S +=-正方形正方形正方形正方形．∵正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、20，∴4206B S +=-正方形，∴10B S =正方形．故答案为：10．9．等腰三角形的两条边长为4和6，则这个等腰三角形的面积为 ． 【答案】237【解析】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、4，如图，过顶点A 作底边BC 的垂线AD ，垂足为点D ，则6AB AC ==，4BC =，∵AD BC ⊥，∴2BD CD ==， ∴22226242AD AB BD -=-=， ∴三角形的面积为1442=822⨯⨯； ②6是底边时，三角形的三边分别为6、4、4，如图，过顶点A 作底边BC 的垂线AD ，垂足为点D ，则4AB AC ==，6BC =，∵AD BC ⊥，∴3BD CD ==， ∴2222437AD AB BD -=-= ∴三角形的面积为167=372⨯ 综上所述，三角形的面积为8237 故答案为：23710．有一个小朋友拿一根竹竿要通过一个长方形的门，若把竹竿竖着放比门高出1尺，斜着 放恰好等于门的对角线长，已知门宽为4尺，求竹竿高．解：设竹竿高为x 尺，则门高 尺．（用x 的代数式表示）根据题意，可列关于x 的方程： ．解得：x ＝ ．答：【答案】()1x -，()22214x x -+=，8.5【解析】解：设竹竿高为x 尺，则门高()1x -尺．根据题意，得：()22214x x -+=，解得：8.5x =，答：竹竿高为8.5尺．故答案为：()1x -，()22214x x -+=，8.5．11．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图， 火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AEFG 的位置，连接CF ，此时90FAC ∠=︒，AB a =，BC b =，AC c =．请利用直角梯形BCFG 的面积证明勾股定理：222a b c +=．【答案】见解析【解析】 证明：∵2211112222AFG AFC ACB BCFG S S S S ab ab c ab c =++=++=+梯形， ()()()2211112222BCFG S FG BC BG a b a b a ab b =⋅+⋅=++=++梯形， ∴222111222ab c a ab b +=++， 整理得：222a b c +=．12．八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE ， 他们进行了如下操作：①测得9BD =米；（注：BD CE ⊥）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线15BC =米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE ．【答案】13.6米【解析】解：在Rt CDB 中，由勾股定理得，22222159144CD BC BD =-=-=，所以，12CD =±（负值舍去），所以，12 1.613.6CE CD DE =+=+=米，答：风筝的高度CE 为13.6米．【过关检测】1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A ．25B ．7C ．5或7D ．7或25【答案】D【解析】解：当边长为4的边为斜边时，第三边的平方为22437-=；当边长为4的边为直角边时，第三边的平方为224325+=；故选：D ．2．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若 图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积 （ ）A ．144B ．64C ．49D ．25【答案】C【解析】解：由题意可得：小正方形的边长2213557-=，∴小正方形的面积为7749⨯=，故选：C ．3．如图，ABC 中，10AB AC ==，12BC =，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于点E ， 则DE 的长为（ ）A ．125 B ．8C ．245D 5【答案】C【解析】解：如图，连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，162BD BC ==，在Rt ABD 中，由勾股定理得，22221068AD AB BD -=-=，∵DE AB ⊥， ∴1122ABD S AB DE BD AD =⋅=⋅，∴6824105BD AD DE AB ⋅⨯===， 故选：C ．4．一直角三角形的两直角边分别是8和6，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长24B ．三角形的周长是25C ．三角形的面积为48D ．斜边长10【答案】D【解析】解：∵直角三角形的两直角边分别是8和6， ∴斜边长228610=+=，三角形的面积=186=242⨯⨯， 三角形的周长=6810++=24，∴选项D 正确，选项A 、B 、C 错误，故选：D ．5．如图，Rt ABC 的直角边AB 在数轴上，点A 表示的实数为0，以A 为圆心，AC 的长 为半径作弧交数轴的负半轴于点D ．若1CB =，2AB =，则点D 表示的实数为 ．【答案】5【解析】解：2222215AC AB BC =+=+= 则5AD =∵A 点表示0，∴D 点表示的数为：5- 故答案为：56．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，9AB =，6BC =，则BD 的长 为 ．【答案】4【解析】解：在Rt ABC 中，由勾股定理得，22229635AC AB BC =--=， ∵1122ABC S AB CD BC AC =⋅=⋅， ∴63525BC AC CD AB ⋅⨯=== 在Rt ACD 中，由勾股定理得，2245205AD AC CD -=-=，∴954BD AB AD =-=-=，故答案为：4．7．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且 荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 尺．【答案】3.75【解析】解：若设湖水的深度x 尺．则荷花的长是()0.5x +米．在直角三角形中，根据勾股定理， 得：()2220.52x x +=+，解之得： 3.75x =，∴湖水的深度为3.75尺．故答案为：3.75．8．如图所示，一棵18m 高的树被风刮断了，树顶落在离树根12m 处，则折断处的高度AB 为 m ．【答案】5【解析】解：由题意得：12m BC =，18m AC AB +=，90ABC ∠=︒，∴222AB BC AC +=，设m AB x =，则()18m AC x =-，由勾股定理得：222AB BC AC +=，即()2221218x x +=-，解得：5x =，∴ 2.5AB =米，∴折断处的高度AB 为5m ．故答案为：5．9．如图，圆柱的底面周长是10cm ，圆柱高为12cm ，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下 底面点A 爬到与之相对的上底面点B ，那么它爬行的最短路程为 ．【答案】13cm【解析】解：把圆柱沿母线AC 剪开后展开，点B 展开后的对应点为B '，则蚂蚁爬行的最短路径为AB '，如图，12AC =，5CB '=，在Rt ACB '，2251213AB '=+=，所以它爬行的最短路程为13cm ．故答案为：13cm ．10．阅读与思考两点之间的距离公式如果数轴上的点1A ，2A 分别表示实数1x ，2x ，两点 1A ，2A 间的距离记作12A A ，那么1221A x x =-．对于平面上的两点1A ，2A 间的距离是否有类似的结论呢？运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式．（1）如图1，已知平面上两点()0,4A ，()3,0B ，求A ，B 两点之间的距离AB ；（2）如图2，已知平面上两点()1,2A ，()5,5B ，求这两点之间的距离AB ；（3）一般地，设平面上任意两点()11,A x y 和()22,B x y ，如图3，如何计算A ，B 两点之间的距离AB ？对于问题3，作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足分别为点A '，B '；作AA y ''⊥轴，垂足为点A ''；作BC AA '⊥，垂足为点C ，且延长BC 与y 轴交于点B ''，则四边形BB A C ''，ACB A ''''是长方形． ∵CA = ，CB = ， ∴222AB CB CA =+= ． ∴()()222121AB x x y y =-+-这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．请你根据上面的公式求出下列两点之间的距离：()1,2A -，()2,1B -．【答案】（1）5；（2）5；（3）12y y -，21x x -，()()221221y y x x -+-；（4）32【解析】解：（1）∵()0,4A ，()3,0B ， ∴4OA =，3OB =， 由勾股定理得22345AB =+=；（2）∵()1,2A ，()5,5B ， ∴4AC =，3BC =，由（1）同理得，5AB =；（3）∵12AC y y =-，21CB x x =-， ∴()()222221221AB CB CA y y x x =+=-+-， ∴()()222121AB x x y y =-+-．故答案为：12y y -，21x x -，()()221221y y x x -+-；（4）由两点间距离公式得： ()()22211232AB =++--=。
人教版八年级数学下17.1勾股定理(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出浓厚的兴趣。通过引入日常生活中的例子，他们能够更直观地理解这个定理的重要性。在讲授理论时，我注意到有些学生对于定理的证明过程感到困惑，特别是几何证明部分。这让我意识到，需要进一步通过不同的例子和解释来帮助他们克服这个难点。
在实践活动环节，学生们分组讨论并进行了实验操作，这极大地提高了他们的参与度。我观察到他们在尝试解决实际问题时，能够积极思考，相互交流，这有助于巩固他们对勾股定理的理解。然而，我也注意到，在讨论过程中，有些小组在问题的分析和解决上存在困难，这时我及时给予了引导和启发，帮助他们找到了解决问题的方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述和证明这两个重点。对于难点部分，如定理的证明，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量实际物体的直角边和斜边长度，验证勾股定理。
举例解释：
-对于定理的证明，教师需要提供多个角度和方法的证明，如代数法、几何法等，帮助学生从不同角度理解定理的本质；
-在解决实际问题时，教师要指导学生如何从复杂问题中提取关键信息，识别出勾股定理的应用场景；
-在探索勾股数时，教师应引导学生通过具体的计算和观察，发现勾股数的规律，如3、4、5是勾股数，并能够推广到其他勾股数的寻找和应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，我们常见的楼梯、墙壁与地面形成的角等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
第十七章 勾股定理(单元总结)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)
第十七章 勾股定理单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一 勾股定理勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=变式：1）a ²=c ²- b ²2）b ²=c ²- a ²适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．c ba HG FEDC BA方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证222a b c += a b ccb a E DCB A知识点二 勾股定理的逆定理勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数：1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
初中数学《勾股定理》课件
（图中每个小方格代表一个单位面积）
你是怎样得到正方形c 的面积。
P
Q CR
P
Q CR
用了“补”的方法
用了“(1)你能求出正方形R的面积吗？
C A
（2）在图1-2中，正方 形A，B，C中各含有多 少个小方格？它们的面 积各是多少？
B
图1-1
C A
B
图1-2
（3）你能发现图1-1中 三个正方形A，B，C的 面积之间有什么关系吗？ 图1-2中呢？
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？
1、小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最 长的 吧！
快点回家， 好用它凉衣
服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
C A
B
C
图1-1 A
（1）你能用三角 形的边长表示正方 形的面积吗？
（2）你能发现直 角三角形三边长度 之间存在什么关系 吗？与同伴进行交 流。
B
直角三角形两直角边的
八年级数学下册 勾股定理 新人教版(“勾股定理”相关文档)共10张
A
BC=32cm.求△ABC面积.
B
D
C
2.等边△ABC的边长为a,则高AD=
面积S= √3 4
a2
.
√3 2
a
A 通过适当添加辅助线构建
直角三角形使用勾股定理.
BD C
勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中, 如果勾为3,
这里3 +4 = 5 .
约2000年前,我国古代算书《周髀算经》中就记载了公
(结果保留根号) (4)已知a:b=3:4,c=15,则b= 12 .
注意:利用方程的思想求直角三角形有关线段的长
勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中, 如果勾为3,
在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边
通过适当添加辅助线构建
腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.
则a=
.勾三股四弦五”的意思是,在直三角形中, 如果勾为3,(3)已知c=19,a=13.
则a=
.
人们还发现, 勾为6,
通过适当添加辅助线构建
△ABC中,AB=AC=20cm,
则a=
.
阅读课本P93---95.
勾为5,股为12, 弦一定为13等.
面积S=
.
作业
1.阅读课本P93---95.
2.P98 10,11
3.收集勾股定理的证明方法, 写一篇关于勾股定理的小论文
4.写一篇关于我国在数学史上的贡献
的小论文.
( 3 , 4 任选一项)
同学们,再见
2.西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580～前500年)是古希 腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.他不仅提出了定理, 而且努力探求证明方法.
勾股定理——精选推荐
勾股定理勾股定理勾股定理是数学⼏何中的⼀个定理，⼀般的表述为：直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅。
勾股定理是余弦定理的⼀个特例，约有400种证明⽅法。
古埃及⼈在4500年前建造⾦字塔和测量尼罗河泛滥后的⼟地时，就⼴泛地使⽤勾股定理。
古巴⽐伦（公元前1800到1600年）的数学家也提出许多勾股数组。
数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。
中国古代称直⾓三⾓形的直⾓边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理。
中⽂名勾股定理外⽂名Pythagoras theorem别称毕达哥拉斯定理表达式a2+b2=c2提出者商⾼毕达哥拉斯提出时间公元前约1000年应⽤学科数学⼏何适⽤领域范围数学适⽤领域范围物理等理⼯学科记载著作《⼏何原本》《九章算术》⽬录1公式2验证推导3定理推⼴逆定理推⼴定理4发展简史5定理意义1公式如果直⾓三⾓形的两条直⾓边长分别为，，斜边长为，那么。
2验证推导标准验证：该证明对切即为加菲尔德的梯形证明法如右图所⽰：⼤正⽅形的⾯积等于中间正⽅形的⾯积加上四个三⾓形∴∴∴图⽰3定理推⼴逆定理勾股定理的逆定理是判断三⾓形为钝⾓、锐⾓或直⾓的⼀个简单的⽅法，其中C为最长边：如果，则△ABC是直⾓三⾓形。
如果，则△ABC是锐⾓三⾓形。
（若⽆先前条件C为最长边，则仅满⾜∠C是锐⾓）如果，则△ABC是钝⾓三⾓形。
推⼴定理欧⼏⾥得在他的《⼏何原本》中给出了勾股定理的推⼴定理：“直⾓三⾓形斜边上的⼀个直边形，其⾯积为两直⾓边上两个与之相似的直边形⾯积之和”。
4发展简史编辑⼏个⽂明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴⽐伦⼈就知道和应⽤勾股定理，他们还知道许多勾股数组。
古埃及⼈在建筑宏伟的⾦字塔和尼罗河泛滥后测量⼟地时，也应⽤过勾股定理。
我国也是最早了解勾股定理的国家之⼀。
三千多年前，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中。
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八年级下册（R ）数学·勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222c b a =+
2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足222c b a =+。
，那么这个三角形是直角三角形。
3、经过证明被确认正确的命题叫做定理
4、勾股定理证明——拼图法
5、常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
6、用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；
2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 专题一：利用222c b a =+求未知边。
（知一求二）
1、在一直角三角形中有两边长分别是3、4，则其第三边长为__________
2、印度数学家拜斯迦罗（公元1114～1185年）的著作中，有个有趣的“荷花问题”，是以诗歌的形式出现的：
湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃. 湖面之上不复见，入秋渔翁始发现；残花离根二尺遥．．．．．．．
，试问水深尺若干？ 问题：这是一道数学诗，你能读懂诗意，求出水深是多少尺吗？
3、一棵大树离地面9米高处折断，树顶落在离树根底部12米远处，求大树折断前的高度？
专题二：直角三角形的判定
1、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c 。
试判断△ABC 的形状。
2、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，a=n 2－1，b=2n ，c=n 2＋1（n ＞1） 求证：∠C=90°
3、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD ·BD
B
A
C
D
c b a H G
F E D C B A b a
c
b a
c c a b c a b a b
c c b
a
E D C B A
4、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4
1
那么△DEF 是直角三角形吗？
5、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形；
B ．直角三角形；
C ．等腰三角形或直角三角形；
D ．等腰直角三角形。
6、已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC 的形状。
7、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状。
专题三：互逆命题与互逆定理问题
说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
专题四：面积问题 1、已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD 的面积。
2、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积。
3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
4、等边三角形的边长为2，求它的面积，并得出求等边三角形面积公式。
A B C
D
E
5、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。
专题五：折叠问题
1、 如图，有一个直角三角形，两条直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD
折叠， 使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
2．如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /
处，BC /
交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为（ ）．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3、如图，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落
在BC 边上的点F ，求CE 的长。
专题六：无理数在数轴上表示问题
1、如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ）
A ．5+1
B ．5-1
C ．-5+1
D ．5
2、在数轴上作出表示 1- 10和10 +1的点
A C D
B
E
第1题图
八年级下册（R）数学·勾股定理
专题七：勾股定理的实际应用
题型一：求两点之间的距离问题
1、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
2、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
3、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝
160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
题型二：求最短问题
1、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，
沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
2、如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿ cm.
A
B
C
3、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于36cm ，10cm 和6cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只小虫子，想到B 点去吃可口的食物。
请你想一想，这只小虫子从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
小结：如果长方形的长、宽、高分别是a 、b 、c （a ＞b ＞c ），则从顶点A 到B 的最短线是：
4、如图,牧童在A 处放牛,其家在B 处,A 、B 到河岸的距离分别为AC 、BD ，且AC=3，BD=5，CD=6，若牧童从A 处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？
题型三：勾股定理图形化 1、结论：
2、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S
3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____．
题型四：梯子问题
1、一个2.5m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上，这时AC 的距离为2.4m ．如果梯子顶端A 沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端B 也外移0.4m 吗？
B
A
. .
22
()a b c ++
题型五：杯子问题
1、一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？
2、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少㎝．(保留1位小数)。