具体数学Concrete Mathematics(第2版)部分答案ch1p2
具体数学Concrete Mathematics(第2版)部分答案ch1p9
Cse547 Chapter 1, problem 9
(a)
y If we want to get P(n‐1) from P(n), we have to eliminate xn by constant or x1…xn‐1. y If using constant, the left seems good, the right hand side is hard to go on: the constant c is hard to deal withFra bibliotek(b)
y The About method uses P(n), then P(2). y What if we use P(2), then P(n)? y The method is to aggregate x(2i‐1) and x(2i) into one part:
(b)
(c)
y The idea is to use a special version of mathematical induction as this form: y Basis: the statement holds when n=1or2. y Inductive: if the statement holds for n<=k, then the same statement holds for n=k+1
(c)
y Basis: for n=1, x1·(x1/1)1. So we have P(1) for n=2, x1+x2·((x1+x2)/2)2. So we have P(2)
(c)
y Inductive step: Suppose for n<=k, we have P(n) then for n=k+1, we do a case analysis to show P(n) still holds:
具体数学Concrete Mathematics(第2版)第2章题9、10详细解答
=
= xm(x + m)n
2009-04-21
Proof continue
Case 4: integers m<0 and n>0
+n – Ifxm (m+n)>=0 = x(x +1)...(x + m+ n −1) (x + m)(x + m+1)...x(x +1)...(x + m+ n +1) = (x + m)(x + m+1)...(x −1)
• x m and x m +1 are similar, only differ in one factor.
2009-04-21 Discrete Mathematics 3
• Conjecture, for integers m,n>=0 xm+1 = xm(x + m) • More general version, for integers m,n>=0
−n
= xm(x + m)n
2009-04-21 Discrete Mathematics 9
• If (m+n)<0
x
m+n
Case 3 continue
1
=
(x + m+ n)−(m+n) 1 = (x + m+ n)(x + m+ n +1)...(x −1) x(x +1)...(x + m−1) = (x + m+ n)(x + m+ n +1)...(x −1)x...(x + m−1) xm (x + m+ n)−n
具体数学(第2版)习题解析
1递归问题1.1知识点总结1.2练习题1.2.1热身题【1.1】所有的马都有同样的颜色，我们可以对给定集合中的马匹数量运用归纳法来证明之。
理由就是：“如果恰有一匹马，那么它与它自身有相同的颜色，故而基础是显然的。
根据归纳法的步骤，假设有n匹马，标号从1到n。
根据归纳假设，标号从1直到n-1的马都有同样的颜色，类似地，标号从2直到n的马也有同样的颜色。
但是，处于中间位置标号从2直到n-1的马，当它们在不同的马群中时不可能改变颜色，因为这些是马，而不是变色龙。
故而依据传递性可知，标号从1直到n的马也必定有同样的颜色，于是全部n匹马都有同样的颜色。
证毕。
”如果这一推理有误，那么错在哪儿？解：略。
【1.2】把有个圆盘的塔从左边的桩柱A移动到右边的桩柱B，不允许在A和B之间直接移动，求最短的移动序列（每一次移动都必须是移动到中间的桩柱或者从中间的桩柱移出。
像通常一样，每次只能移动一个圆盘，且较大的圆盘永远不能放在较小圆盘的上面）。
解：【1.2a】现有3个排成一行的桩柱A、B和C，柱B位于柱A和柱C之间。
初始状态是在A 柱上叠放了个尺寸不同的圆盘，其叠放规则是自上而下按圆盘尺寸从小到大进行叠放。
现要求将个圆盘从柱A移动到柱C，移动规则如下：（1）每次只能移动一个圆盘；（2）所有的圆盘不可以在柱A和柱C之间直接移动，而必须经过中间的桩柱B（可以移入到柱B或从柱B移出）；（3）较大的圆盘永远不得放在较小圆盘的上面。
对于上述问题，我们已知最短的移动序列满足如下递归式：。
请求解：（1）上述递归式的封闭形式解。
（2）如果放宽第3个条件，即：只允许最大的那个圆盘可以放在较小圆盘之上，而其它所有圆盘仍遵守小盘在上、大盘在下的叠放和移动规则，那么最短的移动序列是多少？解：（1）由递归式，可得：令，则有：可解得：，因此有：（2）依然采用分治法，分而治之，把大问题化解成小问题。
最开始在A柱子上有个盘子，我们可以把个盘子看成：前个盘子、第个盘子和第个盘子。
高等数学第二版教材答案p20
高等数学第二版教材答案p201. 解答题：1.1 求函数f(x) = √( 2 - x^2 ) 在区间 [-2,2] 上的图像。
解析：在区间 [-2,2] 上，对于函数f(x) = √( 2 - x^2 )，我们可以先求出定义域。
由于根号下面的表达式必须大于等于0，所以 2 - x^2 ≥ 0，解这个不等式可以得到 -√2 ≤ x ≤ √2。
因此，函数 f(x) 的定义域为闭区间 [-√2, √2]。
接下来，我们可以通过绘制函数的图像来更好地理解函数的性质和行为。
由于文字版无法绘图，我们可以使用适当的软件或工具进行绘制，并将其描述如下：在坐标系中，取 x 轴范围为 [-2,2]，y 轴范围根据函数值的大小适当确定。
从定义域中可知，在 [-2,-√2] 和[√2,2] 区间外，函数 f(x) 无定义。
在 [-√2, √2] 区间内，函数 f(x) 的值随着 x 的增大而递减，达到最小值为0，即 f(0) = 0。
由于函数中含有平方根，所以函数图像在两个端点(-√2,0) 和(√2,0) 处不连续，但在这两点附近的近似图像可以很接近于连续。
可以通过计算函数的导数来求得函数 f(x) 的增减性和极值点。
由于篇幅限制，这里不再详细展开。
综上所述，函数f(x) = √( 2 - x^2 ) 在区间 [-2,2] 上的图像大致呈现出一个以原点为中心的半圆形，且在 (-√2, 0) 和(√2, 0) 处有两个不连续点。
1.2 解方程sin(πx) = √2/2。
解析：我们需要求解方程sin(πx) = √2/2。
首先，我们需要确定解方程的定义域。
由于 sin 函数的定义域为全体实数，所以这个方程在所有实数上都有意义，即定义域为全体实数集。
接下来，我们可以使用数学技巧或工具求解方程的解。
由于文字形式限制，这里我们给出解的过程：首先，我们知道sin(π/4) = √2/2。
由于 sin 函数的周期性，sin(π/4) 的解还有无穷多个。
具体数学Concrete Mathematics(第2版)部分答案ch1p6
Closed Formula
Bn = Bn-1 + (n – 2) Bn = Bn-2 + (n – 3) + (n – 2) Bn = Bn-3 + (n – 4) + (n – 3 ) + (n – 2) . . .
n
Bn = B0 + B1 + B2 + Bn = Sn-2
Σ
k=1
k
In general, Sn = (n)(n+1) 2 So, since Bn = Sn-2: Bn = (n – 2)(n – 1) 2 This is our predicted closed form solution. Proof by induction will verify it.
b4 b3
As you can see from the picture on the previous slide, the nth line can at a maximum cut 2 unbounded regions. That means that of the n new regions introduced, n – 2 of them must be new bounded regions. That hints at the following recursion: B0 = 0 B1 = 0 B2 = 0 Bn = Bn-1 + (n – 2) , n > 2
Another Method
Another way of looking at this problem is to notice that every line creates 2 unbounded regions. That would mean that for all n lines, the number of unbounded regions = 2n. Since:
具体数学Concrete Mathematics(第2版)部分答案ch1p20slides
= α;
h (2n + 0) = 4h (n) + γ0 n + β0 ; h (2n + 1) = 4h (n) + γ1 n + β1 , for all n ≥ 1.
General Form of CF Our RF for h is a FIVE parameters function and it is a generalization of the General Josephus GJ f considered before So we guess that now the general form of the CF is also a generalization of the one we already proved for GJ , i.e. General form of CF is h (n) = αA (n) + γ0 B (n) + γ1 C (n) + β0 D (n) + β1 E (n) The Proble method to prove that CF equivalent to RF.
We use h (n) = A (n) and re-write RF in terms of A(n) A (2n + 1) = 4A (n) FACT: Closed formula CAR for AR is: CAR: A (n) = A (2k + ) = 4k , 0 ≤ l < 2k Observe that this FACT is equivalent to our Fact 2, i.e. to validity of the Equation 2, so we are now proving Fact 2 for all n = 2k + , 0 ≤
答案-高中数学iMath(第二册)
参考答案目录第五章 (3)5.3同角三角比的关系和诱导公式 (3)5.3.1同角三角比的关系 (3)5.3.2诱导公式 (4)5.3.5三角式的化简与证明 (6)5.4两角和与差的余弦、正弦与正切 (7)5.4.1两角和与差的余弦 (7)5.4.2两角和与差的正弦 (9)5.4.3两角和与差的正切 (11)5.4.4两角和与差的余弦、正弦和正切的应用 (12)5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切 (14)5.5.1倍角公式 (14)5.5.2半角的正弦、余弦和正切 (15)5.5.3万能公式和降幂公式 (17)5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形 (19)5.6.1正弦定理 (19)5.6.2余弦定理 (20)5.6.3正弦、余弦定理的应用（一） (21)5.6.3正弦、余弦定理的应用（二） (23)第六章三角函数 (25)6.1三角函数的图像与性质 (25)6.1.1正弦函数和余弦函数的图像 (25)6.1.2正弦函数和余弦函数的值域与最值（一） (26)6.1.3正弦函数和余弦函数的值域与最值（二） (28)6.1.4正弦函数和余弦函数的周期 (30)6.1.5正弦函数和余弦函数的奇偶性与单调性 (32)6.2正切函数的图像与性质 (33)6.3函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质 (35)6.3.1函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换 (35)6.3.2函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质 (36)6.3.3函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质的应用 (37)6.4反三角函数与最简三角方程 (39)6.4.1反三角函数的图像与性质 (39)6.4.2反三角函数的求值与化简 (41)6.4.3反三角函数的图像与性质的应用 (43)6.5最简三角方程 (45)6.5.1最简三角方程的解集（一） (45)6.5.2最简三角方程的解集（二） (46)第七章平面向量的坐标表示 (48)7.1向量的加减法 (48)7.1.1向量的概念和向量的加减法 (48)7.1.2实数与向量的乘积 (50)第八章 (51)8.2等差数列 (51)8.2.1等差数列及其通项公式（一） (51)8.2.2等差数列及其通项公式（二） (52)8.2.3等差数列的前n项和（一） (53)8.2.4等差数列的前n项和（二） (55)第五章5.3同角三角比的关系和诱导公式5.3.1同角三角比的关系iPreview （i 预习）（1）倒数关系：sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅=.（2）商数关系：sin cos tan (cos 0),cot (sin 0)cos sin αααααααα=≠=≠.（3）平方关系：222222sin co s 1,1tan sec (co s 0),1co t csc (sin 0)αααααααα+=+=≠+=≠.iSelftest （i 自测）1.C2.A3.D4.B5.DiEvolve （i 演变）例133455sin ,tan ,cot ,sec ,csc 54343ααααα=-=-=-==-演变若α为第四象限答案同上；若α为第一象限：33455sin ,tan ,cot ,sec ,csc 54343ααααα=====例2当α为第一象限角时，51212sin ,cos ,cot 13135ααα===当α为第三象限角时，51212sin ,cos ,cot 13135ααα=-=-=演变163326(1)-;(2)-;(3)75169169例379125 (1);(2),(3) 512512-iPractice（i练习）1.4 32.13 22 -+3.3 2 -4.{1,3}-5.(2,9)6.07.1 33或8.(1)当A是锐角时，4cos5α=，3tan4α=；(2)当A是钝角时，4cos5α=-，3tan4α=-。
具体数学Concrete Mathematics(第2版)部分答案ch1p7
Chapter 1, Problem 7
P4: Problem 7 on Page 17
Let H(n) = J(n+1) – J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n + 1) = J(2n+2) – J(2n + 1) = (2J(n+1) – 1) – (2J(n) + 1) = 2H(n) – 2, for all n ≥ 1. Therefore it seems possible to prove that H(n) = 2 for all n, by induction on n. What’s wrong here?
ห้องสมุดไป่ตู้
Detailed Solution - continue
Let’s check whether H(2n) = 2, for all n ≥ 1 as the problem stated:
H(2n) = J(2n + 1) – J(2n) H(n) = J(n+1) – J(n) = [2J(n) + 1] – [2J(n) - 1] Eq. (1.8) = 2J(n) + 1 – 2J(n) + 1 Take the [ ] out = 2 YES ! Algebra
Eq. (1.8): J(1) = 1 J(2n) = 2J(n) – 1, for n ≥ 1; J(2n + 1) = 2J(n) + 1, for n ≥ 1.
H(n) = J(n+1) – J(n) Algebra Algebra Eq. (1.8) Take the [ ] out Algebra H(n) = J(n+1) – J(n)
高等数学2课后习题答案
高等数学2课后习题答案高等数学2课后习题答案高等数学2作为大学数学课程的一部分，是一门相对较难的课程。
在学习过程中，课后习题是巩固和深化知识的重要手段。
然而，对于许多学生来说，课后习题往往是一个难以逾越的障碍。
因此，为了帮助大家更好地学习和掌握高等数学2，本文将提供一些常见习题的答案及解析。
一、极限与连续1. 计算极限这类题目主要考察对极限的计算能力。
在计算过程中，我们需要运用一些基本的极限性质和运算法则。
例如，当求解形如lim(x→a) (f(x) + g(x))时，我们可以利用极限的加法法则，将其拆分为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
2. 判断函数的连续性对于连续性的判断，我们需要掌握连续函数的定义和连续函数的性质。
例如，根据连续函数的定义，如果一个函数在某个点a处连续，那么lim(x→a) f(x) = f(a)，这是判断函数连续性的一个重要条件。
二、导数与微分1. 求导函数求导函数是导数与微分章节的重点内容之一。
在求导函数时，我们需要掌握导数的基本定义和运算法则。
例如，当求解f(x) = x^n的导数时，我们可以利用幂函数的导数公式，即f'(x) = n*x^(n-1)。
2. 利用导数求解问题在实际问题中，我们常常需要利用导数来求解一些相关的问题。
例如，求解函数的极值点、判断函数的单调性等。
在这类题目中，我们需要将问题转化为数学模型，然后利用导数的性质来求解。
三、定积分1. 计算定积分计算定积分是定积分章节的核心内容之一。
在计算过程中，我们需要掌握定积分的基本定义和运算法则。
例如，当计算∫[a,b] f(x)dx时，我们可以利用定积分的性质，将其转化为求解不定积分的问题。
2. 利用定积分解决几何问题定积分在解决几何问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用定积分来计算曲线与坐标轴所围成的面积、计算曲线的弧长等。
在这类题目中，我们需要将几何问题转化为数学模型，然后利用定积分的性质来求解。
具体数学Concrete Mathematics(第2版)部分答案ch1p20
Step 2
•
CF: h(n) = αA(n) + β0B(n) + β1C(n) + γ0D(n) + γ1E(n) R: h(1) = α; h(2n) = 4h(n) + γ0n + β0; h(2n+1) = 4h(n) + γ1n + β1, for n ≥ 1
• Consider the “constant” function:
– n = (1 bm-1 bm-2 ... b1 b0)2 – h((1 bm-1 bm-2 ... b1 b0)2) = (αβbm-1 βbm-2…βb1 βb0)4
• Fact 0: αA(n) + β0B(n) + β1C(n) = (αβbm-1 βbm-2…βb1 βb0)4
Step 1
– f(i) = αi, for 1 ≤ i < d – f(dn+j) = cf(n) + βj, for 0 ≤ j < d and n ≥ 1 – f((bmbm-1bm-2 ... b1b0)d) = (αβbm-1 βbm-2…βb1 βb0)c
• In our case: d = 2, c = 4.
Fact 3: A(n) + C(n) –2D(n) – 2E(n) = n, for n ≥ 1
Step 4
•
CF: h(n) = αA(n) + β0B(n) + β1C(n) + γ0D(n) + γ1E(n) R: h(1) = α; h(2n) = 4h(n) + γ0n + β0; h(2n+1) = 4h(n) + γ1n + β1, for n ≥ 1
数理方程第二版(谷超豪)答案第一章-第三章
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
(ϕ (0) = ψ (0) )
数学物理方程答案
解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 令 x+at=0 得 所以
T ( x) = ρg (l − x)
且 T ( x) 的方向总是沿着弦在 x 点处的切线方向。仍以 u ( x, t ) 表示弦上各点在时刻 t 沿垂直 于 x 轴方向的位移，取弦段 ( x, x + ∆x), 则弦段两端张力在 u 轴方向的投影分别为
ρg (l − x) sin θ ( x); ρg (l − ( x + ∆x)) sin θ ( x + ∆x)
t有
G(x+at) ≡ 常数.
即对任何 x, G(x) ≡ C 0 又 G（x）=
1 1 x C ϕ ( x) + ∫ ψ (α )dα − 2 2 a x0 2a
所以 ϕ ( x),ψ ( x) 应满足
ϕ ( x) +
或
1 x ψ (α )dα = C1 （常数） a ∫x0 1 ϕ ' (x)+ ψ ( x) =0 a
+
x + at 1 (h − α )ψ ( α )dα . 2a (h − x) ∫x − at
即为初值问题的解散。 齐次波动方程初值问题的解仅由右传 ２． 问初始条件 ϕ ( x) 与ψ ( x) 满足怎样的条件时， 播波组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at) 其中 F，G 由初始条件 ϕ ( x) 与ψ ( x) 决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何 x,
具体数学Concrete Mathematics(第2版)部分答案ch2hmks
1 3 SL = (∑3 j=1 a j )(∑k=1 ak ) 1 1 1 SL = (∑3 j=1 a j )( a1 + a2 + a3 ) 1 1 1 +a +a ) SL = (a1 + a2 + a3 )( a 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 SL = a1 ( a +a +a ) + a2 ( a +a +a ) + a3 ( a +a +a ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a3 a3 a2 a2 a1 1 +a SL = 1 + a a3 + a1 + 1 + a3 + a1 + a2 + 1 2 +a3 +a3 +a2 SL = 3 + a2a + a1a + a1a 1 2 3 ak 3 SR = ∑3 j=1 ∑k=1 ak a3 a2 a1 SR = ∑3 j=1 ( a1 + a2 + a3 )
SL = n + (n − 1)n = n2 = SR
具体数学Concrete Mathematics(第2版)部分答案ch1p16general
Convert recursive formula into R: g(1) = α g(2n+ 0) = 3g(n) + Ɛn2 + γn + β0 g(2n+ 1) = 3g(n) + Ɛn2 + γn + β1 (for n є N and n ≥ 1)
y Compute few initial values for R y Observe values and guess a general format for the
g(6) = g(2(3) + 0) = 3g(3) + 9Ɛ + 3γ + β0 = 9α + 12Ɛ + 6γ + β0 + 3β1 g(7) = g(2(3) + 1) = 3g(3) + 9Ɛ + 3γ+ β1 = 9α + 12Ɛ + 6γ + 4β1 g(8) = g(2(4) + 0) = 3g(4) + 16Ɛ + 4γ + β0 = 27α + 37Ɛ + 19γ + 13β0 g(9) = g(2(4) + 1) = 3g(4) + 16Ɛ + 4γ + β1 = 27α + 37Ɛ + 19γ + 12β0 + β1 g(10) = g(2(5) + 0) = 3g(5) + 25Ɛ + 5γ + β0 = 27α + 46Ɛ + 20γ+ 10β0+ 3β1
So, now the recurrence relation becomes: A(1) = α A(2n+ j) = 3A(n) for j = 0,1 and n ≥1 and n є N [Recall: g(2n+ j) = 3g(n) + Ɛn2 + γn + βj]
Concrete Mathematics(第2版)第1章习题20详细答案
We can use binary numbers to find the solution. We can write out the number k in binary expansion: k=(1 bm-1 bm-2…b1 b0)2 We know that each term bi is 0 or 1, with the leading digit, α, always 1. h(1) = α h(2n+j) = 4h(n) + γjn + βj for j=0,1 h(1 bm-1bm-2…b1b0)2 = 4h(1 bm-1bm-2…b1)2 + γb0(1 bm-1bm-2…b1)2 + βb0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
First 5 solutions: h(1) = α h(2) = h(2*1+0) = 4h(1)+nγ0+β0 = 4α+γ0+β0 h(3) = h(2*1+1) = 4h(1)+nγ1+β1 = 4α+γ1+β1 h(4) = h(2*2+0) = 4h(2)+nγ0+β0 = 4(4α+γ0+β0)+2γ0+β0 = 16α+4γ0+4β0+2γ0+β0 = 16α+6γ0+5β0 h(5) = h(2*2+1) = 4h(2)+nγ1+β1 = 4(4α+γ0+β0) + 2γ1+β1 = 16α+4γ0+4β0+ 2γ1+β1 There is no obvious pattern from these steps
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
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GENERALIZE : Lets assume that the tower has “n” disks. Let Tn be the minimum number of moves that will transfer “n” disks from one peg (i.e. A to another (i.e. C). Clearly T0 = 0, because no moves at all are needed to transfer a tower of n = 0 disks.
Total number of moves = Tn-1 + 1 + Tn-1 + 1 + Tn-1 = 3 Tn-1 + 2 Recurrence Relation : T0 = 0 Tn = 3 Tn-1 + 2 Lets compute successively a few values to guess the closed formula.
Answer
Therefore, By Mathematical Induction we proved for all n € N , Tn = 3n – 1
Basis case : T0 = 0 C.F : T0 = 30 – 1 = 1 – 1 = 0 Therefore, Recurrence = C.F for n=0 Let us assume that our closed formula is correct for values <= n – 1. So, now we need to prove : Tn = 3n - 1
Applying the above relation in the recurrence relation, we get Tn = 3 Tn-1 + 2 = 3(3n-1 – 1) + 2 = 3n – 3 + 2 = 3n – 1 Hence, the closed formula holds for n as well.
cse547
Chapter 1, problem 2
Chapter No 1,Problem No 2
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Question : Find the shortest sequence of moves that transfers a tower of n disks from the left peg A to the right peg B, if direct moves between A and B are disallowed. (Each move must be to or from the middle peg. As usual, a larger disk must never appear above a smaller one.)
T0 = 0 T1 = 3*0 + 2 = 2 T2 = 3*2 + 2 = 8 T3 = 3*8 + 2 = 26 T4 = 3*26 + 2 = 80 Observation : Tn = 3n -1
Now we have to prove that Recurrence relation = Closed Formula Lets apply Mathematical induction : Recurrence : T0 = 0, Tn = 3 Tn-1 + 2 Closed Formula : Tn = 3n -1 , n >= 0
The objective is to transfer the entire tower from A to C( in the diagram), if direct moves between A and C are disallowed. This problem is a variant of Tower of Hanoi problem.
T1 = 2 (Since the peg has to be transferred from A to B and then to C.) Similarly , T2 = 8 T3 = 26
Winning Strategy : (for n = 3) 1.Transfer top 2 disks from A to C (requiring T2 disk moves ). 2.Move the largest disk from A to center peg “B”. 3.Move again the 2 disks from C back to A( requiring T2 disk moves ).
4.Move the largest disk to peg “C”. 5.Again we now need to move 2 disks from A to C ( requiring T2 disk moves)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
General Case : 1.Transfer top (n-1) disks from A to C. 2.Move the largest from A to center peg B. 3.Transfer (n-1) disks from C to A back. 4.Move the largest disk to C. 5.Transfer (n-1) disks from A to C again.